四川省岳池一中2015年数学选修2-2导学案 数学归纳法

§2.3.1 数学归纳法

【学习目标】

1.了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤;

2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写;

3.数学归纳法中递推思想的理解.

【学习重点】数学归纳法的原理

【学习难点】数学归纳法的操作步骤及应用

【课前预习】

【预习自测】

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值__________________时命题成立；

（2）（归纳递推）假设n=k(k≥n o,k∈N+)时命题成立，证明当_________________时命题也成立.

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从___________________________开始的所有正整数n都成立.

上述证明方法叫做数学归纳法.

【我的疑问】

【课内探究】

探究任务：数学归纳法

问题：在多米诺骨牌游戏中,能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么?

探究教材69页的证明（*）

新知：数学归纳法两大步：

（1）归纳奠基：证明当n 取第一个值n 0时命题成立;

（2）归纳递推：假设n =k （k ≥n 0， k ∈N *）时命题成立，证明当n =k +1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立.

原因：在基础和递推关系都成立时，可以递推出对所有不小于n 0的正整数n 0+1，n 0+2，…，命题都成立.

试试：你能证明数列的通项公式1n a n

=这个猜想吗? 反思：数学归纳法是一种特殊的证明方法,主要用于研究与正整数有关的数学问题.

关键：从假设n =k 成立，证得n =k +1成立.

※ 典型例题

例1 用数学归纳法证明

如果{a n }是一个等差数列，公差为d ，那么1(1)n a a n d =+-对一切n N +∈都成立

变式：用数学归纳法证明：首项是1a ，公比是q 的等比数列的通项公式是：11n n a a q -=

小结：证n =k +1时，需从假设出发，对比目标，分析等式两边同增的项，朝目标进行变形. 例2用数学归纳法证明：2222*(1)(21)123,6n n n n n N +++++

+=∈

变式：用数学归纳法证明:当n 为整数时,2135(21)n n +++

+-=

小结：数学归纳法经常证明数列的相关问题.

【当堂检测】

1. 使不等式122+>n n 对任意k n ≥的自然数都成立的最小k 值为（ ）

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

2. 若命题)(n p 对n=k 成立，则它对2+=k n 也成立，又已知命题)2(p 成立，则下列结论正确的是

A. )(n p 对所有自然数n 都成立

B. )(n p 对所有正偶数n 成立

C. )(n p 对所有正奇数n 都成立

D. )(n p 对所有大于1的自然数n 成立

3. 用数学归纳法证明不等式1111127124264

n -++++>成立，起始值至少应取为( ) A.7 B. 8 C. 9 D. 10

4. 对任意*4221,3n n n N a ++∈+都能被14整除,则最小的自然数a = .

5.用数学归纳法证明:当n 为整数时,21122221n n -+++

+=- 【课后反思】

【课后训练】

1. 用归纳猜想平面上n 个圆最多有多少个交点，并用数学归纳法证明你的猜想。

2. 用数学归纳法证明:

等差数列的前n 项和的公式是1(1)2

n n n S na d -=+.和等比数列的前n 项和公式是1(1)(1)1n n a q S q q

-=≠-