武汉大学大一上学期高数期末考试题

高数期末考试一、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）1. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x =⋅⎰x xxx f d cos )(则 .2.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnn nππππ .3. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .二、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)4.　）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.5.)(0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.6. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

7.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x+（C ）1x - （D ）2x +. 8.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ．　求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰1()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且)(0=⎰πx d x f ，cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e .6.c x x +2)cos (21　.7. 2π.8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)c o s ()()x y e y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+ 0,0x y ==，(0)1y '=- 10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式1(ln ||2ln |1|)7u u c=-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11.解：10330()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰030()x xd e --=-+⎰⎰ 00232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰　令 3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。

===⎰⎰1()()()xxt uf u dug x f xt dt x(0)x ≠2()()()(0)xxf x f u dug x x x-'=≠⎰20()()A (0)limlim 22x x x f u duf xg x x →→'===⎰02()()lim ()lim22x x x xf x f u duA A g x A x→→-'==-=⎰，'()g x 在=0x 处连续。

13. 解：2ln dy y x dx x +=22(ln )dx dx xxy e e xdx C -⎰⎰=+⎰211ln 39x x x Cx -=-+1(1),09y C =-=，11ln 39y x x x=-四、 解答题（本大题10分） 14. 解：由已知且02d xy y x y'=+⎰，将此方程关于x 求导得y y y '+=''2特征方程：022=--r r 解出特征根：.2,121=-=r r其通解为 x x e C e C y 221+=-代入初始条件y y ()()001='=，得31,3221==C C故所求曲线方程为：xx e e y 23132+=-五、解答题（本大题10分）15. 解：（1）根据题意，先设切点为)ln ,(00x x ，切线方程：)(1ln 000x x x x y -=- 由于切线过原点，解出e x =0，从而切线方程为：x e y 1= 则平面图形面积⎰-=-=10121)(e dy ey e A y（2）三角形绕直线x = e 一周所得圆锥体体积记为V 1，则2131e V π= 曲线x y ln =与x 轴及直线x = e 所围成的图形绕直线x = e 一周所得旋转体体积为V 2 ⎰-=1022)(dy e e V y πD 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积)3125(6221+-=-=e e V V V π 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）16. 证明：100()()q f x d x q f x dx -⎰⎰1()(()())q q qf x d x q f x d x f x dx =-+⎰⎰⎰1(1)()()qqq f x d x q f x dx=--⎰⎰1212[0,][,1]()()12(1)()(1)()0q q f f q q f q q f ξξξξξξ∈∈≥=---≥故有：1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx证毕。

17.证：构造辅助函数：π≤≤=⎰x dt t f x F x0,)()(0。

其满足在],0[π上连续，在),0(π上可导。

)()(x f x F ='，且0)()0(==πF F 由题设，有⎰⎰⎰⋅+===ππππ0)(sin cos )()(cos cos )(0|dxx F x x x F x xdF xdx x f ，有⎰=π0sin )(xdx x F ，由积分中值定理，存在),0(πξ∈，使0sin )(=ξξF 即0)(=ξF综上可知),0(,0)()()0(πξπξ∈===F F F .在区间],[,],0[πξξ上分别应用罗尔定理，知存在),0(1ξξ∈和),(2πξξ∈，使0)(1='ξF 及0)(2='ξF ，即0)()(21==ξξf f .。