线性连续系统的离散化课件
第6章连续系统的离散化方法及近似解
第6章连续系统的离散化方法及近似解在连续系统中，我们经常需要将其离散化为离散系统以便于分析和求解。
离散化方法能够将连续系统的微分方程转化为差分方程，从而得到近似解。
本章将介绍连续系统的离散化方法及近似解的计算。
连续系统的离散化方法有许多种，常见的有Euler方法、Runge-Kutta方法和有限差分方法等。
其中，Euler方法是最简单和最基础的离散化方法，其基本思想是将连续时间轴划分为若干个小时间间隔，并用差分逼近连续系统的导数。
具体地，对于一阶常微分方程：\[\frac{{dy}}{{dt}} = f(y, t)\]可以使用Euler方法将其离散化为：\[y_{n+1} = y_n + h \cdot f(y_n, t_n)\]其中，\(y_n\)是时间点\(t_n\)的近似解，\(h\)是时间步长。
Runge-Kutta方法是一种更精确的离散化方法，其基本思想是利用多个中间步骤来更准确地逼近连续系统的导数。
常见的是四阶Runge-Kutta 方法，其公式为：\[y_{n+1} = y_n + \frac{h}{6} \cdot (k_1 + 2k_2 + 2k_3 +k_4)\]其中\[k_1=f(y_n,t_n)\]\[k_2 = f(y_n + \frac{h}{2}k_1, t_n + \frac{h}{2})\]\[k_3 = f(y_n + \frac{h}{2}k_2, t_n + \frac{h}{2})\]\[k_4 = f(y_n + hk_3, t_n + h)\]这样可以得到更准确的近似解。
有限差分方法是一种常用的离散化方法，其基本思想是将连续的导数用差分逼近。
以二阶偏微分方程为例，该方程的一般形式为：\[\frac{{\partial^2u}}{{\partial x^2}} +\frac{{\partial^2u}}{{\partial y^2}} = f(x, y)\]可以使用中心差分公式将其离散化为：\[\frac{{u_{i+1,j} - 2u_{i,j} + u_{i-1,j}}}{{\Delta x^2}} + \frac{{u_{i,j+1} - 2u_{i,j} + u_{i,j-1}}}{{\Delta y^2}} =f_{i,j}\]其中，\(u_{i,j}\) 是近似解在网格点 \((i, j)\) 处的值，\(\Delta x\) 和 \(\Delta y\) 分别是网格在 \(x\) 和 \(y\) 方向的步长，\(f_{i,j}\) 是离散化后的右侧函数。
(第8讲)离散系统状态方程及解
X ( z ) ( zI G ) 1 zx(0) HU ( z )
25 17 z z0.2 22 z z0.8 18 z z 1 9 176 z 88 7 z z 30 z 0.2 45 z 0.8 18 z 1
Φ(t ) Φ(t, 0) eAt
Φ(t, t0 ) Φ(t t0 ) e
A(t t0 )
Φ1 (t ) Φ(t )
Φ(t1 t2 ) Φ(t1 )Φ(t2 ) Φ(t2 )Φ(t1 )
Φ(t2 , t1 )Φ(t1 , tt ) u (nT ) t nT t (n 1)T , A( t nT ) x(t ) e x(nT ) e A(t )bu* ( )d nT ( n 1)T AT x[(n 1)T ] e x(nT ) e A( nT T )bu* ( )d
25 17 (0.2) k 22 (0.8) k 18 9 x(k ) 176 7 (0.2) k 88 (0.8) k 18 45 30
tgq77@
Symbolic Math Toolbox of MATLAB
已知系统x(n 1) Gx(n) Hu(n), 求状态方程的解。其中 1 0 1 1 G , H 1, x(0) 1, u (n ) 1, n 1,2, 0.16 1
零输入响应自由响应零状态响应强迫响应tgq77126com状态转移矩阵就是将系统由一个状态转移到另外一个状态即制理论上叫状态转移矩数学上叫矩阵指数控tgq77126com信号在时间上不连续的信号叫离散信号
Modern Control Theory
线性连续系统状态空间模型的离散化 (minimizer)(课堂PPT)
根据精确法计算式有
1 (1-e2T)/2
G(T)(T)0
e2T
T
T1
H(T)0(t)dBt00
(1-ee22tt)/2dt10142T2(-1(-1e-e2 T2)T)
于是该连续系统的离散化状态方程为 1(1 -e 2 T )/2 T /2 -(1 -e 2 T )/4
➢ 考虑到u(t)在采样周期内保持不变的假定,所以有
( k 1 ) T
x (k ( 1 ) T ) Φ ( T ) x ( k) TΦ [k ( 1 ) T τ ]τ B d u ( k)T kT
➢ 对上式作变量代换,令t=(k+1)T-,则上式可记为
T
x (k ( 1 )T ) Φ (T )x (k)T 0Φ (t)dB u t(k)T
3.4 线性连续系统状态空间模型的离散化
离散系统的工作状态可以分为以下两种情况。 ➢ 整个系统工作于单一的离散状态。 ✓ 对于这种系统,其状态变量、输入变量和输出变量全 部是离散量,如现在的全数字化设备、计算机集成制 造系统等。 ➢ 系统工作在连续和离散两种状态的混合状态。 ✓ 对于这种系统,其状态变量、输入变量和输出变量既 有连续时间型的模拟量,又有离散时间型的离散量， 如连续被控对象的采样控制系统就属于这种情况。
Ch.3 线性系统的时域分析
.
1
目录
概述 3.1 线性定常连续系统状态方程的解 3.2 状态转移矩阵及其计算 3.3 线性时变连续系统状态方程的解 3.4 线性定常连续系统的离散化 3.5 线性定常离散系统状态方程的解 本章小结
.
目录(1/1)
2
线性连续系统状态空间模型的离散化(1/5)
例3-11 试用精确离散化方法写出下列连续系统的离散化系 统的状态方程: x00 12x10u
连续系统的离散化方法课件
离散化方法的意义
精确性
离散化方法可以提供对连续系统的精 确近似，特别是在计算机仿真和数字 控制系统中。
可计算性
离散化方法可以将不可计算的分析转 化为可计算的形式，便于进行数值计 算和控制器设计。
离散化方法的应用场景
01
02
03
数字控制
在数字控制系统中，连续 系统的离散化是必要的步 骤，以便在数字计算机上 进行数值计算和控制。
小波基选择
常用的小波基包括Haar小波、Daubechies小波、Morlet 小波等。
误差分析
小波变换法的误差主要来自于变换误差和离散化误差。
05
离散化方法的评估与优化
评估离散化方法优劣的标准
01
02
03
04
精度
离散化方法是否能准确代表原 连续系统。
稳定性
离散化方法在一定参数变化范 围内是否能保持稳定。
状态空间模型
用状态变量和输入、输出变量描述连续系统的动态特性。
状态空间模型通常形式为：`x'(t) = Ax(t) + Bu(t)` 和 `y(t) = Cx(t) + Du(t)`，其中 `x(t)` 表 示系统状态，`u(t)` 表示系统输入，`y(t)` 表示系统输出，`A`, `B`, `C`, `D` 是系数矩阵。
化率。
通过求解 ODE，可以得到系统 在任意时刻的状态。
传递函数
表示连续系统在输入和输出之间的传递 特性。
传递函数通常形式为：`G(s) = Y(s) / U(s)`，其中 `Y(s)` 和 `U(s)` 分别是输 出和输入的拉普拉斯变换，`s` 是复变
量。
通过分析传递函数的零点、极点和增益 ，可以得到系统的稳定性和性能特性。
计算机仿真技术基础第4章连续系统模型的离散化处理方法
1 S2
Z 1 TZ
Z • Z 12
T Y(Z) Z 1 U(Z)
Ｚ反变换得差分方程：
y(n 1) y(n) Tu(n)
２）选用一阶保持器
Gh ( S )
T 1 TS 1
e TS S
2
离散化传递函数 G(Z ) Gh(S )G(S )
T
1
TS
1
e TS S
2
1
S
Y CX DU
t
状态方程的解 X (t) (t)X (0) (t )Bu( )d
采用零阶保持器对状态空间表达0式进行离散化处
理
u(t )
u(k )
零阶 保持器
u~(k )
x Ax Bu
x
~x
对e A于T X连(K续T解)
eX A( t()K1)T( tX) X(0(0))
t
根据Ｚ变换理论，Ｓ域到Ｚ域的最基本的
映射关系是：
Z
eTs
或
s 1 ln Z T
其中Ｔ是采样周期
若直接将这个映射关系代入Ｇ(S)得到G(Z)将 会很复杂，不便于计算，实际应用中是利用Ｚ变 换理论的基本映射关系进行简化处理，得到近似 的离散模型。
4.1.1 简单替换法
由幂级数展开式：
eTx 1 Tx (Tx)2 (Tx)n
y(n 1) y(n) T [u(n 1) u(n)] 2
4.2 离散相似法
4.2.1 离散相似法的概念
离散相似法将连续系统模型处理成与之等效 的离散模型的一种方法。设计一个离散系统模型， 使其中的信息流与给定的连续系统中的信息流相 似。或者是根据给定的连续系统数学模型，通过 具体的离散化方法，构造一个离散化模型，使之 与连续系统等效。
连续系统模型的离散化处理方法课件
离散系统模型是指系统的状态变化在时间上是离散的，即只在特定的时间点上 发生变化。其输入和输出信号也是离散的。这种模型通常用差分方程进行描述 。
离散化的定义及其必要性
离散化定义
离散化是将连续时间信号或系统转换为离散时间信号或系统 的过程。它涉及对连续信号的采样以及将微分方程转换为差 分方程。
数值积分法
数值积分法使用数值方法求解微分方程的解，并将连续时间微分方程转换为离散时间差分 方程。常用的数值积分法包括欧拉法、龙格-库塔法等。
z变换法
z变换法是一种在复平面上进行的离散化方法。它通过将连续时间信号的拉普拉斯变换转 换为z变换，将连续系统的传递函数转换为离散系统的传递函数。
02
常用的连续系统模型离散化方 法
03
提高精度的方法
为了提高离散系统的精度，可以采用更小的离散化步长， 使用更高阶的数值积分方法，或者采用自适应离散化技术 等。此外，还可以通过增加离散点的数量和优化插值方法 来实现更高精度的离散化。
效率问题
效率定义
离散化对效率的影响
提高效率的方法
效率问题涉及离散化过程的计算复杂 度和计算资源消耗。
改进型龙格-库塔法
针对经典四阶龙格-库塔法的不足进行 改进，如变步长龙格-库塔法等，以提 高数值解的精度和稳定性。
牛顿法
基本牛顿法
利用泰勒级数展开，将非线性方程线性化，通过迭代求解线性方程组来逼近非线 性方程的解。该方法收敛速度快，但初始值选取对结果影响较大。
牛顿-拉夫逊法
结合牛顿法和拉夫逊法的特点，通过迭代过程中修改雅可比矩阵，提高求解速度 和精度。该方法适用于大规模非线性系统的求解。
THANKS。
保持稳定性的方法
常用的保持稳定性的方法包括选择合适的离散化步长、使用稳定性更好 的数值积分方法等。此外，还可以通过引入阻尼项或者采用隐式离散化 方案来提高离散系统的稳定性。
最新第5章数字控制系统的连续——离散化设计PPT课件
重新选择采样周期。
当T0.5s时 ， D(z)8.0z6(4z0.60.096551)， 2
Gd(z)(0z.011)2((zz300.9.9581))3， 2H(z)
0.099(1z40.98)3， z2 1.507z40.704
p1,2 0.839426.08，
相应于 0.36，n 0.97的 5 连续系统，
2 增益 Kz的设计准 : 则是 D(s)与D(z)在 同 一 类 型 响 信 应 号 的 输 终 入 值 下
限 值 ） ， 在 值 采 相 样 等 点 。 上 的
li s( m s D ) R ( s ) li ( z m 1 ) D ( z ) R ( z )
s 0
z 1
注意，匹配 Z变换在如下情况下不宜采用：若 D(s) 具
有共轭复数零极点 s=±jω0 ，且其位于S主频带之外，则
设计之D(z) 将产生混叠。
零极点匹配说明：
1. D (s)分子分m 母 n同 ，阶 则， 零极 z变 点 换 一 2. D(s)分子分母不同 m阶n，
(1)将nm个 零 点 匹z配 0处 到， 相 当 于D(认 s)在为实 轴
处 有 nm个 零 点 。
810.25s
2 .5
10.1s
s2
-40 -20
4 5.5
10
ω
-40
（ 1）选择采 T样周期
从系统 bo 开 图 de环 求得开环剪 c 切 5.5r频 a/ds， 率 按经验 s 取 6~1 0c，考虑实T 时 0性 .01， s。 5 取
（ 2 ） D ( z ) 设 D ( s ) 8 计 1 0 .2 s 5 2s 0 4 1 0 .1 s s 10
连续系统离散化.ppt
n (T )u(kT)
已知控制系统框图如下图，求该系统的仿真模 型。
R+ e
1
y
s(s 2)
-
R + e e(kT)
1
y
H (s)
s(s 2)
-
1 2
e
1 x1
s
y
1
1 x2
2
s2
e R y
y x1 x2
1
x1 x2
0 0
0 2
连续系统的离散化
③ 在系统的输出端也加一只采样开关S2，它 应该与输入端的开关同步，则y(t)变成了 y(k)。
④ 对u(k)及y(k)分别取Z变换，可得U(z)及 Y(z)，而Y(z)/U(z)=G(z)，它就是与原系统 等价的离散模型。
⑤ 如果要获得可在数字计算机上进行计算的 差分方程，只要对G(z)取一次Z反变换就 行了。
1
s
T (3z 1) 2z(z 1)
常用环节的离散相似模型
它所对应的差分方程为
yk 1
yk
3 2 Tuk
T 2
uk 1
采用三角形保持器：
G(z)
Z
eTs T
1
e s
Ts
2
1
s
T (z 1) 2(z 1)
常用环节的离散相似模型
eaT
yk
k a
(1 eaT
)uk
常用环节的离散相似模型
三角形保持器：
G(z)
Z
eTs T
第四章连续系统的离散化方法
将 K1 K 2 代入式
f f x1 x0 a1hf (t0 , x0 ) a2 h[ f (t0 , x0 ) b1h b2 hK1 ] t t t0 x x x0
a1 a2 1, a2b1 1 1 , a2b2 2 2
比较各项系数得
待定系数个数超过方程个数，必须先设定一个系数，然后即可求得其 参数。一般有以下几种取法： 1、 a1 0, a2 1, b1 b2
1
K 2 变化，而是取两者平均值 K h x1 x0 hK x0 ( K1 K 2 ) 2 h x1 x0 ( f 0 f1 ) 2
f
f0 f1
K1 K 2 2
求得校正点，即：
。
0
t0
t1
t
四阶龙格－库塔法的计算公式为：
K1 f (tk , xk )
h xk 1 xk ( K1 2 K 2 2 K 3 K 4 ) 6
x1 x0 hf (t0 , x0 )
其一般公式为
xk 1 xk hf (tk , xk )
f1
f
f0
c
0
t0
t1
t
h2 h3 (2) h k ( k 1) Rn f (t0 , x0 ) f (t0 , x0 ) f (t0 , x0 ) 称为截断误差 2! 3! k! 例4－1 用欧拉法求下述微分方程的数值解。
h h K 2 f (tk , xk K1 ) 2 2 h h K3 f (tk , xk K 2 ) 2 2 K 4 f (tk h, xk hK 3 )
X AX BU
对于用状态方程表示的高阶线性系统 Y CX
线性定常连续系统状态方程的解ppt课件
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
引入能描述系统状态转移特性的状态转移矩阵 如下： (t-0)=eA(t-0)
(t-0t)eA(tt0)
因此，有如下关系式
x(t)=(t)x0=(t-t0)x(t0)
重点!
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
2.1 线性定常连续系统状态方程的解
求解状态方程是进行动态系统分析与综合的基 础，是进行定量分析的主要方法。
状态方程求解理论是建立在状态空间上， 以矩阵代数运算来描述的定系数常微分 方程解理论。 而后基于矩阵代数运算的状态方程解理 论引入了状态转移矩阵这一基本概念。
为此，设其解为t的向量幂级数，即
x(t)=b0+b1t+b2t2+…+bktk+…
式中，bk(k=1，2，...)为待定级数展开系数向量。
将所设解代入该向量状态方程x’=Ax，可得
b1+2b2t+3b3t2 +…+kbktk-1+…=A(b0+b1t+b2t2 +…+bktk+…)
如果所设解是方程的真实解，则对任意t，上式 均成立。因此，使t有相同幂次项的各项系数相 等，即可求得
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
本章主要工作
连续系统的离散化方法及近似解课件
离散化后的控制系统可以用差分方程来描述，差分方程是连续时间微分方程在离散时间域 上的对应形式。通过求解差分方程，可以得到离散控制系统的输出响应。
Z变换
Z变换是离散时间信号和系统分析的重要工具，它可以将差分方程转换为代数方程，从而 简化离散系统的分析和设计。
电路模拟中的离散化方法及近似解应用
离散系统
离散系统是指系统状态在时间上 是离散的，即系统的状态变量只 在某些特定的时刻有定义，且在 这些时刻间不发生变化。
连续系统与离散系统的区别与联系
区别
连续系统和离散系统最主要的区别在于时间的连续性。连续系统的时间变量是连 续的，而离散系统的时间变量是离散的。
联系
两者之间存在密切的联系。实际上，许多连续系统可以通过离散化方法转化为离 散系统进行处理，这是因为数字计算机在处理问题时，只能处理离散的时间信号 。反之，离散系统的某些理论和方法也可以用来处理连续系统。
连续系统的离散化方法 及近似解课件
目 录
• 连续系统与离散系统概述 • 连续系统的离散化方法 • 离散系统的近似解法 • 连续系统离散化及近似解的应用案例 • 实验与仿真
01
连续系统与离散系统概述
连续系统与离散系统的定义
连续系统
连续系统是指系统状态在时间上 是连续的，即系统的状态变量在 任何时刻都有定义且随时间连续 变化。
感谢观看
前向差分法：前向差分法使用当前时刻及其前一时刻的输入信号来近似 计算下一时刻的输出信号。这种方法简单直观，但离散化误差相对较大 。
后向差分法：后向差分法使用当前时刻及其下一时刻的输入信号来近似 计算当前时刻的输出信号。相比前向差分法，后向差分法具有较小的离
散化误差。
以上内容即为连续系统的离散化方法及近似解课件的部分内容。在实际 应用中，可以根据具体需求和场景，选择合适的离散化方法和参数，以 实现连续系统的高效、准确离散化处理。
连续时间系统状态方程的离散化PPT课件
（二）连续部分离散化，求被控对象离散化状态方程。
第11页/共17页
（三）系统的离散化状态空间表达式： 根据系统结构确定系统的离散状态方程和输出方程。特点u(kT)=r(kT)-y(kT)=r(kT)Cx(kT), 例2.7 求如图所示的计算机控制系统的状态方程
0.20 0
5(1 ek )
5(ek
1)
1 0
1 ek
ek
H (kT ) TB(kT ) 0.205
5ek 5(1 ek )
1 0
ek
1
ek
代入x[(k 1)T ] G(kT )x(kT ) H (kT )u(kT ) 得：离散化方程为
x1[(k x2[(k
1)T 1)T
第17页/共17页
1u(kT
)
第14页/共17页
（2）由u(kT)=r(kT)-y(kT)=r(kT)-x1 (kT),代入，得系统的离散化 状态方程。
x1[(k x2[(k
1)] 1)]
1 0
1
eT eT
x1 (k T ) x2 (kT)
T
eT 1 eT
1u
(k
T
)
系令统T＝输20出e.1TT方秒程 ，e1T得系1e统yeT(离TkT散)xx化12((kk状xTT1)态)(k空T)间T1表1ee达TT0式1xxr12(k((kTkT)T))
x
0
0
5(1 e5t )
5(e5t
1)
x
5 0
5e5t 5(1 e5t
)u
试将它离散化，并求出输入和初始条件分别为
u(t) 10, x(0) 00时，方程在采样时刻的 近似解
2.3线性连续时间状态空间表达式的离散化
§2.3 线性连续时间状态空间表达式的离散化如果用数字计算机对连续时间状态方程求解，或者对连续受控对象采用数字计算机进行在线控制，都要碰到一个将连续时间系统化为离散时间系统的问题。
本节将讨论线性连续时间状态空间表达式的离散化方法。
一、线性时变系统的离散化 设原线性系统的状态空间表达式为：).()t (u )t (D )t (X )t (C Y )t (u )t (B )t (X )t (A X612⎩⎨⎧+=+=离散化后状态空间表达式为：[]).()kT (u )kT (D )kT (X )kT (C )kT (Y )kT (u )kT (H )kT (X )kT (G T )k (X 6221⎩⎨⎧⋅+⋅=+=+式（2.61）、（2.62）之间的系数关系如下[][]).()t (D )kT (D )t (C )kT (C d )(B ,T )k ()kT (H kT ,T )k ()kT (G kTt kT t T)k (kT632111==+==+=+=⎰τττφφ式中[]kT ,T )k (1+φ表示)t ,t (0φ在kT t T )k (≤≤+1区段内的状态转移矩阵，而)t ,t (0φ则表示原连续系统（2.61）式的状态转移矩阵。
证明：由上节（2.60）式可知（2.61）式的解为：).(d )(u )(B ),t (X )t ,t ()t (X t t 642000ττττφφ⎰+=对上式离散化，令hT t ,T )k (t =+=01，T 为采样周期，则得[][][]).(d )(u )(B ,T )k (X hT ,T )k (T )k (X T )k (hT65211110ττττφφ+++=+⎰+再以hT t ,kT t ==0代入（2.64）式，则得 ).(d )(u )(B ),kT (X )hT ,kT ()kT (X kT hT 6620ττττφφ⎰+=将（2.66）式两边同左乘[]kT ,T )k (1+φ，得[][][][][]).(d )(u )(B ,T )k (X hT ,T )k (d )(u )(B ),kT (kT ,T )k (X )hT ,kT (kT ,T )k ()kT (X kT ,T )k (kT hT kT hT 6721111100ττττφφττττφφφφφ+++=++⋅+=+⎰⎰将（2.65）式减去（2.67）式得：[][][]).(d )(u )(B ,T )k ()kT (X kT ,T )k (T )k (X T )k (kT 6821111ττττφφ+++=+⎰+上式中，令[][]τττφφd )(B ,T )k ()kT (H kT ,T )k ()kT (G T)k (kT⎰+=+=+111设在区间[]T )k (,kT 1+内，)kT (u )(u =τ，则（2.68）式可简写成： [])kT (u )kT (H )kT (X )kT (G T )k (X ⋅+⋅=+1 同时，对（2.61）式输出方程离散化，则证明了)kT (u )kT (D )kT (X )kT (C )kT (Y ⋅+=二、线性时不变系统的离散化 对于线性时不变系统).(uD X C Y u B X A X692⎩⎨⎧+=+=离散化状态空间表达式为).()kT (u D )kT (X C )kT (Y )kT (u )T (H )kT (X )T (G T )k (X 7021⎩⎨⎧+=+=+其中D ,C ),T (H ),T (G 均为常数阵，且).(B)d e ()T (H e)T (G A T AT 7120⎪⎩⎪⎨⎧==⎰ττ证明：由于时不变系统是时变系统的一种特殊情况，所以只需要证明式（2.71）成立即可。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
精确离散化方法(1/4)
1. 精确离散化方法
所谓线性定常连续系统的状态方程的精确离散化方法,就是
利用状态方程的求解公式以保证状态在采样时刻连续状 态方程和离散化状态方程有相同的解来进行离散化。
连续系统的状态方程的求解公式如下:
t
x(t) Φ(t t0 )x(t0 )
由于离散化主要是对描述系统动态特性的状态方程而言, 输出方程为静态的代数方程,其离散化后应保持不变,即
C(T)=C D(T)=D 离散化主要针对连续系统状态方程(A,B)如何通过采样
周期T,变换成离散系统状态方程(G,H)。
线性定常连续系统的离散化(3/3)
在上述的条件和假设下,即可推导出连续系统离散化的状态 空间模型。 下面介绍两种离散化方法: 精确法、 近似法。
满足上述条件和假设,即可推导出连续系统的离散化的状态 空间模型。 下面分别针对 线性定常连续系统和 线性时变连续系统 讨论离散化问题。
线性定常连续系统的离散化(1/3)
3.4.1 线性定常连续系统的离散化
本节主要研究线性定常连续系统状态空间模型的离散化,即 研究如何基于采样将线性定常连续系统进行离散化,建立 相应的线性定常离散系统的状态空间模型。
Ch.3 线性系统的时域分析
目录
概述 3.1 线性定常连续系统状态方程的解 3.2 状态转移矩阵及其计算 3.3 线性时变连续系统状态方程的解 3.4 线性定常连续系统的离散化 3.5 线性定常离散系统状态方程的解 3.6 Matlab问题 本章小结
目录(1/1)
线性连续系统状态空间模型的离散化(1/5)
Φ(t τ
t0
)Bu(τ
)dτ
现在只考虑在采样时刻t=kT和t=(k+1)T时刻之间的状态 响应,即对于上式,取t0=kT,t=(k+1)T,于是
(k 1)T
x((k 1)T ) Φ(T )x(kT) Φ[(k 1)T τ ]Bu(τ )dτ kT
精确离散化方法(2/4)
考虑到u(t)在采样周期内保持不变的假定,所以有
线性连续系统状态空间模型的离散化(4/5)
线性连续系统的时间离散化问题的数学实质,就是在一定的 采样方式和保持方式下,由系统的连续状态空间模型来导出 等价的离散状态空间模型,并建立起两者的各系数矩阵之间 的关系式。
为使连续系统的离散化过程是一个等价变换过程,必须满足 如下条件和假设。
在离散化之后,系统在各采样时刻的状态变量、输入变量 和输出变量的值保持不变。
线性连续系统状态空间模型的离散化(2/5)
对于第2种情况的系统,其状态方程既有一阶微分方程组 又有一阶差分方程组。
为了能对这种系统运用离散系统的分析方法和设计 方法,要求整个系统统一用离散状态方程来描述。
由此,提出了连续系统的离散化问题。 在计算机仿真、计算机辅助设计中利用数字计算机
保持器为零阶的,即加到系统输入端的输入信号u(t)在采
样周期内不变,且等于前一采样时刻的瞬时值,故有
u(t)=u(kT) kT≤t<(k+1)T
线性连续系统状Leabharlann 空间模型的离散化(5/5) 采样周期T的选择满足申农(Shannon)采样定理,即 采样频率2/T大于2倍的连续信号x(k)的上限频率。
3.4 线性连续系统状态空间模型的离散化
离散系统的工作状态可以分为以下两种情况。 整个系统工作于单一的离散状态。 对于这种系统,其状态变量、输入变量和输出变量全 部是离散量,如现在的全数字化设备、计算机集成制 造系统等。 系统工作在连续和离散两种状态的混合状态。 对于这种系统,其状态变量、输入变量和输出变量既 有连续时间型的模拟量,又有离散时间型的离散量， 如连续被控对象的采样控制系统就属于这种情况。
x((k+1)T)=(I+AT)x(kT)+BTu(kT)
比较,可知两式对任意的x(kT)和u(kT)成立的条件为
G(T)=(T)=eAT
H(T)
T
Φ(t)dtB
T eAtdtB
0
0
上两式即为精确离散化法的计算式。
精确离散化方法(3/4)—例3-11
例3-11 试用精确离散化方法写出下列连续系统的离散化系 统的状态方程:
(k 1)T
x((k 1)T ) Φ(T )x(kT) Φ[(k 1)T τ ]dτ Bu(kT) kT
对上式作变量代换,令t=(k+1)T-,则上式可记为
T
x((k 1)T ) Φ(T )x(kT) 0 Φ(t)dtBu(kT)
将上式与线性定常离散系统的状态方程
x
0 0
1 0 2x 1u
解 首先求出连续系统的状态转移矩阵:
Φ(t)
L1[(sI
-
A)1]
L1
s 0
-1 1 1 s 2 0
(1- e2t )/2
e2t
精确离散化方法(4/4)—例3-11
根据精确法计算式有
1 (1- e2T )/2
G(T ) (T ) 0
e2T
T
T 1
H (T ) 0 (t)dtB 0 0
主要讨论的问题为两种离散化方法: 精确法和 近似法
线性定常连续系统的离散化(2/3)
线性定常连续系统状态空间模型的离散化,实际上是指在采
样周期T下,将状态空间模型 x Ax Bu y Cx Du
变换成离散系统的如下状态空间模型:
x((k 1)T ) G(T )x(kT) H (T )u(kT) y(kT) C(T )x(kT) D(T )u(kT)
分析求解连续系统的状态方程,或者进行计算机控制 时,都会遇到离散化问题。
线性连续系统状态空间模型的离散化(3/5)
图3-3所示为连续系统化为离散系统的系统框图。
u(t) 保持器
连续系统 x(t)
y(t) 保持器
x(k)
u(k)
y(k)
D/A 数字 A/D 计算机
图 3-3 连续系统离散化的实现