Weibull分布
质量管理课程-Weibull分布
案例三
总结词
复杂系统的Weibull分布可靠性评估
详细描述
质量管理课程中，我们还通过案例研究探讨 了复杂系统的Weibull分布可靠性评估。针 对由多个子系统组成的复杂系统，我们首先 识别了各子系统的故障模式和失效机制，然 后使用Weibull分布模型对各子系统的可靠 性进行了评估。最后，我们综合各子系统的 可靠性特征，对整个复杂系统的可靠性进行 了分析和预测。这一案例研究有助于提高我
案例二
总结词
机械部件故障模式的Weibull分布应用
详细描述
在质量管理课程中，我们还探讨了机械部件故障模式的Weibull分布应用。针对不同类 型的机械部件，我们收集了其故障数据，并使用Weibull分布模型进行拟合。通过对比 不同部件的Weibull分布参数，我们分析了各部件的故障模式和可靠性特征，为预防性
Weibull分布的特性
总结词
Weibull分布具有形状参数和尺度参数两个参数，决定了分布 的形状和尺度。
详细描述
Weibull分布有两个参数，一个是形状参数λ（lambda），一个 是尺度参数k。形状参数决定了分布的形状，尺度参数决定了分 布的尺度。当形状参数λ=1时，Weibull分布退化为指数分布。
识别潜在故障模式
通过FMEA分析，识别产品或过程中可能出 现的故障模式。
分析故障影响
评估每种故障模式对产品质量、安全性、可 靠性和其他关键性能指标的影响。
确定风险优先级
根据故障影响程度和发生概率，确定风险优 先级，为改进措施提供依据。
制定预防措施
针对高风险故障模式，制定有效的预防措施， 降低其发生概率或减轻其影响程度。
掌握如何利用软件进行Weibull分布的拟合、分析和绘 图。
r计算weibull分布的尺度和形状参数
r计算weibull分布的尺度和形状参数
在R语言中，可以使用`weibull`函数来计算Weibull分布的尺度和形状参数。
首先，我们需要安装并加载`weibull`包。
如果尚未安装，可以使用以下代码进行安装：
ibull`包：
ibull`函数来拟合Weibull分布。
假设我们有一组数据`x`，我们可以使用以下代码来拟合Weibull分布并计算尺度和形状参数：
r
拟合Weibull分布
fit <- weibull(x, shape = 1, scale = 1)
输出拟合结果
summary(fit)
合结果中，`shape`参数表示形状参数，`scale`参数表示尺度参数。
这些参数可以通过最小化均方误差（MSE）来估计。
在上面的代码中，我们使用默认值1作为初始估计值。
如果需要手动计算尺度和形状参数，可以使用以下公式：
尺度参数（Scale）：`scale = 1 / lambda`，其中`lambda`是平均故障时间（MTTF）。
形状参数（Shape）：`shape = alpha`，其中`alpha`是形状参数。
在R语言中，可以使用以下代码来计算尺度和形状参数：
x为数据集，可以是寿命数据或其他连续数据
计算形状参数（假设数据符合指数分布）
shape <- 1 指数分布的形状参数为1，对于Weibull分布，形状参数可能需要根据实际情况进行调整
```。
weibull分布风速模型基本构成参数及其作用。
在进行深入探讨Weibull分布风速模型基本构成参数及其作用之前，我们先来简单了解一下Weibull分布。
Weibull分布是由瑞典数学家瓦尔德玛·魏布尔于1951年提出的，用来描述风速、风力等自然现象的统计分布。
1. Weibull分布的基本特征Weibull分布是一种连续概率分布，其密度函数为：\[ f(x;\lambda,k) = \frac{k}{\lambda}\left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k-1} e^{-(x/\lambda)^k} \]其中，\( x>0 \)，\( \lambda>0 \)为比例参数，\( k>0 \)为形状参数。
Weibull分布的平均值、方差和标准差分别为：\[ \text{E}[X] = \lambda \Gamma(1+\frac{1}{k}) \]\[ \text{Var}[X] = \lambda^2 \left[ \Gamma(1+\frac{2}{k}) -(\Gamma(1+\frac{1}{k}))^2 \right] \]\[ \text{Std}[X] = \lambda \sqrt{\left[ \Gamma(1+\frac{2}{k}) - (\Gamma(1+\frac{1}{k}))^2 \right]} \]其中，\( \Gamma \)为Gamma函数。
2. Weibull分布的构成参数Weibull分布的构成参数包括比例参数\( \lambda \)和形状参数\( k \)。
比例参数\( \lambda \)反映了分布的尺度，它决定了分布的位置，即控制了平均值的大小。
形状参数\( k \)决定了分布的形状，描述了分布的偏斜性。
当\( k>1 \)时，分布呈现右偏态，当\( k<1 \)时，分布呈现左偏态，当\( k=1 \)时，分布呈现对称性。
3. Weibull分布的作用Weibull分布在风能、风电等领域得到了广泛的应用。
韦伯预测(Weibull Forecast)
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参考书籍
书名: 书名:新韦伯分析手册 作 者:瓦拉第.韦伯 出 版 社:鼎茂出版社 出版日期:2007-03-15 版 本:4版 I S B N :9789574143658
. 相关网站:/blog/weibull4tw新韦伯分 析手册第四版副标题:可靠度与寿命预测,安全,存活, 风险,成本和保固理赔的统计分析.
韦伯分布 (Weibull distribution)
韦伯分布(Weibull distribution), 韦伯分布 又称韦氏分布 威布尔分布 韦氏分布或威布尔分布 韦氏分布 威布尔分布,是可靠 性分析和寿命检验的理论基础.
韦伯分布历史 韦伯分布
1. 1927年,Fréchet (1927)首先给出这一分布 的定义. 2. 1933年,Rosin和Rammler在研究碎末的分 布时,第一次应用了韦伯分布(Rosin, P.; Rammler, E. (1933), "The Laws Governing the Fineness of Powdered Coal", Journal of the Institute of Fuel 7: 29 - 36.). 3. 1951年,瑞典工程师,数学家Waloddi Waloddi Weibull(1887-1979)详细解释了这一分布, Weibull 于是,该分布便以他的名字命名为Weibull Distribution.
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韦伯分布应用 韦伯分布
生存分析 工业制造 极值理论 预测天气 可靠性和失效分析 雷达系统 拟合度 量化寿险模型的重复索赔 预测技术变革 风速
威布尔Weibull分布的寿命试验方法
轮船正招式成商立局，标志着中国新式航运业的诞生。
(2)1900年前后，民间兴办的各种轮船航运公司近百家，几乎都是
在列强排挤中艰难求生。
2．航空
(1)起步：1918年，附设在福建马尾造船厂的海军飞机工程处开始
研制 。
(2)发展水：上1飞918机年，北洋政府在交通部下设“
”；此后十年间，航空事业获得较快发展。
1．李鸿章1872年在上海创办轮船招商局，“前10年盈和，成
为长江上重要商局，招商局和英商太古、怡和三家呈鼎立
之势”。这说明该企业的创办
()
A．打破了外商对中国航运业的垄断
B．阻止了外国对中国的经济侵略
C．标志着中国近代化的起步
D．使李鸿章转变为民族资本家
解析：李鸿章是地主阶级的代表，并未转化为民族资本家； 洋务运动标志着中国近代化的开端，但不是具体以某个企业 的创办为标志；洋务运动中民用企业的创办在一定程度上抵 制了列强的经济侵略，但是并未能阻止其侵略。故B、C、D 三项表述都有错误。 答案：A
選擇可靠性,并輸入 “0.90”, 時間項輸入 “500”
分布選擇 “Weibull”
輸入 “8.55”
允許的最大失效數 項輸入 “0”
每個單元的檢驗次 數項輸入 “600”
結果分析
所需測試的樣本數量是6 個,這6個樣本在600小時 測試時間內不能失效,該 試驗計划的實際置信水 平是95.05%.
3．发展 (1)原因： ①甲午战争以后列强激烈争夺在华铁路的 修。筑权 ②修路成为中国人 救的亡强图烈存愿望。 (2)成果：1909年 京建张成铁通路车；民国以后，各条商路修筑 权收归国有。 4．制约因素 政潮迭起，军阀混战，社会经济凋敝，铁路建设始终未入 正轨。
韦伯分布介绍
韋伯分佈韋伯分佈(Weibull distribution)以指數分佈為一特例。
其p.d.f.為其中α,β>0。
以表此分佈, 有二參數α,β, α為尺度參數, β為形狀參數。
若取β=1, 則得分佈, 以表之。
底下給出一些韋伯分佈p.d.f.之圖形。
韋伯分佈是瑞典物理學家Waloddi Weibull, 為發展強化材料的理論, 於西元1939年所引進, 是一較新的分佈。
在可靠度理論及有關壽命檢定問題裡, 常少不了韋伯分佈的影子。
分佈的分佈函數為期望值與變異數分別為Characteristic Effects of the Shape Parameter, β, for the Weibull DistributionThe Weibull shape parameter, β, is also known as the slope. This is because the value of β is equal to the slope of the regressed line in a probability plot. Different values of the shape parameter can have marked effects on the behavior of the distribution. In fact, some values of the shape parameter will cause the distribution equations to reduce to those of other distributions. For example, when β = 1, the pdf of the three-parameter Weibull reduces to that of thetwo-parameter exponential distribution or:where failure rate.The parameter β is a pure number, i.e. it is dimensionless.The Effect of β on the pdfFigure 6-1 shows the effect of different values of the shape parameter, β, on the shape of the pdf. One can see that the shape of the pdf can take on a variety of forms based on the value of β.Figure 6-1: The effect of the Weibull shape parameter on the pdf.For 0 < β1:∙As (or γ),∙As , .∙f(T) decreases monotonically and is convex as T increases beyond the value of γ.∙The mode is non-existent.For β > 1:∙f(T) = 0 at T = 0 (or γ).∙f(T) increases as (the mode) and decreases thereafter.∙For β < 2.6 the Weibull pdf is positively skewed (has a right tail), for 2.6 < β < 3.7 its coefficient of skewness approaches zero (no tail). Consequently, it may approximate the normal pdf, and for β > 3.7 it is negatively skewed (left tail).The way the value of β relates to the physical behavior of the items being modeled becomes more apparent when weobserve how its different values affect the reliability and failure rate functions. Note that for β = 0.999, f(0) = , but for β = 1.001, f(0) = 0. This abrupt shift is what complicates MLE estimation when β is close to one.The Effect ofβ on the cdf and Reliability FunctionFigure 6-2: Effect of β on the cdf on a Weibull probability plot with a fixed value of η.Figure 6-2 shows the effect of the value of β on the cdf, as manifested in the Weibull probability plot. It is easy to see why this parameter is sometimes referred to as the slope. Note that the models represented by the three lines all have the same value of η. Figure 6-3 shows the effects of these varied values of β on the reliability plot, which is a linear analog of the probability plot.Figure 6-3: The effect of values of β on the Weibull reliability plot.∙R(T) decreases sharply and monotonically for 0 < β < 1 and is convex.∙For β = 1, R(T) decreases monotonically but less sharply than for 0 < β < 1 and is convex.∙For β > 1, R(T) decreases as T increases. As wear-out sets in, the curve goes through an inflection point and decreases sharply.The Effect of β on the Weibull Failure Rate FunctionThe value of β has a marked effect on the failure rate of the Weibull distribution and inferences can be drawn about a population's failure characteristics just by considering whether the value of β is less than, equal to, or greater than one.Figure 6-4: The effect of β on the Weibull failure rate function.As indicated by Figure 6-4, populations with β < 1 exhibit a failure rate that decreases with time, populations with β = 1 have a constant failure rate (consistent with the exponential distribution) and populations with β > 1 have a failure rate that increases with time. All three life stages of the bathtub curve can be modeled with the Weibull distribution and varying values of β.The Weibull failure rate for 0 < β < 1 is unbounded at T = 0 (or γ). The failure rate, λ(T), decreases thereaftermonotonically and is convex, approaching the value of zero as or λ( ) = 0. This behavior makes it suitable for representing the failure rate of units exhibiting early-type failures, for which the failure ratedecreases with age. When encountering such behavior in a manufactured product, it may be indicative of problems in the production process, inadequate burn-in, substandard parts and components, or problems with packaging and shipping.For β = 1, λ(T) yields a constant value of or:This makes it suitable for representing the failure rate of chance-type failures and the useful life period failure rate of units.For β > 1, λ(T) increases as T increases and becomes suitable for representing the failure rate of units exhibiting wear-out type failures. For 1 < β < 2, the λ(T) curve is concave, consequently the failure rate increases at a decreasing rate as T increases.For β = 2 there emerges a straight line relationship between λ(T) and T, starting at a value of λ(T) = 0 at T = γ, andincreasing thereafter with a slope of . Consequently, the failure rate increases at a constant rate as T increases. Furthermore, if η = 1 the slope becomes equal to 2, and when γ = 0, λ(T) becomes a straight line which passes through the origin with a slope of 2. Note that at β = 2, the Weibull distribution equations reduce to that of the Rayleigh distribution.When β > 2, the λ(T) curve is convex, with its slope increasing as T increases. Consequently, the failure rate increases at an increasing rate as T increases indicating wear-out life.TopCharacteristic Effects of the Scale Parameter, η, for the Weibull DistributionFigure 6-5: The effects of η on the Weibull pdf for a common β.A change in the scale parameter η has the same effect on the distribution as a change of the abscissa scale. Increasing the value of η while holding β constant has the effect of stretching out the pdf. Since the area under a pdf curve is a constant value of one, the "peak" of the pdf curve will also decrease with the increase of η, as indicated in Figure 6-5.∙If η is increased while β and γ are kept the same, the distribution gets stretched out to the right and its height decreases, while maintaining its shape and location.∙If η is decreased while β and γ are kept the same, the distribution gets pushed in towards the left (i.e. towards its beginning or towards 0 or γ), and its height increases.∙η has the same units as T, such as hours, miles, cycles, actuations, etc.TopCharacteristic Effects of the Location Parameter, γ, for the Weibull DistributionThe location parameter, γ, as the name implies, locates the distribution along the abscissa. Changing the value of γ has the effect of "sliding" the distribution and its associated function either to the right (if γ > 0) or to the left (if γ < 0).Figure 6-6: The effect of a positive location parameter, γ, on the position of the Weibull pdf.∙When γ = 0, the distribution starts at T = 0 or at the origin.∙If γ > 0, the distribution starts at the location γ to the right of the origin.∙If γ < 0, the distribution starts at the location γ to the left of the origin.∙γ provides an estimate of the earliest time-to-failure of such units.∙The life period 0 to +γ is a failure free operating period of such units.∙The parameter γ may assume all values and provides an estimate of the earliest time a failure may be observed. A negative γ may indicate that failures have occurred prior to the beginning of the test, namelyduring production, in storage, in transit, during checkout prior to the start of a mission, or prior to actual use.∙γ has the same units as T, such as hours, miles, cycles, actuations, etc.。
(一)可靠性函数与Weibull分布
可靠性可靠性函数函数函数与与Weibull 分布Xie Meng-xian. (电子科大，成都市)半导体器件和集成电路的可靠性评估（即失效率预测，failure rate prediction ）是一个重要的问题。
可靠性评估实际上也就是采用通过寿命试验而得到的失效的数据、来估算出器件和集成电路的有效使用寿命。
有效使用寿命即为器件和集成电路能够正常工作的平均平均平均使用使用使用时间时间（MTTF ，mean time to failure ）；与此密切相关的概念是失效率失效率失效率（或故障率，failure rate ），即单位时间内所失效的器件和电路的数目，常用的单位是FIT （10−9/小时）或者%/1000小时。
因为通过寿命试验而获得的失效数据，往往遵从某种规律的分布函数——可靠性函数，所以根据这些试验数据，由可靠性函数规律出发，即可估算出器件和集成电路的MTTF 和失效率。
（1）可靠性函数：半导体器件和集成电路会由于各种原因而失效，但是失效率往往与使用时间有关。
若在经过时间t 之后未失效器件的数目为R(t)，则通过寿命试验可以获得大致如图1所示的三种模式的函数关系：①早期失效模式；②偶发失效模式；③磨损失效模式。
在数学上可用来描述这些失效模式的函数即称为可靠性函数。
对于偶发失效的模式，比较符合实际的可靠性函数是指数函数；由此可知偶发失效的失效率是一个常数，即不管经过多长时间，器件失效的几率都是一样的；根据这种可靠性函数，可较容易地进行分析。
比偶发失效更早发生的失效称为早期失效。
大多数半导体器件和集成电路所出现的失效都属于早期失效模式。
对于这种很快就会发生失效的器件和电路，一般都可以在使用之前、通过例行试验（即采用一定条件的筛选工艺）来去除掉，以免带来后患。
磨损失效也称为疲劳失效，其特点是开始阶段的故障少，然后故障不断增加。
（2）Weibull 分布：从统计角度来看，统计数据的分布函数有许多种，常用的有如指数分布、Gauss 分布、Γ分布、对数正态分布和Weibull 分布，它们的功能各有千秋。
excel韦伯分布拟合
excel韦伯分布拟合韦伯分布（Weibull distribution）是一种常见的概率分布函数，经常在工程学、风险分析和可靠性工程等领域中使用。
它的概率密度函数为：f(x) = (k/λ) * (x/λ)^(k-1) * exp(-(x/λ)^k)其中，x是一个随机变量，k是形状参数（shape parameter），λ是尺度参数（scale parameter）。
韦伯分布可以表示正向偏移（k>1）、反向偏移（k<1）以及无偏移（k=1）的情况。
对于给定的样本数据，我们可以使用Excel做出韦伯分布的拟合。
下面将介绍具体的步骤。
步骤一：准备数据首先，在Excel的一个工作表中准备你要进行拟合的样本数据。
这些数据可以是连续的，也可以是离散的，但要确保数据的数量足够大，这样可以确保拟合结果的准确性。
步骤二：计算分布参数的初值然后，我们需要计算分布参数k和λ的初值。
可以使用Excel的相关函数来完成这一步骤。
具体的函数如下：-形状参数k的估计值可以使用Excel的GAMMA.INV函数来计算。
函数的参数为：样本数据的平均值，样本数据的标准差，以及一个概率值（推荐选择0.5）。
-尺度参数λ的估计值可以使用Excel的AVERAGE函数计算样本数据的平均值。
步骤三：计算拟合函数值接下来，使用Excel的韦伯分布函数（WEIBULL.DIST）来计算拟合函数的值。
该函数的参数为：输入数据，形状参数k，尺度参数λ，以及一个布尔值（若为TRUE，则返回累积分布函数值）。
步骤四：绘制拟合曲线在完成拟合函数值的计算后，我们可以使用Excel的绘图功能来绘制拟合曲线。
具体的步骤如下：1.在Excel中选择一个空白的单元格，输入一个x值序列，用于绘制横轴。
这里可以选择的x值区间可以根据数据的范围来确定。
2.在相邻的单元格中，使用韦伯分布函数计算对应的y值序列。
函数的参数为：x值序列，形状参数k，尺度参数λ。
设备故障率计算方法
设备故障率计算方法设备故障率是指在一定时间内设备出现故障的概率，通常用于评估设备的可靠性和稳定性。
正确计算设备的故障率对于设备管理和维护至关重要。
下面将介绍几种常见的设备故障率计算方法。
一、基本故障率计算方法。
设备的基本故障率可以通过以下公式进行计算：R(t) = λt。
其中，R(t)为设备在时间t内出现故障的概率，λ为设备的故障率，t为设备运行时间。
这个公式假设设备的故障率是恒定的，适用于一些简单的设备，但对于复杂设备来说，这种简单的假设可能并不成立。
二、指数分布法。
指数分布法是一种常用的故障率计算方法，它假设设备的故障率随着时间呈指数增长。
指数分布法的故障率密度函数为：f(t) = λe^(-λt)。
其中，λ为设备的故障率，t为设备运行时间。
通过对故障率密度函数进行积分，可以得到设备在任意时间内出现故障的概率。
三、Weibull分布法。
Weibull分布法是一种更加灵活的故障率计算方法，它可以适应不同的故障率变化趋势。
Weibull分布法的故障率密度函数为：f(t) = (β/η)(t/η)^(β-1)e^(-(t/η)^β)。
其中，β为形状参数，η为尺度参数，t为设备运行时间。
通过调整β和η的数值，可以得到不同趋势的故障率曲线，从而更好地描述设备的故障特性。
四、实际数据分析法。
除了以上的理论计算方法，还可以通过实际数据进行故障率的计算。
通过对设备故障的记录和统计，可以得到设备在不同时间段内的故障情况，进而计算出实际的故障率。
这种方法可以更加真实地反映设备的故障特性，但需要大量的数据支持和统计分析。
总结。
在实际工程中，可以根据具体的情况选择合适的故障率计算方法。
无论是基本故障率计算方法、指数分布法、Weibull分布法还是实际数据分析法，都需要结合设备的实际情况和运行特性进行综合考虑。
通过准确计算设备的故障率，可以为设备管理和维护提供重要的参考依据，保障设备的正常运行和生产效率的提高。
韦伯分布
韋伯分佈韋伯分佈(Weibull distribution)以指數分佈為一特例。
其p.d.f.為其中α,β>0。
以表此分佈, 有二參數α,β, α為尺度參數, β為形狀參數。
若取β=1, 則得分佈, 以表之。
底下給出一些韋伯分佈p.d.f.之圖形。
韋伯分佈是瑞典物理學家Waloddi Weibull, 為發展強化材料的理論, 於西元1939年所引進, 是一較新的分佈。
在可靠度理論及有關壽命檢定問題裡, 常少不了韋伯分佈的影子。
分佈的分佈函數為期望值與變異數分別為Characteristic Effects of the Shape Parameter, β, for the Weibull DistributionThe Weibull shape parameter, β, is also known as the slope. This is because the value of β is equal to the slope of the regressed line in a probability plot. Different values of the shape parameter can have marked effects on the behavior of the distribution. In fact, some values of the shape parameter will cause the distribution equations to reduce to those of other distributions. For example, when β = 1, the pdf of the three-parameter Weibull reduces to that of the two-parameter exponential distribution or:where failure rate.The parameter β is a pure number, i.e. it is dimensionless.The Effect of β on the pdfFigure 6-1 shows the effect of different values of the shape parameter, β, on the shape of the pdf. One can see that the shape of the pdf can take on a variety of forms based on the value of β.Figure 6-1: The effect of the Weibull shape parameter on the pdf.For 0 < β1:∙As (or γ),∙As , .∙f(T) decreases monotonically and is convex as T increases beyond the value of γ.∙The mode is non-existent.For β > 1:∙f(T) = 0 at T = 0 (or γ).∙f(T) increases as (the mode) and decreases thereafter.∙For β < 2.6 the Weibull pdf is positively skewed (has a right tail), for 2.6 < β < 3.7 its coefficient of skewness approaches zero (no tail). Consequently, it may approximatethe normal pdf, and for β > 3.7 it is negatively skewed (left tail).The way the value of β relates to the physical behavior of the items being modeled becomes more apparent when we observe how its different values affect the reliability and f ailure ratefunctions. Note that for β = 0.999, f(0) = , but for β = 1.001, f(0) = 0. This abrupt shift is what complicates MLE estimation when β is close to one.The Effect ofβ on the cdf and Reliability FunctionFigure 6-2: Effect of β on the cdf on a Weibull probability plot with a fixed value of η.Figure 6-2 shows the effect of the value of β on the cdf, as manifested in the Weibull probability plot. It is easy to see why this parameter is sometimes referred to as the slope. Note that the models represented by the three lines all have the same value of η. Figure 6-3 shows the effects of these varied values of β on the reliability plot, which is a linear analog of the probability plot.Figure 6-3: The effect of values of β on the Weibull reliability plot.∙R(T) decreases sharply and monotonically for 0 < β < 1 and is convex.∙For β = 1, R(T) decreases monotonically but less sharply than for 0 < β < 1 and is convex.∙For β > 1, R(T) decreases as T increases. As wear-out sets in, the curve goes through an inflection point and decreases sharply.The Effect of β on the Weibull Failure Rate FunctionThe value of β has a marked effect on the failure rate of the Weibull distribution and inferences can be drawn about a population's failure characteristics just by considering whether the value of β is less than, equal to, or greater than one.Figure 6-4: The effect of β on the Weibull failure rate function.As indicated by Figure 6-4, populations with β < 1 exhibit a failure rate that decreases with time, populations with β = 1 have a constant failure rate (consistent with the exponential distribution)and populations with β > 1 have a failure rate that increases with time. All three life stages of the bathtub curve can be modeled with the Weibull distribution and varying values of β.The Weibull failure rate for 0 < β < 1 is unbounded at T = 0 (or γ). The failure rate, λ(T), decreases thereafter monotonically and is convex, approaching the value of zero asor λ( ) = 0. This behavior makes it suitable for representing the failure rate of units exhibiting early-type failures, for which the failure rate decreases with age.When encountering such behavior in a manufactured product, it may be indicative of problems in the production process, inadequate burn-in, substandard parts and components, or problems with packaging and shipping.For β = 1, λ(T) yields a constant value of or:This makes it suitable for representing the failure rate of chance-type failures and the useful life period failure rate of units.For β > 1, λ(T) increases as T increases and becomes suitable for representing the failure rate of units exhibiting wear-out type failures. For 1 < β < 2, the λ(T) curve is concave, consequently the failure rate increases at a decreasing rate as T increases.For β = 2 there emerges a straight line relationship between λ(T) and T, starting at a value ofλ(T) = 0 at T = γ, and increasing thereafter with a slope of . Consequently, the failurerate increases at a constant rate as T increases. Furthermore, if η = 1 the slope becomes equal to 2, and when γ = 0, λ(T) becomes a straight line which passes through the origin with a slope of 2. Note that at β = 2, the Weibull distribution equations reduce to that of the Rayleigh distribution.When β > 2, the λ(T) curve is convex, with its slope increasing as T increases. Consequently, the failure rate increases at an increasing rate as T increases indicating wear-out life.TopCharacteristic Effects of the Scale Parameter, η, for the Weibull DistributionFigure 6-5: The effects of η on the Weibull pdf for a common β.A change in the scale parameter η has the same effect on the distribution as a change of the abscissa scale. Increasing the value of η while holding β constant has the effect of stretching out the pdf. Since the area under a pdf curve is a constant value of one, the "peak" of the pdf curve will also decrease with the increase of η, as indicated in Figure 6-5.∙If η is increased while β and γ are kept the same, the distribution gets stretched out to the right and its height decreases, while maintaining its shape and location.∙If η is decreased while β and γ are kept the same, the distribution gets pushed in towards the left (i.e. towards its beginning or towards 0 or γ), and its height increases.η has the same units as T, such as hours, miles, cycles, actuations, etc.TopCharacteristic Effects of the Location Parameter, γ, for the Weibull DistributionThe location parameter, γ, as the name implies, locates the distribution along the abscissa. Changing the value of γ has the effect of "sliding" the distribution and its associated function either to the right (if γ > 0) or to the left (if γ < 0).Figure 6-6: The effect of a positive location parameter, γ, on the position of the Weibullpdf.∙When γ = 0, the distribution starts at T = 0 or at the origin.∙If γ > 0, the distribution starts at the location γ to the right of the origin.∙If γ < 0, the distribution starts at the location γ to the left of the origin.∙γ provides an estimate of the earliest time-to-failure of such units.∙The life period 0 to +γ is a failure free operating period of such units.∙The parameter γ may assume all values and provides an estimate of the earliest timea failure may be observed. A negative γ may indicate that failures have occurred priorto the beginning of the test, namely during production, in storage, in transit, duringcheckout prior to the start of a mission, or prior to actual use.∙γ has the same units as T, such as hours, miles, cycles, actuations, etc.。
威布尔(Weibull)分布的寿命试验方法
该函数反映了威布尔分布的形状和规模参数对随机变量取值概率的影响。
累积分布函数
累积分布函数
描述威布尔分布的随机变量小于或等于某个值的概率，公式为$F(x;alpha,beta) = 1 - e^{- left( frac{x}{beta} right)^{alpha}}$，其中$x geq 0$，$alpha > 0$，$beta > 0$。
意义
该函数用于评估随机变量在某个值以下或以上的概率。
参数估计
参数估计方法
常见的威布尔分布参数估计方法包括最大似然估计、最小二乘估 计和矩估计等。
参数估计步骤
首先收集寿命试验数据，然后选择适当的参数估计方法，根据数据 计算出参数的估计值，最后进行统计检验和误差分析。
意义
准确的参数估计是威布尔分布应用的必要前提，有助于更好地理解 和预测产品的寿命特性。
特性
03
威布尔分布具有非负性、可加性和无记忆性等特性，适用于描
述各种寿命和可靠性现象。
02
威布尔分布的特性
概率密度函数
概率密度函数
描述威布尔分布的随机变量取某个值的概率，公式为$f(x;alpha,beta) = frac{alpha}{beta} left( frac{x}{beta} right)^{alpha - 1} e^{- left( frac{x}{beta} right)^{alpha}}$，其中$x > 0$，$alpha > 0$，$beta > 0$。
定时/定数寿命试验的缺点是需要耗费较长的时间和 资源，同时对于某些产品来说，可能会在试验结束前 就已经出现大量的失效。
数据分析方法
01
在寿命试验结束后，需要对试验数据进行统计分析，以评估产品 的寿命和可靠性。常用的数据分析方法包括威布尔分布、对数正 态分布、指数分布等概率模型，以及回归分析、方差分析、假设 检验等统计方法。
威布尔分布参数估计的计算程序
威布尔分布参数估计的计算程序威布尔分布是一种经常用来描述风险或可靠性的概率分布，其密度函数为：$$ f(x; \lambda, k) =\frac{k}{\lambda}(\frac{x}{\lambda})^{k-1}e^{-(\frac{x}{\lambda})^k} $$其中， $\lambda$ 和 $k$ 是两个参数，分别表示尺度参数和形状参数。
威布尔分布的参数估计可以使用最大似然估计法，其步骤如下：1. 建立威布尔分布的似然函数：$$ L(\lambda, k) = \prod_{i=1}^{n}f(x_i; \lambda, k) $$2. 取似然函数的对数，并对两个参数分别求偏导数：$$ \ln L(\lambda, k) =\sum_{i=1}^{n}[\ln(\frac{k}{\lambda})+(k-1)\ln(\frac{x_i}{\lambda})-(\frac{x_i}{\lambda})^k] $$$$ \frac {\partial (\ln L)}{\partial \lambda} = -\frac{n}{\lambda}+\frac{k}{\lambda^2}\sum_{i=1}^{n}x_i^k $$ $$ \frac {\partial(\ln L)}{\partial k} =\sum_{i=1}^{n}[\ln(\frac{x_i}{\lambda})-\frac{(x_i/\lambda)^k\ln(x_i/\lambda)}{k}-\ln(\lambda)+\ln(k)] $$3. 令偏导数等于零，解出两个参数的估计值：$$ \hat{\lambda} =(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i^k)^{1/k} $$$$ \hat{k} =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}[\ln(\frac{x_i}{\hat{\lambda}})]^{-1}\sum_{i=1}^{n}[\ln(\frac{x_i}{\hat{\lambda}})] $$下面是威布尔分布参数估计的计算程序：```pythonimport numpy as npdef weibull_mle(x):n = len(x)k = np.log(np.log(np.max(x)/np.min(x)))**(-1) lam = (np.sum(x**k)/n)**(1/k)return lam, k```其中， x 是观测值序列，返回值是估计出的参数$\hat{\lambda}$ 和 $\hat{k}$。
威布尔(Weibull)分布的寿命试验方法[知识研究]
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专业知识
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专业知识
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专业知识
6
起始時間(h) 結束時間(h) 失效樣本數(個)
0
500
1
500
600
2
600
600
1
600
7006700ຫໍສະໝຸດ *4专业知识
7
分別輸入 “起始時間(h)” “結束時間(h)”“失效樣
本數(個)”
選擇“Weibull”
专业知识
8
結果分析
专业知识得出形狀參數m=8.55
9
➢3. 如果某种產品的Weibull形狀參數m已經 确定, 則可做為經驗值供今後進行同類產 品試驗時參考.
➢4. 當Weibull形狀參數已知時, 可利用 MINITAB程序确定壽命試驗樣本的數量.
专业知识
10
案例二:利用MINITAB程序确定壽命試驗 樣本數量實例
专业知识
11
➢ 某新產品開發過程中,客戶要求90%的產品 壽命需達到500小時,QA根据以往經驗,認 為該類型產品的壽命服從Weibull分布(形 狀是8.55),每個測試樣辦的測試時間為 600小時.若不允許有樣本失效,請用 minitab确定需要多少樣本進行測試,才能 确保90%的產品壽命能達到500小時.
❖b. 進行完全壽命試驗, 并分別記錄每個樣本的
失效時間(或cycle).
❖c. 設定可靠度及置信度.
❖d. 利用MINITAB程序計算出形狀參數m.
专业知识
4
案例一:利用MINITAB程序确定Weibull 分布的形狀參數實例
专业知识
5
➢ 某新產品開發過程中,QA為了判斷該產品的 确實壽命時間,隨機選取14個樣本做700小 時的壽命測試,測試人員在500小時後才開 始檢查樣本,此後每隔100小時會檢查一次, 請用MINITAB的參數分布分析判斷該產品的 壽命情況(其中:壽命數据見後表).
威布尔(Weibull)分布的寿命试验方法
➢ 某新產品開發過程中,客戶要求90%的產品 壽命需達到500小時,QA根据以往經驗,認 為該類型產品的壽命服從Weibull分布(形 狀是8.55),每個測試樣辦的測試時間為 600小時.若不允許有樣本失效,請用 minitab确定需要多少樣本進行測試,才能 确保90%的產品壽命能達到500小時.
平是95.05%.
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2021/7/1
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结束语
若有不当之处，请指正，谢谢！
m
標准Weibull分布 f t m t m 1 e t
❖在Weibull分布數,形狀參數m是一個很重要的指標,
當產品進行壽命試驗時, m與樣本數量有直接的聯系.
2021/7/1
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➢2. 形狀參數m數值的确定:
一般可由經驗确定, 如經驗無法确定, 則可 采用如下方法:
❖a. 選取少量樣本, 例如5~8個;
❖b. 進行完全壽命試驗, 并分別記錄每個樣本的
失效時間(或cycle).
❖c. 設定可靠度及置信度.
❖d. 利用MINITAB程序計算出形狀參數m.
2021/7/1
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案例一:利用MINITAB程序确定Weibull 分布的形狀參數實例
2021/7/1
5
➢ 某新產品開發過程中,QA為了判斷該產品的 确實壽命時間,隨機選取14個樣本做700小 時的壽命測試,測試人員在500小時後才開 始檢查樣本,此後每隔100小時會檢查一次, 請用MINITAB的參數分布分析判斷該產品的 壽命情況(其中:壽命數据見後表).
9
➢3. 如果某种產品的Weibull形狀參數m已經 确定, 則可做為經驗值供今後進行同類產 品試驗時參考.
➢4. 當Weibull形狀參數已知時, 可利用 MINITAB程序确定壽命試驗樣本的數量.
matlab用weibull分布函数拟合曲线
matlab用weibull分布函数拟合曲线Weibull分布函数是一种常用于可靠性分析的概率分布函数，可以用来估计产品的平均故障时间。
在MATLAB中，我们可以使用curve fitting toolbox工具箱中的weibull分布函数进行曲线拟合。
具体步骤如下：1. 导入数据：将需要拟合的数据导入MATLAB中，可以使用xlsread函数读取Excel文件，也可以手动输入数据。
2. 创建拟合曲线对象：可以使用cftool命令打开curvefitting toolbox，选择Weibull分布函数进行拟合，也可以在代码中使用cfit函数创建一个Weibull对象。
3. 设置拟合参数：使用setoptions函数设置拟合参数，包括起点、终点、步长等。
4. 拟合曲线：使用fit函数进行曲线拟合，得到拟合结果。
5. 绘制拟合曲线：使用plot函数绘制拟合曲线，并将图表美化。
下面是MATLAB代码示例：% 导入数据data = xlsread('data.xlsx');% 创建拟合曲线对象weibull_fit = cfit('a*x^b*exp(-x^b/a)', 'a', 'b', 'x');% 设置拟合参数options = fitoptions('Method','NonlinearLeastSquares',...'StartPoint',[1 1],...'Lower',[0 0],...'Upper',[Inf Inf]);% 拟合曲线weibull_result = fit(data(:,1), data(:,2), weibull_fit, options);% 绘制拟合曲线plot(weibull_result, data(:,1), data(:,2)); xlabel('时间');ylabel('概率密度');title('Weibull分布函数拟合曲线');。
Weibull分布函数给出
分布函数F(t) 可表示为
t≥r t<r
−e −e
− e− x
F (t ) = 1 − e
− eY
Y = mX − b
− ( x−r ) / t 0
Y = mX − ln t0
0
− ( x−r )m / t
1 ln ln = m ln t − ln t0 1 − F (t )F (t Βιβλιοθήκη = 1 − etm t0
Weibull分布函数给出
2.4 最佳线性无偏估计与简单线性无偏估计 极值分布的PDF函数(概率分布函数) ：
f ( x) = (1/scale)e
-(x-location)/scale
e
-e-(x-location)/scale
1 − ( t − r ) / t0 − e − ( t − r ) / t 0 f (t ) = e e t0
t↑→环断裂可能性F(t) ↑ F(t) 是介于0与1之间的增函数 1-F(t)是介于0与1之间的减函数 设 1 − F (t ) = e
−ϕ ( t )
指数函数常 具有这种性质
链可使用的概率
[ P(T > t )]n = 1 − F (t ) = e − nϕ ( t )
Weibull分布函数给出
ϕ (t ) 应有如下性质： t < r → ϕ (t ) = 0; t ≥ r → ϕ (t ) ≥ 0;
ϕ 具有这种性质的最单纯（不一定最简单） (t ) 形式为：
(t − r ) m ϕ (t ) = t0 0
(t ≥ r ) (t < r )
常数t0＞0，m＞0
(t −r ) − 1 − e t0 F (t ) = 0
威布尔系数
威布尔系数
威布尔系数是一种用来描述概率分布形态的参数，常用于生命数据分析中。
它是由瑞士数学家威布尔（W. Weibull）于1951年提出的。
如果随机变量X服从威布尔分布，则其概率密度函数为：
f(x) = (a/λ) * (x/λ)^(a-1) * exp(-(x/λ)^a) 其中，a和λ为分布的参数，a称为形状参数或威布尔指数，λ称为尺度参数或威布尔刻度。
威布尔系数是用来描述威布尔分布形态的一个指标，通常表示为β。
它与威布尔指数和威布尔刻度的关系为：
β = Γ(1+1/a) * λ
其中，Γ为伽马函数。
威布尔系数β可以用来判断威布尔分布的偏斜程度和尖峭程度。
当β=1时，分布为指数分布；当β<1时，分布为左偏斜分布；当β>1时，分布为右偏斜分布。
此外，当β越小，分布越尖峭；当β越大，分布越平缓。
- 1 -。
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f (t ) e (t )
Most commonly used Distribution functions(Cont’d)
2. Weibull distribution : model for many product failure mechanisms
: shape parameter : scale parameter
2. Least square regression method
ln[ln 1 ] (ln t ln ) 1 F (t )
ˆ a 6.19935 ˆ b 1.4301
ˆ ˆ b 1.4301 ˆ e
ˆ a ˆ b
76 .318
Estimation of distribution parameters(for Weibull distribution, Cont’d)
Physical Acceleration Models
- Definition
Alive
Too long time & high cost !! @ use condition //
Dead
Short time & low cost @ stressed condition Real life time, Acceleration Factor(AF) !
Solution) A1) estimate Weibull parameters at each temp.
READOUT 85C 105C 125C TIME NEW FAILURES NEW FAILURES NEW FAILURES 24 1 2 5 72 0 1 10 168 0 3 13 300 1 2 2 500 0 2 3 750 3 4 2 1000 0 5 2 1250 1 1 1 1500 2 4 0 Total 8 24 38 ln(t) 3.178054 4.276666 5.123964 5.703782 6.214608 6.620073 6.907755 7.130899 7.31322 85C F(t) 0.025 0.025 0.025 0.05 0.05 0.125 0.125 0.15 0.2 105C F(t) 0.05 0.075 0.15 0.2 0.25 0.35 0.475 0.5 0.6 125C F(t) 0.125 0.375 0.7 0.75 0.825 0.875 0.925 0.95 0.95
Median rank
F (t ) 1 e (t / )
ln[ln
1 ] (ln t ln ) 1 F (t )
Weibull probability paper
Estimation of distribution parameters(for Weibull distribution, Cont’d)
3. Lognormal distribution
FU (t ) FS (t / AF ) [
F (t ) [
S
ln(t / AF T50 )
S
]
T50,U T50, S AF , U S
Acceleration models
1. Arrhenius model
3. MLE(Maximum likelyhood estimation) : maximize likelyhood function L
Equivalently, maximizing logarithmic likelyhood function
cf.) least square regression : maximizing
(y
i
ˆ yi ) 2
Estimation of distribution parameters(for Weibull distr likelyhood estimation) : maximize likelyhood function L
( 1 f (t ) e 2 ' 2 1 ln(t ) ln( ) 2 ) '
where ’=stdev of ln(t)
Estimation of distribution parameters(for Weibull distribution)
1. Graphical estimation technique
where (n)
0
x n1e x dx
Most commonly used Distribution functions(Cont’d)
3. Normal distribution (Gaussian distribution) : most widely-used general purpose distribution
t
0
f (t )dt
- Reliability function R(t) probability of pass between 0 and t R(t ) 1 F (t ) - Hazard function h(t) : failure rate h(t)dt = probability of failure between t and t+dt in survivors
Dead
- Linear Acceleration Relationship
Time to fail Failure probability Density function Failure rate
tU AF t S
t F (tU ) FS ( ) AF 1 t fU (t ) ( ) fS ( ) AF AF 1 t hU (t ) ( )hS ( ) AF AF
READOUT 85C 105C 125C TIME NEW FAILURES NEW FAILURES NEW FAILURES 24 1 2 5 72 0 1 10 168 0 3 13 300 1 2 2 500 0 2 3 750 3 4 2 1000 0 5 2 1250 1 1 1 1500 2 4 0 Total 8 24 38
T50 AeH / kT
AF e( H / k )(1/ T1 1/ T2 )
where k:Boltzman constant, T : temperature in K, H, A ; unknown constant
- Example) Testing 40 capacitors at 85C, 105C, and 125C(totally 120 capacitors)
- Reliability Test or Reliability Analysis
f (t )
Sample
Population
f (t ) : failure rate
t
f(t) : probability density function
modeling
Reliability functions
Assume Weibull distribution Q1) estimate Weibull parameters at each temp. Q2) estimate Arrhenius parameter H Q3) estimate T50 at use temp. 25C
Acceleration models(Cont’d)
How long can we guarantee a capacitor’s life @ 25C ??? Or How many cells will fail in 10000 hours @ 25C ???
Reliability
- Definition
Alive? : P(t) product After t(time) Dead? : 1-P(t)
1 fail
t1
1 fail
t2
1 fail
t3
2 fail
t4
1 fail
t5
2 fail
t6
1 fail
t7
1 fail
t8
1 fail
t9
3 fail
t10
T
X
X
X
X X X
X
XX
X
X
X
X XXX
t
t1
t2
t3 t4 t5
t6
t7 t8 t9
t10
Exact times-Censored type I Exact times-Censored type II
Most commonly used Distribution functions(Cont’d)
2. Weibull distributions : model for many product failure mechanisms
: shape parameter : scale parameter Cumulative hazard function H (t ) (t / ) Hazard function CDF
Introductions to Weibull Distribution
Useful website :
Motivation
- Example) Testing 40 capacitors at 85C, 105C, and 125C(totally 120 capacitors)
READOUT 85C 105C 125C TIME NEW FAILURES NEW FAILURES NEW FAILURES 24 1 2 5 72 0 1 10 168 0 3 13 300 1 2 2 500 0 2 3 750 3 4 2 1000 0 5 2 1250 1 1 1 1500 2 4 0 Total 8 24 38