信号与系统z变换和L氏变换公式集合
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信号与系统 第六章 Z变换
3z 例： 2(k)+ 3(k) ←→ 2 + z 1
，z>1
6.2
z变换的性质
二、移位（移序）特性
单边、双边差别大！
双边z变换的移位： 若 f(k) ←→ F(z) , <z<，且对整数m>0，则 f(km) ←→ zmF(z), <z< 证明：Z[f(k+m)]=
其收敛域一般为F1(z)与F2(z)收敛域的相交部分。 例：求f(k)= kε(k)的z变换F(z). 解： f(k)= kε(k)= ε(k)* ε(k-1)
1 z z z z z 1z 1 ( z 1 )2
6.2
z变换的性质
五、序列乘k（z域微分）
若 f(k) ←→F(z) , <z< 则 d kf ( k ) z F ( z ) , <z< d z 例：求f(k)= kε(k)的z变换F(z). 解：
0 .5 z ze
j
j ze
0 .5 z
6.2
z变换的性质
四、卷积定理
若 f1(k) ←→F1(z) 1<z<1, f2(k) ←→ F2(z) 2<z<2 则 f1(k)*f2(k) ←→ F1(z)F2(z)
对单边z变换，要求 f1(k)、 f2(k)为因果 序列
解
z z F ( z ) F ( z ) F ( z ) y f z bz a
|b |
可见，其收敛域为a<z<b |a | o （显然要求a<b，否则无共 R e[ z ] 同收敛域) 序列的收敛域大致有一下几种情况： （1）对于有限长的序列，其双边z变换在整个平面； （2）对因果序列，其z变换的收敛域为某个圆外区域； （3）对反因果序列，其z变换的收敛域为某个圆内区域； （4）对双边序列，其z变换的收敛域为环状区域；
，z>1
6.2
z变换的性质
二、移位（移序）特性
单边、双边差别大！
双边z变换的移位： 若 f(k) ←→ F(z) , <z<，且对整数m>0，则 f(km) ←→ zmF(z), <z< 证明：Z[f(k+m)]=
其收敛域一般为F1(z)与F2(z)收敛域的相交部分。 例：求f(k)= kε(k)的z变换F(z). 解： f(k)= kε(k)= ε(k)* ε(k-1)
1 z z z z z 1z 1 ( z 1 )2
6.2
z变换的性质
五、序列乘k（z域微分）
若 f(k) ←→F(z) , <z< 则 d kf ( k ) z F ( z ) , <z< d z 例：求f(k)= kε(k)的z变换F(z). 解：
0 .5 z ze
j
j ze
0 .5 z
6.2
z变换的性质
四、卷积定理
若 f1(k) ←→F1(z) 1<z<1, f2(k) ←→ F2(z) 2<z<2 则 f1(k)*f2(k) ←→ F1(z)F2(z)
对单边z变换，要求 f1(k)、 f2(k)为因果 序列
解
z z F ( z ) F ( z ) F ( z ) y f z bz a
|b |
可见，其收敛域为a<z<b |a | o （显然要求a<b，否则无共 R e[ z ] 同收敛域) 序列的收敛域大致有一下几种情况： （1）对于有限长的序列，其双边z变换在整个平面； （2）对因果序列，其z变换的收敛域为某个圆外区域； （3）对反因果序列，其z变换的收敛域为某个圆内区域； （4）对双边序列，其z变换的收敛域为环状区域；
信号与系统Z变换
X1(z) (n m)zn zm n
z 0
X 2 (z) (n m)zn zm n
z
(3) x(n)=u(n)
X (z) u(n)zn
z
n
z 1
|z|>1
信号与系统（信息工程）
(4) x(n)= -u(-n-1)
X (z) [u(n 1)]zn
z
n
z 1
(5) x(n) anu(n)(a为实数.虚数.复数).
dz
由于n2x(n)=n［nx(n)］，得
Z[n2 x(n)]
z d
dz
z
d dz
X
( z )
信号与系统（信息工程）
例：已知x(n)=nu(n),求其Z变换及其收敛域。
解 ：u(n)的Z变换
U(z)
1 1 z1
,
z
1
由z域微分特性可知，
x(n) nu(n) X (z) z d U (z) dz
则
ZT
ax1(n) bx2 (n) aX1(z) bX 2 (z)
max
R , R x11
x21
z
min
R , R x12
x22
信号与系统（信息工程）
例 ：已知x(n)= u(n) – 3nu(-n-1)，求x(n)的双边Z变换X(z)及 其收敛域。
ZT
u(n)
z
|z|>1
z 1
n n1
显然其收敛域为0≤|z|＜∞，是包括零点的半开域，即除z=∞ 外都收敛。
(3)n1＞0,n2＞0时，有
n2
X (z) x(n)zn
n n1
显然其收敛域为0＜|z|≤∞，是包括z=∞的半开域，即除z=0 外都收敛。
《信号与系统》第二版第八章：Z变换
x (1) = 3.5δ ( n − 1)
n ∴ x ( n ) = δ ( n ) + 3.5δ ( n − 1) + ⎡8 − 13 × ( 0.5 ) ⎤ u ( n − 2 ) ⎣ ⎦
部分分式展开法：
⎧ 1 ⎫ ⎧ z ⎫ n = Z −1 ⎨ Z −1 ⎨ ⎬ = d u ( n) −1 ⎬ ⎩1 − dz ⎭ ⎩z−d ⎭
= { z n −1 X ( z )( z − zm )} |z = zm
z3 + 2z 2 + 1 , z >1 z ( z − 1)( z − 0.5 )
当 n ≥ 2 时， z n −1 X ( z ) 的极点： z1 = 1, z2 = 0.5
⎧⎡ z 3 + 2 z 2 + 1 n−2 ⎤ ⎫ ⎡ z 3 + 2 z 2 + 1 n−2 ⎤ ⎪ ⎪ x ( n ) = ⎨⎢ z ⎥ +⎢ z ⎥ ⎬ u ( n − 2) z −1 ⎪ ⎦ z =1 ⎣ ⎦ z =0.5 ⎪ ⎩ ⎣ z − 0.5 ⎭
（8-30）
（8-31）
， z ∈ 收敛域 注：1） m > 0 ，右移（延迟） m 步； m < 0 ，左移（导前） m 步。
2）引入 m 步延迟算子，
z −m x ( n ) x (n − m)
Z { z − m x ( n )} = z − m X ( z )
9 因果序列单边 Z 变换右移性质：
9 双边序列：
x ( n ) , n ∈ {−∞, +∞}
（8-19）
−n
X ( z ) = ∑ x ( n) z −n +
n=0
+∞
n ∴ x ( n ) = δ ( n ) + 3.5δ ( n − 1) + ⎡8 − 13 × ( 0.5 ) ⎤ u ( n − 2 ) ⎣ ⎦
部分分式展开法：
⎧ 1 ⎫ ⎧ z ⎫ n = Z −1 ⎨ Z −1 ⎨ ⎬ = d u ( n) −1 ⎬ ⎩1 − dz ⎭ ⎩z−d ⎭
= { z n −1 X ( z )( z − zm )} |z = zm
z3 + 2z 2 + 1 , z >1 z ( z − 1)( z − 0.5 )
当 n ≥ 2 时， z n −1 X ( z ) 的极点： z1 = 1, z2 = 0.5
⎧⎡ z 3 + 2 z 2 + 1 n−2 ⎤ ⎫ ⎡ z 3 + 2 z 2 + 1 n−2 ⎤ ⎪ ⎪ x ( n ) = ⎨⎢ z ⎥ +⎢ z ⎥ ⎬ u ( n − 2) z −1 ⎪ ⎦ z =1 ⎣ ⎦ z =0.5 ⎪ ⎩ ⎣ z − 0.5 ⎭
（8-30）
（8-31）
， z ∈ 收敛域 注：1） m > 0 ，右移（延迟） m 步； m < 0 ，左移（导前） m 步。
2）引入 m 步延迟算子，
z −m x ( n ) x (n − m)
Z { z − m x ( n )} = z − m X ( z )
9 因果序列单边 Z 变换右移性质：
9 双边序列：
x ( n ) , n ∈ {−∞, +∞}
（8-19）
−n
X ( z ) = ∑ x ( n) z −n +
n=0
+∞
信号与系统-Z变换
1
X (z) xnzn bn zn
n
n
bnzn 1 bnzn
n1
n0
若公比|b-1 z|＜1，即|z|＜|b|时此级数收敛。此时
X (z)
1
1 1 b1z
z
z b
zb
信号与系统（信息工程）
jIm[z]
b
╳
Re[z] z b
收敛域零、极点分布
信号与系统（信息工程）
当n→±∞，序列x(n)均不为零时，称x(n)为双边序列， 它可以看作是一个左边序列和一个右边序列之和。对此 序列进行Z变换得到
1
X (z) Zxn x(n)zn x(n)zn x(n)zn
n
n0
n
右边序列
左边序列
信号与系统（信息工程）
jIm[z]
R1
R2
o
Re[z]
信号与系统（信息工程）
例 ：已知无限长双边序列x(k)为
x(n) anu(n) bnu(n 1)
式中，|b|>|a|。求x(k)的双边Z变换及其收敛域。
z
z 12
信号与系统（信息工程）
若
ZT
x1(n) X1(z)
Rx11 z Rx12
ZT
x2 (n) X 2 (z) Rx21 z Rx22
则
ZT
ax1(n) bx2 (n) aX1(z) bX 2 (z)
max
R , R x11
x21
z
min
R , R x12
x22
信号与系统（信息工程）
X (z)
n0
zn
1 1 z1
1 z
信号与系统（信息工程）
6.1.2 Z变换的收敛域
信号与系统-公式总结
4复频域微分
5复频域积分
※6时域卷积
※4. 拉普拉斯反变换 ⑴部分分式展开法
复频域，
⑵留数法 留数法是将拉普拉斯反变换的积分运算转换为求被积函数各极点上留 数的运算，即
其中 （为一阶极点） 或 （为阶极点）
第四章 Z变换
1. Z变换定义
正变换： 双边：
单边：
2. Z变换收敛域ROC：满足的所有z值
★ ROC内不包含任何极点（以极点为边界）； ★ 右边序列的ROC为 的圆外； ★ 左边序列的ROC为 的圆内； ★ 双边序列的ROC为 的圆环。 ★ 有限长序列的ROC为整个 z 平面 （可能除去z = 0 和z = ）；
冲激 脉冲
※※
直流 函数 ※ 冲激 序列
第三章 拉普拉斯变换
1 定义 双边拉普拉斯变换 单边拉普拉斯变换 单边变换收敛条件：
拉普拉斯反变换 称为收敛域。
2 常见函数的拉普拉斯变换
公式序号
原函数，
※1
※2
※※3
像函数
频谱图
※※4 ※5 ※6
3 拉普拉斯的基本性质
性质
时域
※※1时间平 移
※2频率频移
※3时域微分
1 差分方程的一般形式
前向差分： 后向差分： 2 卷积法 （1）零输入响应 ：激励时初始状态引起的响应 Step1 特征方程，特征根； Step2 解形式或 ；
Step3 初始条件代入，确定系统； （12）零状态响应 ：初始状态为零时外加激励引起的响应 方法1：时域分析法 方法2：变换域分析法
Step1: 差分方程两边Z变换（注意初始状态为零）； 左移位性质
第六章 第七章 第八章 连续系统时域、频域和复频 域分析
1 线性和非线性、时变和非时变系统判别 （1）线性和非线性 先线性运算，再经系统＝先经系统，再线性运算
信号与系统第六章Z变换
差分方程的稳定性分析
01
稳定性定义
02
稳定性判据
如果一个离散时间系统在输入信号的 作用下，其输出信号不会无限增长， 则称该系统是稳定的。
对于差分方程，可以通过判断其极点 位置和类型来分析系统的稳定性。如 果所有极点都位于复平面的左半部分 ，则系统是稳定的；否则，系统是不 稳定的。
03
稳定性分析的意义
反转性质在通信和控制系统设计中非常有用，因为它允 许我们通过改变信号的方向来改变系统的性能。
卷积性质
卷积性质描述了z变换的卷积特性。如 果两个信号在时间上相乘，那么它们 的z变换就是它们的卷积。
卷积性质在信号处理中非常重要，因 为它允许我们通过将两个信号相乘来 得到一个新的信号。
复共轭性质
复共轭性质描述了z变换的复共轭特性。如果一个信号是实数，那么其z变换就是其复共轭的离散化表 示。
信号与系统第六章z 变换
目录
CONTENTS
• 引言 • z变换的收敛域 • z变换的性质和应用 • z变换与离散时间系统 • z变换与差分方程 • z变换与信号处理
01
引言
背景介绍
ห้องสมุดไป่ตู้
信号与系统是通信、电子、控制等领 域的重要基础课程，其中第六章z变换 是信号与系统中的重要章节之一。
z变换是离散时间信号处理中的一种数 学工具，用于分析离散时间信号和系 统的性质和行为。
离散信号的z变换
离散信号的z变换是将离散时间序列通过z变 换转换为复数序列，用于分析离散时间系统 的特性。
系统的频率响应和极点零点分析
01
系统的频率响应
02
系统的极点和零点
03
系统稳定性分析
通过z变换分析系统的频率响应， 了解系统在不同频率下的性能表 现。
费舍尔的 z 变换 ldsc
费舍尔的 z 变换 ldsc费舍尔的Z变换（Z-transform）是一种将离散时间信号转换为复频域信号的数学工具。
它在信号处理和控制系统中得到广泛应用，特别是在数字滤波器设计和离散系统建模中。
Z变换的基本思想是将离散时间信号表示为一个形式复杂但易于处理的复数序列。
通过将离散时间信号的每个采样点与一个复指数函数相乘，并对所有采样点进行求和，可以得到Z变换。
这种变换可以将离散时间信号从时域转换到Z域，其中Z是复平面上的一个复变量。
通过对Z域中的信号进行分析和处理，可以得到有关原始离散时间信号的信息。
费舍尔的Z变换具有许多重要的性质和特点。
首先，Z变换是线性的，这意味着可以对信号进行加法和乘法运算。
其次，Z变换是时移和尺度不变的，这意味着可以对信号进行平移和缩放操作。
此外，Z变换还具有时域和频域之间的双向转换能力，可以将信号在这两个域之间进行转换。
最重要的是，Z变换可以用于分析系统的稳定性和频率响应，并用于设计数字滤波器。
在实际应用中，Z变换可以用于离散系统的建模和分析。
通过将系统的差分方程转换为Z域的表达式，可以得到系统的传递函数和频率响应。
这样可以更好地理解和控制离散系统的行为。
此外，Z变换还可以用于数字滤波器的设计。
通过在Z域中对滤波器的特性进行分析和优化，可以设计出满足特定要求的数字滤波器。
费舍尔的Z变换在信号处理和控制系统中得到了广泛的应用。
在通信系统中，Z变换可以用于数字调制和解调，以及信道编码和解码。
在图像处理中，Z变换可以用于图像压缩和去噪。
在控制系统中，Z 变换可以用于离散控制器的设计和分析。
此外，Z变换还可以用于信号的谱估计和频谱分析。
费舍尔的Z变换是一种重要的数学工具，用于将离散时间信号转换为复频域信号。
它在信号处理和控制系统中具有广泛的应用，并且在数字滤波器设计和离散系统建模中起着关键的作用。
通过对Z变换的理解和应用，可以更好地分析和处理离散时间信号，为实际应用提供更加准确和有效的解决方案。
信号与系统复习资料 第2章 z变换与离散时间傅里叶变换(DTFT
Z变换与DTFT
以下假设
n1<n2
•如果n2 ≤0 ，则收敛域不包括∞点
• 如果n1≥0 ，则收敛域不包括0点
• 如果n1<0<n2，收敛域不包括0 、∞点
1) n2 0( n1 0), 0 z
2) n1 0( n2 0)， 0 z
3) n1 0, n2 0， 0 z
Rx
当Rx Rx 时，Roc :
-10-
0
当Rx Rx 时，Roc : Rx z Rx
Z变换与DTFT
例1
[n]1, 0 z
ZT
[n]z
n
n
[0]z 1
0
收敛域应是整个z 的闭平面
-11-
Z变换与DTFT
Z变换与DTFT
第二章 z变换和DTFT
-1-
Z变换与DTFT
本章主要内容：
1. z变换：定义及收敛域，z变换的反变换
z变换的基本性质和定理 2. ZT 与连续信号LT、FT的关系
（信号）
3. 离散时间信号的DTFT（序列的傅立叶变换）
4. z变换与DTFT的关系 5. DTFT的一些性质 6. 周期性序列的DTFT 7. DTFT变换的对称性质
例2：求x(n)=RN(n)的z变换及其收敛域
解：X(z)= x(n ) z = RN (n ) z
n n n
N Z=1处零 z 1 极对消 z N 1 ( z 1)
1 z = z 1 z 1 n 0
N 1 n
n N
q n1 q n2 1 n q 1 q n n1
信号与系统-第6章
z3 2z2 1
zz 1z 0.5
,
z 1, 求 f(n).
解:
Fz
z
z3 2z2 1
z2z 1z 0.5
A1 z2
A2 z
A3 z 1
z
A4 0.5
其中
A2
ddzz2
Fz
z
z0
3z2 4z z1z0.5 z3 2z2 1z0.5z1
z12z0.52
z0 6
所以
Fz
6
2 z
8z z 1
σ>0
r>1,θ任意
② s 平面上的实轴映射为 z 平面的正实轴.
jω
Im[z]
1
σ
Re[z]
ω=0, s=σ θ=0, r任意
8
6.2 z 变换的基本性质
1. 线性 a1 f1n a2 f2 n a1F1z a2F2 z
例6-5：求 cos0nUn和 sin0nUn的 z 变换.
解: 欧拉公式 由指数变换:
① z 变换函数在收敛域内是解析函数, 且无任何极点.
② 有限长序列 z 变换的ROC为整个平面, 可能不包括 0 或∞.
③ 因果序列 z 变换的ROC为极点半径圆外.
④ 非因果序列 z 变换的ROC为极点半1 径2圆内.
⑤ 双边序列 z 变换的ROC为极点半径圆环内.
6
3. 常用信号的 z 变换
24
例6-15：已知 yn2yn1 f n
(1) 求H(z) 和 h(n), 并说明因果性与稳定性;
(2) 求因果系统 f(n)=U(n+1)时的零状态响应.
n
n0
由等比级数, 当 az1 1, 即 z a 时才收敛.
信号与系统§8.5 Z变换的基本性质
Rx1 z Rx2
H (z) Zh(n)
Rh1 z Rh2
Zx(n)* h(n) X (z)H (z)
收敛域：一般情况下，取二者的重叠部分
即 max( Rx1 , Rh1 ) z min( Rx2 , Rh2 )
描述：两序列在时域中的卷积的z变换等效于在z域中 两序列z变换的乘积。
§8.5 z变换的基本性质
主要内容
线性 位移性 序列线性加权 序列指数加权 初值定理 终值定理 时域卷积定理
z域卷积定理（自阅）
一．线性 (表现为叠加性和均匀性）
若 Zx(n) X (z)
Rx1 z Rx2
Zy(n) Y (z)
Ry1 z Ry2
则 Zax(n) by(n) aX(z) bY (z) R1 z R2
Z
x(n)h(n)
1 2π
π
X
π
ρ e jθ
H
r ρ
e
j
θ
d
θ
注意：如果在某些线性组合中某些零点与极点相抵消， 则收敛域可能扩大。
八．z域卷积定理（自阅）
Zx(n)h(n) 1 X z H(v)v1 d v
2 π j c1 v
或
Zx(n)h(n)
1 2π
j
c1
X vH
z v
v1
dv
若 设 v ρ ejθ z r ej 则
x(n) 4
x(n 2) 4
x(n 2) 4
1O 1 2
n 1O 1 2
n
2 1 O 1 n
信号与系统-Z变换
解：
X (z) x(n)zn [u(n 1) u(n 1)]zn
n
n
1
zn z 1 z1
n1
x(k)zn 1 zn z 1 1
n
n1
z
所以，当 0 z 时，上式级数收敛。于是得
X (z) z 1 z1 z2 z 1 0 z
z
信号与系统（信息工程）
Z变换为
x(n)
令
，Xs(s)变为X(z)，得
X (z) x(nT )zn
n
取T=1，得
X (z) x(n)zn n
信号与系统（信息工程）
当0≤n≤∞时，得单边Z变换
X (z) x(n)zn n0
单边Z变换
2、从离散时间序列直接定义
设x(n)为离散序列，x(n)={x(0)，x(1)，…， x(n) ，…}，则 x(n)的单边Z变换定义为：
解 x(n)的双边Z变换为
X (z) anu(n) b n u(n 1) zn
n
1
an z n bn z n
n0
n
信号与系统（信息工程）
X (z)
anzn
1
bnzn
a n
1
b
n
n0
n
n0 z n z
z z 2z (a b)z |a|<|z|<|b|
z1 0
jIm[z] a
Re[z]
例：求指数序列x(n)=anu(n) 的Z变换。
解：显然指数序列是一个 因果序列
X (z) x(n)zn
n0
an zn (az1)n
n0
n0
1 az1 (az1)2
X (z)
1 1 az1