清华大学2013年上半学期分析力学期中考试题目

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数。 （3） （10 分）单摆约束在铅直平面内，该铅直平面绕过摆绳固定点的铅直轴匀速旋转。 （4） （12 分）Oxy 为铅直平面内的直角坐标系，y 轴铅直向上。质量为 m 的质点束缚于白 线
5.（以下五小题中任选三题）利用拉格朗日方程理论讨论下列力学体系的动力学问题。 （指 出自由度，选择广义坐标，导出拉格朗日方程，得到运动积分并说明物理意义） （1） （8 分）质量为 m 的质点分别以两个自然长度为 l，劲度系数为 k 的轻质弹簧与长度为 2l 的光滑细管两端固连，质点可沿细管滑动，吸管固定于水平面上。 （2） （10 分）质量为 m 的质点在中心力场中运动，中心立场������ = (−
THU-2012-2013 学年第二学期分析力学期中考试试题 教师：黄维承 （给出了欧拉角的转动矩阵） （给出了匀质长方体三个过质心的主转动惯量） 说明：1,2 题各含 A，B 两小题，均任选一题，第 3,4 题必做，第 5 题从 5 小题任选三题。 1． （A） （12 分）固定于刚体的坐标系 O-XYZ 的坐标轴与固定于空间的坐标系 O-X0Y0Z0 的坐 标轴对应同向重合时，刚体的三个欧拉角均定义为 0： （1）当刚体转动到 OX,OY 依次与 OX0,OZ0 反向重合，OZ 与 OX0 同向重合的位置时，三个 欧拉角的数值为：进动角=（） ，章动角=（） ，自转角=（） ； （2）当三个欧拉角的值均为 pi/2 时，固连与刚提的坐标轴 OX 与固定于空间的坐标轴（） （）向重合，OY 与（）轴（）向重合，OZ 与（） （）向重合。 （B） （24 分） 高为 h， 顶角为 2α的正圆锥体， （底面半径为 r， r=htanα） 置于一水平平面上， 顶点 O 固定。以侧面在此水平面上做纯滚，以均匀角速率������ = ������1 =常量，绕过顶点 O 的铅直 轴转动。以 O 为原点，建立固定于空间的坐标系 OX0Y0Z0，基矢������3 铅直向上；固定于刚体的 坐标系 OXYZ，基矢 k 沿圆锥体的对称轴。 （1）分析圆锥体所受的约束，确定自由度数，选定广义坐标。 （2）设 t=t0 时欧拉角φ = π，θ = − α，ϑ = 0；试求出圆锥体的运动方程（任意时刻欧拉
（2） 这种平衡是稳定的还是非稳定的？ （3） 如果刚性杆具有质量 M，对夹角α的值会有什么影响？ 4（必做） （20 分）有一棱长为 a 质量为 M 的匀质立方体， （1）以质心为基点，求出转动惯 量张量的所有主轴方程及其主转动惯量的值； （2）以其一个顶点为基点，求出转动惯量张量 的所有主轴方程及其主转动惯量的值。
2 π
角的数值） （3）利用欧拉运动学方程求任意时刻角速度矢量的值（分别用两组基矢表达结果） ； （4）通过计算分别讨论矢量cosϑ������ − ������������������������������，sin������������ + ������������������������������是否保持在水平面内？ 2.（A） （B）任选一题 （A） （10 分）有势中心立场中的质点做平面运动，以力心为原点建立平面直角坐标系，利 用平面直角坐标系写出此指点的牛顿动力学方程， 并由牛顿动力学微分方程推导角动量和机 械能守恒这两个运动积分。
x a sin 0 2 上，在均匀重力场中可以无摩擦地沿摆线滑动。 y a 1 cos
（5） （12 分）四个相同的质点（每个质量均为 m） ，被四根相同的轻质杆（每根长为 2l） ， 光滑地铰接为菱形 ABCD（平面图形） ，A 点固定，AB，AD 两杆的夹角记为2α，C 点可以 自由地在一通过 A 点的光滑铅垂杆上滑Biblioteka Baidu，而整个菱形可以沿铅垂杆 AC 转动，建立空间 直角坐标系，以 A 为原点，O，Z 沿 AC 向下，转角记为φ
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∗ ������3，选择一个适当的直角坐标系 OX1Y1Z1，基矢为（i，j，k） ， （写出基矢间
的变换关系） ，使 Z1=0，从而质点在平面 ox1y1 运动，把此质点的动力学微分方程化为二维 问题。
3（必做） （25 分）固定于前置平面的半圆细钢环（半径为 R） ，穿了两个小球 A，B，重量分 别为 P,Q，用长为 2l 的刚性细轻杆连接（l<R） ，求此系统平衡时与水平面夹角α 的值。并通 过数学运算判断： （1） 如果两球重量不等，整个力学系统偏向那一面？
（B） （25 分）质点在有势中心立场中运动，以力心为原点建立空间直角坐标系 OXYZ，基矢 为（e1，e2，e3） ，利用空间直角坐标系写出此质点的动力学微分方程（三维问题） ，并由牛 顿运动学微分方程推导角动量守恒和机械能守能这两个运动积分。设角动量为������ = 0.5������1 + 0.5������2 +