5.5基本不等式1(1) 课件(人教A版选修4-5)

1 例3. 若Ｘ＞－１，则ｘ为何值时 x x 1
有最小值，最小值为几？
解：∵
x 1
∴
x 1 0
1 0 x 1
1 1 1 1 2 ( x 1) 1 2 1 1 ∴x = x 1 x 1 x 1 x 1
1 1 当且仅当 x 1 x x 1 即 x 0 时 x 1 有最小值1
2
x y取最小值( a b )
2、已知 : a b c 1
1 求证： ab bc ca 3
证明：
a 2 b 2 c 2 2ab 2bc 2ca
a b c 1 2 (a b c)
1 2 2 a b 2ab 2 2 b c 2bc c 2 a 2 2ca
概念
ab 2
为ａ、ｂ
• 的算术平均数， ab 称为ａ、ｂ的几何平均数。
均值定理可以描述为：
两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于） 它们的几何平均数
均值定理的 几何意义
C
ab ab 2 2
OC CD
ab 2
ab ab

ab
A
a
.o来自百度文库
D
D
B
半径不小于半弦
E
思考 2
当且仅当
a b时
ab 2
练习3
1 1、求函数y= x的最小值( x 3)； x-3 2 x 8 2、求函数y= 的值域. x 1 4 3、求证 a 7(其中a 3) a 3
已知０＜ｘ＜１，求ｘ（１－ｘ）的最大 值．
例4
12 1 若x 0, 求f ( x) 3x的最小值； x 12 (2)若x 0, f ( x) 3 x的最大值。 x
的最小值

x y
a b 1， x y
a b ay xb x 解： y ( x y) 1 ( x y)( ) a b x y x y
ay xb 2 ab2 ( a b) x y
ay xb 当且仅当 x y
即
x a 时 y b

ab
中的“ = ”号成立．
这句话的含义是:
当 ab 当
ab ab a b 2
ab ab 2
思考 3
ab a b 2ab 和 2
2 2
ab
成立的条件相同吗？
2 2
如：1) (5) 2 (1) (5)成立， ( (1) (5) 而 (1) (5) 不成立。
变形.
已知
x, y 都是正数，求证：
1 如果积
xy
是定值 P, 那么当 x y 时,和 x y
有最小值 2 P 2 如果和 x y 是定值
S , 那么当 x y 时,积
xy
1 2 S 有最大值 4 证：∵ x, y R ∴ x y xy
x 1当 xy P （定值）时， y P 2
ab ab 2
重要不等式
a, b R ，那么 2 2 a b 2ab （当且仅当 a b 时取“=”
定理１：如果 号）．
我们可以用比较法证明．
探究
• 你能从几何的角度解释定理１吗？ • 几何解释１－课本第五页．
几 何 解 释 ２
a 2 b2
b
a
动画
几何解释３
a
b
1 2 b 2
2
∴
x y 2 P
∵上式当 x y 时取“=”
x ∴当
1 2 xy ∵上式当 x y 时取“=” ∴当 x y 时， 有最大值 4 S
S 2当 x y S (定值)时， xy 2
y 时， x y 有最小值2 P
1 2 ∴ xy S 4
注意：
1、最值的含义（“≥”取最小 值，“≤”取最大值）
2
a，b R a b 2ab 成立的条件_______
2 2
ab 2
a，b R ab 成立的条件______
典例探讨
例1 求证：
（1）a b c ab bc ac
2 2 2
变式: 求证:2a +2b +2c 2ab 2bc 2ca
2 2 2
1 2 a 2
a
思考 1
当a 0, b 0, 在a b 2ab中
2 2
以 a, b分别代替a,b能得到什么结果?
a b 2 ab
基本不等式
定理２（均值定理）
如果 a , b 是正数，那么
ab
(当且仅当 a b 时取“ = ”号）．
ab 2
• 如果ａ、ｂ都是正数，我们就称
24 2. 巳知x 0, 则6x 的最小值是____, x 此时x=_____.
3. 巳知x, y都是正数, x y 求证: 2. y x
4.证明
（1）lg x logx 10 2 ( x 1) 证：∵ x 1 于是 ∴ lg x 0
logx 10 0
lg x logx 10 2 lg x lg x 10 2

b2 (2)已知:a, b R , 且a 2 1, 求a 1 b 2 的最大值. 2 1 1 (3)设 为锐角,求(sin )(cos )的最小值. sin cos
作业
课本作业；P1０
５、６
sin x 2 （0 x ） 3 求y 2 sin x 的最小值。
注意:利用算术平均数和集合平均 数定理时一定要注意定理的条件: 一正;二定;三相等.有一个条件达不 到就不能取得最值.
练习4
求f(x)=2+log2x+5/log2x的最值.
例5.
1、已知 求
a, b, x, y R 且
2、用极值定理求最值的三个必要条
件：一“正”、二“定”、三“相等”
a+b 由公式a +b 2ab, 2 可得以下结论：
2 2
ab
a b (1) 2( a、b同号)； b a a b （2） 2( a、b异号)。 b a
练习2
1.巳知x>0,y>0且xy=100,则x+y的最小 值 是 _______,此时x=___,y= _____
即(ab cd )(ac bd ) 4abcd
练习1
1. 巳知a 0, b 0, 1 1 求证 : ( a b)( ) 4. a b
2. 巳知a, b, c均为正数,求证: (a+b)(b+c)(c+a) 8abc
例2
求证：（1）在所有周长相同的矩形 中，正方形的面积最大；（2）在所有面 积相同的矩形中，正方形的周长最短。
（２）已知
a, b, c, d
都是正数，求证
(ab cd )(ac bd ) 4abcd
证明：由 a, b, c, d 都是正数，得
ac bd ab cd ac bd 0 ab cd 0 2 2 (ab cd )(ac bd ) abcd 4
a b c ab bc ca
2 2 2
1 a b c 2ab 2bc 2ca
2 2 2
3ab 3bc 3ca
1 ab bc ca 3
注意:本题条件a,b,c为实数
练习5
1 9 (1)已知:x, y R , 且 1, 求x y的最小值. x y
≤ （2） x log x 10 ？ 2 (0 x 1) lg __ 解：∵ 0 x 1
lg x 0 logx 10 0
于是 ( lg x) ( logx 10) 2 从而 lg x logx 10 2
1 5、求函数y x 的值域. x 解: 1 1 (1)当x 0时, x 2 x 2 x x 1 (2)当x 0时, x, R , x 1 1 x 2 ( x) ( ) 2 x x 1 x 2 y (,2] [2,). x