错误概率计算和贝叶斯最小风险判决(2章_3)

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2.3最小风险贝叶斯判决准则-Read

2.3最小风险贝叶斯判决准则-Read

第2章 贝叶斯决策理论
模式分类实际上是将特征空间划分为不同的决策区域, 相邻决策区域被决策面所分割, 这些决策面是特征空间中 的超曲面, 其决策面方程满足相邻两个决策域的判别函数 相等,
gi(x)=gj(x) 分类器可被看做是一个计算m类个判别函数并选取最 大(或最小)判决值对应的类别的网络或机器。 一个分类器 的网络结构如图2-1所示。
第2章 贝叶斯决策理论
第2章 贝叶斯决策理论
2.1 分类器的描述方法 2.2 最大后验概率判决准则 2.3 最小风险贝叶斯判决准则 2.4 Neyman-Person判决准则 2.5 最小最大风险判决准则 习题
第2章 贝叶斯决策理论
2.1 分类器的描述方法
2.1.1 基本假设
给定模式空间S,由m个互不相交的模式类集合1,2, ,m
(3)
m Ri Rd 。 若
m
Ri
Ri为Rd的真子集, 即 Rd m Ri
,
i 1
i 1
i 1
当样本落在此区域中时, 样本对应的模式不是m类中的任何一种,
可以把它称为拒绝类,
m
Rd Ri
i 1
为拒绝域, 相应的判决为
拒识。 此时, 引入一个新类ωm+1(拒绝类), 相应的决策区域为
第2章 贝叶斯决策理论
总的产品个数n=2 253 550; 属于类ω1产品的个数 n1=901 420; 属于类ω2产品的个数 n2=1 352 130; 由此可以估计出两类产品出现的概率,
P(1) n1 / n 0.4
P(2 ) n2 / n 0.6
第2章 贝叶斯决策理论
第2章 贝叶斯决策理论
如果不考虑拒识, 此时,

贝叶斯最小错误概率分类器设计

贝叶斯最小错误概率分类器设计

一、 实验目的1. 掌握密度函数监督参数估计方法;2. 掌握贝叶斯最小错误概率分类器设计方法。

二、 实验原理贝叶斯分类器是各种分类器中分类错误概率最小或者在预先给定代价的情况下平均风险最小的分类器。

它的设计方法是一种最基本的统计分类方法。

其分类原理是通过某对象的先验概率,利用贝叶斯公式计算出其后验概率,即该对象属于某一类的概率,选择具有最大后验概率的类作为该对象所属的类。

对于两类分类问题,已知先验概率P (ω1)和 P (ω2),以及类别标号 ω1和ω2,得到相应的类条件概率密度P (x |ω1), P (x|ω2), 由贝叶斯公式:计算得到条件概率P (ωi |x) (i=1,2),又称为后验概率。

如果:P (ωi |x)=max P (ωi |x),x ∈ ωi或者:P (ω1|x) > P (ω2|x),x ∈ ω1P (ω2|x) > P (ω1|x),x ∈ ω2三、 实验内容对于一个两类分类问题,设两类的先验概率相同(12()()P P ωω=),两类的类条件概率密度函数服从二维正态分布,即111(|)~(,)P N ωx μΣ 222(|)~(,)P N ωx μΣ其中,1[3,6]T =μ,10.5002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦Σ,1[3,2]T =-μ,12002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦Σ。

1.生成两类模式随机样本点并进行分类;2.设计最大似然估计算法对两类类条件概率密度函数进行估计;3.用2中估计的类条件概率密度函数设计最小错误概率贝叶斯分类器,实现对两类样本的分类。

四、实验步骤1.产生训练样本根据实验提供的先验均值向量和协方差矩阵,利用编写的multivrandn函数构造二维正态分布,分别产生N=500及N=1000个样本,所得结果如图1.1及1.2所示。

图1.1两类训练样本(N=500)图1.2两类训练样本(N=1000)2. 参数估计对产生的样本进行最大似然估计,估计出样本二维正态分布的均值向量和协方差矩阵。

第2章_贝叶斯决策

第2章_贝叶斯决策

R1
R1
21 p 1 p x 1 dx 22 p 2 p x 2 dx
R2
R2
11 p 1 (1 p x 1 dx) 21 p 1 p x 1 dx 12 (1 p 1 ) p x 2 dx
R2
R2
R1
22(1 p 1 )(1 p x 2 dx)
R1
最小最大决策准则
Neyman-Pearson准则
❖ 对两分类问题,错误率可以写为:
Pe p x R1, x 2 p x R2, x 1
p x | 2 p2 dx p x | 1 p1 dx
R1
R2
p x | 2 dx p2 p x | 1 dx p1
R1
R2
p2 e p2 p1 e p1
策即为最小风险贝叶斯决策
最小风险准则
最小风险准则
❖ 对于贝叶斯最小风险决策,如果损失函数为“01损失”,即取如下的形式:
i wj
0, 1,
for i j ; i, j 1,
for i j
,c
那么,条件风险为:
c
R i x i j P j x P j x 1 P i x
❖ 贝叶斯决策的两个要求
各个类别的总体概率分布 (先验概率和类条件概 率密度) 是已知的
要决策分类的类别数是一定的
引言
❖ 在连续情况下,假设对要识别的物理对象有d种特征
观察量x1,x2,…xd,这些特征的所有可能的取值范围 构成了d维特征空间。
❖ 称向量 x x1, x2, , xd T x Rd 为d维特征向量。
p 2 p 1
似然比公式
最小错误率准则
❖ 特例1:
最小错误率准则

第二章 贝叶斯决策理论—第三次课

第二章 贝叶斯决策理论—第三次课
第2章 贝叶斯决策理论
第2章 贝叶斯决策理论
第2章 贝叶斯决策理论
本章内容
2.1 分类器的描述方法 2.2 最大后验概率判决准则 2.3 最小风险贝叶斯判决准则 2.4 Neyman-Person判决准则 2.5 最小最大风险判决准则 2.6 本章小结
第2章 贝叶斯决策理论
2.2 最大后验概率判决准则 (基于最小错误率的贝叶斯决策准则)
第2章 贝叶斯决策理论
2.5
第2章 贝叶斯决策理论
最小风险贝叶斯判决受三种因素的影响: 类条件概率密度函数p(x|ωi) ; 先验概率P(ωi) ; 损失(代价)函数λ(αj, ωi) 。 在实际应用中遇到的情况: – 各类先验概率不能精确知道; – 在分析过程中发生变动。 这种情况使判决结果不能达到最佳,实际分类器的平均损 失要变大,甚至变得很大。
第2章 贝叶斯决策理论
2.4 Neyman-Person
第2章 贝叶斯决策理论
最小风险贝叶斯判决准则使分类的平均风险最小, 该准则需要什么条件?
最大后验概率判决准则使分类的平均错误率最小, 该准则需要什么条件?
N-P准则在实施时既不需要知道风险函数,也不需 要知道先验概率。
第2章 贝叶斯决策理论
最大后验概率判决准则使分类的平均错误概率最小。 最小风险贝叶斯判决准则使分类的平均风险最小。 可是, 在实际遇到的模式识别问题中有可能出现这样 的问题: 对于两类情形, 不考虑总体的情况, 而只关注某 一类的错误概率, 要求在其中一类错误概率小于给定阈 值的条件下, 使另一类错误概率尽可能小。
因为两类情况下, 先验概率满足:
P(1) P(2 ) 1
第2章 贝叶斯决策理论
R R1 [(1,1)P(1) p(x | 1) (1,2 )P(2 ) p(x | 2 )]dx R2 {(2 ,1)P(1) p(x | 1) (2,2 )P(2 ) p(x | 2 )}dx

最小风险贝叶斯决策判决规则

最小风险贝叶斯决策判决规则

最小风险贝叶斯决策判决规则1. 走进最小风险的世界你有没有过这种经历?你站在一个十字路口,不知道该往哪边走。

左边可能有更美丽的风景,但也可能遇到堵车;右边看似平淡无奇,但也许会有惊喜。

决定究竟走哪边,真是让人抓狂。

其实,这就像是贝叶斯决策中的一个经典问题:如何在不确定的情况下做出最优选择?听起来复杂对吧?别担心,让我们一步步来解开这个谜团。

2. 贝叶斯决策规则大揭秘2.1 贝叶斯的魔法贝叶斯决策规则的核心思想就是最小化风险。

我们先得了解什么是风险。

想象一下,你在赌场里,拿着一把筹码,面前有一副扑克牌。

你能选择赌一手,但不确定对手的牌有多强。

你知道,如果你选择错了,可能会输钱;如果选择对了,可能会赢大钱。

最小风险的意思就是在这张扑克牌游戏中,怎么才能让你输钱的概率最小,也就是风险最小。

2.2 如何选择最小风险的路径回到我们的十字路口问题。

假如你想用贝叶斯决策规则来决定走哪条路,首先,你需要知道每条路的可能结果和这些结果的概率。

简单来说,你得了解每条路可能带来的好事和坏事的概率。

比如,左边的路你知道可能会遇到拥堵,概率是50%,而右边的路,你知道它的拥堵概率只有20%。

这时候,你就需要计算走每条路的期望风险。

期望风险就是对所有可能结果的风险进行加权平均。

简单点说,就是把每条路的所有可能坏结果的风险加起来,看哪个路的综合风险最小。

听起来是不是有点像在做数学题?别担心,做这种选择题其实就像是你在超市挑选打折商品,挑那个最划算的就对了。

3. 风险最小化的妙招3.1 把风险控制在合理范围内在现实生活中,我们面临的风险多得数不过来,比如投资股市、选择工作、甚至是买房子。

最小风险贝叶斯决策规则就像是你手里的一个万能工具,可以帮助你在这些选择中做出更理智的决定。

想象一下,你要投资一个新项目。

你可以用贝叶斯方法来估算这个项目的成功概率和可能带来的损失。

你计算出每种可能结果的风险,然后把它们加权,看看哪种投资最能让你的钱包安稳。

基于最小错误率与最小风险的贝叶斯分类比较与研究

基于最小错误率与最小风险的贝叶斯分类比较与研究
ΔABC 所在平面内任一点,求证:OCCA +OCCB +OCCC =OCCA ′+OCCB ′+COCC ′. 问题 3 在 ΔABC 中,BCCC =a軆 ,CCCA =b軋,ACCB =c軆 ,则 ΔABC 为正三角形
的 充 要 条 件 是 a軆·b軋=b軋·c軆 =c軆·a軆 . 通过对闭折线性质定理的探讨,既使学生认识到闭折线性质定理
的内容简明,应用广泛,又培养了学生探究意识,为学生开辟了广阔的 思维空间,提供了创新机遇。 科
● 【参考文献】
[1]孟祥亚.浅谈培养学生应用向量的意识 [J].中学数学研究,2002,5. [2] 刘 八 芝 .向 量 在 中 学 数 学 教 学 中 的 应 用 .镇 江 高 专 学 报 [J].2003,02. [3]史建军, 张 无 忌.平 面 向 量 的 数 量 积 在 中 学 数 学 解 题 中 的 妙 用 [J].数 学 教 学 研 究 ,2007,9.
abc
此 题 是 用 柯 西 不 等 式 的 向 量 表 示 式|p軋·q軋|≤|p軋||q軋|等 号 成 立 的 条 件 证明的,另外我们对具有向量特征的代数总是问题,若注意观察,发现 其特征,通过构造向量来解题,往往有独到之处。
例 4 已知 a,b,c 为正数, 求函数 y= 姨x2+a2 + 姨(c-x)2+b2 的极小 值.
器。
2.4 关于 P(Hj|X)与 P(X|Hj)的区别
首先,要明确,从我们前面的理论大家可以发 现 P(Hj|X)是 后 演 概
率,是结论;P(X|Hj)是类条件概率密度函数,是已知的前提。 类概率条
件密度函数是前人总结的统计的概率分布, 我们是直接拿来使用的,
用它来补充先演概率的信息不足。

最小错误概率贝叶斯(2章)

最小错误概率贝叶斯(2章)

������ ������ =
0.07 0.06
������ ������=1
������ ������������ p(������|������������ )
0.05
0.04
������ ������ ������(������2 )p(������ |������2 )
0.03
0.02
������(������1 )p(������|������1 )
统计判别基本概念 统计决策的概念: 根据样本的统计特性将样本划分到其最有可能(先 验概率最大或者后验概率最大)属于的类别。 如果P(������1 )> P(������2 ),则������ ∈ ������1 ,反之������ ∈ ������2 。 如果P(������1 |������) > P(������2 |������) ,则������ ∈ ������1 ,反之������ ∈ ������2 。
统计判别基本概念ห้องสมุดไป่ตู้
基于统计判别的分类应用很广泛
类别: ������1 :垃圾邮件 ������2 :非垃圾邮件 邮件中的字符代码为: ������1 , ������2 , … , ������������
统计判别基本概念 分类e-mails {垃圾邮件,非垃圾邮件} 分类文章主题 {文章的主题是什么?} 分类网页 {学校网页, 个人网页, 公司网页, …} 输入的特征������是什么? 文本!
统计判别基本概念 后验概率常常作为决策的依据
P(������1 |������) P(������2 |������)
主要内容 1. 2. 3. 4. 5. 6. 统计判别基本概念 贝叶斯判别原则 正态分布模式的贝叶斯决策 Bayes最小风险判别准则 聂曼-皮尔逊判别准则 最小最大损失准则

第二章 贝叶斯决策理论与统计判别方法汇总

第二章 贝叶斯决策理论与统计判别方法汇总

第二章贝叶斯决策理论与统计判别方法课前思考1、机器自动识别分类,能不能避免错分类,如汉字识别能不能做到百分之百正确?怎样才能减少错误?2、错分类往往难以避免,因此就要考虑减小因错分类造成的危害损失,譬如对病理切片进行分析,有可能将正确切片误判为癌症切片,反过来也可能将癌症病人误判为正常人,这两种错误造成的损失一样吗?看来后一种错误更可怕,那么有没有可能对后一种错误严格控制?3、概率论中讲的先验概率,后验概率与概率密度函数等概念还记得吗?什么是贝叶斯公式?4、什么叫正态分布?什么叫期望值?什么叫方差?为什么说正态分布是最重要的分布之一?学习目标这一章是模式识别的重要理论基础,它用概率论的概念分析造成错分类和识别错误的根源,并说明与哪些量有关系。

在这个基础上指出了什么条件下能使错误率最小。

有时不同的错误分类造成的损失会不相同,因此如果错分类不可避免,那么有没有可能对危害大的错分类实行控制。

对于这两方面的概念要求理解透彻。

这一章会将分类与计算某种函数联系起来,并在此基础上定义了一些术语,如判别函数、决策面(分界面),决策域等,要正确掌握其含义。

这一章会涉及设计一个分类器的最基本方法——设计准则函数,并使所设计的分类器达到准则函数的极值,即最优解,要理解这一最基本的做法。

这一章会开始涉及一些具体的计算,公式推导、证明等,应通过学习提高这方面的理解能力,并通过习题、思考题提高自己这方面的能力。

本章要点1、机器自动识别出现错分类的条件,错分类的可能性如何计算,如何实现使错分类出现可能性最小——基于最小错误率的Bayes决策理论2、如何减小危害大的错分类情况——基于最小错误风险的Bayes决策理论3、模式识别的基本计算框架——制定准则函数,实现准则函数极值化的分类器设计方法4、正态分布条件下的分类器设计5、判别函数、决策面、决策方程等术语的概念6、Bayes决策理论的理论意义与在实践中所遇到的困难知识点§2.1 引言在前一章中已提到,模式识别是一种分类问题,即根据识别对象所呈现的观察值,将其分到某个类别中去。

最小风险贝叶斯判决准则

最小风险贝叶斯判决准则
P(1) n1 / n 0.4
P(2 ) n2 / n 0.6
情形1:假设在没有看到一个具体的产品时就要确定它到底属于哪一类。 如果唯一能够得到的信息就是先验概率, 那么一个很自然的“合理”选择是将 这一产品归入类ω2。 可以想象, 这时可能造成40%的错误率。
如果我们仅仅需要做一次判断, 那么采用这种判决规则还是合理的。 但 是, 如果要求我们进行多次判断, 那么重复使用这种规则就不合适了, 因为我 们将一直得到相同的结果。
。 m Rd Ri
i 1
m
Rm1 Rd Ri
i 1
当样本落在两类或多类的交界面上时, 可以任取交界面所在的一类进行判 决, 也可以拒绝判决。 从划分意义上看, 模式识别就是对于一个具体分类问题, 在确定了需分类的类别数m和所用的特征维数后, 实现对Rd空间的划分, 每一种 划分对应一种识别方法。
模式分类实际上是将特征空间划分为不同的决策区域, 相邻决策区域被决 策面所分割, 这些决策面是特征空间中的超曲面, 其决策面方程满足相邻两个 决策域的判别函数相等,
gi(x)=gj(x) 分类器可被看做是一个计算m类个判别函数并选取最大(或最小)判决值对 应的类别的网络或机器。 一个分类器的网络结构如图2-1所示。
x∈ωi; 此时, Ri称为x∈ωi的决策区域。
(3)
。若
Ri为Rd的真子集, 即
, 当样本落在此区域中
m
m
m
时, d Ri 为
i 1
i 1
i 1
拒绝域, 相应的判决为拒识。 此时, 引入一个新类ωm+1(拒绝类), 相应的决策区域为
图 2-1 分类器的网络结构
2.2 最大后验概率判决准则
2.2.1

机器学习——基础整理(一)贝叶斯决策论;二次判别函数;贝叶斯错误率;生成式模型的参数方法

机器学习——基础整理(一)贝叶斯决策论;二次判别函数;贝叶斯错误率;生成式模型的参数方法

机器学习——基础整理(⼀)贝叶斯决策论;⼆次判别函数;贝叶斯错误率;⽣成式模型的参数⽅法本⽂简单整理了以下内容:(⼀)贝叶斯决策论:最⼩错误率决策、最⼩风险决策;经验风险与结构风险(⼆)判别函数;⽣成式模型;多元⾼斯密度下的判别函数:线性判别函数LDF、⼆次判别函数QDF(三)贝叶斯错误率(四)⽣成式模型的参数估计:贝叶斯学派与频率学派;极⼤似然估计、最⼤后验概率估计、贝叶斯估计;多元⾼斯密度下的参数估计(五)朴素贝叶斯与⽂本分类(挪到了下⼀篇博客)(⼀)贝叶斯决策论:最⼩风险决策(Minimum risk decision)贝叶斯决策论(Bayesian decision theory)假设模式分类的决策可由概率形式描述,并假设问题的概率结构已知。

规定以下记号:类别有c个,为\omega_1,\omega_2,...,\omega_c;样本的特征⽮量\textbf x\in\mathbb R^d;类别\omega_i的先验概率为P(\omega_i)(prior),且\sum_{i=1}^cP(\omega_i)=1;类别\omega_i对样本的类条件概率密度为p(\textbf x|\omega_i),称为似然(likelihood);那么,已知样本\textbf x,其属于类别\omega_i的后验概率P(\omega_i|\textbf x)(posterior)就可以⽤贝叶斯公式来描述(假设为连续特征):P(\omega_i|\textbf x)=\frac{p(\textbf x|\omega_i)P(\omega_i)}{p(\textbf x)}=\frac{p(\textbf x|\omega_i)P(\omega_i)}{\sum_{j=1}^cp(\textbfx|\omega_j)P(\omega_j)}分母被称为证据因⼦(evidence)。

后验概率当然也满⾜和为1,\sum_{j=1}^cP(\omega_j|\textbf x)=1。

贝叶斯决策

贝叶斯决策

超曲面。相邻的两个类别在决策面上的判别函数
值是相等的。如果ωi和ωj是相邻的,则分割它们 的决策面就应为
– di(x)=dj(x) 或 di(x)-dj(x)=0 – 对于两类问题,决策面方程:
– P(x|ω1)P(ω1)-P(x|ω2)P(ω2)=0
§2.2 基于贝叶斯公式的几种判别规则
一、基于最小风险的贝叶斯决策
ωi所受损失。因为这是错误判决,故损失最大。
表示:在决策论中,常以决策表表示各种 情况下的决策损失。
状态
ω
ω
…ω
…ω
损失
1
2
j
m
决策
α1


α2




αi




αα


2.风险R(期望损失):
对未知x采取判决行动α(x)所付出的代价(损耗)
➢行动αi:表示把模式x判决为ωi类的一次动作。
➢条件风险:
密度,考虑误判的损失代价。决策应是统计意义
上使由于误判而蒙受的损失最小。

如果在采取每一个决策或行动时,都使
其条件风险最小,则对所有的x作出决策时,其期
望风险也必然最小。(条件平均损失最小的判决
也必然使总的平均损失最小。)
–5.最小风险贝叶斯决策规则
–如果 :
–6.判决实施步骤:
–(1)在已知P(ωj),P(x|ωj),j=1,2,…m,并给出待 识别的x的情况下,根据贝叶斯公式计算出后验概
决策表很不容易,往往要根据所研究的具体问题, 分析错误决策造成损失的严重程度来确定。
–7.错误率最小的贝叶斯决策规则与风险最小的贝 叶斯决策规则的联系 – 在采用0-1损失函数时,最小风险贝叶斯决 策就等价于最小错误率贝叶斯决策。

基于最小风险的贝叶斯决策

基于最小风险的贝叶斯决策
基于最小风险的贝叶斯决策
路漫漫其悠远
少壮不努力,老大徒悲伤
以决策论的观点
决策空间:所有可能采取的各种决策所 组成的集合,用然状态的函数
一般决策表
相关的数学表示
条件期望损失
由于引入损失的概念,在制定决策时不 能仅考虑最小错误率,所采取的决策是 否使损失最小也是必须考虑的
的损失函数 i,j , i=1,…,a ,j=1,…,c.但实
际中要列出合适的决策表是很不容易的
与最小错误率贝叶斯决策的关系
差别在于是否考虑风险,即错误损失
最小风险决策可看作加权形式的最小错误率决策, 加权值即损失函数取特定形式时二者可能等价,如 损失函数取0-1形式
定义损失函数
2.2.3 限定一类错误率,使另一类 错误率最小的 两类别决策
损失的数学表示,跟决策相关——条件期 望损失,条件风险
对于特定的x采取决 策αi 的期望损失
期望风险
最小风险贝叶斯决策
最小风险贝叶斯决策步骤
最小风险贝叶斯决策示例
最小风险贝叶斯决策示例
最小风险贝叶斯决策的讨论
除了要有符合实际情况的先验概率 和类条
件概率密度
,j=1,…,c外,还要有合适
条件极值问题
利用拉格朗日乘子法将条件极值转化为 无条件极值
分别对分界点t和 求导
这率种 1在最限小定的一决类策错规误则率也称2为为常N数ey而m使an另-P一ea类rso错n误
最小错误率贝叶斯决策的似然比形式 最小风险贝叶斯决策的似然比形式

《模式识别与机器学习》习题和参考答案

《模式识别与机器学习》习题和参考答案

(μ i , i ), i 1, 2 ,可得
r (x) ln p(x | w 1) ln p(x | w 2)
d
1
1

(x μ1 ) 1 (x μ1 ) ln 2 ln | |
2
2
2

d
1
1

(x μ 2 ) 1 (x μ 2 ) ln 2 ln | |
(2-15)可简化为
1
gi ( x) (x μi ) 1 (x μi ).
2
(2-17)
将上式展开,忽略与 i 无关的项 x 1x ,判别函数进一步简化为
1
gi (x) ( 1μi ) x μi 1μi .
2
(2-18)
此时判别函数是 x 的线性函数,决策面是一个超平面。当决策区域 Ri 与 R j 相邻时,
190%
(2-13)
最小风险贝叶斯决策会选择条件风险最小的类别,即 h( x) 1 。
3.
给出在两类类别先验概率相等情况下,类条件概率分布是相等对角协方差
矩阵的高斯分布的贝叶斯决策规则,并进行错误率分析。
答:
(1)首先给出决策面的表达式。根据类条件概率分布的高斯假设,可以
得到
p(x | w i )
2
2
2

1
1
1 ||
(x μ1 ) 1 (x μ1 ) (x μ 2 ) 1 (x μ 2 ) ln
2
2
2 ||
1
(μ 2 μ1 ) 1x (μ1 1μ1 μ 2 1μ 2 ).
2
(2-28)

模式识别试题及总结

模式识别试题及总结

模式识别试题及总结一、填空与选择填空(本题答案写在此试卷上,30分)1、模式识别系统的基本构成单元包括:模式采集、特征提取与选择和模式分类。

2、统计模式识别中描述模式的方法一般使用特真矢量;句法模式识别中模式描述方法一般有串、树、网。

3、聚类分析算法属于(1);判别域代数界面方程法属于(3)。

(1)无监督分类 (2)有监督分类(3)统计模式识别方法(4)句法模式识别方法4、若描述模式的特征量为0-1二值特征量,则一般采用(4)进行相似性度量。

(1)距离测度(2)模糊测度(3)相似测度(4)匹配测度5、下列函数可以作为聚类分析中的准则函数的有(1)(3)(4)。

(1)(2) (3) (4)6、Fisher线性判别函数的求解过程是将N维特征矢量投影在(2)中进行。

(1)二维空间(2)一维空间(3)N-1维空间7、下列判别域界面方程法中只适用于线性可分情况的算法有(1);线性可分、不可分都适用的有(3)。

(1)感知器算法(2)H-K算法(3)积累位势函数法8、下列四元组中满足文法定义的有(1)(2)(4)。

(1)({A, B}, {0, 1}, {A?01, A ? 0A1 , A ? 1A0 , B ? BA , B ? 0}, A) (2)({A}, {0, 1}, {A?0, A ? 0A}, A)(3)({S}, {a, b}, {S ? 00S, S ? 11S, S ? 00, S ? 11}, S)(4)({A}, {0, 1}, {A?01, A ? 0A1, A ? 1A0}, A)9、影响层次聚类算法结果的主要因素有(计算模式距离的测度、(聚类准则、类间距离门限、预定的类别数目))。

10、欧式距离具有( 1、2 );马式距离具有(1、2、3、4 )。

(1)平移不变性(2)旋转不变性(3)尺度缩放不变性(4)不受量纲影响的特性11、线性判别函数的正负和数值大小的几何意义是(正(负)表示样本点位于判别界面法向量指向的正(负)半空间中;绝对值正比于样本点到判别界面的距离。

第二章 贝叶斯决策理论

第二章 贝叶斯决策理论

ωc } αa}

对x可能采取的决策: Α = {α1 α 2

决策表
损失 状态 决策
ω1
ω2

ωj
λ (α 2 , ω j ) λ (α i , ω j ) λ (α a , ω j ) λ (α1 , ω j )

ωc
λ (α1 , ωc ) λ (α 2 , ωc ) λ (α i , ωc ) λ (α a , ωc )
⎧0 i = j 假设损失函数为0 - 1函数 : λ (α i , ω j ) = ⎨ ⎩1 i ≠ j
条件风险为 :R(α i | x ) = ∑ λ (α i , ω j )P (ω j | x ) =
c j =1 j =1, j ≠ i
∑ P(ω
c
j
| x)
等式右边的求和过程表示对x采取决策 ωi 的条件错 误概率。


贝叶斯公式 设试验E的样本空间为S,A为E的事件, B1,B2,…,Bn为S的一个划分
且 P ( A ) > 0 , P (B i ) > 0 , 则 P (B i | A ) =
n
P ( A | B i ) ⋅ P (B i )
j j
∑ P (A | B )⋅ P (B )
j =1
, j = 1, 2 ,..., n
分析 根据后验概率,发现这个细胞不正常的可能性
利用Bayes公式求后验概率 P(ωi | x )
增大了。 ∵ P (ω1 | x ) > P (ω 2 | x ) 所以判断该细胞为正常的。 实际中仅这个结论不能确诊的,需要更有效的化验。
(2)最小错误率的贝叶斯决策规则
⎧ω1 > 若P(ω1 | x ) < P(ω2 | x ),则x ∈ ⎨ ⎩ω2 ⎧ω1 > 若P(ω1 ) ⋅ p (x | ω1 ) < P(ω2 ) ⋅ p( x | ω2 ),则x ∈ ⎨ ⎩ω2 ⎧ω1 p( x | ω1 ) > P(ω2 ) ∈ x 若l ( x ) = ,则 ⎨ < p( x | ω2 ) P(ω1 ) ⎩ω2

最小风险的Bayes决策

最小风险的Bayes决策

0-1·损失函数
c
P(j X ) j1, ji
两种判决方式等价! 9
3.3 Bayes分类器和判别函数
分类器设计:利用决策规则对观察向量 X 进行分类
d 维特征空间
决策规则
c 个决策域
决策面:划分决策域的边界面 决策面方程:决策面的数学解析形式 判别函数:表达决策规则的函数
用正态分布模型描述训练样本集与测试样本集在数 学上实现起来也比较方便
23
物理上的合理性 如果同一类样本在特征空间 内的确较集中地分布在其类均值的附近,远离 均值处分布较少,那么一般情况下以正态分布 模型近似往往是比较合理的
人们也往往因数学分析复杂程度考虑而不得不 采用这种模型,当然使用时应注意结果是否合 理或关注其可接受的程度
A [1 ,. . . ,a ] T ,1 ,. . . ,a为 a 个 决 策 状 态
损失函数 (i ,j ) : 真 实 状 态 为 j 而 判 断 为 i 的 损 失 ( i j )
期望损失(条件风险)
c
R (i|X )E [(i,j)] (i,j)P (j|X ) j 1
分割它们的决策面方程应满足:
gi(x) gj(x)
11
最小错误概率决策
判别函数的不同形式:
gi(x)P(i |x)
gi(x)P(xi)P(i)
g i(x ) lo g P (xi) lo g P (i)
12
最小风险决策
判别函数
gi(x)R(i |x)
判别函数不唯一,更一般地,f ( gi ( x)) (其中 f ( x ) 为 单调增函数)均可作为判别函数
18
后验概率:

实验一贝叶斯决策教材

实验一贝叶斯决策教材

实验一贝叶斯决策一、 实验原理1. 最小错误率贝叶斯决策规则:对于两类问题,最小错误率贝叶斯决策有以下裁决规则:P( 1 | x) P( 2 | x),则 x 1 ; 反之,则 x 2。

因为先验概率 P( i )可以确立,与当前样本 x 没关,因此决策规则也可整理成下边的形式:若l (x) P( x | 1 ) P( 2 ) ,则 x1 ,不然 x 。

P(x |2 ) P( 1) 22. 均匀错误率决策界限把 x 轴切割成两个地域,分别称为第一类和第二类的决策地域 .样本在中但属于第二类的错误概率和样本在中但属于第一类的错误概率就是出现错误的概率, 再考虑到样本自己的分布后就是均匀错误率:t P( 2 | x) p( x)dx P( 1 | x) p( x)dxP(e)t tp( x | 2 ) P( 2 )dx p( x | 1 ) P( 1 )dx t3. 此实验中的裁决门限和均匀错误率(1)裁决门限假设随机脉冲信号 f 中 0 的概率为 ,高斯噪声信号 n 服从,信号叠加时的放大倍数为 a ,叠加后的信号为s f * a n 。

由最小错误率贝叶斯决策可得:P( 1 ) p( x | 1 )P( 2 ) p( x |2)a2 2a2 2 (ln(1 p0 ) ln p0 )化简计算得: t2a(2)均匀错误率由上述积分式可计算。

二、实验内容1、已知均值和方差,产生高斯噪声信号,计算其统计特征实验中利用 MATLAB产生均值为 0,方差为 1 的高斯噪声信号,信号统计分布的程序和结果以下:%产生高斯噪声并统计其特征x=0;%均值为 0y=1;%方差为 1n=normrnd(x,y,[1 1000000]);%产生均值为 0,方差为 1 的高斯噪声m1=mean(n);%高斯噪声的均值v1=var(n); %高斯噪声的方差figure(1)plot(n(1:400)); title( '均值为 0,方差为 1 的高斯噪声 ');figure(2)hist(n,10000); title('高斯噪声的统计特征 ');获得 m1=-4.6534e-005 ;v1= 0.9971 。

最小错误概率准则

最小错误概率准则
O p(b2 / ar ) L
p(bs / a1) ⎤
p(bs
/
a2
)
⎥ ⎥
M⎥ p(bs / ar *)⎥⎦
费诺不等式:H(X|Y) ≤ H(PE) + PE log(r-1)
• 不管采用什么译码规则费诺不等式都成立。 • 费诺不等式表明:接收到Y后关于X的平均不确定
性分为两部分: 1)接收到Y后是否产生PE错误的不确定性H(PE); 2)当错误PE发生后,到底是哪个输入符号发送而 造成错误的最大不确定性为PElog (r一1) • 右图表示:当信源、信道给 定,信道疑义度H(X|Y)给出了 译码错误概率的下限。
简单重复编码方法使信息传输率降低的原因:
• 在未重复编码以前,输入端是二个消息的集 合。假设为等概率分布则每个消息携带的信息 最是 logM=1(比特/符号)。
• 简单重复(n=3)后,可以把信道看成是三次无 记忆扩展信道。
• 这时输入端有8个二元序列可以作为消息 (为α1消,…息, ,α8M),=但2我。们这只样选每择个了消二息个携二带元的序平列均作信 息量仍是1比特。而传送一个消息需要付出的 代价却是三个二元码符号,所以R就降低到 1/3 (比特/码符号)。
5.2 错误概率与编码方法
• 5.1节结论:1)消息通过有噪信道传输时会发生 错误,2)错误概率与译码规则有关。
• 例:二元对称信道,若选择最佳译码规则
p = 0.99
a1=0
b1=0 F(b1= 0) = (a1= 0);
p = 0.01
F(b2= 1) = (a2= 1)
a2=1
p = 0.99
2. 再对上述结果求和。
b1 + b2 +L
a1 ⎡ p(b1 / a1) p(b2 / a1*) L

贝叶斯 最小最大原则

贝叶斯 最小最大原则

贝叶斯最小最大原则贝叶斯最小最大原则:决策的智慧之道在决策过程中,我们常常面临着各种不确定性和风险。

为了做出明智的选择,我们需要借助贝叶斯最小最大原则,这是一种基于概率推理的决策方法。

通过权衡各种可能性的利益和风险,我们可以最大程度地降低决策的风险,并取得最小的损失。

贝叶斯最小最大原则的核心思想是将概率引入决策分析中。

在面对不确定性的情况下,我们需要根据已有的信息和经验来评估各种可能的结果发生的概率,并据此做出决策。

然而,在实际应用中,我们常常面临着信息不完全、不准确的情况。

为了解决这个问题,贝叶斯最小最大原则采用了贝叶斯定理来更新概率,将新的信息纳入决策分析中。

通过不断地更新概率,我们可以逐渐接近真实的概率分布,从而更好地进行决策。

贝叶斯最小最大原则在许多领域都有广泛的应用。

在医学诊断中,医生可以根据患者的症状和疾病的先验概率,通过贝叶斯最小最大原则来确定最可能的诊断结果。

在金融投资中,投资者可以通过分析市场数据和经济指标的先验概率,来制定最优的投资策略。

然而,贝叶斯最小最大原则也存在一些局限性。

首先,它依赖于先验概率的准确性。

如果先验概率的估计不准确,那么决策结果也可能不准确。

其次,贝叶斯最小最大原则需要处理大量的数据和复杂的计算,这对于一些实际问题来说可能是不可行的。

尽管如此,贝叶斯最小最大原则仍然是一种重要的决策方法。

它可以帮助我们在不确定性和风险中做出明智的选择,最大程度地降低决策的风险。

通过合理地利用已有的信息和经验,我们可以更好地应对各种挑战,取得更好的结果。

在实际生活中,我们经常面临各种决策,无论是个人的还是组织的。

通过运用贝叶斯最小最大原则,我们可以更加理性地进行决策,避免盲目行动和过度自信。

同时,我们也要明白贝叶斯最小最大原则并非是一种完美的决策方法,它只是帮助我们在不确定性中做出相对更好的选择。

因此,在实际应用中,我们需要结合具体情况,综合考虑各种因素,做出最合适的决策。

贝叶斯最小最大原则是一种基于概率推理的决策方法,可以帮助我们在不确定性和风险中做出明智的选择。

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正态分布模式的贝叶斯决策
90 85 80 75
Weight(KG)
70 65 60 55 50 45 40 150 155 160 165 170 Height(CM) 175 180 185
������������ (������ − ������������ ) = 0
判别界面
������������ (������ − ������������ ) = 0 ������ = ������1 − ������2 = 156,48 ������0 =
3 ������1 ������ = 4������1 − 2
正态分布模式的贝叶斯决策 3 11 ������1 ������ = 4������1 − ,������2 ������ = −4������1 + 8������2 + 8������3 − 2 2 故判别界面为 ������1 ������ − ������2 ������ = 8������1 − 8������2 − 8������3 + 4=0 图中绘出该 判别平面的 一部分,它 将两类模式 一分为二。
正态分布模式的贝叶斯决策 3. 第三种情况:������������ ≠ ������������
正态分布模式的贝叶斯决策 例:模式(样本)分布如图所示,如果作为正态分 布处理,其均值向量和协方差矩阵可用下式估计: 1 ������������ = ������������ 1 ������������ = ������������
正态分布模式分类的误判概率 例:已知一个班级女生和男生的身高和体重数据都 符合正态分布,具体统计参数如下: 25 0 ������ 女生, 均值������1 : 156,48 ,协方差������1 : 0 25 25 0 ������ 男生, 均值������2 : 170,65 ,协方差������2 : 0 25 男生和女生的先验概率已知������ ������1 = ������ ������2 = 0.5 ,计算最小错误概率贝叶斯判别下的误判概率?
1 2 1 ������1 + ������2 = [ 2 ������
− 170,65 ������ = −14, −17
������ ������
156,48 ������ + 170,65 ������ ]= 163,56.5
正态分布模式的贝叶斯决策
最小错误概率贝叶斯决策规则下得到的 决策面所带来的误判概率是多大?
正态分布模式的贝叶斯决策 1 ������ −1 由:������������ ������ = ������������ − ������������ ������ ������������ + ������������������(������������ ) 2 设������ ������1 = ������ ������� 项可删去,得 1 ������ −1 −1 ������ ������������ ������ = ������������ ������ ������ − ������������ ������ ������������ 2
正态分布模式的贝叶斯决策 决策面方程为:
������������ ������ = ������������ ������ ������������ ������ − ������������ ������ = 0
具体表达式为: 1 − ������ − ������������ ������ ������������ −1 ������ − ������������ − ������ − ������������ 2 1 ������������ ������ ������������ − ������������ + ������������ =0 2 ������������ ������ ������������
������ ������ ������2 ������������
ℛ1
−∞
最小错误概率贝叶斯 若输入特征为高维向量: ������ ∈ ℝ������
������1 ������ = ������2 ������ =
ℛ2
������ ������ ������1 ������������ ������ ������ ������2 ������������
(1,1,0)
式中������������ 为类别������������ 中模式的数目,������������������ 代表在第������ 类别 中的第������个模式。
正态分布模式的贝叶斯决策 由上式可求出: 1 ������1 = (3, 1, 1)������ , 4 1 = (1, 3, 3)������ 4 1 1 3 −1 −1 3
ℛ1
在高维特征空间计 算积分的运算非常 困难。例如:当维数 D=10000时,几乎 无法实现
最小错误概率贝叶斯
对于x为高维,可找更方便的方法计算错误率
最小错误概率贝叶斯决策的等价形式: ������1 > (1)������ ������1 ������ ������|������1 ������ ������2 ������ ������|������2 , ������ ∈ ������ < 2 ������1 ������ ������|������1 > ������ ������2 (2)如果������ ������ = , ������ ∈ ������ ������ ������|������2 < ������ ������1 2 (3)如果h ������ = −������������������ ������ ������1 < ������ ������1 = −������������������ ������ ������1 + ������������������ ������ ������2 ������������ → ������ ∈ ������ ������ ������ > 2 2
正态分布模式的贝叶斯决策
2. 第二种情况:������������ = ������
(1)若������ ������������ = ������ ������������ ,决策面为通过������������ 和������������ 连线中心并与 连线通常不正交的超平面。
(2)若������ ������������ ≠ ������ ������������ ,决策面向先验概率小的方向偏移。
������������ ������=1 ������������
������������������
������=1
(1,1,1)
������������������ ������������ ������������ − ������������ ������������ ������
(0,1,0)
������������ −1 ������
正态分布模式的贝叶斯决策 带入并展开,可得
11 ������2 ������ = −4������1 + 8������2 + 8������3 − 2 ������������ ������ = ������������ ������������ −1 ������������ − ������������ ������ ������−1 ������������ 8 −4 −4 ������−������ = −4 8 4 −4 4 8 1 1 ������ ������1 = (3, 1, 1) , ������2 = (1, 3, 3)������ 4 4
������
������������ −1 ������ − ������������
根据������ ������������ 和������������ 的不同形式,决策面方程具体的表达式也 有不同形式。
正态分布模式的贝叶斯决策
������ 2 … 0 1. 第一种情况:������������ = ������ 2 I,������������ = ⋮ ⋱ ⋮ 0 … ������ 2 (1)若������ ������������ = ������ ������������ ,决策面为通过������������ 和������������ 连线中心并与连线 正交的超平面。 (2)若������ ������������ ≠ ������ ������������ ,决策面向先验概率小的方向偏移,即 概率大的一类占据更大的决策空间。
������2 1 3 ������1 = ������2 = ������ = 1 16 1
正态分布模式的贝叶斯决策 因协方差矩阵相等,可推知其判别式。 1 ������ ������ −1 ������������ ������ = − ������ − ������������ ������ ������ − ������������ − ������������2������ 2 2 1 − ������������ ������ + ������������������ ������������ 2 除去与i无关的项,可得 1 ������ −1 −1 ������ ������������ ������ = ������������ ������ ������ − ������������ ������ ������������ + ������������������(������������ ) 2
+∞ ������
������
当输入特征为一维时:
������1 ������ =
������2 ������ =
ℛ2
������ ������ ������1 ������������ =
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