数学期望与方差

20
[注] 这种引进新的随机变量，将原随机变量分解成有限个随 机变量之和,再求数字特征的方法具有一定的普遍意义.
例12 设X、Y相互独立，分别服从参数为,的指数分布：

例11 一民航机场的送客车，载有20名乘客自机场开出，旅客 有10个车站可以下车，如到达一站没旅客下车就不停车．假 设每位旅客在各站下车是等可能的，且旅客之间在哪一站下 车相互独立．以X表示停车次数，求E(X)． 解 引入随机变量 X i
0, 第i站无人下车， 第i站有人下车， 1, i 1， 2， ， 10


h( y) 0 : E (Y ) yf [h( y)]h( y)dy g ( x) f ( x)dx




(令 y g ( x))

h( y) 0 : E(Y ) yf [h( y)]h( y)dy g ( x) f ( x)dx g ( x) f ( x)dx
b
d E(Y) 0 dt 1 [(l s )t (la sb)] 0 (b a)
la sb t ls
例9 设(X,Y)的联合分布律为
X Y 1 0.4 0.3 2 0.2 0.1
1 2
求 Z1 XY2 , Z 2 X Y 的数学期望． 解 (X,Y)的取值及对应的概率如下表: (X,Y) XY2 X+Y pk (1,1) 1 2 0.4 (1,2) 4 3 0.3 (2.1) 2 3 0.2 (2,2) 8 4 0.1



e
t2 2
dt 2



te
dt
例7
设有2个相互独立的电子元件，其寿命Xk (k=1,2) 均服从同一指数分布，其概率密度为
x 1 f ( x) e , 0,
x0 x0
( 0)
求将这2个元件串联组成系统的平均寿命． x x0 1 e , 解 Xk的分布函数为 F( x) x0 0 , 串联时系统寿命 N min(X 1 , X 2 ) 其分布函数为
解 由射手甲的分布律知，甲命中10环的概率为0.6，即若射击 100次，约有60次命中10环，同理，约有10次命中9环，20次命 中8环，10次命中7环．这样， 同理，射手乙平均每次命中 甲平均每次命中环数约为 环数约为
1 1 (10 60 9 10 8 20 7 10) (10 40 9 30 8 10 7 20) 100 100 10 0.6 9 0.1 8 0.2 7 0.1 10 0.4 9 0.3 8 0.1 7 0.2 9.2(环) 8.9(环)
第四章
§4.1
随机变量的数字特征
数学期望
§4.2
§4.3
方差
协方差及相关系数
§4.4
矩、协方差矩阵
§4.1 数学期望
例1 设甲、乙两射手在同样条件下进行射击，其命中环数是一 随机变量，分别记为X、Y，并具有如下分布律 X 10 9 8 7 Y 10 9 8 7 Pk 0.6 0.1 0.2 0.1 Pk 0.4 0.3 0.1 0.2 试问甲、乙两射手的射击水平哪个较高？
若积分



x f ( x)dx 绝对收敛，则称此积分值
为随机变量X的数学期望，记为E(X)
即 E( X )



x f ( x)dx
[注] 1）
数学期望简称为期望，又称为均值．
2）数学期望
E ( X ) 完全由随机变量 X 的概率分布所确定. 若 X 服从某一分布也称 E ( X ) 是这一分布的数学期望.
x0 x0
( 0)
求
E( X )
例6
设 X~N(,2) ， 求 E( X )

E ( X ) x f ( x)dx x

1 2
e

( x )2 2 2
dx
x

t
t2 2

2
1


( t )e
t2 2
dt 2
E(Z1 ) E(XY2 ) 1 0.4 4 0.3 2 0.2 8 0.1 2.8
E(Z2 ) E(X Y) 2 0.4 3 0.3 3 0.2 4 0.1 2.7
例10 设(X,Y)服从G上的均匀分布（如图） 求X、Y及XY的数学期望 y
2 3 1 2 ( 1 x ) E ( XY ) xyf ( x, y )dxdy dx xydy
0 0
1 6
数学期望的性质:
假设以下随机变量的数学期望均存在． 1. E(C)=C, （C是常数）
2. E(CX)=CE(X),
（C是常数）
3. E(XY)=E(X) E(Y),
又若X与Y相互独立，则



f ( x, y) f X ( x) fY ( y)

E(XY) ( x y ) f ( x , y )dxdy xy f X ( x ) fY ( y )dxdy x f X ( x )dx yf Y ( y )dy E(X) E(Y)
（2）设X是连续型随机变量且满足§2.5节的定理条件，
f [h( y)] | h( y) |, y , Y=g(X)的概率密度为 f Y ( y) 0, 其它. E (Y ) y f Y ( y)dy yf [h( y)] | h( y) | dy
解法一：由已知得
2
1 ， ( x,y) G f ( x, y ) 0 , 其它
f ( x)

y x 1 2
G 1 x
0

2(1 x) , 0 x 1 f ( x, y)dy , 其它 0
1
1 E ( X ) xf X ( x)dx 2 x(1 x)dx 0 3
4. 设X与Y相互独立, 则 E(XY)=E(X)E(Y)
[注] 1）性质3、4可推广到有限个的情况. 2）对于性质4来讲反之不成立.
证 (仅对(X,Y)为连续型随机变量证明性质3,4)
设(X,Y)的概率密度为f（x,y），其边缘概率密度 分别为 fX（x）， fY（y），则

E(X Y) ( x y ) f ( x , y )dxdy xf ( x , y )dxdy y f ( x , y )dxdy E(X) E(Y)
1 , f (v ) a 0,
0va 其它
E (W ) E (kV )
2
kv f (v)dv
2

a
0
1 1 2 kv dv ka a 3
2
例8 国际市场每年对我国某种商品的需求量X（吨）是 一随机变量，它服从(a,b)上的均匀分布．设每售出该 商品一吨可以为国家创汇s万元，但若销不出去而压于 仓库，则每吨亏损 l 万元，问应组织多少货源才使国 家收益的数学期望最大？ 解 设组织货源为t（吨）(a<t<b),由题意国家收益Y是 X的函数：



g ( x) f ( x)dx
绝对收敛，则

E (Y ) E[ g ( X )] g ( x) f ( x)dx

证 （1）由离散型随机变量的函数的分布，有
Y=g(X)
pk
g ( x1 )
g ( x2 ) g ( xk )
p1
k 1
p2 pk
E (Y ) E[ g ( X )] g ( xk ) p k ,
设 X~b(n,p), 求 E(X).
例2
例3 设X~(), 求 E(X). 解 X的分布律为
P{X k }
k e
k!
, k 0,1,2, , 0.
E(X)

k 0

k

e
k
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k!

e

k 1

k 1
( k 1)!
sX (t X)l , Y g ( X) st ,
a Xt
t Xb
1 , a xb f ( x) b a 其它 0 ,
E (Y ) E[ g ( X )] g ( x) f ( x)dx
a
b 1 1 [ xs (t x)l ] dx st dx a t ba ba 1 [(l s )t 2 2(la sb )t (l s )a 2 ] 2(b a ) t


定理推广：
设Z是随机变量X,Y的函数：Z=g(X,Y)（g为二元连续函数）． (1)若(X,Y)是离散型随机变量，其分布律为
P{X xi , Y y j } pij , i, j 1,2,,
则 E ( Z ) E[ g ( X , Y )]
g ( x , y
i 1 j 1 i
Fmin ( x) 1 [1 F( x)]2
2 2x , x 0, 2 x e 1 e , x 0, f min ( x) x 0. 0 , x 0 . 0, 2x 2 E ( N ) x f min ( x)dx x e dx 0 2


j
) pij
(2)若(X,Y)是连续型随机变量，其概率密度为f (x,y)， 则 E ( Z ) E[ g ( X , Y )]



g ( x, y) f ( x, y)dxdy
例7 设风速V在(0,a)上服从均匀分布，飞机机翼受到的压
力W=kV2, (k为常数),求W的数学期望． 解 风速V的概率密度为
则 X X1 X2 X10
9 20 9 20 P ( X i 0) ( ) , P ( X i 1) 1 ( ) 10 10 由题意 E(X i ) 1 - 0.920 , i 1,2,,10
E( X ) E( X1 X10 ) 10 (1 0.9 ) 8.784
由此可见，射手甲的射击水平略高于射手乙的射击水平。
定义1
设离散型随机变量X的分布律为
P {X x } pk , k 1,2,, k
若级数
x
k 1
k
p k , 绝对收敛，则称此级数的

和为随机变量X的数学期望，记为E(X)．即
E ( X ) xk pk
k 1
定义２
设连续型随机变量Ｘ的概率密度为f(x),
定理1 设Y是随机变量X的函数：Y=g(X)（g为连续函数）．
(1)X是离散型随机变量,分布律为：
pk P{X xk }, k 1,2,
若级数

k 1
g ( xk ) pk 绝对收敛，则

E (Y ) E[ g ( X )] g ( xk ) p k ,
k 1
(2)X是连续型随机变量，其概率密度为f (x) ,若 积分
e
e
例4 设X~U(a, b), 求 E(X).
1 ,a x b 解 X的概率密度为 f ( x ) b a 0, 其它
E(X)



xf ( x )dx


b
a
x ab dx ba 2
例5
设X服从指数分布，其概率密度为
x 1 f ( x) e , 0,
解法二：
E( X )
1





xf ( x, y )dxdy dx
0
1
2 ( 1 x )
0
xdy
同理
1 2 x(1 x)dx 0 3

E (Y )



yf ( x, y )dxdy dx
0
1
2 ( 1 x )
0
ydy