浙江省历年高考立体几何大题总汇(题目及答案)

1.（本题满分15分）如图，平面PAC ⊥平面ABC ，ABC ∆是以AC 为斜边的等腰直角三角形。,,E F O 分别为,,PA PB PC 的中点，16,10AC PA PC ===。

（I ） 设C 是OC 的中点，证明：//PC 平面BOE ；

（II ）证明：在ABO ∆内存在一点M ，使FM ⊥平面BOE ，并求点M 到OA ,OB 的距离。

2.如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是侧棱CC 1上的一点，CP=m ， （Ⅰ）试确定m ，使得直线AP 与平面BDB 1D 1所成角的正切值为

32；

（Ⅱ）在线段A 1C 1上是否存在一个定点Q ，使得对任意的m ，D 1Q 在平面APD 1上的射影垂直于AP ，并证明你的结论。

3. 如图甲，△ABC 是边长为6的等边三角形，E ，D 分别为AB 、AC 靠近B 、C 的三等分

点，点G 为BC 边的中点．线段AG 交线段ED 于F 点，将△AED 沿ED 翻折，使平面AED ⊥平面BCDE ，连接AB 、AC 、AG 形成如图乙所示的几何体。 （I ）求证BC ⊥平面AFG ； （II ）求二面角B －AE －D 的余弦值．

.

x y

z

4在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，2AC BC BD AE ===，M 是AB 的中点．

（1）求证：CM EM ⊥；

（2）求CM 与平面CDE 所成的角

5. 如图，矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE CF ∥，

90BCF CEF ∠=∠=o ，3AD =2EF =．

（Ⅰ）求证：AE ∥平面DCF ；

（Ⅱ）当AB 的长为何值时，二面角A EF C --的大小为60o

？

6. 如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在线段AB ，AD 上，AE=EB=AF=.43

2

=FD 沿直线EF 将AEF ∆翻折成,'EF A ∆使平面⊥EF A '平面BEF. （I ）求二面角C FD A --'的余弦值；

（II ）点M ，N 分别在线段FD ，BC 上，若沿直线MN 将四边形MNCD 向上翻折，使C

与'A 重合，求线段FM 的长.

E

M A C

B D D

A B

E

F

C

（第18题）

7. 如图，在三棱锥P-ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2

（Ⅰ）证明：AP⊥BC；

（Ⅱ）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为直二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由。

8. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为23的菱形，

∠BAD=120°，且PA⊥平面ABCD，PA=26, M，N分别为PB,PD的中点。

（1）证明：MN∥平面ABCD；

（2）过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A-MN-Q的平面角的余弦值。

9. 如图，在四面体A BCD -中，AD ⊥平面BCD ，

BC CD ⊥，2AD =，22BD =M 是AD 的中点，P 是BM 的中

点，点Q 在线段AC 上，且3AQ QC =． （Ⅰ）证明：//PQ 平面BCD ；

（Ⅱ）若二面角C BM D --的大小为60︒，求BDC ∠的大小．

10. 如图，在五面体ABCDEF 中，已知DE ⊥平面ABCD ，//AD BC ，o 60BAD ∠=，

2AB =，1DE EF ==．

（1）求证：//BC EF ；

（2）求三棱锥B DEF -的体积．

（第16题图）

F

A

C

D

E B

11. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知1CA CB ==，12AA =，o 90BCA ∠=． （1）求异面直线1BA 与1CB 夹角的余弦值； （2）求二面角1B AB C --平面角的余弦值．

12(本小题14分)在等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，12

AD BC =

，60ABC ∠=o ，N 是BC

的中点．将梯形ABCD 绕AB 旋转90o ，得到梯形ABC D ''（如图）．

（1）求证：AC ⊥平面ABC '； （2）求证：//C N '平面ADD '； （3）求二面角A C N C '--的余弦值．

13. （本题满分14分） 如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD //BC ，∠ADC =90°，平面P AD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，P A =PD =2，BC =

1

2

AD =1，CD

． （I ）求证：平面PQB ⊥平面P AD ； （II ）若二面角M -BQ -C 为30°，设PM =tMC ， 试确定t 的值

（第22题图）

A

B

C A 1

B 1

C 1

A

C D B N

D ' C '

P

A

B

C D Q

M

14．如图，直角梯形ABCD中，AB//CD，BCD

∠= 90°, BC = CD = 2,AD

= BD：EC丄底面A B C D,F D丄底面A B C D且有E C=F D=2.

(I)求证：AD丄B F :

(II )若线段EC上一点M在平面BDF上的射影恰好是BF的中点N,试求二面角

B-MF-C的余弦值.

1.证明：（I）如图，连结OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为x轴，y

轴，z轴，建立空间直角坐标系O xyz

-，

则()

0,0,0,(0,8,0),(8,0,0),(0,8,0),

O A B C

-(0,0,6),(0,4,3),

P E-()

4,0,3

F，由题意得，

()

0,4,0,

G因(8,0,0),(0,4,3)

OB OE

==-

u u u r u u u r

，因此平面BOE的法向

量为(0,3,4)

n=

r

，(4,4,3

FG=--

u u u r

得0

n FG

⋅=

r u u u r

，又直线FG不在

平面BOE内，因此有//

FG平面BOE

（II）设点M的坐标为()

00

,,0

x y，则

00

(4,,3)

FM x y

=--

u u u u r

，因为

FM⊥平面BOE，所以有//

FM n

u u u u r r

，因此有

00

9

4,

4

x y

==-，即点

M的坐标为

9

4,,0

4

⎛⎫

-

⎪

⎝⎭

，在平面直角坐标系xoy中，AOB

∆的内部区域满足不等式组0

8

x

y

x y

>

⎧

⎪

<

⎨

⎪-<

⎩

，经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在ABO

∆内存在一点M，使

FM⊥平面BOE，由点M的坐标得点M到OA，OB的距离为

9

4,

4

．

x

y

z