重庆市第一中学高一上学期期末考试数学含答案

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2022-2023学年重庆市第一中学数学高一上期末调研试题含解析

【详解】因为，所以的周期为
当时，，则在上单调递减，所以在上单调递减
因为，且
所以
故
故选：A.
11、A
【解析】因为{0}是含有一个元素的集合，所以{0}≠ ，故B不正确；
元素与集合间不能划等号，故C不正确；
显然相等，故D不正确.
故选：A
12、D
【解析】为奇函数，去掉A,B；当时 ,所以选D.
【详解】解：函数是连续增函数，
，，即，
函数的零点所在区间是，
故选：
【点睛】本题考查函数的零点的判定定理，连续函数在某个区间存在零点的条件是函数在区间端点处的函数值异号，属于基础题
6、C
【解析】①由两直线的位置关系判断；②由直线与平面的位置关系判断；③由空间角定理判断；④由直线与平面平行的定义判断.
20．已知集合，
（1）分别求，；
（2）已知，若，求实数的取值集合
21．已知函数的图象过点与点 .
（1）求，的值；
（2）若，且，满足条件的的值.
22．已知集合 .
（1）当时.求 ;
（2）若是的充分条件，求实数的取值范围.
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
从而得，解得，即，解得，
所以满足条件的 .
22、（1）或 .
（2）
【解析】（1）解一元二次不等式求集合A、B，再由集合的补、并运算求即可.
（2）由充分条件知，则有，进而求的取值范围.
【小问1详解】
，
当时，，或，
∴ 或；
【小问2详解】
由是的充分条件，知：，
∴ ，解得，

2023-2024学年重庆市高一上册期末数学试题(含解析)

2023-2024学年重庆市高一上册期末数学试题一、单选题1．750 化成弧度为（）A ．25π6B ．14π3C ．112πD ．17π3【正确答案】A【分析】直接利用弧度与角度的转化公式即可【详解】根据角度制转化弧度制公式得π25750π1806︒⨯=︒.故选：A.2．已知集合{}1,2,3,4,5A =，{}22150B x x x =--<，则A B = （）A ．{}1B ．{}1,2C ．{}1,2,3D ．{}1,2,3,4【正确答案】B【分析】根据一元二次不等式的解法，结合集合交集的定义进行求解即可.【详解】由()()221502530 2.53x x x x x --<⇒+-<⇒-<<，而{}1,2,3,4,5A =，所以A B = {}1,2，故选：B3．已知p ：正整数x 能被6整除，{}*:3,q x x x k k ∈=∈N ，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】分析出q 命题表示正整数x 能被3整除，根据能被6整除的正整数一定能被3整除，反之不成立，即可得到答案.【详解】由题知在q 命题表示正整数x 能被3整除，而能被6整除的正整数一定能被3整除，故前者能够推出后者，而能被3整除的正整数不一定能被6整除，如9，故后者无法推出前者，故p 是q 的充分不必要条件.故选：A.4．已知0.2log 3a =，0.20.3b =，ln πc =，则（）A ．a b c <<B ．a c b<<C ．b a c<<D ．b<c<a【正确答案】A【分析】根据指数函数与对数函数的图像与性质，借助中间值法即可比较大小.【详解】由对数函数的图像与性质可得0.20.2log 3log 10a =<=，0.2,031).(0b ∈=，ln π>lne=1c =，所以a b c <<，故选：A.5．命题:p α∃∈R ，使得函数y x α=在()0,∞+上不单调，则命题p 的否定是（）A ．:p α⌝∀∈R ，函数y x α=在()0,∞+上不单调B ．:p α⌝∀∈R ，函数y x α=在()0,∞+上单调C ．:p α⌝∃∈R ，函数y x α=在()0,∞+上单调D ．:p α⌝∃∉R ，函数y x α=在()0,∞+上单调【正确答案】B【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定.【详解】命题p 的否定是“:p α⌝∀∈R ，函数y x α=在()0,∞+上单调”.故选：B6．下列函数中既是奇函数又是减函数的是（）A ．21x y x =-B ．35y x-=C ．12,0,11,0.2x xx y x ⎧-≤⎪=⎨⎛⎫->⎪ ⎪⎝⎭⎩D ．1e ln1e xxy -=+【正确答案】C【分析】对A ，B 项：举反例说明不是减函数；对C 项，可判断为奇函数且为减函数；对D 项，从定义域的不对称性说明不是奇函数.【详解】对A ：当0x =时，0y =，而当2x =时，23y =，在定义域内一定不是减函数；对B ：当0x <时，0y <，而当0x >时，0y >，在定义域内一定不是减函数；对C ：12,0,()21,0.x x x f x x -⎧-≤=⎨->⎩，当0x <时，()12()21,()()x x f x f x f x f x =--=-∴-=-，，当0x >时，()21()12,()()x x f x f x f x f x --=--=-∴-=-，，当0x =时，()()0f x f x -=-=也成立，故对R x ∀∈，都有()()f x f x -=-，故12,0,()21,0.x x x f x x -⎧-≤=⎨->⎩为奇函数，当0x ≤时，()120x f x =->为减函数，当0x >时，()210xf x -=-<为减函数，所以12,0,()21,0.x x x f x x -⎧-≤=⎨->⎩为R 上减函数，故C 正确；对D ：1e ln 1exxy -=+定义域为(,0)-∞，故不可能为奇函数.故选：C7．已知函数()lg f x x =，()()f a f b =，a b <，则2023a b +的取值范围是（）A ．)∞⎡+⎣B ．()2023,+∞C ．()2024,+∞D ．()0,∞+【正确答案】C【分析】由题得()lg 0ab =，则有1b a =，首先解出a 的范围，则20232023a b a a+=+，设2023y a a=+，01a <<，利用对勾函数的图象与性质即可得到其范围.【详解】由题知0,lg lg a b a b <<=，显然lg lg a b ≠，则lg lg a b -=，即()lg 0ab =，则1ab =，则1b a =，a b < ，即1a a<，解得01a <<，20232023a b a a+=+，设2023y a a =+，01a <<，令2023a a=，解得a ，根据对勾函数的图象与性质可知函数2023y a a=+在()0,1上单调递减，故其值域为()2024,+∞.故选：C.8．已知函数()244x f x x+=，若()()132f a f a +<-，则实数a 的取值范围是（）A ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．233,,4322⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()4,+∞D ．()2,4,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭【正确答案】B 【分析】判断()2414f x x x =+的奇偶性与单调性，并用奇偶性与单调性解不等式，要注意定义域的限制.【详解】()2414f x x x=+为偶函数，且在()0,∞+上递减.∵()()132f a f a +<-，∴()()222132,132,,43a a a a a ⎛⎫+>-∴+>-∴∈ ⎪⎝⎭，∵10a +≠，320a -≠，∴1a ≠-且32a ≠，∴233,,4322a ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B二、多选题9．下列说法中正确的是（）A ．任何集合都至少有两个子集B ．设U 为全集，A ，B ，C 是U 的子集，若()U A B C ⊆⋃ð，则A B C =∅ C ．命题“x ∀∈R ，e e x x ≥”的否定为“x ∃∈R ，e e x x ≤”D ．若p 是q 的必要不充分条件，r 的必要不充分条件是q ，则r 是p 的充分条件【正确答案】BD【分析】根据子集的概念判断选项A ；根据集合的运算判断选项B ；根据全称命题的否定判断选项C ；根据充分条件，必要条件的判定，判断选项D .【详解】由子集的概念可知：空集是它本身的子集，所以空集只有一个子集，故选项A 错误；因为A ，B ，C 是U 的子集，()U A B C ⊆⋃ð，则A 与,B C 没有公共元素，所以A B C =∅ ，故选项B 正确；因为命题“x ∀∈R ，e e x x ≥”的否定为“R,e e x x x ∃∈<”，故选项C 错误；因为p 是q 的必要不充分条件，则q 能推出p ，又因为r 的必要不充分条件是q ，则r 能推出q ，所以r 能推出p ，则r 是p 的充分条件，故选项D 成立，故选.BD10．已知幂函数()()2ln 22m m f x x --=，则（）A ．m ∀∈R ，函数()f x 的图像与坐标轴没有交点B ．m ∃∈R ，使得()f x 是奇函数C ．当4m ≥时，函数()f x 在()0,∞+上单调递增D ．当1m =-时，函数()f x 的值域为{}1【正确答案】BCD【分析】对A ，B 项：当()2ln 221m m --=时可说明A 错误B 正确；对C 项：分析()2ln 22m m --的取值范围，根据幂函数的单调性判断；对D 项：当1m =-时()0f x x =求定义域与值域即可.【详解】设()()()()22ln 22ln 13g m m m m =--=--可知()213m --可取遍全体正数，所以()g m 可取遍全体实数，∴当()213e m --=时，()2ln 221m m --=，()f x x =，A 错误，B 正确；当4m ≥时，()2ln 13ln60m ⎡⎤--≥>⎣⎦，由幂函数性质，()f x 在()0,∞+上单调递增，C 正确；1m =-时，()0f x x =，定义域为{}R 0x x ∈≠，值域为{}1，D 正确.故选：BCD11．已知1a b >>，则（）A>B ．1123b a⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．log 5log 3a b >D ．tan tan a b>【正确答案】AB【分析】根据指数、对数、幂函数性质判断ABC ，根据正切函数性质判断D.【详解】解：对于A 选项，由1a b >>得1101a b<<<，故111b a a a a b >>，故正确；对于B 选项，由于1a b >>，故111223baa⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故正确；对于C 选项，若5a =，3b =，则log 5log 31a b ==，故错误；对于D 选项，若2πa =，πb =，故错误.故选：AB12．已知函数()1,0,1,0.x x x f x x x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩和函数()()21g x x k x =++，关于x 的方程()()0g f x k +=有n 个实根，则下列说法中正确的是（）A ．当2n =时，2k <-B ．当4n =时，2k <-C ．k ∀∈R ，1n ≥D ．k ∃∈R ，5n ≥【正确答案】BC【分析】由()()0g f x k +=解得()1f x =-或()f x k =-，结合()f x 图象分析()f x k =-根的个数与k 的取值关系.【详解】令()t f x =，若()g t k =-，则()21t k t k ++=-，解得1t =-或k -，∴()1f x =-或()f x k =-，对于()1f x =-，该方程有一解，故C 正确；()f x 图象如图，若2n =，可知2k -<且1k -≠-，所以2k >-且1k ≠，故A错误；若4n =，()f x k =-需要有三个根,由图可知2k ->，2k <-，故B 正确；由图可知()f x k =-至多三个解，所以4n ≤，故D 错误.故选:BC三、填空题13．函数()2ln 2y x =-的定义域是______.【正确答案】()(),11,2-∞ 【分析】使函数有意义应满足分母不为0，真数恒大于0.【详解】函数()2ln 2y x =-有意义应满足()20ln 20x x ->⎧⎨-≠⎩，解得()(),11,2x ∈-∞ ，故()(),11,2-∞ 14．cos16cos104sin16cos14-= ______.【正确答案】12-##0.5-【分析】根据诱导公式，结合两角和的正弦公式进行求解即可.【详解】()cos16cos104sin16cos14cos16sin14sin16cos14cos16sin14sin16cos14-=--=-+()sin 161431sin 20=-+=-=-，故12-15．已知某扇形材料的面积为3π2，圆心角为π3，则用此材料切割出的面积最大的圆的周长为______.【正确答案】2π【分析】根据条件求出扇形半径r ，设割出的圆半径为a ，圆心为C ，由r CO a =+求得a ，从而求得的周长.【详解】设扇形所在圆半径为r ，∴21π3π,3232r r ⋅=∴=如图：设割出的圆半径为a ，圆心为C ，∴2πsin 6aCO a==,33r CO DC a ==+=，故1a =，所以最大的圆周长为2π.故2π四、双空题16．已知函数()22,1,11,1x a x f x x a x x a ⎧-≤⎪=⎨⎛⎫-++> ⎪⎪⎝⎭⎩.若1a =，则()f x 的值域是______；若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是______.【正确答案】()1,-+∞()(]0,11,2 【分析】1a =时，当1x ≤时,()21x f x =-，当1x >时，()22()211f x x x x =-+=-，利用函数的单调性求值域;当0a >且1a ≠时,当1x >时求得211y x a x a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭的两个零点只有一个满足,另一个要在1x ≤时产生,列出满足的条件;当0<a 时，当1x >时求得211y x a x a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭没有零点,1x ≤时不可能有两个零点.【详解】1a =时，()221,1,21,1x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩，当1x ≤时,()21(1,1]x f x =-∈-，当1x >时，()22()2110f x x x x =-+=->，故值域为()1,-+∞；若1a =，由上知此时()f x 只有一个零点；当0a >且1a ≠时，当1x >时211y x a x a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭有两个零点a ，1a ，其中1a，a 必是一个大于1，另一个小于1，故此时()f x 只有一个零点满足，而1x ≤时(]2,2xy a a a =-∈--，此时需要有一个零点，只需20a -≥，∴()(]0,11,2a ∈⋃，当0<a 时，当1x >时211y x a x a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，对称轴为102a a x +=<，在()1,+∞上为增函数，∴21112,y x a x a a a ⎛⎫⎛⎫=-++∈--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由120a a-->，知()f x 在()1,+∞上无零点，而1x ≤时2x y a =-，在(],1-∞上单调，∴不可能有两个零点.综上实数a 的取值范围是()(]0,11,2 .故答案为:()1,-+∞;()(]0,11,2 五、解答题17．已知a ∈R ，集合{}0A x x a =-≥，{}13B x x =-≤≤.(1)当2a =时，求A B ⋂，A B ⋃；(2)若()R A B ⊆ð，求a 的取值范围.【正确答案】(1)[]2,3，[)1,-+∞(2)3a >【分析】（1）根据集合的交并运算求解；（2）求出B R ð，根据()R A B ⊆ð列出a 应满足的条件.【详解】（1）当2a =时，[)2,A =+∞，[]2,3A B = ，[)1,A B =-+∞ ；（2）()(),13,B =-∞-⋃+∞R ð，[),A a =+∞，R A B ⊆ð，∴3a >.18．（1）求()14625lg0.025lg4⨯+的值；（2）已知()1sin π3α+=，求()()3ππcos sin sin 3π22tan αααπα⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-的值.【正确答案】（1）2；（2）827【分析】（1）利用指数幂的运算性质及对数的运算性质即可求解；（2）利用三角函数的诱导公式及同角三角函数的平方关系和商数关系即可求解.【详解】（1）原式()144252545lg lg453lg10001000⨯⎛⎫=⨯+=+⨯ ⎪⎝⎭153lg 53210=+⨯=-=；（2）∵()1sin π3α+=，∴1sin 3α=-，原式()()()22sin cos sin 118sin cos sin 1sin 1tan 3927αααααααα-⋅-⎛⎫==-=-⋅-=⨯-= ⎪-⎝⎭.19．已知,0x y >，132x y+=.(1)求21x y+的取值范围；(2)求12y x+的最小值.【正确答案】(1)4,29⎛⎫⎪⎝⎭(2)52+【分析】(1)根据已知条件得到203x <<，将式子21x y +中的1y 换成23-x ，结合二次函数的图象和性质即可求解；(2)结合132x y +=将式子12y x+变形，利用基本不等式即可求解.【详解】（1）因为132x y +=，则1230x y =->，又因为,0x y >，所以203x <<，则22213132()24x x x x y +=-+=--，因为203x <<，由二次函数的图象和性质可得.214(,2)9x y +∈（2）111122233265y y x xy x x y xy⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴1522y x +≥16xy xy =且132x y +=，解得63x -=，24y =，∴12y x+的最小值为52+20．已知a ∈R ，集合(){}222220A x x a x a a =-+--≤，()12log 211B x x ⎧⎫⎪⎪=->⎨⎬⎪⎪⎩⎭.(1)求集合B ；(2)若B A ⊆，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)31,,42⎛⎤⎡⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【分析】（1）根据对数函数的性质求出不等式()12log 211x ->的解集，即可得解；（2）由()222220x a x a a -+--≤可得()()220x a x a +--≤，分23a ≥-和23a <-两种情况讨论，求出集合A ，根据B A ⊆得到不等式组，解得即可.【详解】（1）解：由()12log 211x ->，即()11221log 21log 2x ->，所以10212x <-<，解得1324x <<，所以()121313log 211,2424B x x x x ⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎛⎫=->=<<=⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎪⎪⎩⎭；（2）解：由()222220x a x a a -+--≤，即()()220x a x a +--≤，当22a a -≤+即23a ≥-时，{}22A x a x a =-≤≤+，当22a a ->+即23a <-时，{}22A x a x a =+≤≤-，若B A ⊆，当23a ≥-时，132224a a -≤<≤+，解得12a ≥-，当23a <-时，132224a a +≤<≤-，解得34a ≤-，综上可得31,,42a ⎛⎤⎡⎫∈-∞-⋃-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.21．某电影院每天最多可制作500桶爆米花，每桶售价相同，根据影院的经营经验，当每桶售价不超过20元时，当天可售出500桶；当每桶售价高于20元时，售价每高出1元，当天就少售出20桶.已知每桶爆米花的成本是4元，设每桶爆米花的售价为x （4x >且*x ∈N ）元，该电影院一天出售爆米花所获利润为y 元.（总收入=总成本+利润）(1)求y 关于x 的函数表达式；(2)试问每桶爆米花的售价定为多少元时，该电影院一天出售爆米花所获利润最大？最大利润为多少元？【正确答案】(1)*2*5002000,420,209803600,2045,x x x y x x x x ⎧-<≤∈=⎨-+-<≤∈⎩N N(2)当24x =或25时，利润最多为8400元【分析】(1)分段讨论售价x 确定每天的销售量,用分段函数表示利润;(2)分别求出每一段函数的最大值,比较大小确定最大利润及相应的售价.【详解】（1）由题得当420x <≤时，销售量为500桶，当2045x <≤时，销售量为()500202090020x x --=-，由900200x -≥得,*2045,x x <≤∈N 故利润**500(4),420,(90020)(4),2045,x x x y x x x x ⎧-<≤∈=⎨--<≤∈⎩N N ，即*2*5002000,420,209803600,2045,x x x y x x x x ⎧-<≤∈=⎨-+-<≤∈⎩N N ；（2）由（1）知当420x <≤时，500(4)y x =-为增函数,故20x =时，max 8000y =，当2045x <≤时，2209803600y x x =-+-,开口向下且对称轴为24.5x =,当(20,24.5]x ∈时为增函数,当[24.5,45]x ∈时为减函数,又*x ∈N ,所以当24x =或25时，max 8400y =，故当24x =或25时，利润最多为8400元.22．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()ln ln f x x x =⋅.(1)求()f x ，判断并证明其单调性；(2)求方程()()ee 1f x f x -=-的根；(3)若不等式()42e x x f a +⋅>对任意1x >恒成立，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)()()e 0x f x x x =>，()f x 在()0,∞+上单调递增，证明见解析(2)1x =(3)32a ≥-【分析】（1）利用换元法求出函数解析式，再利用定义法证明函数的单调性即可；（2）结合（1）的结论，可得e e x x =，进而求解；（3）结合（1）和（2）的结论将不等式等价转化为421x x a +⋅>对任意1x >恒成立，然后利用换元法结合函数的单调性即可求解.【详解】（1）令ln t x =，e =t x ，()e t f t t =，()e x f x x =，0x >.任取120x x >>，则12e e 0x x >>，∴122112e e e x x x x x x >>，∴()()121212e e 0x x f x f x x x -=->，()()12f x f x >∴()f x 在()0,∞+上单调递增；（2）∵()()ee 1f x f x -=-，则()()()2e 1e 0f x f x ---=所以()e f x =或()1f x =-（舍），e e x x =，显然1x =是解，又()f x 在()0,∞+上单调递增，∴1x =是唯一解；（3）由题()()421x x f a f +⋅>对任意1x >恒成立∴421x x a +⋅>对任意1x >恒成立，令22x u =>，∴21u au +>对任意2u >恒成立，∴1a u u >-对任意2u >恒成立又1y u u =-在()2,+∞为单调递减函数，∴13222a ≥-=-.。

2021-2022学年重庆一中高一上学期期末数学复习卷(附答案解析)

2021-2022学年重庆一中高一上学期期末数学复习卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U=Z，集合A={0,1,3}，B={−1,0,1,2}，则图中阴影部分所表示的集合为()A. {−1,2}B. {−1,0}C. {0,1}D. {1,2}2.将函数y=√3sin2x+cos2x的图象向右平移π6个单位，所得函数图象的一个对称中心是()A. (0,0)B. (2π3,0) C. x=1 D. (π12,0)3.方程x+log2x=6的根为α，方程x+log3x=6的根为β，则()A. α>βB. α=βC. α<βD. α，β的大小关系无法确定4.已知tanθ=2，则sin(π2+θ)−cos(π−θ)sin(π2−θ)−sin(π−θ)=()A. 2B. −2C. 0D. 235.已知函数f(x)=2x−2−x2,g(x)=2x+2−x2，下列结论错误的是()A. 函数f(x)的图象关于原点对称，函数g(x)的图象关于y轴对称B. 在同一坐标系中，函数f(x)的图象在函数g(x)的图象的下方C. 函数g(x)的值域是[1,+∞)D. g(2x)=2f(x)g(x)在(−∞,+∞)恒成立6.已知f(x)=sin(2x+θ)，f(5π6)=0，f(π)>0，则要得f(x)的图象，只需将函数y=sin2x图象()A. 向右平移π3单位 B. 向右平移π6单位C. 向左平移π3单位 D. 向左平移π6单位7.若函数f(x)=log a(8−ax)满足：对任意x1，x2∈(0,2](x1≠x2)，都有(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]<0，则实数a的取值范围是()A. (0,1)B. (1,4)C. (1,4]D. (4,+∞)8.若函数f(x)= x 2−3 x −4的定义域为[−2,m]，值域为[，6]，则m 的取值范围( )A. [，5]B. (，5]C. [−2,5]D. [，+∞)9.用五点作图法作y =2sin4x 的图象时，首先描出的五个点的横坐标是( )A. 0，π2，π，3π2，2π B. 0，π4，π2，3π4，π C. 0，π8，π4，3π8，π2D. 0，π6，π3，3π2，23π10. 给出以下命题：(1)∃x ∈R ，x 2≤0；(2)∀a ∈R ，方程x 2−ax −1=0有实根；(3)若F 1(−3,0)，F 2(3,0)，动点P 满足|PF 1|+|PF 2|=a +9a (a >0且a 为常数)，则P 的轨迹为椭圆；其中正确命题的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 311. 已知f(x)是定义在R 上的偶函数，在区间[0,+∞)上单调递增，且f(13)=0，则不等式f(log 18x)>0的解集为( )A. (12,2)B. (2,+∞)C. (0,12)∪(2,+∞)D. (12,1)∪(2,+∞)12. 若tanθ=2，则2sin 2θ−3sinθcosθ=( )A. 10B. ±25C. 2D. 25二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知f(x)为R 上的奇函数，且当x >0时，f(x)=x 2+x +1；那么y =f(x)在x <0上的解析式为．14. 若函数f(x)=lg 1+mx1−2x 是奇函数，则实数m 的值为______ ． 15. 已知函数的部分图象如下图所示，则该函数的解析式f (x )=_________16. 行列式∣∣∣sinx4cosx 35∣∣∣的最大值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知函数f(x)=√2cos(x −π12)，x ∈R ． (1)求f(π3)的值；(2)若cosθ=35，θ∈(0,π2)，求f(2θ−π6).18. 如图，在△ABC 中，D 为边BC 上一点，AD =6，BD =3，DC =2． (Ⅰ)若∠ADB =π2，求∠BAC 的大小； (Ⅱ)若∠ADB =2π3，求△ABC 的面积．19. 已知函数f(x)=2x −a2x +a (a >0)在其定义域上为奇函数．(1)求a 的值；(2)判断函数f(x)的单调性，并给出证明．(3)求f(x)在(−∞,1]上的最大值．20.某市为发展农业经济，鼓励农产品加工，助推美丽乡村建设，成立了生产一种饮料的食品加工企业，每瓶饮料的售价为14元，月销售量为9万瓶．(1)根据市场调查，若每瓶饮料的售价每提高1元，则月销售量将减少5000瓶.要使月销售收入不低于原来的月销售收入，该饮料每瓶售价最多为多少元？(2)为了提高月销售量，该企业对此饮料进行技术和销售策略改革，提高每瓶饮料的售价到x元，并投入12x2万元作为技术革新费用，投入2万元作为固定宣传费用.试问：技术革新后，要使革新后的月销售收入不低于原来的月销售收入与总投入之和，求月销售量t(万瓶)的最小值，以及t取最小值时的每瓶饮料的售价．21.设函数f(x)=cos2ωx+√3sinωxcosωx+a(其中ω>0，a∈R).且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标是π3．(Ⅰ)求ω的值；(Ⅱ)如果f(x)在区间[−π3,5π6]上的最小值为√3，求a的值．22.已知函数f(x)=a−22x+1(a∈R)．(1)若函数f(x)为奇函数，求实数a的值；(2)判断并用定义证明函数f(x)的单调性．参考答案及解析1.答案：A解析：本题考查Venn图表达集合的关系及运算，由阴影部分可知对应的集合为B∩(∁U A)，即可得到结论．解：阴影部分可知对应的集合为B∩(∁U A)，∵全集U=Z，集合A={0,1,3}，B={−1,0,1,2}，∴B∩(∁U A)={−1,2}．故选A．2.答案：D解析：解：∵y=√3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6)，把它的图象向右平移π6个单位，可得函数y=2sin[2(x−π6)+π6]=2sin(2x−π6)图象，令2x−π6=kπ，k∈z，可得x=kπ2+π12，k∈z，故所得函数的图象的对称中心为(kπ2+π12,0)，k∈z，结合所给的选项，故选：D．由条件利用两角和的正弦公式，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得所得函数图象的一个对称中心．本题主要考查两角和的正弦公式，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．3.答案：C解析：解：∵方程x+log2x=6的根为α，方程x+log3x=6的根为β，∴log2x=6−x，log3x=6−x，log2α=6−α，log3β=6−β，令f(x)=log2x，g(x)=log3x，ℎ(x)=6−x，画出图形：∴α<β，故选C ．已知方程x +log 2x =6的根为α，方程x +log 3x =6的根为β，可以令f(x)=log 2x ，g(x)=log 3x ，ℎ(x)=6−x ，利用数形结合法进行求解；此题考查函数的零点，此题我用了比较简单的方法：数形结合法，很容易就解出来了，此题是一道好题；4.答案：B解析：本题考查三角函数的诱导公式的应用．直接利用诱导公式进行化简，然后分子、分母同除cosθ，代入tanθ=2即可得到结果．解：sin(π2+θ)−cos(π−θ)sin(π2−θ)−sin(π−θ)=cosθ−(−cosθ)cosθ−sinθ=2cosθcosθ−sinθ=21−tanθ=21−2=−2．故选：B ．5.答案：D解析：解：对于A ，∵f(−x)=2−x −2x2=−2x −2−x2=−f(x)，∴函数f(x)是奇函数，图象关于原点对称，同理，g(x)是偶函数，图象关于y 轴对称，∴A 正确；对于B ，∵f(x)−g(x)=2x −2−x2−2x +2−x2=−2−x <0∴f(x)的图象在g(x)的图象下方，B正确；对于C，∵g(x)=2x+2−x2≥2√2x⋅2−x2=1，当且仅当x=0时取“=”，∴g(x)的值域是[1,+∞)，C正确；对于D，∵g(2x)=22x+2−2x2，2f(x)g(x)=2⋅2x−2−x2⋅2x+2−x2=22x−2−2x2，∴只有当x=0时，g(2x)=2f(x)g(x)，D错误．故选：D．A中，f(x)是奇函数，图象关于原点对称，g(x)是偶函数，图象关于y轴对称；B中，f(x)−g(x)<0，得出f(x)的图象在g(x)的图象下方；C中，利用基本不等式得出g(x)≥1；D中，判断g(2x)=2f(x)g(x)只有在x=0时成立．本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了作差法比较大小，考查了基本不等式的应用问题，是综合性题目．6.答案：D解析：解：∵已知f(x)=sin(2x+θ)，f(5π6)=0=sin(5π3+θ)，f(π)=sinθ>0，∴可取θ=π3，f(x)=sin(2x+π3)，故将函数y=sin2x图象向左平移π6单位，可得f(x)的图象，故选：D．由题意先求得θ，可得f(x)得解析式，再利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．7.答案：B解析：本题考查复合函数的单调性，关键是分解为两个基本函数，利用同增异减的结论研究其单调性，再求参数的范围，考查计算能力，属于中档题．根据导数的定义及导数与函数单调性的关系，可知先将函数f(x)在(0,2]单调递减，f(x)=log a(8−ax)转化为y=log a t，t=8−ax，两个基本函数，再利用复合函数的单调性求解．解：由(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]<0，即(x1−x2)和[f(x1)−f(x2)]异号，则f(x1)−f(x2)x1−x2<0，∴根据函数单调性的定义，则f(x)在(0,2]单调递减，当0<a<1时，则函y=log a t，在(0,2]是减函数，由题设知t=8−ax为增函数，则需a<0，故此时无解；若a>1，则y=log a t，在(0,2]是增函数，则t为减函数，则需a>0且8−a×2>0，解得1<a<4，综上可得实数a的取值范围是(1,4)．故实数a的取值范围(1,4)．故选B．8.答案：A解析：本题考查的是函数的定义域和值域中含参数的问题。

重庆高一高中数学期末考试带答案解析

重庆高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.下列事件为随机事件的是( )A．抛一个硬币，落地后正面朝上或反面朝上B．边长为a,b的长方形面积为abC．从100个零件中取出2个,2个都是次品D．平时的百分制考试中，小强的考试成绩为105分2.若a＜b＜0,则下列不等式不能成立的是（）3.在△ABC中，，，A=120°，则B等于( )A．30°B．60°C．150°D．30°或150°4.在等比数列中，已知，则等于( )A．16B．6C．12D．45.设M=, N= , 则M与N的大小关系为( )A．M>N B．M<N C．M=N D．不能确定6.不等式的解集为 ( )A．B．C．D．7.下列样本数据为3,3,4,4,5,6,6,7,7,则标准差是( )A. ; B, ; C. 5 D.8.如图，该程序运行后输出的结果为( )A．1B．10C．19D．289.已知首项为正数的等差数列满足: ,,则使其前n项和成立的最大自然数n是( ).A．4016B．4017C．4018D．401910.若不等式对于一切成立，则的最小值是 ( )A．－2B．－C．－3D．0二、填空题1.某初级中学领导采用系统抽样方法，从该校预备年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查。

现将800名学生从1到800进行编号，求得间隔数为16。

在1~16中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从49 ~ 64这16个数中应取的是2.如右图，在正方形内有一扇形（见阴影部分），扇形对应的圆心是正方形的一顶点，半径为正方形的边长。

在这个图形上随机撒一粒黄豆，它落在扇形外正方形内的概率为。

（用分数表示）3.在ABC中，三边a，b，c与面积s的关系式为则角C为4.已知数列满足则的通项公式。

2020-2021重庆第一中学高一数学上期末模拟试题(带答案)

2020-2021重庆第一中学高一数学上期末模拟试题(带答案)一、选择题1．设a b c ，，均为正数，且122log aa =，121log 2b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭．则（） A ．a b c << B ．c b a << C ．c a b << D ．b a c <<2．已知()f x 是偶函数，它在[)0,+∞上是增函数.若()()lg 1f x f <-，则x 的取值范围是（）A ．1,110⎛⎫⎪⎝⎭B ．()10,10,10骣琪??琪桫C ．1,1010⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()()0,110,⋃+∞3．已知函数1()ln(1)f x x x=+-；则()y f x =的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．4．设集合{}1|21x A x -=≥，{}3|log ,B y y x x A ==∈，则B A =ð（）A ．()0,1B ．[)0,1C ．(]0,1D ．[]0,15．已知0.11.1x =， 1.10.9y =，234log 3z =，则x ，y ，z 的大小关系是( ) A ．x y z >> B ．y x z >>C ．y z x >>D ．x z y >>6．若函数f(x)＝a |2x －4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]7．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN最接近的是（参考数据：lg3≈0.48） A ．1033 B ．1053 C ．1073D ．10938．若函数y ＝x a a - (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a 56＋log a 485＝( ) A ．1B ．2C ．3D ．49．设()f x 是R 上的周期为2的函数，且对任意的实数x ，恒有()()0f x f x --=，当[]1,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若关于x 的方程()()log 10a f x x -+=(0a >且1a ≠)恰有五个不相同的实数根，则实数a 的取值范围是( ) A ．[]3,5B ．()3,5C ．[]4,6D ．()4,610．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( ) A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝x11．点P 从点O 出发，按逆时针方向沿周长为l 的平面图形运动一周，O ，P 两点连线的距离y 与点P 走过的路程x 的函数关系如图所示，则点P 所走的图形可能是A ．B ．C ．D ．12．已知()f x =22x x -+,若()3f a =,则()2f a 等于 A ．5B ．7C ．9D ．11二、填空题13．已知幂函数(2)my m x =-在(0,)+∞上是减函数，则m =__________． 14．已知函数()f x 满足1121-+⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x f f x x x ，其中x ∈R 且0x ≠，则函数()f x 的解析式为__________15．己知函数()221f x x ax a =-++-在区间[]01，上的最大值是2,则实数a =______.16．已知常数a R ∈，函数()21x af x x +=+.若()f x 的最大值与最小值之差为2，则a =__________.17．0.11.1a =，122log b =，ln 2c =，则a ，b ，c 从小到大的关系是________. 18．若函数()(21)()xf x x x a =+-为奇函数，则(1)f =___________.19．高斯是德国的著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[3,4]4-=-，[2,7]2=.已知函数21()15x xe f x e =-+，则函数[()]y f x =的值域是_________. 20．定义在R 上的奇函数()f x ，满足0x >时，()()1f x x x =-，则当0x ≤时，()f x =______．三、解答题21．已知函数()21log 1x f x x +=-. （1）判断()f x 的奇偶性并证明；（2）若对于[]2,4x ∈，恒有()2log (1)(7)mf x x x >-⋅-成立，求实数m 的取值范围.22．已知函数()2log 11m f x x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭，其中m 为实数. （1）若1m =，求证：函数()f x 在()1,+∞上为减函数；（2）若()f x 为奇函数，求实数m 的值.23．已知函数()()()log 1log 1a a f x x x =+--(0a >，1a ≠)，且()31f =. (1)求a 的值，并判定()f x 在定义域内的单调性，请说明理由； (2)对于[]2,6x ∈，()()()log 17amf x x x >--恒成立，求实数m 的取值范围.24．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S 中%x （0100x <<）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为()30030180029030100x f x x x x <≤⎧⎪=⎨+-<<⎪⎩，，（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S 的人均通勤时间()g x 的表达式；讨论()g x 的单调性，并说明其实际意义．25．若()221x x af x +=-是奇函数.（1）求a 的值；（2）若对任意()0,x ∈+∞都有()22f x m m ≥-，求实数m 的取值范围.26．已知集合{}121A x a x a =-<<+，{}01B x x =<<. （1）若B A ⊆，求实数a 的取值范围；（2）若A B =∅I ，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】试题分析：在同一坐标系中分别画出2,xy =12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log y x =，12log y x =的图象，2xy =与12log y x =的交点的横坐标为a ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与12log y x =的图象的交点的横坐标为b ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与2log y x =的图象的交点的横坐标为c ，从图象可以看出．考点：指数函数、对数函数图象和性质的应用．【方法点睛】一般一个方程中含有两个以上的函数类型，就要考虑用数形结合求解，在同一坐标系中画出两函数图象的交点，函数图象的交点的横坐标即为方程的解．2．C解析：C 【解析】【分析】利用偶函数的性质将不等式()()lg 1f x f <-变形为()()lg 1f x f <，再由函数()y f x =在[)0,+∞上的单调性得出lg 1x <，利用绝对值不等式的解法和对数函数的单调性即可求出结果. 【详解】由于函数()y f x =是偶函数，由()()lg 1f x f <-得()()lg 1f x f <，又Q 函数()y f x =在[)0,+∞上是增函数，则lg 1x <，即1lg 1x -<<，解得11010x <<. 故选：C. 【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，同时也涉及了对数函数单调性的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.3．B解析：B 【解析】试题分析：设()ln(1)g x x x =+-，则()1xg x x'=-+，∴()g x 在()1,0-上为增函数,在()0,∞+上为减函数，∴()()00g x g <=，1()0()f x g x =<，得0x >或10x -<<均有()0f x <排除选项A ，C ，又1()ln(1)f x x x =+-中,10ln(1)0x x x +>⎧⎨+-≠⎩，得1x >-且0x ≠，故排除D.综上，符合的只有选项B.故选B. 考点：1、函数图象；2、对数函数的性质. 4．B解析：B 【解析】【分析】先化简集合A,B,再求B A ð得解. 【详解】由题得{}10|22{|1}x A x x x -=≥=≥，{}|0B y y =≥.所以{|01}B A x x =≤<ð. 故选B 【点睛】本题主要考查集合的化简和补集运算，考查指数函数的单调性和对数函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5．A解析：A 【解析】【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接比较. 【详解】解：0.10x 1.1 1.11=>=Q ， 1.100y 0.90.91<=<=，22334z log log 103=<<，x ∴，y ，z 的大小关系为x y z >>．故选A ．【点睛】本题考查三个数的大小的比较，利用指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．B【解析】由f(1)=得a 2=, ∴a=或a=-(舍), 即f(x)=(.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,故选B.7．D解析：D 【解析】试题分析：设36180310M x N == ，两边取对数，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，即M N 最接近9310，故选D.【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令36180310x =，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含log log log a a a M N MN +=，log log log a a aM M N N-=，log log n a a M n M =.8．C解析：C 【解析】【分析】先分析得到a ＞1，再求出a =2,再利用对数的运算求值得解. 【详解】由题意可得a －a x ≥0，a x ≤a ，定义域为[0，1]，所以a >1，y x a a -[0，1]上单调递减，值域是[0，1]，所以f (0)1a -1，f (1)＝0，所以a ＝2，所log a56＋log a 485＝log 256＋log 2485＝log 28＝3. 故选C 【点睛】本题主要考查指数和对数的运算，考查函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.解析：D 【解析】由()()0f x f x --=，知()f x 是偶函数，当[]1,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且()f x 是R 上的周期为2的函数，作出函数()y f x =和()y log 1a x =+的函数图象，关于x 的方程()()log 10a f x x -+=(0a >且1a ≠)恰有五个不相同的实数根，即为函数()y f x =和()y log 1a x =+的图象有5个交点，所以()()1log 311log 511a aa >⎧⎪+<⎨⎪+>⎩，解得46a <<.故选D.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．10．D解析：D 【解析】试题分析:因函数lg 10xy =的定义域和值域分别为,故应选D ．考点：对数函数幂函数的定义域和值域等知识的综合运用．11．C解析：C 【解析】【分析】认真观察函数图像，根据运动特点，采用排除法解决. 【详解】由函数关系式可知当点P 运动到图形周长一半时O,P 两点连线的距离最大，可以排除选项A,D,对选项B 正方形的图像关于对角线对称，所以距离y 与点P 走过的路程x 的函数图像应该关于2l对称，由图可知不满足题意故排除选项B ，故选C ．【点睛】本题考查函数图象的识别和判断，考查对于运动问题的深刻理解，解题关键是认真分析函数图象的特点．考查学生分析问题的能力．12．B解析：B 【解析】因为()f x =22x x -+,所以()f a =223a a -+=,则()2f a =2222a a -+=2(22)2a a -+-=7.选B.二、填空题 13．-3【解析】【分析】根据函数是幂函数可求出m 再根据函数是减函数知故可求出m 【详解】因为函数是幂函数所以解得或当时在上是增函数；当时在上是减函数所以【点睛】本题主要考查了幂函数的概念幂函数的增减性属于解析：-3【解析】【分析】根据函数是幂函数可求出m,再根据函数是减函数知0m <，故可求出m. 【详解】因为函数是幂函数所以||21m -=，解得3m =-或3m =. 当3m =时，3y x =在(0,)+∞上是增函数；当3m =-时，y x =在(0,)+∞上是减函数，所以3m =-. 【点睛】本题主要考查了幂函数的概念，幂函数的增减性，属于中档题.14．【解析】【分析】用代换可得联立方程组求得再结合换元法即可求解【详解】由题意用代换解析式中的可得……（1）与已知方程……（2）联立（1）（2）的方程组可得令则所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了函解析：()11(1)31f x x x =-≠--【解析】【分析】用x -代换x ，可得1121x x f f x x x +-⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，联立方程组，求得113x f x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再结合换元法，即可求解. 【详解】由题意，用x -代换解析式中的x ，可得1121x x f f x x x +-⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， (1)与已知方程1121-+⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x f f x x x ，……（2）联立（1）（2）的方程组，可得113x f x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令1,1x t t x +=≠，则11x t =-，所以()1131f t t =--，所以()11(1)31f x x x =-≠--. 故答案为：()11(1)31f x x x =-≠--. 【点睛】本题主要考查了函数解析式的求解，解答中用x -代换x ，联立方程组，求得113x f x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭是解答的关键，着重考查了函数与方程思想，以及换元思想的应用，属于中档试题.15．或【解析】【分析】由函数对称轴与区间关系分类讨论求出最大值且等于2解关于的方程即可求解【详解】函数对称轴方程为为；当时；当即（舍去）或（舍去）；当时综上或故答案为:或【点睛】本题考查二次函数的图像与解析：1-或2. 【解析】【分析】由函数对称轴与区间关系，分类讨论求出最大值且等于2，解关于a 的方程，即可求解. 【详解】函数()22221()1f x x ax a x a a a =-++-=--+-+，对称轴方程为为x a =；当0a ≤时，max ()(0)12,1f x f a a ==-==-；当2max 01,()()12a f x f a a a <<==-+=，即2110,2a a a +--==（舍去），或12a -=（舍去）；当1a ≥时，max ()(1)2f x f a ===，综上1a =-或2a =.故答案为:1-或2.【点睛】本题考查二次函数的图像与最值，考查分类讨论思想，属于中档题.16．【解析】【分析】将化简为关于的函数式利用基本不等式求出的最值即可求解【详解】当时当时时当且仅当时等号成立同理时即的最小值和最大值分别为依题意得解得故答案为:【点睛】本题考查函数的最值考查基本不等式的解析：【解析】【分析】将()f x 化简为关于x a +的函数式，利用基本不等式，求出的最值，即可求解.【详解】当x a =-时，()0f x =，当x a ?时，()222111[()]1()2x a x a f x a x x a a x a a x a++===+++-+++-+， x a >-时，21()22a x a a a x a+++-≥+当且仅当x a =时，等号成立，0()2a f x ∴<≤= 同理x a <-时，()02a f x ∴≤<，()22a a f x ∴≤≤，即()f x的最小值和最大值分别为,22a a ，2=，解得a =.故答案为:【点睛】本题考查函数的最值，考查基本不等式的应用，属于中档题.17．【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的图象与性质分别求得实数的取值范围即可求解得到答案【详解】由题意根据指数函数的性质可得由对数函数的运算公式及性质可得且所以abc 从小到大的关系是故答案为：【点睛解析：b c a <<【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的图象与性质，分别求得实数,,a b c 的取值范围，即可求解，得到答案.【详解】由题意，根据指数函数的性质，可得0.101.111.1a >==，由对数函数的运算公式及性质，可得12112211log log ()222b ===，1ln 2ln 2c =>=，且ln 2ln 1c e =<=，所以a ，b ，c 从小到大的关系是b c a <<.故答案为：b c a <<.【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数与对数函数的图象与性质，求得实数,,a b c 的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.18．【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义和性质建立方程求出a 的值再将1代入即可求解【详解】∵函数为奇函数∴f （﹣x ）＝﹣f （x ）即f （﹣x ）∴（2x ﹣1）（x+a ）＝（2x+1）（x ﹣a ）即2x2+（2 解析：23【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义和性质建立方程求出a 的值，再将1代入即可求解【详解】∵函数()()()21xf x x x a =+-为奇函数， ∴f （﹣x ）＝﹣f （x ），即f （﹣x ）()()()()2121x x x x a x x a -==--+--+-，∴（2x ﹣1）（x +a ）＝（2x +1）（x ﹣a ），即2x 2+（2a ﹣1）x ﹣a ＝2x 2﹣（2a ﹣1）x ﹣a ，∴2a ﹣1＝0，解得a 12=．故2(1)3f = 故答案为23【点睛】本题主要考查函数奇偶性的定义和性质的应用，利用函数奇偶性的定义建立方程是解决本题的关键．19．【解析】【分析】求出函数的值域由高斯函数的定义即可得解【详解】所以故答案为：【点睛】本题主要考查了函数值域的求法属于中档题解析：{}1,0,1-【解析】【分析】求出函数()f x 的值域，由高斯函数的定义即可得解.【详解】2(1)212192()2151551x x x x e f x e e e+-=-=--=-+++Q ， 11x e +>Q ，1011xe ∴<<+， 2201x e ∴-<-<+， 19195515x e ∴-<-<+，所以19(),55f x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭， {}[()]1,0,1f x ∴∈-，故答案为：{}1,0,1-【点睛】本题主要考查了函数值域的求法，属于中档题.20．【解析】【分析】由奇函数的性质得设则由函数的奇偶性和解析式可得综合2种情况即可得答案【详解】解：根据题意为定义在R 上的奇函数则设则则又由函数为奇函数则综合可得：当时；故答案为【点睛】本题考查函数的奇解析：()1x x +【解析】【分析】由奇函数的性质得()00f =，设0x <，则0x ->，由函数的奇偶性和解析式可得()()()1f x f x x x =--=+，综合2种情况即可得答案．【详解】解：根据题意，()f x 为定义在R 上的奇函数，则()00f =，设0x <，则0x ->，则()()()1f x x x -=-+，又由函数为奇函数，则()()()1f x f x x x =--=+，综合可得：当0x ≤时，()()1f x x x =+；故答案为()1x x +【点睛】本题考查函数的奇偶性以及应用，注意()00f =，属于基础题．三、解答题21．（1）奇函数，证明见解析；（2）015m <<【解析】【分析】（1）先求出函数定义域，再利用函数奇偶性的定义判断即可；（2）由题意，101(1)(7)x m x x x +>>---对[]2,4x ∀∈恒成立，转化为0(1)(7)m m x x >⎧⎨<+-⎩恒成立，求出函数()()()17g x x x =+-的最小值进而得解.【详解】（1）因为101x x +>-，解得1x <-或1x >，所以函数()f x 为奇函数，证明如下：由（1）知函数()f x 的定义域关于原点对称，又因为1222111()log log log ()111x x x f x f x x x x --+-+⎛⎫-====- ⎪--+-⎝⎭，所以函数()f x 为奇函数；（2）若对于[]2,4x ∈，2()log (1)(7)m f x x x >--恒成立，即221log log 1(1)(7)x m x x x +>---对[]2,4x ∈恒成立，即101(1)(7)x m x x x +>>---对[]2,4x ∈恒成立，因为[]2,4x ∈，所以107m x x +>>-恒成立，即0(1)(7)m m x x >⎧⎨<+-⎩恒成立，设函数()()()17g x x x =+-，求得()g x 在[]2,4上的最小值是15，所以015m <<.【点睛】本题考查函数奇偶性的判断及不等式的恒成立问题，考查分离变量法的运用，考查分析问题及解决问题的能力，难度不大.22．（1）证明见解析（2）0m =或2m =【解析】【分析】（1）对于1x ∀，()21,x ∈+∞，且12x x <，计算()()120f x f x ->得到证明.（2）根据奇函数得到()()0f x f x -+=，代入化简得到()22211x m x --=-，计算得到答案.【详解】（1）当1m =时，()221log 1log 11x f x x x ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，对于1x ∀，()21,x ∈+∞，且12x x <，()()12122212log log 11x x f x f x x x -=---1212122121221log log 1x x x x x x x x x x ⎛⎫--=⋅= ⎪--⎝⎭因为12x x <，所以12x x ->-，所以121122x x x x x x ->-，又因1x ，()21,x ∈+∞，且12x x <，所以()1222110x x x x x -=->，即1211221x x x x x x ->-，所以1212122log 0x x x x x x ⎛⎫-> ⎪-⎝⎭，()()120f x f x ->. 所以函数()f x 在()1,+∞上为减函数.（2）()221log 1log 11m x m f x x x +-⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，若()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-，即()()0f x f x -+=. 所以211log log 11x m x m x x -+-+-⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭211log 11x m x m x x -+-+-⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ 2(1)1log 11x m x m x x --+-⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪+-⎝⎭⎝⎭2222(1)log 01x m x ⎛⎫--== ⎪-⎝⎭，所以()22211x m x --=-，所以()211m -=，0m =或2m =.【点睛】本题考查了单调性的证明，根据奇偶性求参数，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.23．(1)2a =，单调递减，理由见解析；(2) 07m <<【解析】【分析】（1）代入(3)1f =解得a ，可由复合函数单调性得出函数的单调性，也可用定义证明；（2）由对数函数的单调性化简不等式，再由分母为正可直接去分母变为整式不等式，从而转化为求函数的最值．【详解】(1)由()3log 4log 2log 21a a a f =-==，所以2a =.函数()f x 的定义域为()1,+∞，()()()222212log 1log 1log log 111x f x x x x x +⎛⎫=+--==+ ⎪--⎝⎭. 因为211y x =+-在()1,+∞上是单调递减， (注:未用定义法证明不扣分)所以函数()f x 在定义域()1,+∞上为单调递减函数.(2)由(1)可知()()()221log log 117x m f x x x x +=>---，[]2,6x ∈，所以()()10117x m x x x +>>---. 所以()()()2201767316m x x x x x <<+-=-++=--+在[]2,6x ∈恒成立. 当[]2,6x ∈时，函数()2316y x =--+的最小值min 7y =. 所以07m <<.【点睛】本题考查对数函数的性质，考查不等式恒成立，解题关键是问题的转化．由对数不等式转化为整式不等式，再转化为求函数最值．24．(1) ()45100x ，∈时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;(2)见解析.【解析】【分析】（1）由题意知求出f （x ）＞40时x 的取值范围即可；（2）分段求出g （x ）的解析式，判断g （x ）的单调性，再说明其实际意义．【详解】（1）由题意知，当30100x <<时，()180029040f x x x=+->，即2659000x x -+>，解得20x <或45x >，∴()45100x ∈，时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）当030x <≤时，()()30%401%4010x g x x x =⋅+-=-；当30100x <<时， ()()218013290%401%585010x g x x x x x x ⎛⎫=+-⋅+-=-+ ⎪⎝⎭； ∴()2401013585010x g x x x ⎧-⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩；当032.5x <<时，()g x 单调递减；当32.5100x <<时，()g x 单调递增；说明该地上班族S 中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．【点睛】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．25．（1）1a = （2）112m -≤≤ 【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性，可得结果.（2）根据（1）的条件使用分离常数方法，化简函数()f x ，可知()f x 的值域，结合不等式计算，可得结果.【详解】（1） ()2121a f +=-，()121112a f +-=- 因为()221x x a f x +=-是奇函数. 所以()()11f f =--，得1a =；经检验1a =满足题意（2）根据（1）可知()2121x x f x +=- 化简可得()2121x f x =+-所以可知()2121x f x =+- 当()0,x ∈+∞时，所以()1f x > 对任意()0,x ∈+∞都有()22f x m m ≥-所以212m m ≥-，即112m -≤≤ 【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求参数，还考查了恒成立问题，对存在性，恒成立问题一般转化为最值问题，细心计算，属中档题. 26．（1）[]0,1；（2）[)1,2,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦U . 【解析】【分析】（1）由题得10,211,121,a a a a -⎧⎪+⎨⎪-<+⎩……解不等式即得解；（2）对集合A 分两种情况讨论即得实数a的取值范围.【详解】（1）若B A ⊆，则10,211,121,a a a a -⎧⎪+⎨⎪-<+⎩……解得01a ≤≤.故实数a 的取值范围是[]0,1.（2）①当A =∅时，有121a a -≥+，解得2a ≤-，满足A B =∅I .②当A ≠∅时，有121a a -<+，解得 2.a >-又A B =∅Q I ，则有210a +≤或11a -≥，解得12a ≤-或2a ≥， 122a ∴-<≤-或2a ≥. 综上可知，实数a 的取值范围是[)1,2,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦U . 【点睛】本题主要考查根据集合的关系和运算求参数的范围，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。

重庆一中2017-2018学年高一上学期期末考试题+数学+Word版含答案

重庆一中2017-2018学年高一上学期期末考试题+数学+Word版含答案2018年XXX高2020级高一上学期数学期末考试试题卷注意事项：1.答题前，请务必在答题卡上填写自己的姓名和准考证号。

2.答选择题时，请使用2B铅笔将答案标号涂黑。

如需更改，先用橡皮擦干净再重新涂。

3.答非选择题时，请使用0.5毫米黑色签字笔，在答题卡规定的位置上写出答案。

4.所有题目必须在答题卡上作答，草稿纸和试题卷上的答案无效。

一、选择题1.若tan(5π/3)=a，则a的值为A。

-3B。

3C。

-(根号3)D。

(根号3)2.函数f(x)=2ax+1-1 (a>0且a≠1) 一定过定点A。

(-1,-1)B。

(-1,1)C。

(0,2a-1)D。

(0,1)3.已知角α在第三象限，且cos^2(α)>1/2，则α所在的象限是A。

第一象限B。

第二象限C。

第三象限D。

第四象限4.已知A={x|y=lnx}，B={y|x=y}，则A。

A∩B=∅B。

A∪B=RC。

(R-A)∪B=RD。

A∩B=B5.若方程x+ax+a=0的一根小于-2，另一根大于-2，则实数a的取值范围是A。

(4,+∞)B。

(0,4)C。

(-∞,0)D。

(-∞,0)∪(4,+∞)6.若幂函数f(x)的图像过点(16,8)，则f(x)<f(x^2)的解集为A。

(-∞,0)∪(1,+∞)B。

(0,1)C。

(-∞,0)D。

(1,+∞)7.已知函数f(x)=cos(2ωx) (ω>0)，若f(x)的最小正周期为π，则f(x)的一条对称轴是A。

x=π/4B。

x=π/2C。

x=3π/4D。

x=π8.XXXα(≤α≤2π)的终边过点P(sin(π/8),1-cos(π/8))，则α的值为A。

5π/11B。

7π/10C。

2π/11D。

π/29.不等式loga(ax-2x+1)>0 (a>0且a≠1) 在x∈[1,2]上恒成立，则a的取值范围是A。

重庆市第一中学2021-2022高一数学上学期期末考试试题.doc

重庆市第一中学2021-2022高一数学上学期期末考试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合{}{},1,0,1,,21-=∈≤<-=*B N x x x A 则=B A ( )A.}1{B.]2,1[-C.}1,0{D.}2,1,0,1{-2.已知函数2)1ln()(-++=x x x f ，在下列区间中，函数)(x f 一定有零点的是( ) A ．]1,0[B ．]2,1[ C ．]3,2[ D ．]4,3[3. 计算 105sin 15sin ⋅的结果是( ) A.41-B.41C. 426-D.426+ 4.下列函数为奇函数的是( ) A.233)(x x x f += B.xxx f -+=22)( C.xxx f -+=33ln)( D.x x x f sin )(= 5.要得到函数)32sin(π-=x y 的图象，只需将函数x y sin =的图象( )A.把各点的横坐标缩短到原来的12倍,再向右平移6π个单位 B.把各点的横坐标缩短到原来的12倍,再向左平移3π个单位C.把各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向右平移6π个单位 D.把各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向左平移3π个单位6.函数()()sin (0,0,0)2f x A x A ωϕπωϕ=+>><<的部分图象如图所示，则()f x 的解析式是( )A.()2sin(2)3f x x π=+B. ()2sin(2)6f x x π=+C.()2sin()3f x x π=+ D ．()2sin()6f x x π=+7.已知4log 5a =，1216(log 2)b =，sin2c =，则c b a ,,的大小关系是( ) A.b c a <<B.c a b <<C.a b c <<D.c b a <<8.已知函数,34)(,3)2()(2+-=+-=x x x g x m x f 若对任意]4,0[1∈x ，总存在]4,1[2∈x ，使得)()(21x g x f >成立，则实数m 的取值范围是( )A.(2,2)m ∈-B. 33(,)22m ∈-C.(,2)m ∈-∞- D ．3(,)2m ∈-+∞9.已知函数22lg (1)2(1)3y a x a x ⎡⎤=---+⎣⎦的值域为R ，则实数a 的取值范围是( )A.[2,1]-B.(2,1)-C. [2,1]--D.(,2)[1,)-∞--+∞10.函数12211()tan()log ()tan()log ()4242f x x x x x ππ=-----在区间1(,2)2上的图像大致为( )A. B. C. D.11.已知函数()sin (sin cos )f x x x x =⋅+，给出以下四个命题：①()f x 的最小正周期为π；②()f x 在]4,0[π上的值域为]1,0[； ③()f x 的图像关于点)21,85(π中心对称；④()f x 的图像关于直线811π=x 对称．其中正确命题的个数是( )A.1B.2C.3D.412.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<<=102),4sin(20,log )(2x x x x x f π，若存在实数4321,,,x x x x 使得)()()()(4321x f x f x f x f ===且4321x x x x <<<，则34214352)1)(1(x x x x x x -+--的取值范围是( )A.)17,14(B.)19,14(C.)19,17(D.]477,17(二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把最简答案写在答题卡相应位置上.13. 已知7cos2,(,0)252παα=∈-,则sin α=； 14.已知1tan 2,tan()7ααβ=-+=，则tan β的值为；15.若函数)(x f 满足：在定义域D 内存在实数0x ，使得00(1)()(1)f x f x f +=+成立，则称函数)(x f 为“1阶马格丁香小花花”函数．给出下列四个函数：①1()f x x=；②()x f x e =；③2()lg(2)f x x =+；④()cos f x x π=．其中是“1阶马格丁香小花花”函数的所有函数的序号是； 16.定义在R 上的函数)(x f 满足)2(-x f 是偶函数，且对任意R x ∈恒有2020)1()3(=-+-x f x f ，又2019)2(=-f ，则=)2020(f .三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分） (Ⅰ)若3tan =α，求值：cos()sin()32cos()sin()22απαππαα-+---+；(Ⅱ)计算：()2ln 9232316log 3log 2log log 2lg 20lg e -⨯++-.18.（本小题满分12分）已知集合{})6lg(2++-==x x y x A ，集合{}02>-=x ax x B (Ⅰ)当4=a 时，求B A ；(Ⅱ)若B B A = ，求实数a 的取值范围．19.（本小题满分12分）已知函数()2sin(2)2sin 6f x x x π=-+.(Ⅰ)求5()12f π； (Ⅱ)求)(x f 的单调递增区间.20.（本小题满分12分）已知函数()sin()(0,)22f x x b ππωϕωϕ=++>-<<的相邻两对称轴间的距离为2π，若将()f x 的图像先向左平移12π个单位，再向下平移1个单位，所得的函数()g x 为奇函数． (Ⅰ)求()f x 的解析式；(Ⅱ)若关于x 的方程()23()()20g x m g x +⋅+=在区间[0,]2π上有两个不等实根，求实数m 的取值范围．21.（本小题满分12分）定义二元函数,)1(),(yx y x F +=R y x ∈+∞∈),,0(，如31)21()1,2(1=+=--F ．已知二次函数)(x g 过点)0,0(，且13134))(,1()21(2++≤≤x x x g F 对R x ∈恒成立．(Ⅰ)求)1(-g 的值，并求函数)(x g 的解析式； (Ⅱ)若函数xxxg x h ---+=22)22()(，求)(x h 在]1,0[∈x 上的值域．22.（本小题满分12分）已知定义在(,1)(1,)-∞-+∞的奇函数()f x 满足：①(3)1f =-；②对任意2x >均有()0f x <；③对任意,0m n >，均有(1)(1)(1)f m f n f mn +++=+. (Ⅰ)求(2)f 的值；(Ⅱ)利用定义法证明()f x 在(1,)+∞上单调递减；(Ⅲ)若对任意[,0]2πθ∈-，恒有()sin2(23)(sin cos )2f k k θθθ+-+-≥-，求实数k 的取值范围.命题人：黄色的(di)哥审题人：凯哥兵哥2021年重庆一中高2022级高一上期期末考试数学参考答案一、选择题：三、解答题：17、（本小题满分10分）解：（1）原式741tan 2tan 1cos sin 2sin cos -=++-=--+=αααααα；（2）原式()0221122log 23log 31log 220lg323=-+-=-⨯++=．18、（本小题满分12分）解：（1）)3,2(060622-=⇒<--⇒>++-A x x x x ，当4=a 时)4,0(=B ，因此)3,0(=B A ；（2）A B B B A ⊆⇔= 而0)(02<-⇔>-a x x x ax ，故：1 当0=a 时)3,2(-⊆Φ=B ，因此0=a 满足题意；2 当0>a 时30)3,2(),0(≤<⇒-⊆=a a B ；3 当0<a 时02)3,2()0,(<≤-⇒-⊆=a a B ；取并得：]3,2[-∈a ．19、（本小题满分12分）解：（1）()()132cos21cos2=2cos2)1223f x x x x x x x π⎫⎫=-+--+-+⎪⎪⎝⎭⎝⎭因此5(11122f ππ+=；（2）令32π-=x u ，由]22,22[32]22,22[πππππππππ+-∈-⇒+-∈k k x k k u]125,12[ππππ+-∈⇒k k x ，即()f x 的单调递增区间为Z k k k ∈+-],125,12[ππππ．20、（本小题满分12分）解：（1）由题意知()f x 的周期22=⇒==ωωππT ，故()sin(2)f x x b ϕ=++，而()sin 2()1sin(2)1126g x x b x b ππϕϕ⎛⎫=+++-=+++- ⎪⎝⎭为奇函数，则101=⇒=-b b ，且)(6602Z k k k ∈-=⇒=++⨯ππϕπϕπ，而)2,2(ππϕ-∈，故6πϕ-=，因此()sin(2)16f x x π=-+；（2）由（1）知x x g 2sin )(=，题意等价于23[sin 2]sin 220x m x +⋅+=在区间[0,]2π上有两个不等实根，令]2,0[,2sin π∈=x x t ，则题意⇔方程2320t mt ++=在)1,0[∈t 内仅有一个根，且另一个根1≠．法一：令2()32h t t mt =++，则题意⇔2240016m m⎧∆=-=⎪⎨<-<⎪⎩或}62{)5,(0)1(0)0(---∞∈⇒⎩⎨⎧<≥ m h h ；法二：显然0不是该方程的根，题意m y tt m t mt -=⇔+=-⇔+=-⇔23232与tt y 23+=的图像在)1,0(∈t 内仅有一个交点且另一个交点不为)5,1(，由于双勾函数tt y 23+=在]36,0(上单减，在)1,36[上单增，故有5>-m 或62=-m ，因此}62{)5,(---∞∈ m ．21、（本小题满分12分）解：（1）由R x x x g x x g F x x g x x x ∈+≤≤--⇔≤≤⇔≤≤+--++,26)(132224))(,1()21(226)(13131322令1-=x ，得4)1(4)1(4-=-⇒-≤-≤-g g ，设)0(,)(2≠+=a bx ax x g ，由b a g -=-=-4)1(得4+=a b ，于是x a ax x g )4()(2++=，由题：R x x a ax x x g ∈≤--+⇔+≤,02)2(26)(22，⇒-=⇒⎩⎨⎧≤+=+-=∆<⇔20)2(8)2(022a a a a a x x x g 22)(2+-=，检验知此时满足R x x x g ∈--≥,13)(2，故x x x g 22)(2+-=；（2）由题知8)22(2)22(224)22(2)22(2)(22--+--=⋅-+++-=-----x x x x xxxx xx h ，令x x t --=22，显然t 在R 上单增，故当]1,0[∈x 时，]23,0[∈t ，则]23,0[,215)21(282222∈---=-+-=t t t t y ，因此]215,219[--∈y也即)(x h 在]1,0[∈x 上的值域为]215,219[--．22、（本小题满分12分）解：（1）在(1)(1)(1)f m f n f mn +++=+中令0)2()2()2(21=⇒=⇒==f f f n m ；（2）由题知：对任意,0m n >都有(1)(1)(1)f mn f n f m +-+=+，且对任意2x >均有()0f x <证一：任取112>>x x ，则()2221111111()()(1)1(1)1(1)11x x f x f x f x f x f x x ⎛⎫---=⋅-+--+=+ ⎪--⎝⎭，因为112>>x x ，所以2111111011121212>+--⇒>--⇒>->-x x x x x x ，所以211(1)01x f x -+<-，即21()()0f x f x -<即21()()f x f x <，也即()f x 在(1,)+∞单调递减；证二：任取112>>x x ，设0,1,1,112>>+=+=n m n x mn x ，则21()()(1)(1)(1)f x f x f mn f n f m -=+-+=+，因为1,12m m >+>所以(1)0f m +<，即21()()f x f x <，也即()f x 在(1,)+∞单调递减； (3)在(1)(1)(1)(,0)f m f n f mn m n +++=+>中令2)5(2-=⇒==f n m ，令2)45(0)2()45()5(41,4=⇒==+⇒==f f f f n m ，而()f x 为奇函数，故2)45(-=-f ，又()f x 在(,1)-∞-及(1,)+∞上均单调递减，因此原不等式等价于对任意[,0]2πθ∈-，不等式5sin 2(23)(sin cos )4k k θθθ+-+-≤-或者1sin 2(23)(sin cos )5k k θθθ<+-+-≤恒成立，令]0,2[,cos sin πθθθ-∈+=t ，则]1,1[-∈t ，12sin 2-=t θ，则不等式等价于21(23)4t k t k +--≤-…………①或者22(23)6t k t k <+--≤…………②对任意]1,1[-∈t 恒成立，法一：令]1,1[,)32()(2-∈--+=t k t k t t g 立，)(t g 开口向上，则不等式①]47,1217[412413441)1(41)1(∈⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤--≤-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≤-⇔k k k g g ；对于②，当1±=t 时，由Φ∈⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤<<≤-⇒⎩⎨⎧≤<≤-<k k k g g 8432326)1(26)1(2，即必不存在k 满足②.综上，]47,1217[∈k .法二：令]1,1[,)32()(2-∈--+=t k t k t t g ，)(t g 开口向上，对称轴为k t -=23，且492)23(,2)1(,34)1(2-+-=--=-=-k k k g k g k g ， 1 当123-<-k 即25>k 时，问题等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤>41)1(25g k 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>->6)1(2)1(25g g k ，解得Φ∈k ；2 当0231≤-≤-k 即2523≤≤k 时，问题等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤≤≤41)1(2523g k 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤>-≤≤6)1(2)23(2523g k g k ，解得]47,23[∈k ；3 当1230≤-<k 即2321<≤k 时，问题等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤-<≤41)1(2321g k 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤->-<≤6)1(2)23(2321g k g k ，解得)23,1217[∈k ；4 当123>-k 即21<k 时，问题等价于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤-<41)1(21g k 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-><6)1(2)1(21g g k ，解得Φ∈k ；综上，]47,1217[∈k .。

2019-2020学年人教A版重庆一中高一第一学期期末数学试卷含解析

2019-2020学年高一第一学期期末数学试卷一、选择题1．已知集合A＝{x|﹣1＜x≤2，x∈Z}，B＝{﹣1，0，1}，则A∪B＝（）A．{0，1} B．{﹣1，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2} 2．已知函数f（x）＝ln（x+1）+x﹣2，在下列区间中，函数f（x）一定有零点的是（）A．[0，1] B．[1，2] C．[2，3] D．[3，4]3．计算sin15°•sin105°的结果是（）A．B．C．D．4．下列函数为奇函数的是（）A．f（x）＝x3+3x2B．f（x）＝2x+2﹣xC．D．f（x）＝x sin x5．要得到函数的图象，只需将函数y＝sin x的图象（）A．把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位B．把各点的模坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位C．把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位D．把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位6．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（）A．f（x）＝2sin（2x+）B．f（x）＝2sin（x+）C．f（x）＝2sin（2x+）D．f（x）＝2sin（x+）7．已知a＝log45，，c＝sin2，则a，b，c的大小关系是（）A．b＜c＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a8．已知函数f（x）＝m（x﹣2）+3，g（x）＝x2﹣4x+3，若对任意x1∈[0，4]，总存在x2∈[1，4]，使得f（x1）＞g（x2）成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．C．（﹣∞，﹣2）D．9．已知函数y＝lg[（a2﹣1）x2﹣2（a﹣1）x+3]的值域为R，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，1] B．[﹣2，﹣1]C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣2）∪[1，+∞）10．函数在区间上的图象大致为（）A．B．C．D．11．已知函数f（x）＝sin x•（sin x+cos x），给出以下四个命题：①f（x）的最小正周期为π；②f（x）在上的值域为[0，1]；③f（x）的图象关于点中心对称；④f（x）的图象关于直线对称．其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．412．已知函数，若存在实数x1，x2，x3，x4使得f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4）且x1＜x2＜x3＜x4，则的取值范围是（）A．（14，17）B．（14，19）C．（17，19）D．二、填空题13．已知cos2α＝，．则sinα＝．14．已知tanα＝﹣2，tan（α+β）＝，则tanβ的值为．15．若函数f（x）满足：在定义域D内存在实数x0，使得成立，则称函数f（x）为“1阶马格丁香小花花”函数．给出下列四个函数：①；②f （x）＝e x；③f（x）＝lg（x2+2）；④f（x）＝cosπx．其中是“1阶马格丁香小花花”函数的所有函数的序号是．16．定义在R上的函数f（x）满足f（x﹣2）是偶函数，且对任意x∈R恒有f（3﹣x）+f （x﹣1）＝2020，又f（﹣2）＝2019，则f（2020）＝．三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（1）若tanα＝3，求值：；（2）计算：lg20﹣lg2+．18．已知集合A＝{x|y＝lg（﹣x2+x+6）}，集合B＝{x|ax﹣x2＞0}．（1）当a＝4时，求A∩B；（2）若A∩B＝B，求实数a的取值范围．19．已知函数．（1）求；（2）求f（x）的单调递增区间．20．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）+b（ω＞0，﹣＜φ＜）相邻两对称轴间的距离为，若将f（x）的图象先向左平移个单位，再向下平移1个单位，所得的函数g（x）的为奇函数．（1）求f（x）的解析式，并求f（x）的对称中心；（2）若关于x的方程3[g（x）]2+m•g（x）+2＝0在区间[0，]上有两个不相等的实根，求实数m的取值范围．21．定义二元函数F（x，y）＝（1+x）y，x∈（0，+∞），y∈R．如．已知二次函数g（x）过点（0，0），对x∈R成立．（1）求g（﹣1）的值，并求函数g（x）的解析式；（2）若函数h（x）＝g（2x+2﹣x）﹣22﹣x，求h（x）在x∈[0，1]上的值域．22．已知定义在（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）的奇函数f（x）满足：①f（3）＝﹣1；②对任意x＞2，均有f（x）＜0；③对任意m，n＞0．均有f（m+1）+f（n+1）＝f（mn+1）．（1）求f（2）的值；（2）利用定义法证明f（x）在（1，+∞）上单调递减；（3）若对任意，恒有f（sin2θ+（2k﹣3）（sinθ+cosθ）﹣k）≥﹣2，求实数k的取值范围．参考答案一、选择题1．已知集合A＝{x|﹣1＜x≤2，x∈Z}，B＝{﹣1，0，1}，则A∪B＝（）A．{0，1} B．{﹣1，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2} 【分析】利用列举法表示集合A，再由并集运算得答案．解：∵A＝{x|﹣1＜x≤2，x∈Z}＝{0，1，2}，B＝{﹣1，0，1}，∴A∪B＝{﹣1，0，1，2}．故选：D．2．已知函数f（x）＝ln（x+1）+x﹣2，在下列区间中，函数f（x）一定有零点的是（）A．[0，1] B．[1，2] C．[2，3] D．[3，4]【分析】根据函数零点的判定定理，把所给的区间的端点代入求出函数值，找出两个端点对应的函数值符号相反的区间，得到结果．解：由于函数f（x）＝ln（x+1）+x﹣2，是连连续增函数，f（1）＝ln2﹣1＜0，f（2）＝ln3＞0，∴f（1）•f（2）＜0，故函数f（x）＝ln（x+1）+x﹣2的零点在（ 1，2）内，故选：B．3．计算sin15°•sin105°的结果是（）A．B．C．D．【分析】由题意利用诱导公式、二倍角的正弦公式，求得所给式子的值．解：sin15°•sin105°＝sin15°•（﹣cos15°）＝﹣sin30°＝﹣，故选：A．4．下列函数为奇函数的是（）A．f（x）＝x3+3x2B．f（x）＝2x+2﹣xC．D．f（x）＝x sin x【分析】首先判断定义域是否关于原点对称，再计算f（﹣x）和f（x）的关系，即可判断奇函数．解：对于A，f（x）＝x3+3x2，f（﹣x）＝﹣x3+3x2，f（﹣x）≠﹣f（x），f（x）不为奇函数；对于B，f（x）＝2x+2﹣x，f（﹣x）＝2﹣x+2x，f（﹣x）＝f（x），f（x）为偶函数；对于C，f（x）＝ln，定义域（﹣3，3）关于原点对称，f（﹣x）+f（x）＝ln+ln ＝ln1＝0，即有f（﹣x）＝﹣f（x），f（x）为奇函数；对于D，f（x）＝x sin x，定义域为R，f（﹣x）＝﹣x sin（﹣x）＝x sin x＝f（x），f （x）为偶函数．故选：C．5．要得到函数的图象，只需将函数y＝sin x的图象（）A．把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位B．把各点的模坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位C．把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位D．把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．解：只需将函数y＝sin x的图象各点的模坐标缩短到原来的倍，即可得到y＝sin2x的图象；再把所得图象向右平移个单为，可得函数的图象，故选：A．6．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（）A．f（x）＝2sin（2x+）B．f（x）＝2sin（x+）C．f（x）＝2sin（2x+）D．f（x）＝2sin（x+）【分析】根据图象确定A，ω和φ的值即可求函数的解析式解：由图象知函数的最大值为2，即A＝2，函数的周期T＝4（）＝2，解得ω＝1，即f（x）＝2sin（x+φ），由五点对应法知+φ＝π，解得φ＝，故f（x）＝2sin（x+），故选：B．7．已知a＝log45，，c＝sin2，则a，b，c的大小关系是（）A．b＜c＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a【分析】容易得出，从而可得出a，b，c的大小关系．解：∵log45＞log44＝1，，，∴b＜c＜a．故选：A．8．已知函数f（x）＝m（x﹣2）+3，g（x）＝x2﹣4x+3，若对任意x1∈[0，4]，总存在x2∈[1，4]，使得f（x1）＞g（x2）成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．C．（﹣∞，﹣2）D．【分析】根据对任意的x1∈[0，4]，总存在x2∈[1，4]，使f（x1）＞g（x2）成立，由二次函数的值域求得可得g（x）的最小值，可得﹣1＜m（x﹣2）+3在x∈[0，4]恒成立，进而根据一次函数的单调性可得关于m的不等式组，解不等式组可得答案．解：g（x）＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，当x2∈[1，4]时，g（x2）∈[﹣1，3]，则g（x2）的最小值为﹣1，可得﹣1＜m（x﹣2）+3在x∈[0，4]恒成立，则﹣1＜﹣2m+3，且﹣1＜2m+3，解得m＜2，且m＞﹣2，即﹣2＜m＜2，故选：A．9．已知函数y＝lg[（a2﹣1）x2﹣2（a﹣1）x+3]的值域为R，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，1] B．[﹣2，﹣1]C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣2）∪[1，+∞）【分析】根据题意，应使对数函数的真数取到所有的正数，由此讨论真数的值域即可．【解答】解；∵函数y＝lg[（a2﹣1）x2﹣2（a﹣1）x+3]的值域为R，∴当a2﹣1＝0时，a＝1或a＝﹣1，验证a＝1时不成立；当a2﹣1≠0时，，解得﹣2≤a＜﹣1；综上，﹣2≤a≤﹣1，∴实数a的取值范围是[﹣2，﹣1]．故选：B．10．函数在区间上的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】化简f（x）的解析式，去掉绝对值，化f（x）为分段函数，再考查函数在每一段上的增减性即可．解：当x∈（，1）时，f（x）＝tan（x）+（x﹣）﹣[（x﹣）﹣tan（x）]＝2tan（x），函数单调递增；当x∈[1，2）时，f（x）＝tan（x）+（x﹣）﹣[tan（x）﹣（x ﹣）]＝2（x﹣），函数单调递减；即f（x）＝，∴满足条件函数f（x）的图象是第一个；故选：A．11．已知函数f（x）＝sin x•（sin x+cos x），给出以下四个命题：①f（x）的最小正周期为π；②f（x）在上的值域为[0，1]；③f（x）的图象关于点中心对称；④f（x）的图象关于直线对称．其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】首先把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求出结果．解：函数f（x）＝sin x（sin x+cos x）＝＝．所以函数的最小正周期为T＝故①正确．由于，所以，所以，所以0≤f（x）≤1，故②正确．当x＝时，函数的值为，故f（x）的图象关于点中心对称；故③正确．当x＝时，函数的值为，即函数的最大值，故④正确．故选：D．12．已知函数，若存在实数x1，x2，x3，x4使得f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4）且x1＜x2＜x3＜x4，则的取值范围是（）A．（14，17）B．（14，19）C．（17，19）D．【分析】作出f（x）的函数图象，求出x1，x2，x3，x4的范围，根据对数函数的性质得出x1x2＝1，利用三角函数的对称性得出x3+x4＝12，代入式子化简得出关于x3的二次函数，根据x3的范围和二次函数的性质求出值域即可．解：作出函数f（x）的图象如图所示：因为存在实数x1，x2，x3，x4，满足x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），∴＜x1＜1，1＜x2＜2，2＜x3＜4，8＜x4＜10，∵﹣log2x1＝log2x2，∴log2＝log2x2，∴x1x2＝1，∵y＝sin关于直线x＝6对称，∴x3+x4＝12，∴＝（x3﹣1）（x4﹣1）+2x4﹣5x3＝x3x4﹣6x3+x4+1＝﹣x32+5x3+13＝﹣（x3﹣）2+，令g（x3）＝﹣（x3﹣）2+，则g（x3）在（2，）是增函数，在（，4）递减，∵g（2）＝19，g（4）＝17，g（）＝，∴17＜g（x3）≤．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，把最简答案写在答题卡相应位置上13．已知cos2α＝，．则sinα＝﹣．【分析】由题意利用二倍角的余弦公式，以及三角函数在各个象限中的符号，求得sin α的值．解：∵cos2α＝＝1﹣2sin2α，，则sinα＜0，求得sinα＝﹣，故答案为：﹣．14．已知tanα＝﹣2，tan（α+β）＝，则tanβ的值为 3 ．【分析】直接利用两角和的正切函数，求解即可．解：tanα＝﹣2，tan（α+β）＝，可知tan（α+β）＝＝，即＝，解得tanβ＝3．故答案为：3．15．若函数f（x）满足：在定义域D内存在实数x0，使得成立，则称函数f（x）为“1阶马格丁香小花花”函数．给出下列四个函数：①；②f （x）＝e x；③f（x）＝lg（x2+2）；④f（x）＝cosπx．其中是“1阶马格丁香小花花”函数的所有函数的序号是②④．【分析】根据题意，由“1阶马格丁香小花花”函数的定义分析所给的四个函数，综合即可得答案．解：根据题意，依次分析4个函数：对于①，f（x）＝，若f（x）＝是“1阶马格丁香小花花”函数，则方程＝+1有解，方程＝+1变形可得x2+x+1＝0，该方程无实数解，所以函数f（x）＝不是“1阶马格丁香小花花”函数；对于②，f（x）＝e x，其定义域为R，则方程e x+1＝e x+e有解，方程e x+1＝e x+e，变形可得（e﹣1）e x＝e，解可得x＝ln，有解；故函数f（x）＝e x是“1阶马格丁香小花花”函数；对于③f（x）＝lg（x2+2），若存在x，使f（x+1）＝f（x）+f（1）则lg[（x+1）2+2]＝lg（x2+2）+lg3即2x2﹣2x+3＝0，而△＝4﹣24＝﹣20＜0，故方程无解．故f（x）＝lg（x2+2）不是“1阶马格丁香小花花”函数；对于④f（x）＝cosπx，存在x＝，使f（）＝cos＝f（）+f（1）即f（x+1）＝f（x）+f（1）成立，故函数f（x）＝cosπx是“1阶马格丁香小花花”函数；综合：②④是“1阶马格丁香小花花”函数；故答案为：②④．16．定义在R上的函数f（x）满足f（x﹣2）是偶函数，且对任意x∈R恒有f（3﹣x）+f （x﹣1）＝2020，又f（﹣2）＝2019，则f（2020）＝ 1 ．【分析】运用偶函数的定义，将x换为﹣x，再根据∀x∈R，有f（3﹣x）+f（x﹣1）＝2014，得到f（x+4）+f（x﹣2）＝2014，得到函数f（x）的最小正周期为12，从而得到f（2020）＝2020﹣f（﹣2），从而可得结论解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（x﹣2）是偶函数，∴f（﹣x﹣2）＝f（x﹣2），∵∀x∈R，有f（3﹣x）+f（x﹣1）＝2020，∴f（4﹣x）+f（x﹣2）＝2020，∴f（4﹣x）+f（﹣2﹣x）＝2020，即f（x+4）+f（x﹣2）＝2020，从而有f（x+6）+f（x）＝2020，f（x+12）+f（x+6）＝2020，∴f（x+12）＝f（x），即函数f（x）的最小正周期为12，∴f（2020）＝f（12×168+4）＝f（4）＝2020﹣f（﹣2）＝1，故答案为：1．三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（1）若tanα＝3，求值：；（2）计算：lg20﹣lg2+．【分析】（1）运用诱导公式，同角三角函数基本关系式即可化简求值．（2）利用对数的运算性质即可计算得解．解：（1）∵tanα＝3，∴＝＝＝＝﹣；（2）lg20﹣lg2+＝lg10+log33+log23×﹣2＝1+1+2﹣2＝2．18．已知集合A＝{x|y＝lg（﹣x2+x+6）}，集合B＝{x|ax﹣x2＞0}．（1）当a＝4时，求A∩B；（2）若A∩B＝B，求实数a的取值范围．【分析】（1）a＝4时，求出集合A，集合B，由此能求出A∩B．（2）集合A＝{x|y＝lg（﹣x2+x+6）}＝{x|﹣2＜x＜3}，集合B＝{x|ax﹣x2＞0}＝{x|x （x﹣a）＜0}，A∩B＝B，从而B⊆A，由此能求出实数a的取值范围．解：（1）a＝4时，集合A＝{x|y＝lg（﹣x2+x+6）}＝{x|﹣2＜x＜3}，集合B＝{x|4x﹣x2＞0}＝{x|0＜x＜4}．∴A∩B＝{x|0＜x＜3}．（2）∵集合A＝{x|y＝lg（﹣x2+x+6）}＝{x|﹣2＜x＜3}，集合B＝{x|ax﹣x2＞0}＝{x|x（x﹣a）＜0}，A∩B＝B，∴B⊆A，当B＝∅时，a＝0，当B≠∅时，﹣2≤a＜0或0＜a≤3综上，实数a的取值范围[﹣2，3]．19．已知函数．（1）求；（2）求f（x）的单调递增区间．【分析】（1）先利用三角函数公式化简函数f（x），再代入求值即可；（2）由（1）知f（x）＝，再利用正弦函数的图象即可求出f（x）的单调递增区间．解：（1）∵＝sin2x+1﹣cos2x＝＝，∴＝sin+1＝；（2）由（1）知f（x）＝，∴令﹣，（k∈Z），得：，∴f（x）的单调递增区间为[]（k∈Z）．20．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）+b（ω＞0，﹣＜φ＜）相邻两对称轴间的距离为，若将f（x）的图象先向左平移个单位，再向下平移1个单位，所得的函数g（x）的为奇函数．（1）求f（x）的解析式，并求f（x）的对称中心；（2）若关于x的方程3[g（x）]2+m•g（x）+2＝0在区间[0，]上有两个不相等的实根，求实数m的取值范围．【分析】（1）由周期求得ω，由函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律可得g（x）＝sin（2x++φ）+b﹣1，再根据g（x）的为奇函数求得φ和b的值，可得f（x）和g （x）的解析式以及f（x）的对称中心．（2）由（1）可得g（x）＝sin2x，由题意可得可得关于t的方程 3t2+m•t+2＝0在区间（0，1）上有唯一解．再利用二次函数的性质求得m的范围．解：（1）由题意可得＝＝，∴ω＝2，f（x）＝sin（2x+φ）+b，∴g（x）＝sin[2（x+）+φ]+b﹣1＝sin（2x++φ）+b﹣1．再结合函数g（x）的为奇函数，可得+φ＝kπ，k∈z，且b﹣1＝0，再根据﹣＜φ＜，可得φ＝﹣，b＝1，∴f（x）＝sin（2x﹣）+1，g（x）＝sin2x．令2x﹣＝nπ，n∈z，可得x＝+，∴f（x）的对称中心（+，1）．（2）由（1）可得g（x）＝sin2x，在区间[0，]上，2x∈[0，π]，令t＝g（x），则t∈[0，1]．由关于x的方程3[g（x）]2+m•g（x）+2＝0在区间[0，]上有两个不相等的实根，可得关于t的方程 3t2+m•t+2＝0在区间（0，1）上有唯一解．令h（t）＝3t2+m•t+2，∵h（0）＝2＞0，则满足h（1）＝3+m+2＜0，或，求得m＜﹣5，或m＝﹣2．21．定义二元函数F（x，y）＝（1+x）y，x∈（0，+∞），y∈R．如．已知二次函数g（x）过点（0，0），对x∈R成立．（1）求g（﹣1）的值，并求函数g（x）的解析式；（2）若函数h（x）＝g（2x+2﹣x）﹣22﹣x，求h（x）在x∈[0，1]上的值域．【分析】（1）根据定义可得2g（﹣1）＝＝2﹣4，所以g（﹣1）＝﹣4，进而a＝b﹣4，再由﹣（3x2+1）≤ax2+bx≤6x+2对x∈R成立．整理可得a，b的值；（2）h（x）整理得﹣2（2x﹣2﹣x）2+2（2x﹣2﹣x）﹣8，换元配方即可解：（1）因为对x∈R成立．所以x＝﹣1时，≤2g（﹣1）≤4﹣2，即有2g（﹣1）＝＝2﹣4，所以g（﹣1）＝﹣4 设g（x）＝ax2+bx（a≠0），则g（﹣1）＝a﹣b＝﹣4，即a＝b﹣4，又因为对x∈R成立．即≤2g（x）≤26x+2，则﹣（3x2+1）≤ax2+bx≤6x+2对x∈R成立．则对x∈R，（a+3）x2+bx+1≥0恒成立，所以a+3≥0，△＝b2﹣4（a+3）≤0同时对x∈R，ax2+（b﹣6）x﹣2≤0恒成立，所以a＜0，△＝（b﹣6）2+8a≤0，代入a＝b﹣4得（b﹣2）2≤0，所以b＝2，则a＝﹣2，故g（x）＝﹣2x2+2x；（2）函数h（x）＝g（2x+2﹣x）﹣22﹣x＝﹣2（2x+2﹣x）2+2（2x+2﹣x）﹣4•2﹣x＝﹣2（2x+2﹣x）2+2（2x﹣2﹣x）＝﹣2[（2x﹣2﹣x）2+4]+2（2x﹣2﹣x）＝﹣2（2x﹣2﹣x）2+2（2x﹣2﹣x）﹣8，令t＝2x﹣2﹣x，因为x∈[0，1]，所以t∈[0，]，h（t）＝﹣2t2+2t﹣8＝﹣2（t﹣）2﹣，则h（t）∈[﹣，﹣]22．已知定义在（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）的奇函数f（x）满足：①f（3）＝﹣1；②对任意x＞2，均有f（x）＜0；③对任意m，n＞0．均有f（m+1）+f（n+1）＝f（mn+1）．（1）求f（2）的值；（2）利用定义法证明f（x）在（1，+∞）上单调递减；（3）若对任意，恒有f（sin2θ+（2k﹣3）（sinθ+cosθ）﹣k）≥﹣2，求实数k的取值范围．【分析】（1）由条件③f（m+1）+f（n+1）＝f（mn+1）对任意m，n＞0均成立，可令m ＝n＝1，即可解得f（2）＝0；（2）由（Ⅰ），将f（m+1）+f（n+1）＝f（mn+1）变形得f（mn+1）﹣f（n+1）＝f（m+1），设x2＝mn+1，x1＝n+1，其中m，n＞0，m＞1，利用②③即证得结论成立；（3）利用赋值法，结合题意可求得f（x）≥﹣2的解为：1＜x≤5或x≤﹣，再结合函数的单调性脱去函数符号“f”，得到1＜sin2θ+（2k﹣3）（sinθ+cosθ）﹣k≤5，或sin2θ+（2k﹣3）（sinθ+cosθ）﹣k≤﹣，再通过构造函数，利用分类讨论、等价转化等思想方法正确分析、运算即可求得实数k的取值范围．解：（1）由条件③f（m+1）+f（n+1）＝f（mn+1）知，令m＝n＝1得：f（2）+f（2）＝f（2），故得f（2）＝0．（2）由（1）将f（m+1）+f（n+1）＝f（mn+1）变形得：f（mn+1）﹣f（n+1）＝f（m+1），设x2＝mn+1，x1＝n+1，其中m，n＞0，m＞1，则x2﹣x1＝n（m﹣1）＞0，故x2＞x1，则f（x2）﹣f（x1）＝f（mn+1）﹣f（n+1）＝f（m+1），m＞1，m+1＞2，由②对任意x＞2，均有f（x）＜0可知，f（m+1）＜0，即f（x2）﹣f（x1）＜0，所以f（x2）＜f（x1），即f（x）在（1，+∞）上为减函数；（3）由（1）知f（2）＝0，而f（x）为奇函数，又f（3）＝﹣1，对任意m，n＞0，f（m+1）+f（n+1）＝f（mn+1），所以f（2+1）+f（2+1）＝f（2×2+1）＝f（5），即f（5）＝﹣2①．再令m＝4，n＝，则f（4+1）+f（+1）＝f（4×+1）＝f（2）＝0，所以f（5）＝﹣f（）＝f（﹣）＝﹣2②由①②可知，f（x）≥﹣2的解为：1＜x≤5或x≤﹣．于是，f（sin2θ+（2k﹣3）（sinθ+cosθ）﹣k）≥﹣2⇔1＜sin2θ+（2k﹣3）（sinθ+cosθ）﹣k≤5，或sin2θ+（2k﹣3）（sinθ+cosθ）﹣k≤﹣．令t＝sinθ+cosθ＝sin（θ+），θ∈[﹣，0]⇒∈[﹣，]⇒sin（θ+）∈[﹣1，1]，即t∈[﹣1，1]，又sin2θ＝t2﹣1，故sin2θ+（2k﹣3）（sinθ+cosθ）﹣k＝t2﹣（2k﹣3）t﹣k﹣1，令g（t）＝t2﹣（2k﹣3）t﹣k﹣1（﹣1≤t≤1），则1＜g（t）≤5或g（t）≤﹣．先分析：1＜g（t）≤5（﹣1≤t≤1），即，对于③，∀t∈[﹣1，1]，t2﹣（2k﹣3）t﹣k﹣1≤5⇔，解得﹣≤t≤8③′；对于④，∀t∈[﹣1，1]，t2﹣（2k﹣3）t﹣k﹣1＞1，即∀t∈[﹣1，1]，t2﹣（2k﹣3）t﹣k﹣2＞0．令h（t）＝t2﹣（2k﹣3）t﹣k﹣2，分三类讨论：1°当≤﹣1，即k≤时，h（t）在区间[﹣1，1]上单调递增，由h（t）min＝h（﹣1）＝1+（2k﹣3）﹣k﹣2＞0得：k＞4，与k≤矛盾，即此时k∈∅；2°当≥1，即k≥时，h（t）在区间[﹣1，1]上单调递减，由h（t）min＝h（1）＝1﹣（2k﹣3）﹣k﹣2＞0得：k＜，与k≥矛盾，即此时k∈∅；3°当﹣1＜＜1，即＜k＜时，h（t）在区间[﹣1，1]上的最小值为h（），由h（t）min＝h（）＝﹣[（2k﹣3）×]﹣k﹣2＞0整理得：4k2﹣8k+17＜0，此不等式无解，即此时k∈∅；即对于④，∀t∈[﹣1，1]，t2﹣（2k﹣3）t﹣k﹣1＞1中的实数k∈∅；综上所述，∀t∈[﹣1，1]，1＜g（t）≤5，即1＜（sin2θ+（2k﹣3）（sinθ+cosθ）﹣k）≤5中的k∈∅；再分析g（t）≤﹣，即，即，解得：≤k≤．综上所述，实数k的取值范围为[，]．。

2022-2023学年重庆市第一中高一上数学期末学业质量监测模拟试题含解析

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.） 1．命题“1x ∃≥，使21x >.”的否定形式是（） A.“1x ∃<，使21x >” B.“1x ∃<，使21x ≤” C.“1x ∀≥，使21x >”D.“1x ∀≥，使21x ≤”2．若－4<x <1，则22222x x x -+-（）A.有最小值1B.有最大值1C.有最小值－1D.有最大值－13．设集合M={a|∀x∈R，x 2+ax+1＞0}，集合N={a|∃x∈R，（a-3）x+1=0}，若命题p ：a∈M，命题q ：a∈N，那么命题p 是命题q 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件4．在平面直角坐标系xOy 中, 以1,1C 为圆心的圆与x 轴和y 轴分别相切于,A B 两点, 点,M N 分别在线段,OA OB 上, 若,MN 与圆C 相切, 则MN 的最小值为A.1B.2C.2D.25．已知点（a ，2）在幂函数()(3)bf x a x =-的图象上，则函数f （x ）的解析式是（） A.12()f x x = B.12()2f x x = C.3()f x x =D.1()f x x -=6．已知M ，N 都是实数，则“0MN >”是“()222log log log MN M N =+”的（）条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要D.既不充分也不必要7．若函数()()sin f x x πϖ=-+2x πϖ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()0ϖ> 满足()12,f x =-()20f x =且12x x -的最小值为4π，则函数()f x 的单调递增区间为 A.52,266k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈ B.()52,21212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C.(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D.()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦8相等的是 A.sin2cos2- B.cos2sin2- C.cos2D.cos2-9．已知函数，则()2log 1,026,0x x f x x x ->⎧=⎨-≤⎩，则()()11f f --=A.22log 32-B.2log 71-C.2D.2log 610．下列函数，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( ) A.3y x = B.3log y x =- C.3x y =D.1y x=二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，32()2f x x x =+,则(2)f =__________.12．一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm) ，如右图所示，则该几何体的侧面积为cm13．某学校在校学生有2000人，为了增强学生的体质，学校举行了跑步和登山比赛，每人都参加且只参加其中一项比赛，高一、高二、高三年级参加跑步的人数分别为a ，b ，c ，且::2:5:3a b c =，全校参加登山的人数占总人数的14.为了了解学生对本次比赛的满意程度，按分层抽样的方法从中抽取一个容量为200的样本进行调查，则应从高三年级参加跑步的学生中抽取人数为______. 14．函数21log y x =-+的定义域为________15．已知函数()()22log 4f x ax ax =-+.（1）若()f x 在1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，则实数a 的取值范围是___________；（2）若()f x 的值域是R ，则实数a 的取值范围是___________.三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16．设函数()(0xxf x a ma a -=+>且1)a ≠是定义在R 上的奇函数（1）求m 的值；（2）若()10f <，试判断函数的单调性(不需证明)，求出不等式()()226120f x x f x ++-->的解集17．已知函数44()log (2)log (4)f x x x =++-. （1）求()f x 的定义域；（2）若函数1()42x x g x a a +=⋅--，且对任意的1[5,6]x ∈，2[1,2]x ∈，()()12f x g x <恒成立，求实数a 的取值范围.18．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，分别取BC ，CD 的中点E ，F ，连接AE ，EF ，AF ，以AE ，EF ，FA 为折痕进行折叠，使点B ，C ，D 重合于一点P .（1）求证：AP EF ⊥；（2）求三棱锥P AEF -的体积19．已知集合{}121A x a x a =-<<+，{}2650B x x x =-+<. （1）若A B =，求实数a 的值；（2）若AB =∅，求实数a 的取值范围.20．已知0a >且满足不等式215222a a +->. （1）求不等式()()log 31log 75a a x x +<-；（2）若函数()log 21a y x =-在区间[]3,6有最小值为2-，求实数a 值21．如图，在三棱锥A BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD .求证：(1)EF ∥平面ABC ； (2)AD ⊥AC .参考答案一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.） 1、D【解析】根据特称命题的否定是全称命题，即可得出命题的否定形式【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“1x ∃≥，使21x >”的否定形式为：1x ∀≥，使21x ≤ 故选：D 2、D【解析】先将22222x x x -+-转化为11[(1)]21x x -+-，根据－4<x <1，利用基本不等式求解. 【详解】22211[(1)]2221x x x x x -+=-+--又∵－4<x <1， ∴x －1<0 ∴－(x －1)>0∴11[(1)]12(1)x x ---+≤---．当且仅当x －1＝11x -，即x ＝0时等号成立故选：D【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题. 3、A【解析】由题意，对于集合M ，△=a 2-4＜0，解得-2＜a ＜2；对于集合N ，a≠3若-2＜a ＜2，则a≠3；反之，不成立. 命题p 是命题q 的充分不必要条件. 故选A 4、D【解析】因为1,1C 为圆心的圆与 x 轴和y 轴分别相切于 ,A B 两点, 点,M N 分别在线段 ,OA OB 上, 若,MN 与圆C 相切，设切点为 Q ，所以AM BN QM QN MN +=+=，设 MNO ∠θ=，则()cos sin ,21cos sin OM ON MN MN OA OB MN θθθθ+=++==++，221cos sin 14MN πθθθ==≥=++⎛⎫+ ⎪⎝⎭2，故选D.考点：1、圆的几何性质；2、数形结合思想及三角函数求最值【方法点睛】本题主要考查圆的几何性质、数形结合思想及三角函数求最值，属于难题．求最值的常见方法有 ① 配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；② 三角函数法：将问题转化为三角函数，利用三角函数的有界性求最值；③ 不等式法：借助于基本不等式求函数的值域，用不等式法求值域时，要注意基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”；④ 单调性法：首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间，最后再根据其单调性求凼数的值域，⑤图像法：画出函数图像，根据图像的最高和最低点求最值，本题主要应用方法②求MN 的最小值的 5、A【解析】由幂函数的定义解出a ，再把点代入解出b .【详解】∵函数()(3)bf x a x =-是幂函数，∴31a -=，即4a =， ∴点（4，2）在幂函数()bf x x =的图象上，∴12b =，故12()f x x = 故选：A. 6、B【解析】用定义法进行判断.【详解】充分性：取1,2M N =-=-，满足0MN >.但是22log log M N 、无意义，所以充分性不满足；必要性：当()222log log log MN M N =+成立时，则有00M N >⎧⎨>⎩,所以0MN >.所以必要性满足. 故选：B 7、D【解析】分析：首先根据诱导公式和辅助角公式化简函数解析式，之后应用题的条件求得函数的最小正周期，求得ω的值，从而求得函数解析式，之后利用整体思维，借助于正弦型函数的解题思路，求得函数的单调增区间.详解：()sin()sin()2f x x x ππωω=-+sin 2sin()3x x x πωωω=+=+，根据题中条件满足()12,f x =-()20f x =且12x x -的最小值为4π，所以有44T π=，所以,2T πω==，从而有()2sin(2)3f x x π=+，令222232k x k πππππ-≤+≤+，整理得51212k x k ππππ-≤≤+，从而求得函数的单调递增区间为5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈，故选D. 点睛：该题考查的是有关三角函数的综合问题，涉及到的知识点有诱导公式、辅助角公式、函数的周期以及正弦型函数的单调区间的求法，在结题的过程中，需要对各个知识点要熟记，解题方法要明确. 8、A22cos sin =-，结合三角函数的符号即可得到结果.22cos sin ==-,又2弧度在第二象限，故sin2＞0,cos2＜0，= sin2cos2- 故选A【点睛】本题考查三角函数的化简问题，涉及到二倍角公式，平方关系，三角函数值的符号，考查计算能力. 9、B【解析】因为()2log 1,026,0x x f x x x ->⎧=⎨-≤⎩，所以()()()()2112617117log 71f f f f --=---=--==-，，故选B. 10、A【解析】由幂函数，指数函数与对数函数的性质可得【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，3y x =，其定义域为R ，在R 上既是奇函数又是增函数，符合题意；对于B ，3log y x =-，是对数函数，不是奇函数，不符合题意；对于C ，3x y =，为指数函数，不为奇函数；对于D ，1y x=，为反比例函数，其定义域为{|0}x x ≠，在其定义域上不是增函数，不符合题意；故选A【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，是基础题，掌握幂函数，指数函数与对数函数的性质是解题关键二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上） 11、12【解析】由函数的奇偶性可知()()22f f =--，代入函数解析式即可求出结果. 【详解】函数()f x 是定义在上的奇函数，()()f x f x -=-，则()()f x f x =--，()()()()322222212f f ⎡⎤=--=-⨯-+-=⎣⎦.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，属于基础题型. 12、80【解析】图复原的几何体是正四棱锥，斜高是5cm ，底面边长是8cm ，侧面积为 ×4×8×5=80（cm 2）考点：三视图求面积.点评：本题考查由三视图求几何体的侧面积 13、45【解析】由题意求得样本中抽取的高三的人数为60人进而求得样本中高三年级参加登山的15人，即可求解. 【详解】由题意，高一、高二、高三年级参加跑步的人数分别为a ，b ，c ，且::2:5:3a b c =，所以样本中抽取的高三的人数为320060253⨯=++人，又因为全校参加登山的人数占总人数的14，所以样本中高三年级参加登山的人数为160154⨯=，所以样本中高三年级参加跑步的人数为601545-=人. 故答案为：45. 14、[2,)+∞【解析】根据偶次方根被开方数为非负数、对数真数大于零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域. 【详解】依题意21log 00x x -+≥⎧⎨>⎩，解得2x ≥，故函数的定义域为[2,)+∞.故答案为[2,)+∞.【点睛】本小题主要考查具体函数定义域的求法，属于基础题. 15、 ①.[)2,0- ②.[)16,+∞【解析】（1）分析可知内层函数24u ax ax =-+在1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭上为减函数，且对任意的1,22x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，0>u 恒成立，由此可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围；（2）分析可知()0,∞+为二次函数24u ax ax =-+值域的子集，分0a =、0a ≠两种情况讨论，可得出关于实数a 的不等式组，综合可得出实数a 的取值范围. 【详解】（1）令24u ax ax =-+，2log y u =.当0a =时，()2log 42f x ==，该函数为常值函数，不合乎题意. 所以，0a ≠，内层函数24u ax ax =-+的对称轴为直线12x =，由于函数()f x 在1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，且外层函数2log y u =为增函数，故内层函数24u ax ax =-+在1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭上为减函数，且对任意的1,22x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，0>u 恒成立，所以，04240a a a <⎧⎨-+≥⎩，解得20a -≤<；（2）因为函数()f x 的值域是R ，则()0,∞+为二次函数24u ax ax =-+值域的子集. 当0a =时，内层函数为4u =，不合乎题意；当0a ≠时，则有2160a a a >⎧⎨∆=-≥⎩，解得16a ≥. 综上所述，实数a 的取值范围是[)16,+∞. 故答案为：（1）[)2,0-；（2）[)16,+∞.三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16、（1）1m =- （2）{}|26.x x -<<【解析】（1）由奇函数的性质可得(0)0f =，从而可求出m 的值；（2）由()10f <可得01a <<，从而可判断出函数单调性，然后根据函数的奇偶性和单调性解不等式【小问1详解】∵()f x 是定义在R 上的奇函数，()00f ∴=，即10m += ， 1m ∴=-，当1m =-时，()xxf x a a -=-，()()()x x x x f x a a a a f x ---=-=--=-，故1m =-符合题意; 【小问2详解】 ∵1(1)0f a a=-<，又0a >且1a ≠， 01a ∴<<，x x y a y a -∴==-，都是R 上的减函数，()f x ∴是定义在R 上的减函数，故()()226120f x x f x ++-->()()22612f x x f x ⇒+>+， 2226124120x x x x x ∴+<+⇒--<26x ⇒-<<，∴不等式的解集{}|26.x x -<<17、（1）(4,)+∞.（2）（2，+∞）. 【解析】（1）使对数式有意义，即得定义域；（2）命题等价于max min ()()f x g x <，如其中一个不易求得，如min ()g x 不易求，则转化为max ()()f x g x <恒成立，再由其它方法如分离参数法求解或由二次不等式恒成立问题求解【详解】（1）由题可知20x +>且40x ->，所以4x >.所以()f x 的定义域为(4,)+∞.（2）由题易知()f x 在其定义域上单调递增.所以()f x 在[5,6]x ∈上的最大值为4(6)log 162f ==，对任意1[5,6],x ∈2[1,2],x ∈()()12f x g x <恒成立等价于max ()2()f x g x =<恒成立.由题得()2()222x x g x a a =⋅-⋅-.令2([2,4])x t t =∈，则2()22h t a t t a =⋅-->恒成立.当0a =时，1t <-，不满足题意.当0a <时，22242482a a a a ⎧⋅-->⎨⋅-->⎩，解得2a >，因为0a <，所以舍去.当0a >时，对称轴为1t a =，当12a <，即12a >时，2242a a ⋅-->，所以2a >；当124a ≤≤，即1142a ≤≤时，2122a a a a⎛⎫⋅--> ⎪⎝⎭，无解，舍去；当14a >，即104a <<时，2482a a ⋅-->，所以23a >，舍去. 综上所述，实数a 的取值范围为（2，+∞）.【点睛】本题考查求对数型复合函数的定义域，不等式恒成立问题．解题时注意转化与化归思想的应用．18、（1）证明见解析（2）13【解析】（1）通过90APE APF ∠=∠=︒，证明PA ⊥平面PEF ，然后证明AP EF ⊥；（2）利用13P AEF A PEF PEF V V S AP --==⋅，求出几何体的体积【小问1详解】证明： 90APE APF ∠=∠=︒，即,AP PE AP PF ⊥⊥ , ,,PE PF P PE PF =⊂平面PEF ，PA ∴⊥平面PEF ,又EF ⊂平面PEF ，所以AP EF ⊥；【小问2详解】由（1）知PA ⊥平面PEF ，∴11111123323P AEF A PEF PEF V V SAP --===⨯⨯⨯⨯=⋅ 19、（1）2a =（2）0a ≤或6a ≥【解析】（1）求出集合B ，再根据A B =列方程求解即可；（2）根据A B =∅分A =∅，A ≠∅讨论求解.【小问1详解】由已知得{}{}265015B x x x x x =-+<=<< A B =11215a a -=⎧∴⎨+=⎩，解得2a =；【小问2详解】A B =∅当A =∅时，121a a -≥+，得2a ≤-当A ≠∅时，15121a a a -≥⎧⎨-<+⎩或211121a a a +≤⎧⎨-<+⎩，解得20a -<≤或6a ≥，综合得0a ≤或6a ≥.20、（1）37,45⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2【解析】（1）运用指数不等式的解法，可得a 的范围，再由对数不等式的解法，可得解集；（2）由题意可得函数()log 21a y x =-在[]3,6递减，可得最小值，解方程可得a 的值试题解析：（1）∵22a +1＞25a -2.∴2a +1＞5a -2，即3a ＜3∴a ＜1，∵a ＞0，a ＜1∴0＜a ＜1.∵log a （3x +1）＜log a （7-5x ）.∴等价为3107503175x x x x +⎧⎪-⎨⎪+-⎩＞＞＞，即137534x x x ⎧-⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩＞＜＞， ∴3745x ＜＜，即不等式的解集为（34，75）.（2）∵0＜a ＜1∴函数y =log a （2x -1）在区间[3，6]上为减函数，∴当x =6时，y 有最小值为-2，即log a 11=-2，∴a -2=21a =11，解得a =1111. 21、（1）见解析（2）见解析【解析】（1）先由平面几何知识证明EF AB ∥，再由线面平行判定定理得结论；（2）先由面面垂直性质定理得BC ⊥平面ABD ，则BC ⊥AD ，再由AB ⊥AD 及线面垂直判定定理得AD ⊥平面ABC ，即可得AD ⊥AC试题解析：证明：（1）在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF AD ⊥，所以EF AB .又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC .（2）因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD =BD ，BC ⊂平面BCD ，BC BD ⊥，所以BC ⊥平面ABD .因为AD ⊂平面ABD ，所以BC ⊥ AD .又AB ⊥AD ，BC AB B ⋂=，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以AD ⊥平面ABC ，又因为AC ⊂平面ABC ，所以AD ⊥AC.点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直。

2017-2018学年重庆一中高一(上)期末数学试卷(解析版)

2017-2018学年重庆一中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.计算：tan的值为（）A. B. C. D.2.函数f（x）=2a x+1-1（a＞0，且a≠1）恒过定点（）A. B. C. D.3.已知α是第三象限角，且cos＞0，则所在的象限是（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4.已知A={x|y=ln x}，B={y|y=}，则（）A. B. C. D.5.若方程x2+ax+a=0的一根小于-2，另一根大于-2，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.6.若幂函数f（x）的图象过点（16，8），则f（x）＜f（x2）的解集为（）A. B.C. D.7.已知函数f（x）=cos（2ωx）（ω＞0），若f（x）的最小正周期为π，则f（x）的一条对称轴是（）A. B. C. D.8.若角α（0≤α≤2π）的终边过点P（sin，1-cos），则α=（）A. B. C. D.9.若不等式log a（ax2-2x+1）＞0（a＞0，且a≠1）在x∈[1，2]上恒成立，则a的取值范围是（）A. B. C. D.10.函数f（x）=x2•2-|x|-2x2+1的零点个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 411.（2cos20°-tan70°）cos10°=（）A. B. C. 1 D.12.函数f（x）=2x-3-的值域是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.关于x的不等式＜2的解集是______．14.已知sin（α+）=，α∈（，π），则tan（α-）=______．15.若函数f（x）满足：对任意实数x，有f（2-x）+f（x）=0且f（x+2）+f（x）=0，当x∈[0，1]时，f（x）=-（x-1）2，则x∈[2017，2018]时，f（x）=______．16.已知函数f（x）=sin2x+|cos2x|，现有如下几个命题：①该函数为偶函数；②[-，]是该函数的一个单调递增区间；③该函数的最小正周期为π④该函数的图象关于点（，0）对称；⑤该函数的值域为[-1，2]其中正确命题的编号为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知tan（α+）=-2．（1）求tanα的值；（2）求cos（α-）[sin（π+α）-2cos（π-α）]的值．18.（1）计算9+（log35）×（log1003）+；（2）已知a=2+，求的值．19.已知f（x）=2x+1+a•2-x（a∈R）．（1）若f（x）是奇函数，求a的值，并判断f（x）的单调性（不用证明）；（2）若函数y=f（x）-5在区间（0，1）上有两个不同的零点，求a的取值范围．20.已知f（x）=4cos4x+4sin2x-sin2x cos2x．（1）求f（x）的最小正周期；（2）将f（x）的图象上的各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在x∈[0，]上的单调区间和最值．21.定义域为R的函数f（x）满足：对任意实数x，y均有f（x+y）=f（x）+f（y）+2，且f（2）=2，又当x＞1时，f（x）＞0．（1）求f（0）、f（-1）的值，并证明：当x＜1时，f（x）＜0；（2）若不等式f（（a2-a-2）x2-（2a-1）2x+2）+4＜0对任意x∈[1，3]恒成立，求实数a的取值范围．22.已知f（x）=log2x．（1）求函数g（x）=f2（x）+2f（）的单调区间；（2）求证：x∈[π，2π]时，+sin x sin（x+）＞2成立．答案和解析1.【答案】C【解析】解：tan=tan（2π-）=-tan=-．故选：C．原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．2.【答案】B【解析】解：函数f（x）=2a x+1-1（a＞0，且a≠1），令x+1=0，解得x=-1，∴y=f（-1）=2-1=1，∴f（x）恒过定点（-1，1）．故选：B．根据指数函数的图象与性质，即可求出f（x）所过的定点坐标．本题考查了指数函数的图象与性质的应用问题，是基础题．3.【答案】D【解析】解：∵α是第三象限角，∴，k∈Z，∴＜＜+kπ，k∈Z，∴是第二象限角或第四象限角，∵cos＞0，∴所在的象限是第四象限．故选：D．由α是第三象限角，推导出是第二象限角或第四象限角，由cos＞0，得到所在的象限是第四象限．本题考查第二象限角的一半所在的象限的求法，考查象限角的定义等基础知识，考查学生的空间想象能力，是基础题．4.【答案】C【解析】解：集合A={x|y=lnx}={x|x＞0}=（0，+∞），B={y|y=}={y|y≥0}=[0，+∞）；则A∩B=（0，+∞），选项A错误；A B=[0，+∞）=B，选项B错误；A=（-∞，0]，∴（R A）B=R，选项C正确；RA⊆B，选项D错误．故选：C．化简集合A、B，根据集合的运算性质判断四个选项是否正确．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．5.【答案】A【解析】解：方程x2+ax+a=0的一根小于-2，另一根大于-2，可得（-2）2-2a+a＜0，解得a＞4．故选：A．利用函数与方程的关系，结合二次函数的性质，列出不等式求解即可．本题考查函数的零点与方程根的关系，是基本知识的考查．6.【答案】D【解析】解：设幂函数的解析式是f（x）=xα，将点（16，8）代入解析式得：16α=8，解得：α=＞0，故函数f（x）在定义域是[0，+∞），故f（x）在[0，+∞）递增，故0＜x＜x2，解得：x＞1，故选：D．求出幂函数的解析式，得到函数的单调性，去掉f，得到关于x的不等式，解出即可．本题考查了幂函数的定义，考查函数的单调性问题，是一道常规题．7.【答案】C【解析】解：函数f（x）=cos（2ωx）（ω＞0），若f（x）的最小正周期为π，则：．所以：ω=1．故f（x）=cos2x．令：2x=kπ（k∈Z），解得：x=（k∈Z），当k=1时，x=．故选：C．直接利用余弦型函数的性质求出结果．本题考查的知识要点：余弦型函数的性质的应用．8.【答案】D【解析】解：∵角α（0≤α≤2π）的终边过点P（sin，1-cos），∴tanα===tan，∴α=，故选：D．利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得tanα=tan，由此可得α的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：0＜a＜1时，log a（ax2-2x+1）＞0，即ax2-2x+1＜1，结合图象a＜（）min=1，a＞1时，log a（ax2-2x+1）＞0，即ax2-2x+1＞1，结合图象a＞（）max=2，综上，a∈（0，1）（2，+∞），故选：C．通过讨论a的范围，结合函数的单调性分离参数a，根据反比例函数的性质求出a的范围即可．本题考查了对数函数的单调性问题，考查函数恒成立以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．10.【答案】B【解析】解：函数f（x）=x2•2-|x|-2x2+1的零点个数即为f（x）=0，即2-|x|=2-x-2的解的个数，即y=2-|x|，y=2-x-2的图象交点个数，分别作出函数y=2-|x|，y=2-x-2的图象，由图象可得它们有两个交点，则f（x）的零点有两个．故选：B．由题意可得f（x）=0，即2-|x|=2-x-2的解的个数，即y=2-|x|，y=2-x-2的图象交点个数，分别作出两个函数的图象，由图象即可得到交点个数，即零点个数．本题考查函数的零点个数，注意运用转化思想和数形结合思想方法，考查观察能力，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：（2cos20°-tan70°）cos10°====．故选：A．利用二倍角公式转化求解即可．本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，考查计算能力．12.【答案】A【解析】解：f（x）=2x-3-=2x-3-．由-x2+6x-8≥0，解得2≤x≤4．令t=2x-3-，则=2x-3-t，即两函数y=与y=2x-3-t的图象有交点，如图：由图可知，当直线和半圆相切时，t最小，当直线过点（4，0）时，t最大．当直线与半圆相切时，由，得t=3+（舍）或t=3-；当直线过点（4，0）时，2×4-3-t=0，得t=5．∴函数f（x）=2x-3-的值域是[3-，5]．故选：A．求出函数的定义域，令t=2x-3-，则=2x-3-t，即两函数y=与y=2x-3-t的图象有交点，作出图象，数形结合得答案．本题考查函数的值域及其求法，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，属难题．13.【答案】（-∞，-1）（0，+∞）【解析】解：不等式＜2，可得，即，等价于或解得：x＞0或x＜-1∴不等式＜2的解集为（-∞，-1）（0，+∞）；故答案为：（-∞，-1）（0，+∞）；移项通分，转化为分式不等式求解即可．本题考查不等式的解法，主要考查高次不等式的解法注意转化为二次不等式，考查运算能力，属于基础题．14.【答案】-7【解析】解：已知sin（α+）=，α∈（，π），则：cos（）=-，所以：tan（）=-．故：===-7．故答案为：-7．直接利用三角函数关系式的恒等变变换和角的变换求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，角的变换的应用．15.【答案】（2017-x）2【解析】解：因为f（x）=-f（x+2）①，∴f（x+2）=-f（x+2+2）=-f（x+4）②，②代入①得f（x）=-（-f（x+4））=f（x+4），所以f（x）的周期T=4，∴当x∈[2017，2018]时，x-2016∈[1，2]，2-（x-2016）∈[0，1]，∴f（x）=f（x-2016）=-f（2-（x-2016））=-f（2018-x）=-（-（2018-x-1）2）=（2017-x）2故答案为（2017-x）2由f（x+2）=f（x）推出周期T=4，当x∈[2017，2018]时，x-2016∈[1，2]，2-（x-2016）∈[0，1]，∴f（x）=f（x-2016）=-f（2-（x-2016））=-f（2018-x），再代入已知解析式，可得．本题考查了函数解析式的求解及常用方法．属中档题．16.【答案】②③【解析】解：由于f（-x）=-sin2x+|cos2x|≠f（x），可得f（x）不为偶函数，故①错；当cos2x≥0时，f（x）=sin2x+cos2x=2sin（2x+）；当cos2x＜0时，f（x）=sin2x-cos2x=2sin（2x-）；由x∈[-，]，2x∈[-，]，cos2x≥0，即有f（x）=2sin（2x+），由2x+∈[-，]，可得f（x）递增，故②正确；由y=sin2x，y=|cos2x|的最小正周期为π，可得f（x）的最小正周期为π，故③正确；由f（0）=1，f（）=sin+|cos|=2，显然f（0）+f（）≠0，故④错误；由f（）=sin+|cos|=-＜-1，故⑤错误．故答案为：②③．计算f（-x），结合诱导公式可判断①；由x的范围可得2x的范围，结合正弦函数的单调性，可判断②；由正弦函数、余弦函数的周期可判断③；由正弦函数对称性可判断④；由f （）的值即可判断⑤．本题考查三角函数的图象和性质，主要是周期性、单调性和值域、对称性的判断，考查分类讨论思想方法和化简变形能力，属于中档题．17.【答案】解：（1）∵tan（α+）==-2，∴tanα=3．，（2）cos（α-）[sin（π+α）-2cos（π-α）]=-sinα•（-sinα+2cosα）====．【解析】（1）利用两角和的正切公式，求得tanα的值．（2）由题意利用诱导公式，同角三角函数的基本关系，求得所给式子的值．本题主要考查两角和的正切公式，同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题．18.【答案】解：（1）9+（log35）×（log1003）+=+lg=4+（lg5+lg2）=．（2）∵a=2+，∴设=t，则t2=2+，∴===2++-1=3．【解析】（1）利用对数性质、运算法则直接求解．（2）设=t，则t2=2+，由此能求出的值．本题考查对数式、指数式化简求值，考查指数、对数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.【答案】解：（1）∵f（x）是奇函数，∴f（-x）+f（x）=2-x+1+a•2-x+2x+1+a•2-x=（a+2）（2x+2-x）=0．∴a=-2．∴f（x）=2（2x-2-x）在（-∞，+∞）上是单调递增函数．（2）y=f（x）-5在区间（0，1）上有两个不同的零点，⇔方程2x+1+a•2-x-5=0在区间（0，1）上有两个不同的根，⇔方程a=-2•22x+5•2x在区间（0，1）上有两个不同的根，⇔方程a=-2t2+5t在区间t∈（1，2）上有两个不同的根，令g（t）=-2t2+5t=-2+，t∈（1，2）．则g（1）＜a＜g（），解得＜＜．∴a∈ ，．【解析】（1）f（x）是奇函数，可得f（-x）+f（x）=0，解得a．进而得出单调性．（2）y=f（x）-5在区间（0，1）上有两个不同的零点⇔方程2x+1+a•2-x-5=0在区间（0，1）上有两个不同的根，⇔方程a=-2•22x+5•2x在区间（0，1）上有两个不同的根，⇔方程a=-2t2+5t在区间t∈（1，2）上有两个不同的根，利用二次函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数与二次函数的图象与性质、方程与不等式的解法、方程解的个数转化为函数图象交点的个数、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.【答案】解：（1）f（x）=4cos4x+4sin2x-sin2x cos2x=（1+cos2x）2+2（1-cos2x）-sin4x =cos22x-sin4x+3=-sin4x+3=cos（4x+）+，所以，f（x）的最小正周期为=．（2）将f（x）=cos（4x+）+的图象上的各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，可得y=cos（2x+）+的图象；再将所得图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）=cos（2x-+）+=cos（2x-）+的图象．令2kπ≤2x-≤2kπ+π，可得kπ+≤x≤kπ+，故函数的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．结合x∈[0，]，可得减区间为[，]．同理求得增区间为[0，]，函数的最大值为g（）=；最小值为g（）=3．【解析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性，得出结论．（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性和最值，求得结果．本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的周期性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性和最值，属于中档题．21.【答案】（1）证明：令x=y=0，得f（0）=-2，令x=y=1，得f（1）=0，令x=1，y=-1，得f（-1）=-4，设x＜1，则2-x＞1，f（2-x）＞0，∵f（2）=f（2-x+x）=f（2-x）+f（x）+2=2．∴f（x）=-f（2-x）＜0；（2）解：设x1＜x2，f（x2）-f（x1）=f（x2-x1+x1）-f（x1）=（f（x2-x1）+f（x1）+2）-f（x1）=f（x2-x1+1-1）+2=f（x2-x1+1）+f（-1）+4=f（x2-x1+1）．∵x2-x1+1＞1，∴f（x2-x1+1）＞0，∴f（x）为增函数．f（（a2-a-2）x2-（2a-1）2x+2）+4＜0⇔f（（a2-a-2）x2-（2a-1）2x+2）＜-4=f（-1）⇔（a2-a-2）x2-（2a-1）2x+2＜-1，即（a2-a）（x2-4x）＜2x2+x-3对任意x∈[1，3]恒成立，∵x∈[1，3]，∴x2-4x＜0，即a2-a＞=对任意x∈[1，3]恒成立，设3x-1=t∈[2，8]，=≤0（t=2时取等），∴a2-a＞0，即a＜0或a＞1．【解析】（1）令x=y=0，求得f（0）=-2，再令x=y=1，求得f（1）=0，令x=1，y=-1，求得f（-1）=-4，设x＜1，由f（2）=2即可证明f（x）＜0；（2）利用函数单调性的定义证明f（x）为增函数．则f（（a2-a-2）x2-（2a-1）2x+2）+4＜0⇔f（（a2-a-2）x2-（2a-1）2x+2）＜-4=f（-1），即（a2-a）（x2-4x）＜2x2+x-3对任意x∈[1，3]恒成立，转化为a2-a＞=对任意x∈[1，3]恒成立，利用换元法求在[1，3]上的最大值为0，则实数a的取值范围可求．本题考查函数恒成立问题，考查了函数单调性及其应用，训练了利用分离参数法求最值，是中档题．22.【答案】（1）解：g（x）=f2（x）+2f（）=+2log2x-8，g（x）=-9，令log2x=-1，解得x=，由复合函数的单调性得g（x）的增区间为，，减区间为，．（2）证明：x∈[π，2π]时，1-sin x≥1，sin2x≥0，log2x+≥4（x=4），+sin x sin（x+）=（1-sin x）f（x）++sin x sin（x+）+cos x+sin x-1≥log2x++sin2x+sin x cosx+sin x-1≥4+sin x cosx+sin x-1．设t=cos x+sin x，由x∈[π，2π]得t∈，，且sin x cosx=，从而3+sin x cosx+sin x=+t+3=+2≥2，由于上述各不等式不能同时取等号，所以原不等式成立．【解析】（1）配方可得g（x）=-9，利用二次函数的单调性、复合函数的单调性可得g（x）的增区间．（2）x∈[π，2π]时，可得1-sinx≥1，sin2x≥0，利用不等式的性质与基本不等式的性质化简+sinxsin（x+）-1，通过换元利用二次函数的单调性即可得出．本题考查了二次函数的单调性、三角函数的单调性与求值、基本不等式的性质、换元法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

2020-2021学年重庆一中高一上学期期末数学试卷(附答案解析)

2020-2021学年重庆一中高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|−3<x−1<2}，B={x|x2≥1}，则A∩B=()A. (−2,−1)∪(1,3)B. (−2,−1]∪[1,3)C. [−1,1]D. [1,3)2.若a>2，则函数f(x)=13x3−ax2+1在(0,2)内零点的个数为()A. 3B. 2C. 0D. 13.已知，且，则锐角的值A. B. C. D.4.已知函数f(x)是奇函数，它的定义域为{x|−1<x<2a−1}，则a的值为()A. −1B. 0C. 12D. 15.函数f(x)=sin x⋅|cosx|的最小正周期与最大值之比为()A. πB. 2πC. 4πD. 8π6.已知函数y=sin2x的图象为C，为了得到函数y=sin(2x+2π3)的图象，只要把C上所有的点()A. 向左平行移动2π3个单位长度 B. 向右平行移动2π3个单位长度C. 向左平行移动π3个单位长度 D. 向右平行移动π3个单位长度7.已知a=13log214，b=1−log23，c=cos5π6，则a，b，c的大小关系是()A. a<b<cB. c<a<bC. a<c<bD. b<c<a8.函数f(x)=ax+1a(2−x)，其中a>0，记f(x)在区间[0,2]上的最小值为g(a)，则函数g(a)的最大值为()A. 12B. 0C. 1D. 29.定义一种运算，令(为常数)，且，则使函数的最大值为的的集合是()A. B. C. D.10.若y=f(x)的导函数在区间[0,2π]上的图象如图所示，则f(x)的图象可能是()A. B.C. D.11.函数y=cos(2x+φ)的图象左移π4个单位后关于直线x=4π3对称，则|φ|的最小值为()A. π3B. π4C. π6D. π212.已知b>0，lo5balgb=c，=10，下列等式一定立的是()A. d=acB. a=cdC. c=adD. d=a+c二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在△ABC中，满足cos2A+cos2B=1，则sin2A+sin2B+sin2CsinCcosAcosB=______．14.若α∈(0,π)，且12cos2α=sin(π4+α)，则sin2α的值为______ ．15.若实数α满足log a2>1，则a的取值范围为______．16.设f(x)为偶函数，且在(0,+∞)上是增函数，则f(1)，f(−2)，f(−3)的大小关系是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.计算：(1)4x14⋅(−3x14y−13)÷(−6x−12y−23)；(2)2log32−log3329+log38−5log56．18.设全集U={−1,0,1,2,3,4,5}，集合A={1,2}，集合B={0,1}，分别求集合∁U A；A∪B；A∩B．19. 已知α∈(π,3π2)，sinα=−23． (1)求tanα；(2)若cos(α+β)=−35，β∈(0,π2)，求sinβ．20. 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ).(A >0,ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示． (1)求函数f(x)的解析式；(2)若f(2α+π3)=√105，且α∈(0,π)，求tanα的值．21. 已知函数f(x)=|x −m|−|x −2|． (1)若函数f(x)的值域为[−4,4]，求实数m 的值；(2)若不等式f(x)≥|x −4|的解集为M ，且[2,4]⊆M ，求实数m 的取值范围．22. 已知函数(1)讨论函数在定义域内的极值点的个数； (2)若函数在=1处取得极值，对任意的∈(0,+∞)，≥恒成立，求实数b 的取值范围； (3)当>>时，求证：参考答案及解析1.答案：B解析：解：∵A={x|−2<x<3}，B={x|x≤−1或x≥1}，∴A∩B=(−2,−1]∪[1,3)．故选：B．可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法和区间的定义，一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：Dx3−ax2+1，∴f′(x)=x2−2ax=x(x−2a)，解析：解：∵a>2，则函数f(x)=13显然，当0<x<2时，f′(x)=x(x−2a)<0，故函数f(x)在(0,2)上是减函数．−4a<0，可得函数f(x)在(0,2)上有唯一的零点，再根据f(0)=1>0，f(2)=113故选：D．本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数零点的判定定理的应用，属于基础题．本题主要考查函数零点的判定定理，以及利用导数研究函数的单调性，考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力，属于基础题．3.答案：C解析：利用两向量平行，则坐标交叉相乘相等，得出sin2，然后求解．解：因为，且，所以，即，又为锐角，所以，所以．即．故选C．4.答案：D解析：本题考查函数奇偶性的性质，注意函数的奇偶性对定义域的要求，属于基础题．根据题意，由函数奇偶性的定义可得(−1)+2a−1=0，解可得a的值，即可得答案．解：根据题意，函数f(x)是奇函数，且其定义域为{x|−1<x<2a−1}，则有(−1)+2a−1=0，解可得：a=1，故选：D．5.答案：C解析：解：f(x)=sinx⋅|cosx|={12sin2x(2kπ−π2≤x≤2kπ+π2)−12sin2x(π2+2kπ≤x≤2kπ+3π2)，所以函数的最小正周期为2π，函数的最大值为12．故2π12=4π．故选：C．直接利用分类讨论思想的应用和函数的关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．6.答案：C解析：解：y=sin(2x+2π3)=sin2(x+π3)，即为了得到函数y=sin(2x+2π3)的图象，只要把C上所有的点向左平行移动π3个单位长度即可，故选：C．根据三角函数的图象关系进行判断即可．本题主要考查三角函数的图象变换，利用三角函数解析式之间的关系是解决本题的关键．7.答案：B解析：解：a=13log214=13log22−2=−23，b=1−log23=log223，c=cos5π6=−√32<−23=a，则23=(827) 13，(14) 13<(827) 13，∴b>a，故选：B．根据指数幂的运算和对数的运算三角函数的计算即可比较本题考查了指数函数与对数函数的单调性、三角函数，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.答案：D解析：解：f(x)=ax+1a (2−x)=(a−1a)x+2a，(1)当a>1时，a>1a，f(x)是增函数，∴f(x)在[0,2]的最小值为f(0)=2a ，∴g(a)=2a；(2)当a=1时，f(x)=2，∴g(a)=2；(3)当0<a<1时，a−1a<0，f(x)是减函数，f(x)在[0,2]上的最小值为f(2)=2a，∴g(a)=2a，∴g(a)={2a,a≥12a,0<a<1,因此g(a)最大值为2．故选：D．分三种情况：a>1；a=1；0<a<1进行讨论，由一次函数单调性即可求得g(a)，据g(a)特征可求其最大值．本题考查分段函数最值的求法，考查分类讨论思想，属中档题．9.答案：C解析：试题分析：函数的图像开口向下，对称轴为.当最大值为3时，即解得或．根据定义可知，要使函数最大值为3，时，;当时，.所以或．考点：1新定义；2数形结合思想．10.答案：A解析：根据函数的导数f′(x)为正值，可得函数f(x)单调递增，且增长速度先是变快，后又变慢，结合所给的选项，得出结论．本题主要考查函数的导数与函数的单调性的关系，属于中档题．解：根据y=f(x)的导函数在区间[0,2π]上的图象，可得原函数f(x)在[0,π]上的增长速度不断加快，在[π,2π]上的增长速度又不断减小，结合所给的选项，故选：A．11.答案：C解析：解：原式可变为y=cos2(x+φ2+π4)，∵2(x+φ2+π4)=kπ，4π3=kπ2−φ2−π4，∴φ=kπ−19π6，当k=3时，φ=π6．故选：C．本题先平移，然后求出对称轴方程通式，4π3=kπ2−φ2−π4φ，解出φ=kπ−19π6，进一步解出φ本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．12.答案：B解析：解：5d=10可得d=1lg5，cd=lgb1lg5=log5a．故选：利用指与对数式的互、对数运算性质和换底公可得出．本考查了指数式对数式化、对数的算性质和换底公式，于基础．13.答案：±4解析：解：在△ABC中，满足cos2A+cos2B=1，所以11+tan2A +11+tan2B=1，整理得：2+tan2A+tan2B=(1+tan2A)(1+tan2B)，解得tanAtanB=±1，由于sin2A+sin2B+sin2C=2sin(A+B)cos(A−B)+2sinCcosC=2sinCcos(A−B)−2sinCcos(A+B)=4sinAsinBsinC，所以sin2A+sin2B+sin2CsinCcosAcosB=4tanAtanB=±4．故答案为：±4．直接利用三角函数关系式的变换和切化弦思想的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正切函数和正弦函数和余弦函数的转换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．14.答案：−1解析：本题主要考查两角和差的正弦、余弦公式的应用，二倍角公式的应用，属于中档题．由条件利用两角和的正弦公式、二倍角公式求得cosα−sinα或cosα+sinα的值，从而求得sin2α的值．解：∵α∈(0,π)，且12cos2α=sin(π4+α)，∴cos2α=2sin(π4+α)，∴(cosα+sinα)⋅(cosα−sinα)=√2(cosα+sinα)，∴cosα+sinα=0或cosα−sinα=√2，，，∵α∈(0,π)，，，∴−1<cosα+sinα≤√2，−√2≤cosα−sinα<1，∴cosα−sinα=√2不合题意，∴cosα+sinα=0，∴sin2α=(cosα+sinα)2−(cos 2α+sin 2α)=−1，故答案为：−1．15.答案：(1,2)解析：解：∵log a 2>1=log a a ， ∴{a >12>a 或{0<a <12<a，解得1<a <2或a ∈⌀． ∴a 的取值范围为(1,2)．故答案为：(1,2)．log a 2>1=log a a ，可得{a >12>a 或{0<a <12<a，解出即可．本题考查了对数函数的单调性，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．16.答案：f(1)<f(−2)<f(−3)解析：解：根据题意，若f(x)为偶函数，则f(−2)=f(2)，f(−3)=f(3)，又由函数f(x)在(0,+∞)上是增函数，则f(1)<f(2)<f(3)，则有f(1)<f(−2)<f(−3)，故答案为：f(1)<f(−2)<f(−3)．根据题意，由偶函数的性质可得f(−2)=f(2)，f(−3)=f(3)，又由函数的单调性可得f(1)<f(2)<f(3)，综合即可得答案．本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，关键是掌握函数奇偶性与单调性的定义，属于基础题．17.答案：解：(1)原式=4×(−3)−6⋅x 14+14−(−12)⋅y −13−(−23)=2xy 13． (2)原式=log 3(4×932×8)−6=−4．解析：(1)利用有理数指数幂的运算性质求解． (2)利用对数的运算性质求解．本题主要考查了有理数指数幂的运算性质和对数的运算性质，是基础题．18.答案：解：∵全集U ={−1,0,1,2,3,4,5}，A ={1,2}，B ={0,1}，∴∁U A ={−1,0,3,4,5}；A ∪B ={0,1,2}；A ∩B ={1}．解析：由全集U 及A ，求出A 的补集，找出A 与B 的并集，A 与B 的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．19.答案：解：(1)∵α∈(π,3π2)，sinα=−23，∴cosα=−√53，tanα=2√55； (2)∵α∈(π,3π2)，β∈(0,π2)∴，因为π<α+β<2π，∵cos(α+β)=−35∴sin(α+β)=−45，∴，sinβ=sin[(α+β)−α]=sin(α+β)cosα−cos(α+β)sinα， =(−45)×(−√53)−(−35)×(−23)=4√5−615．解析：(1)由已知结合同角基本关系即可求解；(2)由，sinβ=sin[(α+β)−α]，结合同角平方关系及两角差的正弦公式即可求解．本题主要考查了同角基本关系及两角差的正弦公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础试题．20.答案：解：(1)由题设图象知，周期T =4(4π3−π3)=4π，∴ω=2πT=12．∵点(4π3,0)在函数图象上， ∴Asin(12×4π3+φ)=0，即sin(2π3+φ)=0．又∵0<φ<π2， ∴φ=π3．又点(π3,2)在函数图象上， ∴Asin π3×12+π3=2，即A =2．故函数f(x)的解析式为f(x)=2sin(12x +π3) (2)若f(2α+π3)=√105，即2sin(α+π6+π3)=√105可得：2cosα=√105，即cosα=√1010 α∈(0,π)， ∴sinα=3√1010．则tanα=sinαcosα=3．解析：(1)根据图象求出A ，ω和φ，即可求函数f(x)的解析式；(2)根据函数解析式之间的关系即可得到结论．本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数图象之间的变化关系21.答案：解：(1)由不等式的性质得：||x−m|−|x−2||≤|x−m−x+2|=|m−2|因为函数f(x)的值域为[−4,4]，所以|m−2|=4，即m−2=−4或m−2=4所以实数m=−2或6.…(5分)(2)f(x)≥|x−4|，即|x−m|−|x−2|≥|x−4|当2≤x≤4时，|x−m|≥|x−4|+|x−2|⇔|x−m|≥−x+4+x−2=2，|x−m|≥2，解得：x≤m−2或x≥m+2，即原不等式的解集M=(−∞,m−2]或M=[m+2,+∞)，∵[2,4]⊆M，∴m+2≤2⇒m≤0或m−2≥4⇒m≥6所以m的取值范围是(−∞,0]∪[6,+∞).…(10分)解析：(1)由不等式的性质得：||x−m|−|x−2||≤|x−m−x+2|=|m−2|，即|m−2|=4，解得实数m的值；(2)若不等式f(x)≥|x−4|的解集M=(−∞,m−2]或[m+2,+∞)，结合[2,4]⊆M，可求实数m的取值范围．本题考查的知识点是分段函数的应用，绝对值三角不等式，函数的值域，集合的包含关系，难度中档．22.答案：(1)当a≤0时f(x)在(0,+∞)上没有极值点，当a>0时，f(x)在(0,+∞)上有一个极值点．(2)，(3)详见解析．解析：试题分析：(1)利用导数求极值，首先要明确定义域(0,+∞)，然后求导分析导函数零点情况：，①当a≤0时，f′(x)<0在(0,+∞)上恒成立，f(x)在(0,+∞)上没有极值点；②当a>0时，f′(x)<0得，f′(x)>0得，∴f(x)在上递减，在上递增，f(x)在处有极小值．(2)恒成立问题一般利用变量分离转化为对应最值问题：∵函数f(x)在x=1处取得极值，∴a=1，∴，令，可得g(x)在(0,e2]上递减，在[e2,+∞)上递增，∴，即.(3)利用导数证明不等式，关键在于建立目标函数．因为，所以目标函数为，即只要证明g(x)在(e−1,+∞)上单调递增，∵，而函数在(e−1,+∞)上单调递增．∴，即g′(x)>0，∴g(x)在(e−1,+∞)上单调递增解：(1)，①当a≤0时，f′(x)<0在(0,+∞)上恒成立，函数f(x)在(0,+∞)单调递减，∴f(x)在(0,+∞)上没有极值点；②当a>0时，f′(x)<0得，f′(x)>0得，∴f(x)在上递减，在上递增，即f(x)在处有极小值．∴当a≤0时f(x)在(0,+∞)上没有极值点，当a>0时，f(x)在(0,+∞)上有一个极值点．4分，(2)∵函数f(x)在x=1处取得极值，∴a=1，∴，(6分)令，可得g(x)在(0,e2]上递减，在[e2,+∞)上递增，∴，即.8分(3)证明：，令，则只要证明g(x)在(e−1,+∞)上单调递增，又∵，显然函数在(e−1,+∞)上单调递增．∴，即g′(x)>0，∴g(x)在(e−1,+∞)上单调递增，即，∴当x>y>e−1时，有.12分考点：利用导数求极值，利用导数求最值，利用导数证明不等式。

重庆市第一中学校2022-2023学年高一上学期期末数学试题(含答案解析)

重庆市第一中学校2022-2023学年高一上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}133xA x =≤≤，{}1,0,1B =-，则A B = （）A ．{}1,0-B ．{}1,1-C ．{}0,1D ．{}1,0,1-2．在平面直角坐标系中，角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴的非负半轴，终边过点()1,3P -，则sin 2cos αα+=（）A ．B ．10-C ．10D ．103．“1m =”是“幂函数()22133mm y m m x--=-+在()0,∞+上单调递减”的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．既不充分也不必要D ．充要4．已知函数()f x 的定义域为[]1,3，则函数()()21g x f x =-（）A ．(]1,2B ．4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(]1,5D ．4,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦5．中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化．下列选项中，既是奇函数，又在定义域上是增函数的是（）A ．2121x xy -=+B ．32y x =C ．π2cos 2y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．1y x=-6．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()21f x f x x --=+，则()f x =（）A ．13x +B ．13x +C ．13x +D ．1x +7=（）A ．1BCD8．已知函数()33222025320252025log 2x x f x x --⎫=-+-⎪⎪⎭有唯一零点0x ，若016a f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()4log 5b f =，31log 4c f⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．c a b>>二、多选题9．下列命题正确的是（）A ．ππsin sin 108⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．第一象限角一定是锐角C ．在与640︒角终边相同的角中，最大的负角为80-︒D ．sin1cos20⋅>10．已知函数()2cos f x x =，则（）A ．函数()f x 的最小正周期2πT =B ．函数()f x 在5π,3π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C ．函数()f x 在3ππ,44⎛⎫- ⎝⎭上的值域为(D ．函数()f x 的图像关于直线2025πx =对称11．已知函数()f x 是定义域为()0,∞+的单调函数，且满足对任意的()0,x ∈+∞，都有()2log 1f f x x -=⎡⎤⎣⎦，则（）A ．()22f =B ．若关于x 的方程()f x m =（0m >）有2个不相等的实数根12,x x ，则1214x x =C ．若函数()223f x ax -+的值域为R ，则实数a 的取值范围为(D ．若函数()()()2,1,1a x x g x af x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩满足对任意的实数12,x x ，且12x x ≠，都有()()()12120g x g x x x -->⎡⎤⎣⎦成立，则实数a 的取值范围为[)1,212．若对任意的实数0a b >>，都存在以a b +，为三边长的三角形，则正实数p 的可能取值为（）A ．12B ．1C ．32D ．2三、填空题13．已知扇形的弧长为4π3，圆心角为π3，则该扇形的面积为______．14．tan3tan42tan3tan42++︒⋅︒︒︒=______．15．定义在R 上的函数()f x 满足()()πsin f x f x x +-=，且4π132f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则2023π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______．16．已知定义在R 上的函数()f x 满足：①()()42f x f x -=+；②函数()1f x +为偶函数；③当[]1,3x ∈时，21,12()69,23x x f x x x x -≤≤⎧=⎨-+<≤⎩，若关于x 的不等式()2log 1m x f x -≤的整数解有且仅有6个，则实数m 的取值范围是______．四、解答题17．（1）已知tan 2α=，求1sin cos αα⋅的值；（2）计算：()(1lg2330.06410log log ---+．18．已知函数()ππsin cos sin 44f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．(1)求π8f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)求()f x 的单调递增区间．19．已知()()()3πtan πsin cos 2πcos 2x x x f x x ⎛⎫-⋅+⋅- ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭．(1)若θ是ABC 的一个内角，且()12f θ=-，求θ的值；(2)已知π3π24βα<<<，()1213f αβ-=，()π325f αβ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，求()2f α的值．20．已知函数()x xf x a a -=-（0a >且1a ≠）．(1)判断()f x 的单调性并用定义法证明；(2)若()312f -=，求()()()21222x g x f x f x +=-+在[]20,log 3x ∈上的值域．21．已知函数()()2ln e xf x m x =+-．(1)当1m =时，判断()f x 的奇偶性并证明；(2)若函数()3ln 1e x g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上存在两点A ，B ，其关于y 轴的对称点A '，B '恰在函数()f x 的图象上，求实数m 的取值范围．22．已知定义在实数集R 上的函数()f x 满足()122f =，且对任意λ，x ∈R ，恒有()()()f x f x λλ⋅=．(1)求()1f ；(2)求证：对任意m ，n R ∈，恒有：()22m n m n f ff m +-⎛⎫⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(3)是否存在实数k ，使得不等式()()()()21sin cos 4sin cos 1322f k k θθθθ⎡⎤<+++--+<⎣⎦对任意的[]0,πθ∈恒成立？若存在，求k 的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案：1．C【分析】解得{}01A xx =≤≤∣，根据交集含义即可得到答案.【详解】133x ≤≤，解得01x ≤≤，故{}01A xx =≤≤∣，则{0,1}A B = ，故选：C.2．C【分析】根据三角函数的定义求解即可.【详解】解：根据题意，结合三角函数定义得sin αα====，所以sin 2cos αα+=故选：C 3．D【分析】由题知2233110m m m m ⎧-+=⎨--<⎩，解得1m =，再根据充要条件的概念判断即可.【详解】解：因为幂函数()22133mm y m m x--=-+在()0,∞+上单调递减，所以2233110m m m m ⎧-+=⎨--<⎩，解得1m =，所以“1m =”是“幂函数()22133mm y m m x--=-+在()0,∞+上单调递减”的充要条件.故选：D 4．B【分析】根据抽象函数的定义域,对数型复合函数的性质列不等式组即可求得.【详解】因为()f x 的定义域为[]1,3，则21213log (33)0330x x x ≤-≤⎧⎪-≥⎨⎪->⎩，解得12431x x x ≤≤⎧⎪⎪≥⎨⎪>⎪⎩，则423x ≤≤，所以()()21g x f x =-4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：B 5．A【分析】利用指数函数，幂函数和三角函数的奇偶性和单调性求解即可.【详解】选项A ：令21()21x x f x -=+，2112()()2112x xx xf x f x -----===--++，因为2122()12121x x x f x +-==-++且2x在x ∈R 上是增函数，所以221x +在x ∈R 上是减函数，2()121x f x =-+在x ∈R 上是增函数，故2121x x y -=+既是奇函数，又在定义域上是增函数，A正确；选项B ：32y x =的定义域为[0,)+∞，由幂函数的图像和性质可得32y x =在[0,)+∞上单调递增，故32y x =不具有奇偶性，在定义域上是增函数，B 错误；选项C ：π2cos 2sin 2y x x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，定义域为x ∈R ，由正弦函数的图像和性质可得2sin y x =-是奇函数，在ππ2π,2π22k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭Z k ∈上单调递减，在π3π2π,2π22k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭Zk ∈上单调递增，C 错误；选项D ：1y x =-，由幂函数的图像和性质可得1y x=-是奇函数，在定义域(,0)(0,)-∞+∞ 上不单调，D 错误；故选：A 6．A【分析】由()()21f x f x x --=+可得()()21f x f x x --=-+，解方程组求()f x 即可.【详解】由()()21f x f x x --=+可得()()21f x f x x --=-+，所以由()()()()2121f x f x x f x f x x ⎧--=+⎪⎨--=-+⎪⎩解得()13x f x =+，故选：A 7．D【分析】利用两角和与差的余弦公式将cos 20︒转化为()cos 3010-，进行展开，对于分子则是结合二倍角正弦公式及完全平方式进行化简，最后再约分即可.【详解】2cos 3010sin10︒︒︒︒--==--cos10cos10sin 80cos10===故选：D.8．D【分析】由题可知函数())202520252025log x xg x x -=-+为奇函数且单调递增，进而可得函数()f x 的对称中心为3,02⎛⎫⎪⎝⎭，且在R 上单调递增，进而即得.【详解】因为()33222025320252025log 2x x f x x --⎫=-+-⎪⎪⎭33222025320252025log 2x x x ⎛⎫---⎪⎝⎭⎫⎪=-+-⎪⎭，对于函数())202520252025log x xg x x -=-+定义域为R ，且())202520252025log x xg x x --=-+，()()0g x g x +-=，所以函数()g x 为奇函数，又[)0,x ∈+∞时，202520252025g ,,lo x x y y x y x -=-==单调递增，所以[)0,x ∈+∞时，())202520252025log x xg x x -=-+单调递增，所以函数())202520252025log x xg x x -=-+在R 上单调递增，所以()f x 的对称中心为3,02⎛⎫⎪⎝⎭，且在R 上单调递增，因为302f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故032x =，01463a f x f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为4345>，4345>，所以44log 53>，所以043331log 50log 1log 424163x >=>=>>-，所以()043310log 5lo 6g 241f x f f f ⎛⎫>- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，31log 04c f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，故c a b >>.故选：D.9．AC【分析】利用正弦函数的单调性判断A ，利用象限角的概念判断B ，写出与640︒角终边相同的角为640360k ︒+⋅︒，再根据3606403600k -︒<︒+⋅︒<︒判断C ，利用弧度制及正弦余弦的正负判断D.【详解】因为sin y x =在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以ππsin sin 108⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 正确；π2π,2π,Z 2k k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭表示第一象限角，当0k ≠时，不是锐角，B 错误；与640︒角终边相同的角为640360k ︒+⋅︒，当2k =-时是最大负角，最大负角为80-︒，C 正确；因为1()57.3rad ≈︒，所以sin10>，cos20<，所以sin1cos20⋅<，D 错误；故选：AC 10．BD【分析】作出函数的大致图象，然后逐项分析即得.【详解】因为()2cos 2cos f x x x ==，作出函数的大致图象，函数()f x 的最小正周期πT =，故A 错误；由图象可知函数的增区间为()ππ,π2Z k k k ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，故函数()f x 在5π,3π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，故B正确；当3ππ,44x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，cos x ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦，()[]0,2f x ∈，故C 错误；因为()()2025π2cos 2025π2f ==，所以函数()f x 的图像关于直线2025πx =对称，故D 正确.故选：BD.11．ABD【分析】先利用已知条件求出函数()f x 的解析式，选项A ，将2x =代入计算即可，选项B 将根12,x x 代入()f x m =中化简即可，选项C 由值域为任意实数得到满足条件的不等式，解出即可，选项D 利用函数单调性建立不等式组解出即可.【详解】令()2log t f x x =-，则()()2log 11f f x x f t -=⇔=⎡⎤⎣⎦，函数()f x 是定义域为()0,∞+的单调函数，因为()2log f x x t =+，所以()2log 1f t t t =+=，解得1t =，所以()2log 1f x x =+．对于选项A ：()22log 212f =+=，故A 正确；对于选项B ：若关于x 的方程()f x m =（0m >）有2个不相等的实数根12,x x ，则()()12,f x m f x m ==，即2122log 1log 1x x +=+，因为12x x ≠，所以()21222122log 1log 1log log 2x x x x +=-+⇒+=-，所以()212121log 24x x x x =-⇒=，故B 选项正确；对于选项C ：函数()()22223log 231f x ax x ax -+=-++的值域为R ，则()2224134120a a ∆=--⨯⨯=-≥，即a ≤a ≥C 不正确，对于选项D ：由函数()()()2,1,1a x x g x af x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩满足对任意的实数12,x x ，且12x x ≠，都有()()()12120g x g x x x -->⎡⎤⎣⎦成立，所以函数()()()22,1log 1,1a x x g x a x x ⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩在R 上单调递增，所以()()220201221log 111a a a a a a a a ⎧-><⎧⎪⎪>⇒>⇒≤<⎨⎨⎪⎪-⨯≤+≥⎩⎩，故D 选项正确，故选：ABD.12．BCD【分析】由题可得a b a b+<<+1atb=>，可p<对任意1t>恒成立，然后结合对勾函数及不等式的性质即得.【详解】因为0a b>>，()222222a b a ab b a ab b+=++-+>，所以a b+>，所以a b a b+-<<+令1atb=>p<对任意1t>恒成立，因为当1t>时，12tt+>3，1，故13p≤≤.故选：BCD.【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若()f x在区间D上有最值，则（1）恒成立：()()min,00x D f x f x∀∈>⇔>；()()max,00x D f x f x∀∈<⇔<；（2）能成立：()()max,00x D f x f x∃∈>⇔>；()()min,00x D f x f x∃∈<⇔<.若能分离常数，即将问题转化为：()a f x>（或()a f x<），则（1）恒成立：()()maxa f x a f x>⇔>；()()mina f x a f x<⇔<；（2）能成立：()()mina f x a f x>⇔>；()()maxa f x a f x<⇔<.13．8π3##8π3【分析】利用扇形弧长公式和面积公式即可求得结果.【详解】由题意知，圆心角为π3α=，弧长为4π3l=，设扇形半径为r，根据弧长公式4π3l rα==得4r=，则扇形面积114π8π42233S lr==⨯⨯=.故答案为：8π314．1【分析】利用两角和的正切公式计算即可.【详解】因为()tan 3tan 421tan 45tan 3421tan 3tan 42︒+︒=︒=︒+︒=-︒︒，所以tan3tan42tan3tan421tan3tan42tan3tan421++︒⋅︒=-︒⋅︒+︒⋅︒︒=︒．故答案为：1.15．【分析】根据题意确定函数的周期即可求解.【详解】因为()()π+sin f x f x x +=，所以()()()()πππ+sin ππsin f x f x x f x x ++=++=+-()sin sin ()f x x x f x =+-=，所以()2π()f x f x +=，所以函数()f x 以2π为周期，所以2023πππ674π()333f f f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()()πsin f x f x x +-=，令π3x =得ππππsin 3332f f ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππ1π3322f f ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2023ππ1(332f f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，故答案为:16．(]57log log 22，【分析】根据函数性质可知函数()f x 关于1x =，3x =对称，且周期为4，再利用[]1,3x ∈上的解析式，画出函数图象，有数形结合即可求得实数m 的取值范围.【详解】由函数()1f x +为偶函数可知，函数()f x 关于1x =对称，且()()11f x f x +=-+，即()()2f x f x +=-，又()()42f x f x -=+，()f x 关于3x =对称，所以()()4f x f x -=-，即()()4f x f x =+，可得函数()f x 的周期4T =，当[]1,3x ∈时，21,12()69,23x x f x x x x -≤≤⎧=⎨-+<≤⎩可得其图象如下所示：由对称性可知，当1x >时满足不等式()2log 1m x f x -≤的整数解有3个即可，根据图示可得()()22log 6161log 8181m f m f ⎧-≤=⎪⎨->=⎪⎩，解得2211log log 57m ≤<，即57log log 22m ≤<故答案为：(]57log log 22，17．（1）52（2）12【分析】(1)根据正切找到正余弦的关系，代入22sin cos 1αα+=求出2cos α，化简原式求解.(2)根据()log 1,,,log log a mn N mm mn n a a aa a a N M n M a -⎛⎫==== ⎪⎝⎭公式化简求解.【详解】（1）tan 2,α= 即sin 2cos αα=又因为22sin cos 1αα+=，所以21cos 5α=所以21115sin cos 2cos cos 2cos 2ααααα===⋅⋅（2）因为()1311331330264100010105100060444.64--⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=====⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦1122===112lg 2lg lg22111010--===(1133323331log log log log 2log log 3log 313-⎛⎫⎛⎫====-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()(()1lg23351110.06410log log 12222---+=--+-=18．(1)π84f ⎛⎫=⎪⎝⎭(2)5πππ,π,Z1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【分析】（1）利用三角恒等变换将函数()f x 化简成()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即可计算出π8f⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）利用整体代换法πππ2π22π,Z 232k x k k -+≤+≤+∈即可求得单调递增区间．【详解】（1）由()ππsin cos sin 44f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得()2211πsin2cos )sin2cos 2sin222223f x x x x x x x ⎛⎫=--=+=+ ⎪⎝⎭，所以πππππππsin sin cos sin 84343434f ⎛⎫⎛⎫=+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即π84f ⎛⎫=⎪⎝⎭（2）由()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可知，πππ2π22π,Z 232k x k k -+≤+≤+∈时，()f x 的单调递增，即ππ,Z 5ππ1212k k x k ≤≤++∈-，所以()f x 的单调递增区间为5πππ,π,Z1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦19．(1)2π3θ=(2)3365-【分析】(1)根据诱导公式化简函数解析式，根据三角形内角的取值范围即可求θ的值；(2)利用余弦的两角和公式求解.【详解】（1）由题可得()()()3ππtan πsin cos tan sin πcos 22πsin cos 2x x x x x xf x x x ⎛⎫⎛⎫-⋅+⋅--⋅++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==⎛⎫- ⎪⎝⎭()tan cos cos cos sin x x xxx-⋅-⋅==，所以()cos f x x =，因为()1cos 2f θθ==-，且θ是ABC 的一个内角，所以2π3θ=.（2）因为()1213f αβ-=，所以()12cos 13αβ-=，则()5sin 13αβ-==±，因为π3π24βα<<<，所以3ππ42β-<-<-，所以π04αβ<-<，所以()5sin 13αβ-=，因为()π325f αβ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，所以()()π3cos sin 25αβαβ⎛⎫-+=+=- ⎪⎝⎭，所以()4cos 5αβ+==±因为π3π24βα<<<，所以3ππ2αβ<+<，所以()4cos 5αβ+=-，所以()[]2cos 2cos ()()f αααβαβ==-++cos()cos()sin()sin()αβαβαβαβ=-+--+1245333()()13513565=⨯--⨯-=-.20．(1)当1a >时，()f x 单调递增，当1a <时，()f x 单调递减，证明见解析.(2)1302,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）任取12,R x x ∈且12x x >，作差()()12f x f x -判断符号即可判断单调性；（2）由()312f -=可得12a =，根据222211()22(2)222xx x f x f x +⎛⎫=-+=+- ⎪⎝⎭将()g x 转化成一元二次函数形式，利用一元二次函数的图像和性质求解即可.【详解】（1）当1a >时，()f x 单调递增；当1a <时，()f x 单调递减，证明如下：任取12,R x x ∈且12x x >，()()()()()1122121212121211x x x x x x x x x x x x f x f x a a a a a a a a a a a a----⎛⎫-=---=---=-+ ⎪⎝⎭，因为12110x x a a+>，所以当1a >时，12x x a a >，则()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，()f x 单调递增；当01a <<时，12x x a a <，则()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，()f x 单调递减.（2）因为()1312f a a --=-=即22320a a +-=解得12a =或2-（舍去），所以111()2222x xxx f x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，222211()22(2)222xx x f x f x +⎛⎫=-+=+- ⎪⎝⎭，所以2()()2()2g x f x f x =-+，由（1）得当1a <时()f x 单调递减，所以当[]20,log 3x ∈时，8(),03f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，令()t f x =，则8,03t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，一元二次函数2()22g t t t =-+对称轴为1t =，所以2()22g t t t =-+在8,03t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上单调递减，且813039g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，(0)2g =，所以()g x 在[]20,log 3x ∈上的值域为1302,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦.21．(1)偶函数(2)11,916⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）结合对数运算，根据奇偶性的定义判断即可；（2）由题知函数()3ln 1e x g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭关于y 轴对称的函数为()()ln 13e ,ln 3xh x x =-<-，进而将问题转化为方程()()h x f x =有两个实数根，进一步结合对数运算得以2e 4e x x m -=在(),ln 3-∞-上有两个实数根，再结合换元法，二次函数性质,数形结合求解即可.【详解】（1）解：当1m =时，()()2ln e 1xf x x =+-，定义域为R ，()()()()()2222221e ln e1ln ln 1e ln e ln 1e e x xx x x x f x x x x x f x -⎛⎫+-=++=+=+-+=+-= ⎪⎝⎭，所以，()f x 为偶函数.（2）解：函数()3ln 1e x g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为()ln 3,+∞，设函数()3ln 1e x g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭关于y 轴对称的函数为()h x ，设(),x y 是()h x 上的任意一点，则(),x y -在函数()3ln 1e x g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上，即()3ln 1ln 13e e xx y -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以，()()ln 13e ,ln 3xh x x =-<-因为函数()3ln 1e x g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上存在两点A ，B ，其关于y 轴的对称点A '，B '恰在函数()f x 的图象上，所以方程()()h x f x =恰有两个实数根，即()()2ln 13e ln e x xm x -=+-恰有两个实数根，()()()22ln e ln e ln e ln e e x x x x x m x m m -+-=+-=+，所以，()()ln 13e ln ee xxx m --=+恰有两个实数根，即13e e e x x x m --=+在(),ln 3-∞-上恰有两个实数根，所以2e 4e x x m -=在(),ln 3-∞-上恰有两个实数根，令e 13xt =<，则24t t m -=在1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上恰有两个实数根，所以函数21,4,3y t t t ⎛⎫-∞-∈ ⎝=⎪⎭与y m =图象恰有两个交点，因为221144816y t t t ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，当13t =时，21114339y ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，所以，作出其函数图象如图所示，由图可知，当11,916m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，函数21,4,3y t t t ⎛⎫-∞-∈ ⎝=⎪⎭与y m =图象恰有两个交点，所以，实数m 的取值范围为11,916⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】22．(1)2(2)见解析(3)(]7,6--【分析】(1)根据设，令1,22x λ==即可求解；(2)令1x =，有()2f λλ⎛= ⎝⎭，再令,,22m n m nλλ+-==即可证明；（3）根据函数的单调性以及用换元法，转化为分类讨论二次函数在给定区间的最值求解.【详解】（1）由题可知，()()()f x f x λλ⋅=，令1,22x λ==可得[]12(1)(2)f f ==（2）因为(1)2f =，所以令1x =，则有()f λλ=⎝⎭，因为R λ∈，分别令,,22m n m nλλ+-==可得22,2222m nm n m n m n f f +-⎫⎫+-⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以22222()22222m nm nmm n m n f f f m +-⎛⎫⎫⎫+-⎛⎫⎛⎫⋅=⋅== ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得证.（3）由（2）可得()2f λλ⎛= ⎝⎭，所以()2xf x ⎛= ⎝⎭，则函数()2xf x =⎝⎭在定义域R 上单调递减，且1(10),(1)322f f ==，所以()()()()21sin cos 4sin cos 110k k θθθθ<+++--+<，即()()1sin 24sin cos 10k k θθθ<++--<恒成立，令πsin cos 4t θθθ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,因为[]0,πθ∈，所以ππ3π,444θ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以π4t θ⎛⎫⎡-∈- ⎪⎣⎝⎭，且222sin cos 2sin cos 1sin 2t θθθθθ=+-=-，所以2sin 21t θ=-，所以()211410t k t k <-++-<，也即()2049t k t k <-++-<恒成立，令()2(4)t k t k g t -++=-，对称轴为022kt =+，若021,62kt k =+≤-≤-，则()2(4)t k t k g t -++=-在t ⎡∈-⎣单调递减，则max min ()((1)25,2)g k g k g t g t =-=--==-，所以60259029k k k ⎧≤-⎪<--<⎨⎪<+-<⎩解得76k -<≤-，若022k t ⎛=+∈- ⎝⎦，即(5k ⎤∈-⎦，则()2(4)t k t k g t -++=-在1,22k t ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦单调递增，2k t ⎡∈+⎢⎣单调递减，则2max min 1(2)(41(6),224)()k g k k g k g t g t =+=++==+-，所以(2510(416)94029k k k k ⎧⎤∈-⎦⎪⎪<++<⎨⎪⎪<+-<⎩此时无解，若01222kt ⎛=+∈ ⎝，即4k ⎤∈⎦，则()2(4)t k t k g t -++=-在1,22k t ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦单调递增，2k t ⎡∈+⎢⎣单调递减，则2max min 1(2)(416),5()()(1)224g k t g g k k g k t =+=++=-=--，所以25,410(416)940259k k k k ⎧⎤∈--⎦⎪⎪<++<⎨⎪<--<⎪⎩此时无解，若022kt =+>，即4k >，则()2(4)t k t k g t -++=-在t ⎡∈-⎣单调递增，则min max ()((1)25,2)g k g k g t g t =-=--==-，所以40259029k k k ⎧>⎪<--<⎨⎪<+-<⎩此时无解，综上，k 的取值范围为(]7,6--.。

重庆市重庆市第一中学校2023届高一数学第一学期期末考试试题含解析

【详解】设球的半径为R，设正方体上底面截球所得截面圆恰好为上底面正方形的内切圆，
该圆的半径为，且该截面圆圆心到水面的距离为1cm，
即球心到截面圆圆心的距离为，
由勾股定理可得，解得，
因此，球的体积为
故选A
【点睛】本题主要考查了球体的体积的计算问题，解决本题的关键在于利用几何体的结构特征和球的性质，求出球体的半径，着重考查了空间想象能力，以及推理与计算能力，属于基础题
【解析】首先化简集合B，然后根据集合、分类讨论a的取值，再根据交集和并集的定义求得答案
【详解】解：因
所以
又因为，
当时，所以，
当时，所以，
当时，所以，
当且且时，所以，
18、
【解析】利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式为，利用余弦函数的周期公式即可计算得解
【详解】先证明出， .
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数（且）的图象必经过点___________.
12．已知A，B，C为的内角.
（1）若，求的取值范围；
（2）求证：；
（3）设，且，，，求证：
13．棱长为2个单位长度的正方体中，以为坐标原点，以，，分别为，，轴，则与的交点的坐标为__________
（2）先证明，
再由不等式证明即可；
（3）找出不等式的等价条件，换元后再根据函数的单调性构造不等式，利用不等式性质即可得证.
【小问1详解】
,
为锐角，
，
，
解得，当且仅当时，等号成立，
即 .
【小问2详解】

重庆市重庆一中2018-2019学年高一上学期期末数学试题Word版含解析

重庆市重庆一中2018-2019学年上学期期末高一数学试题一.单选题)B.【答案】A本题选择A选项.2. ( )【答案】B........................本题选择B选项.3. ( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D，所以位于第四象限.故选D.4. ( )D.【答案】C;故选C.5. -2，另一根大于-2( ),0) D. (-【答案】A的取值范围是本题选择A选项.6. (16,8),( )A. （（【答案】D据此可得函数求解不等式可得不等式的解集为：（.本题选择D选项.点睛：对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．7. ）【答案】C，的一条对称轴是.本题选择C选项.8. π) )D.【答案】D可知点位于第一象限，则.据此可得：.本题选择D选项.9. ( )【答案】B【解析】分类讨论：①若a>1,结合反比例函数的单调性可知当时，②若0<a<1,结合二次函数的性质可知，当时，取得最大值1，.本题选择B选项.点睛：在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件．10. ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B，据此可得：，据此有：是区间上的减函数，上有一个零点，结合函数的奇偶性可得函数在R上有2个零点.本题选择B选项.点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．【答案】A【解析】由题意可得：本题选择A选项.12. ( ),5] B. [1,5] C. [2,3+] D. [3-【答案】A绘制函数图象如图所示，由几何意义可知，且与圆相切的直线方程，此时考查直线之间的距离：本题选择A选项.点睛：本题的目的在考查直线与圆的位置关系，直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，“代数法”与“几何法”是从不同的方面和思路来判断的．二.填空题13. ____________________________．，解得14. ．15. 若函数满足：对任意实数，有时，,则[2017,2018]时,______________________________．若，则，16. 现有如下几个命题;其中正确命题的编号为__________________ ．①该函数为偶函数；②[是该函数的一个单调递增区间；③该函数的最小正周期为④该函数的图像关于点⑤该函数的值域为[1,2].【答案】②③【解析】由函数的解析式可知：，此时：据此可知函数在区间上单调递增，说法②正确；的图像不关于点对称，说法④错误.故答案为②③.点睛：函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质：(1)奇偶性：φ＝kπ时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数；φ＝kπk∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数．(2)周期性：y＝Asin(ωx＋φ)存在周期性，其最小正周期为T(3)单调性：根据y＝sin t和t＝ωx＋φ(ω＞0)的单调性来研究，由－2kπ≤ωx＋φ＋2kπ(k∈Z)2kπ≤ωx＋φ2kπ(k∈Z)得单调减区间．(4)对称性：利用y＝sin x的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求得x、ω.利用y＝sin x的对称轴为x＝kπk∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπk∈Z)得其对称轴．三.主观题17.（1的值；（2【答案】(1)3；(2).【解析】试题分析：(1)(2)由题意结合诱导公式化简可得原式试题解析：(1);(2)18. （1）计算（2，求的值【答案】(1)；(2)3.【解析】试题分析：(1)由题意结合对数的运算法则和对数恒等式的结论可得原式的值为(2)试题解析：（1）;(2)设则，所以.19.（1；（2(0,1).【答案】(1)答案见解析；【解析】试题分析：(1)(2)(0,1)试题解析：（1）因为是奇函数，所以；在上是单调递增函数;(2) 在区间(0,1)上有两个不同的零点，等价于方程在区间(0,1)上有两个不同的根，即方程在区间(0,1)上有两个不同的根，所以方程在区间上有两个不同的根，画出函数在(1,2)上的图象,如下图,由图知,当直线y=a与函数的图象有2个交点时,所以的取值范围为.点睛：函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．20.（1（22倍，纵坐标不变，再将所得图像向右平移.【答案】(2)答案见解析.【解析】试题分析：(1)试题解析：（1）,所以的最小正周期为;(2)由已知有,因为,所以,当,即时,g(x)单调递增,当即时,g(x)单调递减,所以g(x)的增区间为，减区间为,所以在上最大值为，最小值为.21. 对任意实数x,y（1（2. 【答案】(1)答案见解析；(2)或.【解析】试题分析：(1)(2)结合(1)据此脱去f符号，分离参数有：试题解析：(1)令，得，令，得，令，得，设，则，因为,所以;(2)设，,因为所以，所以为增函数,所以, 即,上式等价于对任意恒成立，因为，所以上式等价于对任意恒成立，设，（时取等），所以，解得或.22.（1（2.【答案】(1)，减区间为；(2)证明见解析.【解析】试题分析：(1)由题意可得函数的解析式为：(2)由题意可得原式结合均值不等式的结论和三角函数的性质可得：，而均值不等式的结论是不能在同一个自变量处取得的，故等号不成立，即题中的结论成立.试题解析：(1)解:由已知,所以,令得，由复合函数的单调性得的增区间为，减区间为；（2）证明:时，，，,当时取等号，,设，由得，且,从而,由于上述各不等式不能同时取等号，所以原不等式成立.。

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一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.已知集合则 ( )
A. B. C. D.
2.已知函数，在下列区间中，函数一定有零点的是( )
A． B． C． D．
3.计算的结果是( )
A. B. C. D.
4.下列函数为奇函数的是( )
A. B. C. D.
令，则题意方程在内仅有一个根，且另一个根．
法一：令，则题意或；
法二：显然不是该方程的根，题意与的图像在内仅有一个交点且另一个交点不为，由于双勾函数在上单减，在上单增，故有或，因此．
21、（本小题满分12分）解：
（1）由
令，得，
设，由得，于是，
由题：，
5.要得到函数的图象，只需将函数的图象( )
A.把各点的横坐标缩短到原来的倍,再向右平移个单位
B.把各点的横坐标缩短到原来的倍,再向左平移个单位
C.把各点的横坐标伸长到原来的倍,再向右平移个单位
D.把各点的横坐标伸长到原来的倍,再向左平移个单位
6.函数的部分图象如图所示，则的解析式是( )
13.已知 ,则；
14.已知，则的值为；
15.若函数满足：在定义域内存在实数，使得成立，则称函数为“1阶马格丁香小花花”函数．给出下列四个函数：① ；② ；③ ；
④ ．其中是“1阶马格丁香小花花”函数的所有函数的序号是；
16.定义在上的函数满足是偶函数，且对任意恒有，又，则 .

秘密★启用前【考试时间：1月15日14:40—16:40】
2020年重庆一中高2022级高一上期期末考试
数学测试试题卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
2020年重庆一中高2022级高一上期期末考试数学参考答案
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
B
B
C
A
C
A
A
C
B
D
D
二、填空题：
题号
13
14
15
16
答案
②④
1
三、解答题：
17、（本小题满分10分）解：
（1）原式；
（2）原式．
18、（本小题满分12分）解：
（1），
当时，因此；
，
检验知此时满足，故；
（2）由题知，
令，显然在上单增，故当时，，则，因此
也即在上的值域为．
22、（本小题满分12分）解：
（1）在中令；
（2）由题知：对任意都有，且对任意均有
证一：任取，则，
因为，所以，所以，
即即，也即在单调递减；
证二：任取，设，
（2）而，故：
当时，因此满足题意；
当时；
当时；
取并得：．
19、（本小题满分12分）解：
（1）
因此；
（2）令，由
，即的单调递增区间为．
20、（本小题满分12分）解：
（1）由题意知的周期，故，
而为奇函数，则，且
，而，故，因此；
（2）由（1）知，题意等价于在区间上有两个不等实根，
20.（本小题满分12分）已知函数的相邻两对称轴间的距离为，若将的图像先向左平移个单位，再向下平移1个单位，所得的函数为奇函数．
(Ⅰ)求的解析式；
(Ⅱ)若关于的方程在区间上有两个不等实根，求实数的取值范围．
21.（本小题满分12分）定义二元函数，如．已知二次函数过点，且对恒成立．
A. B.
C. D．
7.已知，，，则的大小关系是( )
A. B. C. D.
8.已知函数若对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D．
9.已知函数的值域为，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.函数在区间上的图像大致为( )
A. B. C. D.
则，
因为所以，即，也即在单调递减；
(3)在中令，
令，而为奇函数，故，
又在及上均单调递减，因此原不等式等价于对任意，不等式
或者恒成立，
令，则，，则不等式等价于
………… 或者 ………… 对任意恒成立，
法一：令立，开口向上，
则不等式；
对于，当时，由，即必不存在满足 .
11.已知函数，给出以下四个命题：① 的最小正周期为；② 在上的值域为；③ 的图像关于点中心对称；④ 的图像关于直线对称．其中正确命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
12.已知函数，若存在实数使得且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把最简答案写在答题卡相应位置上.
综上， .
法二：
令，开口向上，对称轴为，
且，
当即时，问题等价于或，解得；
当即时，问题等价于或，解得；
当即时，问题等价于或，解得； .
(Ⅰ)求的值，并求函数的解析式；
(Ⅱ)若函数，求在上的值域．
22.（本小题满分12分）已知定义在的奇函数满足：；对任意均有；对任意，均有 .
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)利用定义法证明在上单调递减；
(Ⅲ)若对任意，恒有，求实数的取值范围.
命题人：黄色的(di)哥
审题人：凯哥兵哥
三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
(Ⅰ)若，求值：；
(Ⅱ)计算： .
18.（本小题满分12分）已知集合，集合
(Ⅰ)当时，求；
(Ⅱ)若，求实数的取值范围．
19.（本小题满分12分）已知函数 .
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)求的单调递增区间.