转动定律的推导

转动定律的推导 设刚体转动如图

作用在刚体上的外力为F ，取刚体上任一质量为m i 的小块。把作用在该物块上的外力分解为两个方向上的力：径向力和切向力。

由于是刚体，物体不会发生形变，所以在径向不会产生运动。忽略径向力的作用

对小物块运用牛顿第二定律有：ϕθsin cos i i i i it F F a m F ===

角标t 的含义为指明是作用中的切向力分量，

等号两边同乘r i ,有sin i i i it i Fr m a r ϕ=

将公式中的线量表达改写成角量，2sin i i i it i i i i i i Fr m a r m rr m r ϕββ===

其中sin i i Fr ϕ与力矩的定义吻合，所以公式可以改写为2i i i M m r β=

这是对刚体中的一个小质元的公式，考虑整个刚体，对上式两边求和有

2i i i

i i M m r β→∞→∞=∑∑ 公式左边为合外力矩。

令2i i mr J =∑，考虑到β与位置无关，上式改写为

M J β= ---1，

写为矢量形式 M J β= ---2

公式1，2即为刚体的转动定律，它是牛二定律在刚体转动问题上的变形。

∑∑∑∑===222222

12121r m r m m E i i i ik ωωv 22

1ωJ E k =