复变函数习题三参考答案

习题三 3.1计算积分

2C

z dz ⎰

，其中C 是：

（1）原点到()2i +的直线段； （2）原点到2再到()2i +的折线； （3）原点到i 再沿水平到()2i +的折线。 解：（1）C 的参数方程为()()22201z t i t ti

t =+=+≤≤

()2dz i dt =+

于是

()()()222

1

222113

C

i i d z d t i z t +++==

⎰

（2）12C C C =+，1C 参数方程为()02z t

t =≤≤，

2C 参数方程为()201z it

t =+≤≤

()()1

2

2

21

2

2

2

2

1

22113

C

C C z dz z dz z dz t dt id it i t +=

+=+=+⎰

⎰⎰⎰⎰ （3）12C C C =+，1C 参数方程为()01z it

t =≤≤，

2C 参数方程为()02z t i

t =+≤≤

()()()1

2

2

1

2

2

2

22

1

2113

C

C C z dz z dz z dz it idt dt t i i +=

+++==⎰⎰⎰⎰⎰ 3.2设C 是,i z e θ

θ=是从π-到π的一周，计算： （1）

()Re C

z dz ⎰

；（2）()Im C

z dz ⎰；（3）C

zdz ⎰

解：cos sin i z e i θ

θθ==+，()sin cos dz i d θθθ=-+

（1）()()Re cos sin cos C

z dz i d i π

π

θθθθπ-=-+=⎰⎰；

（2）()()Im sin sin cos C

z dz i d π

π

θθθθπ-=-+=-⎰

⎰；

（3）

()()cos sin sin cos 2C

zdz i i d i π

π

θθθθθπ-=--+=⎰

⎰

3.3计算积分C

z zdz ⎰

，其中C 是由直线段11,0x y -≤≤=及上半单位圆周组成的正向闭

曲线。

解：12C C C =+，1C 表示为z x iy =+，()11,0x y -≤≤=；

2C 表示为()cos sin 0z x iy i θθ

θπ=+=+≤≤，()sin cos dz i d θθθ=-+，

()()1

2

1

1

cos sin sin cos C

C C z zdz z zdz z zdz

x xdx i i d i

π

θθθθθπ-=+=+--+=⎰

⎰⎰⎰⎰

3.5沿下列指定曲线的正向计算积分

()21C dz

z z +⎰ 的值：

（1）1:2C z =；（2）3:2C z =；（3）1:2C z i +=；（4）3

:2

C z i -=。 解：()()()

111

22f z z z i z i =

--

-+ （1）

()211111

2002221C C C C dz dz dz dz i i z z i z i z z ππ=--=--=-++⎰⎰⎰⎰ ； （2）

()21111120221C C C C dz dz dz dz i i i z z i z i z z πππ=--=--=-++⎰⎰⎰⎰ ； （3）

()21111100221C C C C dz dz dz dz i i z z i z i z z ππ=--=--=--++⎰⎰⎰⎰ ； （4）

()21111120221C C C C dz dz dz dz i i i z z i z i z z πππ=--=--=-++⎰⎰⎰⎰

3.6设区域D 为右半平面，z 为D 内的圆周1z =上的任意一点，用在D 内的任意一条曲线C 连接原点与z ，证明：20Re 14

z d επ

ε⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦⎰。 证明：函数

2

1

1ε+在右半平面解析，故从0到z 沿任意曲线C 的积分与路径无关，积分路径换为先沿实轴从0到1，再沿圆周到z 点。

1222000=111i z

i d dx ie d x e η

θηε

ηε++++⎰⎰⎰ 0

4

2cos i

d θ

π

ηη

=

+⎰

所以20Re 14

z d επ

ε⎡⎤=⎢

⎥+⎣⎦⎰

3.8设C 为正向椭圆22149

x y +=，定义()22C f z d z εεεε-+=-⎰ ，z 不在C 上，求()()()1,,f f i f i '''-。

解： z 在C 内部时，22

z

εεε-+-在=z ε处不解析，

()()22

222C f z d i z z z εεεπε-+==-+-⎰ ，

()()

21

1224z f i z z i ππ==-+=；

()()()22122z i

f i i z i ππ='=-=-+；

()4f i i π''-=

3.9计算下列积分： （1）

2

sin

i

i

zdz ππ-⎰；

（2）11

i

z

ze dz +⎰；（3）()2

12i

iz dz +⎰；（4）()

()

1ln 11i

z dz z ++⎰

解：（1）

()21

sin 1cos 22

i

i

i

i zdz z dz πππ

π--=-⎰⎰

sin 2sin 2242

4z i z i

z z z z ππ==-⎛⎫⎛⎫

=--- ⎪

⎪

⎝⎭⎝⎭

sin 22

i

i ππ=-

； （2）()

()1111111

1

1

11i

i

z z i z i z

i i ze dz ze e dz i e e ie ++++++=-=+-=⎰

⎰；

（3）

()

()2

3

111112233

i

i i iz dz iz i -++=

+=

⎰； （4）

()()()()222

11ln 111ln 1ln 1ln 2122

i

i z dz z i z +⎡⎤=+=+-⎣⎦+⎰ 2

2

11ln 2ln 2224i π⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦

2

23ln 2

ln 23288

i ππ=-

-+ 3.10设()3

2e f z dz z πε

εε==-⎰ ，求()(),f i f i -；当2z >时，求()f z 。