空间直角坐标系
空间直角坐标系
卦 限
三个坐标面将整个空间分割成八个部
分，每一个部分称为一个卦限。含有
x轴、y 轴与z 轴正半轴的那个卦限为
第 I 卦限，在 xOy面上方的其余三个
卦限依逆时针方向分别为第II、第III
和第IV卦限；第V至 第VIII卦限，在
xOy 面的下方，由第一卦限之下的第
V卦限，按逆时针方向确定。
Ⅲ
yoz面
解 M1M2 2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14, M2M3 2 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6, M3M1 2 (4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6,
M2M3 M3M1 , 原结论成立.
例 2 设P 在 x轴上，它到P1(0, 2,3)的距离为 到点P2 (0,1,1)的距离的两倍，求点P 的坐标. 解 因为P 在x 轴上，设P点坐标为 ( x,0,0),
一、空间直角坐标系
空间直角坐标系 由
z轴
三条互相垂直、且相
交于一个公共点O、
并规定了长度单位的 射线所构成的空间结
原点O •
y轴
构。这个公共点称为
坐标系的坐标原点， x轴 三条射线称为坐标轴，
其方向符合右手法则。
坐 在空间直角坐标系中，任意两条坐标
标 轴所确定的平面都称为坐标面，分别
面 、
称为xOy 面、yOz面和xOz面。
•M
y
Q(0, y,0)
特殊点的表示:
坐标轴上的点 P, Q, R,
坐标面上的点 A, B, C, z
R(0,0, z)
C( x,o, z)
o x P( x,0,0)
O(0,0,0)
B(0, y, z)
y
Q(0, y,0) A( x, y,0)
空间直角坐标系
长度：使用直角坐标 系中的坐标值计算
面积：使用直角坐标 系中的坐标值计算
体积：使用直角坐标 系中的坐标值计算
角度：使用直角坐标 系中的坐标值计算
距离：使用直角坐标 系中的坐标值计算
相似性：使用直角坐 标系中的坐标值计算
平移：沿某个方向移动一定距 离不改变形状的大小和方向
旋转：绕某个轴旋转一定角 度改变形状的位置和方向
向量的坐标表示应用：向量的坐标表示方法在物理、工程、计算机科学等领域有着广泛的应 用。
向量的模：向量的长度表示为向量的平方和的平方根
向量的数量积：两个向量的点积表示为两个向量的坐标乘积的和
向量的坐标表示方法：用三个坐标值表示向量每个坐标值对应一个坐标轴
向量的数量积的坐标表示方法：用两个向量的坐标乘积的和表示向量的数量积每个坐标乘积 对应一个坐标轴
平移：沿坐标轴方 向移动保持原点位 置不变
旋转和平移的复合 ：先旋转后平移或 先平移后旋转
旋转和平移的逆操 作：旋转和平移的 逆操作可以恢复原 坐标系
空间直角坐标系的 表示方法
空间直角坐标 系：由三个互 相垂直的坐标 轴组成通常用x、
y、z表示
点的坐标表示： 用三个数字表 示分别对应x、 y、z轴上的坐
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汇报人：
示。
单位长度：平面直角坐标系中 的单位长度是固定的通常用1表
示。
空间直角坐标系是 三维的平面直角坐 标系是二维的
空间直角坐标系中的点 可以用三个坐标表示平 面直角坐标系中的点可 以用两个坐标表示
空间直角坐标系中 的点可以通过投影 变换转换为平面直 角坐标系中的点
平面直角坐标系中 的点可以通过升维 变换转换为空间直 角坐标系中的点
坐标轴：x轴、y轴、z 轴分别代表三个方向 的坐标。
空间直角坐标系
第 1 页 共 2 页空间直角坐标系1、空间直角坐标系：从空间某一个定点O 引三条 且有 单位长度的数轴Ox 、Oy 、Oz ，这样的坐标系叫做空间直角坐标系O-xyz ，点O 叫做 ，x 轴、y 轴、z 轴叫做 。
在画空间直角坐标系O-xyz 时，一般使∠xOy=135°，∠yOz=90°。
2、坐标平面：通过每两个坐标轴的平面叫做 ，分别称为xOy 平面、yOz 平面、 zOx 平面。
3、在空间直角坐标系中，空间一点M 的坐标可以用有序数组(x ，y ，z)来表示，有序数组(x ，y ，z)叫做点M 在空间直角坐标系中的坐标，记作M(x ，y ，z)，其中x 叫做 坐标，y 叫做 坐标，z 叫做 坐标.4、右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，让右手大拇指指向为x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。
注意：(1)在空间直角坐标系中，坐标平面xOy ，xOz ，yOz 上非原点的坐标有什么特点？(2)y 轴、z 轴上非原点的坐标有什么特点？5（1）空间中任意一点),,(1111z y x P 到点),,(2222z y x P 之间的距离公式： 22122122121)()()(z z y y x x P P -+-+-=（2）在空间直角坐标系O-xyz 中，设点P(x ，y ，z)、()111,,z y x A 、()222,,z y x B ， 则：点P 到原点O 的距离|OP|=222z y x ++ A 与B 两点间距离公式|AB|=212212212)()()(z z y y x x -+-+- 点A 与B 的中点()000,,z y x P 坐标公式：2,2,2210210210z z z y y y x x x +=+=+= 专题例题与练习：例1. 在空间直角坐标系中，到点M(3，—1，2)，N(0，2，1)距离相等且在y 轴上的点的坐标为___________例2. 与点P(1,3,5)关于原点对称的点是( )A 、(—1，—3，5)B 、(1，—3，5)C 、(—1，3，—5)D 、(—1，—3，—5) 例3. 已知空间两点M(2，3，6)，N(—m ，3，—2n)关于xOy 平面对称，则m+n=_________例4. 如图右侧，已知正方体ABCD －A′B′C′D′的棱长为a ，|BM|=|2MD’|，点N 在A′C′上，且|A′N|＝3|NC′|，试求MN 的长．练习1．若已知点A(1,1,1)，B(－3，－3，－3)，则线段AB 的长为( )A ．4 3B ．2 3C ．4 2D ．3 22．在空间直角坐标系中，点P(－5，－2,3)到x 轴的距离为( )第 2 页 共 2 页 A ．5 B.29 C.13 D.343．在空间直角坐标系中，已知点P(x ，y ，z)满足方程(x ＋2)2＋(y －1)2＋(z －3)2＝3， 则点P 的轨迹是( )A ．直线B ．圆C ．球面D ．线段4．已知点A(－3，1，4)，B(5，－3，－6)，则点B 关于点A 的对称点C 的坐标为________．5．以正方体ABCD －A1B1C1D1的棱AB 、AD 、AA1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为一个单位长度，则棱CC1的中点的坐标为( ) A.(21，1，1). B.(1，21，1). C. (1，1，21). D. (21，21，1).6．空间直角坐标系中，x 轴上到点P(4,1,2)的距离为30的点有( )A ．2个B ．1个C ．0个D ．无数个7．已知A(1，－2,11)，B(4，2，3)，C(6，－1，4)，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形8．在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是() A.62 B.3 C.32 D.63。
空间直角坐标系
空间直角坐标系空间直角坐标系是描述三维空间中物体位置、大小和方向的基本工具，也称为笛卡尔坐标系。
它由三个坐标轴组成，分别为X轴、Y轴和Z轴。
这三个轴互相垂直，并且有着确定的正方向。
在这个坐标系中，每个点都可以用一个三元组(x,y,z)来表示，其中x、y和z分别表示该点在X轴、Y轴和Z轴上的坐标值。
坐标轴在空间直角坐标系中，X轴、Y轴和Z轴互相垂直，并且有着确定的正方向。
通常情况下，我们用右手定则来确定它们的方向。
右手定则是指：用右手握住坐标轴，拇指指向轴正方向，则其余四指的方向依次为轴的负方向。
对于X轴来说，正方向是从左往右，负方向是从右往左。
对于Y轴来说，正方向是从下往上，负方向是从上往下。
对于Z轴来说，正方向是从里往外，负方向是从外往里。
坐标系在空间直角坐标系中，每个点都可以用一个三元组(x,y,z)来表示，其中x、y和z分别表示该点在X轴、Y轴和Z轴上的坐标值。
通过这三个坐标轴的交点，我们就可以确定一个坐标系。
其中，原点是三个坐标轴的交点，XOY平面是X轴和Y轴的交点，以及XOZ平面和YOZ平面。
在三维图形中，我们通常用灰色坐标轴或红色坐标轴来表示三维坐标系。
在计算机中，常常用右手坐标系来表示三维坐标系。
在右手坐标系中，我们用拇指、食指和中指来表示X、Y和Z轴（这三个手指的弹起方向分别为轴正方向），并且让它们呈互相垂直的状态。
这样，我们就可以向空间中标记点、向量等实体了。
空间直角坐标系的应用空间直角坐标系在数学、物理、工程等领域中都有着广泛的应用。
下面以机械加工中的坐标轴为例，介绍空间直角坐标系的应用。
在机械加工中，机床的操作基本上是在三维空间中进行的，因此空间直角坐标系被广泛应用于机械加工中。
在机械加工中，通常会遇到许多坐标系，例如车削中心点坐标系、雕铣中心点坐标系等。
在机械加工中，我们通常要计算刀具与工件的相对位置、切削速度、转速等参数，而这些参数都依赖于空间直角坐标系。
因此，熟练掌握空间直角坐标系是进行机械加工的一个基本要求。
空间直角坐标系
即所求旋转曲面方程为
z 2 = a 2 ( x 2 + y 2 ),
表示的曲面称为圆锥面， 点 O 称为圆锥的顶点 表示的曲面称为圆锥面， 圆锥面 称为圆锥的顶点.
(2) y z 坐标面上的抛物线 z = ay2 绕 z 轴旋转所 得的曲面方程为
z = a( x + y ),
2 2
z
该曲面称为旋转抛物面 该曲面称为旋转抛物面. 旋转抛物面 其特征是: 其特征是 当 a < 0 时，旋转 抛物面的开口向下. 一般地， 抛物面的开口向下 一般地， 方程
x y z + 2 + 2 = 1. 2 a b b 该曲面称为旋转椭球面 旋转椭球面. 该曲面称为旋转椭球面
类似地， 类似地，该椭圆绕 y 轴旋转而得的旋转椭球面 的方程为
2
2
2
x2 y2 z 2 + 2 + 2 = 1. 2 a b a
一般地， 一般地，方程
x2 y2 z 2 + 2 + 2 =1 2 a b c
x y (3) x y 坐标面上的椭圆 2 + 2 = 1 , 分别绕 x、y 轴. a c
2 2
解 (1) y z 坐标面上的直 线 z = ay( a ≠ 0 )绕 z 轴旋转， 绕 轴旋转， 保持不变， 故 z 保持不变，将 y 换成
±
x2 + y2 ,
则得
z = a (± x 2 + y 2 ).
f (x , y)= 0 ) 平行于 z 坐标面上的曲线为准线， 在空间表示以 x y 坐标面上的曲线为准线， 轴的直线为母线的柱面. 轴的直线为母线的柱面 类似地， 类似地， 不含变量 x 的方程 f( y , z)= 0 ( ) 在空间表示以 y z 坐标面上的曲线为准线，平行于 x 坐标面上的曲线为准线， 轴的直线为母线的柱面. 轴的直线为母线的柱面 而不含变量 y 的方程 f (x , z)= 0 ) 平行于 y 坐标面上的曲线为准线， 在空间表示以 x z 坐标面上的曲线为准线， 轴的直线为母线的柱面. 轴的直线为母线的柱面
空间直角坐标系
空间直角坐标系空间直角坐标系是一种用来描述物体在三维空间中位置的坐标系统。
它是一种常见且重要的坐标系，被广泛应用于数学、物理、工程等各个领域。
本文将详细介绍空间直角坐标系的定义、特点和使用方法。
一、空间直角坐标系的定义空间直角坐标系是由三个相互垂直的坐标轴构成的，通常用x、y、z表示。
x轴和y轴在水平平面上，z轴垂直于水平平面向上延伸。
在这个坐标系中，每个点可以由一个有序的三元组(x, y, z)唯一确定。
其中，x表示点在x轴上的坐标值，y表示点在y轴上的坐标值，z表示点在z轴上的坐标值。
二、空间直角坐标系的特点1. 三维描述：空间直角坐标系能够准确描述物体在三维空间中的位置。
通过确定点在x、y、z轴上的坐标值，可以得知物体在坐标系中的具体位置。
2. 直角关系：空间直角坐标系中的三个坐标轴彼此垂直。
这意味着任意两个轴的夹角为直角，使得坐标系的描述更加简洁明了。
3. 正负号：在空间直角坐标系中，每个坐标轴都有正负号之分。
通过正负号的不同，可以识别出点在轴的正方向还是负方向上。
三、空间直角坐标系的使用方法1. 坐标表示：在空间直角坐标系中，可以通过坐标表示物体的位置。
例如，一个点的坐标为(2, 3, 4)，表示该点在x轴上的坐标值为2，在y轴上的坐标值为3，在z轴上的坐标值为4。
2. 图形表示：使用空间直角坐标系，可以绘制出物体在三维空间中的图形。
例如，通过连接多个点可以绘制直线、曲线，通过连接多个面可以绘制立方体、圆柱体等。
3. 距离计算：在空间直角坐标系中，可以计算物体之间的距离。
根据勾股定理，可以计算出两点之间的直线距离。
例如，两点A(x1, y1,z1)和B(x2, y2, z2)之间的距离可以用以下公式表示：AB = √[(x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²]。
四、应用举例空间直角坐标系在许多领域有着广泛的应用。
以下是一些例子：1. 建筑设计：在建筑设计中，使用空间直角坐标系可以准确描述建筑物的位置、大小和形状，方便施工和规划工作。
空间直角坐标系
的几何特性. 为顶点的三角形ABC的几何特性. 解 由空间两点间距离公式有
| AB |2 = (10 − 4)2 + (−1−1)2 + (6 − 9)2 = 49,
同理有
| AC | = 49, | BC |2 = 98.
2
Q AB | =| AC | , ∴AB= AC， |
2 2
因而△ 为等腰三角形. 因而△ABC为等腰三角形.
2 2
2 2
2
2
= ( x 2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) + ( z 2 − z1 )
所以空间两点间的距离 所以空间两点间的距离
d = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) + (z2 − z1 ) .
2 2 2
特地， 特别地，
点 M ( x , y , z) 与原点O ( 0 , 0 , 0 ) 的距离
z
a aa Q( , , ) 2 22
D’ A’ B’
C’
Q
O A x C
Q’
B
y
典型例题
1 的小正方体堆积成的正方体）， ），其 图（可看成是八个棱长为 的小正方体堆积成的正方体），其 2
结晶体的基本单位称为晶胞， 例2 结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意
中色点代表钠原子，黑点代表氯原子． 中色点代表钠原子，黑点代表氯原子．
典型例题
1 的小正方体堆积成的正方体）， ），其 图（可看成是八个棱长为 的小正方体堆积成的正方体），其 2
结晶体的基本单位称为晶胞， 例2 结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意
中色点代表钠原子，黑点代表氯原子． 中色点代表钠原子，黑点代表氯原子． 如图建立空间直角坐标 系O-xyz后，试写出全部钠原子所在位置的坐标． 后 试写出全部钠原子所在位置的坐标．
空间直角坐标系
空间直角坐标系在数学和物理学中，空间直角坐标系是一种常用的坐标系统，用于描述三维空间中的点、向量和物体的位置。
它由三个互相垂直的坐标轴（x轴、y轴和z轴）组成，构成了一个三维的直角坐标系。
一、空间直角坐标系的定义空间直角坐标系以原点为起点，通过选定的单位长度建立了三个相互垂直的坐标轴。
x轴代表水平方向，y轴代表垂直于x轴的水平方向，z轴代表竖直方向垂直于x、y轴。
这样，每一个点都可以用三个数字（x，y，z）表示其在空间直角坐标系中的位置。
二、坐标轴的性质和方向在空间直角坐标系中，每个坐标轴都具有以下性质：1. x轴：位于水平方向，从负无穷到正无穷延伸。
正方向为从左往右。
2. y轴：位于垂直于x轴的水平方向，从负无穷到正无穷延伸。
正方向为从前往后。
3. z轴：位于竖直方向，从负无穷到正无穷延伸。
正方向为从下往上。
空间直角坐标系中，x轴和y轴的交点称为原点（O），z轴的正方向与x轴和y轴的正方向形成右手螺旋规则关系。
三、点的表示和距离计算在空间直角坐标系中，任意一点P的坐标为（x，y，z）。
这意味着点P在x轴上的坐标为x，在y轴上的坐标为y，在z轴上的坐标为z。
点P到原点的距离可以由勾股定理计算：距离= √(x² + y² + z²)四、向量和运算在空间直角坐标系中，向量可以用其起点和终点的坐标差来表示。
例如，向量V可以表示为V = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)，其中(x1, y1, z1)为起点坐标，(x2, y2, z2)为终点坐标。
向量的加法和减法可以分别通过坐标的相加和相减进行计算。
例如，向量A = (x1, y1, z1)和向量B = (x2, y2, z2)的加法结果为A + B = (x1 +x2, y1 + y2, z1 + z2)。
五、空间坐标系的应用空间直角坐标系在几何学、物理学、工程学等领域中都有广泛的应用。
它可以用来描述点、线、面和三维物体的位置关系和运动状态。
知识要点空间直角坐标系
知识要点空间直角坐标系空间直角坐标系是用来描述三维空间中点位置的一种坐标系统。
它由三个坐标轴x、y、z构成，且彼此互相垂直，并在相交点处成为原点O。
在空间直角坐标系中，每个点的位置可由它在每个坐标轴上的投影来确定。
假设特定点P的坐标为(x,y,z)，则在x轴上的投影为x，y轴上的投影为y，z轴上的投影为z。
空间直角坐标系的特点是可以将任意三维空间中的点表示为有序的数对(x,y,z)，并且任意两点之间的距离可以用直线段来表示。
其基本特征有以下几点：1.原点O：空间直角坐标系的交点即为原点O，它的坐标为(0,0,0)。
2.坐标轴：空间直角坐标系有三个互相垂直的坐标轴，分别为x轴、y轴和z轴。
它们分别与三个方向对应：x轴正向为向右，y轴正向为向上，z轴正向为向外。
3. 坐标面：由三个坐标轴所确定的平面称为坐标面。
分别为xoy平面（z = 0）、xoz平面（y = 0）和yoz平面（x = 0）。
4.坐标轴方向：坐标轴方向有正负之分，规定沿着轴线正向的方向为正方向，反向则为负方向。
5.坐标轴长度：不同坐标轴的长度可以任选，但通常选择相等长度，方便计算。
在空间直角坐标系中，我们可以通过以下方法进行基本的空间点运算：1.点的移动：在坐标轴上，点的移动相当于坐标值的变化。
向右移动，坐标值加；向左移动，坐标值减；向上移动，坐标值加；向下移动，坐标值减；向外移动（离原点越来越远），坐标值加；向内移动（离原点越来越近），坐标值减。
2.点的关系：可以通过对比坐标值来判断两个点的相对位置。
若两点的x、y、z坐标值分别相等，则它们重合；若只有一个坐标值相等，则它们在同一坐标轴上；若有两个坐标轴的坐标值相等，则它们在同一平面上；若没有坐标值相等，则它们位于不同的坐标平面中。
3.点的中点坐标：求两点的中点坐标，可以将两个点的对应坐标分别相加然后除以24. 点的距离：可以根据勾股定理来求两点之间的距离。
设两点分别为P(x1, y1, z1)和Q(x2, y2, z2)，则它们之间的距离d为：d =sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)。
空间直角坐标系
一、空间向量的基本概念
平面向量
空间向量
定义
具有大小和方向的量
表示法 几何表示：有向线段 AB 字母表示: a
向量的模
向量的大小 AB a
相等向量 相反向量 单位向量 零向量
长度相等且方向相同的向量 长度相等且方向相反的向量 模为1的向量，没有规定方向 模为0的向量，与任何向量共线
空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，
( x y z 1)
判断四点共面，或直线平行 于平面
1.下列命题中正确的有：B
(1) p xa yb p 与 a 、b 共面 ; (2) p 与 a 、b 共面 p xa yb ；
(3) MP x MA y MB P、M、A、B共面；
(4) P、M、A、B共面 MP xMA yMB ；
预备知识
数轴Ox上的点M
实数x
O
直角坐标平面上的点M
y
M
x
x
实数对(x，y)
y A(x,y)
Ox
x
一、空间直角坐标系 —Oxyz
z
竖轴
1
纵轴
o
1
1
y
x
右手直角坐标系
横轴
右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让 右手拇指指向 x 轴的正方向，食指指向 y 轴的 正方向，如果中指指向 z 轴的正方向，则称这 个坐标系为右手直角坐标系．
【温故知新】
平面向量基本定理：
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有
一对实数1，2，使a＝1e1＋2 e2。
（e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。）
五、共面向量
2. 如果两个向量 a,不b 共线，
空间直角坐标系
空间直角坐标系一、主讲知识【知识点讲解1】空间直角坐标系在空间选定一点O 和一个单位正交基底{i ，j ，k }，以O 为原点，分别以i ，j ，k 方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x 轴，y 轴，z 轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立，O 叫做，i ，j ，k 都叫做。
对于空间任意一个向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3，则把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底e 1，e 2，e 3下的坐标，记作。
【讲透例题1】例1、已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，并且PA ＝AD ＝1，建立适当坐标系，求向量MN →的坐标．【相似题练习1】如图在边长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，取D 点为原点建立空间直角坐标系，O ，M 分别是AC ，DD 1的中点，写出下列向量的坐标.AM →＝________，OB 1→＝________.向量运【小结】建系时要充分利用图形的线面垂直关系，选择合适的基底，在写向量的坐标时，考虑图形的性质，充分利用向量的线性运算，将向量用基底表示．【知识点梳理2】空间向量坐标运算1、空间向量的坐标运算空间向量a ，b ，其坐标形式为a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3).算向量表示坐标表示加法a ＋b a ＋b ＝减法a －b a －b ＝数乘λa λa ＝数量积a ·ba ·b ＝2、空间向量的平行、垂直及模、夹角设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3).向量表示坐标表示加法a ＋b (a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)减法a －b (a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)数量积a·ba 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3共线a ＝λb (b ≠0，λ∈R )a 1＝λb 1，a2＝λb 2，a 3＝λb 3垂直a·b ＝0(a ≠0，b ≠0)a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0模|a |a 21＋a 22＋a 23夹角〈a ，b 〉(a ≠0，b ≠0)cos 〈a ，b 〉＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23【讲透例题2】例1、已知()1,2,1a =- ，()1,2,1a b +=-- ，则b = （）A ．(2，－4，2)B ．(－2，4，－2)C ．(－2，0，－2)D ．(2，1，－3)【相似题练习2】1、已知空间三点()1,0,3A ，()1,1,4B -，()2,1,3C -，若//AP BC，且AP =uu u v P 的坐标为（）A ．()4,2,2-B ．()2,2,4-C ．()4,2,2-或()2,2,4-D ．()4,2,2--或()2,2,4-2、(1)设a ＝(1，－1，3)，b ＝(－2，1，2)，则a ＋2b ＝________.(2)设a ＝(1，－1，1)，b ＝(－2，0，1)，则cos 〈a ，b 〉＝________.(3)已知点A (－1，2，0)，B (－1，0，2)，则|AB →|＝________.3、已知四点()1,2,1A -，()1,1,3B -，12,,12C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(),,0D x y ，且//AB CD ，则x ，y 的值分别为（）A ．3，1B ．4，52-C ．3，-1D ．1，14、与向量()1,3,2a =-平行的一个向量的坐标是()A ．1,1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(-1,-3,2)C ．13-,,-122⎛⎫⎪⎝⎭D ．)5、已知点A （1，2，3），B （0，1，2），C （﹣1，0，λ），若A ，B ，C 三点共线，则λ=__．6、已知向量(1,2,1),(1,1,1)a b =-=-- ，则a 与b的夹角为（）A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30°7、下列向量中与向量()010a =，，平行的向量是（）A ．()100b =，，B ．()010c =-，，C ．()111d =--，，D ．()001e =-，，8、已知向量()1,0,1a =r，()2,0,2b =- ，若()()2ka b a kb +⋅+= ，则k 的值等于（）A ．1B ．35C ．25D ．159、在空间直角坐标系O ﹣xyz 中,点A （2,﹣1,3）关于yOz 平面对称的点的坐标是()A ．（2,1,3）B ．（﹣2,﹣1,3）C ．（2,1,﹣3）D ．（2,﹣1,﹣3）10、若向量a ＝(1,1，x )，b ＝(1,2,1)，c ＝(1,1,1)，且满足条件(c －a )·(2b )＝－2，则x ＝________.11、已知(1,1,2),(6,21,2)a b m λλ=+=-.（1）若//a b，分别求λ与m 的值；（2）若||a =(2,2,)c λλ=--垂直，求a.二、课堂练习1.已知向量a ＝(0，2，1)，b ＝(－1，1，－2)，则a 与b 的夹角为()A.0°B.45°C.90°D.180°2.设O 为坐标原点，M (5，－1，2)，A (4，2，－1)，若OM →＝AB →，则点B 应为()A.(－1，3，－3)B.(9，1，1)C.(1，－3，3)D.(－9，－1，－1)3．若△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，－2,1)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是() A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形4．已知a＝(2，－3,1)，则下列向量中与a平行的是()A．(1,1,1)B．(－4,6，－2)C．(2，－3,5)D．(－2，－3,5)5．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且k a＋b与2a－b互相垂直，则k的值是()A．1 B.15C.35D.756.已知a＝(1－t，1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|a－b|的最小值为()A.5 5B.555C.355D.1157.已知A(－2,3,1)，B(2，－5,3)，C(8,1,8)，D(4,9,6)，求证：四边形ABCD为平行四边形．空间向量研究立体几何距离、夹角一、主讲知识【知识点讲解1】距离问题空间距离的向量求法分类向量求法两点距设A 、B 为空间中的任意两点，则d ＝|AB |点线距设直线l 的单位方向向量为u ，A ∈l ，P ∉l ，设AP →＝a ，则点P 到直线l 的距离d ＝|a |2－(a ·u )2点面距已知平面α的法向量为n ，A ∈α，P ∉α，则点P 到平面α的距离为d ＝|AP →·n ||n |【讲透例题1】例1、如图，△BCD 与△MCD 都是边长为2的正三角形，平面MCD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，AB ＝2 3.求点A 到平面MBC 的距离．【相似题练习1】1、在长方体OABC -O 1A 1B 1C 1中，OA ＝2，AB ＝3，AA 1＝2，求O 1到直线AC 的距离．2、在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1AA 的中点，则点1A 到平面MBD 的距离是（）A ．66a B ．36a C ．34a D ．63a 3、如图所示，ABCD -EFGH 为边长等于1的正方体，若P 点在正方体的内部且满足312423AP AB AD AE =++ ，则P 点到直线AB 的距离为________．4、四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1A ⊥平面ABCD ，AA 1＝3，底面是边长为4且∠DAB ＝60°的菱形，AC ∩BD ＝O ，A 1C 1∩B 1D 1＝O 1，E 是O 1A 的中点，则点E 到平面O 1BC 的距离为（）A ．2B ．1C ．32D ．35、如图，已知四边形ABCD 为矩形，四边形ABEF 为直角梯形，FA AB ⊥，1AD AF FE ===，2AB =，AD BE ⊥.（1）求证：BE DE ⊥；（2）求点F 到平面CBE 的距离.【知识点讲解2】求两条异面直线所成的角空间角的向量求法【讲透例题2】例1、如图，在三棱柱OAB -O 1A 1B 1中，平面OBB 1O 1⊥平面OAB ，∠O 1OB ＝60°，∠AOB ＝90°，且OB ＝OO 1＝2，OA ＝3，求异面直线A 1B 与AO 1所成角的余弦值的大小．【相似题练习2】1、已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（）A ．105B ．155C ．32D ．332、在直三棱柱111ABC A B C -中，190,2∠=︒==ACB CA CC CB ，则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为（）AB ．53CD ．353、在正四棱锥P ABCD -中，侧棱PA =，底面边长AB =，O 是P 在平面ABCD 内的射影，M 是PC 的中点，则异面直线OP 与BM 所成角为（）A ．30B ．45C ．60D ．904、如图，在三棱锥P ABC -中，已知12PA PB AC ===2AB BC ==，平面PAB ⊥平面ABC ，则异面直线PC 与AB 所成角的余弦值为（）A ．66B ．53C ．33D ．63【知识点讲解3】直线与平面所成的角空间角的向量求法【讲透例题3】例1、如图，已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1，平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°，A 1A ＝A 1C ＝AC ，E ，F 分别是AC ，A 1B 1的中点．(1)证明：EF ⊥BC ；(2)求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值．【相似题练习3】1、在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，若F ，G 分别是棱AB ，CC 1的中点，则直线FG 与平面A 1ACC 1所成角的正弦值等于()A．23B ．54C ．33D ．362、在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，D ，E ，F 分别是棱AB ，BC ，CP 的中点，1AB AC ==，2PA =，则直线PA 与平面DEF 所成角的正弦值为（）A ．255B ．55C ．35D ．2353、如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，AD DC ⊥，//AB DC ，2DCPD AB AD ===，Q 为PC 的中点，则直线PC 与平面BDQ 所成角的正弦值为__________．4、如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为梯形，//AD BC ，AD AB ⊥，且3,1PB AB AD BC ====．（1）若点F 为PD 上一点且13PF PD =，证明：//CF 平面PAB ；（2）求直线PA 与平面BPD 所成角的正弦值．5、如图四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PA PC =，点E 在棱PB 上，O 为AC 与BD的交点．（1）求证：平面AEC ⊥平面PDB ；（2）当E 为PB 的中点时，求证：//OE 平面PDA ；（3）当APD △是正三角形时，且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PBC 所成的角的正弦值．【知识点讲解4】平面与平面的夹角空间角的向量求法例1、如图，四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，AC ∩BD ＝O ，A 1C 1∩B 1D 1＝O 1，四边形ACC 1A 1和四边形BDD 1B 1均为矩形．(1)证明：O 1O ⊥底面ABCD ；(2)若∠CBA ＝60°，求平面C 1OB 1与平面DOB 1的夹角的余弦值．【相似题练习4】1、（多选）三棱锥A BCD -中，平面ABD 与平面BCD 的法向量分别为12,n n ，若12,3n n π<>= ，则二面角A BD C --的大小可能为（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π2、如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 为棱AA 1的中点，AB ＝1，AA 1＝2．（1）求点B 到平面B 1C 1E 的距离；（2）求二面角B 1﹣EC 1﹣C 的正弦值．3、如图：直角梯形ABCD 中，AD //BC ，∠ABC =90°，E ，F 分别为边AD 和BC 上的点，且EF //AB ，AD =2AE =2AB =4FC =4，将四边形EFCD 沿EF 折起成如图的位置，使AD =AE .（1）求证：BC //平面DAE ；（2）求四棱锥D ﹣AEFB 的体积；（3）求面CBD 与面DAE 所成锐二面角的余弦值.4、如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，1// 22AD BC AB AD AB AD AA BC ⊥====，，（1）求二面角111C B C D --的余弦值；（2）若点P 为棱AD 的中点，点Q 在棱AB 上，且直线1B C 与平面1B PQ 所成角的正弦值为515，求AQ 的长．1．如图，在三棱锥V ABC -中，顶点C 在空间直角坐标系的原点处，顶点A ，B ，V 分别在x ，y ，z 轴上，D 是线段AB 的中点，且2AC BC ==，当60VDC ∠=︒时，异面直线AC 与VD 所成角的余弦值为________．2．在正四棱锥S ABCD -中，O 为顶点S 在底面上的射影，P 为侧棱SD 的中点，且SO OD =，则直线BC 与平面PAC 所成的角是________．3．在空间直角坐标系O xyz -中，已知(1,2,0)A -，6)B ，则向量AB与平面xOz 的法向量的夹角的正弦值为________.4．如图，在底面边长均为2，高为1的长方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为BC 、11C D 的中点，则异面直线1A E 、CF 所成角的大小为_______；平面1A EF 与平面1111D C B A 所成锐二面角的余弦值为__________.5．如图，在直三棱柱中111A B C -A BC 中，AB ⊥AC ，AB=AC=2，1AA =4，点D 是BC 的中点．（1）求异面直线1A B 与1C D 所成角的余弦值；（2）求平面1ADC 与1ABA 所成二面角的正弦值．6．如图所示，四边形ABCD 是直角梯形，ABC BAD 90∠∠== ，SA ⊥平面ABCD ，SA AB BC 2===，AD 1=．()1求SC 与平面ASD 所成的角余弦值；()2求平面SAB 和平面SCD 所成角的余弦值．7、如图，在三棱锥V -ABC 中，顶点C 在空间直角坐标系的原点处，顶点A ，B ，V 分别在x ，y ，z 轴上，D 是线段AB 的中点，且AC ＝BC ＝2，∠VDC ＝3π，求异面直线AC 与VD 所成角的余弦值．空间向量在立体几何中的应用一、主讲知识【知识点讲解1】求平面的法向量平面的法向量的定义直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α的法向量．【讲透例题1】例1、四边形ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝2，AD ＝1.在如图所示的坐标系A -xyz 中，分别求平面SCD 和平面SAB 的一个法向量．【相似题练习1】1、已知三点A (1,0,1)，B (0,1,1)，C (1,1,0)，求平面ABC 的一个法向量．2、若直线l 的方向向量为()1,0,2a = ，平面α的法向量为()2,0,4n =--，则（）A ．//l αB ．l α⊥C ．l α⊂D ．l 与α斜交3、（多选）已知空间中三点()0,1,0A ，()2,2,0B ，()1,3,1C -，则下列说法正确的是（）A ．AB 与AC是共线向量B ．与AB同向的单位向量是,055⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．AB 和BC 夹角的余弦值是5511D ．平面ABC 的一个法向量是()1,2,5-【知识点讲解2】利用空间向量证明线线平行、线面、面面平行线线平行设两条不重合的直线l 1，l 2的方向向量分别为u 1＝(a 1，b 1，c 1)，u 2＝(a 2，b 2，c 2)，则l 1∥l 2⇔u 1∥u 2⇔(a 1，b 1，c 1)＝λ(a 2，b 2，c 2)线面平行设l 的方向向量为u ＝(a 1，b 1，c 1)，α的法向量为n ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ∥α⇔u·n ＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0面面平行设α，β的法向量分别为n 1＝(a 1，b 1，c 1)，n 2＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔n 1∥n 2⇔(a 1，b 1，c 1)＝λ(a 2，b 2，c 2)【讲透例题2】例1、在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝2，P ，Q ，R ，S 分别是AA 1，D 1C 1，AB ，CC 1的中点．求证：PQ ∥RS .例2、在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是CC 1，B 1C 1的中点．求证：MN ∥平面A 1BD .【相似题练习2】1、如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为DD 1和BB 1的中点．求证：四边形AEC 1F 是平行四边形．2、若直线l 的方向向量为m ，平面α的法向量为n，则能使//l α的是（）A ．()1,2,1m =，()1,0,1n = B ．()0,1,0m =，()0,3,0n = C ．()1,2,3m =- ，()2,2,2n =-D ．()0,2,1m = ，()1,0,1n =--4、已知两个不同的平面α，β的法向量分别是()11,2,2n = 和()23,6,6n =，则平面α，β的位置关系是________.5、已知()0,2,3A ，()2,1,6B -，()1,1,5C -.（1）求平面ABC 的一个法向量；（2）证明:向量()3,4,1a =-与平面ABC 平行.6、如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，1A O ⊥平面ABCD，1AB =平面1OCB 的法向量n =________.【知识点讲解3】利用空间向量证明线线垂直、线面垂直、面面垂直线线垂直设直线l 1的方向向量为u ＝(a 1，a 2，a 3)，直线l 2的方向向量为v ＝(b 1，b 2，b 3)，则l 1⊥l 2⇔u ·v ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0线面垂直设直线l 的方向向量是u ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量是n ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ⊥α⇔u ∥n ⇔u ＝λn ⇔(a 1，b 1，c 1)＝λ(a 2，b 2，c 2)(λ∈R )面面垂直设平面α的法向量n 1＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量n 2＝(a 2，b 2，c 2)，则α⊥β⇔n 1⊥n 2⇔n 1·n 2＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0【讲透例题3】例1、在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1E 为AC 的中点．求证：(1)BD 1⊥AC ；(2)BD 1⊥EB 1.例2、如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是B 1B ，DC 的中点，求证：AE ⊥平面A 1D 1F .例3、如图所示，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，BB 1＝1，E 为BB 1的中点，证明：平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .【相似题练习3】1、若平面αβ⊥，且平面α的一个法向量为12,1,2n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，则平面β的法向量可以是（）A ．111,,24⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．(2,1,0)-C ．(1,2,0)D ．1,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭2、已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果()2,1,4AB =-- ，(4,2,0)AD =，(1,2,1)AP =-- .对于结论：①||6AD = ；②AP AD ⊥；③AP是平面ABCD 的法向量；④AP//BD .其中正确的是（）A ．②④B ．②③C ．①③D ．①②3、（多选题）已知v为直线l 的方向向量，→→21,n n 分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），那么下列选项中，正确的是（）A ．→1n ∥→2n ⇔α∥βB ．→1n ⊥→2n ⇔α⊥βC ．v∥→1n ⇔l ∥αD ．v⊥→1n ⇔l ∥α4、（多选题）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（）A ．两条不重合直线1l ，2l 的方向向量分别是()2,3,1a =-，()2,3,1b =-- ，则12//l l B ．直线l 的方向向量()112a ,,=- ，平面α的法向量是()6,4,1u =-，则l α⊥C ．两个不同的平面α，β的法向量分别是()2,2,1u =- ，()3,4,2v =-，则αβ⊥D ．直线l 的方向向量()0,3,0a = ，平面α的法向量是()0,5,0u =-，则//l α-中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知5、如图，在四棱锥P ABCDPA=．2AB=，2⊥；（Ⅰ）求证：AE PD（Ⅱ）求证：平面PBD⊥平面PAC．。
4.3空间直角坐标系
例 2 设 P 在 x轴上，它到 P1 (0, 2,3) 的 距离为到点 P2 (0,1,1)的距离的两倍，求点 P
的坐标.
解 因为P 在x 轴上，设P点坐标为 ( x,0,0),
PP1 x2 2 2 32 x2 11,
PP2 x2 12 12 x2 2,
z P1362,3
D′
C′
C：（0，4，0） A′：（3，0，2） B′：（3，4，2）
A′ 1
B′ C
E：（1.5，4，1）
E是B'C的中点，
1.5 o
A
x P138A1,2
E 4 y E(3 0 , 4 4 , 2 0) 222
B 若A（x1，y1, z1), B(x2，y2, z2 ), 则AB的中点P( x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 ) 222
二、本书研究类型－右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，右手拇指指向 x 轴的正方 向，食指指向 y 轴的正方向，中指指向 z 轴的正方向。
问题：如何确定空间中一点？
z
竖坐标
R
o 横坐标 x P
M(x, y, z)
Q y 纵坐标
A
空间的点 11 有序实数组( x, y, z)
例1：如图，在长方体OABC—D’A’B’C’ 中,|OA|=3，|OC|=4，|OD’ |=2，写出D’，C， A’，B’四点的坐标。 D′：（0，0，2）
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
解： M1M2 2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14, M2M3 2 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6, M3M1 2 (4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6, M2M3 M3M1 , 原结论成立.
空间直角坐标系
坐标为
0,
7 8
,
1 2
.
P(x,y,z) P(x,y,z) P(x,y,z) P(x,y,z) P(x,y,z) P(x,y,z) P(x,y,z)
空间直角坐标系中的点的对称问题
P1(-x,-y,-z); P2(-x,y,z); P3(x,-y,z); P4(x,y,-z);
P5(x,-y,-z); P6(-x,y,-z); P7(-x,-y,z).
4.3.1 空间直角坐标系
坐标系 空间直角 坐标系
右手直角 坐标系
空间直角坐标系
定义
图示
空间直角坐标系Oxyz,其中点O 叫做① 坐标原点 ,x轴、y 轴、z轴叫做坐标轴,通过每两 个坐标轴的平面叫做② 坐标 平面 ,分别称为xOy平面、yOz 平面、zOx平面
在空间直角坐标系中,让右手拇 指指向x轴的正方向,③ 食指
确定空间中的点的坐标
1.确定空间中的点P(x,y,z)的方法 (1)垂面法:找到点P在三条坐标轴上的射影,方法是过点P作三个平面分别垂直于x 轴、y轴、z轴于A、B、C三点(A、B、C即为点P在三条坐标轴上的射影),点A、 B、C在x轴、y轴、z轴上对应的数分别为a、b、c,则(a,b,c)就是点P的坐标. (2)垂线法:先将P投射(沿与z轴平行的方向)到xOy平面上,记为点P1,由P1P的长度 及点P和z轴正方向在xOy平面哪侧确定竖坐标z,再在xOy平面上用同平面直角坐 标系中一样的方法确定P1的横坐标x、纵坐标y,最后得出点P的坐标(x,y,z).
2.求空间几何体中的点的坐标 (1)建立适当的空间直角坐标系. ①在几何体中找到三条两两垂直且共点的直线. ②以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系. ③建立的坐标系不同,求出的点的坐标不尽相同. (2)通过解三角形等方法求出相关线段的长度. (3)利用线段长度结合符号写出各点坐标.
空间直角坐标系(98)
三个数轴分别称为x轴、y轴和z 轴，它们互相垂直并相交于原点
O。
空间直角坐标系具有三个基本性 质：坐标轴的正方向、单位长度
和原点位置。
坐标轴与坐标平面
x轴、y轴和z轴统称为坐标轴， 它们分别代表不同的方向。
由任意两个坐标轴确定的平面 称为坐标平面，共有三个：xy 平面、yz平面和zx平面。
坐标平面将空间分为八个象限， 每个象限内的点具有特定的坐 标符号组合。
通过已知点作给定直线的垂线，求出垂足坐标，再利用两点间
距离公式计算点到直线的距离。
两异面直线距离计算
公垂线法
找出两异面直线的公垂线，然后利用公垂线的长度计算两异面直 线的距离。
向量法
分别求出两异面直线上任意两点的向量，然后利用向量间的夹角 和模长计算两上的直线，然后利用平面几何知识 求解两直线的距离。
面。
点法式
$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(zz_0)=0$，其中$(x_0,y_0,z_0)$ 为平面上一点，$A,B,C$为平面
的法向量。
三点式
通过平面上不共线的三点 $(x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2),(x_ 3,y_3,z_3)$可确定一个平面。
直线与平面位置关系判断
点在空间直角坐标系中表示
空间中的任意一点P可以用三个 实数x、y、z来表示，称为点P的
坐标，记作P(x,y,z)。
坐标x、y、z分别表示点P到x轴、 y轴和z轴的垂直距离，距离的正
负号由点P所在的象限确定。
原点O的坐标为(0,0,0)，它是空 间中唯一一个三个坐标都为0的
点。
02 空间向量及其运算
几种常见的空间曲面
球面、柱面、旋转曲面等。例如，球 心在原点、半径为$R$的球面方程为 $x^2+y^2+z^2=R^2$。
空间直角坐标系
空间直角坐标系4．3．1空间直角坐标系主要概念：空间直角坐标系----从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴Ox、Oy、Oz，这样的坐标系叫做空间直角坐标系O-xyz，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴。
坐标平面----通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面。
右手直角坐标系----在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。
空间直角坐标系中的坐标----对于空间任一点M，作出M点在三条坐标轴Ox轴、Oy 轴、Oz轴上的射影，若射影在相应数轴上的坐标依次为x、y、z，则把有序实数对(x, y, z)叫做M点在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x, y, z)，其中x叫做点M的横坐标，y 叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标。
一、重点难点本节教学重点是建立空间直角坐标系，难点是用空间直角坐标系刻画点的位置和根据点的位置表示出点的坐标。
二、教材解读如果把坐标法理解为通过某一特定系统中的若干数量来决定空间位置的方法，那么战国时代魏人石申用距度（或入宿度）和去极度两个数据来表示恒星在天球上位置的星表，可以说是一种球面坐标系统的坐标法。
古希腊的地理学家和天文学家也广泛地使用球面坐标法。
西晋人裴秀（223－271）提出“制图六体”，在地图绘制中使用了相当完备的平面网络坐标法。
用坐标法来刻划动态的、连结的点，是它沟通代数与几何而成为解析几何的主要工具的关键。
阿波罗尼在<<圆锥曲线论>>中，已借助坐标来描述曲线。
十四世纪法国学者奥雷斯姆用“经度”和“纬度”(相当于纵坐标和横坐标)的方程来刻划动点的轨迹。
十七世纪，费马和笛卡儿分别创立解析几何，他们使用的都是斜角坐标系：即选定一条直线作为X轴，在其上选定一点为原点，y的值则由那些与X轴成一固定角度的线段的长表示。
空间直角坐标系
05
空间直角坐标系的发展 历程
空间直角坐标系的起源和发展
起源：古希腊时期， 欧几里得提出平面 直角坐标系
发展：16世纪， 笛卡尔将平面直角 坐标系推广到三维 空间
应用：17世纪， 牛顿和莱布尼茨使 用空间直角坐标系 进行科学研究
现代发展：20世 纪，空间直角坐标 系在物理学、工程 学等领域得到广泛 应用
04
空间直角坐标系与笛卡 尔坐标系的关系
笛卡尔坐标系的概念和性质
笛卡尔坐标系是 数学中常用的坐 标系之一，由法 国数学家笛卡尔 提出
笛卡尔坐标系由 三个相互垂直的 坐标轴组成，通 常用x、y、z表 示
笛卡尔坐标系中 的点可以用三个 坐标值（x、y、 z）来表示，这 三个坐标值分别 对应三个坐标轴 上的位置
空间直角坐标系
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汇报人：XXX
目录 /目录
01
空间直角坐标 系的定义
02
空间直角坐标 系的性质
03
空间直角坐标 系的应用
04
空间直角坐标 系与笛卡尔坐 标系的关系
05
空间直角坐标 系的发展历程
01 空间直角坐标系的定义
空间直角坐标系的定义和概念
空间直角坐标系是 描述三维空间中点 的位置的一种方法
空间直角坐标系由 三个互相垂直的坐 标轴组成，通常用 x、y、z表示
空间直角坐标系中 的点可以用三个坐 标值（x、y、z） 来表示
空间直角坐标系中 的点可以用向量来 表示，向量的起点 是原点，终点是点 所在的位置
空间直角坐标系的构成
原点：空间直角坐标系的中心点 坐标轴：x轴、y轴、z轴，分别代表三个相互垂直的方向 单位长度：规定每个坐标轴上的单位长度 坐标值：表示点在空间中的位置，由三个坐标值组成，分别对应x轴、y轴、z轴上的位置
空间直角坐标系
空间直角坐标系空间直角坐标系是在空间中用直角坐标来表示点的位置的一种坐标系。
它由三个相互垂直的坐标轴构成，分别为x轴、y轴和z轴。
这三个坐标轴通过原点O相交，并按照右手定则确定相互之间的正负方向。
在空间直角坐标系中，每个点P的位置可以用一个有序三元组(x, y, z)来表示。
其中，x表示点P在x轴上的投影长度，y表示点P在y轴上的投影长度，z表示点P在z轴上的投影长度。
这样，我们可以通过三个有序数来确定空间中的一个点的位置。
在空间直角坐标系中，各坐标轴之间的单位长度相等，且x轴与y轴在平面上呈直角，x轴与z轴在另一个平面上也呈直角，y轴与z轴在第三个平面上也呈直角。
这样，我们可以根据坐标轴的正负方向来确定点所在的象限和坐标轴。
空间直角坐标系在几何学、物理学、工程学等学科中广泛应用。
通过直角坐标系，我们可以描述和计算空间中的点、线、面、体等几何对象的位置和性质。
例如，在几何学中，可以通过坐标系方程来表示和研究直线、平面、球面等几何图形；在物理学中，可以利用坐标系对物体的运动、力学性质等进行描述和分析；在工程学中，可以利用坐标系来进行空间设计和布局等。
在空间直角坐标系中，我们还可以进行坐标变换、距离计算、角度计算、曲线方程的表示等操作。
通过坐标变换，我们可以将一个点在一个直角坐标系中的坐标转换到另一个直角坐标系中的坐标。
距离计算可以通过坐标差的运算来求得两点之间的距离。
角度计算可以通过向量的数量积来求得两个向量之间的夹角。
曲线方程的表示可以将曲线上的点的坐标表示为关于一个或多个变量的函数形式。
综上所述，空间直角坐标系是一种用于在空间中表示点位置的坐标系。
它通过三个相互垂直的轴和坐标的正负方向来确定点的位置。
空间直角坐标系在几何学、物理学和工程学等学科中都有广泛的应用，通过坐标系可以进行坐标变换、距离计算、角度计算和曲线方程的表示等操作。
空间直角坐标系课件
原点和坐标轴的确定
原点确定
空间直角坐标系的原点一般选择为观察点的位置。
坐标轴确定
过原点作三条互相垂直的直线，即可确定X、Y、Z轴的方向。其中，X轴指向东 ，Y轴指向南，Z轴指向高。
02 空间点的坐标表示
CHAPTER
空间点的直角坐标表示
空间点的直角坐标系
使用三维坐标系来表示空间中的点。每个点由三个坐标值x、y、z表示，其中(0,0,0)代表原点。
VS
两点间距离公式
当两点不在同一平面内时，需要利用三维 坐标系中的距离公式进行计算。
空间角度的计算
两向量夹角
利用向量的点积和模长可求得两向量之间的 夹角，即 $\arccos\left(\frac{\vec{A}\cdot\vec{B}}{| \vec{A}||\vec{B}|}\right)$。
性质
空间直角坐标系是一个正交坐标 系，三个坐标轴相互垂直，原点 为它们的交点。
空间直角坐标系的建立
确定观察点和坐标轴
选择一个观察点作为原点，以过原点 的三条互相垂直的直线作为X、Y、Z 轴。
建立坐标系
标记坐标值
在空间任意一点P处，分别测量其到X 、Y、Z轴的距离，即可得到该点的坐 标值。
以原点为中心，以单位长度为间隔， 分别在X、Y、Z轴上建立坐标系。
曲面与平面的交线求法
定义法
通过曲面的方程和平面的方程来求解交线。
参数法
将曲面的方程和平面的方程参数化，然后联立方程求解。
05 空间直角坐标系的应用
CHAPTER
空间距离的计算
两点间距离
利用两点坐标可求得两点间的直线距离 ，即$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$。
空间直角坐标系
(2,-2,-1)
在空间直角坐标系中描出下列各 点，并指出各点所在的位置： A（2,2,0）, B（1,3,0）, C（2,2,3） D（ 0,0,-3）,E（ -3,3,4 ）
空间直角坐标系
1、空间直角坐标系的建立(三步) 2、空间直角坐标系的划分(八个卦限) 3、空间中点的坐标(一一对应) 4、特殊位置的点的坐标(表格) 5、点P在各卦限中x、y、z坐标的符号(表格)
(-,+,+)
Ⅵ
(-,-,+)
Ⅶ
(+,-,+)
Ⅷ
点P所在卦限
坐标符号
(+,+,-)
(-,+,-)
(-,-,-)
卦限图
(+,-,-)
平面直角坐标
1、在空间直角坐标系中描出下列各点，并说 明这些点的位置
A（0,1,1） B（0,0,2） C（0,2,0）
D（1,0,3） E（2,2,0） F（1,0,0）
中任何一点P就与有序实数组(x,y,z)建立了
一一对应关系，(x,y,z)就叫做P的空间直角坐
标，简称为坐标，记作P(x,y,z)。三个数值x、y、 z分别叫做P点的x坐标、y坐标、z坐标。
4、特殊位置的点的坐标
z
•
F
C
小提示：坐标轴
•
x
1
O
•
1
E
•
•
D
B y
上的点至少有两个 坐标等于0；坐标面 上的点至少有一个 坐标等于0。
x• 1 P1 x
• o
(x,y,z)
方法二：过P点作xOy面的垂线，垂足为P0点。
点P0在坐标系xOy中的坐标x、y依次是P点的x坐 标、y坐标。再过P点作z轴的垂线，垂足P1在z 轴上的坐标z就是P点的z坐标。
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4.3 空间直角坐标系重点难点教学重点：在空间直角坐标系中确定点的坐标.教学难点：通过建立适当的直角坐标系确定空间点的坐标,以及相关应用.新知探究:①在初中,我们学过数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线.决定数轴的因素有原点、正方向和单位长度.这是数轴的三要素.数轴上的点可用与这个点对应的实数x来表示.②在初中,我们学过平面直角坐标系,平面直角坐标系是以一点为原点O,过原点O分别作两条互相垂直的数轴Ox和Oy,xOy称平面直角坐标系,平面直角坐标系具有以下特征：两条数轴：①互相垂直;②原点重合;③通常取向右、向上为正方向;④单位长度一般取相同的.平面直角坐标系上的点用它对应的横、纵坐标表示,括号里横坐标写在纵坐标的前面,它们是一对有序实数(x,y).③在空间,我们也可以类比平面直角坐标系建立一个坐标系,即空间直角坐标系,空间中的任意一点也可用对应的有序实数组表示出来.④观察图2,OABC—D′A′B′C′是单位正方体,我们类比平面直角坐标系的建立来建立一个坐标系即空间直角坐标系,以O为原点,分别以射线OA,OC,OD′的方向为正方向,以线段OA,OC,OD′的长为单位长度,建立三条数轴Ox,Oy,Oz称为x轴、y轴和z轴,这时我们说建立了一个空间直角坐标系O—xyz,其中O叫坐标原点,x轴、y轴和z轴叫坐标轴.如果我们把通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,我们又得到三个坐标平面xOy平面,yOz平面,zOx 平面.由此我们知道,确定空间直角坐标系必须有三个要素,即原点、坐标轴方向、单位长.图1图1表示的空间直角坐标系也可以用右手来确定.用右手握住z轴,当右手的四个手指从x 轴正向以90°的角度转向y轴的正向时,大拇指的指向就是z轴的正向.我们称这种坐标系为右手直角坐标系.如无特别说明,我们课本上建立的坐标系都是右手直角坐标系.注意:在平面上画空间直角坐标系O—xyz时,一般使∠xOy=135°,∠yOz=90°.即用斜二测画法画立体图,这里显然要注意在y轴和z轴上的都取原来的长度,而在x轴上的长度取原来长度的一半.同学们往往把在x轴上的长度取原来的长度,这就不符和斜二测画法的约定,直观性差.⑤观察图2,建立了空间直角坐标系以后,空间中任意一点M就可以用坐标来表示了.已知M为空间一点.过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴,它们与x轴、y轴和z 轴的交点分别为P、Q、R,这三点在x轴、y轴和z轴上的坐标分别为x,y,z.于是空间的一点M就唯一确定了一个有序数组x,y,z.这组数x,y,z就叫做点M的坐标,并依次称x,y,z为点M的横坐标.纵坐标和竖坐标.坐标为x,y,z的点M通常记为M(x,y,z).图2反过来,一个有序数组x,y,z,我们在x轴上取坐标为x的点P,在y轴上取坐标为y的点Q,在z轴上取坐标为z的点R,然后通过P、Q与R分别作x轴、y轴和z轴的垂直平面.这三个垂直平面的交点M即为以有序数组x,y,z为坐标的点.数x,y,z就叫做点M的坐标,并依次称x,y和z为点M的横坐标、纵坐标和竖坐标.(如图2所示)坐标为x,y,z的点M通常记为M(x,y,z).我们通过这样的方法在空间直角坐标系内建立了空间的点M和有序数组x,y,z之间的一一对应关系.注意：坐标面上和坐标轴上的点,其坐标各有一定的特征.如果点M在yOz平面上,则x=0；同样,zOx面上的点,y=0；xOy面上的点,z=0；如果点M在x 轴上,则y=z=0；如果点M在y轴上,则x=z=0；如果点M在z轴上,则x=y=0；如果M是原点,则x=y=z=0.思路1例1 如图3,长方体OABC—D′A′B′C′中,|OA|=3,|OC|=4,|OD′|=2,写出D′,C,A′,B′四点的坐标.图3活动：学生阅读题目,对照刚学的知识,先思考,再讨论交流,教师适时指导,要写出点的坐标,首先要确定点的位置,再根据各自坐标的含义和特点写出.D′在z轴上,因此它的横纵坐标都为0,C在y轴上,因此它的横竖坐标都为0,A′为在zOx面上的点,y=0；B′不在坐标面上,三个坐标都要求.解:D′在z轴上,而|OD′|=2,因此它的竖坐标为2,横纵坐标都为0,因此D′的坐标是(0,0,2).同理C的坐标为(0,4,0).A′在xOz平面上,纵坐标为0,A′的横坐标就是|OA|=3,A′的竖坐标就是|OD′|=2,所以A′的坐标就是(3,0,2).点B′在xOy平面上的射影是点B,因此它的横坐标x与纵坐标y同点B的横坐标x与纵坐标y相同,在xOy平面上,点B的横坐标x=3,纵坐标y=4;点B′在z轴上的射影是点D′,它的竖坐标与D′的竖坐标相同,点D′的竖坐标z=2,所以点B′的坐标是(3,4,2).点评:能准确地确定空间任意一点的直角坐标是利用空间直角坐标系的基础,一定掌握如下方法,过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴,确定x,y和z,同时掌握一些特殊点的坐标的表示特征.思路2例 1 如图4,已知点P′在x轴正半轴上,|OP′|=2,PP′在xOz平面上,且垂直于x 轴,|PP′|=1,求点P′和P的坐标.图4例2 如图5,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E,F分别是BB1和D1B1的中点,棱长为1,求E,F点的坐标.图5变式训练1.在上题中求B1(1,1,1)点关于平面xoy对称的点的坐标.2.在上题中求B1(1,1,1)点关于z轴对称的点的坐标.3.在上题中求B1(1,1,1)点关于原点D对称的点的坐标.拓展提升1.在空间直角坐标系中的点P(x,y,z)关于①坐标原点;②横轴(x轴);③纵轴(y轴);④竖轴(z轴);⑤xOy坐标平面;⑥yOz坐标平面;⑦zOx坐标平面的对称点的坐标是什么?解:根据平面直角坐标系的点的对称方法结合中点坐标公式可知:点P(x,y,z)关于坐标原点的对称点为P1(-x,-y,-z);点P(x,y,z)关于横轴(x轴)的对称点为P2(x,-y,-z);点P(x,y,z)关于纵轴(y轴)的对称点为P3(-x,y,-z);点P(x,y,z)关于竖轴(z轴)的对称点为P4(-x,-y,z);点P(x,y,z)关于xOy坐标平面的对称点为P5(x,y,-z);点P(x,y,z)关于yOz坐标平面的对称点为P6(-x,y,z);点P(x,y,z)关于zOx坐标平面的对称点为P7(x,-y,z).点评:其中记忆的方法为:关于谁谁不变,其余的相反.如关于横轴(x轴)的对称点,横坐标不变,纵坐标、竖坐空间直角坐标系习题第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）.1．在空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z），给出下列4条叙述：①点P关于x轴的对称点的坐标是（x，－y，z）②点P关于yOz平面的对称点的坐标是（x，－y，－z）③点P关于y轴的对称点的坐标是（x，－y，z）④点P关于原点的对称点的坐标是（－x，－y，－z）其中正确的个数是（）A．3B．2C．1D．02．若已知A （1，1，1），B （－3，－3，－3），则线段AB 的长为（）A ．4B ．2C ．4D ．33．已知A （1，2，3），B （3，3，m ），C （0，－1，0），D （2，―1，―1），则（）A ．>B ．<C ．≤D ．≥4．设A （3，3，1），B （1，0，5），C （0，1，0），AB 的中点M ，则（）A ．B ．C ．D ． 5．如图，三棱锥A －BCD 中，AB ⊥底面BCD ，BC ⊥CD ，且AB =BC =1，CD =2，点E 为CD 的中点，则AE 的长为（）A ．B ．C ．D ．6．点B 是点A （1，2，3）在坐标平面内的射影，则OB 等于（）A ．B ．C ．D ．7．已知ABCD 为平行四边形，且A （4，1，3），B （2，－5，1），C （3，7，－5），则点D 的坐标为（）A ．（，4，－1）B ．（2，3，1）C ．（－3，1，5）D ．（5，13，－3） 8．点到坐标平面的距离是（）A ．B ．C ．D ．9．已知点，，三点共线，那么的值分别是（） 3322||AB ||CD ||AB ||CD ||AB ||CD ||AB ||CD ||CM =5345325321322325yOz 1413321127),,(c b a P xOy 22b a +c c b a +)11,2,1(-A )3,2,4(B )15,,(y x C y x ,A ．，4B ．1，8C ．，－4D ．－1，－8 10．在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是（）A ．B ．C ．D ． 第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．11．如右图，棱长为3a 正方体OABC －，点M 在上，且2，以O为坐标原点，建立如图空间直有坐标系，则点M 的坐标为．12．如右图，为一个正方体截下的一角P －ABC ，，，，建立如图坐标系，求△ABC 的重心G 的坐标 _ _．13．若O （0，0，0），P （x ，y ，z ），且，则表示的图形是 _ _．14．已知点A （－3，1，4），则点A 关于原点的对称点B 的坐标为；AB 的长为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)．15．（12分）如图，长方体中，，，，设E 为的中点，F 为的中点，在给定的空间直角坐标系D －xyz 下，试写出A ，B ，C ，D ，，，，，E ，F 各点的坐标．16．（12分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，且边长为2a ，棱PD ⊥底面ABCD ，PD =2b ，取各侧棱2121-2632336''''D A B C |''|B C |'|C M =|'|MB ||PA a =||PB b =||PC c =||1OP =2221x y z ++=''''ABCD A B C D -||3AD =||5AB =|'|3AA ='DB 'BC 'A 'B 'C 'D的中点E ，F ，G ，H ，写出点E ，F ，G ，H 的坐标．17．（12分）如图，已知矩形ABCD 中，，．将矩形ABCD 沿对角线BD 折起，使得面BCD ⊥面ABD ．现以D 为原点，DB 作为y 轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，此时点A 恰好在xDy 坐标平面内．试求A ，C 两点的坐标．18．（12分）已知，，，求证其为直角三角形．19．（14分）如图，已知正方体的棱长为a ，M 为的中点，点N 在上，且，试求MN 的长．20．（14分）在空间直角坐标系中，已知A （3，0，1）和B （1，0，－3），试问（1）在y 轴上是否存在点M ，满足？（2）在y 轴上是否存在点M ，使△MAB 为等边三角形？若存在，试求出点M 坐标．||3AD =||4AB =)11,2,1(-A )3,2,4(B )4,1,6(-C ''''ABCD A B C D -'BD 'AC |'|3|'|A N NC =||||MA MB =。