2013届新课标高中数学(理)第一轮总复习第6章第38讲不等式关系与不等式
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综上，当a 0，b 0，且a b时，
总有aabb abba .
比较两个代数式的大小往往可以首先将两 个式子相减，再因式分解，将式子变形为几个 因式的乘积的形式，而后判断各因式的符号， 进而确定差的符号，最终达到比较大小的目 的．当然，当比较大小的两个式子是幂的形式 时，也可以将两个代数式作商，但要注意两代 数 式a 是 同 时 为 正 还 是 同 时 为a负 ， 然 后 利 用 “ b >1，a，b>0 a>b”或“ b >1，a，b<0 a<b”来解决 .
【变式练习1】
a ln 2，b ln 3，c ln 5，
2
3
5
则a，b，c大小顺序是 _c____a___b__
【解析】(作商比较法)
b 2 ln 3 ln 9 a 3ln 2 ln 8 log8 9 1, 又a 0，所以b a.
a 5ln 2 ln 32 c 2 ln 5 ln 25 log25 32 1, 而c 0，所以a c， 从而b a c.
aabb与abba的大小．
【解析】1 (x2＋y2 )(x－y)－(x2－y2 )(x＋y)
＝(x－y)[(x2＋y2 )－(x＋y)2 ] ＝－2xy(x－y)． 因为x y 0，所以xy 0，x－y 0， 所以－2xy(x－y) 0. 所以(x2＋y2 )(x－y) (x2－y2 )(x＋y)．
33
3
所以 25 f 2 34 .故f 2的取值范围是[ 25 34 ]
3
3
33
本题是用同向不等式相加性求取值范围问 题．一不小心就会产生如下错误：由
1 3
4a 2b ab
4
2 ,
得
7 6
a
10，10 66
b
15，再代入 6
f 2＝4a＋2b，求得8 f 2 35.错误的原因是没
4.若 ，则a b的取值范围是 (，0) .
2
2
解析：因为 ，
2
2
所以 ， .
2
22
2
又 ，所以 0.
5.若p x2 y2 2，q 2x 4y x2 y2 4，
2
aabb abba
＝a
a－bbb－a＝(
a b
)a－b
.
①当a b 0时，a 1，a－b 0， b
则( a )a－b 1，于是aabb abba . b
②当b a 0时，0 a 1，ab 0 b
则( a )a-b 1，aabb abba . b
求取值范围
【例2】 设二次函数y＝f(x)的图象过原点， 且 1≤f( － 2)≤2,3≤f(1)≤4 ， 求 f(2) 的 取 值范围．
【 解 析 】 依 题 意 ， 设 f(x) ＝ ax2 ＋ bx(a≠0)， 则f(－2)＝4a－2b，f(1)＝a＋b，f(2) ＝4a＋2b. 设f(2)＝Af(－2)＋Bf(1)＝(4A＋B)a ＋(B－2A)b，
1.现给出三个不等式：①a2 1 2a；②a2 b2
2(a b 3)；③ 7 10 3 14.其中恒 2
成立的不等式共有 2 个．
解析：因为a2 2a 1 a 12 0，所以①不恒 成立；对于②，a2 b2 2a 2b 3 a 12 b 12 1 0，所以②恒成立；
3
有考虑到4a－2b与a＋b中的a，b不是独立的，而是
相互制约的，以上解法无形中将所求变量的范围
改变了．正确的思路应该是：将f 2用4a－2b和a
＋b来表示，再两边分别乘以相应的系数即可．
【变式练习2】
(2011 苏锡常镇一模卷)设等差数列an 的前n项、
和为Sn，若1 a5 4, 2 a6 3，则S6的取值范围
则p与q的大小关系为 p q .
解析：p 2，q x 12 y 22 1 1，
故p q.
比较大小
【例1】
1若x y 0，试比较(x2＋y2 )(x－y)
与(x2－y2 )(x＋y)的大小；
2设a 0，b 0，且a b，试比较
是 12, 42 .
解析：பைடு நூலகம்S6 6a1 15d ma5 na6 m n a1 4m 5n d，
分类讨论
【例3】
已知m R，a b 1，f x＝ mx ，
x 1
试比较f a与f b的大小．
【解析】因为f x＝ mx ＝m( x 1 1)＝m(1＋ 1 )，
则 4BA2 BA
4 2
,即
A
B
1 3 8 3
所以f (2) 1 f (2) 8 f (1).
3
3
因为1 f (－2) 2，所以1 1 f (－2) 2 .
33
3
又3 f 1 4，所以 24 8 f 1 32 .
对于③，因为( 7 10)2 ( 3 14)2 2 70 2 52 0，且 7 10 0，3 14 0， 所以 7 10 3 14，即③恒成立．
2.对于实数a，b，c，有下列命题：①若ac2 bc2， 则a b；②若a b，则ac2 bc2；③若a b 0， 则a2 ab b2；④若a b，c d，则a c b d.
其中正确的命题共有 3 个．
解析：当c 0时，②不正确，其余都正确．
3.已知a
1，则与1 a的大小关系是
1 1 a
1 a
解析：因为a 1，所以a 1 0.
又因为 1 1 a 1 1 a2 a2 0，
1 a
1 a 1 a
所以 1 1 a. 1 a
总有aabb abba .
比较两个代数式的大小往往可以首先将两 个式子相减，再因式分解，将式子变形为几个 因式的乘积的形式，而后判断各因式的符号， 进而确定差的符号，最终达到比较大小的目 的．当然，当比较大小的两个式子是幂的形式 时，也可以将两个代数式作商，但要注意两代 数 式a 是 同 时 为 正 还 是 同 时 为a负 ， 然 后 利 用 “ b >1，a，b>0 a>b”或“ b >1，a，b<0 a<b”来解决 .
【变式练习1】
a ln 2，b ln 3，c ln 5，
2
3
5
则a，b，c大小顺序是 _c____a___b__
【解析】(作商比较法)
b 2 ln 3 ln 9 a 3ln 2 ln 8 log8 9 1, 又a 0，所以b a.
a 5ln 2 ln 32 c 2 ln 5 ln 25 log25 32 1, 而c 0，所以a c， 从而b a c.
aabb与abba的大小．
【解析】1 (x2＋y2 )(x－y)－(x2－y2 )(x＋y)
＝(x－y)[(x2＋y2 )－(x＋y)2 ] ＝－2xy(x－y)． 因为x y 0，所以xy 0，x－y 0， 所以－2xy(x－y) 0. 所以(x2＋y2 )(x－y) (x2－y2 )(x＋y)．
33
3
所以 25 f 2 34 .故f 2的取值范围是[ 25 34 ]
3
3
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本题是用同向不等式相加性求取值范围问 题．一不小心就会产生如下错误：由
1 3
4a 2b ab
4
2 ,
得
7 6
a
10，10 66
b
15，再代入 6
f 2＝4a＋2b，求得8 f 2 35.错误的原因是没
4.若 ，则a b的取值范围是 (，0) .
2
2
解析：因为 ，
2
2
所以 ， .
2
22
2
又 ，所以 0.
5.若p x2 y2 2，q 2x 4y x2 y2 4，
2
aabb abba
＝a
a－bbb－a＝(
a b
)a－b
.
①当a b 0时，a 1，a－b 0， b
则( a )a－b 1，于是aabb abba . b
②当b a 0时，0 a 1，ab 0 b
则( a )a-b 1，aabb abba . b
求取值范围
【例2】 设二次函数y＝f(x)的图象过原点， 且 1≤f( － 2)≤2,3≤f(1)≤4 ， 求 f(2) 的 取 值范围．
【 解 析 】 依 题 意 ， 设 f(x) ＝ ax2 ＋ bx(a≠0)， 则f(－2)＝4a－2b，f(1)＝a＋b，f(2) ＝4a＋2b. 设f(2)＝Af(－2)＋Bf(1)＝(4A＋B)a ＋(B－2A)b，
1.现给出三个不等式：①a2 1 2a；②a2 b2
2(a b 3)；③ 7 10 3 14.其中恒 2
成立的不等式共有 2 个．
解析：因为a2 2a 1 a 12 0，所以①不恒 成立；对于②，a2 b2 2a 2b 3 a 12 b 12 1 0，所以②恒成立；
3
有考虑到4a－2b与a＋b中的a，b不是独立的，而是
相互制约的，以上解法无形中将所求变量的范围
改变了．正确的思路应该是：将f 2用4a－2b和a
＋b来表示，再两边分别乘以相应的系数即可．
【变式练习2】
(2011 苏锡常镇一模卷)设等差数列an 的前n项、
和为Sn，若1 a5 4, 2 a6 3，则S6的取值范围
则p与q的大小关系为 p q .
解析：p 2，q x 12 y 22 1 1，
故p q.
比较大小
【例1】
1若x y 0，试比较(x2＋y2 )(x－y)
与(x2－y2 )(x＋y)的大小；
2设a 0，b 0，且a b，试比较
是 12, 42 .
解析：பைடு நூலகம்S6 6a1 15d ma5 na6 m n a1 4m 5n d，
分类讨论
【例3】
已知m R，a b 1，f x＝ mx ，
x 1
试比较f a与f b的大小．
【解析】因为f x＝ mx ＝m( x 1 1)＝m(1＋ 1 )，
则 4BA2 BA
4 2
,即
A
B
1 3 8 3
所以f (2) 1 f (2) 8 f (1).
3
3
因为1 f (－2) 2，所以1 1 f (－2) 2 .
33
3
又3 f 1 4，所以 24 8 f 1 32 .
对于③，因为( 7 10)2 ( 3 14)2 2 70 2 52 0，且 7 10 0，3 14 0， 所以 7 10 3 14，即③恒成立．
2.对于实数a，b，c，有下列命题：①若ac2 bc2， 则a b；②若a b，则ac2 bc2；③若a b 0， 则a2 ab b2；④若a b，c d，则a c b d.
其中正确的命题共有 3 个．
解析：当c 0时，②不正确，其余都正确．
3.已知a
1，则与1 a的大小关系是
1 1 a
1 a
解析：因为a 1，所以a 1 0.
又因为 1 1 a 1 1 a2 a2 0，
1 a
1 a 1 a
所以 1 1 a. 1 a