数学物理方程综述
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特定的形式才有可能满足(18.2.1)．事实上，满足式（18.2.1）的
第十八章 数学物理方程综述
18.1 线性偏微分方程解法综述
对于二阶线性பைடு நூலகம்微分方程定解问题，前面我们介绍了 几种主要解法，并详细阐述了其解题思路．为了理解方便， 对它们综述如下：
1.行波法：先求出满足定解问题的通解，再根据定解条件
确定其定解问题的解. 行波法是通解法中的一种特殊情形, 行波法又称达朗贝尔(d’Alembert)解法. 它不仅可以求解无 界区域的线性偏微分方程，而且能求解某些非线性偏微 分方程．
典型非线性方程及其行波解
在无限空间，线性或非线性偏微分方程
Pu0
（18.2.1）
P t x 其中 为包括时间 和空间 偏导数的微分算子。形如
u(x,t)F(xc)t的解，称为上式的行波解，其中
c为常数．对线性偏微分方程，比如波动方程，则
F =Fxct 为满足一定条件的任意函数．但对
非线性偏微分方程，由于叠加原理已不成立， F 只能取
18.2 非线性偏微分方程
前面我们讨论了线性偏微分方程定解问题的解法, 而现实中 的许多物理现象都是非线性地依赖于一些物理参量变化的, 从而 描述这些现象的数学物理方程就是非线性偏微分方程. 非线性偏 微分方程有许多不同于线性偏微分方程的特征, 比如线性偏微分 方程的叠加原理对非线性偏微分方程就不再成立, 从而基于叠加 原理的求解方法对非线性偏微分方程就不再适用. 另外, 解的性质 也有许多本质的变化.
积分变换法和分离变量法存在密切的联系．例如， 当本征值过渡到连续谱时，分离变量法就变为相应的积分 变换法．
另外，从实用的角度来看，如果空间是有界的，一般 说来，积分变换和分离变量法没有什么差别，故仍不妨采用
分离变量法．
积分变换方法也具有分离变量法所没有的优点：它还可以 应用于求解某些非线性偏微分方程．
2.分离变量法：先求出满足一定条件（如边界条件）的特
解族，然后再用线性组合的办法组合成级数或含参数的积分, 最后构成适合定解条件的特解；
这是求解线性偏微分方程定解问题的最主要方法．从理 论上说，分离变量法的依据是Sturm–Liouville型方程的本
征值问题．从解题步骤上看，要求本征值问题所对应的定解
5. 积分变换方法：这种方法的优点是减少方程自变量的
数目．从原则上说，无论对于时间变量，还是空间变量； 无论是无界空间，还是有界空间；都可以采用积分变换
的方法求解线性偏微分方程的定解问题．但从实际计算上 看，还需要根据方程和定解条件的类型，选择最合适的积 分变换．反演问题，是关系到拟采用的积分变换是否实际 可行的关键问题．反演时涉及的积分很简单，甚至有现成 的结果(如查积分变换表，专用工具书等)可供引用，采用 积分变换的确可以带来极大的便利．但若涉及的积分比较 复杂，而且没有现成的积分变换结果可供引用，那么反演 问题就成为了积分变换的难点．
自20世纪60年代以来，非线性方程在物理、化学、生物等各 个学科领域中不断出现，其研究内容日趋丰富．与线性方程的 定解问题一样，非线性方程同样存在定解问题的适定性，但后 者要复杂得多．限于篇幅，我们主要介绍物理现象中典型的非 线性方程及其求解方法，它们在非线性光学、量子场论和现代 通信技术等领域具有广泛的应用前景．
运用保角变换，可以解决一些典型的物理问题或工程问 题．例如，有限大小的平行板电容器的边缘效应问题，空气动 力学中的机翼问题，以及其他一些流体力学问题．又如，应用 保角变换法，可以把偏心圆化为同心圆．
7. 变分法．这个方法具有理论价值和实用价值．在理论上，
它可以把不同类型的偏微分方程的定解问题用相同的泛函语言 表达出来(当然不同问题中出现的泛函是不同的)，或者说，把
3 幂级数解法：就是在某个任选点的邻域上，把待求的解
表示为系数待定的级数，代入方程以逐个确定系数．勒让 德多项式、贝塞尔函数即用幂级数解法求解得出．这种解 法普遍，但计算量大，较为繁琐．必要时可借助于计算机 迭代计算．
4 格林函数法：这种方法具有极大的理论意义．它给出了
定解问题的解和方程的非齐次项以及定解条件之间的关系， 因而便于讨论当方程的非齐次项或定解条件发生变化时，解 是如何相应地发生变化的. Green函数法，已经成为理论物 理研究中的常用方法之一．
条件必须是齐次的(若为非齐次，则需先齐次化)．从而使 得这种解法对于定解问题中微分方程的具体形式有一定的 限制，同时对所讨论问题的空间区域形状也有明显限制．并且 还涉及到正交曲面坐标系的选取．
在具体求解时，当然还必须求解相应的常微分方程
的本征值问题．除了本书中介绍过的几个本征值问题外，
也可能会出现其他的特殊函数．
8.计算机仿真解法：利用数学工具软件（Matlab,Mathematic,
Mathcad）和常用计算机语言（Visual C++）等实现对数学物理 方程的求解，参考计算机仿真部分对三类典型的数学物理方程的 求解及其解的动态演示．
9.数值计算法: 对于边界条件复杂，几何形状不规则的数学物
理定解问题，精确求解很困难，甚至不可能的情形，拟采用数 值求解的方法．其中主要的数值解法包括：有限差分法、蒙特 －卡洛（Monte-Carlo）法等．
不同的物理问题用相同的泛函语言表达出来．正是由于这个 原因，变分或泛函语言已经成为表述物理规律的常用工具之 一．在实用上，变分法又提供了一种近似计算的好办法．有 效地利用物理知识，灵活巧妙地选取试探函数，可以使计算 大为简化．在物理学中，无论过去或现在，变分法都是常用 的一种近似计算方法．
例如，在原子和分子光谱的计算中就广泛地采用了变分法．
6. 保角变换法．这种方法的理论基础是解析函数所代表的
变换具有保角性．这种解法主要用于二维Laplace 方程或 Poisson方程的边值问题，因为在保角变换下，前者的形式 不变，后者也只是非齐次项作相应的改变．粗略地说，运用 保角变换，可以把“不规则”的边界形状化为规则的边界形 状．例如，可以把多边形化为上半平面或单位圆内．再结合 上半平面或圆内的Poisson公式，就能直接求出二维Laplace 方程的解．
第十八章 数学物理方程综述
18.1 线性偏微分方程解法综述
对于二阶线性பைடு நூலகம்微分方程定解问题，前面我们介绍了 几种主要解法，并详细阐述了其解题思路．为了理解方便， 对它们综述如下：
1.行波法：先求出满足定解问题的通解，再根据定解条件
确定其定解问题的解. 行波法是通解法中的一种特殊情形, 行波法又称达朗贝尔(d’Alembert)解法. 它不仅可以求解无 界区域的线性偏微分方程，而且能求解某些非线性偏微 分方程．
典型非线性方程及其行波解
在无限空间，线性或非线性偏微分方程
Pu0
（18.2.1）
P t x 其中 为包括时间 和空间 偏导数的微分算子。形如
u(x,t)F(xc)t的解，称为上式的行波解，其中
c为常数．对线性偏微分方程，比如波动方程，则
F =Fxct 为满足一定条件的任意函数．但对
非线性偏微分方程，由于叠加原理已不成立， F 只能取
18.2 非线性偏微分方程
前面我们讨论了线性偏微分方程定解问题的解法, 而现实中 的许多物理现象都是非线性地依赖于一些物理参量变化的, 从而 描述这些现象的数学物理方程就是非线性偏微分方程. 非线性偏 微分方程有许多不同于线性偏微分方程的特征, 比如线性偏微分 方程的叠加原理对非线性偏微分方程就不再成立, 从而基于叠加 原理的求解方法对非线性偏微分方程就不再适用. 另外, 解的性质 也有许多本质的变化.
积分变换法和分离变量法存在密切的联系．例如， 当本征值过渡到连续谱时，分离变量法就变为相应的积分 变换法．
另外，从实用的角度来看，如果空间是有界的，一般 说来，积分变换和分离变量法没有什么差别，故仍不妨采用
分离变量法．
积分变换方法也具有分离变量法所没有的优点：它还可以 应用于求解某些非线性偏微分方程．
2.分离变量法：先求出满足一定条件（如边界条件）的特
解族，然后再用线性组合的办法组合成级数或含参数的积分, 最后构成适合定解条件的特解；
这是求解线性偏微分方程定解问题的最主要方法．从理 论上说，分离变量法的依据是Sturm–Liouville型方程的本
征值问题．从解题步骤上看，要求本征值问题所对应的定解
5. 积分变换方法：这种方法的优点是减少方程自变量的
数目．从原则上说，无论对于时间变量，还是空间变量； 无论是无界空间，还是有界空间；都可以采用积分变换
的方法求解线性偏微分方程的定解问题．但从实际计算上 看，还需要根据方程和定解条件的类型，选择最合适的积 分变换．反演问题，是关系到拟采用的积分变换是否实际 可行的关键问题．反演时涉及的积分很简单，甚至有现成 的结果(如查积分变换表，专用工具书等)可供引用，采用 积分变换的确可以带来极大的便利．但若涉及的积分比较 复杂，而且没有现成的积分变换结果可供引用，那么反演 问题就成为了积分变换的难点．
自20世纪60年代以来，非线性方程在物理、化学、生物等各 个学科领域中不断出现，其研究内容日趋丰富．与线性方程的 定解问题一样，非线性方程同样存在定解问题的适定性，但后 者要复杂得多．限于篇幅，我们主要介绍物理现象中典型的非 线性方程及其求解方法，它们在非线性光学、量子场论和现代 通信技术等领域具有广泛的应用前景．
运用保角变换，可以解决一些典型的物理问题或工程问 题．例如，有限大小的平行板电容器的边缘效应问题，空气动 力学中的机翼问题，以及其他一些流体力学问题．又如，应用 保角变换法，可以把偏心圆化为同心圆．
7. 变分法．这个方法具有理论价值和实用价值．在理论上，
它可以把不同类型的偏微分方程的定解问题用相同的泛函语言 表达出来(当然不同问题中出现的泛函是不同的)，或者说，把
3 幂级数解法：就是在某个任选点的邻域上，把待求的解
表示为系数待定的级数，代入方程以逐个确定系数．勒让 德多项式、贝塞尔函数即用幂级数解法求解得出．这种解 法普遍，但计算量大，较为繁琐．必要时可借助于计算机 迭代计算．
4 格林函数法：这种方法具有极大的理论意义．它给出了
定解问题的解和方程的非齐次项以及定解条件之间的关系， 因而便于讨论当方程的非齐次项或定解条件发生变化时，解 是如何相应地发生变化的. Green函数法，已经成为理论物 理研究中的常用方法之一．
条件必须是齐次的(若为非齐次，则需先齐次化)．从而使 得这种解法对于定解问题中微分方程的具体形式有一定的 限制，同时对所讨论问题的空间区域形状也有明显限制．并且 还涉及到正交曲面坐标系的选取．
在具体求解时，当然还必须求解相应的常微分方程
的本征值问题．除了本书中介绍过的几个本征值问题外，
也可能会出现其他的特殊函数．
8.计算机仿真解法：利用数学工具软件（Matlab,Mathematic,
Mathcad）和常用计算机语言（Visual C++）等实现对数学物理 方程的求解，参考计算机仿真部分对三类典型的数学物理方程的 求解及其解的动态演示．
9.数值计算法: 对于边界条件复杂，几何形状不规则的数学物
理定解问题，精确求解很困难，甚至不可能的情形，拟采用数 值求解的方法．其中主要的数值解法包括：有限差分法、蒙特 －卡洛（Monte-Carlo）法等．
不同的物理问题用相同的泛函语言表达出来．正是由于这个 原因，变分或泛函语言已经成为表述物理规律的常用工具之 一．在实用上，变分法又提供了一种近似计算的好办法．有 效地利用物理知识，灵活巧妙地选取试探函数，可以使计算 大为简化．在物理学中，无论过去或现在，变分法都是常用 的一种近似计算方法．
例如，在原子和分子光谱的计算中就广泛地采用了变分法．
6. 保角变换法．这种方法的理论基础是解析函数所代表的
变换具有保角性．这种解法主要用于二维Laplace 方程或 Poisson方程的边值问题，因为在保角变换下，前者的形式 不变，后者也只是非齐次项作相应的改变．粗略地说，运用 保角变换，可以把“不规则”的边界形状化为规则的边界形 状．例如，可以把多边形化为上半平面或单位圆内．再结合 上半平面或圆内的Poisson公式，就能直接求出二维Laplace 方程的解．