四边形——经典例题透析_成果测评

已知：平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点, 连结

AF、CE.

(1)求证：△ BEC^A DFA;

(2)连接AC,若CA=CB，判断四边形AECF是什么特殊四边形？并证明你的结论

举一反三:

【变式1】如图，在△ ABC中，AB=AC , D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形。

求证：四边形ADCE是矩形。

【变式2】已知口ABCD的对角线AC, BD相交于0, △ ABO是等边三角形，AB= 4cm , 求这个平行四边形的面积。

经典例题透析因

类型一：矩形

1. (2011山东青岛)

【变式3】如图，在矩形 ABCD

中，对角线 AC 、BD 相交于点O , AE 丄BD 于E ,则: (1) 图中与/ BAE 相等的角有 ___________ ；

(2) ___________________________________ 若/ AOB=60。，贝U AB : BD = 图中△ DOC 是 __________________________________________ 角形(按边 分).

类型二：菱形

举一反三：

【变式1】已知如图，平行四边形 ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边 AD 、BC 分别 交于E 、

F 。试判断四边形 AFCE 的形状并说明理由.

)如图，在平行四边形 ABCD 中，E,F 分别是BC , AD 中点。

B

C

(2011四川雅安 (1)求证：△ ABE BA CDF

【变式4】(2011

四川自贡)

如图，在△ ABC 中，

AB=BC=1，/ ABC=120 °，将△ ABC 绕点B 顺时针旋转30。得△交」二一于点E , 1 -分别交 V

F.

类型三：正方形||銅

3.( 2011广西玉林)如图，点G 是正方形ABCD 对角线CA 的延长线上任意一点,

以线段AG 为边作一个正方形 AEFG,线段EB 和GD 相交于点H.

(1) 求证：EB=GD;

(2) 判断EB 与GD 的位置关系，并说明理由 (3) 若 AB=2，AG=，求 EB 的长.

思路点拨：证明两条线段相等的方法有很多种， 而本题中DG, BE 分别在△ DAG 与厶AEB 中，结合正方形的性质，我们可以证明厶

DAG 与厶AEB 全等，利用全等三角形的对应边相

等来说明。研究线段的位置关系，主要是平行或相交(包括垂直相交)

。

【答案】(1)证明：在厶GAD 和厶EAB 中

/ GAD=90 o+ / EAD ，/ EAB=90 o+ / EAD

•••/ GAD= / EAB

又••• AG=AE , AB=AD • △ GADEAB

(1) 试判断四边形

(2) 求DE 的长.

的形状，并说明理由;

••• EB=GD

(2)EB丄GD

理由如下：连接BD，由(1 )得：/ ADG= / ABE 则在△ BDH 中，/ DHB=180

o- (/ HDB+ / HBD)

=180 o- (450+ / ADG+45 o- / ABE) =180 o-90 o=90 o.

• EB丄GD.

(3)设BD与AC交于点O.

•/ AB=AD=2.

在Rt△ ABD 中，BD= ：‘‘:_ •」’-目I

... EB=GD= Jo，*二J迄忑『+(血)2 二 ^^二価.

总结升华：熟练掌握并灵活应用正方形的性质是解决很多有关正方形问题的关键，如：本题中用到了正方形的四个角都是直角，四条边都相等。

举一反三：

【变式1】已知：如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E,使CE= CG,连接BG 并延长交DE于F.

(1)求证：△ BCG^A DCE;

(2)将厶DCE绕点D顺时针旋转90。得到△ DAE',判断四边形E' BGD是什么特殊四边形？并说明理由.

•••四边形为正方形

•BC= CD,/ BCG=Z DCE= 90°

•/ CG= CE,

•△ BCG^A DCE

(2)答：四边形E' BGD是平行四边形

理由：•••△ DCE绕点D顺时针旋转90。得到△ DAE'

•CE= AE'

•/ CG = CE

•CG = AE'

•/ AB = CD, AB // CD,

•BE'= DG, BE'// DG ,

•四边形E' BGD是平行四边形

• OD=OA=

在Rt △ DOG 中，OG=AG+OA=

【答案】(1)证明:

【变式2】如图B、C、E是同一直线上的三个点，四边形

ABCD

与四边形CEFG都是正

方形，连接BG、DE.

观察猜想BG与DE之间的大小关系，并证明你的结论.

在图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请指出，并说出若不

存在，请说明理由•

【答案】(1) BG=DE

••四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，

•GC=CE, BC=CD，/ BCG= / DCE=90 °

•••△ BCG BA DCE

•BG=DE

(2)存在• △ BCG和厶DCE

△ BCG绕点C顺时针方向旋转90 °与厶DCE重合

【变式3】如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连结AG,点E、F分别在AG 上，连接BE、DF,/ 1= / 2 , / 3= / 4.

(1)证明：△ ABE BA DAF;

(2)若/ AGB=30。，求EF 的长.

【答案】(1 )•••四边形

••• AB=AD

在厶ABE和厶DAF中

AB^DA

Z4 = Z3

•△ ABE BA DAF

(2)•••四边形ABCD是正方形

•••/ 1+ / 4=90 0

•/ 3= / 4

•••/ 1+ / 3=90 0

(1)

(2) 旋转

过程;