传热学传热学--第三章 第三节 一维非稳态导热问题
传热学_第三章
热
学
第三章 非稳态导热的分析与计算
§3-1 非稳态导热过程分析 §3-2 集总参数系统分析 (零维问题) 零维问题) §3-3 典型一维物体非稳态导热的分析解 §3-4 二维及三维非稳态导热问题的求解
2010-10-6
1
R
青岛科技大学热能与动力工程
§3-1 非稳态导热过程分析 一、非稳态导热过程及其特点
θ ＝e4.6 = 0.01 当τ=4τs时 θ0 工程上认为τ= 4τs时导热体已 达到热平衡状态
2010-10-6
θ ＝e1 = 0.386 θ0
θ/θ0 θ 1 0.386 0 1 τ/τs τ
11
R
青岛科技大学热能与动力工程
三、集总参数系统的判定
θ =e θ0
判定依据
τ hA ρcV
=e
t 2t =a 2 τ x
θ = t(x,τ ) t∞ —过余温度
θ 2θ =a 2 τ x
τ = 0, θ = t0-t∞ =θ0
x = 0, θ x = 0 x = δ , -λ θ x = hθ x=δ
2010-10-6 14
R
青岛科技大学热能与动力工程
采用分离变量法求解：取 采用分离变量法求解： θ 2θ =a 2 τ x
导热系统内温度场随时间变化的导热过程为非稳态导热。 导热系统内温度场随时间变化的导热过程为非稳态导热。 温度场随时间变化的导热过程为非稳态导热 温度随时间变化，热流也随时间变化 也随时间变化。 温度随时间变化，热流也随时间变化。 自然界和工程上许多导热过程为非稳态， 自然界和工程上许多导热过程为非稳态，t = f(τ) 例如：冶金、热处理与热加工中工件被加热或冷却；锅炉、 例如：冶金、热处理与热加工中工件被加热或冷却；锅炉、 内燃机等装置起动、停机、变工况；自然环境温度； 内燃机等装置起动、停机、变工况；自然环境温度；供暖 或停暖过程中墙内与室内空气温度 非稳态导热的分类 非稳态导热的分类：周期性和非周期性 分类： 周期性非稳态导热： 周期性非稳态导热：物体温度按一定的周期发生变化 非周期性非稳态导热（瞬态导热）： ）：物体的温度随时间不 非周期性非稳态导热（瞬态导热）：物体的温度随时间不 断地升高（加热过程）或降低（冷却过程）， ），在经历相当 断地升高（加热过程）或降低（冷却过程），在经历相当 长时间后，物体温度逐渐趋近于周围介质温度， 长时间后，物体温度逐渐趋近于周围介质温度，最终达到 热平衡
传热学第3章-非稳态导热分析解法
传热学第3章-⾮稳态导热分析解法第三章⾮稳态导热分析解法1、重点内容：①⾮稳态导热的基本概念及特点；②集总参数法的基本原理及应⽤；③⼀维及⼆维⾮稳态导热问题。
2、掌握内容：①确定瞬时温度场的⽅法；②确定在⼀时间间隔内物体所传导热量的计算⽅法。
3、了解内容：⽆限⼤物体⾮稳态导热的基本特点。
许多⼯程问题需要确定：物体内部温度场随时间的变化，或确定其内部温度达某⼀极限值所需的时间。
如：机器启动、变动⼯况时，急剧的温度变化会使部件因热应⼒⽽破坏。
因此，应确定其内部的瞬时温度场。
钢制⼯件的热处理是⼀个典型的⾮稳态导热过程，掌握⼯件中温度变化的速率是控制⼯件热处理质量的重要因素；⾦属在加热炉内加热时，要确定它在炉内停留的时间，以保证达到规定的中⼼温度。
§3—1 ⾮稳态导热的基本概念⼀、⾮稳态导热1、定义：物体的温度随时间⽽变化的导热过程称⾮稳态导热。
2、分类：根据物体内温度随时间⽽变化的特征不同分：1）物体的温度随时间的推移逐渐趋于恒定值，即：const t =↑τ2）物体的温度随时间⽽作周期性变化1）物体的温度随时间⽽趋于恒定值如图3-1所⽰，设⼀平壁，初值温度t 0，令其左侧的表⾯温度突然升⾼到1t 并保持不变，⽽右侧仍与温度为0t 的空⽓接触，试分析物体的温度场的变化过程。
⾸先，物体与⾼温表⾯靠近部分的温度很快上升，⽽其余部分仍保持原来的t 0 。
如图中曲线HBD ，随时间的推移，由于物体导热温度变化波及范围扩⼤，到某⼀时间后，右侧表⾯温度也逐渐升⾼，如图中曲线HCD 、HE 、HF 。
最后，当时间达到⼀定值后，温度分布保持恒定，如图中曲线HG （若λ=const ，则HG 是直线）。
由此可见，上述⾮稳态导热过程中，存在着右侧⾯参与换热与不参与换热的两个不同阶段。
（1）第⼀阶段（右侧⾯不参与换热）温度分布显现出部分为⾮稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布，即：在此阶段物体温度分布受t 分布的影响较⼤，此阶段称⾮正规状况阶段。
传热学第三章 非稳态导热
时、物体中最大与最小的过余温度之差小于5%，对于一 般工程计算，此时已经足然特确地可以认为整个物体温度 均匀。按照这样要求，由于l=V/A对圆柱有球分别是半轻 的1/2与1/3、因而如果以l作为Bi数的特征长度，则该Bi数 对平板、国柱与球应该分别小于0.1、0.05和0. 033。
方程中指数的量纲：
hA
W m2K
m2
w1
Vc
kg m3
Jkg K
[
m3
]
J
s
第三章 非稳态导热
9
即与 1 的量纲相同，当 Vc 时，则
hA
hA
1 Vc
此时，
e1 36.8%
0
称
Vc
hA
为时间常数，用 c 表示。
第三章 非稳态导热
10
如果导热体的热容量（ Vc ）小、换热条件好（h大），
有一直径为 5cm 的钢球，初始温度为 450 ℃，将其突然置 于温度为 30 ℃空气中。设钢球表面与周围环境间的总换热 系数为 24w/（m2 . K），试计算钢球冷却到 300 ℃所需的 时间。已知钢球的 c=0.48kJ/(kg·K ) , ρ =7753kg/m3 , λ =33w/(m. K ).
Fo
l2
a
换热时间 边界热扰动扩散到l 2面积上所需的时间
无量纲 热阻
Fo越大，热扰动就能越深入地传播到物体 内部，因而，物体各点地温度就越接近周
围介质的温度。
无量纲 时间
第三章 非稳态导热
12
对于平板、圆柱、球的一维非稳态第三类边界条件条件下 的导热问题，当按特征长度
l= 、厚度为2 的平板，
l=R、圆柱 l=R.球 定义的Bi数满足
传热学第3章非稳态导热
•第3章 非稳态导热——§3-4半无限大的物体
§3-4 半无限大的物体
半无限大物体的概念
• 第一类边界条件： • 第二类边界条件： • 第三类边界条件：
•* - 31 -
•第3章 非稳态导热——§3-4半无限大的物体
问题的解：
•
误差函数 无量纲变量
• 第一类边界：
• 第二类边界：
• ● 非周期性（瞬态导热）：物体的温度随时间的推移逐渐趋于恒定。
• 3、工程上几种典型非稳态导热过程温度变化率的数量级
•* - 2 -
•第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
着重讨论瞬态非稳态导热
• 4、温度分布：
•t
• 开始的一段时间，物体内部温度变化一层
层逐渐深入到内部，温度变化速度不一样，反映 到吸热量上，吸热量不一样。
• 此时x处的温度可认为完全不变，因而可以把
视为惰性时间。
•
当
时x处的温度可以认为等于t0。
•对于有限大的实际物体，半无限大物体的概念只适用于物体的非稳态导热的 初始阶段，那在惰性时间以内。
•* - 35 -
•第3章 非稳态导热——§3-4半无限大的物体
即任一点的热流通量： 令 即得边界面上的热流通量
• 第三类边界：
•* - 32 -
•第3章 非稳态导热——§3-4半无限大的物体
• 误差函数：
• 无量纲 坐标
• 说明：(1) 无量纲温度仅与无量纲坐标 有关
•
(2) 一旦物体表面发生了一个热扰动，无论经历多么短的时间无论 x 有多么
大，
•
该处总能感受到温度的化。？
•
(3) 但解释Fo, a 时，仍说热量是以一定速度传播的，这是因为，
传热学(第四版)第三章：非稳态热传导
hA 1 时， exp(1) 0.368
Vc
0
称 Vc 为时间常数，用 表示。
c
hA
当 4 Vc 时， 1.83% 工程上认为=4 Vc / hA时
hA 0
导热体已达到热平衡状态
第三章 非稳态导热
6
讨论2：热电偶测温的动态误差
将两支绑在一起的热电偶（补充介绍热电偶的测温原理）突然从 空气中放到保温杯中，热电偶读数的变化过程。其中热电偶1的探 头直径约为1 mm，热电偶2的探头直径约为3.5mm；环境为冬季、 室内。
第三章 非稳态导热
7
实验观察结果的拟合
t
t
t
exp
hA
Vc
t
拟合线1:
t
12.7
79.4
exp
3
0.216
79.4
拟合线2 : t 11.1 第三章 非稳态导热
80.0
exp
3
1.252
80.0
8
时间常数 ( Vc / hA)反应导热体的热惯性。 如果导热体的热容量（ Vc ）小、换热条件好（h大），
2
a
x2
0, 0 0
0
0, x 0, w ; x , 0 0 tw
式中， t t0 , w tw t0
式中
1 erf x
w
2 a
erf () 2 e2 d
0
＝ x 2 a
第三章 非稳态导热
t0 x
30
3-10、课堂作业
3-25
方程x*tan(x)=Bi前10个正根 给Bi=0.9991, matlab求解。
已知：热电偶与气体的表面换热系数为 10w/(m2·k)，热电偶导热系数为67w/(m·k)，密度为 7310kg/m3，比热容228J/(kg·K)。
3第三章 非稳态导热
Bi
n
2.一维非稳态导热的分析解
（2）总传热量
设从初始时刻至某一时刻τ所传递的热量为Q，则有：
分离变量积分并代入初始条件得：
hA
=e cV
0
思考：上述结果是对物体被冷却 的情况导出的，如果要用于被加 热的场合，该怎么办？
6.集总参数系统的分析解
hA hV cV A
A2 cV 2
h(V / A) a (V / A)2
BiV FoV
Bi hl l＝ 物体内部导热热阻 1 h 物体表面对流换热热阻
• 在某厂生产的测温元件说明书上，标明该元件的 时间常数为1s。你怎么看待这个值？
cV
c hA
——根据定义式，时间常数中物性参数ρ、c、V、A可 以看作是常数，但表面传热系数h却是与具体过程 有关的量。
——说明书上的标明的时间常数需要具体分析，不能 盲目相信。
【内容小结】
• 集总参数系统的分析 • 时间常数的导出和意义 • 时间常数对测温系统的指导
一个集总参数系统，其体积
为V、表面积为A、密度为、 比热为c、初始温度为t0，突 然放入温度为tf (设t0> tf )、 对流换热系数为h的环境中，
求系统温度变化。
A h, tf
ΔE
Qc
ρ, c, V, t0
——表面对流换热对其过程有着重要影响，如何处理？
4. 微分方程
-
t n
ht
t
f
集总参数系统内部没有温差， 不能用第三类边界条件。
不断减小，在其它各截面上，其
截面温度开始升高之前通过该截
面的热流量是零，温度开始升高
A
之后，热流量才开始增加。
BC D 3
《传热学》第三章 非稳态导热
令：
—— 过余温度
使导热微分方程边界条件齐次化：
1.分离变量法求解导热微分方程：
对于此类偏微分方程，应采用分离变量法来进行求解： 假定：
代入导热微分方程，得出：
令：
并对两式分别求解
求解结果： 因φ 不可能是无限大或常数，所以只能有：μ <0，因而可令：
求解结果：
将两个求解结果合并，得到：
其中：
A c1c2 , B c1c3
集总热容体的温度分布：
其中：
L
V ——定型尺寸 A
cV
hA
——时间常数（表示物体温度接近流体温度的快慢）
集总热容体的温度分布亦可写成：
四、不同加热方式下的无限大平壁瞬态导热
t
qv
h, t f
h, t f
qw
qw
h, t f
h, t f
x
第三节 半无限大物体的瞬态导热
应用领域：大地 一、第一类边界条件
半无限大物体表面温度：
半无限大物体表热负荷：
——一定时间内将壁温提高至tw所需的热负荷
第四节 其他形状物体的瞬态导热
一、无限长圆柱体和球体——计算线图法 分无 布限 计长 算圆 步柱 骤温 度
计算Bi和Fo
由图3－13计算中心温度
由图3－14计算任意处温度 无限大平壁—— 半壁厚δ
定型尺寸
无限长圆柱体和球体—— 半径 R 其他不规则形状物体——V/A
或：
傅立叶准则——
二、正常情况阶段——Fo准则对温度分布的影响
对
进行收敛性分析： 随着β n的递增，级数中指数一项收敛很快，所以级数收敛很快，尤其当Fo较 大时，收敛性更加明显。 因此，当Fo>0.2时，仅用级数第一项来描述，已足够精确，即：
《传热学》第3章-非稳态导热
特殊多维非稳态导热的简易求解方法
在第一类边界条件（初始温度均匀）或第三类边界条件（表面 传热系数h为常数）下的二维或三维的非稳态导热问题，在数学 上已经证明，它们的无量纲过余温度的解等于构成这些物体的 两个或三个物体在同样边界条件下一维非稳态导热问题解的连 乘。
特殊多维非稳态导热的简易求解方法
对于无限长方柱 θ (x, y,τ ) = θ (x,τ ) ⋅ θ (y,τ )
该问题的解可以由3块相应的无限大平板的 解得出。最低温度发生在钢锭的中心，即3 筷无限大平板中心截面的交点上，最高温度 发生在钢锭的顶角，即3块大平板表面的公 共点上。
4
例题3 θ
m/B则θi x0钢==锭hλδ(1θ中=m心3/ 4θ温840×0度).05x.2⋅5(θ=
2.14
m/θ 0
)
y
⋅ (θ
无限大平板的非稳态导热
当Fo ≥ 0.2时，可取
θ (x,τ )
θ0
=
β1
2 sin β1 + sin β1 cos β1
cos
β
1
x δ
e − β12 ⋅Fo
只与Bi、x/δ有关， 与时间无关
lnθ
=
−mτ
+ lnθ 0
β1
2sin β1 + sinτ β1 cos β1
cos
= 0.36
短圆柱的中心温度为
查图3-6得 θ
再讨论直径为
m2R/θ=600=0m0m.8的无θ限m长/ θ圆0柱=：0.13
×
0.8
=
0.104
Bi = hR = 232 × 0.3 = 1.72 λ 40.5
tm = 0.104θ0 + t∞ 查附=2图0.11得04θ×m(3/θ00−=103.0103) +1300
传热学(第四版)第三章：非稳态热传导
方程求解
dt cV hA t t d
一阶非齐次方程
0时，t =t0
令： t t — 过余温度，则有
d -hA Vc d 0时， t t 0 0
一阶齐次方程
方程式改写为：
d hA d Vc
3 拟合线1: t 12.7 79.4 exp 79.4 0.216 3 拟合线2 : t 11.1 80.0 exp 80.0 第三章 非稳态导热 1.252
8
时间常数 ( Vc / hA)反应导热体的热惯性。 如果导热体的热容量（ Vc ）小、换热条件好（h大）， 那么单位时间所传递的热量大、导热体的温度变化快。 对于测温的热电偶节点，时间常数越小、说明热电偶对 流体温度变化的响应越快。这是测温技术所需要的。
Q Q＝ Q 0 Q0
3.2 正规热状况的实用计算方法－近似拟合公式法（了解） 对上述公式中的A，B，μ 1，J0 可用下式拟合
b 1 (a ) Bi
2 1
A a b( 1 e cBi ) a cBi B 1 bBi J 0 ( x ) a` b` x c` x 2 d` x 3
第三章 非稳态导热 11
讨论4：零维问题（集中参数法）的应用条件 理论上，集中参数法是在Bi->0的条件下提出的。 在实际应用中，可以适当放宽适用条件： h(V A) Bi 0.1 (V/A)是物体的特征长度
对厚为2δ 的
无限大平板
对半径为R 的无限长 圆柱 对半径为R 的球
V A A A V R2 R A 2 R 2 4 R3 R V 3 2 A 4 R 3
传热学3-33.3 典型一维物体非稳态导热的分析解
数值计算表明，Fo>0.2后，略去无穷级数中的第二项及以 后各项所得的计算结果与按完整级数计算结果的偏差小于 1%。
以平板为例进行分析
θ
( x,τ θ0
)
=
μ1
+
2 sin μ1 sin μ1 cos
μ1
cos(
μ1
e x ) −μ12F0
δ
e θm (τ ) = θ (0,τ ) =
传热学 第三章 非稳态导热
东北电力大学 柏静儒
1
毕渥数 Bi 对温度分布的影响
分析：设有一块金属平板 2δ,λ，a，фV=0，h， 初始温度t0,突置于流体t∞中，且t∞ < t0。
Bi → 0
Bi → ∞
Bi →0 (1)
t
τ=0 τ1
t0
τ2 τ3
t∞ -δ
t∞ 0 δx
9内部导热热阻
趋于零；
2 sin μ1
− μ12 F0
θ0
θ0
μ1 + sin μ1 cos μ1
θ (x,τ ) θm (τ )
=
θ (x,τ ) /θ0 θ m (τ ) / θ0
=
co
s(
μ1
x
δ
)
平板中心处 过余温度
与时间无关， 只取决于边界条件
2. 正规状况阶段三个分析解的简化表达式
平板；
θ (x / δ ,τ ) θ0
∂θ ∂τ
=
a
∂ 2θ
∂x 2
(0 ≤ x < δ , τ > 0)
t τ=0
I.C τ = 0 θ = θ 0 (0 ≤ x ≤ δ )
大学传热学第三章 非稳态导热2
• 为便于计算，工程中广泛采用按分析解的级数第一项而绘 制的一些线图（诺模图），其中用以确定温度分布的图线 称为海斯勒图。
• 对于无限大平板这些线图有三张
（1）中心点无量纲过余温度线算图 ；
（2）任意点无量纲过余温度与中心点无量纲过余温度比值
/的m 线算图
；
（3）热流量线算图。
m /0
任意点无量纲过余温度的计算
• 从初始时刻到平板与周围介质处于热平衡，这一过程中 所传递的热量为
Q0 cV t0 t
• 从初始时刻到某一时刻，这一阶段中所能传递的热量为
Q cV t0 tx, dV • 热量之比为
Q Q0
c t0 t x, dV
V
cV t0 t
1 V
V
t0
t
t
t
dV
t0 t
1 1 t t dV 1
平板中不同点的温度值
• 任意点的温度
x,
0
1
2sin 1 sin 1 cos 1
e12 Fo
cos
1
x
• 中心点的温度
0,
2 sin 1
e 12FO
0 1 sin 1 cos 1
• 任意点的温度与中心点温度的比值
x, 0,
x, m
cos
1
x
正规工况的特点
上面的计算式反映了非稳态导热过程中的一种很 重要的物理现象，即当 Fo 0.2以后，虽然任意点 的过余温度及中心点的过余温度均与时间有关， 但其比值却与时间无关，而仅取决于几何位置及 边界条件。这表明，此时初始条件的影响已经消 失，无论什么样的初始分布都是一样的。非稳态 导热的这一阶段就称为正规状况阶段或充分发展 阶段。确定正规状况阶段的存在有重要的工程实 用意义，因为工程技术中关心的非稳态导热过程 常常处于正规状况阶段，此时的计算可以采用简 化的公式。
传热学-第三章非稳态导热问题分析解
单位时间 0, t t0
物体内能 的减少(或 增加)
Φ hAt t
Φ cV dt d
当物体被冷却时（t 0 >t）,由能量守恒可
知
hA(t t ) -Vc dt
d
令： t t — 过余温度，则有
hA
-Vc
d d
( 0) t0 t 0
控制方程 初始条件
方程式改写为：d hA d 分离变量法 Vc
由于表面对流换热热阻与导热热阻相对大小的不同， 平板中温度场的变化会出现以下三种情形：
（1） 1/ h / Bi
（2） / 1/ h Bi 0
（3） δ/ λ 与1/h 的数值比较接近 0 Bi
Bi 准则对温度分布的影响
1/ h /
/ 1/ h δ/ λ 与1/h的数值接近
是一种理想化模型； 物体内导热热阻忽略不计； 物体内温度梯度忽略不计，认为整个物体具有相
同的温度；
通过表面传递的热量立即使整个物体的温度同时 发生变化； 把一个有分布热容的物体看成是一个集中热容的物体；
只考虑与环境间的换热不考虑物体内的导热。
问题的提出：
2 温度分布 如图所示，任意形状的物体，参数均为已知。
0.049 0.05 可采用集总参数法。
F cp V
cp
dl 2d 2 d 2l 4
4
cp
4(l d dl
2)
140 4 (0.3 0.025) 480 7753 0.05 0.3
0.326102
t tf 800 1200 0.342
0 t0 tf 30 1200
由式(3-1)得：
？？？
§3-2 集总参数法
基本思想：对任意形状的物体，忽略物体内部的导热 热阻，认为物体温度均匀一致。
传热学课件-第3章-非稳态导热分析解法精选全文
是与物体几何形状 有关的无量纲常数
对厚为2δ的 无限大平板
M 1
对半径为R的无 限长圆柱
M
1 2
对半径为R的 球
M 1 3
V A
AA
V R2 R
A 2R 2
V A
4 R3
3
4R 2
R 3
Biv Bi
Biv
Bi 2
Biv
Bi 3
对于一个复杂形体的形状修正系数时，可以将
修正系数M取为1/3，即 BiV 0.0333
由此可见，上述两个热阻的 相对大小对于物体中非稳态导热 的温度场的变化具有重要影响。 为此，我们引入表征这两个热阻 比值的无量纲数毕渥数。
Bi h 1h
1）毕渥数的定义：
Bi h 1h
毕渥数属特征数（准则数）。
2）Bi 物理意义： 固体内部单位导热面积上的导 热热阻与单位表面积上的换热热阻之比。Bi的大小
0
1
τ/τs
工程上认为= 4τc时导热体已达到热平衡状态
3 Bi F物o 理意义
hl l
Bi ＝
物体内部导热热阻
1 h 物体表面对流换热热阻
换热时间
Fo l2 a 边界热扰动扩散到l2面积上所需的时间
无量纲 热阻
无量纲 时间
Fo越大，热扰动就能越深入地传播到物体内部物体， 各点地温度就越接近周围介质的温度。
t(x, ) t — 过余温度
2
a
x2
0, t -t
0
0
x 0, 0
x , - x h x
采用分离变量法求解：
(, 0
)
n 1
Cn
exp(n2Fo) cos(n)
工程传热学第三章-非稳态导热概述
2.两个阶段
非正规状况阶段(初始状况阶段)
在=3时刻之前的阶段，物体内的温度
分布受初始温度分布的影响较大。
正规状况阶段
在 = 3时刻之后，初始温度分布的影
响已经消失，物体内的温度分布主要 受边界条件的影响.
3.热量变化
与稳态导热的另一区别：由于有温 度变化要积聚或消耗热量，同一时刻 流过不同界面的热流量是不同的。
体已达到热平衡状态
如果导热体的热容量（ Vc ）小、换
cV 热条件好（hA大），那么单位时间所
hA
传递的热量大、导热体的温度变化快， 时间常数小。
时间常数反映了物体对周围环境温度变化响 应的快慢，时间常数小的响应快，时间常数 大的响应慢，其主要影响因素为物体的热容 量和物体表面的对流换热条件。
可见，同一物质不同的形状其时间常数不同， 同一物体在不同的环境下时间常数也是不相 同。
VV
t0 t
1 1 dV
V V 0
1
0
1 V
V (t t )dV
是时刻物体的平均过余温度。
2.非稳态导热的正规状况阶段
当Fo>0.2时，采用级数的第一项计算偏差小于 1%，故当Fo>0.2时:
(x, )
0
n 1
n
2 sin( n ) sin n cos n
cos( n
x ) exp(
首先，物体紧挨高温表面的部分温度上升
很快，经过一定时间后内部区域温度依次变
化，最终整体温度分布保持恒定，当为常数
时，最终温度分布为直线。
t1
tA
tB
t2
tC
t0
tD
3
传热学第3章非稳态热传导
穷级数的和。
tan n Bi
2 sin n ( x / , ) x e Fo cos(n ) 0 n 1 n sin n cos n
2 n
特征值 n
是超越方程
n
的根。
无量纲温度分布：
非稳态导热的 无量纲时间。
物理意义： Fo
a l2 l2
a
• 分子：非稳态导热过程从 0 ~τ的时间； • 分母：温度变化波及到 l 2 面积的时间。 非稳态导热过程中，Fo 越大，热扰动越深入 地传播到物体内部，因而物体内各点温度越 接近周围流体的温度。
3.2.3 集中参数法的适用范围及应用举例
判断是否采用集中参数法的依据：
BiV 0.1M
其中；大平板M=1，长圆柱 M=1/2，球 M=1/3。
集中参数法中特征长度的选取：
• 一般形状物体：
l V A
• 厚度为2δ的无限大平壁： l • 半径为R的圆柱： • 半径为R的圆球：
lR 2
lR
3
• 边长为b的立方体：l b 6
x0 x t 0 x t h(t t f ) x
解的唯一性定理：如果某一函数 t (x,y,z,τ) 满足 方程(a)及一定的初始条件与边界条件，则此函数 就是这一特定导热问题的唯一解。
3.1.3 第三类边界条件下Bi 数对平板中温度分布的影响 1. 毕渥（Biot）数 定义： Bi h
( x, ) t t x f ( Bi, Fo, ) 0 t0 t
原导热微分方程的温度分布：
t f (a, , , , h, x)
简化未知数个数
2. 圆柱 问题：实心圆柱半径R，λ，a，фV=0, h，初始 温度t0，突置于流体中t∞，且t∞ < t0。
第三章第三节 一维非稳态导热的分析解
θ0 θm θ0
同理，非稳态换热过程所交换的热量也可 以利用（3－24）和（3－25）绘制出。
解的应用范围
书中的诺谟图及拟合函数仅适用恒温介质的第 三类边界条件或第一类边界条件的加热及冷却过 程，并且F0>0.2
3
第三节一维非稳态导热的分析解
上式化为：
∂θ = a ∂ 2θ
∂τ
∂x 2
θ =θ0
∂θ = 0 ∂x
0 < x < δ ,τ > 0 τ =0 x=0
− λ ∂θ = hθ x = δ ∂x
第三节一维非稳态导热的分析解
用分离变量法可得其分析解为：
θ
( x,τ θ0
)
=
∞
∑
n =1
2 sin( β nδ ) cos( β n x) β nδ + sin( β nδ ) cos( β nδ
μ1
cos(
μ1
e x ) −μ12F0 δ
θ
(0,τ θ0
)
=
θ m (τ θ0
)
=
μ1
+
2 sin μ1 sin μ1 cos
μ1
e − μ12 F0
θ (x,τ ) θ m (τ )
=
cos(
μ1
x δ
)
与时间无关
第三节一维非稳态导热的分析解
考察热量的传递 Q 0 = ρ cV ( t 0 − t ∞ ) Q0 ——非稳态导热所能传递的最大热量
及可用一通式表达0aexp?21f0f1y00aexp?21f0bi此处无限大平板yxbihf0az2长圆柱体及球yxrbihrf0azr2此处的ab及函数f1y见p74表322第三节一维非稳态导热的分析解3正规热状况的实用计算方法拟合公式法对上述公式中的ab1j0可用下式拟合2b?11abiaab1?e?cbibacbi1bbij0xabxcx2dx3式中常数abcd见p75表33abcd见p75表34第三节一维非稳态导热的分析解2再根据公式323绘制其线算图xcosxx1fbim3于是平板中任一点的温度为m?0m0同理非稳态换热过程所交换的热量也可以利用324和325绘制出
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传热学--第三章第三节一维非稳态导热问题
§3 — 3 一维非稳态导热的分析解
本节介绍第三类边界条件下：无限大平板、无限长圆柱、球的分析解及应用。
如何理解无限大物体，如：当一块平板的长度、宽度>> 厚度时，平板的长度和宽度的边缘向四周的散热对平板内的温度分布影响很少，以至于可以把平板内各点的温度看作仅是厚度的函数时，该平板就是一块“无限大”平板。
若平板的长度、宽度、厚度相差较小，但平板四周绝热良好，则热量交换仅发生在平板两侧面，从传热的角度分析，可简化成一维导热问题。
一、无限大平板的分析解
已知：厚度的无限大平板，初温t0，初始瞬间将其放于温度为的流体中，而且>
t0，流体与板面间的表面传热系数为一常数。
试确定在非稳态过程中板内的温度分布。
解：如图3-5 所示，平板两面对称受热，所以其内温度分布以其中心截面为对称面。
对
于x 0 的半块平板，其导热微分方程：(0<x< , )
定解条件：t(x,0)= t0(0 x )
（边界条件）
（边界条件）
引入过余温度：
则（0<x< , ）(3-9)
(x,0)= (0 x ) （初始条件）
（边界条件）
（边界条件）
对偏微分方程分离变量求解得：
（3-10 ）
其中离散值是下列超越方程的根，称为特征值。
其中Bi 是以特征长度为的毕渥数。
由此可见：平板中的无量纲过余温度与三个无量纲数有关：以平板厚度一半为特
征长度的傅立叶数、毕渥数及即：（3-12)
二、非稳态导热的正规状况阶段
1 、平板中任一点的过余温度与平板中心的过余温度的关系
前述得到的分析解是一个无穷级数，计算工作量大，但对比计算表明，当Fo>0.2 时，采用该级数的第一项与采用完整的级数计算平板中心温度的误差小于1% ，因此，当Fo>0.2
时，采用以下简化结果：（3-13 ）
其中特征值之值与Bi 有关。
由上式（3-13 ）可知：Fo>0.2 以后平板中任一点的过余温度(x ，τ) 与平板中心的过余温度(0 ，τ)=（τ ）之比为：（3-14 ）
此式反映了非稳态导热过程中一种很重要的物理现象：即当Fo>0.2 以后，虽然(x ，τ) 与（τ ）各自均与τ 有关，但其比值则与τ 无关，而仅取决于几何位置（x/ ）及边界条件（Bi ）。
也就是说，初始条件的影响已经消失，无论初始条件分布如何，只要
Fo>0.2 ，之值是一个常数，也就是无量纲的温度分布是一样的
由此可见，当Fo>0.2 时，非稳态导热过程进入正规状况阶段。
2 、在一个时间间隔内非稳态导热过程中传递的热量
1 ）从物体初始时刻平板与周围介质处于热平衡，这一过程中传递的热量：
（3-15 ）
此值为非稳态导热过程中传递的最大热量。
2 ）从初始时刻到某一时间τ ，这段时间内所传递的热量：
（3-16 ）
3 ）之比：
(3-17)
其中：是时刻τ 物体的平均过余温度，。
对于无限大平板，当Fo>0.2 ，将式（3-13 ）代入的定义式，可得：
（3-18 ）
对圆柱体、球体>0.2 时，无穷级数的解也可用第一项近似代替，并且
及可表示为：
（3-19 ）
（3-30 ）
其中：η 为无量纲几何位置，对平板，对柱体及球体，R 为外表面半径，系数A 、B 及函数的表达式取决于几何形状，见教材表3-2 所示。
三、正规阶段状况的实用计算方法
当Fo>0.2 时，可采用上述计算公式求得非稳态导热物体的温度场及交换的热量，也可采用简化的拟合公式和诺模图求得。
1 、诺模图：工程技术中，为便于计算，采用按分析解的级数第一项绘制的一些图线，叫诺模图。
2 、海斯勒图：诺模图中用以确定温度分布的图线，称海斯勒图.
首先根据（3—13 ）式给出随Fo 及Bi 变化的曲线（此时x/δ=0 ），然后根据（3 —14 ）式确定的值，于是平板中任意一点的值便为：
（3-21 ）
同样，从初始时刻到时刻τ 物体与环境间所交换的热量，可采用（3 — 15 ）、
（3 — 17 ）作出曲线。
3 、诺模图法评述
优点：简洁方便。
缺点：准确度有限，误差较大。
目前，随着计算技术的发展，直接应用分析解及简化拟合公式计算的方法受到重视。
四、分析解应用范围的推广及讨论
1 、推广范围
1 ）对物体被冷却的情况也适用；
2 ）也适于一侧绝热，另一侧为第三类边界条件的厚为δ 的平板；
3 ）当固体表面与流体间的表面传热系数h 时，即表面换热热阻0 时，所以时分析解就是固体表面温度发生一突然变化然后保持不变时的解，即第一类边
界条件的解。
2 、讨论Bi 与Fo 对温度场的影响：
1 ）傅立叶数Fo ：
由(3-10) 、(3-13) 式及诺模图可知：物体中各点的过余温度随时间τ 的增加而减小；而Fo 与τ成正比，所以物体中各点过余温度亦随Fo 的增大而减小。
2 ）毕渥数Bi
Bi 对温度的影响从以下两方面分析：
一方面，从教材图3 — 6 可知，Fo 相同时，Bi 越大，越小。
因为，Bi 越大，意味着固体表面的换热条件越强，导致物体的中心温度越迅速地接近周围介质的温度；当Bi 时，意味着在过程开始瞬间物体表面温度就达到介质温度，物体中心温度变化最快，所以在诺模图中1/Bi=0 时的线就是壁面温度保持恒定的第一类边界条件的解。
另一方面Bi 的大小决定于物体内部温度的扯平程度。
如：对于平板，从诺模图3 — 7 中可知：
当>10 （即Bi<0.1 ）时，截面上的过余温度差小于5 %
当Bi 下限一直推到0.01 时，其分析解与集总参数法的解相差极微。
综上可得如下结论：介质温度恒定的第三类边界条件下的分析解；当Bi时，转化为第一类边界条件下的解，Bi 0 时，则与集总参数法的解相同。