纳维-斯托克斯方程
纳维-斯托克斯方程(N-S方程)详细推导
针对非牛解方法 ，以揭示其复杂的流动行为和机理。
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N-S方程的改进和发展
数值方法
为了解决N-S方程的求解问题， 研究者们发展出了许多数值方法，
如有限差分法、有限元法、谱方 法等。
近似模型
针对某些特定流动，研究者们提出 了许多近似模型，如雷诺平均N-S 方程、湍流模型等，以简化求解过 程。
多物理场耦合
随着计算技术的发展，多物理场耦 合成为研究流体流动的重要方向， 如流固耦合、流热耦合等。
应力张量
01
应力张量是描述流体内部应力的二阶张量，包括正应力和剪切 应力。
02
正应力表示流体在单位面积上受到的压力，而剪切应力表示流
体在单位面积上受到的切向力。
应力张量是流体的状态函数，其值取决于流体的状态和所处的
03
边界条件。
03 纳维-斯托克斯方程的推 导
纳维方程的推导
01
02
03
从质量守恒、动量守恒 和牛顿第二定律出发， 推导出描述流体运动的
考虑流体的粘性和惯性
02
N-S方程中包含了流体的粘性和惯性力，能够描述粘性流体在运
动过程中的受力情况和运动规律。
涉及到复杂的数学处理
03
N-S方程的推导涉及到复杂的数学处理，包括微积分、线性代数
和偏微分方程等。
02 流体的基本性质
流体的定义和分类
流体是能够流动的物质，具有连续性和 不可压缩性。根据其流动特性，流体可 分为牛顿流体和非牛顿流体两大类。
04 N-S方程的应用和限制
N-S方程的应用领域
流体力学
N-S方程是描述流体运动的基本方程，广泛应用于航空、航海、 气象、环境等领域。
流体力学中三个主要力学模型
流体力学中三个主要力学模型流体力学是研究流体运动的一门学科，涉及到物理学、数学、工程学等多个领域。
在流体力学中，有三个主要的力学模型，分别是欧拉方程、纳维-斯托克斯方程和边界层方程。
这三个模型在不同的情况下有不同的应用，下面将分别介绍它们的基本原理和应用。
一、欧拉方程欧拉方程是描述流体运动的最基本的方程之一，它是由欧拉在1755年提出的。
欧拉方程是基于质点运动的牛顿第二定律得出的，它描述了流体在不受外力作用时的运动状态。
欧拉方程的基本形式如下：ρ/t + ·(ρu) = 0ρ(dv/dt) = -p其中，ρ是流体的密度，t是时间，u是流体的速度，p是压力，v是速度的随时间的变化率，是向量微分算子。
欧拉方程的应用范围很广，可以用来描述各种不可压缩流体的运动，例如水、油、气体等。
欧拉方程可以用来研究流体的基本运动规律，如速度分布、压力分布等。
欧拉方程还可以用来研究流体的力学性质，如流体的动量、能量守恒等。
二、纳维-斯托克斯方程纳维-斯托克斯方程是描述流体运动的另一个重要方程，它是由纳维和斯托克斯在19世纪提出的。
纳维-斯托克斯方程是基于牛顿第二定律和连续性方程导出的，它描述了流体在受外力作用时的运动状态。
纳维-斯托克斯方程的基本形式如下：ρ(dv/dt) = -p + μ^2v + f·v = 0其中，μ是流体的动力粘度，f是体积力，如重力、电磁力等。
纳维-斯托克斯方程适用于各种流体的运动，包括不可压缩流体和可压缩流体。
它可以用来研究流体的运动规律、流体的力学性质和流体的稳定性等问题。
纳维-斯托克斯方程还可以用来模拟流体在各种工程应用中的运动，如飞机、汽车、船舶等。
三、边界层方程边界层方程是描述流体在边界层内的运动的方程，它是由普拉特在1904年提出的。
边界层是指流体与固体表面接触的区域，它的厚度很小，但是流体的速度和压力在这个区域内发生了显著的变化。
边界层方程是基于牛顿第二定律和连续性方程导出的，它描述了流体在边界层内的运动状态。
纳维-斯托克斯方程
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations）
⒍ 动量平衡方程的讨论
2 v x 2 v x 2 v x P v x v x v x v x vx vy vz gx 2 2 2 x y z y z x x
动量蓄积量
对流动量
黏性动量
压 力
重 力
（1）方程的物理意义：运动的流体能量守恒的表现
动量形式 作用力形式
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations） 全微分 v v( ,x, y,z)
v v v v dv d dx dy dz x y z
作用力的合力 = 单位时间内动量的变化量
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations）
稳定流动系统：
[动量传入量] [动量传出量] + [系统作用力的总和] = 0
动量收支差量
不稳定流动系统：
[动量传入量] [动量传出量] +[系统作用力的总和] = [动量蓄积量] 动量收支差量
以vx为准，元体对流动量收支差量为
同理，以vy、vz为准，元体对流动量收支差量为 vx vy、vz
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations）
⑵ 黏性动量收支差量 黏性动量通量同样由九个分量组成 以vx为准，C、D面上的黏性动量通量为 zx
x方向的速度、x方向的动量通量
对流动量收支差量为
( v x v x ) dx dy dz x x x
N-S(纳维斯托克斯)方程推导过程
很多人一听到N-S 方程就有点头皮发麻，因为涉及到流体力学的知识比较多，如果没有一个完整有逻辑的思路，理解N-S 方程是有点困难。
其中涉及到欧拉法，场论，随体导数，流体力学连续性方程（即质量守恒方程），流体力学N-S 方程（即动量方程），动量方程在流体力学中有两种，一种是理想流体动量方程，一种是粘性流体动量方程，粘性流体的动量方程也叫纳维-斯托克斯方程，也简称N-S 方程。
我试图想把N-S 方程弄清楚点，所以写了一点东西，分享一下。
首先要讲一下流体力学的欧拉法，在课本中还讲了拉格朗斯法，因为连续性方程和N-S 方程是用欧拉法得出的，和拉格朗日法没什么关系。
我就不讲拉格朗日法，以免产生混乱。
欧拉方法的着眼点不是流体质点而是空间点。
设法在空间中的每一点上描述出流体运动随时间的变化状况。
如果每一点的流体运动都已知道，则整个流体的运动状况也就清楚了。
欧拉方法中流体质点的运动规律数学上可表示为下列矢量形式：假设空间一点的坐标(x,y,z,t)，其中x,y,z 是该空间的坐标，t 是此刻时间。
u,v,w 是这一空间点的三个方向速度。
p,ρ,T 是这一空间点的压力，密度和温度。
这样就有了每一个点的速度，压力，密度，温度，就可以描述运动流体的状态。
这里需要强调一点的是下面这六个式子，可以换一个角度把他们看成方程，对后面理解连续性方程和N-S 方程有帮助，比如u=x+2y+3z),,,();,,,();,,,();,,,();,,,();,,,(t z y x T T t z y x t z y x p p t z y x w w t z y x v v t z y x u u ======ρρ因为后面需要随体导数的概念，还需要把速度函数表示成矢量的形式。
前面u,v,w 是标量，是ν在(x,y,z,t)直角坐标系三个方向的速度。
),(t rνν=M 点（x,y,z,t ），速度为),(t M ν ，过了t ∆之后，在M '点，速度为),(t t M ∆+'ν。
流体力学中的纳维斯托克斯方程
流体力学中的纳维斯托克斯方程纳维斯托克斯方程是描述流体力学中流体运动规律的基本方程之一，它由质量守恒定律和动量守恒定律组成。
纳维斯托克斯方程的求解对于研究流体的运动特性以及许多实际问题的解决具有重要意义。
本文将详细介绍纳维斯托克斯方程及其应用。
一、纳维斯托克斯方程的基本形式纳维斯托克斯方程是一组偏微分方程，描述了流体运动的速度场和压力场。
对于二维不可压缩定常流体来说，纳维斯托克斯方程可以写作：∇·(ν∇u)-ρ(u·∇)u+∇p=0∇·u=0其中，∇表示梯度运算符，u是速度场矢量，p表示压力场，ρ是流体的密度，ν是运动黏度。
第一个方程是动量守恒定律表达的动量平衡关系，第二个方程是质量守恒定律表达的质量平衡关系。
二、纳维斯托克斯方程的物理意义纳维斯托克斯方程描述了流体在外力作用下的运动规律。
第一个方程中的第一项表示速度场的扩散运动，第二项表示速度场的对流运动，第三项表示压力场的梯度。
这三项共同描述了速度场和压力场之间的相互作用关系。
第二个方程则表明了流体在运动过程中质量守恒的特性。
三、纳维斯托克斯方程的求解方法由于纳维斯托克斯方程的非线性和复杂性，一般情况下难以直接求解。
目前常用的求解方法主要有解析解法和数值解法两种。
解析解法适用于简单的流体模型以及特殊边界条件的情况，例如某些流体运动的解析解。
数值解法则通过将流体区域划分为网格，利用数值计算方法对纳维斯托克斯方程进行离散化处理，从而通过迭代求解获得数值解。
四、纳维斯托克斯方程的应用领域纳维斯托克斯方程广泛应用于流体力学领域的研究和工程实践中。
通过求解纳维斯托克斯方程，可以得到流体的速度分布、压力分布以及其他相关物理量，进而研究流体的流动特性、稳定性以及其他流体力学问题。
例如在工程领域中，纳维斯托克斯方程被用于模拟空气动力学问题、流体输送管道中的流动以及海洋流体运动等情况。
总结：纳维斯托克斯方程是流体力学中的重要方程，用于描述流体运动规律。
纳维-斯托克斯方程
纳维-斯托克斯方程纳维－斯托克斯方程纳维－斯托克斯方程（Navier-Stokes equations），以克劳德-路易·纳维(Claude-Louis Navier)和乔治·加布里埃尔·斯托克斯命名，是一组描述像液体和空气这样的流体物质的方程。
这些方程建立了流体的粒子动量的改变率(加速度)和作用在液体内部的压力的变化和耗散粘滞力(类似于摩擦力)以及引力之间的关系。
这些粘滞力产生于分子的相互作用，能告诉我们液体有多粘。
这样，纳维-斯托克斯方程描述作用于液体任意给定区域的力的动态平衡。
他们是最有用的一组方程之一，因为它们描述了大量对学术和经济有用的现象的物理过程。
它们可以用于模拟天气，洋流，管道中的水流，星系中恒星的运动，翼型周围的气流。
它们也可以用于飞行器和车辆的设计，血液循环的研究，电站的设计，污染效应的分析，等等。
纳维-斯托克斯方程依赖微分方程来描述流体的运动。
这些方程，和代数方程不同，不寻求建立所研究的变量（譬如速度和压力）的关系，而是建立这些量的变化率或通量之间的关系。
用数学术语来讲，这些变化率对应于变量的导数。
这样，最简单情况的0粘滞度的理想流体的纳维-斯托克斯方程表明加速度（速度的导数，或者说变化率）是和内部压力的导数成正比的。
这表示对于给定的物理问题的纳维-斯托克斯方程的解必须用微积分的帮助才能取得。
实用上，只有最简单的情况才能用这种方法解答，而它们的确切答案是已知的。
这些情况通常涉及稳定态（流场不随时间变化）的非湍流，其中流体的粘滞系数很大或者其速度很小（小的雷诺数）。
对于更复杂的情形，例如厄尔尼诺这样的全球性气象系统或机翼的升力，纳维-斯托克斯方程的解必须借助计算机。
这本身是一个科学领域，称为计算流体力学。
虽然湍流是日常经验中就可以遇到的，但这类问题极难求解。
一个$1,000,000的大奖由克雷数学学院于2000年5月设立，奖给对于能够帮助理解这一现象的数学理论作出实质性进展的任何人。
纳维-斯托克斯方程(Navier-Stokes equations)
纳维-斯托克斯方程(Navier-Stokes equations)名称由来Navier-Stokes equations描述粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程。
简称N-S方程。
因1821年由C.-L.-M.-H.纳维和1845年由G.G.斯托克斯分别导出而得名。
该方程是可压缩流体的N-S方程。
其中，Δ是拉普拉斯算子；ρ是流体密度；pN-S方程意义后人在此基础上又导出适用于可压缩流体的N-S方程。
N-S方程反映了粘性流体（又称真实流体）流动的基本力学规律，在流体力学中有十分重要的意义。
它是一个非线性偏微分方程，求解非常困难和复杂，目前只有在某些十分简单的流动问题上能求得精确解；但在有些情况下，可以简化方程而得到近似解。
例如当雷诺数Re1时，绕流物体边界层外，粘性力远小于惯性力，方程中粘性项可以忽略，N-S方程简化为理想流动中的欧拉方程（=－Ñp+ρF）；而在边界层内，N-S方程又可简化为边界层方程，等等。
在计算机问世和迅速发展以后，N-S方程的数值求解才有了很大的发展。
基本假设在解释纳维-斯托克斯方程的细节之前，首先，必须对流体作几个假设。
第一个是流体是连续的。
这强调它不包含形成内部的空隙，例如，溶解的气体的气泡，而且它不包含雾状粒子的聚合。
另一个必要的假设是所有涉及到的场，全部是可微的，例如压强P，速度v，密度，温度Q，等等。
该方程从质量，动量，和能量的守恒的基本原理导出。
对此，有时必须考虑一个有限的任意体积，称为控制体积，在其上这些原理很容易应用。
该有限体积记为\Omega，而其表面记为\partial\Omega。
该控制体积可以在空间中固定，也可能随着流体运动。
纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes equations），以克劳德-路易·纳维(Claude-Louis Navier)和乔治·盖伯利尔·斯托克斯命名，是一组描述象液体和空气这样的流体物质的方程。
一个方程的故事——纳维-斯托克斯方程（Navier-StokesEquations）
一个方程的故事——纳维-斯托克斯方程（Navier-StokesEquations）流体力学（Fluid Mechanics）有着非常漫长的历史，最古老的涉及流体力学的人物可能就是古希腊的阿基米德了（Archimedes），大家都知道的阿基米德浮力定理，当时阿基米德在羊皮纸上用希腊语写了论浮力（On Floating Bodies）的文章并流传至今。
但是在很长时间里流体力学并不被当作一门独立的学科，直到1687年牛顿（Isaac Newton）在其划时代的巨著《自然哲学的数学原理》（Philosophiae Naturalis Principia Mathematica）之后流体力学才真正走上历史舞台。
在书中除了著名的牛顿三大定理以外，牛顿还提到流体力学相关的内容，他写到：对于平直的均匀流体，流体层与层之间的剪应力正比于垂直流体方向上的速度梯度。
阿基米德的手稿牛顿的《自然哲学的数学原理》除了阿基米德和牛顿以外，在流体力学的发展历程中，做出贡献的人物可以说是阵容豪华，比如非粘性流体（Inviscid flow）数学分析涉及的人物有欧拉（Leonhard Euler）, 达朗贝尔（Jean le Rond d'Alembert），拉格朗日（Joseph Louis Lagrange）, 拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）, 泊松（Siméon Denis Poisson）；非粘性流体的数学分析涉及的人物有高斯（Guass），泊松，圣维南（Saint-Venant）等等，其它在流体力学中涉及湍流/紊流，粘性/非粘性的推动者有雷诺（Osborne Reynolds），泰勒（Geoffrey Ingram Taylor）等等。
而对这些理论归纳整理的两位科学家就是纳维尔（Claude-Louis Navier）和斯托克斯（George Gabriel Stokes），当今有名的纳维尔-斯托克斯方程组(Navier-Stokes Equations)就是以他们俩的名字命名的，也是今天要讲的主题。
纳维-斯托克斯方程
牛顿流体： zx
v x z
yx
v x y
xx
v x x
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations）
⑶ 作用力的总和
z
x方向：PA x方向合压力为 x方向的总压力为
PB
PA
P x
dx
PA
P
A
PA PB x dx
y
P dx dy dz x
ax
2vx x 2
2vx y2
2vx z 2
P x
gx
ay
2vy x 2
2vy y2
2vy z 2
P y
gy
az
2vz x 2
2vz y2
2vz z 2
P z
gz
惯
压重
性 力
黏性力
力力
流体在运动中以作用力及动量形式表现能量平衡 关系是统一的
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations）
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations）
1.动量平衡的定义
流体在流动过程中遵守能量守恒定律，称为能量平衡
作用力形式 动量形式
根据牛顿第二定律：
F ma mdv d
F 0，静止，静力平衡 F 0，运动，动力平衡
作用力的合力 = 单位时间内动量的变化量
⒋ 动量平衡方程的推导
建立方法 元体分析法
建立依据 牛顿第二定律分析法
2.3 黏性流体动量平衡方程纳维-斯托克 斯方程（Navier-Stokes equations）
Y
纳维-斯托克斯方程
纳维－斯托克斯方程纳维－斯托克斯方程（Navier-Stokes equations），以克劳德-路易·纳维(Claude-Louis Navier)和乔治·加布里埃尔·斯托克斯命名，是一组描述像液体和空气这样的流体物质的方程。
这些方程建立了流体的粒子动量的改变率(加速度)和作用在液体内部的压力的变化和耗散粘滞力(类似于摩擦力)以及引力之间的关系。
这些粘滞力产生于分子的相互作用，能告诉我们液体有多粘。
这样，纳维-斯托克斯方程描述作用于液体任意给定区域的力的动态平衡。
他们是最有用的一组方程之一，因为它们描述了大量对学术和经济有用的现象的物理过程。
它们可以用于模拟天气，洋流，管道中的水流，星系中恒星的运动，翼型周围的气流。
它们也可以用于飞行器和车辆的设计，血液循环的研究，电站的设计，污染效应的分析，等等。
纳维-斯托克斯方程依赖微分方程来描述流体的运动。
这些方程，和代数方程不同，不寻求建立所研究的变量（譬如速度和压力）的关系，而是建立这些量的变化率或通量之间的关系。
用数学术语来讲，这些变化率对应于变量的导数。
这样，最简单情况的0粘滞度的理想流体的纳维-斯托克斯方程表明加速度（速度的导数，或者说变化率）是和内部压力的导数成正比的。
这表示对于给定的物理问题的纳维-斯托克斯方程的解必须用微积分的帮助才能取得。
实用上，只有最简单的情况才能用这种方法解答，而它们的确切答案是已知的。
这些情况通常涉及稳定态（流场不随时间变化）的非湍流，其中流体的粘滞系数很大或者其速度很小（小的雷诺数）。
对于更复杂的情形，例如厄尔尼诺这样的全球性气象系统或机翼的升力，纳维-斯托克斯方程的解必须借助计算机。
这本身是一个科学领域，称为计算流体力学。
虽然湍流是日常经验中就可以遇到的，但这类问题极难求解。
一个$1,000,000的大奖由克雷数学学院于2000年5月设立，奖给对于能够帮助理解这一现象的数学理论作出实质性进展的任何人。
纳维斯托克斯方程求解方法
纳维斯托克斯方程求解方法
纳维斯托克斯方程是描述流体运动的方程，其一般形式为：∂u/∂t + (u·∇)u = -∇p + ν∇²u + F
其中，u是流体速度场，p是压力场，ν是流体动力粘度，F是体积力，∇是梯度算子。
求解纳维斯托克斯方程可以使用多种不同的方法，以下是几种常用的方法：
1.有限差分法（Finite Difference Method）：将时间和空间上的偏导数转化为离散形式的差分近似，然后使用迭代算法求解差分方程组。
2.有限体积法（Finite Volume Method）：将流体域划分为有限个控制体积，对方程进行积分得到离散格式，然后使用数值积分求解。
3.有限元法（Finite Element Method）：将流体域划分为有限个互不重叠的单元，对方程进行弱形式求解，建立有限元方程组，然后使用迭代算法求解。
4.谱方法（Spectral Method）：以傅里叶级数或其他基函数为基础展开流体变量，将方程转化为代数方程组，然后使用迭代算法求解。
值得注意的是，纳维斯托克斯方程复杂度较高，非线性性和不可压缩性带来了求解的挑战。
因此，通常需要结合适当的数值方法和算法，如迭代算法、时间步进算法等来求解。
此外，还需要注意边界条件的设定和处理，以及模型的适用性和稳定性的分析。
浅谈纳维-斯托克斯方程
材料工程基础系别：专业：姓名：学号：班级：浅谈纳维-斯托克斯方程在我们所学习的《材料工程基础》的书中流体力学基础中提到动量平衡是流体运动的遵循的另一普遍规律，其含义是：对一给定的流体系统，其动量的累积速率等于作用于其上的外力总和。
其数学表达式即为运动方程。
=我们所学习的《材料工程基础》中的推导来看一下n-s 方程的具体细节： 设τ时刻控制体内的动量为ρu dxdydz ，则在ττ∆+时刻控制体内的动量为τρρ∂∂+）（u d x d y d z u d x d y d z τ∆。
于是，控制体内的动量变化率为τρ∂∂dxdydz u ）（。
至于动量通量的净变化率，是经过六个控制面微元迁移动量的总和。
在ABCD 面上，τ∆时间内流入的动量为u u x ρdydz τ∆。
在EFGH 面上，τ∆时间内流出的动量为u d y d z u x ρτ∆+(x ∂∂udydz u x ρτ∆）dx 。
于是，τ∆时间内经此两相对面微元的动量净流出量为dydzdx u xx ρ(∂∂τ∆）。
同理，经AEHD 、BFGC 两相对面微元的动量净流出量为dydzdx u x x ρ(∂∂τ∆），经AEFB 、DHGC 两相对面微元的动量净流出量为dxdydz u u zz )ρ∂∂τ∆。
于是，经全部控制面的恒定流动通量的净变化率：dxdydz zu u y u u x u u z u u y u u x u u dxdydz u u z u u y u u x z y x z y x z y x ])()(()()()([)])()∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂ρρρρρρρρρ将微元体中的动量增量速率和动量流出的净通量结合起来得到的方程右端的数学形式为dxdydz u u u ])([∇+∂∂τρ 下面计算作用的微元六面体上的力。
作用于微元六面体上的力包含质量力和表面力。
设A 点单位质量上的质量力为F ，则微元体上的质量力为Fdxdydz ρ最后计算表面力， 面元ABCD 左侧流体作用于微元体内流体的力为dydz k P j P i P x xz xy xx |)(++-面元AEHD 左侧流体作用于微元体内流体的力为dzdx k P j P i P y yz yy yx |)(++-面元AEFB 左侧流体作用于微元体内流体的力为dxdy k P j P i P z zz zy zx |)(++-面元EFGH 、BFGC 、DHGC 外侧流体对微元体内流体施加的力分别为dydz dx k P j P i P xk P j P i P xz xy xx x xz XY X ])(|)[(++∂∂+++ dzdx dy k P j P i P y k P j P i P yz yy yz y xz yy yx ])(|)[(++∂∂+++ dxdy dz k P j P i P z k P j P i P zz zy zx z zz zy zx ])(|)[(++∂∂+++ 以上三项恰是矢量（dxdydz zP y P x P z y x ∂∂+∂∂+∂∂）dxdydzx 在x 、y 、z 轴上的三个投影。
纳维斯托克斯方程的解
纳维斯托克斯方程的解纳维斯托克斯方程是描述流体力学中非常重要的方程之一，它用来描述流体的运动和力学性质。
本文将探讨纳维斯托克斯方程的解，并深入讨论其在流体力学领域的应用。
纳维斯托克斯方程最早由法国物理学家克劳德·路易·马里·亨利·纳维-斯托克斯于19世纪中叶提出。
该方程可以被分为连续性方程和动量方程两个部分，分别用来描述质量守恒和运动状态。
下面我们将逐一讨论这两个方程。
连续性方程描述了流体在输运过程中质量的守恒。
它可以用数学形式表示为：∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0其中，ρ是流体的密度，t是时间，v是速度矢量。
这个方程表明，质量在时间和空间中的变化率等于质量流入和流出的速率之和。
这个方程的解可以提供关于流体密度和速度之间的关系。
动量方程是纳维斯托克斯方程的另一个重要部分，它描述了流体在运动过程中所受到的力和加速度之间的关系。
动量方程的数学表达式如下：ρ(∂v/∂t + v·∇v) = -∇p + ∇·τ + ρg在这个方程中，p代表压力，τ代表应力张量，g代表重力加速度。
这个方程说明了，流体在受力作用下会发生加速度的变化。
动量方程的解可以提供关于流体速度和流体力学性质之间的关系。
纳维斯托克斯方程的解可以通过不同的方法获得，其中一种常用的方法是使用数值模拟。
数值模拟可以通过离散化流体域，将连续的方程转化为离散的代数方程组，然后利用数值计算方法求解。
这种方法能够提供流体在空间和时间上的具体分布情况。
除了数值模拟方法，还有一些解纳维斯托克斯方程的经典解析解。
这些解析解可以应用于一些特定的问题，例如理想流体、层流和定常流动等特殊情况。
纳维斯托克斯方程的解在流体力学领域有着广泛的应用。
例如，在气象学中，这些方程可以用来预测大气运动和天气变化。
在工程领域，纳维斯托克斯方程的解可以用于设计各种输送管道和流体机械。
此外，纳维斯托克斯方程的解还可以应用于生物医学领域，用于模拟人体内部的血液和气体运动。
纳维斯托克斯方程的物理意义
纳维斯托克斯方程的物理意义摘要：一、纳维斯托克斯方程的概述二、纳维斯托克斯方程的物理意义三、纳维斯托克斯方程在实际应用中的重要性四、纳维斯托克斯方程的研究进展与发展趋势五、总结正文：一、纳维斯托克斯方程的概述纳维斯托克斯方程（Navier-Stokes equations）是流体力学中描述流体运动的基本方程，由法国数学家克劳德·路易·马里·纳维（Claude Louis Marie Navier）和英国数学家乔治·斯托克斯（George Stokes）独立提出。
纳维斯托克斯方程描述了流体在受到剪切力作用下的运动规律，对于理解和分析流体的宏观行为具有重要意义。
二、纳维斯托克斯方程的物理意义纳维斯托克斯方程的物理意义在于，它揭示了流体运动中的两个基本物理量：速度和压力。
速度描述了流体分子的宏观运动状态，而压力则反映了流体分子之间的相互作用。
通过纳维斯托克斯方程，我们可以了解到流体在受到不同力量作用下的运动规律，从而为实际工程应用提供理论依据。
三、纳维斯托克斯方程在实际应用中的重要性纳维斯托克斯方程在实际应用中具有极高的重要性。
例如，在航空航天、船舶工程、水利工程等领域，都需要利用纳维斯托克斯方程来分析和预测流体的运动状态。
通过求解纳维斯托克斯方程，可以有效地优化流体动力学设计，降低流体的阻力和能耗，提高系统的运行效率。
四、纳维斯托克斯方程的研究进展与发展趋势随着科学技术的不断发展，纳维斯托克斯方程的研究取得了显著进展。
目前，研究者们已经发展了一系列求解纳维斯托克斯方程的数值方法，如有限元方法、有限体积方法等。
这些方法在解决实际工程问题中发挥了重要作用。
然而，纳维斯托克斯方程本身仍然存在一些挑战，如奇异性问题、非线性问题等。
未来，研究者们将继续针对这些问题展开深入研究，以期进一步提高纳维斯托克斯方程在实际应用中的求解精度和效率。
五、总结纳维斯托克斯方程作为流体力学的基本方程，具有重要的理论意义和实际应用价值。
三维空间中的n-s方程组
三维空间中的n-s方程组
纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes equations），描述粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程，简称N-S方程。
此方程是由法国力学家、工程师C.-L.-M.-H.纳维于1821年创立，经英国物理学家G.G.斯托克斯于1845年改进而确定的。
在三维空间中，N-S方程组描述了流体的受力情况以及流动表现，其中F代表流体所受的力，包括粘滞力、压力和重力等；m代表流体的密度；a代表流体的加速度，受到时间和空间变化的影响。
N-S方程组光滑解的存在性问题被美国克雷数学研究所设定为七个千禧年大奖难题之一，目前尚未从数学上阐明是否存在N-S方程的通解。
各种模拟软件在处理这类问题上已经相当成熟。
纳维一斯托克斯方程
纳维一斯托克斯方程
纳维-斯托克斯方程是描述流体运动的基本方程之一，它是由
欧拉方程引申而来。
纳维-斯托克斯方程可以写成以下形式：
∂u/∂t + u · ∇u = -1/ρ ∇p + v ∇²u + f
其中：
- u是速度矢量（u = (u, v, w)表示流体在x、y和z轴方向上的
速度分量）
- t是时间
- p是压力
- ρ是流体的密度
- v是流体的动力黏度
- f是外力的矢量（例如重力）
纳维-斯托克斯方程描述了流体的加速度（∂u/∂t + u · ∇u），
即速度的变化率，与压力、黏度和外力之间的关系。
通过求解这个方程，可以预测流体在给定边界条件下的运动情况。
纳维-斯托克斯方程在流体力学、气象学、工程学等领域有广
泛的应用。
它是研究流体运动和流体力学现象的重要理论基础。
ns方程对流项
NS方程，即纳维-斯托克斯方程，是描述流体运动的基本方程。
在NS方程中，对流项是由拉格朗日描述法转为欧拉法而衍生出来的项，即从material derivative到spatial derivative的转变。
这一转变代表着从质量守恒的研究角度转为体积守恒的研究角度，或者可以看做是从粒子的角度向场的角度转变。
从物理的角度讲，对流项通俗来说就是速度运输速度自己，其具体作用为加大速度梯度。
对流项的存在是由于流体中不同部分的速度差异导致的，这种速度差异会使得流体中产生一种内部力，从而影响流体的运动状态。
在NS方程中，对流项和其他项（如压力项、粘性项等）一起描述了流体的运动状态。
需要注意的是，NS方程是一个复杂的非线性偏微分方程，其解的存在性和唯一性等问题一直是数学和物理学领域的研究热点。
以上信息仅供参考，如需了解更多关于NS方程对流项的信息，建议查阅相关书籍或咨询专业人士。
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纳维－斯托克斯方程纳维－斯托克斯方程（Navier-Stokes equations），以克劳德-路易·纳维(Claude-Louis Navier)和乔治·加布里埃尔·斯托克斯命名，是一组描述像液体和空气这样的流体物质的方程。
这些方程建立了流体的粒子动量的改变率(加速度)和作用在液体内部的压力的变化和耗散粘滞力(类似于摩擦力)以及引力之间的关系。
这些粘滞力产生于分子的相互作用，能告诉我们液体有多粘。
这样，纳维-斯托克斯方程描述作用于液体任意给定区域的力的动态平衡。
他们是最有用的一组方程之一，因为它们描述了大量对学术和经济有用的现象的物理过程。
它们可以用于模拟天气，洋流，管道中的水流，星系中恒星的运动，翼型周围的气流。
它们也可以用于飞行器和车辆的设计，血液循环的研究，电站的设计，污染效应的分析，等等。
纳维-斯托克斯方程依赖微分方程来描述流体的运动。
这些方程，和代数方程不同，不寻求建立所研究的变量（譬如速度和压力）的关系，而是建立这些量的变化率或通量之间的关系。
用数学术语来讲，这些变化率对应于变量的导数。
这样，最简单情况的0粘滞度的理想流体的纳维-斯托克斯方程表明加速度（速度的导数，或者说变化率）是和内部压力的导数成正比的。
这表示对于给定的物理问题的纳维-斯托克斯方程的解必须用微积分的帮助才能取得。
实用上，只有最简单的情况才能用这种方法解答，而它们的确切答案是已知的。
这些情况通常涉及稳定态（流场不随时间变化）的非湍流，其中流体的粘滞系数很大或者其速度很小（小的雷诺数）。
对于更复杂的情形，例如厄尔尼诺这样的全球性气象系统或机翼的升力，纳维-斯托克斯方程的解必须借助计算机。
这本身是一个科学领域，称为计算流体力学。
虽然湍流是日常经验中就可以遇到的，但这类问题极难求解。
一个$1,000,000的大奖由克雷数学学院于2000年5月设立，奖给对于能够帮助理解这一现象的数学理论作出实质性进展的任何人。
目录• 1 基本假设o 1.1 随体导数o 1.2 守恒定律▪ 1.2.1 连续性方程▪ 1.2.2 动量守恒• 2 方程组o 2.1 一般形式▪ 2.1.1 方程组的形式▪ 2.1.2 闭合问题• 3 特殊形式o 3.1 牛顿流体o 3.2 宾汉（Bingham）流体o 3.3 幂律流体o 3.4 不可压缩流体• 4 参看• 5 参考文献• 6 外部链接基本假设在解释纳维-斯托克斯方程的细节之前，我们必须首先对流体的性质作几个假设。
第一个假设是流体是连续的。
这强调它不包含形成内部的空隙，例如，溶解的气体的气泡，而且它不包含雾状粒子的聚合。
另一个必要的假设是所有涉及到的场，全部是可微的，例如压强，速度，密度，温度，等等。
该方程从质量，动量，和能量的守恒的基本原理导出。
对此，有时必须考虑一个有限的任意体积，称为控制体积，在其上这些原理很容易应用。
该有限体积记为，而其表面记为。
该控制体积可以在空间中固定，也可能随着流体运动。
这会导致一些特殊的结果，我们将在下节看到。
随体导数运动流体的属性的变化，譬如大气中的风速的变化，可以有两种不同的方法来测量。
可以用气象站或者气象气球上的风速仪来测量。
显然，第一种情况下风速仪测量的速度是所有运动的粒子经过一个固定点的速度，而第二种情况下，仪器在测量它随着流体运动时速度的变化。
同样的论证对于密度、温度、等等的测量也是成立的。
因此，当作微分时必须区分两种情况。
第一种情况称为空间导数或者欧拉导数。
第二种情况称为实质或拉格朗日导数。
例子请参看随体导数条目。
随体导数定义为算子（operator）：其中是流体的速度。
方程右边的第一项是普通的欧拉导数（也就是在静止参照系中的导数）而第二项表示由于流体的运动带来的变化。
这个效应称为移流（advection）。
L的守恒定律在一个控制体积上的积分形式是：因为Ω是共动的，它随着时间而改变，所以我们不能将时间导数和积分简单的交换。
因为这个表达式对于所有成立，它可以简化为：对于不是密度的量（因而它不必在空间中积分），给出了正确的共动时间导数。
守恒定律主条目：守恒定律NS方程可以从守恒定律通过上述变换导出，并且需要用状态定律来闭合。
在控制体积上，使用上述变换，下列的量视为守恒：•质量•能量•动量•角动量连续性方程质量的守恒写作：其中是流体的密度。
在不可压缩流体的情况不是时间或空间的函数。
方程简化为：动量守恒动量守恒写作：注意是一个张量，代表张量积。
我们可以进一步简化，利用连续性方程，这成为：我们可以认出这就是通常的F=m a。
方程组一般形式方程组的形式纳维-斯托克斯方程的一般形式是：关于动量守恒。
张量代表施加在一个流体粒子上的表面力（应力张量）。
除非流体是由象旋涡这样的旋转自由度组成，是一个对称张量。
一般来讲，我们有如下形式：其中是法向约束，而是切向约束。
迹在流体处于平衡态时为0。
这等价于流体粒子上的法向力的积分为0。
我们再加上连续性方程：对于处于平衡的液体，的迹是3p。
其中p是压强最后，我们得到：其中是的非对角线部分。
闭合问题这些方程是不完整的。
要对它们进行完备化，必须对的形式作一些假设。
例如在理想流体的情况分量为0。
用于完备方程组的方程是状态方程。
再如，压强可以主要是密度和温度的函数。
要求解的变量是速度的各个分量，流体密度，静压力，和温度。
流场假定为可微并连续，使得这些平衡得以用偏微分方程表达。
这些方程可以转化为涡度和流函数这些次变量的威尔金森方程组。
解依赖于流体的性质（例如粘滞度、比热、和热导率），并且依赖于所研究的区域的边界条件。
的分量是流体的一个无穷小元上面的约束。
它们代表垂直和剪切约束。
是对称的，除非存在非零的自旋密度。
所谓非牛顿流体是就是其中该张量没有特殊性质使得方程的特殊解出现的流体特殊形式这些是问题的特定的常见简化，有时解是已知的。
牛顿流体主条目：牛顿流体在牛顿流体中，如下假设成立:其中是液体的粘滞度。
其中为简化书写，对脚标使用了爱因斯坦求和约定。
不采用简化书写的完整形式非常繁琐，分别为：动量守恒：质量守恒：因为密度是一个未知数，我们需要另一个方程。
能量守恒：其中：假设一个理想气体：上面是一个６个方程６个未知数的系统。
（u， v， w， T， e 以及）。
宾汉（Bingham）流体主条目：宾汉流体在宾汉流体中，我们有稍微不同的假设：那些流体在开始流动之前能够承受一定的剪切。
牙膏是一个例子。
幂律流体主条目：幂律流体这是一种理想化的流体，其剪切应力，，由下式给出不可压缩流体主条目：不可压缩流体其纳维－斯托克斯方程(Navier-Stoke equation)为动量守恒和质量守恒。
其中，对不可压缩牛顿流体来说，只有对流项(convective terms)为非线性形式。
对流加速度(convective acceleration)来自于流体流动随空间之变化所产生的速度改变，例如：当流体通过一个渐缩喷嘴(convergent nozzle)时，流体产生加速之情况。
由于此项的存在，对于暂态运动中的流体来说，其流场速度变化不再单是时间的函数，亦与空间有关。
另外一个重要的观察重点，在于黏滞力(viscosity)在流场中的以流体速度作拉普拉斯运算来表现。
这暗示了在牛顿流体中，黏滞力为动量扩散(diffusion of momentum)，与热扩散方程非常类似。
;是散度，是克罗内克记号。
若在整个流体上均匀，动量方程简化为（若这个方程称为欧拉方程；那里的重点是可压缩流和冲击波）。
如果现在再有为常数，我们得到如下系统：连续性方程（假设不可压缩性）：N-S方程的简化版本。
采用《不可压缩流》，Ronald Panton所著第二版注意纳维－斯托克斯方程仅可近似描述液体流，而且在非常小的尺度或极端条件下，由离散的分子和其他物质（例如悬浮粒子和溶解的气体）的混合体组成的真实流体，会产生和纳维－斯托克斯方程所描述的连续并且齐性的液体不同的结果。
依赖于问题的纳森数，统计力学可能是一个更合适的方法。
但是，纳维－斯托克斯方程对于很大范围的实际问题是有效的，只要记住他们的缺陷是天生的就可以了。
参看•雷诺数•马赫数•雷诺平均纳维－斯托克斯方程参考文献•Inge L. Rhyming Dynamique des fluides, 1991 PPUR.•Polyanin A.D., Kutepov A.M., Vyazmin A.V., Kazenin D.A., Hydrodynamics, Mass and Heat Transfer in Chemical Engineering, Taylor & Francis, London, 2002. ISBN 0-415-27237-8.外部链接•克雷数学研究院纳维-斯托克斯方程大奖o该问题的正式命题•纳维-斯托克斯方程的一个推导•纳维-斯托克斯方程的推导•NASA关于纳维-斯托克斯方程的网页•纳维-斯托克斯方程（一些精确解），位于EqWorld:数学方程的世界。