2014·全国新课标1(理科数学)

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2014·全国新课标卷Ⅰ(理科数学)

1.[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知集合A ={x |x 2-2x -3≥0},B ={x |-2≤x <2},则A ∩B =( )

A .[-2,-1]

B .[-1,2) B .[-1,1] D .[1,2)

1.A [解析] 集合A =(-∞,-1]∪[3,+∞),所以A ∩B =[-2,-1].

2.[2014·新课标全国卷Ⅰ] (1+i )3

(1-i )2=( )

A .1+i

B .1-i

C .-1+i

D .-1-i

2.D [解析] (1+i )3(1-i )2=(1+i )2(1+i )(1-i )2=2i (1+i )

-2i

=-1-i.

3.[2014·新课标全国卷Ⅰ] 设函数f (x ),g (x )的定义域都为R ,且f (x )是奇函数,g (x )是

偶函数,则下列结论中正确的是( )

A .f (x )g (x )是偶函数

B .|f (x )|g (x )是奇函数

C .f (x )|g (x )|是奇函数

D .|f (x )g (x )|是奇函数

3.C [解析] 由于偶函数的绝对值还是偶函数,一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数,故正确选项为C.

4.[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知F 为双曲线C :x 2-my 2=3m (m >0)的一个焦点,则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )

A. 3 B .3 C.3m D .3m

4.A [解析] 双曲线的一条渐近线的方程为x +my =0.根据双曲线方程得a 2=3m ,b 2

=3,所以c =3m +3,双曲线的右焦点坐标为(3m +3,0).故双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为|3m +3|

1+m

= 3.

5.[2014·新课标全国卷Ⅰ] 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )

A.18

B.38

C.58

D.78

5.D [解析] 每位同学有2种选法,基本事件的总数为24=16,其中周六、周日中有一天无人参加的基本事件有2个,故周六、周日都有同学参加公益活动的概率为1-216=78

.

图1-1

6.、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 如图1-1,圆O 的半径为1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角x 的始边为射线OA ,终边为射线OP ,过点P 作直线OA 的垂线,垂足为M ,将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x ),则y =f (x )在[0,π]上的图像大致为( )

A B

C D

6.C [解析] 根据三角函数的定义,点M (cos x ,0),△OPM 的面积为1

2|sin x cos x |,在

直角三角形OPM 中,根据等积关系得点M 到直线OP 的距离,即f (x )=|sin x cos x |=1

2|sin 2x |,

且当x =π

2

时上述关系也成立, 故函数f (x )的图像为选项C 中的图像.

7.[2014·新课标全国卷Ⅰ] 执行如图1-2所示的程序框图,若输入的a ,b ,k 分别为1,2,3,则输出的M =( )

图1-2

A.203

B.165

C.72

D.158

7.D [解析] 逐次计算,依次可得:M =32,a =2,b =32,n =2;M =83,a =32,b =83,

n =3;M =158,a =83,b =158,n =4.此时输出M ,故输出的是15

8

.

8.[2014·新课标全国卷Ⅰ] 设α∈⎝⎛⎭⎫0,π2,β∈⎝⎛⎭⎫0,π

2,且tan α=1+sin βcos β

,则( )

A .3α-β=π2

B .3α+β=π

2

C .2α-β=π2

D .2α+β=π

2

8.C [解析] tan α=

1+sin βcos β

=⎝

⎛⎭⎫

cos β2+sin β2cos

2

β2

-sin

2

β2

cos β2+sin

β

2

cos β2-sin β2

=1+tan β

21-tan

β

2

=tan ⎝⎛

⎭⎫π4+β2,因为β∈⎝

⎛⎭⎫0,π

2,所以π4+β2∈⎝⎛⎭⎫π4,π2,又

α∈⎝⎛⎭⎫0,π2且tan α=tan ⎝⎛⎭

⎫π4+β2,所以α=

π4+β

2,即2α-β=π2.

9.、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 不等式组⎩

⎪⎨⎪⎧x +y ≥1,

x -2y ≤4的解集记为D ,有下面四个命题:

p 1:∀(x ,y )∈D ,x +2y ≥-2,

p 2:∃(x ,y )∈D ,x +2y ≥2, p 3:∀(x ,y )∈D ,x +2y ≤3, p 4:∃(x ,y )∈D ,x +2y ≤-1. 其中的真命题是( ) A .p 2,p 3 B .p 1,p 2 C .p 1,p 4 D .p 1,p 3

9.B [解析] 不等式组表示的区域D 如图中的阴影部分所示,设目标函数z =x +2y ,根据目标函数的几何意义可知,目标函数在点A (2,-1)处取得最小值,且z min =2-2=0,即x +2y 的取值范围是[0,+∞),故命题p 1,p 2为真,命题p 3,p 4为假.

10.[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知抛物线C :y 2=8x 的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个交点.若FP →=4FQ →

,则|QF |=( )

A.7

2 B .

3 C.5

2

D .2 10.B [解析] 由题知F (2,0),设P (-2,t ),Q (x 0,y 0),则FP =(-4,t ),FQ →

=(x 0

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