2014·全国新课标1(理科数学)
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2014·全国新课标卷Ⅰ(理科数学)
1.[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知集合A ={x |x 2-2x -3≥0},B ={x |-2≤x <2},则A ∩B =( )
A .[-2,-1]
B .[-1,2) B .[-1,1] D .[1,2)
1.A [解析] 集合A =(-∞,-1]∪[3,+∞),所以A ∩B =[-2,-1].
2.[2014·新课标全国卷Ⅰ] (1+i )3
(1-i )2=( )
A .1+i
B .1-i
C .-1+i
D .-1-i
2.D [解析] (1+i )3(1-i )2=(1+i )2(1+i )(1-i )2=2i (1+i )
-2i
=-1-i.
3.[2014·新课标全国卷Ⅰ] 设函数f (x ),g (x )的定义域都为R ,且f (x )是奇函数,g (x )是
偶函数,则下列结论中正确的是( )
A .f (x )g (x )是偶函数
B .|f (x )|g (x )是奇函数
C .f (x )|g (x )|是奇函数
D .|f (x )g (x )|是奇函数
3.C [解析] 由于偶函数的绝对值还是偶函数,一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数,故正确选项为C.
4.[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知F 为双曲线C :x 2-my 2=3m (m >0)的一个焦点,则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )
A. 3 B .3 C.3m D .3m
4.A [解析] 双曲线的一条渐近线的方程为x +my =0.根据双曲线方程得a 2=3m ,b 2
=3,所以c =3m +3,双曲线的右焦点坐标为(3m +3,0).故双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为|3m +3|
1+m
= 3.
5.[2014·新课标全国卷Ⅰ] 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )
A.18
B.38
C.58
D.78
5.D [解析] 每位同学有2种选法,基本事件的总数为24=16,其中周六、周日中有一天无人参加的基本事件有2个,故周六、周日都有同学参加公益活动的概率为1-216=78
.
图1-1
6.、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 如图1-1,圆O 的半径为1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角x 的始边为射线OA ,终边为射线OP ,过点P 作直线OA 的垂线,垂足为M ,将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x ),则y =f (x )在[0,π]上的图像大致为( )
A B
C D
6.C [解析] 根据三角函数的定义,点M (cos x ,0),△OPM 的面积为1
2|sin x cos x |,在
直角三角形OPM 中,根据等积关系得点M 到直线OP 的距离,即f (x )=|sin x cos x |=1
2|sin 2x |,
且当x =π
2
时上述关系也成立, 故函数f (x )的图像为选项C 中的图像.
7.[2014·新课标全国卷Ⅰ] 执行如图1-2所示的程序框图,若输入的a ,b ,k 分别为1,2,3,则输出的M =( )
图1-2
A.203
B.165
C.72
D.158
7.D [解析] 逐次计算,依次可得:M =32,a =2,b =32,n =2;M =83,a =32,b =83,
n =3;M =158,a =83,b =158,n =4.此时输出M ,故输出的是15
8
.
8.[2014·新课标全国卷Ⅰ] 设α∈⎝⎛⎭⎫0,π2,β∈⎝⎛⎭⎫0,π
2,且tan α=1+sin βcos β
,则( )
A .3α-β=π2
B .3α+β=π
2
C .2α-β=π2
D .2α+β=π
2
8.C [解析] tan α=
1+sin βcos β
=⎝
⎛⎭⎫
cos β2+sin β2cos
2
β2
-sin
2
β2
=
cos β2+sin
β
2
cos β2-sin β2
=1+tan β
21-tan
β
2
=tan ⎝⎛
⎭⎫π4+β2,因为β∈⎝
⎛⎭⎫0,π
2,所以π4+β2∈⎝⎛⎭⎫π4,π2,又
α∈⎝⎛⎭⎫0,π2且tan α=tan ⎝⎛⎭
⎫π4+β2,所以α=
π4+β
2,即2α-β=π2.
9.、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧x +y ≥1,
x -2y ≤4的解集记为D ,有下面四个命题:
p 1:∀(x ,y )∈D ,x +2y ≥-2,
p 2:∃(x ,y )∈D ,x +2y ≥2, p 3:∀(x ,y )∈D ,x +2y ≤3, p 4:∃(x ,y )∈D ,x +2y ≤-1. 其中的真命题是( ) A .p 2,p 3 B .p 1,p 2 C .p 1,p 4 D .p 1,p 3
9.B [解析] 不等式组表示的区域D 如图中的阴影部分所示,设目标函数z =x +2y ,根据目标函数的几何意义可知,目标函数在点A (2,-1)处取得最小值,且z min =2-2=0,即x +2y 的取值范围是[0,+∞),故命题p 1,p 2为真,命题p 3,p 4为假.
10.[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知抛物线C :y 2=8x 的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个交点.若FP →=4FQ →
,则|QF |=( )
A.7
2 B .
3 C.5
2
D .2 10.B [解析] 由题知F (2,0),设P (-2,t ),Q (x 0,y 0),则FP =(-4,t ),FQ →
=(x 0