.反三角函数例题

§6.4.1 反三角函数(1)——反正弦函数

[教学过程]

一．反正弦函数的引入

1．回忆 sin y x =的图像及反函数的条件，可知sin ,y x x =∈R 不存在反函数 2．若,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则sin y x =是单调函数，,x y 一一对应，故在,22x ππ⎡⎤

∈-⎢⎥⎣⎦

上sin y x =存在反函数

3．定义 ()sin ,,22f x x x ππ⎡⎤

=∈-⎢⎥⎣⎦

，其反函数()1arcsin f x x -=，称为反正弦函数

二．反正弦函数的图像

反函数的图像与原函数的图像关于y x =对称，即x 改y ，y 改x

三．根据解析式与图像研究反正弦函数的性质

sin ,,22y x x ππ⎡⎤

=∈-⎢⎥⎣⎦

[]arcsin ,1,1y x x =∈-

1．值域 []1,1y ∈-

,22y ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦

2．奇偶性

奇函数（过原点）

奇函数（过原点）

3．单调性 增函数 增函数

4．周期性 非周期函数

非周期函数

5．()11arcsin sin arcsin 2

2

x x x x π

π

-≤≤⇒-≤≤

⇒=

6．()1sin 1arcsin sin 2

2

x x x x π

π

-≤≤

⇒-≤≤⇒=

arcsin 是反正弦的

符号，是一个整体

数形结合，从图像上看反正弦函数的性

质

()()1

f f x x x A -⎡⎤=∈⎣⎦()()1f f x x x D -=∈⎡⎤⎣⎦

三．例题与练习 例1 求值：

(1);(2)()arcsin 1-

;(3)arcsin ⎛ ⎝⎭

(4)()arcsin 0.5;(5)arcsin0;(6)()arcsin 0.72-≈;

(7)arcsin sin 9π⎛⎫ ⎪⎝⎭;(8)5arcsin sin

6π⎛⎫

⎪⎝

⎭

; (8)()arcsin sin 3.49π

例2 用反正弦函数表示下列各式的:

(1)sin x =,22x ππ⎡⎤

∈-⎢⎥⎣⎦

(ii)[]0,2x π∈

(2)1sin 4x =-, (i),22x ππ⎡⎤

∈-⎢⎥⎣⎦

(ii)[]0,2x π∈

(3)sin x =,22x ππ⎡⎤

∈-⎢⎥⎣⎦

(ii)[]0,2x π∈

例3 求下列函数的定义域和值域： (1)()3arcsin 21y x =-

;(2)6

y π

=+

y =-.

四．布置作业

注意的不同范围

()arcsin y f x =⎡⎤⎣⎦

()f x 定义域为A ，

由()11f x -≤≤得

B ，则D A

B =

x x

§6.4.2 反三角函数(2)——反余弦、反正切函数

[教学过程]

反余弦函数的定义、图像与性质

1．定义 函数[]cos ,0,y x x π=∈的反函数为[]arccos ,1,1y x x =∈-. 2．图像

3．性质 (1)定义域;(2)值域;(3)单调性;(4)奇偶性:非奇非偶; (5)()arccos 1π-=;arccos 02

π

=

;

arccos10=;arccos 0x ≥

(6) 当10x -<<时，arccos x 为钝角；当01x <<时，arccos x 为锐角; (7)()arccos arccos x x π-=-;

(8)()[]cos arccos ,1,1x x x =∈-;()arccos cos ,,22x x x ππ⎡⎤

=∈-⎢⎥⎣⎦

. 三．反正切函数的定义、图像和性质 1．定义 函数tan ,,22y x x ππ⎛⎫

=∈- ⎪⎝⎭

的反函数为arctan y x =,x ∈R 2．图像

arccos 2

y x π

=-、

arccos 2

y x π

=

-是

奇函数;

3．性质

(1)定义域x ∈R ;(2)值域,22y ππ⎛⎫

∈-

⎪⎝⎭

;(3)单调性:增函数;(4)奇偶性:奇函数 (5)()tan arctan ,x x x =∈R ;()arctan tan ,,22x x x ππ⎛⎫

=∈- ⎪⎝⎭

; 四．例题与练习 例1 求下列各式的值:

(1)cos arccos ⎡⎤

⎛⎢⎥ ⎢⎥⎝⎭⎣⎦;

(2)sin arccos ⎡⎤

⎛⎢⎥ ⎢⎥⎝⎭⎣⎦

(3)tan arccos ⎡⎤⎛

⎢⎥ ⎢⎥⎝⎭⎣⎦

(4)arccos cos 3π⎡⎤⎛⎫-

⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦

. 例2 用反三角函数表示下列各角: (1)tan 3x = (i),22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭, (ii)3,22

x ππ

⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭

,; (2)1tan 4x =- (i) ,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭, (ii)3,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭

,; (3)1

cos 3

x =-

[]0,x π∈,. 例3 求下列函数的定义域和值域： (1)()2arccos 34y x =-+ (2)()23arccos 123

y x π

=

+- (3)

2

y π

=

()

1

arccos 2y x =

-

(5)()2

arcsin 1y x =+ (6)()

2arccos 1y x =

-

(7)y =

x ⎡∈⎣,0,

3y π⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

. 五．布置作业