转动定律的推导
05--2、转动定律、转动能量
T=T’ …(5)
v v v aτ = β ×r
β+ r T m2 T’
T
m1
N r
T’
m1g - T= m1a….(1) T’r=Jβ…(2) β
1 2 J = mr …(3) 2
a+
m1g
m2g
a = rβ…(4) β
Jβ β T=T’= r 代入(1)式 代入 式: Jβ β m1g = m1a r Jβ β m1g = m1rβ β r m1gr β = 所以: 所以 m1r2+J 由(2)式: 式
v F // v r
v F v ⊥ F
转动定律说明了J 3）转动定律说明了J是物体转动惯性大小的量 因为： 度。因为： M一 时 ↑Lβ ↓ J ↓Lβ ↑ 定 J 越大的物体， 即J越大的物体，保持原来转动状态的性质就 越大的物体 越强，转动惯性就越大；反之， 越小 越小， 越强，转动惯性就越大；反之，J越小，越容 易改变状态，保持原有状态的能力越弱。 易改变状态，保持原有状态的能力越弱。或 者说转动惯性越小。 者说转动惯性越小。
基本步骤 （1）隔离法选择研究对象； ）隔离法选择研究对象； （2）受力分析和运动情况分析； ）受力分析和运动情况分析； （3）对质点用牛顿定理，对刚体用转动定理； ）对质点用牛顿定理，对刚体用转动定理； （4）建立角量与线量的关系，求解方程； ）建立角量与线量的关系，求解方程； （5）结果分析及讨论。 ）结果分析及讨论。
r
r
T ' m3g T ' 1 v 2 a1 m
1
v mg 1
m2
m L 2g.T ' m 2 2 m L 3g.N THale Waihona Puke .T2 m 1 3v a2
转动定律精品文档
科学研究方法：转动定律的发现和研究过程中所采用的科学方法，如实验观测、数学建模和逻 辑推理等，为科学研究提供了重要的方法和思路。
科学发展进程：转动定律的发展历程展示了科学知识的不断积累和进步，推动了人类对自然界 的认识和理解。
土木工程：在桥梁和建筑设计 中，转动定律用于分析结构的
稳定性和安全性。
自行车轮转动：通过脚踏产生动 力，使自行车前进
风扇工作原理：通过电机转动， 使扇叶产生风流，实现降温效果
汽车方向盘：驾驶员转动方向盘， 使车辆转向或掉头
洗衣机工作原理：电机转动，带 动内桶旋转，实现洗涤功能
物理学中的基 本定律之一， 用于描述旋转 运动的规律。
适度。
航空航天：在航空航天 领域，转动定律的应用 将有助于实现更加稳定 和精确的飞行姿态控制。
体育运动：在体育装备和 训练中，转动定律的应用 将有助于提高运动员的转 动速度和灵活性，从而提
高是物理学中的基本定律之一， 深入理解其原理和应用有助于推
动物理学领域的进步。
汇报人：XX
转动定律：描述刚体绕固 定点转动的运动规律
刚体：转动过程中形状和 大小保持不变的物体
固定点：刚体上的一点， 绕其转动
运动规律：转动速度和转 动角加速度之间的关系
转动定律的定义：描述 转动物体运动状态的物
理定律
转动定律的表述方式： 力矩等于转动惯量乘以
角加速度
转动定律的物理意义： 揭示了转动物体运动
探索更高温度下的转动定律特性
研究转动定律与量子力学之间的 联系
探索转动定律在新型材料中的应 用
(完整版)刚体转动守恒定律
速度0＝0，下摆到竖直位置时的角速度为 ，按 力矩的功和转动动能增量的关系式得
定轴转动的动能定理
mg l 1 J 2
22
由此得 mgl
J
因 J 1 ml 2 代入上式得 3g
3
J
所以细棒在竖直位置时，端点A和中心点C的速度
分别为
vA l 3gl
vC
l
2
1 2
3gl
刚体的平面平行运动
c.若系统内既有平动也有转动现象 发生，若对某一定轴的合外力矩为 零,则系统对该轴的角动量守恒。
定轴转动刚体的角动量守恒定律
直线运动与定轴转动规律对照
质点的直线运动
v dx dt
dv d2 x a dt dt2
P mv F
EK
1 mv2 2
m
dA Fdx Fdt
刚体的定轴转动
d
dt
d
dt
Mz
dLz dt
t2 Mdt t1
L2 L1
dL
L2
L1
角动量定理的微分形式：
t2 t1
M
d
t
J
J0
t2 M d t为t t2 t1时间内力矩M 对给定轴的冲量矩
t1
。
2. 定轴转动刚体的角动量守恒定律
角动量守恒定律：若一个系统一段时间内
所受合外力矩M 恒为零，则此系统的总角 动量L 为一恒量。
解 先对细棒OA所受的力
作一分析；重力G 作用在 O
棒的中心点C，方向竖直向
下；轴和棒之间没有摩擦
力，轴对棒作用的支承力N
垂直于棒和轴的接触面且
通过O点，在棒的下摆过
G
程中，此力的方向和大小
简述刚体转动定律
刚体转动定律引言刚体转动定律是描述刚体绕固定轴进行旋转时运动规律的物理定律。
在刚体力学中，刚体是指其内部各点的相对位置保持不变的物体。
刚体转动定律主要包括角动量守恒、角加速度与力矩之间的关系以及转动惯量等内容。
本文将从这些方面对刚体转动定律进行详细介绍。
角动量守恒角动量是描述旋转物体运动状态的重要物理量，定义为质点或刚体绕某一轴线旋转时，其线性动量相对于该轴线的偏离程度。
在没有外力作用下，系统的角动量守恒。
角动量L可以表示为L = Iω，其中I是物体的转动惯量，ω是物体的角速度。
根据角速度ω = Δθ/Δt可以得到L = IΔθ/Δt。
当一个刚体受到外力矩作用时，根据牛顿第二定律可以得到F = ma，同样地，在角度上也有τ = Iα。
其中τ表示力矩，I表示物体的转动惯量，α表示物体的角加速度。
当刚体绕固定轴转动时，如果外力矩为零，则根据牛顿第二定律可以得到τ = 0，进而推导出Iα = 0。
由此可见，在没有外力矩作用下，刚体的角加速度为零，即角动量守恒。
转动惯量转动惯量是描述物体对于旋转运动的惯性大小的物理量。
对于一个质点来说，其转动惯量可以表示为I = mr²，其中m是质点的质量，r是质点到轴线的距离。
对于一个复杂形状的刚体来说，其转动惯量则需要通过积分计算得到。
对于连续分布的物体来说，其转动惯量可以表示为I = ∫r²dm。
不同形状和布局的刚体具有不同的转动惯量。
例如，对于一个围绕自身中心垂直旋转的圆盘来说，其转动惯量可以表示为I = ½MR²，其中M是圆盘的质量，R是圆盘半径。
角加速度与力矩之间的关系当刚体受到外力矩作用时，根据牛顿第二定律可以得到τ = Iα。
这个关系描述了力矩和角加速度之间的关系。
对于一个质点来说，其角加速度可以表示为α = τ/I，其中τ是作用在质点上的力矩，I是质点的转动惯量。
对于一个复杂形状的刚体来说，其转动惯量不仅与质量有关，还与物体的形状和布局有关。
《大学物理》3.2转动定理
一、力矩
F
力的作用线通过转轴或是 平行于转轴，无法使物体 转动。 力的大小、方向和力的作 用点相对于转轴位置，是 决定转动效果的几个重要 因素。
F
F
1.定义：
力的大小与力臂乘积为力对转轴的力矩。用M表示
z
M
M F d Fr sin
F r P
M
z
F
1 2
1 其中滑轮转动惯量 J MR 2
2
a R
m m g a
2 1 1 2
m2 m1 g
M m1 m2 R 2
2 1
M m m 2
1 2
M m 2m g 2 T M m m 2
1 1 2
M m 2m g 2 T M m m 2
四、转动定理应用举例
例3-4如图所示，一不能伸长的轻绳跨过一轴承光滑的定 滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两端分别悬有质量为m1和m2 的物体，且m1<m2,设滑轮的质量为M，半径为R，绳与 轮之间无相对滑动，求物体的加速度和绳中张力。
解：将三个物体隔离出来受力分析
其中 T 和 T 大小不能假定相等，但
m r 刚体内各质点相对于转轴的分布决定
M J
—— 绕定轴转动的刚体，其角加速度与它所 受合外力矩成正比，与刚体转动惯量成反比。 这一结论就是刚体定轴转动定理。
三、转动惯量
刚体的转动惯量等于刚体内各质点的质量与 其到转轴距离平方的乘积之和。
J m r J r dm
2
2
ij
j
F r f r m r
2 it i it i i i
力矩 刚体定轴转动的转动定律
dJ R dm
2
第3章 刚体力学基础
3–2 力矩 刚体定轴转动的转动定律
12
考虑到所有质元到转轴的距离均为R，所以细圆环对 中心轴的转动惯量为
J dJ R dm R
2 m
2
m
dm mR
2
(2)求质量为m，半径为R的圆盘对中心轴的转动惯量
m 如图 dS 2 rdr , , dm dS 2 rdr 2 R
l 2
o
P
d d d d dt d dt d
代入初始条件积分 得
第3章 刚体力学基础
3g d sin d 2l 3g (1 cos ) l
1 2 J x dx ml 0 3
l 2
由此看出，同一均匀细棒，转轴位置不同，转动惯 量不同.
第3章 刚体力学基础
3–2 力矩 刚体定轴转动的转动定律
11
例3.2 设质量为m，半径为R的细圆环和均匀圆盘分 别绕通过各自中心并与圆面垂直的轴转动，求圆环和 圆盘的转动惯量. 解 (1) 在环上任 取一质元，其质量 为dm，距离为R， 则该质元对转轴的 转动惯量为
解 (1)转轴通过棒的中心并与棒垂直
m l
dm dx
dJ x 2dm x 2dx
第3章 刚体力学基础
3–2 力矩 刚体定轴转动的转动定律
10
整个棒对中心轴的转动惯量为
J dJ
l 2 l 2
1 x dx ml 2 12
2
(2)转轴通过棒一端并与棒垂直时，整个棒对该轴的 转动惯量为
解 (1) M k 2 ，故由转动定律有
k k J 即 J 2 1 k0 0 3 9J
1刚体定轴转动定律
J z = ∫ r dm
2
z
o
y
r
dm
y
= ∫ ( x + y )dm
2 2
x
2
= ∫ y dm + ∫ x dm = Jx + J y
2
x
的圆盘， 例6、半径为 R 质量为 M 的圆盘，求绕直径轴 、 转动的转动惯量J 转动的转动惯量 y。 解：圆盘绕垂直于盘面的质心 z 轴转动的转 动惯量为： 动惯量为：
ω
r r
r
r v
∆ω d ω α = lim = ∆t → 0 ∆ t dt
r ω
刚体上任一质元的切向加速度和法向加速度表示为： 刚体上任一质元的切向加速度和法向加速度表示为： v2 dv dω = rω 2 at = =r = rα , a n = r dt dt
角加速度是矢量， 角加速度是矢量，但对于 刚体定轴转动角加速度的方 向只有两个， 向只有两个，在表示角加速 度时只用角加速度的正负数 值就可表示角加速度的方向， 值就可表示角加速度的方向， 不必用矢量表示。 不必用矢量表示。 说明： 角坐标、角位移、 说明： 角坐标、角位移、 角速度和角加速度等角量 是用来描述定轴转动刚体 的整体运动，也可用来描 的整体运动， 述质点的曲线运动； 述质点的曲线运动；
M dm = 2π rdr 2 πR
M dr r R
J = ∫ r dm
2
=∫
R
0
M r 2π rdr 2 πR
2
1 2 = MR 2
二、平行轴定理
定理表述： 定理表述：刚体绕平行于质心轴的转动惯量 J， ， 等于绕质心轴的转动惯量 JC 加上刚体质量与 两轴间的距离平方的乘积： 两轴间的距离平方的乘积： J = J C + md 2
刚体定轴转动的转动定律
R
M
h
Hale Waihona Puke 解法一 用牛顿第二运动 定律及转动定律求解.分 析受力如图所示. 对物体m用牛顿第二 运动定律得 mg T ma 对匀质圆盘形滑轮用 转动定律有 TR J 物体下降的加速度的 大小就是转动时滑轮边缘 上切向加速度，所以
o R M
T
h
a
G
a R 物体m 落下h 高度时的速率为
2
3.试求质量为m 、半径为R 的匀质圆环 对垂直于平面且过中心轴的转动惯量. 解 作示意图如右,由于质 量连续分布，所以由转动 惯量的定义得
J R 2dm
m
dm
o
R
2R 0
m R dl 2R
2
mR 2
4.试求质量为m 、半径为R 的匀质圆盘 对垂直于平面且过中心轴的转动惯量. dr 解 如图所示, 由于质 量连续分布，设圆盘的 R l o r 厚度为l，则圆盘的质量 密度为 m 2 R l
r近日 r远日
v近日
解 彗星受太阳引力的作用，而引力通过了 太阳，所以对太阳的力矩为零，故彗星在运 行的过程中角动量守恒. 于是有 r近日 v近日 r远日 v远日 因为 r近日 v近日 ，r远日 v远日
r近日v近日 所以 r远日 v远日
代入数据可, 得
J r 2dm
m
R 0
1 1 4 r 2r ldr R l mR 2 2 2
2
5. 如图所示，一质 量为M 、半径为R 的匀 质圆盘形滑轮，可绕一 无摩擦的水平轴转动. 圆盘上绕有质量可不计 绳子，绳子一端固定在 滑轮上，另一端悬挂一 质量为m 的物体，问物 体由静止落下h 高度时, 物体的速率为多少？
简述刚体的定轴转动定律
刚体的定轴转动定律1. 引言刚体是物理学中的重要概念，它是由无穷多个质点组成的一个物体，质点间的距离在运动过程中保持不变。
刚体的运动可以分为平动（刚体作为一个整体的直线运动）和转动两种。
本文将着重讨论刚体的转动运动，特别是定轴转动定律。
2. 定轴转动定轴转动是指刚体绕固定轴线进行转动的现象。
例如，摆锤在一根细线上摆动、地球自转等都是定轴转动的例子。
在定轴转动中，我们需要了解刚体受力及其运动规律。
3. 转动定律的基本概念在讨论转动定律之前，我们先来了解一些基本概念：•角度：表示物体转动的程度，常用弧度制表示，符号为θ。
•角速度：表示物体单位时间内转过的角度，常用弧度/秒表示，符号为ω。
•角加速度：表示物体单位时间内角速度的变化率，常用弧度/秒^2表示，符号为α。
•转动惯量：表示刚体对转动的惯性大小，常用字母I表示。
4. 转动定律的表述转动定律是描述刚体转动运动情况的基本定律，其中最著名的有三个定律，即牛顿定律。
它们分别是：第一定律：角动量守恒定律“在没有外力作用下，刚体的角动量保持不变。
”所谓角动量守恒，就是指一个刚体在没有外力作用下的转动过程中，其角动量保持不变。
即刚体绕某一轴线转动时，如果没有外力矩作用，那么刚体的角动量始终保持恒定。
第二定律：动能定理“刚体的角动能变化等于外力矩做功的大小。
”对于旋转的刚体来说，其具有转动惯量以及角速度，因此可以存在角动能。
根据动能定理，一个刚体的角动能的变化等于作用在刚体上的外力矩所做的功。
第三定律：力矩定律（欧拉定律）“刚体转动的加速度与合外力矩成正比，与刚体转动惯量成反比。
”欧拉定律指出了刚体转动的加速度与作用力矩的关系，其数学表达式为：τ = I * α其中，τ表示作用在刚体上的合力矩，I表示刚体的转动惯量，α表示刚体的角加速度。
5. 转动定律的应用转动定律在物理学中有广泛的应用，以下是几个常见的应用场景：•摆锤运动：根据转动定律，可以推导出摆锤的周期与摆长、重力加速度的关系。
转动定律(二)
a r
从以上各式即可解得
定轴转动定律
a
m2 m1 g M r / r m2 m1 g M / r
J m2 m1 2 r
1 m2 m1 m 2 而 1 m1 2m2 m g M / r 2 g a T1 m1 1 m2 m1 m 2 1 m2 2m1 m g＋M / r 2 g－a T2 m1 1 m2 m1 m 2
定轴转动定律
a m2 m1 g M / r r m m 1 m r 2 1 2
当不计滑轮质量及摩擦阻力矩即令m=0、M=0时，有
2m1m2 T1 T2 g m2 m1
m2 m1 a g m2 m1
上题中的装置叫阿特伍德机，是一种可用来测 量重力加速度g的简单装置。因为在已知m1、 m2 、 r和J的情况下，能通过实验测出物体1和2的加速度a， 再通过加速度把g算出来。在实验中可使两物体的m1 和m2 相近，从而使它们的加速度a和速度v都较小， 这样就能较精确地测出a来。
Lz Li cos mi Ri vi cos mi ri vi mi ri
2
刚体的角动量
式中
mi ri 2 叫做刚体对 Oz 轴的转动惯
量，用J表示。 刚体转动惯量：
J mi ri
刚体绕定轴的角动量表达式：
2
Lz J
定轴转动定律
2 i 1 i 1
N
N
N
根据内力性质(每一对内力等值、反向、共 线,对同一轴力矩之代数和为零)，得：
转动定律的推导
转动定律的推导 设刚体转动如图
作用在刚体上的外力为F ，取刚体上任一质量为m i 的小块。
把作用在该物块上的外力分解为两个方向上的力：径向力和切向力。
由于是刚体，物体不会发生形变，所以在径向不会产生运动。
忽略径向力的作用
对小物块运用牛顿第二定律有：ϕθsin cos i i i i it F F a m F ===
角标t 的含义为指明是作用中的切向力分量，
等号两边同乘r i ,有sin i i i it i Fr m a r ϕ=
将公式中的线量表达改写成角量，2sin i i i it i i i i i i Fr m a r m rr m r ϕββ===
其中sin i i Fr ϕ与力矩的定义吻合，所以公式可以改写为2i i i M m r β=
这是对刚体中的一个小质元的公式，考虑整个刚体，对上式两边求和有
2i i i
i i M m r β→∞→∞=∑∑ 公式左边为合外力矩。
令2i i mr J =∑，考虑到β与位置无关，上式改写为
M J β= ---1，
写为矢量形式 M J β= ---2
公式1，2即为刚体的转动定律，它是牛二定律在刚体转动问题上的变形。
∑∑∑∑===222222
12121r m r m m E i i i ik ωωv 22
1ωJ E k =。
3-2 刚体的定轴转动定理
一个质量为M、半径为R的定滑轮 例１、一个质量为 、半径为 的定滑轮 （当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一 当作均匀圆盘）上面绕有细绳， 端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为m的 定轴O 端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为 的 定轴 物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体m由静 物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体 由静 止下落高度h时的速度和此时滑轮的角速度 时的速度和此时滑轮的角速度。 止下落高度 时的速度和此时滑轮的角速度。 · m t R 绳 v0=0 h
R
角加速度为常量，且与 的方向相反， 角加速度为常量，且与ω0的方向相反，表明圆盘作匀减速转动
ω = ω 0 + αt
当圆盘停止转动时， 当圆盘停止转动时，ω=0，则得 ，
t=
− ω0
α
3 Rω 0 = 4 µg
二、刚体定轴转动的转动定律的应用 题目类型 1.已知转动惯量和力矩，求角加速度； 已知转动惯量和力矩， 已知转动惯量和力矩 求角加速度； 2.已知转动惯量和角加速度，求力矩； 已知转动惯量和角加速度， 已知转动惯量和角加速度 求力矩； 3.已知力矩和角加速度，求转动惯量。 已知力矩和角加速度， 已知力矩和角加速度 求转动惯量。 解题步骤 1.确定研究对象； 确定研究对象； 确定研究对象 2.受力分析； 受力分析； 受力分析 3.选择参考系与坐标系； 选择参考系与坐标系； 选择参考系与坐标系 4.列运动方程； 列运动方程； 列运动方程 5.解方程； 解方程； 解方程 6.必要时进行讨论。 必要时进行讨论。 必要时进行讨论
转动定律
N r
(1) (2) (3) (4) (5)
m1 g
m2g
T'
由(2)、（5）式:
T T J / r
(4)
代入(1)式:
m1 g J / r m1a m1r
2013-3-7
m1 gr m1 gr 2m1 g 2 m1r J m r 2 1 m r 2 (2m1 m2 )r 1 2 2
例3 如图：一定滑轮两端分别悬挂质量都是 m的物块A和B，图中R和r，已知滑轮的转动 惯量为J，求A、B两物体的加速度及滑轮的 角加速度。
解：建立转动轴的正方 向—垂直于纸面向内为正。 隔离物体分析力：
T1
r
R
T2
a1 T1
A
T2
B
mg
2013-3-7
a2 mg
15
由
mg T2 ma2 T mg ma 1 1 T2 R T1r J a r 1 a2 R
m
2013-3-7
3
解 ：设圆盘面密度为 ，在盘 上取半径为 r ，宽为 dr 的圆 环。
例 2 一质量为 m 、半径为 R的均匀圆盘，求通过盘 中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量 。
圆环质量： dm 2 rdr
圆环对轴的转动惯量：
2 3
RR
O
r dr
m dJ r dm 2 r dr 而 2 πR R 1 3 4 2 J 2 π r dr π R mR 0 2 2
2013-3-7 18
解：细杆受重力和 铰链对细杆的约束力 FN 作用，由转动定律得
m,l F N θ
(完整版)转动定律讲解
方向: r F 的方向 单位: N m
对于定轴转动；
z
M
r
Od
F
P*
规定转动正方向,力矩使刚体绕
正方向转动, M 取正,反之取负。
第四章 刚体的定轴转动
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
大学物理学
讨论 1）与转轴平行的力对转轴不产生力矩;
2）与转 轴垂直但通过转轴的力对转轴不产生力矩； 3）若力 F 不在转动平面内，把力分解为平行和垂
直于转轴方 向的两个分 量 F Fz F
其中 Fz 对转轴的力
矩为零，故 F 对转轴的
力矩
M r F
M z rF sin
4）合 力矩 等于各分力矩的矢量和
M M1 M2 M3
第四章 刚体的定轴转动
z
k
Fz
F
O r
F
定轴转动：（规定转动 正方向）
M Mi
i
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
力矩可以反映力的作用点的位置对物体运动的影响.
第四章 刚体的定轴转动
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
大学物理学
一 力矩
刚体绕 O z 轴旋 转 , 力 F 作用在刚体上点 P ,
r 且在转动平面内, 为由点O 到力的作用点 P 的径
矢 .
F 对转轴 Z 的力矩 M rF
M
力矩是矢量
大小: M Frsin Fd
M i Fitri (mi )atri
at ri
Mi (mi )ri2
z
Fit
O
ri
mi
M Mi (mi )ri2 (mi )ri2
➢ 转动惯量
几种常见刚体转动惯量公式推导
几种常见刚体转动惯量公式推导刚体是一个物体在没有外力作用下不发生形变的状态。
它的转动惯量是描述物体在转动过程中受到惯性力的难易程度的物理量。
在很多物理问题中，都需要根据具体的几何形状和质量分布计算刚体的转动惯量。
以下是几种常见的刚体转动惯量公式推导。
1.点质量的转动惯量一个质量为m的点，固定在轴上转动。
它的转动惯量可以用公式I=mr²来计算。
其中，r是点到轴的距离。
推导：在转动过程中，点质量只有一个轴向的距离变化，因此它的转动惯量可以表示为I=m(Δr)²。
又根据转动定律，I=FΔt，其中F 是惯性力，Δt是时间。
对于点质量，惯性力和轴向距离的乘积恒为mr，因此I=mr²。
2.杆的转动惯量一个质量为m、长度为L的均匀杆，绕过它的重心垂直于杆的轴旋转。
它的转动惯量可以用公式I=1/12mL²来计算。
推导：对于均匀杆，在其自身的中心点处，质心和转轴重合。
因此我们可以将杆的质量分成若干个小块，对每个小块计算旋转惯量再相加。
设小块的质量为dm，位置为x，则小块的旋转惯量为dI=xdm，总的旋转惯量为I=∫xdm。
对于均匀杆，在L/2左右有一个质心，所以我们可以将积分限定在-L/2到L/2之间。
因为每段长度为dx的小块质量都相等，所以可以将积分转化为∫xdx。
得到I=1/12mL²。
3.球的转动惯量一个半径为r、质量为m的球绕通过球心的轴旋转。
它的转动惯量可以用公式I=2/5mr²来计算。
推导：在球内部的所有点，它们与轴的距离是相等的。
我们可以将球的质量分成若干个小块，对每个小块计算旋转惯量再相加。
设小块的质量为dm，距离轴的距离为r，则小块的旋转惯量为dI=r²dm，总的旋转惯量为I=∫r²dm。
在球体内，每个小块的质量都相同，所以可以将积分转换为∫r²dV，其中V是球的体积。
将球的质量和体积表示成m和(4/3)πr³，得到I=2/5mr²。
刚体定轴转动定律
F ma
(2) 列方程: 对于刚体：定轴转动定律 M J
线量与角量的关系：at R
(3) 解方程.
例题. 一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮，滑轮可视为
圆 盘 ， 绳 的 两 端 分 别 悬 有 质 量 为 m1 和 m2 的 物 块 ， 且 m1<m2. 设滑轮的质量为M，半径为R，绳与轮之间无 相对滑动，求物块的加速度和绳中张力.
本次课所讲知识点是刚体力学这部分内容的重点， 希望大家课后好好复习，多多练习，熟练掌握。
切向分量式： Fit fit miait
ait ri Fit fit miri
ri
作圆周运动. z
o
f Fit
i fit
ri mi
Fir
Fi
上式两端同乘以ri再对所有质点求和：
Fit ri fit ri miri2
i
i
i
合外力矩M 内力矩之和 =0 转动惯量J
M J
刚体所受的对某一固定转轴的合外力矩等于刚体 对此转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用下所 获得的角加速度的乘积.
二、 刚体定轴转动定律与牛顿第二定律的比较
定律方程
牛顿第二定律 F ma
促使运动状态发 生变化的因素
合外力：F
阻碍运动状态发 生变化的因素
产生的物理量
质量：m
加速度：a
刚体定轴转动定律
M J
合外力矩：M
ห้องสมุดไป่ตู้转动惯量：J
角加速度：
三、 刚体定轴转动定律的应用
解题思路:
(1) 受力分析;
对于质点：牛顿第二定律
刚体定轴转动定律
一、 刚体定轴转动定律的证明
刚体可看成是由n个质点组成的连续质点系.
转动定律与角动量守恒
转动定律与角动量守恒转动定律和角动量守恒是力学中重要的概念，用于描述物体在转动过程中的行为和性质。
转动定律主要由牛顿第二定律推导而来，而角动量守恒是由系统中的角动量守恒定律得出的。
本文将详细讨论转动定律和角动量守恒的原理和应用。
一、转动定律在力学中，转动定律描述了物体在转动过程中所受到的力矩与加速度之间的关系。
根据牛顿第二定律（力矩等于质量乘以加速度），我们可以得到以下转动定律的表达式：1. 转动惯量转动惯量是描述物体对转动的惯性大小的物理量，用字母I表示。
对于不同形状和质量分布的物体，其转动惯量的计算方法也不相同。
比如，对于质量均匀分布的细长杆，其转动惯量可以通过公式I=1/12×m×L²来计算，其中m是杆的质量，L是杆的长度。
2. 角加速度和力矩的关系在转动定律中，角加速度和力矩之间存在着简单的线性关系。
根据转动定律的表达式，力矩等于转动惯量乘以角加速度，可以表示为τ=I×α，其中τ表示力矩，α表示角加速度。
3. 角动量和力矩的关系角动量描述了物体在转动过程中的旋转状态，其大小与转动惯量和角速度的乘积成正比。
根据转动定律的表达式，角动量等于转动惯量乘以角速度，可以表示为L=I×ω，其中L表示角动量，ω表示角速度。
二、角动量守恒角动量守恒是描述系统中角动量不变的物理原理，适用于没有外力和力矩作用的封闭系统。
当系统中没有外力和力矩作用时，系统的总角动量保持不变。
1. 系统的总角动量系统的总角动量是指系统中所有物体角动量的矢量和。
当系统中有多个物体时，每个物体的角动量可以用L=I×ω的表达式计算，然后将所有物体的角动量矢量相加，得到系统的总角动量。
2. 角动量守恒当系统中没有外力和力矩作用时，系统的总角动量保持不变。
这意味着，系统中每个物体的角动量之和在转动过程中不会发生改变。
三、转动定律与角动量守恒的应用转动定律和角动量守恒在实际问题中具有广泛的应用。
转动定律与角动量的变化
转动定律与角动量的变化转动定律和角动量是物理学中重要的概念，它们描述了物体在转动过程中的运动规律和角动量的变化情况。
本文将介绍转动定律和角动量的概念，并探讨它们之间的关系以及在不同情况下的变化特点。
一、转动定律的概念转动定律是描述刚体在受到外力作用下，围绕某一轴心转动的运动规律。
根据转动定律，物体的转动是由外力矩（也称为转动力矩）引起的，它的大小与物体受力点到转轴的距离和作用力的大小成正比。
根据转动定律，我们可以得到以下公式：M = Iα其中，M是物体的外力矩，I是物体的转动惯量，α是物体的角加速度。
根据这个公式，我们可以看出，当外力矩和转动惯量增大时，物体的角加速度也会增大。
二、角动量的概念角动量是描述物体转动状态的物理量，它定义为物体的转动惯量与角速度的乘积。
角动量的大小与物体的转动惯量和角速度的大小成正比。
角动量的公式如下：L = Iω其中，L是物体的角动量，I是物体的转动惯量，ω是物体的角速度。
从这个公式可以看出，当物体的转动惯量或角速度增大时，角动量也会增大。
三、转动定律与角动量的关系转动定律和角动量之间存在着密切的关系。
根据牛顿第二定律和定义的角动量，我们可以推导出转动定律与角动量之间的关系式：M = dL/dt其中，M是物体所受的外力矩，L是物体的角动量，dt表示时间的微元。
这个关系式表明，外力矩的变化率等于角动量对时间的导数。
也就是说，外力矩的改变会引起角动量的变化。
四、转动定律和角动量的变化特点在不同情况下，转动定律和角动量的变化特点也有所不同。
1. 自由转动：在没有外力矩作用下，刚体围绕固定转轴自由转动。
此时，根据转动定律，外力矩为零，物体的角速度保持恒定不变。
同时，根据角动量守恒定律，角动量也保持不变。
2. 施加力矩：当在自由转动过程中施加力矩时，根据转动定律，物体将受到额外的外力矩，从而改变角速度和角动量的大小。
施加的外力矩越大，角速度和角动量的增加越明显。
3. 轴心移动：如果转轴自身发生移动，根据转动定律和角动量的守恒定律，物体将受到额外的外力矩，导致角速度和角动量的变化。
非定轴转动定律
非定轴转动定律
1. 非定轴转动定律的表述:
物体绕任意一条不固定的轴线旋转时,其角加速度与所受合外力矩成正比,并与转动惯量成反比。
2. 数学表达式:
α = Στ / I
其中:
α - 角加速度(rad/s²)
Στ - 所有外力矩的矢量和(N·m)
I - 物体绕旋转轴线的转动惯量(kg·m²)
3. 特殊情况:
- 当外力矩为零时,物体保持匀速旋转或静止不动。
- 当外力矩不为零时,物体将产生角加速度,进行加速或减速旋转运动。
4. 应用实例:
非定轴转动定律广泛应用于分析各种旋转系统的运动,如陀螺仪、旋转飞镖、开启的门、旋转木马等。
通过计算所受外力矩和转动惯量,可以预测和控制这些系统的角加速度。
非定轴转动定律是研究旋转运动的关键理论,对于工程设计、天文学、机器人技术等领域都有重要应用。
掌握该定律有助于深入理解和分析复杂的旋转现象。
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转动定律的推导 设刚体转动如图
作用在刚体上的外力为F ，取刚体上任一质量为m i 的小块。
把作用在该物块上的外力分解为两个方向上的力：径向力和切向力。
由于是刚体，物体不会发生形变，所以在径向不会产生运动。
忽略径向力的作用
对小物块运用牛顿第二定律有：ϕθsin cos i i i i it F F a m F ===
角标t 的含义为指明是作用中的切向力分量，
等号两边同乘r i ,有sin i i i it i Fr m a r ϕ=
将公式中的线量表达改写成角量，2sin i i i it i i i i i i Fr m a r m rr m r ϕββ===
其中sin i i Fr ϕ与力矩的定义吻合，所以公式可以改写为2i i i M m r β=
这是对刚体中的一个小质元的公式，考虑整个刚体，对上式两边求和有
2i i i
i i M m r β→∞→∞=∑∑ 公式左边为合外力矩。
令2i i mr J =∑，考虑到β与位置无关，上式改写为
M J β= ---1，
写为矢量形式 M J β= ---2
公式1，2即为刚体的转动定律，它是牛二定律在刚体转动问题上的变形。
∑∑∑∑===222222
12121r m r m m E i i i ik ωωv 22
1ωJ E k =。