数学物理方程综述
第一章+数学物理方程概述
第⼀章+数学物理⽅程概述
第⼀章数学物理⽅程概述
数学物理⽅程，其定义是研究反映物理规律的数学⽅程。
由于⼀般的物理量基本都具有多个变量()t z y x ,,,，因此，它所满⾜的微分⽅程属于偏微分⽅程。
本章的⽬的，归纳出⼏个常见物理问题对应的数学物理⽅程。
§1.1 常见数学物理⽅程的导出
1.1.1 常见的⼏个偏微分⽅程
波动⽅程：数学上称双曲型⽅程，表现为场的波动性。
热传导⽅程或扩散⽅程：数学上称抛物型⽅程，表现为不可逆的输运过程。
拉普拉斯（Laplace ）⽅程和泊松⽅程：数学上称椭圆型⽅程，表现为场的稳定分布。
()=?=?z
y x u u ,,0
22ρ
其中，算符z y x e z
e y e x
+??+??=
，=?=Δ2称为拉普拉斯算⼦。
直⾓坐标系下， ()xx u x
u
x u =??=?222
⼀维
yy xx u u y u
x
u y x u +=??+??=?222
22
),( ⼆维 ()zz yy xx u u u z
u
y u x u z y x u ++=??+??+??=?2222222
,, 三维
上⼀页下⼀页。
数学物理方程归纳总结
数学物理方程归纳总结数学和物理方程是科学研究中的重要工具，广泛应用于各个领域。
本文将对一些常见的数学物理方程进行归纳总结，分析其数学意义和物理应用，并探讨其背后的原理和推导过程。
1. 一维运动方程一维运动是物理学中最简单的情形之一，其运动状态只涉及一个方向的变化。
常见的一维运动方程有：- 位移公式：$S = V_0t + \frac{1}{2}at^2$- 速度公式：$V = V_0 + at$- 速度与位移的关系：$V^2 = V_0^2 + 2aS$这些方程描述了质点在匀加速度下的运动规律，其中$S$ 表示位移，$V_0$ 表示初始速度，$a$ 表示加速度，$t$ 表示时间，$V$ 表示末速度。
这些方程在解决一维运动问题时具有重要的应用价值，可以帮助我们计算物体的位移、速度和加速度等物理量。
2. 牛顿力学方程牛顿力学是经典力学的基础理论，在描述宏观物体运动和相互作用时非常重要。
牛顿三定律是牛顿力学的核心，其表述为：- 第一定律（惯性定律）：物体在不受外力作用时保持静止或匀速直线运动。
- 第二定律（运动定律）：物体受到的合力等于质量乘以加速度，即 $F = ma$。
- 第三定律（作用与反作用定律）：任何两个物体之间的相互作用力大小相等、方向相反。
根据牛顿第二定律，我们可以推导出一些重要的等式，用于解决各种力学问题。
例如，结合万有引力定律，我们可以得到开普勒第三定律 $T^2 = \frac{4\pi^2}{GM}r^3$，其中 $T$ 是行星公转周期，$G$ 是引力常数，$M$ 是太阳的质量，$r$ 是行星与太阳的平均距离。
3. 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组是电磁学的基础方程，描述了电磁场的产生和传播规律。
麦克斯韦方程组包括四个方程：- 高斯定律：$\nabla \cdot E = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$- 安培定律：$\nabla \cdot B = 0$- 法拉第电磁感应定律：$\nabla \times E = -\frac{\partial B}{\partial t}$- 完整的麦克斯韦方程：$\nabla \times B =\mu_0J+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial E}{\partial t}$其中，$E$ 和 $B$ 分别表示电场和磁场，$\rho$ 表示电荷密度，$J$ 表示电流密度，$\varepsilon_0$ 是真空中的介电常数，$\mu_0$ 是真空中的磁导率。
数学物理方程第一章总结
数学物理方程第一章总结
数学物理方程是研究物理现象和规律的数学描述。
第一章主要介绍了一些基础的数学概念和工具，为后续章节的学习打下基础。
首先，本章讨论了向量和矢量的概念。
向量有大小和方向，并且可以进行加法和乘法运算。
矢量在物理中经常用来描述物体的位移、速度、加速度等量。
我们学习了向量的表示方法，如坐标表示和分量表示，以及向量的运算规则。
接下来，我们学习了微积分的基本概念和运算。
微积分是研究变化率和积分的数学分支，对于物理学的建模和求解方程非常重要。
我们学习了导数的定义和性质，包括常见的导数法则和求导公式。
此外，我们也学习了不同函数类型的导数，如多项式函数、指数函数和三角函数的导数。
在本章的最后，我们介绍了一些重要的微积分定理，如中值定理和泰勒展开定理。
这些定理在求解物理问题时经常被应用，可以帮助我们更好地理解函数的性质和行为。
总结而言，第一章主要介绍了数学物理方程中的基础概念和工具，包括向量和矢量的概念、微积分的基本概念和运算，以及一些重要的微积分定理。
这些知识为我们后续学习数学物理方程的章节奠定
了基础，帮助我们更好地理解和应用数学物理方程。
数学物理方程总结描述许多自然现象的数学形式都可以是偏微分
数学物理方程总结描述许多自然现象的数学形式都可以是偏微分方程式，特别是很多重要的物理力学及工程过程的基本规律的数学描述都是偏微分方程，例如流体力学、电磁学的基本定律都是如此。
这些反映物理及工程过程的规律的偏微分方程就是所谓的数学物理方程。
当然，几何学中的很多问题也是可以用偏微分方程来描述的。
人们对偏微分方程的研究，从微分学产生后不久就开始了。
例如，18世纪初期Taylor及Bernoulli对弦线的横向振动研究，其后，Fourier对热传导理论的研究，以及Euler和Lagreange对流体力学、Laplace对位函数的研究，都获得相应的数学物理方程信其有效的解法。
到19世纪中叶，进一步从个别方程的深入研究逐渐形成了偏微分的一般理论，如方程的分类、特征理论等，这便是经典的偏微分方程理论的范畴。
然而到了20世纪随着科学技术的不断发展，在科学实践中提出了数学物理方程的新问题，电子计算机的出现为数学物理方程的研究成果提供了强有力的实现手段。
又因为数学的其他分支（如泛函分析、拓扑学、群论、微分几何等等）也有了迅速发展，为深入研究偏微分方程提供了有力的工具。
因而，20世纪关于数学物理方程的研究有了前所未有的发展，这些发展呈如下特点和趋势：一、在许多自然科学及工程技术中提出的问题的数学描述大多是非线性偏微分方程，即使一些线性偏微分方程作近似处理的问题，由于研究的深入，也必须重新考虑非线性效应。
对非线性偏微分方程研究，难度大得多，然而对线性偏微分方程的已有结果，将提供很多有益的启示。
二、实践中的是由很多因素联合作用和相互影响的。
所以其数学模型多是非线性偏微分方程组。
如反应扩散方程组，流体力学方程组电磁流体力学方程组，辐射流体方程组等，在数学上称双曲－抛物方程组。
三、数学物理方程不再只是描述物理学、力学等工程过程的数学形式。
而目前在化学、生物学、医学、农业、环保领域，甚至在经济等社会科学住房领域都不断提出一些非常重要的偏微分方程。
数学物理方程知识点归纳
数学物理方程知识点归纳数学物理方程是数学和物理学两门学科的交叉领域，其涉及到许多重要的知识点。
本文将从微积分、向量、力学、热力学和波动等方面，总结归纳数学物理方程的主要知识点。
一、微积分微积分是数学和物理学中非常重要的一个分支。
其中，微分和积分是微积分的两个基本概念。
微分是研究函数在某一点的变化率，积分则是求解函数的面积、体积或长度等量的方法。
微积分的一些重要公式包括：牛顿-莱布尼茨公式、柯西-黎曼方程、拉普拉斯公式等。
二、向量向量是几何学和物理学中非常重要的概念。
向量具有大小和方向两个属性，可以表示物理量的大小和方向。
向量的一些重要知识点包括：向量的加法和减法、向量的数量积和向量积、向量的投影、向量的夹角等。
三、力学力学是物理学中研究物体运动和相互作用的学科。
其中，牛顿三大定律是力学的基础。
牛顿第一定律指出物体在外力作用下保持静止或匀速直线运动；牛顿第二定律则确定了物体受力的大小和方向与其加速度成正比；牛顿第三定律则描述了力的相互作用。
四、热力学热力学是物理学中研究热量和能量转化的学科。
其中，热力学的一些重要概念包括：热力学系统、热力学过程、热力学态函数、热力学循环等。
热力学中的一些重要公式包括：热力学第一定律、热力学第二定律、热力学方程等。
五、波动波动是物理学中研究波的传播和相互作用的学科。
其中，波动的一些重要概念包括：波长、频率、波速、干涉、衍射、折射等。
波动的一些重要公式包括：波动方程、费马原理、赫兹实验等。
数学物理方程中的知识点非常丰富，包括微积分、向量、力学、热力学和波动等方面。
这些知识点是理解和应用物理学中的方程和定律的基础，对于物理学的学习和科学研究都具有重要的意义。
数学物理方程数学物理第一章
非线性微分方程的应用
总结词
非线性微分方程在物理学、工程学、经济学等领域有广泛应用。
详细描述
非线性微分方程在物理学中用于描述各种动态过程，如振荡、波动、控制等现象；在工程学中用于描 述控制系统、电路、机械振动等问题；在经济学中用于描述金融市场、人口动态等问题。此外，非线 性微分方程还在生物学、化学等领域有广泛应用。
数学物理方程通常包括微分方程、积 分方程、偏微分方程等类型，这些方 程式在数学和物理学中有着广泛的应 用。
数学物理方程的分类
根据变量的个数，数学物理方程可以分为常微分方程、偏微分方程等类 型。
根据方程的形式，数学物理方程可以分为线性方程和非线性方程。线性 方程是指方程中的未知数和参数之间是线性关系，而非线性方程则是指
总结词
求解非线性微分方程的方法包括分离变量法、积分变换法、幂级数解法等。
详细描述
求解非线性微分方程的方法有多种，其中分离变量法是将方程中的变量分离出来，转化为容易求解的常微分方程 ；积分变换法通过积分变换将非线性微分方程转化为容易求解的线性微分方程；幂级数解法是通过幂级数展开来 求解非线性微分方程。
数学物理方程数学物理第一 章
汇报人： 202X-12-29
contents
目录
• 数学物理方程的概述 • 线性常微分方程 • 非线性微分方程 • 偏微分方程
01
数学物理方程的概述
数学物理方程的定义
数学物理方程：描述物理现象中各个 量之间关系的方程式。它通常由变量 、参数和函数组成，能够反映物理系 统的状态和变化规律。
有限差分法
将偏微分方程转化为离散的差分 方程，通过迭代求解。
有限元方法
将偏微分方程的求解区域划分为 有限个小的子区域，每个子区域 用有限元近似表示，从而将偏微 分方程转化为线性方程组进行求
数学物理方程
数学物理方程数学物理方程是描述物理现象的数学公式，它们是物理学研究的基础。
物理学家通过对物质运动的观察和实验，总结出了许多数学物理方程，这些方程具有预测和解释自然现象的能力。
在本文中，我们将介绍一些常见的数学物理方程，并讨论它们在现实生活中的应用。
牛顿第二定律牛顿第二定律是描述物体运动的基本定律之一。
它表明，物体的加速度与作用力成正比，与物体的质量成反比。
用数学公式表示为： F = ma其中，F表示作用力，m表示物体的质量，a表示物体的加速度。
牛顿第二定律可以解释许多物理现象，例如自由落体、弹性碰撞等。
在机械工程中，牛顿第二定律被广泛应用于设计和优化机械系统。
麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组是描述电磁现象的数学公式。
它由四个方程组成，分别是：1. 麦克斯韦第一方程：电场的散度等于电荷密度。
2. 麦克斯韦第二方程：磁场的旋度等于电场随时间的变化率。
3. 麦克斯韦第三方程：电场的旋度等于磁场随时间的变化率和电流密度的叉积。
4. 麦克斯韦第四方程：磁场的散度等于零。
麦克斯韦方程组被广泛应用于电磁学、光学、通信等领域。
它可以解释电磁波的传播、电磁感应现象等。
热传导方程热传导方程是描述热传导现象的数学公式。
它表明，热量的传导速率与温度梯度成正比。
用数学公式表示为：T/t = αT其中，T表示温度，t表示时间，α表示热传导系数，表示拉普拉斯算子。
热传导方程可以用于解决许多热传导相关的问题，例如热传导率的计算、材料的热稳定性等。
薛定谔方程薛定谔方程是描述量子力学现象的数学公式。
它表明，量子系统的波函数随时间演化的规律。
用数学公式表示为：iψ/t = Hψ其中，i表示虚数单位，表示约化普朗克常数，H表示哈密顿算符，ψ表示波函数。
薛定谔方程可以用于计算量子系统的能量、波函数、概率等物理量。
总结数学物理方程是物理学研究的基础。
它们可以用于解释和预测自然现象，例如牛顿第二定律、麦克斯韦方程组、热传导方程、薛定谔方程等。
这些方程在现实生活中有广泛的应用，例如机械工程、电磁学、光学、热力学、量子力学等领域。
数学物理方程数学物理第一章
偏分方程中所有最高阶 偏导数都是线性的，而 其系数
本课遇到一二阶线性偏微分方程的一般表达形式 一阶线性偏微分方程的一般表达形式
u u a( x, y ) b( x, y ) c( x, y )u f ( x, y ) x y
二阶线性偏微分方程的一般表达形式
2u 2u 2u A( x, y ) 2 2 B( x, y ) C ( x, y ) 2 x xy y u u D( x, y ) E ( x, y ) F ( x, y )u G ( x, y ) 0 x y
求弦上各点运动规律 .
2.1.2.问 题 分 析 与 假 设
细弦：可以看成线；均 匀就可以设线密度处处 是常数 ；
t a u f 本 课 程 主 要 研 究 下 面种 三方 程 的 解 法 . 2 u 2 2 a u f t u f
偏微分方程的定解问题并不一定都有解。因此定解问题提的一 定要适当。 u 2
三、数学物理方程的研究方法 在数学中解决每个问题时，总是先对问题进行尽可能详细的考 察，取得感性认识，从中找出规律性的东西，然后使用判断和 推理的方法得出数学结论。这叫做分析过程，而从数学上严格 论证结论的正确性叫做综合过程。就结论是否正确，综合过程 是不可缺的。但对探讨新结论来说，分析过程尤为重要！
1.6偏微分方程的定解条件与定解问题 偏微分方程的解有无穷多个· 而每个解都表示一特定的运动过程， 为了找出我们所研究的具有实际问题要求的解，必须考虑研究 对象所处的周围环境和初始状态等其他因素对解的影响，通过 在这些方面的考虑，得到一些已知条件。这样就有可能确定出 一个特定的解。这个特解既要满足方程本身又要满足所考虑的 各种影响因素，因此也称作定解；这些已知条件称作定解条件。 偏微分方程与其定解条件一起构成定解问题。
数学物理方程公式总结
数学物理方程公式总结数学和物理是自然科学的两个重要分支，它们在研究自然界的规律时不可分割。
在数学和物理的学习过程中，我们经常会遇到大量的方程和公式。
这些方程和公式帮助我们理解和解决问题，归纳总结这些方程和公式有助于我们更好地掌握它们。
下面是一些数学物理方程公式的总结。
1.牛顿力学相关方程：- 运动方程: F = ma，其中 F 表示作用力，m 表示物体的质量，a 表示物体的加速度。
-牛顿第一定律:F=0，一个物体若无外力作用，则物体保持静止或匀速直线运动。
- 牛顿第二定律: F = ma，物体的加速度与作用力成正比，与物体的质量成反比。
-牛顿第三定律:F12=-F21，两个物体之间的作用力大小相等，方向相反。
2.热力学相关方程：-热力学第一定律:ΔU=Q-W，系统内部能量的变化等于吸热减去对外界做功。
-热力学第二定律:ΔS≥0，隔离系统内部的熵不会减少，或者说熵的增加不可逆。
-热力学第三定律:绝对零度时，熵为零。
3.电磁学相关方程：-库仑定律:F=k*(Q1*Q2)/r^2，两个点电荷之间的力与电荷大小成正比，与距离的平方成反比。
-高斯定律:Φ=E*A=Q/ε0，电场通过任意闭合曲面的通量与该曲面内的电荷成正比。
-法拉第电磁感应定律:ε=-ΔΦ/Δt，电磁感应产生的电动势与磁通量的变化率成正比。
4.波动与光学相关方程：-波速公式:v=λ*f，波速等于波长乘以频率。
- 光的折射定律: n1 * sin(θ1) = n2 * sin(θ2)，光线从一种介质进入另一种介质时，入射角和折射角与两种介质的折射率成正比。
5.直流电路相关方程：-欧姆定律:V=I*R，电压与电流和电阻的关系。
- 串联电阻的总电阻: R_total = R1 + R2 + ...，串联电阻的总电阻等于各个电阻之和。
- 并联电阻的总电阻: 1/R_total = 1/R1 + 1/R2 + ...，并联电阻的倒数总电阻等于各个电阻的倒数之和。
数学物理方程
数学物理方程数学物理方程是科学研究中至关重要的一部分。
它们描述了自然界中发生的现象和规律，为我们解决实际问题提供了数学工具和理论基础。
本文将介绍数学物理方程的基本概念、应用领域和重要性。
一、基本概念数学物理方程是由数学符号和物理量组成的等式或方程组。
它们包含了数量关系和物理规律，可以用来描述自然界中各种现象，如运动、力学、电磁学等。
数学物理方程的推导和解析是物理学中理论发展和实验验证的重要一环。
数学物理方程通常由字母和数学符号组成，代表了各种物理量和运算符。
例如，牛顿第二定律可以用以下方程表示：F = ma其中 F 代表物体所受的力，m 代表物体的质量，a 代表加速度。
这个方程表达了物体受力与加速度之间的关系。
二、应用领域数学物理方程被广泛应用于科学研究和工程技术领域。
在物理学中，数学物理方程被用来推导和解释各种物理现象，如牛顿力学、量子力学和电磁学等。
在工程技术领域，数学物理方程被用来建立模型和进行仿真，比如流体力学、结构力学和电路设计等。
数学物理方程还在天文学、地球科学和生物学等学科中得到广泛应用。
例如，它们可以用来研究星际运动、地球的气候变化以及生物体的生长和发展等。
三、重要性数学物理方程对科学研究的重要性不言而喻。
它们提供了描述和预测自然现象的工具，为科学家和工程师解决问题提供了基础。
数学物理方程的推导和解析也推动了科学理论的发展，有助于我们更深入地理解自然界的运作规律。
此外，数学物理方程还在技术和工程领域发挥着至关重要的作用。
通过建立数学模型，研究人员可以预测和优化各种系统的行为，从而提高生产效率和产品质量。
例如，在航空航天工程中，数学物理方程被用来计算飞行器的轨迹和受力情况，以保证飞行器的安全性和性能。
总之，数学物理方程在科学研究、工程技术和应用领域中都扮演着重要角色。
它们不仅是数学和物理学交叉的产物，也是人类认识和探索自然的有力工具。
通过不断研究和应用数学物理方程，我们可以更好地理解和改善我们的世界。
数学物理方程知识点总结
数学物理方程知识点总结一、牛顿运动定律牛顿的运动定律是经典物理力学的基础，它描述了物体在力的作用下的运动规律。
牛顿的三大运动定律分别是：1. 第一定律：一个物体如果受力作用，将保持静止或匀速直线运动，直到受到外力的作用而改变其状态。
2. 第二定律：物体的加速度与作用力成正比，与质量成反比。
即F=ma。
3. 第三定律：作用力与反作用力大小相等，方向相反，且在同一直线上。
这三个定律描述了物体在受力作用下的运动规律，它们被广泛应用于物体的运动研究和工程设计中。
二、电磁场方程电磁场方程描述了电荷和电磁场之间的相互作用。
其中，麦克斯韦方程组是最基本的电磁场方程，它包括了电荷产生的电场和电流产生的磁场，并描述了它们随时间和空间的变化规律。
麦克斯韦方程组包括了4个方程，分别是：1. 静电场高斯定律：描述电荷产生的静电场。
2. 静磁场高斯定律：描述磁场的产生和分布。
3. 安培定律：描述电流产生的磁场。
4. 法拉第电磁感应定律：描述磁场的变化产生感应电场。
这些方程组成了电磁场的基本描述，它们被广泛应用于电磁场的研究和工程技术中。
三、热传导方程热传导方程描述了物体内部的热传导过程。
热传导方程可以描述物体内部温度分布和热量的传导规律。
通常情况下，热传导方程是一个偏微分方程，它描述了温度场随时间和空间的变化规律。
热传导方程一般形式为：δT/δt = αΔT其中，T表示温度场，t表示时间，α为热传导系数，ΔT为温度梯度。
这个方程被广泛应用于热传导问题的研究和工程设计中。
四、波动方程波动方程描述了机械波和电磁波在空间中的传播规律。
波动方程是一个偏微分方程，它描述了波动场随时间和空间的变化规律。
波动方程的一般形式为：∂^2ψ/∂t^2 = v^2∇^2ψ其中，ψ表示波动场，t表示时间，v为波速，∇^2为拉普拉斯算符。
波动方程描述了波动在空间中的传播和幅度变化规律，它被广泛应用于波动现象的研究和工程设计中。
总之，数学与物理方程是自然科学研究和工程技术发展的基础。
数学物理学中的数学物理方程
数学物理学中的数学物理方程数学物理学是一个将数学的方法应用于物理学中的领域。
它的出现始于历史上许多著名的科学家对宇宙和物质的深入研究，如牛顿的力学体系、爱因斯坦的相对论等。
在数学物理学中，数学和物理学之间的交叉与融合是不可避免的，一个核心的问题就是建立数学物理方程，这些方程既能描述物理世界的规律，又能通过数学符号进行求解和应用。
下面将从数学物理方程的角度来探究数学物理学的基本原理和应用。
一、数学物理方程的基本原理数学物理方程是指用数学语言描述物理现象的方程，它们通常具有高度的抽象性和复杂性。
从数学角度看，数学物理方程是各种数学方法的应用，如微积分、线性代数、拓扑学等。
这些数学方法用于求解物理学领域的各种问题，如描述物体的运动、能量的转化、电场的分布等。
数学物理方程通常具有以下特点：一是它们是描述自然规律的基本语言，物理学中的各种物理量都可以通过它们来描述。
二是它们具有高度的抽象和普遍性，可以描述非常广泛的物理现象。
三是它们具有强大的预测性，通过它们可以准确地预测物理现象的发生和变化。
在数学物理方程的研究中，常用的方法有微分方程、偏微分方程、变分法等。
微分方程是指含有未知函数及其导数的方程，它们通常用于描述一阶或高阶的物理过程。
偏微分方程则是包括偏导数的方程，常用于描述时间和空间的变化规律。
变分法则是通过对变量值的微小改变，来求解极值和边值问题的数学方法。
二、数学物理方程的应用在物理学研究中，数学物理方程是非常重要的工具。
它们被广泛应用于各个分支领域，如力学、电磁学、热学、光学等。
力学方面，著名的数学物理方程包括牛顿第二定律、拉格朗日方程、哈密顿方程等。
这些方程描述了物体的运动和力的作用，可以应用于机械、流体、弹性等领域的研究。
在电磁学中，麦克斯韦方程组是一个非常重要的数学物理方程，它描述了电场和磁场的变化规律和相互作用。
这些方程应用于电磁波、电路、电子学等方面的研究。
在热学中，热传导方程、热传递方程等是用于描述物体热力学性质的数学物理方程。
数学物理方程
数学物理方程数学物理方程是描述自然界各种现象的数学公式，是自然科学研究中不可或缺的工具。
数学物理方程是由数学和物理两个学科相互融合而成的，不仅可以描述物理现象，还可以预测未来的发展趋势。
在科学研究中，数学物理方程是一个重要的研究对象，其研究成果对于推动科学技术的发展具有重要的意义。
一、数学物理方程的概念数学物理方程是指用数学语言描述物理现象的公式。
它是物理学和数学学科的交叉领域，通过对物理现象的观察和实验，运用数学方法建立数学模型，从而得到数学物理方程。
数学物理方程可以描述物理现象的规律性，理解物理现象的本质，并为科学家提供了研究新现象和预测未来趋势的工具。
二、数学物理方程的种类数学物理方程可以分为线性方程和非线性方程两种。
1、线性方程线性方程是指方程中未知量的次数都是一次的方程。
线性方程的特点是简单，易于求解。
它可以描述物理现象的基本规律，如牛顿第二定律、欧姆定律等。
2、非线性方程非线性方程是指方程中未知量的次数不是一次的方程。
非线性方程的特点是复杂，难以求解。
它可以描述一些复杂的物理现象，如非线性振动、非线性光学等。
三、数学物理方程的应用数学物理方程广泛应用于各个领域，如力学、电学、热学、光学、天文学、地球物理学等。
1、力学力学是研究物体运动和力的学科，数学物理方程在力学中有着广泛的应用。
如牛顿第二定律F=ma，可以用来描述物体的运动状态和受力情况；弹性力学中的胡克定律F=kx，可以用来描述弹性体的变形性质。
2、电学电学是研究电荷和电场、电流和电磁波等现象的学科，数学物理方程在电学中也有着广泛的应用。
如欧姆定律I=U/R，可以用来描述电路中电流与电压的关系；麦克斯韦方程组可以用来描述电磁波的传播规律。
3、热学热学是研究热与温度的学科，数学物理方程在热学中也有着广泛的应用。
如热力学第一定律ΔU=Q-W，可以用来描述热量的转化和能量的守恒；斯特藩-玻尔兹曼定律可以用来描述热力学系统的熵增加规律。
1.1数学物理方程简介
Isaac Newton （英，1643-1727）
任何事物都是越简单越好，但太简单了也 不好。 Albert Einstein（美，1879-1955）
参考书籍
1、《数学物理方法》 梁昆淼（南京大学）
2、《数学物理方法》 姚端正（武汉大学）
任何版本均可。
梁昆淼先生（1927—1995 ）
其中
（Poisson方程）
u u( x, y, z; t ) 是表示稳定现象特征的物理量（如温度、浓度、电势等）
f f ( x, y, z; t ) 是与源有关的函数。如果没有源，则有
u 0
（Laplace方程）
稳定场方程主要描述如：稳定浓度分布、稳 定温度分布、静电场、稳恒电流场、不可压缩 流体的无旋稳恒流动，等等。
泛定方程和定解条件同时提出，作为一个整体，称为定解问题。
3、求解定解问题 求解方法大致可归纳为 1）行波法 2）分离变量法 3）积分变换法 4）格林函数法 5）保角变换法
4、讨论解的适定性 存在性、唯一性、稳定性
三、常见数学物理方程的分类
主要分三类
1、波动方程（双曲型方程）：描述振动或波动过程。
utt a u f
2
其中 u
u( x, y, z; t ) 代表坐标为 ( x, y, z) 的点在 t 时刻的位移；
a是波的传播速度； f f ( x, y, z; t ) 是与振源有关的函数。
ut Du f
其中
u u( x, y, z; t )
物质的浓度或者物体的温度。D是扩散系数或热传导系数。
f f ( x, y, z; t ) 是与源有关的函数。而 ut u
数学物理方程学习总结
数学物理方程学习总结
数学物理方程，总体来说，我觉得是一门挺深奥的学科，难度较大。
它主要讲的就是三大方程（波动方程，热传导方程，调和方程）的推导，初边值问题的解及其性质（存在性，唯一性，稳定性）的讨论。
波动方程，对于非齐次线性方程组初值问题的解利用叠加原理，分为方程齐次和初值问题齐次，方程齐次利用的方法为行波法（达朗贝尔公式），初值齐次利用的是齐次化原理。
初边值问题—变量分离法，对于高维波动方程初值问题—泊松公式，性质讨论—能量不等式。
热传导方程，边值问题基本上与波动方程类似，初值问题—傅里叶变换。
性质讨论主要用到的就是极值原理。
调和方程，不存在柯西问题，它只有边值问题，分为狄利克雷内外问题。
主要方法为格林函数法，静电源像法，解决问题也比较单一，有球面，半空间，圆。
性质讨论—极值原理和先验估计均可。
大学数学数学物理方程
大学数学数学物理方程大学数学物理方程数学物理方程是大学数学与物理学交叉研究的重要内容之一，它的应用范围涉及到多个学科领域，如工程力学、电磁学、热力学等。
本文将从数学物理方程的定义、分类以及应用等方面进行探讨。
一、数学物理方程的定义数学物理方程是用数学语言描述物理现象和自然规律的方程。
它是基于物理学的基本假设和实验观测，通过数学建模和分析，推导出的数学表达式。
数学物理方程在研究物质结构、物质运动以及物理现象的演化过程中具有重要的作用。
二、数学物理方程的分类1. 常微分方程常微分方程是描述物理系统变化的方程，如牛顿第二定律、达西定律、热传导方程等。
常微分方程可以分为线性常微分方程和非线性常微分方程两类，其中线性常微分方程的解可以通过叠加原理得到。
2. 偏微分方程偏微分方程是描述含有多个自变量的物理系统的方程，如波动方程、扩散方程、亥姆霍兹方程等。
偏微分方程的求解一般需要利用特定的边界条件或初值条件，通过变量分离、变换、特征线法等方法求得。
3. 积分方程积分方程是以积分形式表达的方程，它包含有待求函数与该函数的积分之间的关系。
积分方程在电磁场、弹性力学、流体力学等领域中广泛应用。
4. 差分方程差分方程是用差分代替微分的方程，它是离散时间和连续时间之间的函数关系。
差分方程在物理过程的模拟和数值计算中具有重要作用。
三、数学物理方程的应用数学物理方程在科学研究与工程技术中有着广泛的应用。
以下举几个例子说明其应用领域：1. 电磁场方程麦克斯韦方程组描述了电磁场的变化规律，通过求解这一方程组可以得到电磁波在空间传播的速度和形状，为电磁学研究和通信技术提供了理论基础。
2. 流体力学方程纳维-斯托克斯方程描述了流体在各种条件下的运动规律，通过求解这一方程可以得到流体的速度、压力等物理量，帮助解决航空、水利、石油等领域的工程问题。
3. 热传导方程热传导方程描述了物体内部温度的传播规律，通过求解这一方程可以得到物体的温度分布和热传导等相关问题，为材料科学与能源领域的研究提供了理论基础。
数学物理方程小结
数学物理方程小结 第七章 数学物理定解问题数学物理定解问题包含两个部分：数学物理方程（即泛定方程）和定解条件。
§7.1数学物理方程的导出一般方法： 第一确定所要研究的物理量u ,第二 分析体系中的任意一个小的部分与邻近部分的相互作用,根据物理规律, 抓住主要矛盾, 忽略次要矛盾。
（在数学上为忽略高级小量.）第三 然后再把物理量u 随时间，空间的变为通过数学算式表示出来, 此表示式即为数学物理方程。
（一） 三类典型的数学物理方程（1）波动方程： 0:),(:),(:22222222==∂∂-∂∂=∆-∂∂→f 当无外力时t x f x u a t u 一维t r f u a tu 三维 此方程 适用于各类波动问题。
（特别是微小振动情况.）（2）输运方程： 0:).(:),(:2222==∂∂-∂∂=∆-∂∂→f 无外源时t x f xu a t u 一维t r f u a tu 三维 此方程 适用于热传导问题、扩散问题。
（3）Laplace 方程：.0(:0:).程时泊松方程退化拉氏方f f u 泊松方程u 拉氏方程t r ==∆=∆→稳定的温度和浓度分布适用的数学物理方程为Laplace 方程, 静电势u 在电荷密度为零处也满足Laplace 方程 。
§7.2定解条件定解条件包含初始条件与边界条件。
（1） 初始条件的个数等于方程中对时间最高次导数的次数。
例如波动方程应有二个初始条件, 一般选初始位移u （x,o ）和初始速度u t （x,0）。
而输运方程只有一个初始条件选为初始分布u （x,o ）,而Laplace 方程没有初始条件。
（2） 三类边界条件第一类边界条件： u( r ,t)|Σ = f （1） 第二类边界条件： u n |Σ = f （2） 第三类边界条件： ( u+Hu n )|Σ= f （3） 其中H 为常数. 7.3二阶线性偏微分方程分类判别式 ,,0,,0,,0221121222112122211212抛物型a a a 椭圆型a a a 双曲型a a a =-=∆<-=∆>-=∆ 波动方程是双曲型的,输运方程为抛物型的,而拉普拉斯方程为椭圆型的.7.4 达朗贝尔公式对一维无界的波动方程,当不考虑外力时,定解问题为()()()()()()()[]()⎰+-+++-====∂∂-∂∂atx at x t d aat x at x t x u 解为x x u x x u x u a t u ξξψϕϕψϕ2121,:0,0,022222对半无界问题作延拓处理:对第一类齐次边界条件作奇延拓,而对第二类齐次边界条件作偶延拓.第八章 分离变量法8.1分离变量法主要步骤:1.边界条件齐次化,对非齐次边界条件首先把它化为齐次的. •2.分离变量 u(x,t) =X(x) T(t) （1） [以后对三维问题也是如此]•3. 将（1）式代入原方程得出含任意常数λ的常微分方程, (称为本征方程) 而λ为本征值.•4.由齐次边界条件确定本征值,并求出本征方程.(得出的解为本征函数)•5.根据迭加原理把所有满足方程的线性无关解迭加后,就能得通解. •6.再由初始条件确定系数.一维波动方程在第一类齐次边界条件下的()()()()()()()()()4,sin 2:3,sin 22,sin 0,:1,sinsin cos ,:0011ξπξξψπξπξξϕϕππππd ln a n b 同样d ln l a x l xn a x u 代入边入边界l x n l at n b l at n a t x u 通解ln ln n n n n n ⎰⎰∑∑====⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞=∞=一维波动方程在第二类齐次边界条件下的通解:()()()()()()()()7.cos 2,cos 26.1,15,cossin cos .000000100ξπξξψπξπξξϕξξψξξϕπππd ln a n B d l n l A d l B d l A l x n l at n B l at n A t B A t x u ln ln ll n n n ⎰⎰⎰⎰∑====⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=∞=一维输运方程在第一类齐次边界条件下的通解:()()()()9,sin 28,sin ,012⎰∑==⎪⎭⎫⎝⎛-∞=ln t l a n n n d ln l c lx n ec t x u ξπξξϕππ一维输运方程在第二类齐次边界条件下的通解:()()()()()11,cos 2,110,cos ,00002⎰⎰∑===⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞=ln lt l a n n n d ln l c d l c lx n ec t x u ξπξξϕξξϕππ对其他的齐次边界条件,如本征函数已知也可直接求解,而对本征函数不熟则只能用分离变量法来求解. 8.2 非齐次边界条件的处理 常用方法有 1) 直线法 :对边界条件为: u(0,t)=g(t), u(L,t)=h(t) .令 ()()()()()x Lt g t h t g t x u t x v ---=,, ,可把边界条件化为齐次,但一般情况下方程变为非齐次. •只有当g,h 为常数时,方程才不变. 2) 特解法•把 u 化为两部分,令 u=v+w 使v 满足齐次边界条件与齐次方程,而使w 满足齐次方程与非齐次边界条件.下面通过实例来介绍此方法. • 例题 求解下列定解问题• U tt －a 2 U xx = 0 • U|x=0 =0, U|x=L = ASin ωt • U|t=0 = 0 , U t ∣t=0 = 0 •( 其中A 、ω为常数, 0＜x ＜L , 0＜ t ）•解：令 u=v+w ,使w 满足波动方程与非齐次边界条件,•得出()altaxA t x w ωωωsinsin sin,第九章 二阶常微分方程的级数解法 本征值问题一.拉普拉斯方程与亥姆霍斯方程在球坐标与柱坐标下分 离变量结果.1. 拉普拉斯方程在球坐标下的通解:()()()1,,1,,,1ϕϑϕϑim m l l L l l Y r B r A r u ∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+其中Ylm为球函数,拉普拉斯方程在球坐标下的解不依赖于边界条件. 在轴对称时(1)式退化为()()()∑∞=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=012,cos ,l ll l l l P r B r A r u θθ 2. 拉普拉斯方程在柱坐标下:()()()()()()()()()()()()()()()()()()..55.0:4,,0,ln :4;:3,04.01.3.022,1,0,sin cos 1.,,222222222''2程为m 阶Bessel方R m x dxdR x dx R d x 式为今x m F E R 式解为Bz A z Z 的解为R m d dR d R d Z Z m m m b m a z Z r R z u =-++==+=+===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=-==+=ΦΦ=ρμρμρμρρρμλϕϕϕϕϕρ(5)式其解为m 阶Bessel 函数,解依赖于边界条件,当上下底为边界条件是齐次时, μ<0.对应的解是虚贝塞尔函数.3） 亥姆霍斯方程在球坐标与柱坐标下分离变量结果.在球坐标下:()()()ϕϑϕϑ,,,Y r R r u =其中Y 为球函数,R 为球贝塞尔函数.在柱坐标下:.()()()()()()()()()()()()()5.0:4,;4.01.3.022,1,0,sin cos 1.,,22222222222222''2=-++=-==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--++=+==+=ΦΦ=R m x dxdR x dx R d x 式为今x k 令R m k d dR d R d Z Z m m m b m a z Z r R z u ρμνμρνρρρνλϕϕϕϕϕρ (5)式其解为m 阶Bessel 函数, 二、常微分方程的级数解法1. 掌握常点邻域的级数解法.2. 掌握正则奇点邻域的级数解法.3.知道无穷级数退化为多项式的方法. 三. 知道Sturm-Livouville 本征值问题的共同性质•当k(x),q(x)和ρ(x)都只取非负的值(≥0), Sturm-Livouville 方程共同性质为:•1)当k(x),k ’(x)和q(x)连续且x=a 和x=b 最多为一阶极点时,存在无限多个本征值及对应的本征函数:()()()()x y x y x y x y k k 321321,,≤≤≤≤≤λλλλ2)所有本征值λn ≥03)对应于不同本征值的本征函数带权正交()()()()m n dx x x y x y banm≠=⎰,0ρ4)本征函数族构成完备系()()∑∞==1n n n x y f x f第十章 球函数1. 轴对称的球函数当物理问题绕某一轴转动不变时,选此轴为z 轴这时物理量u 就与φ无关,m=0.此时球函数Y(θ,φ)就为L 阶勒让德多项式.即Y=P l (cos θ) 1) 勒让德多项式1. 勒让德多项式级数形式:()()()()()()1.!2!2!!22121202∑-=-----=l 或l n nl lnl x n l n l n n l x P 2. 勒让德多项式微分形式:()()()2.1!212l ll l l x dxd l x P -= 3.前几项为:P 0(x)= 1, P 1(x) =x=cos θ, •P 2(x)=(3x 2-1)/2, ….•一般勒让德多项式的幂次取决L•当L 为偶数时都为偶次幂项,L 为奇数时都为奇次幂项. 对特殊点x=1,0.()()()()()()()()(),!!2!!1210,00,1,11212n n P P x P x P P nn n l ll l --==-=-=-•4.勒让德多项式正交关系()lk l k l N dx x P x P δ211)(=⎰- (3) •5.勒让德多项式的模 122,1222+=+=l N l N l l (4) 6.广义傅里叶级数 :当f(x)在[-1,1]连续可导,且在x=-1与1有限时.()()()(),212111⎰∑-∞=+==dx x P x f l f x P f x f l l l l l (5) •7.在球坐标下Laplace 方程: △u= 0的通解为:轴对称()()()()()∑∑∑∞=+∞=-=+⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+=01017,cos 6,,l l l l l l l ll m lm l l l l P r B r A u Y r B r A r u θϕθθ (6)式有两系数需要两条件来确定,对球坐标有两自然边界条件,r=0与r →∞,球内解包含r=0,•u 有限, ()∑∞===0cos ,0l l ll l P r A u B θ (7)•而A l 由球面的边界条件确定,同样对球外区域两系数由球面的边界条件与r →∞, 两个条件确定. 8. 母函数()∑∞==+-02cos cos 211l l l P r r r θθ (8)9. 递推公式()()()()()()()0.12.2,112'1'1''1'111>-=+-+=++=+-+-++-l P P P l xP P P P x P l x lP x xP l l l l l l l l l l l二.连带勒让德函数•在一般情况下,物理量u 与φ有关,故球函数Y 是连带勒让德函数与周期函数的乘积. 1. 连带勒让德函数()[]()x P xm lm 221-=Θ (1)2.连带勒让德函数的微分表示()().1!21222lml m l lmml x dxd l x P --=++ (2) 从(2)可得当L 一定时,m 的取值为 m=0,1,2…L.共有L+1个值.而三角形式球函数Y （θ,φ）中,cosm φ,sinm φ为不同态,共有2L+1个态.3.正交关系()()()()()!!1223.2211m l m l l 模平方N N dx x P x P ml lk ml m k m l -++==⎰-δ 4. 球函数Y 的两种表示形式. 第十一章 柱函数 一、 掌握三类柱函数的基本性质一般我们称Bessel 函数Jm(x)为第一类柱函数. 而把Neumann 函数Nm(x)称为第二类柱函数 . 1）对于第一类柱函数与第二类柱函数的线性组合.()()()()()()x iN x J x H x iN x J x H m m mm m m-=+=21称为第一种与第二种汉克尔函数.而汉克尔函数称为第三类柱函数2) x →0和x →∞时的行为()()()()()()()()()()()⎪⎭⎫⎝⎛---∞→⎪⎭⎫⎝⎛--∞→∞→∞→-→→→→==⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∞→∞→〉==4224210002lim ,2lim 42sin 2lim ,42cos 2lim lim ,lim 0.0lim ,1lim ππππππππππππm x i m x m x i m x m x m x m x m x m x x e xx H e xx H m x x x N m x x x J x J x N m x J x J3) 递推公式()()()()()()()[]()()()()()()()()()()()()4.3.212.1.211!21211!11'1'110122022x J xx J m x J x J x x J m x J 展开与把x J x x J x dxdxx J x k m k k x k m k dx d x J dx d m m m m m mm m m m mm k k k m k k kk m km m -+-+∞=-+∞=+=+-=-=-=⎪⎭⎫⎝⎛++Γ-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++Γ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑∑4） 贝塞尔函数的零点对m 阶贝塞尔方程()()()()()()()()()()0)(::1.0.,0.00'222222====〉==-++ρμρμρμρμρμμρmm nm n m nmmJx 本征值x 记JJ R 件对柱侧面的齐次边界条时当x R m xdx dRxdx Rdx对第一类齐次边界条件 得出第n 个零点对第二类齐次边界条件 二．贝塞尔函数的正交关系 .• 对于不同本征值的同阶贝塞尔函数在区间 • [0,ρ0]上带权重ρ正交.• ()()()()()()1.][2nk m n m k mm n mN d J J δρρρμρμρ=⎰•• 2）广义傅里叶- 贝塞尔级数•()()()()()[]()()()()3.12.021ρρρμρρμρρd J f N f J f f m nm m nnm nmn n ⎰∑==∞=• 3）Laplace 在柱坐标下的通解 • 轴对称m=0,柱内解为• 在侧面为第一类齐次边界条件时•()()()()()()()()()()2.,1.,101110000100⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∞=∞=ρρρρR x J z Rx sh B z Rx ch A z B A z u 条件时侧面为第二类齐次边界R x J z R x ch B z Rx sh A z u n n nn nn n n n n nn• 其中系数An,Bn 由上下底边界条件确定.• 在上下底为齐次边界条件时, μ≤ 0,R 的解为虚宗量贝塞尔函数.记为I m (x)• 同样可得Laplace 方程在柱内解 • 当轴对称时m=0• 上下底满足第一类齐次边界条件时解为•()()()()3.cos,:2.sin ,0001H z n H n I A z u 对第二类齐次边界条件H z n H n I A z u n n n n ππρρππρρ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=∑∑∞=∞=• 输运方程与波动方程在柱坐标下的解 • 1) 解的形式: u(r ,t)=T(t)v(r ) • V 满足亥姆霍兹方程.在侧面与上下底齐次边界条件下能完全确定本征值,例如上下底满足第一类齐次边界条件. 在轴对称情况下m=0 对输运方程柱内的解:上下底满足第一类齐次边界条件()()1.sin ,,2221,1000t H l x al n n nl n eH zl x J a t z u ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞==∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=πρπρρρ波动方程在柱内的解:• 在上下底满足第一类齐次边界条件下•()[]()2002000000)(2.sin sin cos ,,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∑∞ρπρρπρnnl n nlnl nl nl nl x H l k x J H z l at k b at k a t z u• 二维极坐标下的解:• 侧面满足第一类齐次边界条件•()[]()∑∞=+=10000sin cos ,n n n n n n k J at k d at k c t u ρρ （3） • 侧面满足第二类齐次边界条件•()[]()()4.sin cos ,1011100ρρnn nn nn k J at k d at k c t b a t u ∑∞=+++=• 第十二章 积分变换法 • 一、傅里叶变换法•1。
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8.计算机仿真解法：利用数学工具软件（Matlab,Mathematic,
Mathcad）和常用计算机语言（Visual C++）等实现对数学物理 方程的求解，参考计算机仿真部分对三类典型的数学物理方程的 求解及其解的动态演示．
9.数值计算法: 对于边界条件复杂，几何形状不规则的数学物
理定解问题，精确求解很困难，甚至不可能的情形，拟采用数 值求解的方法．其中主要的数值解法包括：有限差分法、蒙特 －卡洛（Monte-Carlo）法等．
典型非线性方程及其行波解
在无限空间，线性或非线性偏微分方程
Pu0
（18.2.1）
P t x 其中 为包括时间 和空间 偏导数的微分算子。形如
u(x,t)F(xc)t的解，称为上式的行波解，其中
c为常数．对线性偏微分方程，比如波动方程，则
F =Fxct 为满足一定条件的任意函数．但对
非线性偏微分方程，由于叠加原理已不成立， F 只能取
条件必须是齐次的(若为非齐次，则需先齐次化)．从而使 得这种解法对于定解问题中微分方程的具体形式有一定的 限制，同时对所讨论问题的空间区域形状也有明显限制．并且 还涉及到正交曲面坐标系的选取．
在具体求解时，当然还必须求解相应的常微分方程
的本征值问题．除了本书中介绍过的几个本征值问题外，
也可能会出现其他的特殊函数．
Hale Waihona Puke 18.2 非线性偏微分方程
前面我们讨论了线性偏微分方程定解问题的解法, 而现实中 的许多物理现象都是非线性地依赖于一些物理参量变化的, 从而 描述这些现象的数学物理方程就是非线性偏微分方程. 非线性偏 微分方程有许多不同于线性偏微分方程的特征, 比如线性偏微分 方程的叠加原理对非线性偏微分方程就不再成立, 从而基于叠加 原理的求解方法对非线性偏微分方程就不再适用. 另外, 解的性质 也有许多本质的变化.
5. 积分变换方法：这种方法的优点是减少方程自变量的
数目．从原则上说，无论对于时间变量，还是空间变量； 无论是无界空间，还是有界空间；都可以采用积分变换
的方法求解线性偏微分方程的定解问题．但从实际计算上 看，还需要根据方程和定解条件的类型，选择最合适的积 分变换．反演问题，是关系到拟采用的积分变换是否实际 可行的关键问题．反演时涉及的积分很简单，甚至有现成 的结果(如查积分变换表，专用工具书等)可供引用，采用 积分变换的确可以带来极大的便利．但若涉及的积分比较 复杂，而且没有现成的积分变换结果可供引用，那么反演 问题就成为了积分变换的难点．
自20世纪60年代以来，非线性方程在物理、化学、生物等各 个学科领域中不断出现，其研究内容日趋丰富．与线性方程的 定解问题一样，非线性方程同样存在定解问题的适定性，但后 者要复杂得多．限于篇幅，我们主要介绍物理现象中典型的非 线性方程及其求解方法，它们在非线性光学、量子场论和现代 通信技术等领域具有广泛的应用前景．
特定的形式才有可能满足(18.2.1)．事实上，满足式（18.2.1）的
第十八章 数学物理方程综述
18.1 线性偏微分方程解法综述
对于二阶线性偏微分方程定解问题，前面我们介绍了 几种主要解法，并详细阐述了其解题思路．为了理解方便， 对它们综述如下：
1.行波法：先求出满足定解问题的通解，再根据定解条件
确定其定解问题的解. 行波法是通解法中的一种特殊情形, 行波法又称达朗贝尔(d’Alembert)解法. 它不仅可以求解无 界区域的线性偏微分方程，而且能求解某些非线性偏微 分方程．
3 幂级数解法：就是在某个任选点的邻域上，把待求的解
表示为系数待定的级数，代入方程以逐个确定系数．勒让 德多项式、贝塞尔函数即用幂级数解法求解得出．这种解 法普遍，但计算量大，较为繁琐．必要时可借助于计算机 迭代计算．
4 格林函数法：这种方法具有极大的理论意义．它给出了
定解问题的解和方程的非齐次项以及定解条件之间的关系， 因而便于讨论当方程的非齐次项或定解条件发生变化时，解 是如何相应地发生变化的. Green函数法，已经成为理论物 理研究中的常用方法之一．
2.分离变量法：先求出满足一定条件（如边界条件）的特
解族，然后再用线性组合的办法组合成级数或含参数的积分, 最后构成适合定解条件的特解；
这是求解线性偏微分方程定解问题的最主要方法．从理 论上说，分离变量法的依据是Sturm–Liouville型方程的本
征值问题．从解题步骤上看，要求本征值问题所对应的定解
不同的物理问题用相同的泛函语言表达出来．正是由于这个 原因，变分或泛函语言已经成为表述物理规律的常用工具之 一．在实用上，变分法又提供了一种近似计算的好办法．有 效地利用物理知识，灵活巧妙地选取试探函数，可以使计算 大为简化．在物理学中，无论过去或现在，变分法都是常用 的一种近似计算方法．
例如，在原子和分子光谱的计算中就广泛地采用了变分法．
积分变换法和分离变量法存在密切的联系．例如， 当本征值过渡到连续谱时，分离变量法就变为相应的积分 变换法．
另外，从实用的角度来看，如果空间是有界的，一般 说来，积分变换和分离变量法没有什么差别，故仍不妨采用
分离变量法．
积分变换方法也具有分离变量法所没有的优点：它还可以 应用于求解某些非线性偏微分方程．
运用保角变换，可以解决一些典型的物理问题或工程问 题．例如，有限大小的平行板电容器的边缘效应问题，空气动 力学中的机翼问题，以及其他一些流体力学问题．又如，应用 保角变换法，可以把偏心圆化为同心圆．
7. 变分法．这个方法具有理论价值和实用价值．在理论上，
它可以把不同类型的偏微分方程的定解问题用相同的泛函语言 表达出来(当然不同问题中出现的泛函是不同的)，或者说，把
6. 保角变换法．这种方法的理论基础是解析函数所代表的
变换具有保角性．这种解法主要用于二维Laplace 方程或 Poisson方程的边值问题，因为在保角变换下，前者的形式 不变，后者也只是非齐次项作相应的改变．粗略地说，运用 保角变换，可以把“不规则”的边界形状化为规则的边界形 状．例如，可以把多边形化为上半平面或单位圆内．再结合 上半平面或圆内的Poisson公式，就能直接求出二维Laplace 方程的解．