角平分线定理
角平分线的性质定理及其逆定理
角平分线的性质定理及其逆定理定理一、角平分线的性质定理及其逆定理1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
2.角平分线的逆定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
不难发现，定理1的条件是定理2的结论，同时它的结论又是定理2的条件，它们互为逆定理。
定理1说明了角平分线上点的纯粹性，即：只要是角平分线上的点，它到此角两边一定等距离，而无一例外；定理2反映了角平分线的完备性，即只要是到角两边距离相等的点，都一定在角平分线上，而绝不会漏掉一个。
在实际应用中，前者用来证明线段相等，后者用来证明角相等或证明点在一个角的平分线上。
用数学语言可表示如下：例题一：（1）∵OC平分∠AOB，点P在射线OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E∴PD=PE（定理1）（2）∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE∴OC平分∠AOB（定理2）例题二：如图，△ABC的ㄥB平分线BD与ㄥC的外角的平分线CE相较于点P。
求证：点P到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等。
从P点向边AB做垂线,垂足为F,向BC边作垂线,垂足为G,向AC边作垂线,垂足为H因为BD是角ABC的角平分线所以PF=PG因为CE是角ACB的外角平分线所以PH=PG所以PF=PG=PH即,点P到三这AB,BC,CA所在直线的距离相等从P点向边AB做垂线,垂足为F,向BC边作垂线,垂足为G,向AC边作垂线,垂足为H因为BD是角ABC的角平分线所以PF=PG因为CE是角ACB的外角平分线所以PH=PG所以PF=PG=PH即,点P到三这AB,BC,CA所在直线的距离相等这题对吗？。
角平分线三个定理
角平分线三个定理全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：角平分线三个定理是几何学中非常重要的定理之一，它们可以帮助我们更好地理解和运用角平分线的性质。
本文将详细介绍这三个定理的含义和推理过程。
第一个定理是角平分线定理。
所谓角平分线定理指的是：如果一条直线将一个角分成两个大小相等的角，那么这条直线就是这个角的平分线。
换句话说，如果一条直线BD分割一个角ABC，且∠ABD≌∠CBD，则BD就是∠ABC的平分线。
证明这个定理的方法比较简单，可以通过相似三角形或等角相等辅助线的方法进行。
通过这三个定理，我们可以更深入地了解角平分线的性质，进而应用到解决各种与角平分线相关的几何问题中。
熟练掌握和灵活运用这三个定理对于提高我们的几何学水平至关重要。
希望通过本文的介绍，读者们能够更好地理解和掌握角平分线的性质，从而在学习和工作中取得更好的成绩。
愿大家在几何学的道路上不断进步，探索出更多有趣的数学定理和问题！第二篇示例：角平分线三个定理是解析几何中非常重要的定理，对于角平分线的性质进行了深入的研究和总结。
在平面几何中，角平分线是连接一个角的两边中点的线段，将这个角分成两个相等的角。
下面我们来详细介绍一下角平分线的三个定理。
第一个角平分线定理是角平分线定理，它的表述如下：若一条线段从一个角内的顶点引出，又将这个角分成两个相等的小角。
这个定理是解析几何中最基本的定理之一，也是很多其他定理的基础。
通过角平分线定理，我们可以得出许多结论和推论，解决很多关于角平分线的问题。
第二个角平分线定理是角平分线的长度比定理，它的表述如下：如果一条角平分线把一个角分成两个相等的小角，则这条角平分线上的一点到角的两边的距离分别等于这两条边的比值。
这个定理在解决角平分线长度问题时非常有用，能够帮助我们准确计算角平分线的长度。
通过这三个角平分线定理，我们可以更好地理解和运用角平分线的性质，解决各种与角平分线相关的问题。
在解析几何的学习中，掌握这些定理能够提高我们的解题能力和几何思维，帮助我们更好地理解平面几何知识，为进一步学习提供良好的基础。
三角形的角平分线定理解析
三角形的角平分线定理解析三角形的角平分线定理是指：三角形内任意一条角的角平分线，都能将该角分成两个相等的角。
这个定理在解决三角形相关问题时非常有用，可以帮助我们推导出一些重要的结论和性质。
接下来，我们将对三角形的角平分线定理进行详细的解析。
一、角平分线的定义在三角形ABC中，假设角A的角平分线与边BC相交于点D，那么我们可以称线段AD为角A的角平分线。
角平分线的作用是将角A 分成两个相等的角BAD和CAD。
二、角平分线定理的几何解析根据角平分线的定义，我们可以得出以下几何结论：1. 任意角的角平分线两端的线段长度相等。
即AD = CD。
证明：作BD与AC的延长线交于点E。
由于△ABD和△CAD中有AD = AD（公共边）、∠BAD = ∠CAD（角平分线的定义）和∠BDA = ∠CDA（共同内角），所以根据ASA（边角边）的性质可以得出△ABD ≌△CAD。
因此，AD = CD。
2. 角平分线将对边分成两个与角平分线所在边等长的线段。
即BD = CD。
证明：由于△ABD和△ACD中有∠BDA = ∠CDA（共同的内角），∠ABD = ∠ACD（角平分线的定义）和AD = AD（公共边），根据ASA（角边角）的性质可以得出△ABD ≌△ACD。
因此，BD = CD。
三、角平分线定理的应用角平分线定理不仅可以帮助我们推导出一些证明，还可以在解题过程中起到积极的作用。
下面我们通过一些例子来说明角平分线定理的应用。
例子1：给定三角形ABC，角BAD是角A的角平分线，若∠BAD = 60°，求∠ACB的度数。
解：由角平分线定理可知BD = CD，且∠BAD = ∠CAD = 60°。
由于∠BAD + ∠CAD + ∠ACB = 180°（三角形内角和定理），代入已知信息可得60° + 60° + ∠ACB = 180°，解得∠ACB = 60°。
三角形角平分线的全部定理
三角形角平分线的全部定理
内角平分线定理指出，三角形内一角的平分线所分对边成比例。
换句话说，如果在三角形内部的一个角上作平分线，那么这条平分
线将三角形的对边分成的两部分的比例相等。
外角平分线定理指出，三角形外一角的平分线所分对边成比例。
换句话说，如果在三角形外部的一个角上作平分线，那么这条平分
线将三角形的对边分成的两部分的比例相等。
角平分线定理指出，如果在三角形的一个内角上作平分线，那
么这条平分线将这个内角分成两个相等的角。
这些定理在解决三角形内角平分线、外角平分线和角平分线的
相关问题时非常有用。
它们可以被用来证明三角形内部或外部的角
平分线所分对边的比例关系，或者用来证明两个角相等的问题。
这
些定理在几何学中有着广泛的应用，并且对于理解和解决三角形相
关的问题非常重要。
角平分线定理
角平分线定理角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
■ 三角形的角平分线定义：三角形顶点到其内角的角平分线交对边的点连的一条线段，叫三角形的角平分线。
【注】三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。
角的平分线是射线。
■拓展：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等！(即内心)。
■定理1：在角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等。
■逆定理：在一个角的内部（包括顶点），且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
■定理2：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，如：在△ABC中，BD平分∠ABC，则AD：DC=AB：BC提供四种证明方法：已知，如图，AM为△ABC的角平分线，求证AB／AC=MB／MC已知和证明1图证明：方法1：（面积法）S△ABM=(1/2)·AB·AM·sin∠BAM,S△ACM=(1/2)·AC·AM·sin∠CAM,∴S△ABM：S△ACM=AB:AC又△ABM和△ACM是等高三角形，面积的比等于底的比，证明2图即三角形ABM面积S：三角形ACM面积S=BM:CM ∴AB／AC=MB／MC方法2（相似形）过C作CN‖AB交AM的延长线于N则△ABM∽△NCM∴AB/NC=BM/CM又可证明∠CAN=∠ANC∴AC=CN∴AB／AC=MB／MC证明3图方法3（相似形）过M作MN‖AB交AC于N则△ABC∽△NMC,∴AB/AC=MN/NC,AN/NC=BM/MC又可证明∠CAM=∠AMN∴AN=MN∴AB/AC=AN/NC∴AB／AC=MB／MC方法4（正弦定理）作三角形的外接圆，AM交圆于D，由正弦定理，得，证明4图AB/sin∠BMA=BM/sin∠BAM,∴AC/sin∠CMA=CM/sin∠CAM又∠BAM=∠CAM，∠BMA+∠AMC=180°sin∠BAM=sin∠CAM,sin∠BMA=sin∠AMC, ∴AB／AC=MB／MC。
角平分线比例定理
角平分线比例定理
角平分线比例定理是：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
角平分线成比例定理是数学中的一种定理，该定理指出三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。
角平分线定理1：是描述角平分线上的点到角两边距离定量关系的定理，也可看作是角平分线的性质。
角平分线定理2：是将角平分线放到三角形中研究得出的线段等比例关系的定理，由它以及相关公式还可以推导出三角形内角平分线长与各线段间的定量关系。
三角形角平分线相关定理
三角形角平分线相关定理三角形角平分线相关定理是三角形中的一个重要定理，它与三角形内部角平分线的性质有关。
在本文中，将详细介绍角平分线的定义、性质以及相关定理的证明和应用。
一、角平分线的定义与性质角平分线是指从一个角的顶点出发，将这个角平分成两个相等的角的线段。
对于一个三角形ABC，如果从顶点A出发的线段AD将角BAC平分成两个相等的角，那么线段AD就是角BAC的角平分线。
角平分线有以下几个重要性质：1. 角平分线将对边分成两段，这两段的比例等于其他两边的比例。
即AB/AC = BD/CD。
2. 角平分线和三角形的边界相交，且相交点到对边的距离相等。
3. 三角形内部的角平分线都会交于一个点，该点称为三角形的内心。
4. 三角形的内心到三角形三边的距离相等，即内心到三边的距离均相等。
二、角平分线相关定理1. 三角形内角平分线定理：三角形内一条角平分线上的点到三角形其他两边的距离之比等于这两边的长度之比。
即AD/BD = AC/BC。
证明：根据角平分线性质1可得AB/AC = BD/CD，再联立AB/AC = BD/CD和AD/BD = AC/BC两个等式，可以得到AD/BD =AC/BC。
2. 角平分线外角平分线定理：三角形外一条角平分线上的点到三角形其他两边的距离之比等于这两边的长度之比的倒数。
即AE/BE = AC/BC。
证明：根据角平分线性质1可得AB/AC = BD/CD，再联立AB/AC = BD/CD和AE/BE = AC/BC两个等式，可以得到AE/BE = AC/BC。
三、角平分线相关定理的应用角平分线相关定理在解决三角形相关问题时具有重要的应用价值。
以下是一些常见的应用场景：1. 求角平分线的长度：已知三角形两边和夹角的情况下，可以利用角平分线相关定理求角平分线的长度。
2. 求角平分线所分对边的长度比：已知三角形两边和夹角的情况下，可以利用角平分线相关定理求角平分线所分对边的长度比。
三角形中角平分线的结论
三角形中角平分线的结论
定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比。
三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对
应成比例。
角平分线定理
从一个角的顶点引出的把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的角平分线。
三角形的一个角（内角）的角平分线交其对边的点所连成的线段，叫做这个三角形的一条角平分线。
定理1
角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
逆定理：在角的内部到一个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
定理2
三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两
边对应成比例。
逆定理：
如果三角形一边上的某个点与这条边所成的两条线段与这条边
的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线。
三角形内角平分线定理
三角形内角平分线性质定理：在ΔABC中,若AD是∠A的平分线,
则BD/DC=AB/AC。
应用：不用计算即可将一条线段按要求分成任意比例。
三角形内角平分线内分对边，所得的两条线段与这个角的两边对应成比例。
三角形外角平分线的性质定理：三角形外角平分线外分对边，所得的两条线段与其内角的两边对应成比例。
角平分线原理总结
角平分线原理总结
角平分线原理是解决与角度和线段相关问题的重要工具。
该原
理指的是将一个角平分为两个相等的角的直线，称为角平分线。
角平分线的性质：
1. 角平分线将角分为两个相等的角。
例如，若一条线段被一条
角平分线分为两个角A和B，则角A和角B的度数相等。
2. 角平分线将角的两边分为相等的线段。
如果一条线段被一条
角平分线分为两段C和D，则线段C的长度与线段D的长度相等。
3. 一条线段可以同时作为多个角的平分线。
如果一条线段被两
个不同的角平分成相等的部分，则该线段同时也是这两个角的平分线。
角平分线的应用：
1. 三角形内角平分线定理。
根据内角平分线定理，一条角平分
线将三角形的内角分为相等的两部分。
这一原理在解决三角形相关
问题时非常有用。
2. 角平分线的作图。
通过作出一个角的角平分线，我们可以得到两个相等的角，可以帮助我们进行精确的角度测量。
3. 证明两条线段平行。
如果一条线段与另一条角平分线相交且与该角的另一边相垂直，那么这两条线段一定是平行的。
总结：
角平分线原理是一个有用的工具，可以帮助我们解决与角度和线段相关的问题。
它可以帮助我们测量角度、证明平行关系，以及解决三角形相关问题。
在使用角平分线原理时，需要注意角平分线的性质以及其应用场景，以充分发挥其作用。
等边三角形角平分线定理
等边三角形角平分线定理定理：等边三角形中, 三条角平分线交于一个点，并且这个点是重心、垂心、外心、内心的交点。
证明：1. 假设三角形ABC是一个等边三角形，三个角的测量都是60度。
2. 连接三角形的顶点A与底边BC的中点D，同时也连接角A的平分线AE。
同样，连接B与平分线CF, C与平分线BG.3. 由于等边三角形中，三个角的测量都是60度，所以可以得到角DAB=30度，角FAE=30度，角GBC=30度。
4. 同样由于等边三角形中，AB=BC=AC，可以得到三角形ABD与三角形ACD 是相等的，即AB=AC，角DAB=角DAC=30度。
5. 这意味着线段AD是三角形ABC的一个角平分线。
同样由于线段BE和CF 也分别是角B和角C的平分线，我们可以得到三角形ABC中的三条角平分线。
6. 接下来，我们要证明这三条角平分线会交于同一个点。
假设它们交于点O。
7. 由于角DAB=30度，角FAE=30度，角GBC=30度，所以可以得到角BOC=120度。
8. 同时，由于线段AD是角A的平分线，所以可以得到角BAD=angleCAD=30度。
9. 又因为AB=AC，所以可以得到三角形ABO与三角形ACO是相等的，即AB=AC, AO=AO, 和角BAO=角CAO=30度。
10. 因此，三角形ABO与ACO是相等且全等的，从而可以得到BO=CO，即点O位于线段BC的中垂线上。
11. 可以类似地证明点O也位于线段AB和线段AC的中垂线上，所以它是三角形ABC的重心。
12. 另一方面，由于三角形ABC是等边三角形，所以利用此前已经证明过的结论，点O也是三角形ABC的垂心、外心和内心的交点。
综上所述，等边三角形中，三条角平分线交于一个点，并且这个点是重心、垂心、外心、内心的交点。
角平分线的定义是什么判定定理有哪些
角平分线的定义是什么判定定理有哪些角平分线的定义是从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
角平分线是在角的型内及形上，到角两边距离相等的点的轨迹。
角平分线在三角形中的定义是三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交。
角平分线的定义角平分线的定义是从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
角平分线是在角的型内及形上，到角两边距离相等的点的轨迹。
角平分线在三角形中的定义是三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点和与对边交点的线段叫做三角形的角平分线，也叫三角形的内角平分线。
由定义可知，三角形的角平分线是一条线段。
由于三角形有三个内角，所以三角形有三条角平分线。
三角形的角平分线交点一定在三角形内部。
角平分线的判定角平分线的性质定理和判定1、角平分线：把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线；2、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等：①平分线上的点；②点到边的距离；3、角平分线的判定定理：到角的两边的距离相等的点在角平分线上角平分线的交点叫什么心“角平分线的交点叫内心，垂线的交点叫垂心，中线的交点分别叫重心，垂直平分线的交点叫外心，三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，叫做旁心。
三角形有许多性质，存在很多“心”的性质：1、重心：三角形重心是三角形三条中线的交点。
当几何体为匀质物体时，重心与形心重合。
2、外心：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心。
三角形外接圆的圆心也就是三角形三边垂直平分线的交点，三角形的三个顶点就在这个外接圆上。
角的平分线定理 定理1
角的平分线定理定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等定理2：到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合矩形的定理矩形性质定理1：矩形的四个角都是直角矩形性质定理2：矩形的对角线相等矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形菱形定理菱形性质定理1：菱形的四条边都相等菱形性质定理2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2菱形判定定理1：四边都相等的四边形是菱形菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形正方形定理正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角等腰梯形性质定理等腰梯形性质定理：1.等腰梯形在同一底上的两个角相等2.等腰梯形的两条对角线相等等腰梯形判定定理：1.在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形2.对角线相等的梯形是等腰梯形平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边平行四边形定理平行四边形性质定理1：平行四边形的对角相等平行四边形性质定理2：平行四边形的对边相等推论：夹在两条平行线间的平行线段相等平行四边形性质定理3：平行四边形的对角线互相平分平行四边形判定定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形平行四边形判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形平行四边形判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形平行四边形判定定理4：一组对边平行相等的四边形是平行四边形初中数学几何平行定理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行推论：如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行证明两直线平行定理：同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，两直线平行两直线平行推论：两直线平行，同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补对称定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合定理1：关于某条直线对称的两个图形是全等形定理2：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线定理3：两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上逆定理：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称中心对称定理定理1：关于中心对称的两个图形是全等的定理2：关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分逆定理：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称中位线定理三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=（a+b）÷2S=L ×h初中数学圆的定理12不共线的三点确定一个圆经过一点可以作无数个圆经过两点也可以作无数个圆，且圆心都在连结这两点的线段的垂直平分线上定理：过不共线的三个点，可以作且只可以作一个圆推论：三角形的三边垂直平分线相交于一点，这个点就是三角形的外心三角形的三条高线的交点叫三角形的垂心1.3垂径定理圆是中心对称图形；圆心是它的对称中心圆是周对称图形，任一条通过圆心的直线都是它的对称轴定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且评分弦所对的两条弧推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧推论2：弦的垂直平分弦经过圆心，并且平分弦所对的两条弧推论3：平分弦所对的一条弧的直径，垂直评分弦，并且平分弦所对的另一条弧1.4弧、弦和弦心距定理：在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等二圆与直线的位置关系2.1圆与直线的位置关系如果一条直线和一个圆没有公共点，我们就说这条直线和这个圆相离如果一条直线和一个圆只有一个公共点，我们就说这条直线和这个圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做它们的切点定理：经过圆的半径外端点，并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线定理：圆的切线垂直经过切点的半径推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心如果一条直线和一个圆有两个公共点，我们就说，这条直线和这个圆相交，这条直线叫这个圆的割线，这两个公共点叫做它们的交点直线和圆的位置关系只能由相离、相切和相交三种2.2三角形的内切圆如果一个多边形的各边所在的直线，都和一个圆相切，这个多边形叫做圆的外切多边形，这个圆叫做多边形的内切圆定理：三角形的三个内角平分线交于一点，这点是三角形的内心三角形一内角评分线和其余两内角的外角评分线交于一点，这一点叫做三角形的旁心。
数学人教版八年级上册角平分线有关的定理
角平分线定理
角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线.
三角形的角平分线定义：三角形顶点到其内角的角平分线交对边的点连的一条线段，叫三角形的角平分线.
注：三角形的角平分线不是角的平分线，是线段.角的平分线是射线.
拓展：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等！(即内心).
定理1：角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等.
逆定理：在一个角的内部（包括顶角），且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.
定理2：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例，。
角平分线的定律
角平分线的定律
角平分线的定律是几何学中的一条重要定理，它可以被应用到平面和立体几何学中，并且非常有用。
它的定义是，在任意一个多边形的内部，任何一条角平分线都会将那个多边形分割成两个相等的部分，也就是说，任何一条角平分线都能够将多边形的角等分开。
角平分线的定律最早由希腊古代数学家们提出来的，他们认为，在一个三角形内，任意一条角平分线都会将这个三角形分割成两个等边三角形。
他们继续证明，对于任意多角形，任何一条角平分线都能把这个多角形分割成两个等面积的多角形，而且这两个多角形的面积的面积比等于多角形的面积。
17世纪的科学家们又进一步开发了角平分线的定理，这一次是
在平面几何学中，他们发现，任何一条角平分线都会将多边形分割成两个相等的部分，也就是说，任何一条角平分线都能够将多边形的角等分开。
到了19世纪后期，科学家们又在角平分线定理下发现了新的数
学定理，他们发现，如果将多边形的角等分开，那么这些多边形会形成一个平行四边形，也就是说，任何一条角平分线都会将多边形的角等分开，并且这些多边形会形成一个平行四边形。
角平分线的定理同样被应用到立体几何学中，科学家们发现，任何一个多面体的面都可以被分成两个等面积的多面体，而且这两个多面体的面积的比值等于多面体的面积。
以上就是角平分线定理的历史演变和定义，它由古代希腊数学家
们提出，后来又由17世纪的科学家们进一步发展和研究，19世纪后期科学家们发现了新定律，最后被应用到立体几何学中。
虽然角平分线定理在几种不同的几何学中都有广泛的应用，但是它最主要的作用还是在平面几何学中，在平面几何学中，角平分线定理可以被广泛的应用到图案的设计、角的测量、图纸的解释等方面，因此，角平分线定理在几何学中非常重要。
直角三角形 角平分线定理
直角三角形角平分线定理
直角三角形的角平分线定理是指：在一个直角三角形中，如果从直角顶点引一条线段，将对角线分成两段，那么这条线段所在的直线就是这个直角顶点的两个相邻角的平分线。
具体来说，设一个直角三角形ABC，其中∠C=90度，AD为BC的中线，DE是AC的垂线，则AD是∠A和∠B的平分线，即∠CAD=∠BAD=∠A/2，∠CBD=∠ABD=∠B/2。
这个定理的证明可以利用几何知识进行证明，例如相似三角形、角度和定理等。
但简单来说，我们可以利用三角函数的定义，根据正弦、余弦、正切等函数来计算证明。
总之，直角三角形的角平分线定理在几何学中有着重要的应用价值，可以帮助我们更好地理解和应用三角形的相关知识。
角平分线线段比例定理
角平分线线段比例定理
角平分线线段比例定理，又称为角平分线定理，指在一个三角形中，
如果一条线段从三角形的一个顶点出发，且平分该顶点的对角线，那么此
线段将把对角线分成两个长度成比例的线段。
具体来说，如果AB是三角
形的一个角的对边，CD是这个角的一个平分线，那么线段AD与线段DB
的比等于线段AC与线段CB的比。
换句话说，如果AD:DB=AC:CB，则CD称为三角形ABC的角平分线，
或称线段CD平分角A。
下图所示：
证明：设CD和AB的交点为E，由角平分线定义可得
$\angle{AEC}=\angle{BED}$，再由共内角、全等可得
$\Delta{AEC}≌\Delta{BED}$，因此$\dfrac{AC}{BE}=\dfrac{AE}{BD}$，移项即可得到$\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{AC}{CB}$。
角平分线定理在解决三角形相关题目时非常有用，应用广泛。
例如，
可以用它来证明三角形的各种性质，如内心、外心、垂心等重要点的性质。
任意三角形角平分线定理
任意三角形角平分线定理1. 角平分线的概念在我们学习几何的时候，三角形总是让人又爱又恨。
嘿，别急！今天我们要聊的是一个非常有趣的概念——角平分线。
简单来说，角平分线就是把一个角一分为二的线段，像是把一块大蛋糕切成两半，既公平又美味。
想象一下，你的朋友问你：“嘿，能不能给我一块大蛋糕的好处？”你就可以拿着刀，轻轻一划，两块蛋糕就诞生了，大家都有份，甜蜜无比。
说到这儿，大家应该能明白，角平分线的作用其实就像是在几何世界里分蛋糕一样，能帮助我们更好地理解三角形的性质。
1.1 角平分线的性质好啦，角平分线可不止是把角切开那么简单，它还有个神奇的属性。
你知道吗？在三角形中，角平分线不仅能分割角度，还能帮助我们找出与三角形边的关系。
这就像是你和朋友在玩“你说我猜”的游戏，猜对了，就能得到奖励。
而这个奖励，就是我们所说的比例关系：角平分线把对边分成的两部分与其他两边的长度成比例。
这简直就是几何界的“黄金法则”啊，任何时候用上都能让你倍儿有面子。
1.2 角平分线定理的公式说到这里，大家肯定很好奇，这个神奇的比例到底是什么？别担心，我来告诉你。
设想一下，三角形的顶点是A，底边是BC，D是角平分线与BC的交点。
根据角平分线定理，AD/DB = AC/AB。
这就像是在说，“嘿，AC和AB这两个边的长度比例，就是你在对边上分出来的那两段的长度比例。
”简直太有趣了，像在玩拼图游戏，一不小心就拼出了新花样！2. 角平分线的应用那么，这个角平分线定理到底有什么用呢？首先，我们来聊聊日常生活中的应用。
比如说，你在装修房子，想在墙上挂画，如何找到最完美的位置？没错，角平分线就可以帮助你找到那个理想的挂画位置，让画的左右对称，看起来美观大方，像是家里的小艺术品。
而在学校里，几何题中的角平分线也是常客，帮助我们解锁更多问题。
2.1 解决实际问题再举个例子，你跟朋友去游乐场，想找到最短的排队时间。
聪明的你可以用角平分线来判断哪些游乐设施的排队情况更有利。
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角平分线定理
角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
■ 三角形的角平分线定义：三角形顶点到其内角的角平分线交对边的点连的一条线段，叫三角形的角平分线。
【注】三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。
角的平分线是射线。
■拓展：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等！(即内心)。
■定理1：在角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等。
■逆定理：在一个角的内部（包括顶点），且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
■定理2：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，
如：在△ABC中，BD平分∠ABC，则AD：DC=AB：BC
提供四种证明方法：
已知，如图，AM为△ABC的角平分线，求证AB／AC=MB／MC
已知和证明1图
证明：方法1：（面积法）
S△ABM=(1/2)·AB·AM·sin∠BAM,
S△ACM=(1/2)·AC·AM·sin∠CAM,
∴S△ABM：S△ACM=AB:AC
又△ABM和△ACM是等高三角形，面积的比等于底的比，
证明2图
即三角形ABM面积S：三角形ACM面积S=BM:CM ∴AB／AC=MB／MC
方法2（相似形）
过C作CN‖AB交AM的延长线于N
则△ABM∽△NCM
∴AB/NC=BM/CM
又可证明∠CAN=∠ANC
∴AC=CN
∴AB／AC=MB／MC
证明3图
方法3（相似形）
过M作MN‖AB交AC于N
则△ABC∽△NMC,
∴AB/AC=MN/NC,AN/NC=BM/MC
又可证明∠CAM=∠AMN
∴AN=MN
∴AB/AC=AN/NC
∴AB／AC=MB／MC
方法4（正弦定理）
作三角形的外接圆，AM交圆于D，
由正弦定理，得，
证明4图
AB/sin∠BMA=BM/sin∠BAM,
∴AC/sin∠CMA=CM/sin∠CAM
又∠BAM=∠CAM，∠BMA+∠AMC=180°
sin∠BAM=sin∠CAM,sin∠BMA=sin∠AMC, ∴AB／AC=MB／MC。