14 仿射空间与伪欧氏空间中的张量

有相同的度规张量
真欧氏空间
⎧0 (i ≠ j ) gij = ⎨ ⎩1 (i = j )
i =1 j =1
矢量分量与基矢变化规律相同
r r n n x ⋅ y = ∑∑ gij x i y j
从这个意义上, 用复欧氏空间计 算比用伪欧氏空间计算较为方便．
r r r r 4 A4′ = e4′ ⋅ e1 = sin θ A4′ = e4′ ⋅ e4 = cosθ ′ '′ (cos θ ) x − x−i sin xx1== x1 cos θ − ict4 sin θ θ )ct +( x x 得 4 ' ′4′==( −1i sin θ +xx+cos θ θ )ct x sin θ ) ict (cos ict x ct x
=1
因而有
dx′dy ′dz ′dt ′ = dzdydzdt
虚宗量的三角函数和双曲函数之间有关系： θ = −iy r r e y − e− y i i tan( yi = tanh y = −tan(−iy) ) i tanθ e = sinh4 y e4′ v x v 2 = = i tan θ β = = tanh y e y + e− y c ct c x cosh y = 2 由此式定义的y是实参数, 称为快度． θ v sinh y 转动角: θ = −iy = −iartanh = −iartanhβ tanh y = r O′ O c θ coshe1 y 是与新老参考系之间的相对速度v有 r 关的一个纯虚数. e1′ cosh y = cos( yi ) 利用公式: sinh y = −i sin( yi) 可将洛伦兹变换式用快度表示为: x′ = (cos θ ) x + ( −i sin θ )ct x′ = (cosh y ) x − (sinh y )ct ct ′ = ( −i sin θ ) x + (cos θ )ct ct ′ = −(sinh y ) x + (cosh y )ct
1′
考虑一个固连在K'系中x' ＝0处的物体, y y′ y′ t＝t t＝0 v x′ = (cos θ ) x + (−i sin θ )ct
ct ′ = ( −i sin θ ) x + (cos θ )ct
在K系中: o′ x＝0 o t＝0 : o′ x t时刻: 物体位置x满足 (cos θ ) x + ( −i sin θ )ct = 0 因而, K'系相对于K系的速度是: v x = = i tan θ c ct
x
=
ct
O t <0
2
x
绝 对 过 去
2 2
dτ = (cdt ) − (dx + dy + dz ) = τ = (ct ) − r
设P点位于光锥内部: P1 则有:
2
r2 因而 r 可以在某一惯性系中等于0(两事件P1和O发生于同一地点),
而(ct)2在任何惯性系中都不可能等于0(两事件不能是同时发生)．
v
运动尺度的缩短 设有一根棒子沿x轴放置， 图中的 P1P2
ct
ct'
' x' Δx θΔx 其长度为: P1(x1, ct1) P2(x2, ct2) l0 = Δx = x2 − x1 x 当它以速度v沿x方向运动时, x轴成为x' 轴．
θ
棒的长度成为: 由图知
lv = Δx′
Δx' < Δx lv < l0 这称为洛伦兹收缩．
t′ =
0 1 0 − βc
x
0 0 1 0 0 1 0 0
− βc 1− β 2 0 0 1 1− β
2
2
1 1− β 2 0 = −β c 1− β 2
J=
1− β
1− β 2
1− β 2 1− β 2 0 = −β 1 c
1− β 2
=
1 1− β
2
1 1− β
−
− βc 1− β
2
−β
c
2
1− β
t > 0 绝 x = vt
对 未 来
x
因而(ct)2可以在某一惯性系中等于0(两事件同时发生),
r2 而 r 在任何惯性系中都不可能等于0 (两事件不可能在
同一地点发生)． 因此, 光锥外部的区域称为绝对远离．
§2. 4. 5 洛伦兹收缩 运动时钟延缓(钟慢效应)
某一惯性系K, 不稳定粒子,以速度v 沿x方向运动 P1 (ct1, x1) P2 (ct2, x2) K系中测到粒子的寿命是:
c 2 1− β
x
世界线 选取一个惯性系K. 以x和ct作为横轴和纵轴形成一个平面. 注意: 和这一平面垂直的轴 有两个, 即y轴和z轴．
ct
世界线
O
在这一四维空间中, 和二维(x, ct)平面垂直的不是 一根一维直线，而是一个二维(y, z)平面．
x
因此, “在(x, ct)平面上的转动”, 实质上是四维空 间中, 以(y, z)平面为“轴”的转动． 图中的坐标原点O描述的是一个质点在t＝0时刻 位于(x＝y＝z＝0)的事件． 随着时间的演化, 质点将离开O点运动, 在(x, y, z, ct)图上画出一根曲线, 称为世界线．
世界线
t A
θ
x=vt B
C
x=ct
光的 世界 线
同时线
t1
x1
x 观察者
同地线
c=1的单位的时空图
x v tanh θ = = = β ct c
质点以光速为单位的运动速度
K‘系中
质点的世 界线： t'轴即x' ＝0轴
光的 世界 线
t
x=vt A C
θ
t’
光速不变
x=ct 光的 世界 x’=ct’ 线 x’
K系时空图
K系 K’系 v
时间度量是相对的, 这就是同时性的相对性。
时间变慢
x=-vt
t’’
t’
x=vt
t‘
x’ x’’ x
K系 v -v
长度收缩
t’
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
t
18m 18m
x’
20m
x
20m
K’ 头 部 世 界 线
K 系 头 部 世 界 线
K’ 尾 部 世 界 线
K 系 尾 部 世 界 线
K系尺 K’系尺
r2 (ct ) > r
⎧ x = r sin θ ⎪ ⎨ct = r cos θ ⎪ 2 cos θ + sin 2 θ = 1 ⎩
r > (ct )
2
2
绝对远离 O t <0
绝 对 过 去
x
=
P1
P2 绝对远离
ct
如果P点位于光锥外部: r2 则有: r > (ct ) 2 以1+1维为例
ct
Tv > T0
这称为运动时钟延缓.
Tv = T0 cosh θ =
T0 1− β 2
同时的相对性光的
x=-vt t
t’ 世界 线
t A
θ
x=vt
t’
K’系的 同时线
C
x=ct x’=ct’
K’系的同时线 K系的同时线
光的 世界 线
x=ct
x’
θ
x’ x
x
同 地 线
K’系时空图
-v K系 K’系
同 地 线
x − β ct
洛 仑 兹 坐 标 变 换
式中J是雅可比行列式, 由洛仑兹坐标变换: 可得 ∂ ( x′, y′, z ′, t ′) J= =1 ∂ ( x, y , z , t )
1 1− β 2 0 −β 0 c
2
1− β 2 y′= y z′= z β
t− c 1− β 2
1 − βc 1− β 2 1 1− β 2
1
1. 复欧氏空间中的坐标转动与洛伦兹变换 考虑1＋1维的复欧氏空间 x1 = x x 4 = ict r r 其中的矢量点积式 : e4 e4′ r r x ⋅ x = ( x1 ) 2 + ( x 4 ) 2 % % x 在这一复欧氏空间中进行坐标转动 θ r 1r 4r e1′ = A1′e1 + A1′ e4 % % % r r 1r 4r O′ O θ e4′ = A4′e1 + A4′e4 e1 % % r % r r r 1 4 r A1′ = e1′ ⋅ e1 = cosθ A1′ = e1′ ⋅ e4 = cos(900 +θ )=- sin θ e
第二章
仿射空间与伪欧 氏空间中的张量
复欧氏空间
x1 = x, x 2 = y, x3 = z , x 4 = ict
r r x ⋅ x = ( x1 ) 2 + ( x 2 ) 2 + ( x 3 ) 2 + (ix 0 ) 2 % %
⎧0 ( a ≠ b) g ab = ⎨ ⎩1 ( a = b)
即运动物体的长度比它在静止系的固有长度短.
Δt
由Δx＝Δx' coshθ, 得
ct
ct'
' x' Δx θΔx 当一个三维物体以速度v运动时, P (x , ct ) P (x , ct ) 1 1 1 2 2 2 它沿v方向的长度按上式收缩, 而垂 x 直于v的两个方向上没有收缩.
因而三维体积V收缩为:
X′ X
x1′ = x1 cos θ − x 4 sin θ x 4′ = x1 sin θ + x 4 cos θ
是相互做匀速运动的坐标系之间的变换, 即洛伦兹变换. tanθ是纯虚数而不是实数, 因而复欧氏空间中的“转动”式只是形 式上和普通实欧氏空间中的转动相同, 实际上并不一样. 因为它的 令 θ = −iy “转动角度”θ是虚数而不是实数.
§2. 4. 3 洛伦兹变换的几何意义 洛伦兹变换是x, ict轴在 (x, ict)平面上的转动. 转动角: v θ = −iy = −iartanh = −iartanhβ
c
x = x1 cos θ − x 4 sin θ 4′ x = x1 sin θ + x 4 cos θ v β = = tanh y
V = V0 1 − β 2 T0 Tv = T0 cosh θ = 1− β 2
四维体积元在洛 伦兹变换下不变
实际上,
dx′dy ′dz ′( xdt ′) = Jdxdydz (cdt )
Δt
lv = l0 1 − β
2
θ
dx′dy′dz ′( xdt ′) = Jdxdydz (cdt )
x′ =
§2. 4. 4 光锥 光锥: 在K系中, 将光的传播线x＝ct线 绕ct轴旋转, 得到一个锥面． 设一个事件的位置在光锥的原点O: x＝y＝z＝ct＝0 另一个事件位于四维空间的P点: P: (x, y, z, ct) 它们之间的间隔平方:
2 2 2 2 2
ct
t > 0 绝 x = vt
对 未 来 P1
c
“转动”的几何图像??
1′
洛伦兹变换式是以匀速沿x方向作 相对运动的两个惯性系之间的变换 注意
v β= c
以光速为单位
1− β 2 y′= y z′= z
t′ = t−
x′ =
x − β ct
洛 仑 兹 坐 标 变 换
β
闵可夫斯基空间中, θ是实数而度 规中有－1,故一切三角函数都要换 成双曲函数．
r
B
⎧ x = r sinh θ ⎪ ⎨ct = r cosh θ ⎪ cosh 2 θ − sinh 2 θ = 1 ⎩
θ
x
r < (ct )
2 r 22= (ct ) 2 − x 2
x' ＝ct'也应是 x'轴和ct'轴的 平分角线 对真实世界
让K'系的坐标原点(x' ＝0)固连在上述以速度v沿x轴运动 的质点上．
ct
ct' P2(x2, ct2)
θ
P1(x1, ct1)
Tv = Δt = t2 − t1
另一参考系K' 随粒子一道运动， t' 轴沿粒子的世界线 PP2 1 在K' 系中测量粒子的寿命, 得 T0 = Δt ′ = PP2 1
θ
x' x
Δt = Δt ′ cosh θ
cosh θ = 1 1 − tanh 2 θ