2017浙江高考空间向量与立体几何练习

空间向量与立体几何 两年高考真题演练

1．如图，

在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AC ，AB ＝1，AC ＝AA 1＝2，AD ＝CD ＝5，且点M 和N 分别为B 1C 和D 1D 的中点．

(1)求证：MN ∥平面ABCD ； (2)求二面角D 1－AC －B 1的正弦值；

(3)设E 为棱A 1B 1上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为1

3，求线段A 1E 的长．

《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．

如图，在阳马P －ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝CD ，过棱PC 的中点E ，作EF ⊥PB 交PB 于点F ，连接DE 、DF 、BD 、BE .

(1)证明：PB ⊥平面DEF .试判断四面体DBEF 是否为鳖臑．若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由；

(2)若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，求DC

BC 的值．

如图，四棱锥P－ABCD中，ABCD为矩形，平面P AD⊥平面ABCD.

(1)求证：AB⊥PD；

(2)若∠BPC＝90°，PB＝2，PC＝2，问AB为何值时，四棱锥P－ABCD的体积最大？并求此时平面PBC与平面DPC夹角的余弦值．

考点25空间向量与立体几何

一年模拟试题精练

1．已知等边三角形P AB的边长为2，四边形ABCD为矩形，AD ＝4，平面P AB⊥平面ABCD，E，F，G分别是线段AB，CD，PD上的点．

(1)如图(1)，若G为线段PD的中点，BE＝DF＝2

3，证明：PB∥

平面EFG；

(2)如图(2)，若E, F分别为线段AB，CD的中点，DG＝2GP，试问：矩形ABCD内(包括边界)能否找到点H，使之同时满足下列两个条件，并说明理由．

(ⅰ)点H到点F的距离与点H到直线AB的距离之差大于4；

(ⅱ)GH⊥PD.

2．如图，将长为4，宽为1的长方形折叠成长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的四个侧面，记底面上一边AB ＝t ，(0

(1)当长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积最大时，求二面角B －A 1C －D 的值；

(2)线段A 1C 上是否存在一点P ，使得A 1C ⊥平面BPD ，若有，求出P 点的位置，没有请说明理由．

3．

如图，已知平行四边形ABCD 与直角梯形ABEF 所在的平面互相垂直，其中BE ∥AF ，AB ⊥AF ，AB ＝BE ＝1

2AF ，BC ＝2AB ，∠CBA ＝π

4，P 为DF 的中点．

(1)求证：PE ∥平面ABCD ；

(2)求平面DEF 与平面ABCD 所成角(锐角)的余弦值．

4．如图1在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，D 、E 分别为线段AB 、AC 的中点，AB ＝4，BC ＝2 2.以DE 为折痕，将Rt △ADE 折起到图2的位置，使平面A ′DE ⊥平面DBCE ，连接A ′C ，A ′B ，设F 是线段A ′C 上的动点，满足CF →＝λCA ′→.

(1)证明：平面FBE ⊥平面A ′DC ；

(2)若二面角F －BE －C 的大小为45°，求λ的值．

空间向量与立体几何

【两年高考真题演练】 1.

如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得A (0，0，0)，B (0，1，0)，C (2，0，0)，D (1，－2，0)，A 1(0，0，2)，B 1(0，1，2)，C 1(2，0，2)，D 1(1，－2，2)，又因为M ，N 分别为B 1C 和D 1D 的中点，

得M ⎝

⎛

⎭

⎪⎫1，12，1，N (1，－2，1)．

(1)证明 依题意，可得n ＝(0，0，1)为平面ABCD 的一个法向量，MN →＝⎝

⎛⎭

⎪⎫0，－52

，0，由此可得MN →·n ＝0，又因为直线MN ⊄平面ABCD ，所以MN ∥平面ABCD .

(2)解 AD 1→＝(1，－2，2)，AC →＝(2，0，0)，设n 1

＝(x ，y ，z )为平面ACD 1的法向量，则

⎩⎨⎧n 1·AD 1→＝0，n 1·AC →＝0，即⎩

⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2z ＝0，2x ＝0.

不妨设z ＝1，可得n 1＝(0，1，1)． 设n 2＝(x ，y ，z )为平面ACB 1的法向量，则 ⎩⎨

⎧n 2·AB 1

→＝0，n 2·AC

→＝0， 又AB 1

→＝(0，1，2)，

得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2z ＝0，2x ＝0，

不妨设z ＝1，可得n 2＝(0，－2，1)． 因此有cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－1010，于是sin 〈n 1，n 2〉＝

31010.

所以，二面角D 1－AC －B 1的正弦值为310

10.

(3)依题意，可设A 1E →＝λA 1B 1→，其中λ∈[0，1]，则E (0，λ，2)，从而NE →＝(－1，λ＋2，1)，又n ＝(0，0，1)为平面ABCD 的一个法向量，

由已知，得cos 〈NE →，n 〉＝NE →·n |NE →|·|n |＝

1（－1）2＋（λ＋2）2＋12＝1

3，

整理得λ2＋4λ－3＝0，

又因为λ∈[0，1]，解得λ＝7－2， 所以，线段A 1E 的长为7－2.

2．解 法一 (1)因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD ⊥BC ， 由底面ABCD 为长方形，有BC ⊥CD ，而PD ∩CD ＝D ， 所以BC ⊥平面PCD .而DE ⊂平面PCD ，所以BC ⊥DE . 又因为PD ＝CD ，点E 是PC 的中点，所以DE ⊥PC . 而PC ∩BC ＝C ，所以DE ⊥平面PBC .而PB ⊂平面PBC ， 所以PB ⊥DE .

又PB ⊥EF ，DE ∩EF ＝E ，所以PB ⊥平面DEF .

由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分