四川省岳池一中2015年数学选修2-2导学案 数学归纳法
高中数学选修2-2《数学归纳法》说课设计
（二）探题，创造新知
设问1： 等于多少？为什么？ 呢？大家有什么发现，有什么困难？
强化两个条件．
明白 的意思．
深化递推原理的理解，强调证 时，须将假设结论作为条件，参与证明．防止出现＂伪数学归纳法证明＂．
（学生活动）通过交流，争论，梳理出结论．
只要满足两个条件，所有的多米诺骨牌都倒下
(1)第一块骨牌倒下；
(2)任意一块倒下，一定导致相邻的下一块倒下．
通过类比，学生会发现仅由设问2，还不能证明猜想正确．
设问4：类比设问3的结论，写出完整的证明过程．
多米诺骨牌效应
通项公式的证明方法
（1）第一块骨牌倒下；
3．阅读自学：让学生学会有目的、带问题阅读；
4．学会用科学方法论解决问题．
说教学
程序
（一）引题，温故知新
数列 中，已知 ， ．
(1) 求 ， ， ， ．
(2) 猜想通项公式
(3) 猜想正确吗？系式，独立完成前两问．共同讨论，得出各种可能思路．
（教师活动）与学生一起分析各种思路的可行性及可能会遇到的障碍，复习归纳法及其局限性，指出为弥补归纳法的局限性，我们将学习一种新的证明方法．
（学生活动）算出 ， 后，再一起讨论，教师适度引导，会发现，如果某项满足猜想，通过递推关系式，推出下一项也会满足猜想．困难在于项数是无限的，不可能实现逐项验证．
设问2： 假设当 时，猜想正确，即 ．那么当 时， 是否正确？为什么？同学们从中发现了什么？
选修2-2数学归纳法教案
高中选修2-2 2.3《数学归纳法》教学设计一、教材分析数学归纳法是一种重要的数学证明方法, 在高中数学内容中占有重要的地位, 其中体现的数学思想方法对学生进一步学习数学、领悟数学思想至关重要.数学归纳法的证明过程中展现的推理和逻辑思维让学生体会到数学的严谨和规范.学习数学归纳法后学生对等差等比数列、数列求和、二项式定理、整除问题等问题的解决有了新的方法.首先, 我们需要初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法, 即不完全归纳法, 这是研究数学问题, 猜想或发现数学规律的重要手段.但是, 由有限多个特殊事例得出的结论不一定正确, 这种推理方法不能作为一种论证方法.因此, 在不完全归纳法的基础上, 必须进一步学习严谨的科学的论证方法——数学归纳法, 这是促进思维从有限性发展到无限性的一个重要环节, 掌握数学归纳法的证明过程是培养严密的推理能力、训练抽象思维能力、体验数学内在美的好素材.二、教学目标1. 知识目标（1）了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确, 初步理解数学归纳法原理.（2）能以递推思想为指导, 理解数学归纳法证明数学命题的两个步骤一个结论.（3）初步会用数学归纳法证明一些与正整数相关的简单的恒等式.2.能力目标（1）通过对数学归纳法的学习, 使学生初步掌握观察、归纳、猜想、分析能力和严密的逻辑推理能力.（2）进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力, 让学生经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想.（3）在学习中培养学生大胆猜想, 小心求证的辨证思维素质以及发现问题、提出问题的意识和数学交流的能力.3.情感目标（1）通过对数学归纳法原理的探究, 亲历知识的构建过程, 领悟其中所蕴含的数学思想和辨正唯物主义观点.（2）体验探索中挫折的艰辛和成功的快乐, 感悟数学的内在美, 激发学生学习热情, 使学生喜欢数学.（3）学生通过置疑与探究, 初步形成正确的数学观, 创新意识和严谨的科学精神.三、教学重点与难点1. 教学重点借助具体实例了解数学归纳法的基本思想, 掌握它的基本步骤, 运用它证明一些与正整数有关的简单恒等式, 特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用.2. 教学难点（1 如何理解数学归纳法证题的严密性和有效性.（2）递推步骤中如何利用归纳假设, 即如何利用假设证明当时结论正确.四、教学方法本节课采用类比启发探究式教学方法, 以学生及其发展为本, 一切从学生出发.在教师组织启发下, 通过创设问题情境, 激发学习欲望.师生之间、学生之间共同探究多米诺骨牌倒下的原理, 并类比多米诺骨牌倒下的原理, 探究数学归纳法的原理、步骤；培养学生归纳、类比推理的能力, 进而应用数学归纳法, 证明一些与正整数有关的简单数学命题；提高学生的应用能力, 分析问题、解决问题的能力.既强调独立思考, 又提倡团结合作；既重视教师的组织引导, 又强调学生的主体性、主动性、平等性、交流性、开放性和合作性.五、教学过程（一）创设情境, 提出问题情景一: 明朝刘元卿编的《应谐录》中有一个笑话: 财主的儿子学写字.这则笑话中财主的儿子得出“四就是四横、五就是五横……”的结论, 用的就是“归纳法”, 不过, 这个归纳推出的结论显然是错误的.情境二：平面内三角形内角和是, 四边形内角和是, 五边形内角和是, 于是得出：凸边形内角和是 .情境三: 数列的通项公式为可以求得于是猜想出数列的通项公式为.情景四：粉笔盒中有10支白色粉笔, 怎么证明它们是白色的呢？结论: 情景一到情景三都是由殊事例得出的一般性结论, 即不完全归纳法不一定正确.因此,它不能作为一种论证方法, 情景四是完全归纳法, 结论可靠但要一一核对,工作量大.提出问题: 如何寻找一个科学有效的方法证明结论的正确性呢？我们本节课要学习的数学归纳法就是解决这一问题的方法之一.（二）实验演示, 探索解决问题的方法① 1. 几何画板演示动画多米诺骨牌游戏, 师生共同探讨: 要让这些骨牌全部倒②下, 必须具备哪些条件呢③第一块骨牌必须倒下.两块连续的骨牌, 当前一块倒下一定导致后一块倒下.可以看出, 条件②事实上给出了一个递推关系: 当第块倒下时, 相邻的第块也倒下.这样, 只要第1块倒下, 其他所有的就能够相继倒下.无论多少块, 只要①②成立, 那么所有的骨牌一定可以全部倒下.演示小节: 数学归纳法原理就如同多米诺骨牌一样.2. 数学归纳法原理证明一个与正整数 有关的命题, 可按下列步骤进行：（1） （归纳奠基） 当n 取第一个值0n （*0n ∈）时命题成立；（2） （归纳递推）假设当 时命题成立, 证明当 时命题也成立.只要完成这两个步骤, 就可以断定命题对从 开始的所有正整数 都成立. 上述证明方法称为数学归纳法.主要有两个步骤、一个结论: 其中第一步是递推的基础, 解决了特殊性；第二步是递推的依据, 解决了从有限到无限的过渡.这两步缺一不可.只有第一步, 属不完全归纳法；只有第二步, 假设就失去了基础.（注：数学归纳法是证明与自然数有关的数学命题的重要方法.在用数学归纳法证题时注意以下三句话“递推基础不可少, 归纳假设要用到, 结论写明莫忘掉.”）（三）迁移应用, 理解升华例1 用数学归纳法证明：如果 是一个等差数列, 那么 对于一切 都成立.证明: (1)当1n = 时,左边1,a = 右边()1111,a d a =+-=结论成立(2)假设当 时结论成立, 即则当1n k =+ 1k k a a d +=+ ()11a k d d =+-+ ()1[11]a k d =++-当 时, 结论也成立.由(1)和(2)知,等式对于任何*n ∈都成立.例2 已知数列{}n a 其通项公式为21,n a n =-试猜想该数列的前n 项和公式,n S 并用数学归纳法证明你的结论. 用假设凑结论解: （1）323459S S a =+=+= 4349716S S a =+=+=(2) 猜想2,n S n =问题转化为证明213521.n n ++++-=证明:（1） 当1n =时,左边=1,右边=1,等式是成立的.(2) 假设当 时等式成立, 即有()213521k k ++++-= 则当1n k =+,有()()()()22213521[211][211]211k k k k k k k ++++-++-=++-=++=+因此, 当 时, 等式也成立由(1)和(2)知,等式对于任何*n ∈都成立.（四）反馈练习, 巩固提高课堂练习：课本第95页练习1, 2（五）课堂小结: 让学生归纳本节课所学内容, 不足的老师补充.1.归纳法是一种由特殊到一般的推理方法2.数学归纳法作为一种证明方法，它的基本思想是递推思想，证明程序为，两 个步骤一个结论.3数学归纳法的科学性: 基础正确, 可传递.用有限的步骤证明无限的结论.（六）布置作业课本第96页习题 2.3 A 组1.2.。
高中数学选修2-2学案：2.3.1 数学归纳法
2．3.1数学归纳法明目标、知重点 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．1．数学归纳法一个与自然数相关的命题，如果(1)当n取第一个值n0时命题成立；(2)在假设当n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时命题成立的前提下，推出当n＝k＋1时命题也成立，那么可以断定，这个命题对n取第一个值后面的所有正整数成立．2．应用数学归纳法时特别注意(1)用数学归纳法证明的对象是与自然数相关的命题．(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．[情境导学]多米诺骨牌游戏是一种用木制、骨制或塑料制成的长方形骨牌，玩时将骨牌按一定间距排列成行，保证任意两相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下．只要推倒第一块骨牌，就必然导致第二块骨牌倒下；而第二块骨牌倒下，就必然导致第三块骨牌倒下…，最后不论有多少块骨牌都能全部倒下．请同学们思考所有的骨牌都一一倒下蕴涵怎样的原理？探究点一数学归纳法的原理思考1多米诺骨牌游戏给你什么启示？你认为一个骨牌链能够被成功推倒，靠的是什么？答(1)第一张牌被推倒；(2)任意相邻两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下．结论：多米诺骨牌会全部倒下．所有的骨牌都倒下，条件(2)给出了一个递推关系，条件(1)给出了骨牌倒下的基础． 思考2 用数学归纳法证明问题的一般步骤分几步？答 一般地，证明一个与自然数n 有关的命题P (n )，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N ＋)时命题成立；(2)(递推是关键)假设当n ＝k (k ≥n 0，k ∈N ＋)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立．其中，利用假设是证题的核心．思考3 用数学归纳法证明1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2，如采用下面的证法，对吗？若不对请改正．证明：(1)n ＝1时，左边＝1，右边＝12＝1，等式成立．(2)假设n ＝k 时等式成立，即1＋3＋5＋…＋(2k －1)＝k 2，则当n ＝k ＋1时，1＋3＋5＋…＋(2k ＋1)＝(k ＋1)×[1＋(2k ＋1)]2＝(k ＋1)2等式也成立． 由(1)和(2)可知对任何n ∈N ＋等式都成立．答 证明方法不是数学归纳法，因为第二步证明时，未用到归纳假设．从形式上看这种证法，用的是数学归纳法，实质上不是，因为证明n ＝k ＋1正确时，未用到归纳假设，而用的是等差数列求和公式．探究点二 用数学归纳法证明等式例1 用数学归纳法证明12＋22＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6(n ∈N ＋)． 证明 (1)当n ＝1时，左边＝12＝1，右边＝1×(1＋1)×(2×1＋1)6＝1， 等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时等式成立，即12＋22＋…＋k 2＝k (k ＋1)(2k ＋1)6， 那么，12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2＝k (k ＋1)(2k ＋1)6＋(k ＋1)2 ＝k (k ＋1)(2k ＋1)＋6(k ＋1)26＝(k ＋1)(2k 2＋7k ＋6)6＝(k ＋1)(k ＋2)(2k ＋3)6＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][2(k ＋1)＋1]6， 即当n ＝k ＋1时等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N ＋都成立．反思与感悟 用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n 的取值是否有关．由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．跟踪训练1 求证：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N ＋)． 证明 当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12， 所以等式成立．假设n ＝k (k ∈N ＋)时，1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k 成立． 那么当n ＝k ＋1时，1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12(k ＋1)－1－12(k ＋1)＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12(k ＋1) ＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋[1k ＋1－12(k ＋1)] ＝1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋1(k ＋1)＋k ＋12(k ＋1)， 所以n ＝k ＋1时，等式也成立．综上所述，对于任何n ∈N ＋，等式都成立．探究点三 用数学归纳法证明数列问题例2 已知数列11×4，14×7，17×10，…，1(3n －2)(3n ＋1)，…，计算S 1，S 2，S 3，S 4，根据计算结果，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法进行证明．解 S 1＝11×4＝14； S 2＝14＋14×7＝27； S 3＝27＋17×10＝310； S 4＝310＋110×13＝413. 可以看出，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n 一致，分母可用项数n 表示为3n ＋1.于是可以猜想S n ＝n 3n ＋1. 下面我们用数学归纳法证明这个猜想．(1)当n ＝1时，左边＝S 1＝14， 右边＝n 3n ＋1＝13×1＋1＝14， 猜想成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时猜想成立，即11×4＋14×7＋17×10＋…＋1(3k －2)(3k ＋1)＝k 3k ＋1， 那么，当n ＝k ＋1时，11×4＋14×7＋17×10＋…＋1(3k －2)(3k ＋1)＋1[3(k ＋1)－2][3(k ＋1)＋1]＝k 3k ＋1＋1(3k ＋1)(3k ＋4)＝3k 2＋4k ＋1(3k ＋1)(3k ＋4)＝(3k ＋1)(k ＋1)(3k ＋1)(3k ＋4)＝k ＋13(k ＋1)＋1， 所以，当n ＝k ＋1时猜想也成立．根据(1)和(2)，可知猜想对任何n ∈N ＋都成立．反思与感悟 归纳法分为不完全归纳法和完全归纳法，数学归纳法是“完全归纳”的一种科学方法，对于无穷尽的事例，常用不完全归纳法去发现规律，得出结论，并设法给予证明，这就是“归纳——猜想——证明”的基本思想．跟踪训练2 数列{a n }满足S n ＝2n －a n (S n 为数列{a n }的前n 项和)，先计算数列的前4项，再猜想a n ，并证明．解 由a 1＝2－a 1，得a 1＝1；由a 1＋a 2＝2×2－a 2，得a 2＝32； 由a 1＋a 2＋a 3＝2×3－a 3，得a 3＝74； 由a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2×4－a 4，得a 4＝158. 猜想a n ＝2n －12n －1. 下面证明猜想正确：(1)当n ＝1时，由上面的计算可知猜想成立．(2)假设当n ＝k 时猜想成立，则有a k ＝2k －12k －1， 当n ＝k ＋1时，S k ＋a k ＋1＝2(k ＋1)－a k ＋1，∴a k ＋1＝12[2(k ＋1)－S k ]＝k ＋1－12(2k －2k －12k －1) ＝2k ＋1－12(k ＋1)－1， 所以，当n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)和(2)可知，a n ＝2n －12n －1对任意正整数n 都成立．1．若命题A (n )(n ∈N ＋)在n ＝k (k ∈N ＋)时命题成立，则有n ＝k ＋1时命题成立．现知命题对n ＝n 0(n 0∈N ＋)时命题成立，则有( )A ．命题对所有正整数都成立B ．命题对小于n 0的正整数不成立，对大于或等于n 0的正整数都成立C ．命题对小于n 0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n 0的正整数都成立D ．以上说法都不正确答案 C解析 由已知得n ＝n 0(n 0∈N ＋)时命题成立，则有n ＝n 0＋1时命题成立；在n ＝n 0＋1时命题成立的前提下，又可推得n ＝(n 0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知选C.2．用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a2n ＋1＝1－a 2n ＋21－a (a ≠1)”．在验证n ＝1时，左端计算所得项为( )A ．1＋aB ．1＋a ＋a 2C ．1＋a ＋a 2＋a 3D ．1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4答案 C解析 将n ＝1代入a 2n ＋1得a 3，故选C.3．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N ＋)的过程如下： (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1.所以当n ＝k ＋1时等式也成立．由此可知对于任何n ∈N ＋，等式都成立．上述证明的错误是________．答案 未用归纳假设解析 本题在由n ＝k 成立，证n ＝k ＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符．4．用数学归纳法证明1＋n 2≤1＋12＋13＋…＋12n ≤12＋n (n ∈N ＋) 证明 (1)当n ＝1时，左式＝1＋12，右式＝12＋1， 所以32≤1＋12≤32，命题成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时，命题成立，即1＋k 2≤1＋12＋13＋…＋12k ≤12＋k ， 则当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k >1＋k 2＋2k ·12k ＋1＝1＋k ＋12. 又1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k <12＋k ＋2k ·12k ＝12＋(k ＋1)， 即当n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)和(2)可知，命题对所有的n ∈N ＋都成立．[呈重点、现规律]在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1；(2)递推是关键：正确分析由n ＝k 到n ＝k ＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明．。
高中数学教案选修2-2《2.3数学归纳法》
教课目的：1．理解数学概括法的观点 ,掌握数学概括法的证明步骤．2．经过数学概括法的学习 ,领会用不完好概括法发现规律 ,用数学概括法证明规律的门路．教课要点：1．能用数学概括法证明一些简单的数学命题．2．难点：概括 →猜想 →证明．教课过程：一、预习1．思虑并证明：平面内有 n(n ≥2)条直线 ,此中任何两条不平行 ,任何三条可是同一点 ,证明交点的个数为 f(n)＝ n(n －1)．22．小结：数学概括法是一种证明与正整数相关的数学命题的重要方法．主要有两个步骤、一个结论：（ 1）证明当 n 取第一个值 n 0（如 n 0＝1 或 2 等）时结论正确．（ 2）假定 n ＝k 时,结论正确 ,证明 n ＝ k ＋ 1 时结论也正确（用上假定 ,递推才真）．（ 3）由（ 1）,（2）得出结论（结论写明 ,才算完好）．此中第一步是递推的基础 ,解决了特别性；第二步是递推的依照 ,解决了从有限到无穷的过渡．这两步缺一不行．只有第一步 ,属不完好概括法；只有第二步 ,假定就失掉了基础．二、讲堂训练例 1 设 n ∈ N *,F(n)＝5n＋2×3n ＿ 1＋1,（ 1）当 n ＝1,2,3,4 时 ,计算 f(n)的值．（ 2）你对 f(n)的值有何猜想？用数学概括法证明你的猜想．例 2 在平面上画 n 条直线 ,且任何两条直线都订交 ,此中任何三条直线不共点．问：这 n 条直线将平面分红多少个部分？1．用数学法明： 1＋2＋22＋⋯＋ 2n＿1＝ 2n－1 (n∈N* )．2．下边是某同学用数学法明命 1 ＋ 1＋＋1＝n的12 23n( n＋1)n＋1程,上 ,原命建立．3．求： (n＋ 1)(n＋2)⋯ (n＋n)＝2n·1·3·⋯·（2n－ 1）（ n∈N*）．四、堂小① 法：由特别到一般,是数学的重要方法；②数学法的科学性：基正确；可；③数学法程序化步：两个步,一个；④数学法点：战胜了完好法的繁、不行行的弊端,又战胜了不完全法不行靠的不足,是一种科学方法 ,使我到事情由到繁、由特别到一般、由有限到无．五、作本 P94 第 6,7,8 ．。
高中数学选修2-2《数学归纳法及其应用举例》教案
课题：数学归纳法及其应用举例教材：人民教育出版社A版一、教学目标【知识目标】（1）了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确。
（2）初步理解数学归纳法原理。
（3）理解和记住用数学归纳法证明数学命题的两个步骤。
（4）初步会用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的恒等式。
【能力目标】（1）通过对数学归纳法的学习、应用，培养学生观察、归纳、猜想、分析能力和严密的逻辑推理能力。
（2）让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生的创新能力。
【情感目标】（1）通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困难，勇于探索的精神。
（2）让学生通过对数学归纳法原理的理解，感受数学内在美的振憾力，从而使学生喜欢数学。
（3）学生通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新精神。
二．教学重点、难点【重点】（1）初步理解数学归纳法的原理。
（2）明确用数学归纳法证明命题的两个步骤。
（3）初步会用数学归纳法证明简单的与正整数数学恒等式。
【难点】（1）对数学归纳法原理的理解，即理解数学归纳法证题的严密性与有效性。
板书设计1．数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法．它的操作步骤简单、明确，教学重点应该是方法的应用．但是我们认为不能把教学过程当作方法的灌输，技能的操练．对方法作简单的灌输，学生必然疑虑重重．为什么必须是二步呢？于是教师反复举例，说明二步缺一不可．你怎么知道n=k时命题成立呢？教师又不得不作出解释，可学生仍未完全接受．学完了数学归纳法的学生又往往有应该用时但想不起来的问题，等等．为此，我们设想强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来．这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机．数学归纳法产生的过程分二个阶段，第一阶段从对归纳法的认识开始，到对不完全归纳法的认识，再到不完全归纳法可靠性的认识，直到怎么办结束．第二阶段是对策酝酿，从介绍递推思想开始，到认识递推思想，运用递推思想，直到归纳出二个步骤结束．把递推思想的介绍、理解、运用放在主要位置，必然对理解数学归纳法的实质带来指导意义，也是在教学过程中努力挖掘、渗透隐含于教学内容中的数学思想的一种尝试．2．在教学方法上，这里运用了在教师指导下的师生共同讨论、探索的方法．目的是在于加强学生对教学过程的参与程度．为了使这种参与有一定的智能度，教师应做好发动、组织、引导和点拨．学生的思维参与往往是从问题开始的，尽快提出适当的问题，并提出思维要求，让学生尽快投入到思维活动中来，是十分重要的．这就要求教师把每节课的课题作出层次分明的分解，并选择适当的问题，把课题的研究内容落于问题中，在逐渐展开中，引导学生用已学的知识、方法予以解决，并获得新的发展．本节课的教学设计也想在这方面作些研究．（注：本资料素材和资料部分来自网络，供参考。
四川省岳池一中2015年数学选修2-2导学案 合情推理
§2.1.1 合情推理（1）【学习目标】①了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理.②了解合情推理在数学发现中的作用.【学习重点】合情推理【学习难点】合情推理【课前预习】【预习自测】1、由某类事物的____________具有某些特征，推出该类事物的____________都具有这些特征的推理，或者由____________概括出______________的推理，称为归纳推理（简称__________）.简而言之，归纳推理是由______________、由________________的推理.2、由两类对象具有______________和其他一类对象的_________________，推出另一类对象也具有__________________的推理称为类比推理（简称_________）.简言之，类比推理是由________________的推理.3、归纳推理与类比推理都是根据_____________，经过____________、_______________、_______________、__________________，再进行_______________、________________，然后提出_______________的推理，我们把他们统称为合情推理，通俗的说，合情推理是指“________________”的推理.【预习自测题】1. 蛇是用肺呼吸的,鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物。
猜想：_______________________________.2.在日常生活中我们常常遇到这样的现象：（1）看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家，推断天要下雨；（2）八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯.以上例子可以得出推理是的思维过程.【我的疑问】【课内探究】探究任务一：考察下列示例中的推理问题1:.1856年，法国微生物学家巴斯德发现乳酸杆菌是使啤酒变酸的原因，接着，通过对蚕病的研究，他发现细菌是引起蚕病的原因，因此，巴斯德推断人身上的一些传染病也是由细菌引起的问题2：我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚西亚的地质结构类似，二中亚西亚有丰富的石油，由此，他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油问题3：因为三角形的内角和是180(32)︒⨯-，四边形的内角和是180(42)︒⨯-，五边形的内角和是180(52)︒⨯-……所以n 边形的内角和是新知1：从以上事例可一发现： 叫做合情推理。
人教版高中数学选修2-2学案：2.2.3数学归纳法(一)
2.2.3数学归纳法（一）【学习目标】1.了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤;2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写;3.理解数学归纳法中递推思想.【新知自学】 知识回顾：1.证明方法：（1）直接证明⎩⎨⎧__________________； （2）间接证明：________. 新知梳理：1.问题：在多米诺骨牌游戏中,能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么?2.数学归纳法两大步：（1）归纳奠基：证明当n 取第一个值n 0时命题成立;（2）归纳递推：假设n=k （k ≥n 0， k ∈N*）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立.3.数学归纳法是一种完全归纳的证明方法,主要用于研究与正整数有关的数学问题.在基础和递推关系都成立时，可以递推出对所有不小于n 0的正整数n 0+1，n 0+2，…，命题都成立.对点练习：1.若f(n)＝1＋12＋13＋…＋16n －1(n ∈N ＋)，则f (1)为( ) A ．1B ．15C ．1＋12＋13＋14＋15D ．非以上答案2.已知f(n)＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( ) A ．f(n)中共有n 项，当n ＝2时，f(2)＝12＋13B ．f(n)中共有n ＋1项，当n ＝2时，f(2)＝12＋13＋14C ．f(n)中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f(2)＝12＋13D ．f(n)中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f(2)＝12＋13＋143.用数学归纳法证明:当n 为整数时,2135(21)n n ++++-=.【合作探究】 典例精析：例1.用数学归纳法证明2222*(1)(21)123,6n n n n n N ++++++=∈ 变式练习：用数学归纳法证明2*1427310(31)(1),n n n n n N ⨯+⨯+⨯+++=+∈例2.用数学归纳法证明:首项是1a ,公差是d 的等差数列的通项公式是1(1)n a a n d =+-,前n 项和的公式是1(1)2n n n S na d -=+. 变式练习：用数学归纳法证明:首项是1a ,公比是q 的等差数列的通项公式是11n n a a q -=,前n 项和的公式是1(1)1n n a q S q-=-.(1q ≠) 规律总结：1.数学归纳法应用注意问题(1)数学归纳法证题时，第一个值n 0不一定为1，如证明多边形内角和定理(n －2)π时，初始值n 0＝3.(2)数学归纳法证题的关键是第二步，证题时应注意：①必须利用归纳假设作基础；②证明中可利用综合法、分析法、反证法等方法；③解题时要搞清从n ＝k 到n ＝k ＋1增加了哪些项或减少了哪些项． 2.其中关键：从假设n=k 成立，再证得n=k+1成立时要用上假设.【课堂小结】【当堂达标】1.用数学归纳法证明：22111(1)1n n a a a a a a ++-++++=≠-，在验证1n =时，左端计算所得项为。
高中数学选修2-2优质学案：§2.3 数学归纳法
[学习目标] 1.了解数学归纳法原理.2.掌握数学归纳法的两个步骤，会用数学归纳法证明一些简单的数学命题．知识点一 归纳法及分类由一系列有限的特殊事例得出一般性结论的推理方法，通常叫归纳法，归纳法可以分为__________归纳法和__________归纳法，完全归纳法所得出的结论是完全可靠的，因为它考察了问题涉及的所有对象；不完全归纳法得出的结论不一定可靠，因为它只考察了某件事情的部分对象，但它是一种重要的思考问题的方法，是研究数学的一把钥匙，是发现数学规律的一种重要手段．用不完全归纳法发现规律，再用完全归纳法证明，是解决问题的一种重要途径．完全归纳法是一种在研究了解事物的所有(有限种)特殊情况后，得出一般结论的推理方法，又叫枚举法．与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的．通常在事物包括的特殊情况不多时，采用完全归纳法．思考 下面的各列数都依照一定规律排列，请在括号里填上适当的数． (1)1,5,9,13,17，( )；(2)23，1,1 12，2 14，3 38，( )； (3)34，58，12，922，1132，( )； (4)32,31,16,26，( )，( )，4,16,2,11. 知识点二 数学归纳法 1．数学归纳法证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： ①(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立；②(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立． 2．应用数学归纳法时注意几点：(1)用数学归纳法证明的对象是与________有关的命题． (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．(3)步骤②的证明必须以“假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立”为条件．思考 (1)对于数列{a n }，已知a 1＝1，a n ＋1＝a n1＋a n (n ∈N *)，求出数列前4项，你能得到什么猜想？你的猜想一定是正确的吗？(2)多米诺骨牌都一一倒下只需满足哪几个条件？题型一 用数学归纳法证明恒成立例1 求证：(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N *)．反思与感悟 用数学归纳法证明与正整数有关的等式问题，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n 的取值是否有关，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式两边会增加多少项，增加怎样的项．跟踪训练1 用数学归纳法证明12＋32＋52＋…＋(2n －1)2＝13n (4n 2－1)(n ∈N *)．题型二 证明不等式问题例2 已知{a n }为等比数列且a n ＝2n －1，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N *)，用数学归纳法证明对任意的n ∈N *，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＞n ＋1成立．反思与感悟 用数学归纳法证明不等式问题时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑证明目标，在凑证明目标时，比较法、综合法、分析法都适用．跟踪训练2 用数学归纳法证明对一切n ∈N *,1＋122＋132＋… ＋1n 2≥3n2n ＋1.题型三 用数学归纳法证明整除问题 例3 求证n ∈N *时，a n ＋1＋(a ＋1)2n －1能被a 2＋a ＋1整除．反思与感悟 用数学归纳法证明数的整除性问题时，关键是从当n ＝k ＋1时的式子中拼凑出当n ＝k 时能被某数整除的式子，并将剩余式子转化为能被该数整除的式子． 跟踪训练3 用数学归纳法证明对于任意非负整数n ，A n ＝11n ＋2＋122n ＋1能被133整除．题型四 用数学归纳法解决平面几何问题例4 已知n 个平面都过同一点，但其中任何三个平面都不经过同一直线，求证：这n 个平面把空间分成f (n )＝n (n －1)＋2部分．反思与感悟 用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k 增加到k ＋1时，所证的几何量增加多少，同时要善于利用几何图形的直观性，建立k 与k ＋1之间的递推关系．跟踪训练4 平面内有n (n ∈N *，n ≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，求证交点的个数f (n )＝n (n －1)2.因弄错从n ＝k 到n ＝k ＋1的增加项致误例5 用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n ＞n ＋12(n ∈N *)．错解 ①当n ＝1时，左边＝1＋12，右边＝1＋12＝1，显然左边＞右边，即n ＝1时不等式成立．②假设n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时不等式成立， 即1＋12＋13＋…＋12k ＞k ＋12.那么，当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＞k ＋12＋12k ＋1＞k ＋12＋12＝(k ＋1)＋12， 即n ＝k ＋1时，不等式成立．由①②得1＋12＋13＋…＋12n ＞n ＋12(n ∈N *)成立．错因分析 以上用数学归纳法证明的过程是错误的，因为在从n ＝k 到n ＝k ＋1时增加的不止一项，应是12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k ，共有2k项，并且k ＋12＋12k ＋1＞k ＋12＋12也是错误的．正解 ①当n ＝1时， 左边＝1＋12，右边＝1＋12＝1，所以左边＞右边， 即n ＝1时不等式成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时不等式成立，即1＋12＋13＋…＋12k ＞k ＋12，那么，当n ＝k ＋1时，有1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k ＞k ＋12＋12k ＋2k ＋12k ＋2k ＋…＋12k ＋2k＝k ＋12＋2k2k ＋2k ＝k ＋12＋12＝(k ＋1)＋12. 所以n ＝k ＋1时，不等式成立． 由①②可知，n ∈N *时1＋12＋13＋…＋12n ＞n ＋12. 防范措施 当n ＝k ＋1时，可以写出相应增加的项，然后再结合数学归纳法证明．1．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＝1－a n ＋11－a (a ≠1，n ∈N *)，在验证当n ＝1时，左边计算所得的式子是( ) A ．1 B ．1＋aC ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 4 2．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＞1324(n ≥2)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k ＋1时，不等式的左边( ) A ．增加了一项12(k ＋1)B ．增加了两项12k ＋1，12(k ＋1)C ．增加了两项12k ＋1，12(k ＋1)，又减少了一项1k ＋1D ．增加了一项12(k ＋1)，又减少了一项1k ＋13．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，证明不等式f (2n )>n 2时，f (2k ＋1)比f (2k )多的项数是__________．4．用数学归纳法证明3n ≥n 3(n ≥3，n ∈N *)第一步应验证______________．5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)．依次计算出S 1，S 2，S 3，S 4后，可猜想S n 的表达式为______________．1.数学归纳法的两个步骤相互依存，缺一不可．有一无二，是不完全归纳法，结论不一定可靠；有二无一，第二步就失去了递推的基础． 2．归纳假设的作用．在用数学归纳法证明问题时，对于归纳假设要注意以下两点：(1)归纳假设就是已知条件；(2)在推证n ＝k ＋1时，必须用上归纳假设． 3．利用归纳假设的技巧．在推证n ＝k ＋1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设．此时既要看准目标，又要掌握n ＝k 与n ＝k ＋1之间的关系．在推证时，分析法、综合法、反证法等方法都可以应用． 4．数学归纳法的适用范围．数学归纳法是直接证明的一种重要方法，应用十分广泛，主要体现在与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除性、几何问题、探求数列的通项及前n 项和等问题中．提醒：完成作业 §2.3[答案]精析知识梳理 知识点一 完全 不完全思考 (1)21；(2)8116；(3)1344；(4)8 21.知识点二 2．(1)正整数n思考 (1)a 1＝1，a 2＝12，a 3＝13，a 4＝14.猜想数列的通项公式为a n ＝1n .不能保证猜想一定正确，需要严密的证明．(2)①第一块骨牌倒下；②任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下．条件②事实上给出了一个递推关系，换言之就是假设第K 块倒下，则相邻的第K ＋1块也倒下． 题型探究例1 证明 (1)当n ＝1时，左边＝1＋1＝2，右边＝21×1＝2，左边＝右边，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )＝2k ·1·3·…·(2k －1)， 那么，当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k )(k ＋k ＋1)(k ＋k ＋2) ＝(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k )·(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1＝2k ·1·3·…·(2k －1)(2k ＋1)·2＝2k ＋1·1·3·…·(2k －1)·[2(k ＋1)－1]＝右边． ∴当n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知，对一切n ∈N *，原等式均成立．跟踪训练1 证明 (1)当n ＝1时，左边＝12，右边＝13×1×(4×12－1)＝1，左边＝右边，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，等式成立， 即12＋32＋52＋…＋(2k －1)2＝13k (4k 2－1)，则当n ＝k ＋1时，12＋32＋52＋…＋(2k －1)2＋(2k ＋1)2 ＝13k (4k 2－1)＋(2k ＋1)2 ＝13k (2k ＋1)(2k －1)＋(2k ＋1)2 ＝13(2k ＋1)[k (2k －1)＋3(2k ＋1)] ＝13(2k ＋1)(2k 2＋5k ＋3) ＝13(2k ＋1)(k ＋1)(2k ＋3) ＝13(k ＋1)(4k 2＋8k ＋3) ＝13(k ＋1)[4(k ＋1)2－1]， 即当n ＝k ＋1时，等式成立． 由(1)(2)知，对一切x ∈N *等式成立．例2 证明 由已知条件可得b n ＝2n (n ∈N *)， ∴所证不等式为2＋12·4＋14·…·2n ＋12n ＞n ＋1.(1)当n ＝1时，左边＝32，右边＝2，左边＞右边，∴不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立． 即2＋12·4＋14·…·2k ＋12k＞k ＋1，则当n ＝k ＋1时，2＋12·4＋14·…·2k ＋12k ·2k ＋32(k ＋1)＞k ＋1·2k ＋32(k ＋1)＝2k ＋32k ＋1.要证当n ＝k ＋1时，不等式成立，只需证2k ＋32k ＋1≥k ＋2，即证2k ＋32≥(k ＋1)(k ＋2)，由基本不等式，得2k ＋32＝(k ＋1)＋(k ＋2)2≥(k ＋1)(k ＋2)成立，∴2k ＋32k ＋1≥k ＋2成立，∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．由(1)(2)可知，对一切n ∈N *，原不等式均成立．跟踪训练2 证明 (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝3×12×1＋1＝1，不等式成立．(2)假设当n ＝k 时，不等式成立， 即1＋122＋132＋…＋1k 2≥3k 2k ＋1，则当n ＝k ＋1时，要证1＋122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2≥3(k ＋1)2(k ＋1)＋1，只需证3k 2k ＋1＋1(k ＋1)2≥3(k ＋1)2k ＋3.因为3(k ＋1)2k ＋3－⎣⎢⎡⎦⎥⎤3k 2k ＋1＋1(k ＋1)2＝34(k ＋1)2－1－1(k ＋1)2＝1－(k ＋1)2(k ＋1)2[4(k ＋1)2－1]＝－k (k ＋2)(k ＋1)2(4k 2＋8k ＋3)≤0，所以3k 2k ＋1＋1(k ＋1)2≥3(k ＋1)2k ＋3，即1＋122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2≥3(k ＋1)2(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时不等式成立．由(1)(2)知，不等式对一切n ∈N *都成立． 例3 证明 (1)当n ＝1时，a 1＋1＋(a ＋1)2×1－1＝a 2＋a ＋1，命题显然成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，a k ＋1＋(a ＋1)2k －1能被a 2＋a ＋1整除， 则当n ＝k ＋1时，a k ＋2＋(a ＋1)2k ＋1＝a ·a k ＋1＋(a ＋1)2·(a ＋1)2k －1 ＝a [a k ＋1＋(a ＋1)2k －1]＋(a ＋1)2(a ＋1)2k －1－a (a ＋1)2k －1 ＝a [a k ＋1＋(a ＋1)2k －1]＋(a 2＋a ＋1)(a ＋1)2k －1. 由归纳假设，上式中的两项均能被a 2＋a ＋1整除， 故当n ＝k ＋1时命题成立．由(1)(2)知，对任意n ∈N *，命题成立．跟踪训练3 证明 (1)当n ＝0时，A 0＝112＋12＝133，能被133整除． (2)假设当n ＝k (k ≥0)时，A k ＝11k ＋2＋122k ＋1能被133整除，那么当n ＝k ＋1时，A k ＋1＝11k ＋3＋122k ＋3＝11·11k ＋2＋122·122k ＋1＝11·11k ＋2＋11·122k ＋1＋(122－11)·122k ＋1＝11·(11k ＋2＋122k ＋1)＋133·122k ＋1，能被133整除． 由(1)(2)可知，对于任意非负整数n ，A n 都能被133整除．例4 证明 (1)当n ＝1时，1个平面把空间分成2部分，而f (1)＝1×(1－1)＋2＝2(部分)，所以命题正确．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，命题成立，即k 个符合条件的平面把空间分为f (k )＝k (k －1)＋2(部分)，当n ＝k ＋1时，第k ＋1个平面和其他每一个平面相交，使其所分成的空间都增加2部分，所以共增加2k 部分，故f (k ＋1)＝f (k )＋2k ＝k (k －1)＋2＋2k ＝k (k －1＋2)＋2＝(k ＋1)[(k ＋1)－1]＋2(部分)， 即当n ＝k ＋1时，命题也成立．根据(1)(2)，知n 个符合条件的平面把空间分成f (n )＝n (n －1)＋2部分．跟踪训练4 证明 (1)当n ＝2时，两条直线的交点只有一个，又f (2)＝12×2×(2－1)＝1， ∴当n ＝2时，命题成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥2)时命题成立，即平面内满足题设的任何k 条直线的交点个数f (k )＝12k (k －1)， 那么，当n ＝k ＋1时，任取一条直线l ，除l 以外其他k 条直线的交点个数为f (k )＝12k (k －1)， l 与其他k 条直线的交点个数为k ，从而k ＋1条直线共有f (k )＋k 个交点，即f (k ＋1)＝f (k )＋k ＝12k (k －1)＋k ＝12k (k －1＋2)＝12k (k ＋1)＝12(k ＋1)[(k ＋1)－1]， ∴当n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)(2)可知，对任意n ∈N *(n ≥2)命题都成立．当堂检测1．B [当n ＝1时，左边的最高次数为1，即最后一项为a ，左边是1＋a ，故选B.]2．C [n ＝k 时，左边为1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，① n ＝k ＋1时，左边为1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12(k ＋1)，② 比较①②可知C 正确．]3．2k[解析] 观察f (n )的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f (2k )＝1＋12＋13＋…＋12k ，而f (2k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k . 因此f (2k ＋1)比f (2k )多了2k 项．4．n ＝3时是否成立[解析] n 的最小值为3，所以第一步验证n ＝3时是否成立．5．S n ＝2n n ＋1[解析] S 1＝1，S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85，猜想S n ＝2n n ＋1.。
【教案】人教版高中《数学》选修2-2《数学归纳法》教学设计
人教版高中《数学》选修2-2§2.3 数学归纳法（第一课时）一、教学目标：1、了解数学归纳法，理解数学归纳法的原理与实质，掌握归纳法证明的两个步骤；2、会证明简单的与正整数有关的命题。
二、教学重点、难点：1、重点：借助具体实例，了解数学归纳法的基本思想，掌握基本步骤，会用它证明一些与正整数n 有关的命题；2、难点：（1）学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二步的作用，不易根据归纳假设作出证明；（2）运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。
三、教学手段：借助多媒体呈现多米诺骨牌等生活素材辅助课堂教学；四、教学过程：（一）创设情境，引入课题师：前面我们学习推理，并且知道由推理得到的结论是否正确，需要我们进一步验证。
我们来看这样的一道题目：已知数列{}n a 中，*111,()1n n na a a n N a +==∈+，试猜想数列的通项公式n a = 生：分别求出12341111,,,234a a a a ====，从而猜测1n a n=。
师：那么这个猜想是否正确？我们又该如何证明这个猜想？生：方法1：从n=5逐个验证？（由于n 为正整数，为无限个，所以可行性不高）方法2：通过构造新数列{}n b ，其中1n nb a =，先求出数列{}n b 的通项公式，从而得到{}n a 的通项公式；（技巧性较高，且有时新数列{}n b 不易构造）方法3：能否通过有限个步骤的推理，证明n 取所有正整数时，通项公式都成立？ 师：带着这个问题，我们来观察一个关于多米诺骨牌游戏的视频。
（二）观看视频，动手实验观看多米诺骨牌游戏视频后，由学生来展示骨牌游戏：实验步骤：1、摆好骨牌，并由教师动手轻轻碰了第一块（并未推倒），发现实验不成功；2、由学生自己动手推倒骨牌，实验成功；3、再次摆好骨牌，教师调整最后3块的距离，发现并未全部倒下，实验失败。
师：我们一起来总结3次实验，那么要使游戏成功，所需条件有哪些？生：（1）第一块骨牌要倒下；（2）相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块也倒下；师：若将每一块骨牌相应的看成数列的1234,,,a a a a ，那么这两个条件分别相当于：（1）首项1a 要符合n a 的通项公式；（2）假设n=k 时猜想成立，则必将导致n=k+1时猜想也成立；这样一来，就可以发现由n=1成立，就有n=2成立；n=2成立，就有n=3成立；n=3成立，就有n=4成立；n=4成立，就有n=5也成立……，所以对任意的正整数n ，猜想都成立。
数学归纳法(选修2-2)导学案
数学归纳法应用举例学习目标：了解数学归纳法原理，能用数学归纳法证明一些简单的命题。
一、 温故知新：1、 数学归纳法适用范围是什么？用数学归纳法证题步骤是什么？应用数学归纳法应该注意那些问题？2、 用数学归纳法证明22111(,1)1n n a a a a n N a a++*-++++=∈≠-L ，在验证n=1时，左边旳项是________________________。
3、 用数学归纳法证明(1)(2)(3)()2123(21),n n n n n n n n N *++++=⋅⋅⋅⋅⋅-∈L L 时，从“1n k n k =→=+”，两边应乘的代数式是A.22k +B.(21)(22)k k ++C.221k k ++ D.(21)(22)1k k k +++ 4、用数学归纳法证明111111111,234212122n N n n n n n*-+-++-=+++∈-++L L 则“1n k n k =→=+”时，左边需要添加的项是 A.121k + B.112+224k k -+ C.122k -+ D.112122k k -++二、典例引领例1、 用数学归纳法证明：211111(1)(1)(1)(1)(2)49162n n n n +----=≥L例2、 用数学归纳法证明：凸n 边形内角和()(2)f n n π=-，(3)n ≥。
例3、 用数学归纳法证明：对n N *∀∈，731n n +-能被9整除。
例4、 当2n ≥且n N *∈时，求证：11111312324n n n n n ++++>++++L 。
三、 拓展训练：已知数列{}n a 中，211,,()n n a S n a n N *==∈，（1）求2,3,4,a a a 并猜想出n a 的表达式； （2）证明你所得的结论。
四、作业布置：。
四川省岳池县第一中学高中数学《2.3.1 数学归纳法》学
§2.3.1 数学归纳法【学习目标】1.了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤;2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写;3.数学归纳法中递推思想的理解.【学习重点】数学归纳法的原理【学习难点】数学归纳法的操作步骤及应用【课前预习】【预习自测】一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值__________________时命题成立；（2）（归纳递推）假设n=k(k≥n o,k∈N+)时命题成立，证明当_________________时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从___________________________开始的所有正整数n都成立.上述证明方法叫做数学归纳法.【我的疑问】【课内探究】探究任务：数学归纳法问题：在多米诺骨牌游戏中,能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么?探究教材69页的证明（*）新知：数学归纳法两大步：（1）归纳奠基：证明当n取第一个值n0时命题成立;（2）归纳递推：假设n=k（k≥n0，k∈N*）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.原因：在基础和递推关系都成立时，可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立.试试：你能证明数列的通项公式1nan=这个猜想吗?反思：数学归纳法是一种特殊的证明方法,主要用于研究与正整数有关的数学问题.关键：从假设n=k成立，证得n=k+1成立.※ 典型例题例1 用数学归纳法证明如果{a n }是一个等差数列，公差为d ，那么1(1)n a a n d =+-对一切n N +∈都成立变式：用数学归纳法证明：首项是1a ，公比是q 的等比数列的通项公式是：11n n a a q -=小结：证n =k +1时，需从假设出发，对比目标，分析等式两边同增的项，朝目标进行变形.例2用数学归纳法证明：2222*(1)(21)123,6n n n n n N ++++++=∈K变式：用数学归纳法证明:当n 为整数时,2135(21)n n ++++-=L小结：数学归纳法经常证明数列的相关问题.【当堂检测】1. 使不等式122+>n n 对任意k n ≥的自然数都成立的最小k 值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 52. 若命题)(n p 对n=k 成立，则它对2+=k n 也成立，又已知命题)2(p 成立，则下列结论正确的是A. )(n p 对所有自然数n 都成立B. )(n p 对所有正偶数n 成立C. )(n p 对所有正奇数n 都成立D. )(n p 对所有大于1的自然数n 成立3. 用数学归纳法证明不等式1111127124264n -++++>L 成立，起始值至少应取为( ) A.7 B. 8 C. 9 D. 104. 对任意*4221,3n n n N a ++∈+都能被14整除,则最小的自然数a = .5.用数学归纳法证明:当n 为整数时,21122221n n -++++=-L【课后反思】【课后训练】1. 用归纳猜想平面上n 个圆最多有多少个交点，并用数学归纳法证明你的猜想。
人教版高中数学选修2-2学案：2.2.3数学归纳法(一).doc
2.2・3数学归纳法(一)【学习目标1 •了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操步骤；2 •能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明题的格式书写3 •理解数学归纳法中递推思想【新知自学】知识顾1 •证明方法:(1)直接证明(2)间接证明：___________ ・新知梳理：1 •题：在多米诺骨牌游戒，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么2 •数学归纳法两大步:(1)归纳奠基：证明出取第一个值时命题成立(2)归纳递推：&=k (k>no. keN*)时命题成立，证明6&k+1时命题也成立・只要完成这两个步骤，就可以断定命题对盹开始的所有正整数n都成立・1 1 11•若 f(n)=1+- --------- (neN +)，昨)的)乂 + ^+…6n-1 +A ・11 B ・511112 3 -4—5 -C ・1 +D.非以上答案— —z 1 11 12•已知 f(n)= + ++… u )---+nnn+ 1 n + 21 1A. f(n)中共有n 项，宙=2 时，f(2)=+ 3 21 1 12 + 4 + 3B ・f(n)中共有n+1 项，苗=2时，f{2) =2—n 项，当 n=2 时，f(2)=1 1C. f(n)1)1共彳j n +322—n+1 项，当 n=2 时，f(2)=+ T -1D ・f(n)中共有n + +2 J 43•朗数学吗绍沬证明_ :岂n 为整数时，21 3 5 (2n 1) n .3 •数学归纳法是一种完全归纳的证明方法 础和递推关系都成立时，可以递推出对所有不 立. 对点综：，主要用于研究与正整数有关的数学丿•在基no 的正整数rio+1, no+2,…，命题都成【合作探究】典例精析：例|•用曙归细衿JE朋_ + +,2 ^2 池 2 n (n 1)(2 n 1)1 2 3 n ' 八76变式练习:用;数学归纳決证明+川+ + = + €21 42 73 10 n(3n 1) n(n 1) ,n N例2•用数学归纳法证明：首项是a，公差是d的等差数列的通项公式是1项和的公式是s =na+呵卫d .n 12a n =ai +(n - 1)d，前n变式练习：用数学归纳法证明:首项是a ,公比是q的等差数列的通项公式是aH 1n(q 1)n 1aq ，前n项和的公式1规律总结：1 •数学归纳法应用注意问题(4)数学归纳法证题时，第一个值no不一定为1,如证明多边形内角和定理(n-2) yr时，初始值no= 3.(2)数学归纳法证题的关键是第二步，证题时应注意：①必须利用归纳假设作基础；②证明中可利用综合法、分析法、反证法等方法；③解题时要搞清从n=k到n =k+1增加了哪些项或减少了哪些项.2•其中关键：从假设n=k成立，再证得n=k+1成立时要用上假设.【课堂小结】用数学归纳法证明: 在验证n 1时，左端计算所得项为【当堂达标】(n N2 -^n-+A. 2n 1B. 2n 2+ 2 +l|| + n+ _1a aaA.1 + B- 1- C.1 a D.[n*一 (a 1)1 +a2 -a +a + 23a a a2 •设 + —，那么f(n 1) f(n)等于(f(n)1 +82,3 , a ,猜想34,而 1a ,通过计算1C ・ + 2 +22n 1 nD.2n 1 2n 2= n2a n3.罰数列｛a ｝的前n 项和(2)S n fl n4.用数学归纳法证明：1 1 1 1 n 1 3 3 5 5 7 (2n 1)(2n 1) 2n 11 •用数学归纳法证明 (n +2 13佗n1)(rtN)时,成 1)(n n=k 到 n=k+1 ,左端需要 n) ++加的代数式为A. 2k+1 B . 2(2k+1) 2k 1 2k 3 C.D.k 1k 1 2•—个关于自然数 n 的命题，如果验当时命题成立，并在假说 n = k(k> 1且keN*)时 命题成立的基础上，证弗n =k+2时命题成立，那么综合上述谢()A. —切正整数命题成立B. —切正奇数命题成立C. 一切正偶数命题成立D. 以上都不对1 1 12 _ +… 3.已知n 为正偶数，用数学归纳法证阴-力 + 3 4假跨k(kn 2且k 为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假璇 A. n = k+ 1时等式成立 B. n = k+2时等式成立 C ・n = 2k+2时等式成立 D. n = 2(k+2)时等式成立2) (n 3) (n + 1 +…+ 1时，若已=2 n + 2 n + 4 2n4•用数学归纳法证明+2+2 廿…+ 2「1"-怙心的过程中，第一扫k时等式成立，则当n = k+1时应鋼( )A.2-I ------- + Ok-24- 2k-1 = 2k+1— 11 +2 + 2 B.2-i—+ 2k + 2k+i = 2k— 1 + 2k+11 + 2+2 C.2-I -- + 2k-1 -}- 2k+1 = 2k+1-11+2+2D.2-| ------- + 2k-14- 2k= 2k+1 -11 +2 + 2+= —5•用数学归纳法证瞎n为正整数时2 1 n n •1 2 2 2 2 16 •用数学归纳法证明：1 % 亠2 e（n「）*3 #（n 一2）“叽#1 =；n（n「）（n 十2）6。
高中数学选修2-2探究式导学案1：2.3数学归纳法
《数学归纳法》导学案【学习目标】了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.【重点难点】重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.难点：数学归纳法中递推思想的理解.模块一：自主学习，明确目标一．知识链接1综合法：2分析法:3反证法:阅读教材思考并回答以下问题1.多米诺骨牌全部的条件是什么:2.数学归纳法的定义？3.数学归纳法适用范围是什么?4.数学归纳法的步骤(原理)是什么?5.数学归纳法的步骤 (原理)中关键及难点是什么?6.有人说:“数学归纳法使无限与有限间实现了平衡”, 你怎样理解这句话？.模块二：合作释疑例1、在数列{n a }中, 1a ＝1, n n n a a a +=+11(n ∈*N ), 先计算2a ，3a ，4a 的值，再推测通项n a 的公式, 最后证明你的结论．模块三：巩固训练，整理提高例2. 用数学归纳法证明6)12)(1(21222++=+++n n n n Λ (nϵN ∗)．变式迁移2：数学归纳法证明13+23+33+⋯+n 3=14n 2(n +1)2二．课堂总结通过本节课的学习，你有哪些收获？1．知识上2．思想方法上3.反思三．当堂检测：1．用数学归纳法证明)14(31)12(53122222-=-++++n n n Λ过程中，由n =k 递推到n =k +1时，不等式左边增加的项为 （ ）A. 2)2(kB.2)32(+kC. 2)12(+kD. 2)22(+k 2．数列｛a n ｝的通项公式为a n =()211+n ()N ∈n ，记f(n) =（1－a 1）（1－a 2）…（1－a n ），求f (1)，f (2)，f (3)．推测f (n)的表达式，并证明你的结论．3．用数学归纳法证明不等式 )2(241321312111≥>++++++n n n n n Λ的过程中，由n=k 递推到n=k+1时，不等式左边（ ）A.增加了一项)1(21+kB. 增加了“)1(21121+++k k ”，又减少了“11+k ” C. 增加了一项)1(21121+++k k D.增加了“)1(21+k ”，又减少了“11+k ”[答案]例1[解析]a 2=12 ,a 3=13 ,a 4=14推测a n =1n 假设a k =1k 成立 a k+1=a ka k +1=1k 1k +1=1k+1由此可得a n =1n 对任意的n ∈N ∗都成立例2[解析]n=1时，左边=右边，等式成立假设n=k 成立12+22+⋯+k 2=16k (k +1)(2k +1) 则n =k +112+22+⋯+k 2+(k +1)2=16k (k +1)(2k +1)+(k +1)2=16(k +1)(2k 2+7k +6)=16(k +1)(k +2)(2k +3) =(k +1)[(k +1)+1][2(k +1)+1]综上6)12)(1(21222++=+++n n n n Λ (nϵN ∗)变式迁移2[答案]n=1时，显然成立假设n =k 时， 13+23+33+⋯+k 3=14k 2(k +1)2 成立则n =k +1时，13+23+33+⋯+k 3+(k +1)3=14k 2(k +1)2+(k +1)3 =14(k +1)2(k 2+4k +4)=14(k +1)2[(k +1)+1]2 综上13+23+33+⋯+n 3=14n 2(n +1)2当堂检测1[答案] C2[解析]f (1)=34, f (2)=23,f (3)=58推测f (n )=2+n 2(n+1)n=1时显然成立，假设n=k时，f(k)=2+k2(k+1)成立，则n=k+1时, f(k+1)=2+k2(k+1)(1−a k+1)=2+k2(k+1)(1−1(k+2)2)=2+k2(k+1)(k+1)(k+3)(k+2)2=2+(k+1)2[(k+1)+1]综上f(n)=2+n2(n+1)成立3[答案]B。
四川省岳池一中2015年数学选修2-2导学案 综合法和分析法
§2.2.1 综合法和分析法（1）【学习目标】1. 结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；2. 会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.3. 根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.【学习重点】分析法和综合法【学习难点】分析法和综合法的应用【课前预习】【预习自测】1、一般地，利用已知条件和某些数学_____________、______________、______________等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做________.用P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q 表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：____________________________________________________________。
2、一般地，从证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明方法叫做_________________.用Q 表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为________________________________.【我的疑问】【课内探究】探究任务一：综合法的应用问题：已知,0a b >,求证:2222()()4a b c b c a abc +++≥.新知：综合法.：反思：框图表示：要点：顺推证法；由因导果. ※ 典型例题例1求证：5321232log 19log 19log 19++<变式：已知a,b,c 表示.ABC ∆的边长，m>0，求证：a b c a m b m c m+>+++小结：用综合法证明不等式时要注意应用重要不等式和不等式性质,要注意公式应用的条件和等号成立的条件,这是一种由因索果的证明.例2设在四面体P ABC -中, 90,,ABC PA PB PC ∠=︒==D 是AC 的中点.求证:PD 垂直于ABC ∆所在的平面.变式：如果3sin sin(2)βαβ=+，求证tan()2tan αβα+=小结：解决数学问题时,往往要先作语言的转换,如把文字语言转换成符号语言,或把符号语言转换成图形语言等,还要通过细致的分析,把其中的隐含条件明确表示出来.※ 动手试试练1. 求证：对于任意角θ，44cos sin cos2θθθ-=练2. ,A B为锐角，且tan tan tan A B A B +=，求证：60A B +=. （提示：算tan()A B +）【当堂检测】1. 已知22,,"1""1"x y R xy x y ∈≤+≤则是的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.如果821,,a a a ⋅⋅⋅为各项都大于零的等差数列，公差0≠d ，则（ ）A ．5481a a a a >B ．5481a a a a <C ．5481a a a a +>+D ．5481a a a a =3. 设23451111log 11log 11log 11log 11P =+++，则（ ） A ．01P << B ．12P << C ． 23P << D ．34P <<4.若关于x 的不等式22133(2)(2)22x x k k k k --+<-+的解集为1(,)2+∞，则k 的范围是____ . 5. 已知b a ,是不相等的正数，x y =,x y 的大小关系是_________. 【课后反思】【课后训练】1. 已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证:3b c a a c b a b c a b c +-+-+-++> 2. 在△ABC 中，证明：2222112cos 2cos b a b B a A -=- §2.2.1 综合法和分析法(二)【学习目标】1. 会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程.2. 根据问题的特点，结合分析法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.【学习重点】分析法证明问题【学习难点】用分析法证明问题【课前预习】【预习自测】复习1：综合法是由 导 ; 复习2：基本不等式:【我的疑问】 探究任务一：分析法问题：如何证明基本不等式(0,0)2a b ab a b +≥>>新知：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.反思：框图表示要点：逆推证法；执果索因 ※ 典型例题例1求证3526+>+变式： 已知1tan 12tan αα-=+，求证：3sin24cos2αα=- 小结：证明含有根式的不等式时,用综合法比较困难,所以我们常用分析法探索证明的途径. 例2 在四面体S ABC -中,,SA ABC AB BC ⊥⊥面,过A 作SB 的垂线,垂足为E ,过E 作SC 的垂线,垂足为F ,求证AF SC ⊥.变式：设,,a b c 为一个三角形的三边,1()2s a b c =++,且22s ab =,试证：2s a <.小结：用题设不易切入,要注意用分析法来解决问题.※ 动手试试练1. 求证：22222()()()ac bd a b c d +≤++练2. 设a , b , c 是的△ABC 三边，S 是三角形的面积，求证：2224c a b ab --+≥【当堂检测】1. <,其中最合理的是A.综合法B.分析法C.反证法D. 归纳法2.不等式①233x x +>;②2b a a b+≥,其中恒成立的是 A.① B.② C.①② D.都不正确3.已知0y x >>,且1x y +=,那么 A.22x y x y xy +<<< B.22x y xy x y +<<< C.22x y x xy y +<<< D.22x y x xy y +<<< 4.若,,a b c R ∈,则222a b c ++ ab bc ac ++.5.将a 千克的白糖加水配制成b 千克的糖水(0)b a >>,则其浓度为 ;若再加入m 千克的白糖(0)m >,糖水更甜了,根据这一生活常识提炼出一个常见的不等式: .6.设有比例式x y z y z z x x y==+++由比例性质可得 1()()()2x y z x y z y z z x x y y z z x x y ++====++++++++,1()()x y z x y y z z x x y y z z x -====-++++-+ 由此可得112=-试指出这个推理的错误在哪里？【课后反思】【课后训练】 1设实数1x ≠-，求证：22651213x x x x -+≥-++2. 设,a b R +∈,且a b ≠,求证:3322a b a b ab +>+3.求证：正三棱锥的侧棱与底面的对边垂直。
苏教版数学高二-四川省岳池一中2015年数学选修2-2导学案 3.1数系的扩充与复数的概念
§3.1.1数系的扩充与复数的概念学习目标 ：1．了解引进虚数单位i 的必要性，了解数集的扩充过程.2．理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3．掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．学习重点：复数代数形式的表示方法，理解复数相等．学习难点：复数代数形式的表示方法，理解复数相等．课前预习案教材助读：阅读教材的内容，思考并完成下列问题：1．复数的有关概念(1)复数①定义：形如a ＋b i 的数叫做复数，其中a ，b ∈______，i 叫做__________．a 叫做复数的______，b 叫做复数的______．②表示方法：复数通常用字母____表示，即________．(2)复数集①定义：__________所构成的集合叫做复数集．②表示：通常用大写字母____表示．2．复数的分类及包含关系(1)复数(a ＋b i ，a ，b ∈R)⎩⎨⎧ 实数(b ＝0)虚数(b ≠0)⎩⎪⎨⎪⎧ 纯虚数(a ＝0)非纯虚数(a ≠0)(2)集合表示：3．复数相等的充要条件设a ，b ，c ，d 都是实数，那么a ＋b i ＝c ＋d i ⇔__________.课内探究案一、新课导学：探究点一 复数的概念问题1：为解决方程x 2＝2，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x 2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？问题2：如何理解虚数单位i?问题3：什么叫复数？怎样表示一个复数？问题4：什么叫虚数？什么叫纯虚数？探究点二 两个复数相等问题1：两个复数能否比较大小？问题2：两个复数相等的充要条件是什么？二、合作探究例 1 ：请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数还是纯虚数．①2＋3i ；②－3＋12i ；③2＋i ；④π；⑤－3i ；⑥0.例2 ：当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m＋(m 2－2m )i 为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．例3：已知x ，y 均是实数，且满足(2x －1)＋i ＝－y －(3－y )i ，求x 与y .三、当堂检测1. 符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由．(1)实部为－2的虚数； (2)虚部为－2的虚数；(3)虚部为－2的纯虚数； (4)实部为－2的纯虚数．2．实数m 为何值时，复数z ＝m (m ＋2)m －1＋(m 2＋2m －3)i 是 (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．3．已知x 2－x －6x ＋1＝(x 2－2x －3)i(x ∈R)，求x 的值．四、课后反思课后训练案1. 已知复数z ＝a 2－(2－b )i 的实部和虚部分别是2和3，则实数a ，b 的值分别是 ( )A ．2，1B ．2，5C ．±2，5D ．±2，12. 下列复数中，满足方程x 2＋2＝0的是( ) A ．±1B ．±iC ．±2iD ．±2i3. 如果z ＝m (m ＋1)＋(m 2－1)i 为纯虚数，则实数m 的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．－1或1 4. 下列几个命题：①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；③1－a i(a∈R)是一个复数；④虚数的平方不小于0；⑤－1的平方根只有一个，即为－i；⑥i是方程x4－1＝0的一个根；⑦2i是一个无理数．其中正确命题的个数为() A．3个B．4个C．5个D．6个。
四川省岳池一中2015年数学选修2-2导学案 2.1.2演绎推理
§2.1.2 演绎推理【学习目标】1.结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性；2.掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理.3.了解合情推理和演绎推理间的区别和联系.【学习重点】演绎推理的基本方法【学习难点】运用演绎推理进行一些简单的推理.【课前预习】【预习自测】1、演绎推理定义：从_______________________出发,推出_______________的结论的推理.特点:由______________________的推理.2、“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：【预习自测题】1．下列说法正确的有（）（1）演绎推理是由一般到特殊的推理；（2）演绎推理的一般模式是“三段论”形式；（3）演绎推理得到的结论一定正确；（4）演绎推理得到的结论是否正确与大前提、小前提和推理形式有关。
A 1个B 2个C 3个D 4个【我的疑问】【课内探究】探究任务一：演绎推理的概念问题：观察下列例子有什么特点？（1）所有的金属都能够导电，铜是金属，所以；（2）一切奇数都不能被2整除，2007是奇数，所以；（3）三角函数都是周期函数，sin α是三角函数，所以 ；（4）两条直线平行，同旁内角互补.如果A 与B 是两条平行直线的同旁内角，那么 . 新知：演绎推理是 的推理.简言之，演绎推理是由 ____ 到_____ 的推理.探究任务二：观察上述例子，它们都由几部分组成，各部分有什么特点？新知：“三段论”是演绎推理的一般模式：大前提—— ；小前提—— ；结论—— .试试：请把探究任务一中的演绎推理（2）至（4）写成“三段论”的形式.※ 典型例题例1 命题：等腰三角形的两底角相等把上面推理写成三段论形式：变式：写出用三段论证明3()sin ()f x x x x =+∈R 为奇函数的步骤．例2求证：当a>1时，有(1)log (1)log a a a a ++>新知：用集合知识说明“三段论”： 大前提： 小前提： 结 论：动手试试：1证明函数632()1f x x x x x =-+-+的值恒为正数。
四川省岳池一中2015年数学选修2-2导学案 反证法
§2.2.2 反证法【学习目标】1. 结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；2. 了解反证法的思考过程、特点;3. 会用反证法证明问题.【学习重点】反证法【学习难点】用反证法证明问题.【课前预习】【预习自测】1、一般地，假设原命题_______________（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出______________________,因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做__________________________.2、应用反证法证明数学命题的一般步骤：（1）分清命题的_______________和______________________；（2）作出与____________________________相矛盾的假设；（3）由假设出发，应用演绎推理方法，推出_________________________;（4）断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不真，于是原结论成立，从而间接证明命题为真.【我的疑问】【课内探究】探究任务：反证法问题(1)：将9个球分别染成红色或白色,那么无论怎样染,至少有5个球是同色的,你能证明这个结论吗?问题(2):三十六口缸,九条船来装,只准装单,不准装双,你说怎么装?新知：反证法：探究任务：反证法就是通过证明逆否命题来证明原命题，这种说法对吗？为什么？新知：应用反证法证明数学问题的一般步骤：反思：证明基本步骤：假设原命题的结论不成立→从假设出发，经推理论证得到矛盾→矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.※典型例题例1.变式：设p小结：应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）.例2求证：一个三角形中，至少有一个内角不少于60︒.变式：用反证法证明：设直线a,b,c在同一平面上，如果,,a cb c，那么a b小结：从以上两例可以看出，反证法不是直接去证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上，运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性。
四川省岳池县第一中学高中数学《2.3 .2 数学归纳法应用举例》学案 新人教A版选修2
§2.3 .2 数学归纳法应用举例【学习目标】1.了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤;2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写;3.数学归纳法中递推思想的理解.【学习重点】数学归纳法【学习难点】数学归纳法应用。
【课前预习】【预习自测】复习1： 数学归纳法是合情推理和是演绎推理？复习2： 数学归纳法主要步骤：【我的疑问】【课内探究】※ 典型例题例1 用数学归纳法证明：22n n xy -能被x y +整除（n N +∈）变式：用数学归纳法证明2121n n xy ---能被x y +整除（n N +∈）例2 用数学归纳法证明 1122334...(1)(1)(2)3n n n n n ⨯+⨯+⨯+++=++变式：用数学归纳法证明135...(1)(21)(1)n nn n -+-++--=-【当堂检测】1. 用数学归纳法证明：22111(1)1n n a a a a a a++-++++=≠-，在验证1n =时，左端计算所得项为 A.1 B.21a a ++ C.1a + D.231a a a +++2. 用数学归纳法证明 ))(12(312)()3)(2)(1(*N n n n n n n n n ∈-⋅⋅⋅=++++ 时，从n=k 到n=k+1，左端需要增加的代数式为A. 12+kB. )12(2+kC. 112++k kD. 132++k k3. 设*111()()122f n n N n n n=+++∈++，那么)()1(n f n f -+等于（ ） A. 121+n B. 221+n C. 221121+++n n D. 221121+-+n n4. 已知数列}{n a 的前n 项和)2(2≥=n a n S n n ，而11=a ，通过计算432,,a a a ，猜想=n a 【课后反思】【课后训练】1. 用数学归纳法证明:2222121212131)(...)...2(...n n n n a a a a a a a a a a a a -+++=++++++(n N +∈且2n ≥)2. 用数学归纳法证明（1）55n n +能被6整除（2）21243()n n n N ++++∈能被13整除3. 用数学归纳法证明:1111133557(21)(21)21n n n n ++++=⨯⨯⨯-++。
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§2.3.1 数学归纳法
【学习目标】
1.了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤;
2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写;
3.数学归纳法中递推思想的理解.
【学习重点】数学归纳法的原理
【学习难点】数学归纳法的操作步骤及应用
【课前预习】
【预习自测】
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值__________________时命题成立；
（2）（归纳递推）假设n=k(k≥n o,k∈N+)时命题成立，证明当_________________时命题也成立.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从___________________________开始的所有正整数n都成立.
上述证明方法叫做数学归纳法.
【我的疑问】
【课内探究】
探究任务：数学归纳法
问题：在多米诺骨牌游戏中,能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么?
探究教材69页的证明（*）
新知：数学归纳法两大步：
（1）归纳奠基：证明当n 取第一个值n 0时命题成立;
（2）归纳递推：假设n =k （k ≥n 0， k ∈N *）时命题成立，证明当n =k +1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立.
原因：在基础和递推关系都成立时，可以递推出对所有不小于n 0的正整数n 0+1，n 0+2，…，命题都成立.
试试：你能证明数列的通项公式1n a n
=这个猜想吗? 反思：数学归纳法是一种特殊的证明方法,主要用于研究与正整数有关的数学问题.
关键：从假设n =k 成立，证得n =k +1成立.
※ 典型例题
例1 用数学归纳法证明
如果{a n }是一个等差数列，公差为d ，那么1(1)n a a n d =+-对一切n N +∈都成立
变式：用数学归纳法证明：首项是1a ，公比是q 的等比数列的通项公式是：11n n a a q -=
小结：证n =k +1时，需从假设出发，对比目标，分析等式两边同增的项，朝目标进行变形. 例2用数学归纳法证明：2222*(1)(21)123,6n n n n n N +++++
+=∈
变式：用数学归纳法证明:当n 为整数时,2135(21)n n +++
+-=
小结：数学归纳法经常证明数列的相关问题.
【当堂检测】
1. 使不等式122+>n n 对任意k n ≥的自然数都成立的最小k 值为（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
2. 若命题)(n p 对n=k 成立，则它对2+=k n 也成立，又已知命题)2(p 成立，则下列结论正确的是
A. )(n p 对所有自然数n 都成立
B. )(n p 对所有正偶数n 成立
C. )(n p 对所有正奇数n 都成立
D. )(n p 对所有大于1的自然数n 成立
3. 用数学归纳法证明不等式1111127124264
n -++++>成立，起始值至少应取为( ) A.7 B. 8 C. 9 D. 10
4. 对任意*4221,3n n n N a ++∈+都能被14整除,则最小的自然数a = .
5.用数学归纳法证明:当n 为整数时,21122221n n -+++
+=- 【课后反思】
【课后训练】
1. 用归纳猜想平面上n 个圆最多有多少个交点，并用数学归纳法证明你的猜想。
2. 用数学归纳法证明:
等差数列的前n 项和的公式是1(1)2
n n n S na d -=+.和等比数列的前n 项和公式是1(1)(1)1n n a q S q q
-=≠-。