2018年高考数学破解命题陷阱方法总结 集合的解题技巧
高考数学破解命题陷阱专题01集合的解题技巧(2021学年)
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专题０1 集合的解题技巧一、命题陷阱设置1.元素与集合，集合与集合关系混淆陷阱;2。
造成集合中元素重复陷阱;３.隐含条件陷阱；4。
代表元变化陷阱；5.分类讨论陷阱;6.子集中忽视空集陷阱；7。
新定义问题；8。
任意、存在问题中的最值陷阱。
二、典例分析及训练。
（一）元素与集合，集合与集合关系混淆陷阱例1. 已知{0,1}=⊆则N x x MM=,{|}∈ C.N M∈ B.N MA.M N⊆⊆ D.M N【答案】A陷阱预防:表面看是集合与集合之间的关系，实质上是元素与集合之间的关系,这类题目防范办法是把集合N用列举法表示来.练习1。
集合{|52,},{|53,},S x x m m Z==+∈之间的关==-∈==+∈{|103,}M x x k k Z P x x n n Z系是（)Ａ. S P M=⊂⊂= D。
P M S⊂⊂ B. S P M=⊂ C．S P M【答案】C【解析】∵{|52,},{|53,},{|103,}M x x k k Z P x x n n Z S x x m m Z ==-∈==+∈==+∈，∴{}7,2,3,8,13,18M =--, {}7,2,3,8,13,18P =--， {}7,3,13,23S =-，故S P M ⊂=,故选C.练习2. 对于集合A {246}＝，，，若A a ∈,则6A a -∈,那么a 的值是_______＿． 【答案】2或4【解析】2A ∈,则624A,4A -=∈∈则642A,6A -=∈∈，则660A,-=∈舍去,因此a 的值是2或4（二)集合中元素重复陷阱例2. ,a b 是实数,集合A={a,,1}ba,2{,,0}B a a b =+,若A B =，求20152016a b ＋. 【答案】1－【解析】{}{}20010A B b A a B a a ∴＝，＝，＝，，，＝，， . 21a ∴＝ ，得 1.1a a ±＝＝ 时， {}101A ＝，， 不满足互异性,舍去； 1a ＝－ 时，满足题意。
高考数学破解命题陷阱专题01集合的解题技巧
专题01 集合的解题技巧一、命题陷阱设置1.元素与集合，集合与集合关系混淆陷阱；2.造成集合中元素重复陷阱；3.隐含条件陷阱；4.代表元变化陷阱；5.分类讨论陷阱； 6．子集中忽视空集陷阱； 7.新定义问题；8.任意、存在问题中的最值陷阱. 二、典例分析及训练.（一）元素与集合，集合与集合关系混淆陷阱 例1. 已知{0,1}M =,{|}N x x M =⊆则A.M N ∈B.N M ∈C.N M ⊆D.M N ⊆【答案】A陷阱预防：表面看是集合与集合之间的关系，实质上是元素与集合之间的关系，这类题目防范办法是把集合N 用列举法表示来.练习1.集合{|52,},{|53,},M x x k k Z P x x n n Z ==-∈==+∈{|103,}S x x m m Z ==+∈之间的关系是（ ）A. S P M ⊂⊂B. S P M =⊂C. S P M ⊂=D. P M S =⊂ 【答案】C【解析】∵{|52,},{|53,},{|103,}M x x k k Z P x x n n Z S x x m m Z ==-∈==+∈==+∈，∴{}7,2,3,8,13,18M =--L L ， {}7,2,3,8,13,18P =--L L ， {}7,3,13,23S =-L L ，故S P M ⊂=，故选C.练习2. 对于集合A {246}＝，，，若A a ∈，则6A a -∈，那么a 的值是________. 【答案】2或4【解析】2A ∈，则624A,4A -=∈∈则642A,6A -=∈∈，则660A,-=∈舍去，因此a 的值是2或4（二）集合中元素重复陷阱 例2. ,a b 是实数，集合A={a,,1}ba，2{,,0}B a a b =+，若A B =，求20152016a b ＋. 【答案】1－【解析】{}{}20010A B b A a B a a ∴Q ＝，＝，＝，，，＝，，. 21a ∴＝ ，得 1.1a a ±＝＝ 时， {}101A ＝，， 不满足互异性，舍去； 1a ＝－ 时，满足题意.201520161a b ∴＋＝－ .陷阱预防：对于两个集合相等或子集问题，涉及元素问题，必须要保证集合元素的互异性. 练习1.已知集合3{1,2,},{1,},A m B m B A ==⊆，则m ＝ ____. 【答案】0或2或－1【解析】由B A ⊆得m A ∈，所以3m m =或2m =，所以2m =或1m =-或1m =或0m =，又由集合中元素的互异性知1m ≠.所以0m =或2或－1. 故答案为0或2或－1练习2. 已知集合()}{,0A x y ==，集合(){},B x y ==，集合(){},C x y ==请写出集合A ，B ，C 之间的关系______________.【答案】B C A ≠≠⊂⊂【解析】集合()}{,0A x y ==表示直线10x y --= 上的所有点；集合(){},B x y ==表示直线10x y --= 上满足1{x y ≥≥ 的点；集合(){},C x y ==表示直线10x y --= 上满足0{1x y ≥≥- 的点故B C A ≠≠⊂⊂（三）隐含条件陷阱例3.已知集合()(){}{}210,11A x x x B x Z x =-+<=∈-≤≤，则A B ⋂=（ ） A. {}1,0- B. {}0,1 C. {}1,0,1- D. {}1,2- 【答案】A陷阱预防：注意两个集合代表元的条件，容易忽视集合中元素属于整数的条件. 练习1. 集合(){}()(){},A x f x x B x ff x x ====，则集合A 与集合B 之间的关系（ ）A. A B ⊆B. B A ⊆C. B A ÖD. A B Ö 【答案】A【解析】设a A ∈，则()()(),,a f a f f a f a a a B ⎡⎤=∴==∴∈⎣⎦，说明集合A 的元素一定是集合B 的元素，则A B ⊆，选A.练习2. 已知集合{}2230A x x x =-->，集合{}2Z 4B x x x =∈≤，则()R A B ⋂=ð（ ） A. {}03x x ≤≤ B. {}1,0,1,2,3- C. {}0,1,2,3 D. {}1,2 【答案】C【解析】集合{}2230A x x x =--> {}=31x x x <-或， {}{}2Z 44,3,2,1,0B x x x =∈≤={}|13R A x x =-≤≤ð 故(){}0,1,2,3R A B ⋂=ð故答案为C 。
2018年高考数学破解命题陷阱方法总结 含参数的导数问题解题方法
2018年高考数学破解命题陷阱方法总结 含参数的导数问题解题方法一、陷阱类型 1.导数与不等式证明 2.极值点偏移问题 3.导函数为0的替换作用 4.导数与数列不等式的证明 5.变形后求导 6.讨论参数求参数7.与三角函数有关的含参数的求导问题 8.构造函数问题 9.恒成立求参数二、陷阱类型分析及练习 1.导数与不等式证明例1. 已知函数()f x =ln x +ax 2+(2a +1)x ．（1）讨论()f x 的单调性； （2）当a ﹤0时，证明()324f x a≤--．（2）由（1）知，当a ＜0时，f （x ）在12x a=-取得最大值，最大值为 111()ln()1224f a a a-=---. 所以3()24f x a ≤--等价于113ln()12244a a a ---≤--，即11ln()1022a a-++≤. 设g （x ）=ln x -x +1，则’11g x x =-.当x ∈（0,1）时， ()0g x '>；当x ∈（1，+∞）时， ()0g x '<.所以g （x ）在（0,1）单调递增，在（1，+∞）单调递减.故当x =1时，g （x ）取得最大值，最大值为g （1）=0.所以当x ＞0时，g （x ）≤0.从而当a ＜0时， 11ln 1022a a -++≤，即324fx a≤--. 【放陷阱措施】利用导数证明不等式的常见类型及解题策略：（1）构造差函数()()()h x f x g x =-.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.练习1设函数()1ln x xbe f x ae x x-=+,曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2.(1)求,a b (2)证明: ()1f x > 【答案】（I ）1,2a b ==；（II ）详见解析.试题解析：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()112'ln x x x x a b bf x ae x e e e x x x--=+-+.由题意可得()12f =， ()'1f e =.故1a =， 2b =. （2）证明：由（1）知， ()12ln x x f x e x e x-=+， 从而()1f x >等价于2ln x x x xe e->-. 设函数()ln g x x x =，则()'1ln g x x =+. 所以当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ()'0g x <；当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时， ()'0g x >.故()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，从而()g x 在()0,+∞上的最小值为11g e e⎛⎫=- ⎪⎝⎭.设函数()2x h x xe e-=-，则()()'1xh x e x -=-. 所以当()0,1x ∈时， ()'0h x >；当()1,x ∈+∞时， ()'0h x <.故()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，从而()h x 在()0,+∞上的最大值为()11h e=-. 综上，当0x >时， ()()g x h x >，即()1f x >. 2.极值点偏移问题例2. ．函数()()2ln 1f x x m x =++ .（1）当0m >时，讨论()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，证明： ()21122ln2f x x x >-+ . 【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析. 【解析】试题分析：(2)由题意结合函数的性质可知： 12,x x 是方程2220x x m ++=的两根，结合所给的不等式构造对称差函数()()()()()21241ln 1112ln2,(0)2x x x x x x x ϕ=-++-+--<< ，结合函数的性质和自变量的范围即可证得题中的不等式. 试题解析：函数()f x 的定义域为()()2221,,1x x mf x x++-+∞'=+，（1）令()222g x x x m =++，开口向上， 12x =-为对称轴的抛物线， 当1x >-时， ①11022g m ⎛⎫-=-+≥ ⎪⎝⎭，即12m ≥时， ()0g x ≥，即()0f x '≥在()1,-+∞上恒成立，②当102m <<时，由()222g x x x m =++，得1211,2222x x =--=-+，因为()10g m -=>，所以111122x -<<-<-，当12x x x <<时， ()0g x <，即()0f x '<，（2）若函数()f x 有两个极值点12,x x 且12x x <， 则必有102m <<，且121102x x -<<-<<，且()f x 在()12,x x 上递减，在()11,x -和()2,x +∞上递增， 则()()200f x f <=，因为12,x x 是方程2220x x m ++=的两根， 所以12122,2mx x x x +=-=，即12121,2,x x m x x =--=， 要证()21122ln2f x x x >-+又()()()222222122222ln 124ln 1f x x m x x x x x =++=++()()()()()222222222241ln 1121ln2121ln2x x x x x x x x =+++>--++--=+-+，即证()()()()222222241ln 1112ln20x x x x x -++-+->对2102x -<<恒成立， 设()()()()()21241ln 1112ln2,(0)2x x x x x x x ϕ=-++-+--<< 则()()()4412ln 1ln x x x eϕ=-++-' 当102x -<<时， ()4120,ln 10,ln 0x x e +>+，故()0x ϕ'>，所以()x ϕ在1,02⎛⎫-⎪⎝⎭上递增，故()()1111124ln 12ln2024222x ϕϕ⎛⎫>=⨯-⨯⨯--=⎪⎝⎭， 所以()()()()222222241ln 1112ln20x x x x x -++-+->， 所以()21122ln2f x x x >-+.【防陷阱措施】：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 练习1. 已知函数()bf x ax x=+（其中,a b R ∈）在点()()1,1f 处的切线斜率为1. （1）用a 表示b ；（2）设()()ln g x f x x =-，若()1g x ≥对定义域内的x 恒成立，求实数a 的取值范围； （3）在（2）的前提下，如果()()12g x g x =，证明： 122x x +≥. 【答案】（1）1b a =-；（2）[)1,+∞；（III ）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）由题意()11f a b '=-=即得； （2）()()1ln ln 1a g x f x x ax x x-=-=+-≥在定义域()0,+∞上恒成立，即()min 1g x ≥，由()1g x ≥恒成立，得1a ≥，再证当1a ≥时， ()()min 1g x g =即可；（3）由（2）知1a ≥，且()g x 在()0,1单调递减；在()1,+∞单调递增，当()()12g x g x =时，不妨设1201x x <≤≤，要证明122x x +≥，等价于2121x x ≥-≥，需要证明()()()1212g x g x g x -≤=，令()()()(]2,0,1G x g x g x x =--∈，可证得()G x 在(]0,1上单调递增， ()()10G x G ≤=即可证得.试题解析：（1）()2bf x a x-'=，由题意()111f a b b a =-=⇒=-' （2）()()1ln ln 1a g x f x x ax x x-=-=+-≥在定义域()0,+∞上恒成立，即()min 1g x ≥。
2018年高考数学大题答题技巧
2018年高考数学大题答题技巧高考网为大家提供2018年高考数学大题答题技巧，更多高考资讯请关注我们网站的更新!2018年高考数学大题答题技巧一、三角函数题注意归一公式、诱导公式的正确性(转化成同名同角三角函数时，套用归一公式、诱导公式(奇变、偶不变;符号看象限)时，很容易因为粗心，导致错误!一着不慎，满盘皆输!)。
二、数列题1.证明一个数列是等差(等比)数列时，最后下结论时要写上以谁为首项，谁为公差(公比)的等差(等比)数列;2.最后一问证明不等式成立时，如果一端是常数，另一端是含有n 的式子时，一般考虑用放缩法;如果两端都是含n的式子，一般考虑数学归纳法(用数学归纳法时，当n=k+1时，一定利用上n=k时的假设，否则不正确。
利用上假设后，如何把当前的式子转化到目标式子，一般进行适当的放缩，这一点是有难度的。
简洁的方法是，用当前的式子减去目标式子，看符号，得到目标式子，下结论时一定写上综上：由①②得证;3.证明不等式时，有时构造函数，利用函数单调性很简单(所以要有构造函数的意识)。
三、立体几何题1.证明线面位置关系，一般不需要去建系，更简单;2.求异面直线所成的角、线面角、二面角、存在性问题、几何体的高、表面积、体积等问题时，最好要建系;3.注意向量所成的角的余弦值(范围)与所求角的余弦值(范围)的关系(符号问题、钝角、锐角问题)。
四、概率问题1.搞清随机试验包含的所有基本事件和所求事件包含的基本事件的个数;2.搞清是什么概率模型，套用哪个公式;3.记准均值、方差、标准差公式;4.求概率时，正难则反(根据p1+p2+...+pn=1);5.注意计数时利用列举、树图等基本方法;6.注意放回抽样，不放回抽样;7.注意“零散的”的知识点(茎叶图，频率分布直方图、分层抽样等)在大题中的渗透;8.注意条件概率公式;9.注意平均分组、不完全平均分组问题。
五、圆锥曲线问题1.注意求轨迹方程时，从三种曲线(椭圆、双曲线、抛物线)着想，椭圆考得最多，方法上有直接法、定义法、交轨法、参数法、待定系数法;2.注意直线的设法(法1分有斜率，没斜率;法2设x=my+b(斜率不为零时)，知道弦中点时，往往用点差法);注意判别式;注意韦达定理;注意弦长公式;注意自变量的取值范围等等;3.战术上整体思路要保7分，争9分，想12分。
2018年高考数学破解命题陷阱方法总结 三角函数的图象与性质
2018年高考数学破解命题陷阱方法总结 三角函数的图象与性质一．陷阱类型 1.三角函数的图像变换 2.单调性求法3.与三角函数有关的图像问题4.新定义下的三角函数5.三角函数的对称性6.利用三角函数的性质求值7.已知图像求解析式8.性质的综合应用9.五点作图法10.三角函数中的参数范围及最值问题 二．防陷阱举例 1.三角函数的图像变换例1若将函数2sin2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为 A. ()26k x k Z ππ=-∈ B. ()26k x k Z ππ=+∈ C. ()212k x k Z ππ=-∈ D. ()212k x k Z ππ=+∈ 【答案】B【防陷阱措施】三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数()()sin y A x x R ωϕ=+∈是奇函数()πk k Z ϕ⇔=∈；函数()()sin y A x x R ωϕ=+∈是偶函数()ππ+2k k Z ϕ⇔=∈；函数()()cos y A x x R ωϕ=+∈是奇函数()ππ+2k k Z ϕ⇔=∈；函数()()cos y A x x R ωϕ=+∈是偶函数()πk k Z ϕ⇔=∈.练习1已知函数()()sin (0,)2f x wx w πϕϕ=+><的最小正周期为6π，且取图象向右平移38π个单位后得到函数()sin g x wx =的图象，则ϕ=（ ） A.8π B. 8π- C. 4π D. 4π- 【答案】A练习2把函数22sin cos 66y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图像向右平移(0)ϕϕ>个单位就得到了一个奇函数的图像，则ϕ的最小值是（ ） A.12π B. 6π C. 3π D. 512π【答案】D【解析】()22sin cos cos 2663y f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭将函数()cos 23f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ个单位，所得图象对应的函数()cos 2cos 2233y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=--+=+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭为奇函数，则2,32k k Z ππϕπ-=+∈，即,122k k Z ππϕ=--∈，故1k =- 时， ϕ的最小正值为512π，故选D.2.单调性求法例2. 对于函数f (x )＝12sin2x 2x 有以下三种说法：①(－6π，0)是函数y ＝f (x )的图象的一个对称中心；②函数y ＝f (x )的最小正周期是π；③函数y ＝f (x )在[12π， 712π]上单调递减．其中说法正确的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 3 【答案】C【解析】由题意得,f (x )=12sin2x sin 2x =12sin2x −cos2x )=sin(2x +π3)①其对称中心横坐标满足2x +π3=k π(k ∈Z )即x =－6π+k π2,所以对称中心为：(－6π+k π2,所以①中，纵坐标不对，①错； ②最小正周期T =π，②正确； ③当x ∈[12π， 712π]时, 2x +π3∈[π2,3π2]，为减区间，③正确。
2018年高考数学破解命题陷阱方法总结 快速解决直线与圆锥曲线综合问题的解题技巧
2018年高考数学破解命题陷阱方法总结 快速解决直线与圆锥曲线综合问题的解题技巧 一．命题陷阱1.不用韦达定理与用韦达定理的选择陷阱2.范围不完备陷阱3.圆锥曲线中三角形面积公式选取陷阱4．不用定义直接化简的陷阱（圆锥曲线定义的灵活运用）5.圆锥曲线中的求定点、定直线只考虑一般情况不考虑特殊位置陷阱6.圆锥曲线中的求定值只考虑一般情况不考虑特殊位置陷阱二、知识回顾1.椭圆的标准方程(1) 22221,(0)x y a b a b +=>>，焦点12(,0),(,0)F c F c -，其中c =(2) 22221,(0)x y a b b a+=>>，焦点12(0,),(0,)F c F c -，其中c =2.双曲线的标准方程(1) 22221,(0,0)x y a b a b -=>>，焦点12(,0),(,0)F c F c -，其中c ．(2) 22221,(0,0)x y a b b a-=>>，焦点12(0,),(0,)F c F c -，其中c3．抛物线的标准方程(1) 22222,2,2,2,(0)y px y px x py x py p ==-==->．对应的焦点分别为：(,0),(,0),(0,),(0,)2222p p p p F F F F --. 三．典例分析1.不用韦达定理与用韦达定理的选择陷阱例1. 设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12. （I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D .若APD △的面积为62，求直线AP 的方程. 【答案】 （1）22413y x +=， 24y x =.（2）3630x y +-=，或3630x y --=. （Ⅱ）解：设直线AP 的方程为1(0)x my m =+≠，与直线l 的方程1x =-联立，可得点2(1,)P m --，故2(1,)Q m-.将1x my =+与22413y x +=联立，消去x ，整理得22(34)60m y my ++=，解得0y =，或2634my m -=+.由点B 异于点A ，可得点222346(,)3434m m B m m -+-++.由2(1,)Q m-，可得直线BQ 的方程为22262342()(1)(1)()03434m m x y m m m m --+-+-+-=++，令0y =，解得222332m x m -=+，故2223(,0)32m D m -+.所以2222236||13232m m AD m m -=-=++.又因为APD △的面积为62，故221626232||2m m m ⨯⨯=+，整理得2326||20m m -+=，解得6||3m =，所以63m =±. 所以，直线AP 的方程为3630x y +-=，或3630x y --=. 【陷阱防范】：分析题目条件与所求关系，恰当选取是否使用韦达定理练习1. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，且椭圆上任意一点到左焦点的最大距离为21+，最小距离为21-.（1）求椭圆的方程；（2）过点10,3S ⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线l 交椭圆C 于,A B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q ，使得以线段AB 为直径的圆恒过点Q ?若存在，求出点Q 的坐标：若不存在，请说明理由.【答案】(1) 椭圆方程为2212x y +=;(2) 以线段AB 为直径的圆恒过点()0,1Q .下面证明()0,1Q 为所求：若直线l 的斜率不存在，上述己经证明. 若直线l 的斜率存在，设直线1:3l y kx =-， ()()1122,,,A x y B x y ， 由221{ 3220y kx x y =-+-=得()2291812160k x kx +--=，()22144649180k k ∆=++>，1212221216,189189k x x x x k k -+==++， ()()1122,1,,1QA x y QB x y =-=-， ()()121211QA QB x x y y ⋅=+--()()21212416139k k x x x x =+-++ ()22216412161091839189k k k k k -=+⋅-⋅+=++. ∴QA QB ⊥，即以线段AB 为直径的圆恒过点()0,1Q .练习2.设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12. （I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D .若APD △的面积为62，求直线AP 的方程.【答案】 （1）22413y x +=， 24y x =.（2）3630x y +-=，或3630x y --=. 【解析】（Ⅰ）设F 的坐标为(,0)c -.依题意，12c a =，2p a =，12a c -=，解得1a =，12c =，2p =，于是22234b ac =-=.所以，椭圆的方程为22413y x +=，抛物线的方程为24y x =. 练习3. 已知椭圆1C ： 2214x y +=，曲线2C 上的动点(),M x y 满足： ()()2222232316x y x y +++-=.（1）求曲线2C 的方程；（2）设O 为坐标原点，第一象限的点,A B 分别在1C 和2C 上， 2OB OA =，求线段AB 的长.【答案】(1) 221164y x +=2105【解析】（1）由已知，动点M 到点()0,23P-， ()0,23Q 的距离之和为8，且8PQ <，所以动点M 的轨迹为椭圆，而4a =， 23c =，所以2b =，故椭圆2C 的方程为221164y x +=. （2）,A B 两点的坐标分别为()(),,,A A B B x y x y ，由2OB OA =及（1）知， ,,O A B 三点共线且点,A B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y kx =.将y kx =代入2214x y +=中，得()22144k x +=，所以22414A x k =+， 将y kx =代入221164y x +=中，得()22416k x +=，所以22164B x k=+， 又由2OB OA =，得224B A x x =，即22164414k k =++， 解得222441,5,5,5,55555k A B ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭易得， 故224242255551055555AB ⎛⎫⎛⎫=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2.范围不完备陷阱例2. 已知椭圆C ： 22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，以椭圆长、短轴四个端点为顶点为四边形的面积为43.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，当动点M 在定直线4x =上运动时，直线AM BM 、分别交椭圆于两点P 、Q ，求四边形APBQ 面积的最大值.【答案】（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ） 6.【解析】（Ⅰ）由题设知， 2,243a c ab ==， 又222a b c =+，解得2,3,1a b c ===，故椭圆C 的方程为22143x y +=. 故四边形APBQ 的面积为1•22P Q P Q S AB y y y y =-=-= 221862273tt tt ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭ ()()()()()22222222248948948912273912)9t t t t t tt tt t t t ++===+++++++.由于296t t λ+=≥，且12λλ+在[)6,+∞上单调递增，故128λλ+≥， 从而，有48612S λλ=≤+. 当且仅当6λ=，即3t =，也就是点M 的坐标为()4,3时，四边形APBQ 的面积取最大值6. 【陷阱防范】：涉及含参数问题，求最值或范围时要注意运用均值不等式还是运用函数的单调性. 练习1.设点10,4F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，动圆A 经过点F 且和直线14y =-相切，记动圆的圆心A 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）设曲线C 上一点P 的横坐标为(0)t t >，过P 的直线交C 于一点Q ，交x 轴于点M ，过点Q 作PQ 的垂线交C 于另一点N ，若MN 是C 的切线，求t 的最小值. 【答案】（1）2x y =（2）min 23t =【解析】(1)过点A 作直线AN 垂直于直线14y =-于点N ，由题意得AF AN =，所以动点A 的轨迹是以F 为焦点，直线14y =-为准线的抛物线.所以抛物线C 得方程为2x y =. ()()()()210,10kx x k t k k t kx k k t x k t ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+---+=+-+--=⎣⎦⎣⎦⎣⎦，解得()1k k t x k-+=-，或x k t =-.()()()()()()2222222221111,,11MN k k t k kt k k t k k t k N k k k t k k t kt k t k k k⎡⎤-+⎣⎦⎛⎫-+⎡⎤-+-+⎣⎦ ⎪∴-∴==-+ ⎪-+----⎝⎭. 而抛物线在点N 的切线斜率， '|k y = ()()122k k t k k t x kk-+---=-=， MN 是抛物线的切线，()()()22221221k kt k k t kk t k -+---∴=--，整理得()2222120,4120k kt t t t ++-=∴∆=--≥，解得23t ≤-（舍去），或min 22,33t t ≥∴=. 练习2. 已知双曲线22221x y C a b-=：33，0)是双曲线的一个顶点。
【高考宝典】2018年高考数学总复习之解题方法(精品)
2018年高考数学总复习之解题方法（精品）熟悉这些解题小结论，启迪解题思路、探求解题佳径，总结解题方法，防止解题易误点的产生，对提升高考数学成绩将会起到立竿见影的效果。
一、集合与简易逻辑1.集合的元素具有无序性和互异性.2.对集合A B 、，A B =∅ 时，你是否注意到“极端”情况：A =∅或B =∅；求集合的子集时是否注意到∅是任何集合的子集、∅是任何非空集合的真子集.☹3.对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n2，12-n ，12-n .22-n4.“交的补等于补的并，即()U U U C A B C A C B = ”；“并的补等于补的交，即()U U U C A B C A C B = ”.5.判断命题的真假关键是“抓住关联字词”；注意：“不‘或’即‘且’，不‘且’即‘或’”. 6.“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“一真一假”.7.四种命题中“‘逆’者‘交换’也”、“‘否’者‘否定’也”.原命题等价于逆否命题，但原命题与逆命题、否命题都不等价.反证法分为三步：假设、推矛、得果.注意：命题的否定是“命题的非命题，也就是‘条件不变，仅否定结论’所得命题”，但否命题是“既否定原命题的条件作为条件，又否定原命题的结论作为结论的所得命题”☹.8.充要条件二、函 数1.指数式、对数式，m a =1m nm aa -=，log a Na N = log (0,1,0)b a a N N b a a N =⇔=>≠>，.01a =，log 10a =，log 1a a =，lg 2lg51+=，log ln e x x =，log log log c a c b b a=，.log log mn a a n b b m =.2.(1)映射是“‘全部射出’加‘一箭一雕’”；映射中第一个集合A 中的元素必有像，但第二个集合B 中的元素不一定有原像（A 中元素的像有且仅有下一个，但B 中元素的原像可能没有，也可任意个）；函数是“非空数集上的映射”，其中“值域是映射中像集B 的子集”.(2)函数图像与x 轴垂线至多一个公共点，但与y 轴垂线的公共点可能没有，也可任意个.(3)函数图像一定是坐标系中的曲线，但坐标系中的曲线不一定能成为函数图像. (4)原函数与反函数有两个“交叉关系”：自变量与因变量、定义域与值域.求一个函数的反函数，分三步：逆解、交换、定域（确定原函数的值域，并作为反函数的定义域）.注意：①1()()f a b f b a -=⇔=，1[()]f f x x -=，1[()]f f x x -=，但11[()][()]f f x f f x --≠.②☹函数(1)y f x =+的反函数是1()1y f x -=-，而不是1(1)y f x -=+. 3.单调性和奇偶性(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同. 偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.单调函数的反函数和原函数有相同的性；如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数.注意：（1）确定函数的奇偶性，务必先判定函数定义域是否关于原点对称☹.确定函数奇偶性的常用方法有：定义法、图像法等等.对于偶函数而言有：()()(||)f x f x f x -==.（2）若奇函数定义域中有0，则必有(0)0f =.即0()f x ∈的定义域时，(0)0f =是()f x 为奇函数的必要非充分条件.（3）确定函数的单调性或单调区间，在解答题中常用：定义法（取值、作差、鉴定）、导数法；在选择、填空题中还有：数形结合法(图像法)、特殊值法等等.（4）函数单调是函数有反函数的一个充分非必要条件.(5)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”.(6)函数单调是函数有反函数的充分非必要条件，奇函数可能反函数，但偶函数只有()0({0})f x x =∈有反函数；既奇又偶函数有无穷多个（()0f x =，定义域是关于原点对称的任意一个数集）.(7)复合函数的单调性特点是：“同性得增，增必同性；异性得减，减必异性”.复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”. 复合函数要考虑定义域的变化。
备战2018年高考数学(理)之高频考点解密-解密01 集合 含解斩
备战2018年高考数学（理）之高频考点解密以选择题或填考点1 集合的含义及集合间的基本关系题组一集合的含义调研1 已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{x|x2−3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合()UA Bð中元素的个数为A．1 B．2C．3 D．4【答案】B☆技巧点拨☆解决集合概念问题的一般思路（1）研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合，然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的意义． 常见的集合的意义如下表：（2）利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中的元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性.题组二 求集合的子集调研2 设全集U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，3，5}，则U A ð的所有非空子集的个数为 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【答案】B题组三 由集合关系求参数的取值范围调研3 已知全集为R ，集合M ＝{x ∈R |−2＜x ＜2}，P ＝{x |x ≥a }，并且M P ⊆R ð，则实数a 的取值范围是________． 【答案】a ≥2【解析】由题意得M ＝{x |−2＜x ＜2}，P R ð＝{x |x ＜a }．∵M ⊆P R ð，∴由数轴知a ≥2.☆技巧点拨☆集合间的基本关系在高考中时有出现，常考查求子集、真子集的个数及利用集合关系求参数的取值范围问题，主要以选择题的形式出现，且主要有以下两种命题角度：(1)求集合的子集：若集合A 中含有n 个元素，则其子集个数为2n个，真子集个数为21n-个，非空真子集个数为22n-个.(2)根据两集合关系求参数：已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析，而且经常要对参数进行讨论．注意区间端点的取舍．注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解.考点2 集合的基本运算题组一 离散型或连续型数集间的交、并、补运算调研1 集合A ＝{1，2}，B ＝{1，2，3}，C ＝{2，3，4}，则(A ∩B )∪C ＝ A ．{1，2，3} B ．{1，2，4} C ．{2，3，4}D ．{1，2，3，4}【答案】D【解析】A ∩B ＝{1，2}，(A ∩B )∪C ＝{1，2，3，4}，故选D ．调研2 已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |−2≤x ≤3}，B ＝{x |x <−1或x >4}，那么集合()U A B ð等于A ．{x |−2≤x <4}B ．{x |x ≤3或x ≥4}C ．{x |−2≤x <−1}D ．{x |−1≤x ≤3}【答案】D题组二 点集的交、并、补运算调研3 若集合M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝0}，P ＝{(x ，y )|x −y ＝2}，则M ∩P 等于 A ．(1，−1) B ．{x ＝1或y ＝−1} C ．{1，−1}D ．{(1，−1)}【答案】D【解析】M ∩P 的元素是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0x －y ＝2的解，∴M ∩P ＝{(1，−1)}．题组三 已知集合的运算结果求集合或参数调研4 已知集合A 、B 均为U ＝{1，3，5，7，9}的子集，且A ∩B ＝{3}，()U B A ð＝{9}，则A ＝________.【答案】{3，9}【解析】由Venn 图知A ＝{3，9}.调研5 设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≤1或x ≥3}，集合B ＝{x |k ＜x ＜k ＋1，k ＜2}，且()U B A ≠∅ð，则A ．k ＜0B ．k ＜2C ．0＜k ＜2D ．−1＜k ＜2【答案】C☆技巧点拨☆有关集合运算的试题，在高考中多以客观题的形式呈现，常与函数、方程、不等式等知识综合，试题难度不大，多为低档题，且主要有以下几个命题角度：(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn 图或交、并、补的定义求解； (2)点集的运算常利用数形结合的思想或联立方程组进行求解； (3)连续型数集的运算，常借助数轴求解；(4)已知集合的运算结果求集合，常借助数轴或Venn 图求解；(5)根据集合运算结果求参数，先把符号语言转化成文字语言，然后适时应用数形结合求解.1．（辽宁省丹东市五校协作体2018届高三上学期联考）已知集合{}20,1,4,{|,}A B y y x x A ===∈，则AB =A ．{}0,1,16B ．{}0,1C ．{}1,16D ．{}0,1,4,16【答案】D【解析】由题意得{}0,1,16B =，所以{}0,1,4,16A B =.故选D ．2．（安徽省皖南八校2018届高三第二次（12月）联考）已知集合{}220A x x x x =+-≤∈,Z ，{}2,B x x k k ==∈Z ，则A B 等于A ．{}01，B ．{}42--，C ．{}10-，D ．{}20-，【答案】D3．（山东省淄博市部分学校2018届高三12月摸底考试）设集合{}2|5360A x x x =--≤，[)31B =-，，则()AB =RðA ．[−4， −3)B ．[−9， −3)C ．[−4， −3)∪[1， 9]D ．[−9， −3)∪[l ， 4]【答案】C【解析】∵{}2|5360A x x x =--≤()[)[4,9],,31,,B =-=-∞-+∞R ð[)[]()4,31,9,A B ∴=--R ð所以选C ．4．（吉林省榆树市第一高级中学2018届高三第三次模拟考试）设全集{}1,3,5,6,9U =，{}3,6,9A =，则图中阴影部分表示的集合是A ．{1，3，5}B ．{1，5，6}C ．{6，9}D ．{1，5}【答案】D5．（广东省五校（阳春一中、肇庆一中、真光中学、深圳高级中学、深圳二高）2018届高三12月联考）已知集合(){}2|log 31A x y x ==-，{}22|4B y x y =+=，则A B =A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．1,23⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】∵(){}2|log 31A x y x ==-1,,3⎛⎫=+∞ ⎪⎝⎭{22|4B y x y =+=1,23A B ⎛= ⎝C ．6．（广西贵港市2018届高三上学期12月联考）集合{}1,2,3A =，若{}1,2A B =，{}1,2,3,4,5A B =，则集合B 中的元素个数为 A ．2 B ．3 C ．4D ．5【答案】C7．（河南省平顶山市、许昌市、汝州市2017−2018学年高三上学期第三次联考）已知函数e xy =的值域为集合A ，不等式260x x --<的解集为集合B ，则A B =A ．{|20}x x -<<B ．{|23}x x -<<C ．{}|2x x >-D ．{}|0x x >【答案】C【解析】易知函数e xy =的值域为{}|0A y y =>，不等式260x x --<的解集为{|23}B x x =-<<，所以{}|2AB x x =>-，故选C ．8．（广西壮族自治区贺州市桂梧高中2018届高三上学期第四次联考）已知集合{}0,1,2,3,4,5A =，{}2|280B x x x =--<，则A B 的一个真子集为A ．{}5B ．{}3,4C ．{}1,2,3D ．{}0,1,2,3【答案】C【解析】∵{}{}2|280|24B x x x x x =--<=-<<，∴{}0,1,2,3A B =.结合各选项可得集合{}1,2,3为AB 的真子集.故选C ．9．（江西省新余市第一中学2018届高三毕业班第四次模拟考试）已知集合{}2|40 A x x x =-<，{}| B x x a =<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是 A ．(]0,4 B ．()8,4- C ．[)4,+∞D ．()4,+∞【答案】C 【解析】{}2|40 A x x x =-<，∴由240x x -<，解得04x <<，即{}|0 4 A x x =<<，{}| B x x a =<，A B ⊆，4a ∴≥，故实数a 的取值范围是[)4,+∞，故选C ．10．（四川省成都市第七中学2018届高三上学期一诊）已知集合{|},A x x a =<2{|320},B x x x =-+<若,A B B =则实数a 的取值范围是A ．1a <B ．1a ≤C ．2a >D ．2a ≥【答案】D11．（湖北省八校2018届高三上学期第一次联考（12月））已知集合{}*2|30 A x x x =∈-<N ，则满足条件B A⊆的集合B 的个数为 A ．2 B ．3 C ．4D ．8【答案】C【解析】∵{}{}*2|30 1,2A x x x =∈-<=N ，又B A ⊆，∴集合B 的个数为224=个，故选C ．12．（江苏省溧阳市2017−2018学年高三第一学期阶段性调研测试）设集合{}{}3,6,24A B x ==≤<，则A B =____________．【答案】{}3【解析】由交集的定义可得{}3AB =.13．（上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试）已知集合{}{}1,2,5,2,A B a ==，若{}1,2,3,5AB =，则a =____________． 【答案】3【解析】因为集合{}{}1,2,52,A B a ==，，且{}1,2,3,5AB =，所以3a =，故答案为3.14．（江苏省常州市武进区2018届高三上学期期中考试）若集合{}22|8212 x x aA x -++=∈≤≤Z 中恰有唯一的元素，则整数a 的值为____________． 【答案】2【解析】因为集合{}22|8212 x x aA x -++=∈≤≤Z 中恰有唯一的元素，且a 为整数，所以223x x a -++=有唯一解，则44(3)0a ∆=--=，2a ∴=，故答案为2.15．（2017−2018学年度第一学期江苏省常州北郊华罗庚江阴高中三校联考）已知关于x 的不等式230x x t -+≤的解集为A ，若(]1A -∞≠∅，，则实数t 的取值范围是____________．【答案】(],2-∞16．（安徽省滁州市2018届高三9月联合质量检测）若集合()2{,|231}A x y y x x ==-+， (){,|}B x y y x ==，则集合A B 中的元素个数为____________．【答案】2【解析】集合()2{,|231}A x y y x x ==-+，(){,|}B x y y x ==均表示的是点集，即曲线上的点构成的集合，则集合A B 即为求两函数图象的交点.联立方程得：2231y x x y x⎧=-+⎨=⎩，22410x x -+=，由16880∆=-=>知两函数图象有两个交点，所以集合A B 中的元素个数为2.1．（2017新课标全国Ⅰ理科）已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B =R C ．{|1}AB x x =>D ．AB =∅【答案】A【解析】由31x <可得033x <，则0x <，即{|0}B x x =<，所以{|1}{|0}AB x x x x =<<{|0}x x =<，{|1}{|0}{|1}A B x x x x x x =<<=<，故选A ．【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理． 2．（2017新课标全国Ⅱ理科）设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1AB =，则B =A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,5【答案】C3．（2017新课标全国Ⅲ理科）已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│，B ={}(,)x y y x =│，则A B 中元素的个数为A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【解析】集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆221x y +=与直线y x =相交于两点22⎛⎝⎭，22⎛-- ⎝⎭，则A B 中有2个元素.故选B ． 【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.4．（2016新课标全国I 理科）设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =A ．3(3,)2-- B ．3(3,)2- C ．3(1,)2D ．3(,3)2【答案】D【解析】因为23{|430}={|13},={|},2A x x x x xB x x =+<<<>- 所以33={|13}{|}={|3},22AB x x x x x x <<><<故选D ．【名师点睛】集合是每年高考中的必考题，一般以基础题的形式出现，属得分题.解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式，再进行运算，如果是不等式的解集、函数的定义域及值域等有关数集之间的运算，常借助数轴求解.5．（2016新课标全国Ⅱ理科）已知集合{1,23}A =,，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B =A ．{1}B ．{12}， C ．{0123}，，，D ．{10123}-，，，， 【答案】C6．（2016新课标全国Ⅲ理科）设集合{}{}|(2)(3)0,|0S x x x T x x =--≥=>，则S I T = A ．[2，3] B ．（−∞，2]U [3，+∞） C ．[3，+∞） D ．（0，2]U [3，+∞） 【答案】D【解析】由(2)(3)0x x --≥解得3x ≥或2x ≤，所以{|23}S x x x =≤≥或， 所以{|023}ST x x x =<≤≥或，故选D ．【技巧点拨】研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化．7．（2015新课标全国Ⅱ理科）已知集合{21,01,2}A =--,,，{}(1)(2)0B x x x =-+<，则A B =A ．{}1,0-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,2【答案】A。
2018届高考数学二轮复习快速结题法——九招搞定选择题 答案与解析
答案与解析招式一排除法1.B【解析】M∩N⊆M,故排除C,D,当x=1时,2x+1=4,故1∉N,排除A,故选B.2.B【解析】由于f(x)=x2-3|x|-10是偶函数,所以不等式f(x)>0,即x2>3|x|+10的解集必是某个关于原点对称的集合(-a,a)或(-∞,-a)∪(a,+∞),于是选项C不正确.此外,由于x=0不满足所给不等式,所以选项A,D都不正确.故选B.3.B【解析】因y=a|x|中a>1,所以a|x|≥1,排除A,C;当x≥0时,由指数函数图象易知D不正确.故选B.4.C【解析】根据奇函数定义排除A,再根据减函数定义可排除B,D(因为D不具有单调性,B的单调性不确定).故选C.招式二特例法1.C【解析】令x=y=0,可得f(0)=0;令x=1,y=-1,则f(0)=f(1)+f(-1)-2,且f(1)=2,解得f(-1)=0;f(-2)=f((-1)+(-1))=f(-1)+f(-1)+2=2,f(-3)=f((-2)+(-1))=f(-2)+2×(-1)×(-2)=6.2.D【解析】结论中不含n,故本题结论的正确性与n取值无关,可对n取特殊值,如n=1,此时a1=48,a2=S2-S1=12,d=-36,a3=a1+2d=-24,所以前3n项和为36.故选D.3.A【解析】令x=4,得m=12log a4=log a2,n=log a52,p=log a85,又∵52>2>85,且y=log a x为减函数,则p>m>n.4.B【解析】(1)取特殊值a=3,b=4,c=5,则cos A=45,cosC=0,cos A+cos C1+cos A cos C =45;(2)取特殊角A=B=C=60°,cos A=cosC=12,cos A+cos C1+cos A cos C=45.故选B.招式三数形结合法1.A【解析】利用数轴,如图所示阴影部分即为所求交集,即A∩B=[0,2].2.C【解析】圆(x+2)2+y2=1,画出图形如图所示,又直线倾斜角小于45°,可解.故选C.3.C【解析】∵2-x+x2=3,∴2-x=3-x2,作y=2-x及y=3-x2的图象,由图知原方程有两个实数解.4.B【解析】如图所示,因为y=lg|x|是偶函数,又当x∈(0,+∞)时,y=lg|x|单调递增,当x∈(-∞,0)时,y=lg|x|单调递减.故选B.5.A【解析】根据题意不妨设y=x+1+k,y=x.如图所示,将y=x+1的图象向下平移一个单位长度即可,所以有k<-1.招式四验证法1.B【解析】当x=0时,y>0,C,D选项不对,当x=1时,y=0,A 项不对,∴y=sin(1-x).故选B.2.D【解析】令n=1,A项a1=-23,B项a1=-43,C项a1=-53,只有D项正确.故选D.3.D【解析】把各个点一一代入验证,不能使不等式成立的即是所求,将(2,0)代入不等式得6<6,不等式不成立,所以点(2,0)不在3x+2y<6表示的平面区域内,故选D.4.B【解析】取n=1时,由条件得a1=S1=6,但由选项A得a1=5.故正确答案应为a n=6(n=1),6n-1(n≥2).故选B.5.B【解析】分别对每个选项进行代入验证.可得B正确,故选B.招式五估算法1.C【解析】由题意,这列数是108,88,98,93,95.5,94.25, 94.875,…,由此可见,这一列数中第六个与第七个数大于94小于95.因此,由平均数的性质可知后面的这些数都大于94小于95.根据题意,没有必要准确算出第28个数,只需知道整数部分,所以第28个数的整数部分是94.故选C.2.A【解析】由题可知,当x≥110时,永远大于等于零,又当x≥10时1-lg x就开始为负值了,因此可估算当x无穷大时均可成立.故选A.3.D【解析】由于已知等式的形式,猜测该三角形为等边三角形的可能性较大,进一步判断可得答案,故选D.4.C【解析】取函数F(x)=12x−x13,当x=0,13,12时,均有F(x)>0,而当x=1,2时,有F(x)<0,故选C.招式六等价转化法1.D【解析】依题意,V A-A1B1D1=13S△A1B1D1·AA1=1 3V ABD-A1B1D1,可知V A-BB1D1D=23V ABD-A1B1D1.又V ABD-A1B1D1=S△ABD·AA1=12×3×3×2=9,所以V A-BB1D1D=2 3V ABD-A1B1D1=23×9=6,即四棱锥A-BB1D1D的体积为6.2.D【解析】设x=t,则原不等式可转化为at2-t+32<0,∴a>0,且2与b(b>4)是方程at2-t+32=0的两根,由此可得a=18,b=36.3.A【解析】把不等式a(x2+1)+b(x-1)+c>2ax化为a(x-1)2+b(x-1)+c>0,其结构与原不等式ax2+bx+c>0相同,则只需令-1<x-1<2,得0<x<3,故选A.4.A【解析】本题将求最值问题转化为计算点到直线的距离问题,利用公式d=00A2+B2即可求解.本题中的点为原点(0,0),直线为2x+y+5=0,故d=5=5,故选A.5.D【解析】题设条件等价于点(0,1)在圆内或圆上,或等价于点(0,1)到圆(x-a)2+y2=2a+4的圆心(a,0)的距离d=2+1≤2a+4,解得-1≤a≤3.6.D【解析】该问题等价于把12个相同的小球分成4堆,故在排成一列的12个小球之间的11个空中插入3块隔板即可,即C113=165.招式七正难则反法1.B【解析】由题得三角形的面积为S=12×6×4=12,而在三角形绿化地中小花猫与三角形三个顶点的距离均不超过2 m 的区域为如图中的阴影部分所示.又因为A+B+C=180°,所以阴影部分合在一起是一个半径为2 m的半圆,其对应的面积为T=12π×22=2π,结合几何概型与对立事件的概率知,所求概率P=1-TS =1-π6.2.D【解析】同时掷出8颗骰子,出现的点数都为1的概率为168,出现的点数不全为1的概率为1-168;4次掷出的8颗骰子的点数都不全为1的概率为1-1684,4次至少有一次掷出的8颗骰子的点数全为1的概率为1-1-1684,故选D.3.C【解析】因为只有一人获奖,所以丙、丁中只有一人说对了,同时甲、乙中只有一人说对了,假设乙说的对,这样丙说就错了,丁就说对了,也就是甲也说对了,与甲说错了相矛盾,所以乙说错了,从而知甲、丙两位歌手说的话是对的,所以丙为获奖歌手.故选C.4.B【解析】对于A,若存在直线n,使n∥l且n∥m,则有l ∥m,与直线l,m异面相矛盾;对于C,过点P与l,m都相交的直线不一定存在,如图,在正方体中ABCD-A'B'C'D'中,设AD为直线l,A'B'为直线m,若点P在P1点处,则无法作出直线与两直线都相交;对于D,若P在P2点,则由图中可知直线CC'及D'P2均与l,m异面.招式八构造法1.B【解析】由a n=3-a n-12得1-a n=-12(1-a n-1),又1-a1=12≠0,所以数列{1-a n}是首项为12,公比为-12的等比数列,∴a n=1-(1-a1)·-12n-1=1+-12n.2.A【解析】构造函数f(x)=x3+2012x,x∈R,则函数f(x)在定义域上单调递增且是奇函数.由题意知f(a7-1)=1,f(a2006-1)=-1,得a7-1=1-a2006,即a7+a2006=2.故S2012=(a1+a2012)×20122=(a7+a2006)×20122=2012.3.A【解析】不等式x2-3>ax-a对∀x∈[3,4]恒成立,得a(x-1)<x2-3,a<x 2-3x-1,令t=x-1∈[2,3],得x=t+1,a<(t+1)2-3t=t-2t+2,t∈[2,3]恒成立,故a< t-2t +2min,t∈[2,3],当t=2时, t-2t+2min=3,则a<3,故实数a的取值范围是(-∞,3).4.B【解析】依题意,由f(x)=3x-22x-1,得f(x)+f(1-x)=3x-22x-1+3(1-x)-2 2(1-x)-1=3x-22x-1+1-3x1-2x=3.令S=f12012+f22012+…+f20112012,得S=f20112012+f20102012+…+f12012,2S=3×2011,所以S=2011×32=60332.招式九直接法1.B【解析】令S=a7+a8+a9,由等差数列性质知S3,S6-S3,S9-S6成等差数列,即9,27,S成等差数列,所以S=45,故选B.2.B【解析】原式=i+12-2+23i=-32+12+23i,故在复平面内,复数i1+i +(1+3i)2对应的点为-32,12+23,故选B.3.D【解析】根据双曲线的定义可得(2-m)(m-1)<0,∴m>2或m<1.4.A【解析】由函数f(x)=sinωx+π3(ω>0)的最小正周期为π得ω=2,由2x+π3=kπ得x=12kπ-π6,对称点为12kπ-π6,0(k∈Z),当k=1时对称点为π3,0,故选A.模拟演练一1.B【解析】(排除法)因为M=m∈Z|-3<m<2={-2,-1,0,1},则M∩N一定不含有2,故排除C,D项,同时会发现M∩N一定会有-1,故排除A项,故选B.(直接法)集合M=m∈Z|-3<m<2={-2,-1,0,1},N=n∈Z|-1≤n≤3={-1,0,1,2,3},则M∩N={-1,0,1},故选B.2.D【解析】(直接法)(a+i)2i=(a2+2a i-1)i=(a2-1)i-2a.∵(a+i)2i为正实数,∴a2-1=0,-2a>0,∴a=-1,故选D.3.B【解析】(排除法)A项:f(x)=2x不是奇函数;C项:y=-sin x在[-1,1]上是减函数;D项:y=-1x定义域中不包括0.所以A,C,D不正确.故选B.4.A【解析】(直接法)根据三视图的特点知原图形是正六棱锥,其侧棱长为2,底面正六边形相对顶点的连线为2,所以棱锥高为3,也为侧(左)视图等腰三角形的高,而侧(左)视图的底为正六边形两平行边之间的距离3,所以该几何体的侧(左)视图的面积为12×3×3=32.故选A.5.C【解析】(数形结合法)现要统计的是身高在160~180cm之间的学生的人数,即是要计算A4,A5,A6,A7的和,故流程图中空白框应是“i<8?”,当i<8时就会返回进行叠加运算,当i≥8将数据直接输出,不再进行任何的返回叠加运算,此时已把数据A4,A5,A6,A7叠加起来送到s中输出,故选C.6.B【解析】(直接法)BC=AC−AB=(-1,-1),BD=AD−AB=BC−AB=(-3,-5).故选B.7.B【解析】(数形结合法)如图所示,过点M做MM1垂直于抛物线的准线,垂足为M1,所以|MF|=|MM1|,所以|MF|+|MA|=|MM1|+|MA|,当A,M,M1三点在一条直线上时,|MF|+|MA|取得最小值,此时y M =2,x M =y M 22=2,即M (2,2).故选B.8.C 【解析】(构造法)因为{a n }是等比数列,所以S 3,S 6-S 3,S 9-S 6也成等比数列,即(S 6-S 3)2=S 3(S 9-S 6),将S 6=12S 3代入整理得S 9S 3=34,故选C. 9.A 【解析】(验证法)关于A,函数y=sin 2x=cos π2-2x =cos 2x-π2,向左平移5π12个单位长度,有y=cos 2 x +5π12 -π2 =cos 2x+π3,故选A . 10.D 【解析】(排除法)∵a>b>0,∴排除B 选项;又∵c= 2= a 2-b 2,∴排除A,C 选项,∴D 项正确.11.D 【解析】(直接法)一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上,正四棱柱的体对角线的长即为球的直径,又∵正四棱柱底面边长为1cm,设正四棱柱的高为h ,∴2R=2=2+12+ℎ2解得h=2,∴该棱柱的表面积为2+42cm2,故选D.12.B【解析】(特例法)由a n-2a n+1+a n+2=0得a1-2a2+a3=0,又∵a1=2,a1+a2+a3=12,∴a2=4,a3=6,当n=1时,b1=4a1a2+a1=42×4+2=52.当n=1时,A项,S1=1+12+2=72;B项,S1=1-12+2=52=b1;C项,S1=1+2=3;D项,S1=1-2=-1,故选B.模拟演练二1.C【解析】(排除法)由A∩(∁U B)的意义可得元素是属于集合A,则一定不含元素5,故可以排除B,D项,再由A∩(∁U B)中的元素不属集合B,则一定不含元素2,可排除A项.(直接法)∵U={1,2,3,4,5},∴∁U B={3,4,5},∴A∩(∁U B)={3,4}.(数形结合法)根据题意可画出如图所示的韦恩图,由图可知A∩(∁U B)={3,4}.2.A【解析】(构造法)要使f(x)=e x+ln x+2x2+mx+1在(0,+∞)上单调递增,则f'(x)=e x+1x+4x+m≥0在(0,+∞)上是恒成立的,即m≥-e x+1x +4x ,而e x+1x+4x>5,则可得m>-5,故p是q的充分不必要条件.故选A.3.C【解析】(直接法)由三视图可知该几何体是由一个三棱柱和半圆柱组合而成.由题图知三棱柱的高为2,底面是底为2,腰长为2的等腰直角三角形;半圆柱的底面半径为1,高为2,故该几何体的表面积为2×2+2×12×22+π×122×2+π×1×2=2+42+3π.4.A【解析】(特例法)由x2+y2-2x-4y=0得(x-1)2+(y-2)2=5,因为直线l将圆平分,故直线过圆心,当k=0时,直线与x轴平行,直线不过第四象限,当k=2时,直线经过原点且不过第四象限,故选A.(直接法)由x2+y2-2x-4y=0得(x-1)2+(y-2)2=5.因为直线l将圆平分,故直线过圆心,则设直线方程为y-2=k(x-1),即y=kx+2-k,要使直线不过第四象限,k≥0,且直线在y轴的截距在[0,2]之间,故0≤2-k≤2,得0≤k≤2.5.C【解析】(数形结合法)由统计图可知,100株树木中,底部周长小于110 cm的树木的频率为(0.01+0.02+0.04)×10=0.7,所以株数=0.7×100=70(株).6.D【解析】(直接法)由余弦定理得cos B=a 2+c2-b22ac,∴a2+c2-b2=2ac cos B,∴2ac cos B·tan B=3ac,∴sin B=32,又∵角B是三角形的内角,∴B=π3或2π3,故选D.7.A【解析】(直接法)根据题意,i=101,S=0+1+2+…+100=5050时,输出的结果Si=50.8.D【解析】(估算法)由a1=1,a n+1=a n2a n+1得a n>0,∴2a n+1>a n,即a n2a n+1<1,故排除A项,C项.又a2=a12a1+1=13,又由已知可以看出a n+1<a n,故a6的值应小于13,故选D.9.C【解析】(直接法)因为双曲线x 23−16y2p2=1(p>0)的左焦点在抛物线y2=2px的准线上,所以3+p 216=p24,解得p=4.所以双曲线的离心率为233.10.D【解析】(数形结合法)画出可行域,如图所示,由图知目标函数z=5x+y的最优解为A(1,0),∴z max=5.11.D【解析】(验证法)若ω=12,则T=4π,所以A,B错误;当φ=π6时,f(0)=2sinπ6=1≠3,当φ=π3时,f(0)=2sinπ3=3,故C错误,D正确.12.C【解析】(数形结合法)画出函数f(x)=-1-(x-1)2的图象如图所示.根据f(x1)x1及f(x2)x2的几何意义知f(x1)x1,f(x2)x2分别为直线OA,OB的斜率.由图可知k OA<k OB,又因为0<x1<x2<1,知f(x1) x1<f(x2)x2.模拟演练三1.D【解析】(直接法)因为1×0=0,1×2=2,2×0=0,2×2=4.故集合A*B有三个元素0,2,4,它们的和为6,故选D.2.C【解析】(特例法)令a=-3<b=1,代入A,B,C,D,可排除A,B,D项.(直接法)∵a<b,a2b2>0,∴aa2b2<ba2b2,即1ab2<1a2b.3.B【解析】(特例法)令α=30°,β=40°,则a=sin 75°,b=2sin 85°,易知a<b且1<ab<2.(直接法)两边平方,得a 2=(sin α+cos α)2=1+sin 2α,b 2=(sin β+cos β)2=1+sin 2β,又0<2α<2β<π2,则有a 2<b 2且1<a 2b 2<4.又∵a>0,b>0,∴a<b 且1<ab<2.4.B 【解析】(直接法)正三棱柱的侧(左)视图是宽为 3(长为2的等边三角形底边上的高),长为2的长方形,其面积为2× 3=2 3.5.D 【解析】(排除法)∵椭圆的长轴在y 轴上,∴10-m<m-2,∴排除A,B;若m=7时,则c 2=5-3=2,不符合要求,当m=8时,c 2=6-2=4,得2c=4适合.(直接法)∵焦距为4,∴c=2.又长轴在y 轴上,a 2=m-2,b 2=10-m ,由c 2=a 2-b 2得(m-2)-(10-m )=4,解得m=8.6.A 【解析】(数形结合法)由题图知,博士研究生所占的百分比为1-62%-26%=12%,所以博士研究生的人数为2000×12%=240.7.C 【解析】(直接法)由a 2+a 4=4得2a 1+4d=4;由a 3+a 5=10得2a 1+6d=10,则a 1=-4,d=3,∴S 10=95,故选C .8.C 【解析】(直接法)由题意知n=5时输出S ,此时S=2-1+2-2+2-3+2-4+2-5=1× 1- 1 5 1-12=3132.9.C 【解析】(数形结合法)依题意如图所示,设点A y 024,y 0 (y 0>0),根据直线斜率为 3,∴y0y 024-1= 3,解得y 0=2 3,y 0=-2 33(舍去),∴点A (3,2 3).又∵准线l 为x=-1,∴S △AKF =12×|AK|×|y A |=12×|3-(-1)|×2 410.B 【解析】(特例法)由S n =t ·5n -2得S 1=5t-2=a 1,S 2=25t-2=a 1+a 2,S 3=125t-2=a 1+a 2+a 3,∴a 1=5t-2,a 2=20t ,a 3=100t ,又∵数列{a n }为等比数列,∴a 2a 1=20t5t -2=5,解得t=2.(构造法)等比数列{a n }的前n 项和S n =a 11-q −a11-q ·q n =λ-λ·q n ,q n 的系数与常数项互为相反数,依题意S n =t ·5n -2,故t=2.11.D 【解析】(构造法)由已知OC ·OA =0,则OC ⊥OA ,以OA ,OC为x 轴,y 轴的非负半轴建立平面直角坐标系,则易知OA =(1,0),OC =(0,2 3),OB = -k 2, 32k ,因此OC =2m OA +m OB ,即(0,23)=2m(1,0)+m-k2,32k ,故有2m-mk2=0,32km=23,解得k=4,m=1.12.C【解析】(数形结合法)函数f(x)的图象如图,由函数h(x)=[f(x)]2+bf(x)+12有5个不同的零点,令f(x)=t,即得方程t2+bt+12=0有两个不同的实根,且一个为1,即12+b×1+12=0,得b=-32,故方程为t2-32t+12=0,则另一根为12,由此可知f(x)=1或f(x)=12.当f(x)=1时,可解得方程的根为0,1或2;当f(x)=12时,可解得方程的根为-1或3,所以x12+x22+x32+x42+x52=15.。
2018年高考数学破解命题陷阱方法总结 函数的零点与方程的根的解题方法
2018年高考数学破解命题陷阱方法总结 函数的零点与方程的根的解题方法一．命题陷阱：1．复合函数零点问题陷阱（忽视定义域陷阱） 2．函数零点个数与参数问题（图象不完备陷阱） 3. 函数零点中的任意存在陷阱（最值求反陷阱） 4. 函数的性质在函数零点中的应用（忽视周期性陷阱） 5. 函数零点与不等式综合（运用均值不等式时的条件陷阱） 6. 方程的根的求解问题 7. 分段函数的零点问题 8. 零点问题中新定义问题 9. 零点与导数、数列等的综合 二、陷阱典例及训练1．复合函数陷阱（忽视定义域陷阱）例1.已知函数(),1{ 1,12lnx x f x x x ≥=-<，若()()1F x f f x m ⎡⎤=++⎣⎦有两个零点12,x x ，则12x x ⋅的取值范围是（ ）A. [)42ln2,-+∞B. )+∞ C. (],42ln2-∞-D. (-∞【答案】D 【解析】如图，所以()0f x ≥，令()1t f x =+，则1t ≥， 又()()()1F x ff x m =++有两个零点，则()ln 0f t m t m +=+=有解，则存在解01t ≥，又()()1201f x f x t ==-，【陷阱防范措施】注意复合函数性质的使用，并注意定义域限制 练习 1.设函数()4310{log 0x x f x x x +≤=>，，,若关于x 的方程()()()2230f x a f x -++=恰好有六个不同的实数解,则实数a 的取值范围为（ ）A. ()22-B. 322⎛⎤ ⎥⎝⎦， C. 3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. ()2,+∞ 【答案】B【解析】作出函数()431,0{log ,0x x f x x x +≤=>的图象如图，令()f x t =，则方程()()()2230f x a f x -++=化为()2230t a t -++=，要使关于x 的方程()()()2230f x a f x -++=，恰好有六个不同的实数根，则方程()()()2230f x a f x -++=在(]1,2内有两个不同实数根， ()()()2222120212{ 21213022230a a a a ∆=+->+<<∴-+⨯+>-+⨯+≥，解得32,2a<≤∴实数a的取值范围是32,2⎛⎤⎥⎝⎦，故选B.【思路总结】已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数()(),y g x y h x==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x==的交点个数的图象的交点个数问题 . 练习2．已知函数(){1kxf x xlnx x≤=->，，，若关于x的方程()()0f f x=有且只有一个实数解，则实数k的取值范围为（）A. ()()100-⋃+∞，， B. ()()001-∞⋃，，C. ()()1001-⋃，， D. ()()11-∞-⋃+∞，，【答案】A作出函数f（x）的图象，由图象知当x＞0时，1f x lnx==（）有一个解，则等价为当x≤0时，f（x）=1kx-=1无解，即若k＞0，满足1kx-=1无解，若k＜0，则函数f（x）=1kx-在x≤0时为增函数，则函数的最大值为0f k=-（），此时只要满足1k-＜，即10k-＜＜，即可，综上实数k的取值范围是（﹣1，0）∪（0，+∞），故选：A【思路总结】：本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法将条件转化为两个函数的交点个数问题是解决本题的关键．利用数形结合以及分类讨论的数学思想，综合性较强，有一定的难度．练习3设函数()2()3x f x x e =-，若函数()()()2616G x fx af x e =-+有6个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A. 33826,3e e ⎛⎫⎪⎝⎭ B. 33426,3e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 38,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D. 326,3e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】A故答案为A 。
2018年高考《数学》解题方法总结【三篇】
2018年高考《数学》解题方法总结【三篇】导读：本文2018年高考《数学》解题方法总结【三篇】，仅供参考，如果觉得很不错，欢迎点评和分享。
【第一篇】●调理大脑思绪，提前进入数学情境考前要摒弃杂念，排除干扰思绪，使大脑处于“空白”状态，创设数学情境，进而酝酿数学思维，提前进入“角色”，通过清点用具、暗示重要知识和方法、提醒常见解题误区和自己易出现的错误等，进行针对性的自我安慰，从而减轻压力，轻装上阵，稳定情绪、增强信心，使思维单一化、数学化、以平稳自信、积极主动的心态准备应考。
●“内紧外松”，集中注意，消除焦虑怯场集中注意力是考试成功的保证，一定的神经亢奋和紧张，能加速神经联系，有益于积极思维，要使注意力高度集中，思维异常积极，这叫内紧，但紧张程度过重，则会走向反面，形成怯场，产生焦虑，抑制思维，所以又要清醒愉快，放得开，这叫外松。
●沉着应战，确保旗开得胜，以利振奋精神良好的开端是成功的一半，从考试的心理角度来说，这确实是很有道理的，拿到试题后，不要急于求成、立即下手解题，而应通览一遍整套试题，摸透题情，然后稳操一两个易题熟题，让自己产生“旗开得胜”的快意，从而有一个良好的开端，以振奋精神，鼓舞信心，很快进入思维状态，即发挥心理学所谓的“门坎效应”，之后做一题得一题，不断产生正激励，稳拿中低，见机攀高。
●“六先六后”，因人因卷制宜在通览全卷，将简单题顺手完成的情况下，情绪趋于稳定，情境趋于单一，大脑趋于亢奋，思维趋于积极，之后便是发挥临场解题能力的黄金季节了，这时，考生可依自己的解题习惯和基本功，结合整套试题结构，选择执行“六先六后”的战术原则。
1、先易后难。
就是先做简单题，再做综合题，应根据自己的实际，果断跳过啃不动的题目，从易到难，也要注意认真对待每一道题，力求有效，不能走马观花，有难就退，伤害解题情绪。
2、先熟后生。
通览全卷，可以得到许多有利的积极因素，也会看到一些不利之处，对后者，不要惊慌失措，应想到试题偏难对所有考生也难，通过这种暗示，确保情绪稳定，对全卷整体把握之后，就可实施先熟后生的方法，即先做那些内容掌握比较到家、题型结构比较熟悉、解题思路比较清晰的题目。
备战2018年高考数学一轮复习(热点难点)专题01如何破解集合间的关系类问题
专题01 如何破解集合间的关系类问题考纲要求:1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.2.在具体情境中，了解全集与空集的含义.基础知识回顾:集合与集合之间的关系1．集合间的基本关系中任意一个元素均为真子集并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A．交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B．补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅；∁U(∁U A)＝A．应用举例:招数一、韦恩图:一般地，若给定的集合元素离散或者是抽象集合，则用Venn图求解．【例1】【2017湖南省长沙市长郡中学高三入学考试】已知集合A＝{－1，0，4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N}，全集为U，则图中阴影部分表示的集合是________．解析：∵B ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈N }＝{x |－1≤x ≤3，x ∈N }＝{0，1，2，3}．而图中阴影部分表示的为属于A 且不属于B 的元素构成的集合，故该集合为{－1，4}．答案：{－1，4} 【例2】【2017广东省珠海市高三9月摸底考试】设全集U ＝{n ∈N |1≤n ≤10}，A ＝{1，2，3，5，8}，B ＝{1，3，5，7，9}，则(∁U A )∩B ＝________． 解析：U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，画出Venn 图，如图所示，阴影部分就是所要求的集合，即(∁U A )∩B ＝{7，9}．【例3】【宁夏石嘴山市第三中学2017届高三下学期第三次模拟考试】设全集U ＝R ，集合2{|230}{|10}A x x x B x x =--<=-≥，，则图中阴影部分所表示的集合为( )A .{}|13x x x ≤-≥或B .{}|13x x x <≥或C .{|1}x x ≤D .{|1}x x ≤-【答案】D招数二、数轴图示法：若给定集合的元素连续，则用数轴图示法求解，用数轴表示时要注意端点值的取舍．【例4】【2017山西省怀仁县第一中学高三月考】已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |a ＋1<x <2a －1}，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是________． 解析：（1）当B ＝∅时，有a ＋1≥2a －1，则a ≤2. (2)当B ≠∅时，若B A ⊆，如图．则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥－22a －1≤7a ＋1<2a －1，解得2<a ≤4. 综上，a 的取值范围为a ≤4.【例5】【2017湖北省襄阳市第四中学高三周考】已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________. 解析 A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}＝{x ∈R |－5<x <1}，由A ∩B ＝(－1，n )可知m <1， 则B ＝{x |m <x <2}，画出数轴，可得m ＝－1，n ＝1.招数三、正难则反:对于一些比较复杂、条件和结论之间关系不明朗，难于从正面入手的数学问题，在解题时，可调整思路，从问题的反面入手，探求已知、未知的关系.这样能起到化难为易的作用，而是问题得以解决．【例6】已知集合}0{,},0624{2<=∈=++-=x x B R x m mx x x A ，},若∅≠B A ，求实数m 的取值范围.方法、规律归纳:1．判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．2．在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行分类讨论．分类时要遵循“不重不漏”的分类原则，然后对每一类情况都要给出问题的解答．分类讨论的一般步骤①确定标准；②恰当分类；③逐类讨论；④归纳结论．3．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn 图帮助分析． 4．子集与真子集的区别与联系：集合A 的真子集一定是其子集，而集合A 的子集不一定是其真子集；若集合A 有n 个元素，则其子集个数为2n ，真子集个数为2n－1. 实战演练:1．【四川省成都市龙泉第二中学2017届高三5月高考模拟考试】已知集合A ＝{x |y ＝lg (2x －x 2)}，B ＝{y |y ＝2x，x >0}，R 是实数集，则(∁R B )∩A 等于( )A .B .(0,1]C .(－∞，0]D .以上都不对【答案】B2．【2017届福建省泉州市高三3月质量检测】已知集合11{|<22},{|ln 0}22x A x B x x ⎛⎫=≤=-≤ ⎪⎝⎭，则()R A C B ⋂=( )A .∅B .11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦C .1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D .(]1,1-【答案】B【解析】由题意得，{|11}A x x =-<≤，13{|}22B x x =<≤，则()11,2R A C B ⎛⎤⋂=- ⎥⎝⎦，故选B .3．【2017届湖南省邵阳市高三下学期第二次联考】若集合()(){|410}A x x x =++<，集合{|2}B x x =<-，则()R A C B ⋂等于( )A .()2,1--B .[)2,4-C .[)2,1--D .∅【答案】C【解析】由题意可得，()()[)4,1,2,1R A A C B =--∴⋂=--,故选C .4．【陕西省西安市长安区第一中学高三4月模拟考试】已知2{|8150}A x x x =-+=,{|10}B x ax =-=,若B A ⊆,则a =( )A .13B .15C .13或15D .13或15或0 【答案】D5．【辽宁省锦州市2017届高三质量检测】集合{|3,}n M x x n N ==∈，集合{|3,}N x x n n N ==∈，则集合M 与集合N 的关系( ) A .M N ⊆B .N M ⊆C .M N ⋂=∅D .M ⊆N 且N ⊆M【答案】D【解析】因为1,1;6,6M N N M ∈∉∈∉,所以M ⊆N 且N ⊆M ,选D .6．若集合{}1,2A =-，{}0,1B =，则集合{|,,}z z x y x A y B =+∈∈的子集共有( )A .2个B .4个C .8个D .16个【答案】D【解析】集合：{}{}1,2,0,1A B =-=,∴集合{|,,}z z x y x A y B =+∈∈={}1,0,2,3-,则集合的子集有4216=个.点睛：对于有限集合我们有一下结论：若一个集合中有n 个元素，则它有2n个子集.有2n-1个真子集7、已知A ，B 均为集合U ＝{1,3,5,7,9}的子集，且A ∩B ＝{3}，(∁U B )∩A ＝{9}，则A ＝( )A ．{1,3}B ．{3,7,9}C ．{3,5,9}D ．{3,9}解析：方法一：因为A ∩B ＝{3}，所以3∈A ，又因为 (∁U B )∩A ＝{9}，所以9∈A ，故选D . 方法二：如图8所示，得A ＝{3,9}，故选D .8、某校田径队共30人，主要专练100m ，200m 与400m ．其中练100m 的有12人，练200m 的有15人，只练400m 的有8人．则参加100m 的专练人数为________．解析：用Venn图表示A代表练100m的人员集合，B代表练200m的人员集合，C代表练400m 的人员集合，U代表田径队共30人的集合，设既练100m又练200m的人数为x，则专练100m 的人数为12－x.∴12－x＋15＋8＝30，解得x＝5.所以专练100m的人数为12－5＝7.答案：79、【2017江苏泰兴中学高三月考】已知集合A＝{x|1<2x≤16}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝__________.解析：由1<2x≤16，得0＜x≤4，即A＝{x|0＜x≤4}．而B＝{x|x<a}，由于A⊆B，如图所示，则a＞4，即c＝4.10、(1)已知集合A＝{x|y＝ln(x＋3)}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是( )A．A＝B B．A∩B＝∅C．A⊆B D．B⊆A(2)已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是________．。
高中数学命题热点名师解密专题：集合的解题技巧(有答案)
专题01 集合的解题技巧一、集合的解题技巧及注意事项 1.元素与集合,集合与集合关系混淆问题； 2.造成集合中元素重复问题； 3.隐含条件问题；4.代表元变化问题；5.分类讨论问题； 6．子集中忽视空集问题； 7.新定义问题；8.任意、存在问题中的最值问题； 9.集合的运算问题； 10.集合的综合问题。
二．知识点 【学习目标】1．了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系,能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)来描述不同的具体问题,理解集合中元素的互异性；2．理解集合之间包含和相等的含义,能识别给定集合的子集,了解在具体情境中全集与空集的含义； 3．理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集,理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集；4．能使用韦恩(Venn )图表达集合间的关系与运算． 【知识要点】 1．集合的含义与表示(1)一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合,简称集． (2)集合中的元素的三个特征：确定性、互异性、无序性 (3)集合的表示方法有：描述法、列举法、区间法、图示法(4)集合中元素与集合的关系分为属于与不属于两种,分别用“∈”或“∉”来表示． (5)常用的数集：自然数集N ；正整数集N *(或N ＋)；整数集Z ；有理数集Q ；实数集R. 2．集合之间的关系(1)一般地,对于两个集合A ,B .如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A 为集合B 的子集,记作A B ⊆；若A ⊆B ,且A ≠B ,则A B ⊂,我们就说A 是B 的真子集． (2)不含任何元素的集合叫做空集,记作Φ,它是任何集合的子集,即∅⊆A ． 3．集合的基本运算(1)并集：A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B }； (2)交集：A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈B }； (3)补集：∁U A ＝．4．集合的运算性质(1)A∩B＝A⇔A⊆B,A∩A＝A,A∩∅＝∅；(2)A∪B＝A⇔A⊇B,A∪A＝A,A∪∅＝A；(3)A⊆B,B⊆C,则A⊆C；【点评】：注意两个集合代表元的条件,容易忽视集合中元素属于整数的条件.练习2．【江西省九江市2019届高三第一次联考】已知集合,集合,则图中的阴影部分表示的集合是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】图中阴影部分表示的集合为,所以先求出集合A,B后可得结论．【解析】由题意得,所以,即图中阴影部分表示的集合为．故选C．【点评】本题考查集合的元素、韦恩图和集合的补集运算,解题的关键是认清图中阴影部分表示的集合以及所给集合中元素的特征,属于基础题．（四）代表元变化问题例4．【内蒙古鄂尔多斯市一中2018-2019模拟】已知A＝{y|y＝log2x,x>1},B=,则（) A．B．C．D．【答案】C【分析】利用对数性质和交集定义求解．【解析】∵A={y|y=log2x,x>1}={y|y>0},B=,∴A∩B={x|0x≤1}= ．故选C．【点评】本题考查交集的求法,是基础题,解题时要注意对数函数的性质的灵活运用．练习1.【华东师范大学附中2018-2019学年试题】集合,的元素只有1个,则的取值范围是__________.【答案】【分析】由中有且仅有一个元素,可知两个方程联立得到方程是一次方程或二次方程有两个相等的根；利用分类讨论思想,可求出的范围.【解析】联立即,是单元素集,分两种情况考虑:,方程有两个相等的实数根,即,可得,解得,方程只有一个根,符合题意,综上,的范围为故答案为.【点评】本题主要考查集合交集的定义与性质以及一元二次方程根与系数的关系,意在考查综合应用所学知识解答问题的能力,属于中档题.练习2.同时满足：①M ⊆{1,2,3,4,5}；②a∈M且6－a∈M的非空集合M有()A．9个B．8个C．7个D．6个【答案】C共有7个集合满足条件,故选C.【点评】本题主要考查了元素与集合的关系,以及集合与集合的关系的判定与应用,其中熟记元素与集合的关系,以及集合与集合的包含关系是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.（五）分类讨论问题例5. 【九江市2019届高三第一次十校联考】（1）求解高次不等式的解集A；（2）若的值域为B,A B=B求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用讨论的方法求得不等式的解集A；（2）根据函数的单调性求出值域B,由得,转化为不式等组求解,可得所求范围．【解析】（1）①当时,原不等式成立．②当时,原不等式等价于,解得.,综上可得原不等式的解集为,∴．（2）由题意得函数在区间上单调递减,∴,∴,∴．∵,∴,∴,解得,∴实数的取值范围是．【点评】解答本题时注意转化思想方法的运用,已知集合的包含关系求参数的取值范围时,可根据数轴将问题转化为不等式（组）求解,转化时要注意不等式中的等号能否成立,解题的关键是深刻理解集合包含关系的含义．练习1.设集合,,若,求实数a的取值范围；若,求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）【分析】（1）由题意得,,根据可得,从而可解出的取值范围；（2）先求出,根据可得到,解出的取值范围即可．【解析】由题意得,；（1）∵,∴,解得,又,∴,∴实数的取值范围为．（2）由题意得,∵,∴,解得．∴实数的取值范围为．【点评】本题考查集合表示中描述法的定义,一元二次不等式的解法,子集的概念,以及交集的运算．根据集合间的包含关系求参数的取值范围时,注意转化方法的运用,特别要注意不等式中的等号能否成立．（六）子集中忽视空集问题例6【云南省2018-2019学年期中考试】已知集合,若,则的取值集合是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】本题考查集合间的包含关系,先将集合,化简,然后再根据分类讨论．【解析】∵集合∴若,即时,满足条件；若,则.∵∴或∴或综上,或或.故选C.【点评】本题主要考查利用集合子集关系确定参数问题,易错点是化简集合时没有注意时的特殊情况．练习1.已知集合,．（1）若,求;（2）若,求实数的取值范围．【答案】(1) (2) 或【点评】由集合间的关系求参数时,常借助数轴来建立不等关系求解,此时应注意端点处是实点还是虚点（七）新定义问题例7．【清华附属中2018-2019学年试题】集合A,B的并集A∪B＝｛1,2｝,当且仅当A≠B时,（A,B）与（B,A）视为不同的对,则这样的（A,B）对的个数有__________.【答案】8【分析】根据条件列举,即得结果.【解析】由题意得满足题意的（A,B）为：A=,B＝｛1,2｝；A=｛1｝,B＝｛2｝；A=｛1｝,B＝｛1,2｝；A=｛2｝,B ＝｛1｝；A=｛2｝,B＝｛1,2｝；A=｛1,2｝,B＝；A=｛1,2｝,B＝｛1｝；A=｛1,2｝,B＝｛2｝；共8个.【点评】本题考查集合子集与并集,考查基本分析求解能力.练习1．【华东师范大学附中2019届高三数学试卷】已知集合M=,集合M的所有非空子集依次记为：M1,M2,...,M15,设m1,m2,...,m15分别是上述每一个子集内元素的乘积,规定：如果子集中只有一个元素,乘积即为该元素本身,则m1+m2+...+m15=_____【答案】【分析】根据二项式定理的推导过程构造出函数,当时,函数的值就是所有子集的乘积。
2018年高考数学破解命题陷阱方法总结 函数问题的解题规律
2018年高考数学破解命题陷阱方法总结 函数问题的解题规律一、命题陷阱 1.定义域陷阱2.抽象函数的隐含条件陷阱3.定义域和值域为全体实数陷阱4.还原后新参数范围陷阱5.参数范围漏解陷阱6.函数求和中的倒序求和陷阱7.分段函数陷阱8.函数的解析式求法9.恒成立问题求参数范围问题 二．例题分析及防范措施 1.定义域陷阱例1．已知0a >，且1a ≠，函数()()2log 1a f x x =-的定义域为M ， ()()()log 1log 1a a g x x x =++-的定义域为N ，那么（ ）A. M N =B. M N M ⋃=C. M N M ⋂=D. M N ⋂=∅ 【答案】B故选B【防陷阱措施】与函数有关问题要先求定义域练习1．下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）A. ()f x =()g x =B. ()f x =()g x =C. ()2lg f x x =与()2lg g x x =D. ()0f x x =与()01g x x=【答案】D练习2.下面各组函数中为相同函数的是___________.（填上正确的序号）①()211x f x x -=+， ()1g x x =- ②()()2ln 1f x x =-， ()()()ln 1ln 1g x x x =++-③()21f x x =+， 21s t =+ ④()1f x x =+， ()g x =【答案】③【解析】对于①，函数()211x f x x -=+的定义域为{x|x -1}≠，故两函数的定义域不同，不是相同函数。
对于②，由于两函数的定义域不同，故不是相同函数。
对于③，两函数的定义域、解析式都相同，故是相同函数。
对于④，()1f x x =+， ()g x == 1x +，故两函数的解析式不同，故不是相同函数。
综上②正确。
答案：②练习3.若函数()y f x =的定义域是[]0,3，则函数()()2f x g x x x=+的定义域是________．【答案】30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】∵函数y=f （x ）的定义域是[0，3]，∴由0≤2x≤3，得302x ≤≤， 则由30{ 20x x x ≤≤+≠，解得30.2x <≤∴函数g （x ）=()2f x x x+的定义域是（0，32]． 故答案为： 30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦．练习4.已知()32log 2x f x x -=+，则函数()22x F x f f x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的定义域为________. 【答案】(－4，－1)∪(1,4)2.抽象函数的隐含条件陷阱例2.函数()f x 对一切实数,x y 均有()()()22f x y f y x y x +-=++成立，且()212f =. （1）求()0f 的值；（2）在()1,4上存在0x R ∈，使得()008f x ax -=成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()04f =；（2）()1,5-.【解析】（1）令2,0x y ==，则()()()20020228f f +-=++⋅= ∵()212f = ∴()04f =； （2）令0y =，易得： ()224f x x x =++.在()1,4上存在0x R ∈，使得()008f x ax -=成立，等价于方程2248x x ax ++-=在()1,4有解.即42,14a x x x=+-<<. 设函数()()()421,4g x x x x=-+∈.【防陷阱措施】分析抽象函数隐含的性质及变量范围练习1.定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy +=++ (),x y R ∈， ()12f =， ()1f -等于（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】A【解析】 因为()()()2f x y f x f y xy +=++， ()12f =，所以令1,0x y ==，得()()()1010f f f +=+，所以()00f =，再令1,1x y =-=-，得()()()0112f f f =-+-+，所以()11f -=，故选A.3.定义域和值域为全体实数陷阱 例3.已知函数()21f x ax x a=-+的定义域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A. 11,22⎛⎫-⎪⎝⎭B. 11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D. 11,,22⎛⎫⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭【答案】B【防陷阱措施】分析定义域和值域的区别，找到运用的最值练习1.已知函数()()()24log 4f x ax x aa R =-+∈，若()f x 的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A. []0,2B. ()2,+∞C. (]0,2 D. ()2,2- 【答案】A【解析】函数()()()24log 4f x ax x aa R =-+∈，若()f x 的值域为R ，只需24t axx a =-+取满()0,+∞，当0a =时， ()()4log 4f x x =-，值域为R 符合题意；当0a ≠时，只需2{1640a a >∆=-≥ ，解得02a <≤，综上可知02a ≤≤.练习2.若函数()122log ,01{ 25,1m x x f x x x m x +<≤=-+-+>的值域为R ，则实数m 的取值范围是__________．【答案】(],3-∞【解析】因为()12g x log m x =+在(]0,1 上是递减函数， ()g x 有最小值()g 1m =,所以()12g x log ,01m x x =+<≤的取值范围是(],m -∞，因为()2h x 25x x m =-+-+在()1+∞，上递减，所以()()h x 16h m <=-,即()2h x 25x x m =-+-+在()1+∞，上的取值范围是(),6m -∞-，因为函数()122log ,01{25,1m x x f x x x m x +<≤=-+-+>的值域为R ，所以6m m -≥， 3m ≤，实数m 的取值范围是(],3-∞，故答案为(],3-∞. 练习3.若函数224()43x f x mx mx -=++的定义域为R ，则实数m 的取值范围是__________． 【答案】3[0,)4练习4.若函数f(x)的定义域为R ，则m 的取值范围为________． 【答案】1,12⎛⎫+∞⎪⎝⎭练习5.命题:p 实数a 满足260a a +-≥,命题:q函数y =R ，若命题p q ∧为假， p q ∨ 为真，求实数a 的取值范围. 【答案】3a ≤-或02a ≤<或4a >.【解析】试题分析：分别求出当命题p q ，为真命题时a 的取值范围，由p q ∧为假， p q ∨ 为真可得则“p 真q 假”或“p 假q 真”，分两种情况分别求解即可。
2018年高考数学破解命题陷阱方法总结 破解平面向量难题的法宝
2018年高考数学破解命题陷阱方法总结破解平面向量难题的法宝一．命题陷阱类型平面向量是高中数学的基础，是每年高考必考的知识点，对初学者往往不能深刻理解有关概念和方法而陷入命题陷阱.关于平面向量的试题在命制时，主要有概念类、隐含条件类、迷惑性类、图解类等几类陷阱.其中：1.概念类陷阱，零向量的方向问题，向量与实数的运算要与实数与实数的运算区分开，三点共线与向量共线区分开，向量的方向问题，向量的数量积与向量的夹角问题等.2.隐含条件陷阱,向量是高中数学的重要工具之一，向量与不等式的综合，要注意挖掘它们之间的关系和隐含条件.3.迷惑性陷阱，三角形中的重心、垂心、内心、外心是重要的概念，用向量表示时要注意它们的区别.4.图解类陷阱，向量与三角形的综合，以及利用向量的几何意义解决向量问题，要注意运用数形结合的方法.二、知识——陷阱对应关系三、常见陷阱展示陷阱1.零向量问题（概念类） 【例1】下列说法中错误的是（ ）A ．零向量没有方向B ．零向量与任何向量平行C ．零向量的长度为零D ．零向量的方向是任意的【陷阱提示】牢记0的定义.【防错良方】零向量的定义是：零向量是模等于0的向量，方向是任意的,并规定零向量与任何向量平行.【例2】判断：已知//a b ，//b c ，则//a c.【解析】：这个命题是错误的，因为如果0b = ，则//a b ，//b c ，但a 与c不一定平行.【陷阱提示】当问题涉及到向量平行（共线）时，必须考虑0 .【防错良方】：对于向量的平行和共线，必须考虑0.陷阱2.向量与实数的运算（概念类）【例3】下列关于向量a ，的叙述中，错误的是（ ） A ．若022=+b a ，则==B ．若R k ∈，0=a k ，所以0=k 或0=aC ．若0=⋅，则=或=D ．若a ，b 都是单位向量，则1≤⋅恒成立【解析】：选项A ，若022=+b a ，则||||0b a == 则0==b a 因此是正确的；选项B ，由向量的数乘概念若R k ∈，=k ，可得0=k 或=，因此是正确的；选项C ，当a b ⊥ 时，0a b ⋅=，所以若0=⋅b a ，则=或=是错误.选项D ，因为，都是单位向量，所以||||cos ,cos ,1a b a b a b a b ⋅=⋅<>=<>≤成立，因此选C. 【陷阱提示】向量与实数的运算，要与实数与实数的运算区分开.【防错良方】：对于向量的运算，要严格按照向量的运算法则和向量与实数的运算法则运算，不能照搬实数与实数的运算.陷阱3.三点共线问题（概念类）【例4】．已知向量a b ，，且2A B a b =+ ，56BC a b =-+ ，72CD a b =-，则一定共线的三点是（ ）A.A B D 、、B.A B C 、、C.B C D 、、D.A C D 、、【陷阱提示】把向量共线与多点共线区分开，弄清它们之间的联系.【防错良方】本题是一个利用平面向量的平行判断平面内三点共线的问题，属于容易题.解决本题的基本思路及切入点是，首先先判定两个向量平行，一般的如果,a b 是平面内的两个向量，并且0b ≠ ，那么向量,a b 平行(共线)的充要条件是存在唯一实数λ，使得a b λ= .其次是如果非零向量,AB BD共线，则A B D、、三点共线.陷阱4.向量的方向（概念类）【例5】．已知,a b是两个非零向量，下列各命题中真命题的个数为（ ）（1）2a 的方向与a 的方向相同，且2a 的模是a的模的2倍； （2）2a - 的方向与5a 的方向相反，且2a - 的模是5a的模的25； （3）2a -与2a是一对相反向量；（4）a b -与()b a -- 是一对相反向量.A.1B.2C.3D.4【解析】：由于,a b是两个非零向量，所以命题（1）2a 的方向与a 的方向相同，且2a 的模是a的模的2倍是正确的；（2）2a - 的方向与5a 的方向相反，且2a - 的模是5a的模的25也是正确的；（3）2a - 与2a 是一对相反向量也是正确的；由于()b a -- a b =- ，因此（4）a b -与()b a -- 是一对相反向量是错误的；故答案选C.【陷阱提示】注意一个向量如果乘以正数，方向不变，如果乘以负数，方向变为相反向量．【防错良方】本题考查向量的方向问题，一个向量如果乘以正数，方向不变，如果乘以负数，方向变为相反向量，相反向量是方向相反，模相等． 陷阱5.向量的数量积与向量的夹角（概念类）【例6】．已知两个向量21,e e 12==且1e 与2e 的夹角为 60，若向量2172e e t +与向量21e t e +的夹角为钝角，则实数t 的取值范围是_______________.【陷阱提示】两个向量夹角为钝角时，它们的数量积为负值，这包括平角，所以必须把平角情况去掉. 【防错良方】对于两个向量所成的角是钝角时，它们的数量积为负值，这种情况下包括平角，所以必须把平角情况去掉.【例7】．在ABC ∆中三个内角 A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c 则下列判断错误的是（ ） A.若sin cos 1A A +< 则ABC ∆ 为钝角三角形B.若222ab c +< 则ABC ∆ 为钝角三角形C.若0<⋅则ABC ∆为钝角三角形D.若A 、B 为锐角且cos sin A B > 则ABC ∆为钝角三角形【解析】：sin cos )14A A A π+=+<,可得3,04442A A ππππ<+<∴<<.A 正确；由余弦定理可知cos 0C <，C 为钝角，B 正确；BC ,AB的夹角为钝角，但是夹角并不是三角形内角而是三角形外角，故C 错；由同一坐标系下的三角函数图象可知A 、B 为锐角且cos sin A B >，可得02A B π<+<.【答案】C【陷阱提示】两个向量夹角问题必须要弄清它们所夹的角是什么.【防错良方】BC ,AB的夹角为钝角，但是夹角并不是三角形内角而是三角形外角陷阱6.向量与不等式（隐含条件类）【例8】．如图，矩形ABCD 中，2=AB ，1=AD ，P 是对角线AC 上一点，25AP AC =，过点P 的直线分别交DA 的延长线，AB ,DC 于N E M ,,.若DA m DM =，DC n DN =)0,0(>>n m ，则n m 32+的最小值是（ ）A ．56 B ．512 C ．524 D ．548【陷阱提示】本题在解答过程中找到1x y +=，然后得到32155m n+=，在利用“1”的变通，并利用均值不等式求解.【防错良方】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.【例9】．在△ABC 中，已知9,sin cos sin ,6ABC AB AC B A C S ∆⋅==⋅=，P 为线段AB 上的点，且,||||CA CBCP x y xy CA CB =⋅+⋅ 则的最大值为（ ） A.1 B.2C.3D.4【陷阱提示】利用题意找到隐含条件1,0,034x yx y +=>>． 【防错良方】本题将向量的数量积公式和三角变换及基本不等式等知识有机地结合起来,综合考查学生的数学思想和数学方法及运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时,先将C A C A C A B sin cos cos sin )sin(sin +=+=,再运用已知得到0cos sin =C A ,即090=C .再将向量的数量积公式化为9cos =A bc ,从而求得5,4==c a ,3=b .最后通过构建平面直角坐标系求出直线143:=+yx AB 且0,0>>y x ,然后运用基本不等式使得问题获解. 陷阱7 向量与三角形的心（迷惑类）【例10】已知O 是平面上一定点，A B C 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足[)()0,sin sin AB AC OP OA AB B AC C λλ⎛⎫ ⎪=++∈+∞ ⎪⎝⎭，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）A.重心B.垂心C.内心D.外心【陷阱提示】根据几何意义，画出图形，并由三角形的几个心的概念得到结论.【防错良方】本题主要考查向量的加法和减法的几何意义，考查了解三角形正弦定理，考查了三角形四心等知识.在几何图形中应用平面向量加法和减法，往往要借助几何图形的特征，灵活应用三角形法则和平行四边形.当涉及到向量或点的坐标问题时，应用向量共线的充要条件解题较为方便.三角形的四心是：内心、外心、重心和垂心.【例11】已知O 是ABC ∆所在平面内的一点，动点P 满足cos cos AB AC OP OA AB B AC C λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭， (0,)λ∈+∞,则动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）A.垂心B.重心 C ．内心 D ．外心【解析】∵⎫⎛+=OA OP λ，∴⎫⎛+=-λ，即⎫⎛=λ．又∵0=+=⎫⎛⋅，∴与⎫⎛λ垂直，即⊥，∴点P 在BC 的高线上，即P 的轨迹过ABC ∆的垂心，故选A【陷阱提示】本题主要考查向量的加法和减法的几何意义，考查了解三角形正弦定理，考查了三角形四心等知识.在几何图形中应用平面向量加法和减法，往往要借助几何图形的特征，灵活应用三角形法则和平行四边形.当涉及到向量或点的坐标问题时，应用向量共线的充要条件解题较为方便.三角形的四心是：内心、外心、重心和垂心.【防错良方】本题主要考查了向量在几何中的应用、空间向量的加减法、轨迹方程、以及三角形的五心等知识，解答关键是得出与AP垂直，属于基础题．可先根据空间向量的加减法得出⎫⎛=λ，BC与⎫⎛+λ数量积为零故垂直，可得点P在BC的高线上，从而得到结论．陷阱8向量与三角形的综合（图解类）【例12】已知非零向量AB与AC满足0AB ACBCAB AC⎛⎫⎪+=⎪⎝⎭，且12AB ACAB AC⋅=，则ABC∆的形状为（）A.等边三角形B.三边均不相等的三角形C.等腰非等边三角形D.直角三角形【陷阱提示】做出图形，考查向量的几何意义.+表示以与同向的单位向量和与同向的单位向量为邻边的平行四边形的对角线，结合=⋅+BC判断出A∠的平分线与BC垂直，从而推断三角形为等腰三角形，现根据向量的数量积公式求得角C为120，所以ABC∆为等腰非等边三角形.【例13】在ABC∆所在平面上有三点P Q R、、，满足PA PB PC AB++=，QA QB QC BC++=，RA RB RC CA ++=，则PQR ∆的面积与ABC ∆的面积之比为（ ）A ．1:2B ．1:3C ．1:4D ．1:5【陷阱提示】利用向量的运算法则，考查它们的几何意义，寻找面积之比.【防错良方】本题主要考查向量的运算法则、向量共线的充要条件和相似三角形的面积关系，涉及数形结合思想和一般与特殊思想，考查逻辑推理能力和计算能力，属于较难题型．首先将已知向量等式变形，利用向量的运算法则化简得到2PC AP =，利用向量共线的充要条件得到P 为线段AC 的一个三等分点，同理可得Q R 、的位置；利用三角形的面积公式求出三角形的面积比． 陷阱9几何意义解决向量问题（图解类）【例14】．已知点P 在ABC ∆内（不含边界），且),(R y x y x ∈+=，则21++x y 的取值范围为（ ） A ．)1,31( B ．)1,21( C ．)1,32( D ．)32,21(【解析】：当P 在AB 上时，1x y +=，因此当P 在ABC ∆内部时，有010101x y x y <<⎧⎪<<⎨⎪<+<⎩，由(,)M x y 在如图所求OPQ ∆内部（不含边界），其中(1,0),(0,1)P Q ，12y x ++表示(,)M x y 与点(2,1)N --连线的斜率，13PN k =，1QN k =，所以11132y x +<<+．故选A ．【陷阱提示】利用向量的几何意义得到线性可行域，再利用斜率求解.【防错良方】本题首先考查向量的线性运算性质，向量共线的性质，如当P 在AB 上时，1x y +=，从而得出当P 在ABC ∆内部时，,x y 满足的约束条件，其次作出可行域是解题常用方法，12y x ++的几何意义是解题的关键．【例15】．已知点,,A B C 在圆221x y +=上运动, 且AB BC ⊥,若点P 的坐标为()2,0,则PA PB PC ++的最大值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【解析】：因为AB BC ⊥,点,,A B C 在圆221x y +=上,故AC 过圆心O ,2=+,PA PB PC ++ 23PO PB PO OB =+=+,当与同向共线时,即)0,1(-B 时,PA PB PC ++ 取最大值7．故选B ．【陷阱提示】利用向量的加法的几何意义求解.【防错良方】首先把式子PA PB PC ++ 23PO PB PO OB =+=+考，化简后考查几何意义求得最值.四．陷阱演练1．已知O 是△ABC 内部一点， 0OA OB OC ++= ， 2AB AC ⋅=且∠BAC=60°，则△OBC 的面积为（）1223【答案】A【方法总结】此题是个中档题．本题考查向量的平行四边形法则；向量的数量积公式及三角形的面积公式，特别注意已知O 是ABC 内部一点， 0OA OB OC ++=O ⇔为三角形ABC 的重心，以及灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力.2．在ABC ∆中，若,2,3,,AB AC AB AC AB AC E F +=-==分别BC 为边上的三等分点，则AE AF ⋅=（ ）A.269 B. 83 C. 2 D. 109【答案】A【解析】若AB AC AB AC +=- 两边平方得0AB AC ⋅=，E ，F 为BC 边的三等分点，()()1133AE AF AC CE AB BF AC CB AB BC ⎛⎫⎛⎫∴⋅=+⋅+=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2221122253333999AC AB AC AB AC AB AB AC ⎛⎫⎛⎫=++=++⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2226940999=⨯+⨯+=故选A3．已知△ABC 和点M 满足0MA MB MC ++= .若存在实数m 使得AB AC mAM +=成立，则m ＝__________. 【答案】3【解析】试题分析：由条件知M 是ABC ∆的重心，设D 是BC 边的中点，则2AB AC AD +=，而23AM AD = ，所以22,33AD m AD m =⋅∴=，故选B.4．已知O 是锐角ABC ∆的外心，tan 2A =，若cos cos 2sin sin B C AB AC m AO C B +=⋅ 则m ＝（ ）32 C. 3 D. 53【答案】A【解析】2cos cos 22sin sin AB AC ABAD AB DO AB B Cm m C B →+⋅→⋅→=→⋅→+→⋅→222cos cos 1cos 2sin sin 2B C sin C bc A m c mc C B ∴+⋅=⋅= 由正弦定理 可得22cos cos sin sin cos sin sin B Csin C B C A msin C C B+⋅= 化为cos cos cos sin B C A m C +=()cos cos cos cos sin sin B A C A C A C =-+=-+sin sin sin A C m C ∴=sin m A ∴=sin 23tanA A =∴==故答案选A5．如图，在ABC 中， N 为线段AC 上靠近A 的三等分点，点P 在BN 上且22=1111AP m AB BC ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，则实数m 的值为（ ）A. 1B. 12C. 911D. 511【答案】D【解析】设()()10133BP BN AN AB AC AB AB AC λλλλλλ⎛⎫==-=-=-+≤≤ ⎪⎝⎭，∴()13AP AB BP AB AC λλ=+=-+．又()222221*********AP m AB BC m AB AC AB mAB AC ⎛⎫⎛⎫=++=++-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴2{ 3111m λλ==-，解得611{511m λ==． ∴511m =．选D ． 6．已知向量OA ＝(3,1)， OB ＝(－1,3)， OC mOA nOB =- (m >0，n >0)，若m ＋n ＝1，则OC的最小值为( )【答案】C7．若O 为平面内任意一点，且()()20OB OC OA AB AC +-⋅-=，则△ABC 是( )A. 直角三角形或等腰三角形B. 等腰直角三角形C. 等腰三角形但不一定是直角三角形D. 直角三角形但不一定是等腰三角形 【答案】C【解析】由()()2OB OC OA AB AC +-⋅- ＝0得()AB AC + ·()AB AC - ＝0，∴AB 2－AC2＝0，即|AB|＝|AC |，∴AB ＝AC ，即△ABC 是等腰三角形，但不一定是直角三角形．选C.8．已知向量()()3,2,21OA OB BC m n OA n m OB ===-+--,若OA 与OB 的夹角为60°,且OC AB ⊥ ,则实数mn的值为A. 87B. 43C. 65D. 16【答案】A【解析】∵()()21BC m n OA n m OB =-+--，∴()()()()212OC m n OA n m OB OB m n OA n m OB =-+--+=-+- ．∴()()()2OC AB m n OA n m OB OB OA ⎡⎤=-+--⎣⎦()()()222323n m OA OB m n OA n m OB =---+-870n m =-=．∴87m n =．选A ． 【方法总结】（1）在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对2•a a a =要引起足够重视，它是求距离常用的公式．（2）要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系．在向量的运算中，灵活运用运算律，达到简化运算的目的．9．P 、Q 为三角形ABC 中不同两点,若PA PB PC AB ++= ,QA 3QB 5QC 0++=,则PAB QAB S :S 为A.13 B. 35 C. 57 D. 79【答案】B【方法总结】平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．本题的解答中利用共线向量，得到450QS QN +=，从而确定三角形的面积比.10．设12,e e 为单位向量，满足1212e e ⋅=，非零向量112212,,a e e R λλλλ=+∈，则1aλ 的最大值为（ ）A.12B. 2C. 1D. 3【答案】D【解析】∵12,e e 为单位向量，满足1212e e ⋅= ，非零向量112212,,a e e R λλλλ=+∈∴()()()()22211122221122221111a a λλλλλλλλλλλ⎛⎫=== ⎪ ⎪++⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭令21t λλ=， 2222211131124t t t λλλλ⎛⎫⎛⎫++=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当12t =-时， 1aλ3故选D11．已知O 是ABC 所在平面内一点，若对m R ∀∈，恒有()1OA m OC mOB OB OA +--≥-，则ABC 一定是（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定 【答案】B【解析】由题知： ()1OA m OC mOB OB OA +--≥- 化简得到CA mBC BA +≥，设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，两边平方可得， 22222cos b m a mab C c +-≥ 即22222cos 0m a mab C b c -+-≥，由题意可得2220cos 0c b b C ≤⇒≤-≤ ，即为c≤bsinC，由正弦定理可得sinC ≤sinBsinC，则sinB≥1，但sinB≤1，则sinB=1，可得B=90°． 即三角形ABC 为直角三角形． 故答案为：B 。
2018高考数学解题方法与经验【三篇】
2018高考数学解题方法与经验【三篇】导读：本文2018高考数学解题方法与经验【三篇】，仅供参考，如果觉得很不错，欢迎点评和分享。
【第一篇：雷区和得分技巧】无谓失误1：计算出错计算能力是高考数学考查的一项基本能力，但目前反映出来的问题是，很多考生计算能力非常不足。
“在评卷过程中，我们经常看到考生解题的方法和思路都正确，但就是计算出错。
很多解答题都是多步计算，中间步骤的计算出错会直接导致后续解答相应出错，造成严重丢分。
一句话：不是不会做，而是计算错!”在这些错误中，最常见的是“代数式的恒等变形(含纯数字运算)”出错，包括整式、分式和二次根式的运算，因式分解等内容;其次是求解方程(组)与不等式(组)计算出错，这是很容易预防的错误。
事实上，解方程或方程组时将所求出来的解代入到原方程或方程组进行检验即可发现正确与否，解不等式或不等式组则可以考虑用解集区间端点或一些特殊值进行检验。
无谓失误2：答题不规范高考数学解答题明确要求考生写出文字说明、证明过程和演算步骤。
考生们必须明白，做一道解答题实际是在写一篇数学作文!必须要把解答的思维过程无声地展示给评卷人员，而不是把一堆数学式子和数学符号写在试卷上即可。
很多考生的文字说明词不达意，证明过程条件不明显、推理不到位、演算步骤详略不当、卷面不整洁。
有些考生则是文字表述思路不清，令人费解，评卷老师需要猜测其解题意图。
千万不要触碰高考答题要求的“红线”：必须在指定答题区域内书写相应题号的解答。
有些考生将部分解答内容写在指定的区域之外，甚至有一些考生更改答题卡的题号，如在18题答题区域上将“18”涂改成“19”并将19题解答写在这个区域上，这些都会被作零分处理。
无谓失误3：答非所选填空题同样是考生“无谓失分”较多的。
一些考生做填空题时答非所选，即答题卡所选择的题目与实际做的题目不一致，但评卷时是根据所选题目进行评判的，当然不给分。
此外，考生给出的结果不规范也易失分。
比如答案是一个计算出来的具体数字，但考生只是给出了中间一步还没有算完的式子等等。
2018年高考数学 破解命题陷阱 专题16 数列求和的方法规律
专题16 数列求和的方法规律一．高考命题类型 1.倒序求合法 2.裂项求和法 3.错位相减求和 4.分组求和 5.分奇偶数讨论求和 6.利用数列周期性求和 7.含有绝对值的数列求和二．命题陷阱及命题陷阱破解措施 1.倒序求和 例1. 设()f x =，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值是________．【答案】【方法规律总结】：倒序相加法求和，不仅应用在等差数列中，而且在函数以及组合中也有应用。
等差数列中主要利用等差数列性质：若()*,,,,m n p q m n p q N+=+∈，则mn p q aa a a +=+；函数中主要利用对称中心性质：若()f x 关于(),m n 对称，则()()22f x f m x n +-=；组合中中主要利用组合数性质：n m n m m C C -=练习1.已知()11sin 22f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，数列{}n a 满足()()12101n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则2017a =__________． 【答案】1009【解析】因为sin y x =的图象关于原点对称， ()1122f x sin x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象由sin y x =向上平移12个单位，向右平移12个单位，故答案为1009. 练习 2.已知函数12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数， ()()1g x f x =+，若2017n n a g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则数列{}n a 的前2016项和为( )【解析】∵函数12f x ⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数图象关于原点对称， ∴函数()f x 的图象关于点(12,0)对称， ∴函数()()1g x f x =+的图象关于点(12,1)对称，∴()()12g x g x +-=， ∵2017n n a g ⎛⎫=⎪⎝⎭，12320152016201620172017201720172017g g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋯++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，练习3. 已知函数()32331248f x x x x =-++，则201612017k k f=⎛⎫⎪⎝⎭∑的值为 _____．2.裂项求和例2. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()11n a n n =+，则5S 等于（ ）1656130【解析】()11111n a n n n n ==-++5111111111512233445566S ∴=-+-+-+-+-=练习1.数列）1【解析】n n==+故数列的前10项的和为10...1S =练习2.在等差数列{}n a 中， 357116,8a a a a ++==，则数列341·n n a a ++⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为（ ）21nn +练习3. 已知数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S ， n T ，且0n a >， 2*63,n n n S a a n N =+∈，()()122121nnn a n a a b +=--，若*,n n N k T ∀∈>恒成立，则k 的最小值是( )178441【答案】B【解析】当1n =时， 211163a a a =+，解得13a =或10a =. 由0n a >得13a =.由263n n n S a a =+，得211163n n n S a a +++=+. 两式相减得22111633n n n n n a a a a a +++=-+-.所以11()(3)0n n n n a a a a +++--=.因为0n a >，所以110,3n n n n a a a a +++>-=.即数列{}n a 是以3为首项，3为公差的等差数列，所以()3313n a n n =+-=. 所以()()()()111281117818181812121nnn a n n n n n n a a b +++⎛⎫===- ⎪------⎝⎭. 所以22311111111111117818181818181778149n n n n T ++⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-< ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭. 要使*,n n N k T ∀∈>恒成立，只需149k ≥.练习4.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，若12a =且12n n S S +=，设2log n n b a =，则122320172018111b b b b b b +++的值是（ ）4033201712232017201811111111140331122232016201720172017b b b b b b +++=+-+-++-=-=. 故选B. 练习5.定义12nnp p p +++为n 个正数12,,,n p p p 的“均倒数”，若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为121n +，又14n n a b +=，则122320152016111b b b b b b +++=（ ）练习6.数列{}n a 满足11a =，且对于任意的*n N ∈都有11n n a a a n +=++，则122017111···a a a +++等于（ ）20162017403220172017201840342018【答案】D【解析】由题意可得： 11n n a a n +-=+，则：1213211,2,23,,n n a a a a a a n -=-=-=-=，以上各式相加可得： ()12n n n a +=，则：11121n a n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， 12201711111111403421223201720182018a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=⨯-+-++-=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 练习7.设数列{}n a 满足122,6a a ==，且2122n n n a a a ++-+=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122017201720172017a aa ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦( )解得(1)n a n n =+， ∴1111n a n n =-+， ∴121111111111122311n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-+-+-=- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴12201720172017a a a +++ 则122017201720172017a a a ⎡+++⎢⎥⎣120162018+练习8. 已知幂函数()af x x =的图象过点()4,2，令()()11n a f n f n =++（*n N ∈），记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2018S =（ ）1111-【解析】函数()af x x =的图象过点()4,2，可得42a=,解得12a =，()12f x x=，则()()11n a f n f n ===++，则2018120191S =+.练习9. 已知数列{}n a 的首项为9，且()21122n n a a a n --=+≥，若1112n n n b a a +=++，则数列{}n b 的前n 项和n S =__________． 【答案】2119101n -- 练习10.设数列{}na n S ，点,n S n n⎛⎫ ⎪⎝⎭， ()*n N ∈均在函数32y x =-的图象上. （1）求数列{}n a 的通项公式。
2018年高考数学 专题01 集合热点题型和提分秘籍 理
专题01 集合1．了解集合的含义，元素与集合的属于关系；能用列举法或描述法表示集合． 2．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义． 3．理解并会求并集、交集、补集；能用Venn(韦恩)图表达集合的关系与运算.集合的概念及运算一直是高考热点，同时近两年新课标高考试题加强了对以集合为工具与其他知识的结合的考查，一般为基础题，解题时要充分利用韦恩图、数轴等直观性迅速得解，预计今后这种考查方式不会变.热点题型一 集合的基本概念例1、【2017课标3，理1】已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│，B ={}(,)x y y x =│，则A B 中元素的个数为A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【提分秘籍】与集合中的元素有关问题的求解策略 (1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集。
(2)看这些元素满足什么限制条件。
(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性。
【举一反三】已知集合A ＝{a ＋2，(a ＋1)2，a 2＋3a ＋3}，若1∈A ，则2015a的值为________。
解析：①若a ＋2＝1，即a ＝－1，则(a ＋1)2＝0，a 2＋3a ＋3＝1，不满足集合元素的互异性。
②若(a ＋1)2＝1即a ＝－2或a ＝0。
当a ＝－2时，a ＋2＝0，a 2＋3a ＋3＝1， 不满足集合元素的互异性；当a ＝0时，a ＋2＝2，a 2＋3a ＋3＝3，满足题意。
③若a 2＋3a ＋3＝1，即a ＝－1或－2，由①，②可知均不满足集合元素的互异性。
综上知实数a 的取值集合为{0}， 则2015a 的值为1。
答案：1热点题型二 集合间的基本关系例2、 【2017课标1，理1】已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =<B ．A B =RC ．{|1}AB x x =>D ．AB =∅【答案】A【解析】由31x <可得033x <，则0x <，即{|0}B x x =<，所以{|1}{|0}{|0}A B x x x x x x =<<=<，{|1}{|0}{|1}A B x x x x x x =<<=<，故选A.【提分秘籍】1．根据集合的关系求参数的关键点及注意点(1)根据两集合的关系求参数，其关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析，而且常要对参数进行讨论。
高考数学命题热点名师解密专题 集合的解题技巧(理)
专题01 集合的解题技巧一、集合的解题技巧及注意事项1.元素与集合，集合与集合关系混淆问题；2.造成集合中元素重复问题；3.隐含条件问题；4.代表元变化问题；5.分类讨论问题； 6．子集中忽视空集问题； 7.新定义问题；8.任意、存在问题中的最值问题； 9.集合的运算问题；10.集合的综合问题。
二．知识点 【学习目标】1．了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系，能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)来描述不同的具体问题，理解集合中元素的互异性；2．理解集合之间包含和相等的含义，能识别给定集合的子集，了解在具体情境中全集与空集的含义； 3．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；4．能使用韦恩(Venn )图表达集合间的关系与运算． 【知识要点】 1．集合的含义与表示(1)一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称集． (2)集合中的元素的三个特征：确定性、互异性、无序性 (3)集合的表示方法有：描述法、列举法、区间法、图示法(4)集合中元素与集合的关系分为属于与不属于两种，分别用“∈”或“∉”来表示． (5)常用的数集：自然数集N ；正整数集N *(或N ＋)；整数集Z ；有理数集Q ；实数集R. 2．集合之间的关系(1)一般地，对于两个集合A ，B .如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A B ⊆；若A ⊆B ，且A ≠B ，则A B ⊂，我们就说A 是B 的真子集． (2)不含任何元素的集合叫做空集，记作Φ，它是任何集合的子集，即∅⊆A ． 3．集合的基本运算(1)并集：A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B }； (2)交集：A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈B }； (3)补集：∁U A ＝．4．集合的运算性质(1)A∩B＝A⇔A⊆B，A∩A＝A，A∩∅＝∅；(2)A∪B＝A⇔A⊇B，A∪A＝A，A∪∅＝A；(3)A⊆B，B⊆C，则A⊆C；(4)∁U(A∩B)＝∁U A∪∁U B，∁U(A∪B)＝∁U A∩∁U B，A∩∁U A＝∅，A∪∁U A＝U，∁U(∁U A)＝A；(5)A⊆B，B⊆A，则A＝B.三．典例分析及变式训练（一）元素与集合，集合与集合关系M=,则例1. 已知{0,1}∈ B.N M∈ C.N MA.M N⊆⊆ D.M N【答案】AM=，【解析】{0,1}∴∈M N练习1【广西百色市高三年级2019届摸底调研考试】已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】A【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中不等式的解集确定出B，求出两集合的交集即可．【解析】由A中y=log2（x+1），得到x+1＞0，即x＞-1，∴A=（-1，+∞），由B中不等式变形得：（x﹣3）（x+2）≤0且x解得：﹣2≤x<3，又，，则A∩B=，故选：A．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．练习2．【湖南省长郡中学2019届高三第三次调研】已知集合，集合，全集为U＝R，则为A．B．C．D．【答案】D【分析】化简集合A，B，然后求出A的补集，最后求交集即可得到结果.【详解】∵，∴又∴故选：D【点评】求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解；在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍． （二）集合中元素重复陷阱例2. 【华南师范大学附中2018-2019测试题】．设整数,集合.令集合，且三条件恰有一个成立},若和都在中,则下列选项正确的是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】采用特殊值排除法，取x=2，y=3，z=4，w=1，可排除错误选项.【解析】取x=2，y=3，z=4，w=1，显然满足（x ，y ，z ）和（z ，w ，x ）都在S 中， 此时（y ，z ，w ）=（3，4，1）∈S ，（x ，y ，w ）=（2，3，1）∈S ， 故A 、C 、D 错误, 故选B【点评】本题考查了元素与集合的关系，集合中元素具有确定性，互异性和无序性. 练习1. ,a b 是实数，集合A={a,,1}ba，，若A B ，求20152016a b ＋.【答案】1－【点评】：对于两个集合相等或子集问题，涉及元素问题，必须要保证集合元素的互异性.练习2. 【上海市2018-2019期中考试】如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】先根据图中的阴影部分是M∩P 的子集，但不属于集合S ，属于集合S 的补集，然后用关系式表示出来即可．【解析】图中的阴影部分是：M∩P 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集即是C I S 的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P ）∩∁I S 故选：C ．【点评】本题主要考查了Venn 图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题． （三）隐含条件陷阱 例3. 集合，则集合A 与集合B 之间的关系（ ）A. A B ⊆B. B A ⊆C. B A ÖD. A B Ö 【答案】A【解析】设a A ∈，则，说明集合A 的元素一定是集合B 的元素，则A B ⊆，选A. 练习1已知集合，则A B ⋂=（ ）A. {}1,0-B. {}0,1C. {}1,0,1-D. {}1,2- 【答案】A 【解析】，，则，选B.（2）由题意得函数在区间上单调递减，∴， ∴，∴．∵，∴，∴，解得，∴实数的取值范围是．【点评】解答本题时注意转化思想方法的运用，已知集合的包含关系求参数的取值范围时，可根据数轴将问题转化为不等式（组）求解，转化时要注意不等式中的等号能否成立，解题的关键是深刻理解集合包含关系的含义． 练习1.设集合，，若，求实数a 的取值范围；若，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）（2）【分析】（1）由题意得，，根据可得，从而可解出的取值范围；（2）先求出，根据可得到，解出的取值范围即可．【解析】由题意得，；（1）∵，∴，解得，又，∴，∴实数的取值范围为．（2）由题意得，∵，∴，解得．∴实数的取值范围为．【点评】本题考查集合表示中描述法的定义，一元二次不等式的解法，子集的概念，以及交集的运算．根据集合间的包含关系求参数的取值范围时，注意转化方法的运用，特别要注意不等式中的等号能否成立．（六）子集中忽视空集问题例6【云南省2018-2019学年期中考试】已知集合，若，则的取值集合是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】本题考查集合间的包含关系，先将集合，化简，然后再根据分类讨论．【解析】∵集合∴若，即时，满足条件；若，则.∵∴或∴或综上，或或.故选C.【点评】本题主要考查利用集合子集关系确定参数问题，易错点是化简集合时没有注意时的特殊情况．练习1.已知集合，．（1）若，求;（2）若，求实数的取值范围．【答案】(1) (2) 或【点评】由集合间的关系求参数时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点（七）新定义问题例7．【清华附属中2018-2019学年试题】集合A，B的并集A∪B＝｛1，2｝，当且仅当A≠B时，（A，B）与（B，A）视为不同的对，则这样的（A，B）对的个数有__________.【答案】8【分析】根据条件列举，即得结果.【解析】由题意得满足题意的（A，B）为：A=，B＝｛1，2｝；A=｛1｝，B＝｛2｝；A=｛1｝，B＝｛1，2｝；A=｛2｝，B＝｛1｝；A=｛2｝，B＝｛1，2｝；A=｛1，2｝，B＝；A=｛1，2｝，B＝｛1｝；A=｛1，2｝，B＝｛2｝；共8个.【点评】本题考查集合子集与并集，考查基本分析求解能力.练习1．【华东师范大学附中2019届高三数学试卷】已知集合M=，集合M的所有非空子集依次记为：M1，M2，...,M15，设m1，m2，...，m15分别是上述每一个子集内元素的乘积，规定：如果子集中只有一个元素，乘积即为该元素本身，则m1+m2+...+m15=_____【答案】【分析】根据二项式定理的推导过程构造出函数，当时，函数的值就是所有子集的乘积。
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2018年高考数学破解命题陷阱方法总结 集合的解题技巧一、命题陷阱设置1.元素与集合，集合与集合关系混淆陷阱；2.造成集合中元素重复陷阱；3.隐含条件陷阱；4.代表元变化陷阱；5.分类讨论陷阱； 6．子集中忽视空集陷阱； 7.新定义问题；8.任意、存在问题中的最值陷阱. 二、典例分析及训练.（一）元素与集合，集合与集合关系混淆陷阱 例1. 已知{0,1}M =,{|}N x x M =⊆则A.M N ∈B.N M ∈C.N M ⊆D.M N ⊆【答案】A陷阱预防：表面看是集合与集合之间的关系，实质上是元素与集合之间的关系，这类题目防范办法是把集合N 用列举法表示来.练习1.集合{|52,},{|53,},M x x k k Z P x x n n Z ==-∈==+∈{|103,}S x x m m Z ==+∈之间的关系是（ ）A. S P M ⊂⊂B. S P M =⊂C. S P M ⊂=D. P M S =⊂ 【答案】C【解析】∵{|52,},{|53,},{|103,}M x x k k Z P x x n n Z S x x m m Z ==-∈==+∈==+∈，∴{}7,2,3,8,13,18M =--， {}7,2,3,8,13,18P =--， {}7,3,13,23S =-，故S P M ⊂=，故选C.练习2. 对于集合A {246}＝，，，若A a ∈，则6A a -∈，那么a 的值是________. 【答案】2或4【解析】2A ∈，则624A ,4A -=∈∈则642A,6A -=∈∈，则660A ,-=∈舍去，因此a 的值是2或4（二）集合中元素重复陷阱 例2. ,a b 是实数，集合A={a,,1}ba，2{,,0}B a a b =+，若A B =，求20152016a b ＋. 【答案】1－ 【解析】{}{}20010A B b A a B a a ∴＝，＝，＝，，，＝，，. 21a ∴＝ ，得 1.1a a ±＝＝ 时， {}101A ＝，， 不满足互异性，舍去； 1a ＝－ 时，满足题意.201520161a b ∴＋＝－ .陷阱预防：对于两个集合相等或子集问题，涉及元素问题，必须要保证集合元素的互异性. 练习1.已知集合3{1,2,},{1,},A m B m B A ==⊆，则m ＝ ____. 【答案】0或2或－1【解析】由B A ⊆得m A ∈，所以3m m =或2m =，所以2m =或1m =-或1m =或0m =，又由集合中元素的互异性知1m ≠.所以0m =或2或－1. 故答案为0或2或－1练习2. 已知集合()}{,0A x y ==，集合(){},B x y ==，集合(){},C x y ==请写出集合A ，B ，C 之间的关系______________.【答案】B C A ≠≠⊂⊂【解析】集合()}{,0A x y ==表示直线10x y --= 上的所有点；集合(){},B x y ==表示直线10x y --= 上满足1{x y ≥≥ 的点；集合(){},C x y ==表示直线10x y --= 上满足0{1x y ≥≥- 的点故B C A ≠≠⊂⊂（三）隐含条件陷阱例3.已知集合()(){}{}210,11A x x x B x Z x =-+<=∈-≤≤，则A B ⋂=（ ） A. {}1,0- B. {}0,1 C. {}1,0,1- D. {}1,2- 【答案】A陷阱预防：注意两个集合代表元的条件，容易忽视集合中元素属于整数的条件. 练习1. 集合(){}()(){},A x f x x B x ff x x ====，则集合A 与集合B 之间的关系（ ）A. A B ⊆B. B A ⊆C. B A ÖD. A B Ö 【答案】A【解析】设a A ∈，则()()(),,a f a f f a f a a a B ⎡⎤=∴==∴∈⎣⎦，说明集合A 的元素一定是集合B 的元素，则A B ⊆，选A.练习2. 已知集合{}2230A x x x =-->，集合{}2Z 4B x x x =∈≤，则()R A B ⋂=ð（ ） A. {}03x x ≤≤ B. {}1,0,1,2,3- C. {}0,1,2,3 D. {}1,2 【答案】C【解析】集合{}2230A x x x =--> {}=31x x x <-或， {}{}2Z 44,3,2,1,0B x x x =∈≤={}|13R A x x =-≤≤ð 故(){}0,1,2,3R A B ⋂=ð故答案为C 。
（四）代表元的变化陷阱例4. 已知{}{}221,,1,,A x y x x R B y y x x R ==+∈==+∈{}2(,)1,C x y y x x R ==+∈，则三个集合的关系. 【答案】见解析【解析】因为{}{}221,,1,[1,),A x y x x R R B y y x x R ==+∈===+∈=+∞所以，A B ⊂；又因为C 的代表元是有序实数对(,)x y ，所以它表示的是点集，因此，集合C 与集合,A B 没有关系.陷阱预防：解这类问题需要注意集合代表元是什么，是数集还是点集. 练习1. 设集合{}{}22,,10x A y y x R R B x x ==∈==-<，则AB = ( )A.(1,1)-B.(0,1)C.(1,)-+∞D.(0,)+∞【答案】C【解析】{}{}2,0x A y y x R y y ==∈=>．{}210{|11}B x x x x =-<=-<<，∴(0,)(1,1)(1,)AB =+∞-=-+∞，故选C练习2. 已知集合{|A x y ==， {|lg 1}B x x =<，则A∩B=（ ） A. []1,3- B. (]1,3- C. （0，1] D. （0，3] 【答案】D（五）参数取值不完整造成漏解例5.已知集合2{|210}M x R ax x =∈+-=，若M 中只有一个元素，则a 的值是（ ） A. 0 B. 1- C. 0或1- D. 0或1 【答案】C【解析】当0a =时， {}1|2102M x R x ⎧⎫=∈-==⎨⎬⎩⎭，满足题意.当0a ≠时，要使集合M 中只有一个元素，即方程2210ax x +-=有两个相等的实数根，则440a ∆=+=，解得1a =-.综上可得0a =或1a =-.选C.陷阱预防：对参数必须全面考虑，注意二次项系数为0时，它不是一元二次方程.练习1. 已知函数()()222f x x a x a =-++-，若集合(){}|0 A x N f x =∈<中有且只有一个元素，则实数a 的取值范围为 _____________. 【答案】12,23⎛⎤⎥⎝⎦又02f a =-（），若020,f a =-<（）则2a >，此时2212a x +=> 则集合(){}|0 x N f x =∈<中有两个元素0,1，不符题意；故020,f a =-≥（） 2a ≤ 此时集合(){}|0 A x N f x =∈<中有且只有一个元素，需满足()()()0010 20f f f ⎛<> ⎝> 即()()22201220 22220a a a a a -≥-++-⎧⎪⎨⎪-⨯+-⎩<+≥解得1233a <≤即答案12,23⎛⎤⎥⎝⎦练习2. 关于x 的不等式()()2220ax a x a R +--≥∈的解集为][(),12,-∞-⋃+∞. （1）求a 的值；（2）若关于x 的不等式()()2320x c a x c c a -++-<解集是集合A ，不等式()()210x x -+>的解集是集合B ，若A B ⊆，求实数c 的取值范围. 【答案】（1）1a =；（2）1,12c ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 【解析】（1）根据题意关于x 的不等式()()220ax a x x a R +--≥∈的解集为][(),12,,0a -∞-⋃+∞∴>，又由题意可知不等式对应方程的两个实数根为1-和2，22a∴=，解得1a =. （2）1a =，原等式可转化为()()231210x c x c c -+++<，即()()210x c x c ---<，∴对应方程的根为122,1x c x c ==+①当1c >时， 21,c c >+∴不等式的解集是()()1,2,1,2A c c B =+=-.22,1,,{11, {2, 1,1,c c A B c c c c c φ≤≤⊆∴+≥-⇒≥⇒∈>>②当1c <时， ()()21,2,1,1,2c c A c c B <+∴=+=-.1,21,21,{12, {1, 121,1,c c A B c c c c c ≥-≥-⊆∴+≤⇒≤⇒-≤<<<.③当1c =时， A =∅，满足A B ⊆. 综合上述， 1,12c ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 练习3.已知集合{|013}A x ax =<+≤，集合1{|2}2B x x =-<<. （1）若1a =；求AC B ；（2）若A B A ⋂=，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）1{|12A CB x x =-<≤-或2}x =；（2）()[),42,-∞-⋃+∞ 【解析】（1）若1a =，则{|12}A x x =-<≤， 故1{|12A CB x x =-<≤-或2}x = （2）,A B A A B ⋂=∴⊆，不等式013ax <+≤解集分三种情况讨论：①0a =，则,A R A B =⊆不成立；②0a <，则21{|}A x x a a=≤<-，由A B ⊆得12,{ 12,2aa-≤-<得4a <-；③0a >，则12{|}A x x a a=-≤<，由A B ⊆得11,2{ 22,a a-≥-<得2a ≥.综上所述： a 的取值范围为()[),42,-∞-⋃+∞. （六）子集中的空集陷阱例6.已知{}{}2230,1A x x x B x x a =--<=-<. （1）若A B Ö，求实数a 的取值范围； （2）若B A Ö，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）()2,+∞；（2）(),2-∞.（2）1︒ 当B =∅时，即0a ≤ ∴B A Ö.2︒ 当B ≠∅时，即0a >∵()()1,3,1,1A B a a =-=-+， B A Ö.∴11{31a a ->-≥+或 11{ 31a a-≥->+ 即2a <.∴02a <<.综上所述：实数a 的取值范围是(),2-∞.陷阱预防：对于含参数的子集问题，一定要做到看到子集要想到空集. 练习1. 已知{}|37A x x =≤≤, {}|24B x a x a =<<+． （1）当1a =时，求A B ⋂和A B ⋃； （2）若A B ⋂=∅，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{}|35A B x x ⋂=≤<， {}|27A B x x ⋃=<≤；（2）][7,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭． 【解析】试题分析：（1）1a =时，写出集合B ，利用数轴即可求出； （2）分B =∅时与B ≠∅时两种情况分类讨论即可求出结论. 试题解析：（1）1a =时， {}|25B x x =<<，故{}|35A B x x ⋂=≤<， {}|27A B x x ⋃=<≤．（1）求(),U A B C A B ⋃⋂；（2）若集合{}20C x x a =+，且B C C ⋃=，求a 的取值范围. 【答案】（1）{|2}A B x x ⋃=≥;(){|4}U C A B x x ⋂=≥;（2）6a >-.【解析】（1）由2837122x x --⎛⎫≥ ⎪⎝⎭得3782x x -≥-，解得3x ≥， ∴{|3}B x x =≥。