4-1向量的内积 欧氏空间
第九章 欧氏空间与线性变换
(/ A α , / A β ) = (α , β ).
(c)/A保持长度不变 即对 的任意元 α 有 保持长度不变,即对 保持长度不变 即对V的任意元
(/ A α , / A α ) = (α , β )
(d) )/A把一组标准正交基变为一组标准正交基 把一组标准正交基变为一组标准正交基. 把一组标准正交基变为一组标准正交基 (e) )/A在一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵 在一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵. 在一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵 (2)欧氏空间的一个变换 若它保持内积不变 则它 欧氏空间的一个变换,若它保持内积不变 欧氏空间的一个变换 若它保持内积不变,则它 是正交变换. 是正交变换 (3)正交变换的逆和积是正交变换 正交变换的逆和积是正交变换. 正交变换的逆和积是正交变换 (4)/A的特征根的模等于 的特征根的模等于1. 的特征根的模等于 3.对称变换 对称变换 (1)欧氏空间 的线性变换 是对称变换当且仅当 欧氏空间V的线性变换 欧氏空间 的线性变换/A是对称变换当且仅当 对任意的 α , β ∈ V 有 (/ A α , β ) = (α , / A β ) ,当且仅当 当且仅当 在一组标准正交基下的矩阵为对称矩阵. 在一组标准正交基下的矩阵为对称矩阵
(1)设线性变换 在一组标准正交基下的矩阵为 设线性变换/A在一组标准正交基下的矩阵为 设线性变换 在一组标准正交基下的矩阵为A, 则/A的共轭变换在这组基下的矩阵为 A / . 的共轭变换在这组基下的矩阵为 (2)共轭变换满足 *)*=/A,(/A+/B)*=/A*+/B*, 共轭变换满足(/A 共轭变换满足 (/A/B)*=/B*/A*,(k/A)*= k /A*. (3)设酉空间 的子空间 是线性变换 的不变子 设酉空间V的子空间 是线性变换/A的不变子 设酉空间 的子空间W是线性变换 空间,则 的正交补 的正交补W 的不变子空间. 空间 则W的正交补 ⊥是/A*的不变子空间 (4)若/AX= λ X,则/A*X= 若 则 (5)若线性变换 特征根为 λ1 , λ 2 , L , λ n ,则/A* 若线性变换/A特征根为 若线性变换 则 的特征根为 λ , λ , L , λ .
第八讲 欧氏空间
高等代数选讲
第八讲 欧氏空间
线性空间中，向量之间的基本运算只有加 法与数量乘法。作为几何空间的推广，可以发 现几何向量的度量性质，如长度、夹角等，在 线性空间的理论中没有得到反映。但是向量的 度量性质在许多问题（包括几何问题）有特殊 的地位。因此有必要在线性空间中引入度量的 概念，使其更接近于几何空间，并有更丰富的 内容与方法。
高等代数选讲 8、构造内积的方法 在实线性空间V 中构造内积使之构成欧氏空间，通 常采用如下两种方法： （1）直接构造：对任意 , V ，直接构造二元实 函数 , ，并验证其满足内积的四条公理。 （2）由正定矩阵确定内积：若V 为 n 维实线性空间， 任取V 的基 1 , 2 ,, n ，以及 n 阶正定矩阵A，定义： b1 b , a1 , a2 ,, an A 2 bn 其中 a11 a2 2 an n , b11 b2 2 bn n
高等代数选讲 欧氏空间证与内积有关的正交变换与对称变换在 现实生活中有着广泛而重要的应用，这两种变换在标 准正交基下分别对应着正交矩阵及实对称矩阵这两种 具有特殊性质的矩阵。要求掌握正交变换与对称变换 的概念及性质，能够运用它们与对应特殊矩阵之间的 关系解题对实对称矩阵A，要求能熟练地找到正交矩阵 T Q，使 Q AQ为对角阵，以及以另一种形式出现的同一 个问题，即用正交变换化实二次型为标准形。 将线性空间关于某个子空间进行直和分解是不唯 一的，但是欧氏空间关于某个子空间及其正交补空间 的直和分解是唯一的。欧氏空间的这种分解是很重要 的，要求掌握子空间的正交补的概念及基本性质，会 求某些子空间的正交补。
1 1 2 2 n n
高等代数选讲 （2） R mn －－对于实矩阵 A aij mn , B bij mn 内积为
第二节 欧式空间的基本概念
α1 = (1 , 1 , 1)T , α2 = (1 , 0 , -1)T , α3 = (1 , -2 , 1)T ,
是一个正交向量组 ,请将该向量组化为正交单位向量组 .
解
ao = 1 a
|| a ||
1
=
1
|| 1
||1
=
1 (1,1,1)T = ( 1 ,
3
3
1, 3
1 )T . 3
2
=
1
证毕
, .
(3)三角不等式 ||α+β||||α||+||β||.
3 、向量的夹角
定义非零向量a与b的夹角φ为
= arccos a,b ,
|| a || || b ||
(0 )
规定: 零向量与任意向量成任意角.
• 若<a,b>=0, 则称向量a与b正交.
• 范数为 1 的向量称单位向量.
α = 0.
其中α,β和γ是V中任意向量, k是任意实数, 则称实数 <α,β>为α和β的内积, 称定义了内积的实线性空间V为 实内积空间或欧几里得空间, 简称为欧氏空间.
❖ 关于欧氏空间的两点说明
① 欧氏空间定义中的条件(1)-(4)称为内积公理,
其中的(2), (3)统称为内积的线性性质, 且可以写成
(1)与(2)的证明板书推导. 下面证明(3).
三角不等式的证明
|| ||2 = , =|| ||2 2 , || ||2
|| ||2 2 || || || || || ||2 = (|| || || ||)2
两边同时开方可得
||α+β||||α||+||β||, 故三角不等式成立.
高等代数课件 第八章
( ,) (x1 y1)2 (xn yn )2 （6）
2．标准正交基的性质
设 {1,2} 是 V2 的一个基，但不一定是
正交基。从这个基出发，只要能得出 V2 的一个
正交基 {1, 2}, 问题就解决了,因为将 1和2
再分别除以它们的长度，就得到一个规范正交
注意：（7）和（8）在欧氏空间的不等式（6） 里被统一起来. 因此通常把(6)式称为柯西-施瓦兹不 等式.
三、向量的正交
定义4 欧氏空间的两个向量ξ与η说是正交的,
如果 , 0
定理8.1.2 在一个欧氏空间里，如果向量ξ
与1,2,,r 中每一个正交，那么ξ与 1,2,,r
的任意一个线性组合也正交.
2 a1 2 a1 0,
因而 2 0,
这就得到 V2 的一个正交基 {1, 2}.
3．标准正交基的存在性
定理8.2.2（正交化方法) 设 {1,2 ,,n}
是欧氏空间V的一组线性无关的向量, 那么可以求
出V 的一个正交组 {1, 2,, n}, 使得 k 可以由 1,2,,k 线性表示，k = 1,2,…,m.
由于1,2,,k 线性无关，得 k 0,
又因为假定了 1, 2 ,, k1 两两正交，所以
k ,i
k ,i
k ,i i , i
i , i 0, i 1,2,, k 1
这样，1, 2,, k 也满足定理的要求。
定理8.2.3 任意n(n >0)维欧氏空间一定有正交
基，因而有标准正交基.
例4 在欧氏空间 R3中对基
4) 当 0 时, , 0 这里 ,, 是V的任意向量，a是任意实数，那么
, 叫做向量ξ与η的内积，而V叫做对于 这个内积来说的一个欧氏空间（简称欧氏空间）.
向量的内积与欧氏空间
向量的向量积与混合积的应用
在物理学中的应用
向量积可以用于描述旋转运动的角速度和角加速度等物理量；混合积可以用于描述三维空间中的力矩 和旋度等物理量。
在工程学中的应用
向量积和混合积可以用于解决机构学、动力学和流体力学等领域的问题，例如分析机械结构的运动状 态和受力情况等。
05
欧氏空间中的向量分解
线性无关与向量组
几何意义
向量内积在几何上表示两个向量在正交坐标轴上的投影长度乘积之和。
向量内积的性质
01
非负性
$vec{A} cdot vec{B} geq 0$，当 且仅当$vec{A}$与$vec{B}$同向或
反向时取等号。
03
分配律
$(vec{A} + vec{C}) cdot vec{B} = vec{A} cdot vec{B} + vec{C}
向量的内积与欧氏空间
• 向量内积的定义与性质 • 欧氏空间的基本概念 • 向量的模与向量的数量积 • 向量的向量积与混合积 • 欧氏空间中的向量分解
01
向量内积的定义与性质向量源自积的定义定义向量内积是两个向量之间的点乘运算，记作"·"，其结果是一个标量。具体定义为： 对于两个向量$vec{A} = (a_1, a_2, ..., a_n)$和$vec{B} = (b_1, b_2, ..., b_n)$，其 内积为$vec{A} cdot vec{B} = a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n$。
向量的数量积的定义与性质
• 定义：向量$\vec{a}$和 $\vec{b}$的数量积定义为 $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n$，其中$a_1, a_2, \ldots, a_n$和$b_1, b_2, \ldots, b_n$ 分别是向量$\vec{a}$和 $\vec{b}$的分量。
图形学欧氏空间具体概念
(α , β ) ≤ α β
三、欧氏空间中向量的夹角（续） 欧氏空间中向量的夹角（
〈α , β 〉 = arc cos (α , β )
α β
( 0 ≤ 〈α , β 〉 ≤ π )
(α , β ) = 0
定义： 为欧氏空间中两个向量， 定义：设 α、β为欧氏空间中两个向量，若内积
正交或互相垂直， 则称 α 与 β 正交或互相垂直，记作 α ⊥ β . 注： ① 零向量与任意向量正交 零向量与任意向量正交.
3) 非零向量 α 的单位化： α α . 的单位化：
1
三、欧氏空间中向量的夹角
1. 柯西－布涅柯夫斯基不等式 柯西－ 对欧氏空间V中任意两个向量 α、β 对欧氏空间V
线性相关时等号成立. 当且仅当 α、β 线性相关时等号成立. 2. 欧氏空间中两非零向量的夹角 定义: 为欧氏空间， 中任意两非零向量， 夹角定义为 α 定义: 设V为欧氏空间， 、β 为V中任意两非零向量，α、β 的夹角定义为 ，有
π α ⊥ β ⇔ 〈α , β 〉 = 即 cos〈α , β 〉 .= 0 , ② 2
3. 勾股定理 为欧氏空间， 设V为欧氏空间，∀α , β ∈ V , α ⊥ β ⇔ α + β 2 = α 2 + β 为欧氏空间 推广：若欧氏空间V中向量 两两正交， 推广：若欧氏空间 中向量 α 1 ,α 2 ,⋯ ,α m 两两正交， 即 (α i ,α j ) = 0, i ≠ j , i , j = 1, 2,⋯ , m 2 2 2 2 α1 + α 2 + ⋯ + α m = α1 + α 2 + ⋯ + α m . 则
欧氏空间
≤ α + 2 α ⋅ β + β = ( α + β )2
2 2
由于 α + β 与 α + β 此即三角不等式。
都是非负实数，故有
α+β ≤ α + β
第九章 欧几里得空间
(α , β ) 由于 ≤ 1, α⋅β
(α , β ) 有意义。 故 cos θ = α⋅β
定义3 设 α 与β 是欧氏空间V的两个非零向量，α 与β 的夹 (α , β ) , 0≤θ ≤π θ = arc cos 角规定为： α⋅β 例9.1.8 在欧氏空间 R 3 中，取向量 α = (1, 0, 0), β = (1,1, 0), 求 α 与β 的夹角。 解： 于是
(γ , γ ) = (α + t β , α + t β ) = (α , α ) + 2(α , β )t + ( β , β )t 2 ≥ 0 （9.1.4）
这是关于t的一个二次三项式，又 ( β , β ) > 0, 故 ∆ ≤ 0, 4(α , β )2 − 4(α , α )( β , β ) ≤ 0 (α , β )2 ≤ (α , α )( β , β ), 故有 (α , β ) ≤ α ⋅ β 因此 即
(α , β + γ ) = (α , β ) + (α , γ ) 。 (α , k β ) = k (α , β ) 。
∀α 1 , α 2 , k1 , k2 ,
n m
,α n , β1 , β 2 , , kn , l1 , l2 ,
n m
, β n ∈V
, ln ∈ R,
则有
( ∑ kiα i , ∑ li β i ) = ∑ ∑ ki li (α i , β j ) 。
定义与基本性质欧氏空间
欧氏空间的性质
完备性
在欧氏空间中，任意柯西序列都收敛，即任意两点之间的距离可 以由有限步的有限位移得到。
有限维性
欧氏空间是有限维的，其维度等于空间中独立坐标的个数。
连通性
欧氏空间是连通的，即任意两点之间都存在一条连续的路径。
欧氏空间的维度
一维欧氏空间
只有一条坐标轴。
二维欧氏空间
有两条相互垂直的坐标轴。
向量的模
欧氏空间中向量的模定义为向量长度或大小，表 示为$| vec{v} |$，计算公式为$sqrt{v_1^2 + v_2^2 + cdots + v_n^2}$。
向量的内积
欧氏空间中向量的内积定义为两个向量的点积， 表示为$vec{v} cdot vec{w}$，计算公式为 $v_1w_1 + v_2w_2 + cdots + v_nw_n$。
连续性的几何意义
在欧氏空间中，连续性意味着函数图像的每一点附近都有其他点，这些点与图像 上对应的点足够接近。
03
欧氏空间的应用
解析几何中的欧氏空间
解析几何是数学的一个重要分支，它使用代数方法研究几何对象。在解析几何中 ，欧氏空间是一个基本的、重要的概念，用于描述平面和三维空间中的点、线、 面等几何元素。
长度和半径
欧氏空间中，线段的长度和圆的 半径可以通过度量性质进行计算 。
欧氏空间的平行性
平行直线
在欧氏空间中，两条直线平行当且仅当它们的方向向量成比 例。
平行平面
在欧氏空间中，两个平面平行当且仅当它们的法向量共线。
欧氏空间的连续性
连续性定义
在欧氏空间中，如果对于任意给定的正数$epsilon$，都存在一个正数$delta$，使 得对于空间中的任意两点$P$和$Q$，只要$d(P, Q) < delta$，就有$d(f(P), f(Q)) < epsilon$，则称函数$f$在欧氏空间中是连续的。
欧式空间
欧氏空间(Euler space ) 一、 内积与欧氏空间1.设V 是实数域R 上的线性空间,在V 上定义一个二元实函数,称为内积,记为),(βα,它具有以下性质: )3(,)2(),,(),)(1( αββα= 这样的线性空间V 称为欧几里的空间,简称欧氏空间.2.设V 是数域P 上的线性空间,如果V 中的任意两个向量βα,都按某一法则对应P 内唯一确定的数,记为),(βαf ,且),(),(),(,,,,)1(221122112121βαβαβααβααk f k k k f V P k k +=+∈∈∀有;),(),(),(,,,,)2(221122112121βαβαββαββαl f l l l f V P l l +=+∈∈∀有则称),(βαf 是V 上的一个双线性函数. 3.内积是双线性函数.4.设V 是n 维欧氏空间,n e e e ,,,21 为V 的一组基,V ∈βα,,若n n e x e x e x +++= 2211α; n n e y e y e y +++= 2211β则j i n j ni j i j i n j n i j i y x a y x e e ∑∑∑∑====∆=1111),(),(βα,5.称 )),(()(j i ije e aA ==为基n e e e ,,,21 的度量矩阵.6. 设n e e e ,,,21 是n 维欧氏空间V 的一组基,,A 是基n e e e ,,,21 下的度量矩阵,则任意V ∈βα,,有AYX '=),(βα.7.度量矩阵必为正定矩阵,且不同基下的度量矩阵是合同的. 二、 长度与夹角 1。
欧氏空间V 中向量长度 ),(||ααα=；单位化：当||0||0αααα=≠时，2．欧氏空间中的重要不等式：① Cauchy-Буняковский不等式：对任意向量V ∈βα,有线性相关时等式成立。
，当且仅当βαβαβα|,||||),(|≤。
欧式空间
欧式空间————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期:第八章 欧氏空间向量空间可以看成是通常几何空间概念的推广,然而几何空间里有向量的长度和夹角的概念,而一般的向量空间里却没有得到反映。
这一章我们将在实数域上的向量空间里引入欧氏内积的概念，从而可以合理的定义有向量的长度和夹角，这样的向量空间称为欧氏空间，在许多领域里有广泛的应用。
学习中还要注意学习具体到抽象,再从抽象到具体的辩证的思想方法。
§1 定义和性质几何空间3V 里向量的内积是通过向量的长度和夹角来定义的,即||||cos ξηξηθ⋅=⋅,||ξ表示ξ的长度,θ表示ξ与η的夹角。
我们不能直接按上面方式定义内积,因为还没有定义长度和夹角。
我们要根据几何内积所满足的性质来定义，回想到在第四章第8节在n R 定义内积就是根据几何内积所满足的性质来定义的。
所以在抽象的讨论中，我们取内积作为基本的概念。
定义1 设V 是实数域R 上的一个向量空间，有一个V V ⨯到R 的二元实函数，记作(,)αβ，具有以卡性质:,,V αβγ∀∈，k R ∀∈1） (,)(,)αββα=;2) (,)(,)(,)αβγαβαγ+=+; 3) (,)(,)k k αβαβ=;4) (,)0αα≥， 等号成立当且仅当0α=(,)αβ叫做向量α与β的内积,V 叫做对这个内积来说的欧氏空间。
在需要和其它的内积区别的时候，我们也把满足这4条性质的内积叫做欧氏内积。
在欧氏空间的定义中，对向量空间的维数并无要求,可以是有限维的,也可以是无限维的。
几何空闻中向量的内积显然适合定义中列举的性质，所以几何空间中向置的全体构成一个欧氏空间。
例1 1212(,,,)',(,,,)'n n n a a a b b b R αβ∀==∈，规定α与β的内积为1122(,)'n n a b a b a b αβαβ=+++=，则n R 作成一个欧氏空间。
第七章 欧氏空间
ξη
π
2
时, cos θ = 0.即 < ξ , µ >= 0称 ξ与 η 正交 .
补充定义: 零向量与任意向量均正交. 补充定义
ξ 推广： 推广：在欧氏空间中， 与向量 η ⋯ η n 中每个向量正交.则 ξ与η1 ⋯η 的任意线性组
合也正交.即 < ξ ,η i
>= 0 ⇒< ξ , ∑ a iη i >= 0
d (iii) 三角不等式：(ξ ,η ) ≤ d (ξ , ζ ) + d (ζ ,η ). 称(i)、(ii)、(iii)为距离公理。 （iii）在解析几何中的意义是：三角形两边 之和大于第三边。
定理2 定理 如果W是欧氏空间V的一个子空间，那么
对V的内积来说，W也是一个欧氏空间。
7.2
正交基
n n
则< ξ,η >= a1b1 +⋯+ anbn , 由定理1得：
(a1b1 + ⋯+ anbn ) ≤ (a1 + ⋯an )(b1 + ⋯bn )
2 2 2 2 2
这正是大家熟知的Cauchy（柯西）不等式。
在 C [ a , b ] 中， f , g ∈ C[a, b]，规定 ∀
< f , g >= ∫ fgdx 则 ∫ a a
1）求出A 的特征根λ1 … λt是A 的不同特征根;
定义 1. 欧氏空间Ｖ中的一组两两正交的非零向量 叫Ｖ的一个正交组。如果这组向量都是单 位向量。则称为一个标准正交组。 说明： 正交组是线性无关的向量组。 ① ② 在ｎ维欧空间Ｖ中.两两正交的非零空间 . 向量个数不超过n个.在面几何中.正交的非零向量 是有两个.在空间解几中.正交的非零向量是有3个. ③特别:如果α1 ⋯α n 是n维欧氏空间Ｖ的一组正 α是 交组.则称 α1 ⋯α为V的一个正交基.如果 α1 ⋯ n n n维欧氏空间V的标准正交基.则称为V的一个标准正 交基.
欧氏空间
欧氏空间在线性空间中，向量之间的运算只有加法和数乘这两种基本运算，而向量的度量性质，如长度、夹角、距离等，在线性空间中没有得到反映。
因此有必要在线性空间中引入度量的概念。
而在解析几何中我们看到，向量的长度与夹角等度量性质都可以通过向量的内积表示，所以我们选取内积作为基本概念。
在线性空间中引入内积以后就成为欧氏空间。
一、定义与基本性质【定义1】设V 是实数域R 上的一个线性空间，如果在V 上定义一个二元实函数，记作()βα,，称为内积。
如果它有以下性质：1. ()()αββα,,=2. ()()βαβα,,k k =3. ()()()γβγαγβα,,,+=+4. ()0,≥αα，当且仅当0=α时，()0,=αα这里γβα,,是V 中任意向量，k 是任意实数，就称线性空间V 对内积()βα,构成一个欧几里得空间，简称欧氏空间。
注：1. 二元函数意为对V 中任意向量βα,，有唯一的实数对应 2. 内积的定义方法不唯一，不同的内积构成的欧氏空间不同 例：设V 是一个n 维实线性空间，在V 中取定一组基。
设A 是一个正定矩阵，定义V 的内积如下：()()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n n n n y y y x x x21212121εεεβεεεα ()()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n n y y y A x x x2121,βα由于A 为正定矩阵，显然这样定义的内积符合定义中所列条件。
因此，V 对内积()βα,构成一个欧氏空间。
3. 定义中的性质1.说明内积是对称的。
因此，与性质2.及3.相对应的有：.2'()()βαβα,,k k = .3'()()()γαβαγβα,,,+=+进一步的，在欧氏空间V 中，对任意向量s 21,,,ααα ；t21,,,βββ 及任意实数s 21,,,k k k ；t 21,,,l l l ，都有()∑∑∑∑=====⎪⎪⎭⎫⎝⎛s i tj jiji tj jj si i i l k l k 1111,,βαβα【定义2】由()0,≥αα，设α是欧氏空间中的一个向量，非负实数()αα,称为向量α的长度，记为α。
第九章 欧氏空间
第九章 欧几里得空间§1定义与基本性质一、向量的内积定义 1 设V 是实数域R 上一个向量空间,在V 上定义了一个二元实函数，称为内积,记作),(βα,它具有以下性质:1)),(),(αββα=;2) ),(),(βαβαk k =;3) ),(),(),(γβγαγβα+=+;4) 0),(≥αα,当且仅当0=α时, 0),(=αα 这里γβα,,是V 任意的向量,k 是任意实数,这样的线性空间V 称为欧几里得空间.例1 在线性空间n R 中,对于向量 ),,,(,),,,(2121n n b b b a a a ==βα, 定义内积.),(2211n n b a b a b a +++= βα (1)则内积(1)适合定义中的条件，这样nR 就成为一个欧几里得空间.仍用n R 来表示这个欧几里得空间.在3=n 时，(1)式就是几何空间中的向量的内积在直角坐标系中的坐标表达式.例2 在n R 里, 对于向量 ),,,(,),,,(2121n n b b b a a a ==βα,定义内积.2),(2211n n b na b a b a +++= βα则内积(1)适合定义中的条件，这样n R 就也成为一个欧几里得空间.仍n R 用来表示这个欧几里得空间。
对同一个线性空间可以引入不同的内积,使得它作成欧几里德空间，但应该认为它们是不同的欧几里德空间.例 3 在闭区间],[b a 上的所有实连续函数所成的空间),(b a C 中,对于函数)(),(x g x f 定义内积 ⎰=ba dx x g x f x g x f )()())(),(( (2)对于内积(2)，),(b a C 构成一个欧几里得空间. 同样地，线性空间n x R x R ][],[对于内积(2)也构成欧几里得空间.例4 令H 是一切平方和收敛的实数列：+∞<=∑∞=1221),,,,(n nn x x x x ξ所成的集合,则H 是一个欧几里得空间,通常称为希尔伯特(Hilbert)空间（内积定义类似于例1，这是无穷维空间）.二、欧几里得空间的基本性质1）定义中条件1）表明内积是对称的.),(),(),(),()2αββααββαk k k k ==='.),(),(),(),(),(),()3γαβααγαβαγβγβα+=+=+=+'定义2 非负实数),(αα称为向量α的长度，记为α.显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零，这样定义的长度符合熟知的性质： αα||k k = (3)这里V R k ∈∈α,.长度为1的向量叫做单位向量.如果,0≠α由(3)式，向量αα1就是一个单位向量.用向量α的长度去除向量α，得到一个与α成比例的单位向量，通常称为把α单位化.柯西-布涅柯夫斯基不等式：即对于任意的向量βα,有βαβα≤),( (5)当且仅当βα,线性相关时，等式才成立.证明：由0),(≥++βαβαt t 对于任意实数t 成立，给出简单证明。
欧氏空间的定义与基本性质 PPT
一、欧氏空间的定义 二、欧氏空间中向量的长度 三、欧氏空间中向量的夹角 四、n维欧氏空间中内积的矩阵表示 五、欧氏子空间
问题的引入：
1、线性空间中，向量之间的基本运算为线性运算， 其具体模型为几何空间 R2、R3, 但几何空间的度量 性质(如长度、夹角)等在一般线性空间中没有涉及.
（5）
当且仅当、 线性相关时等号成立.
证：当 0时， ( ,0) 0, 0 ( , ) 0. 结论成立. 当 0 时，作向量 t ,
tR
由内积的正定性，对 t R，皆有
( , ) ( t , t )
注意：由于对 V , 未必有 (, ) (, )
所以1），2）是两种不同的内积. 从而 Rn 对于这两种内积就构成了不同的欧氏空间.
例2．C(a,b) 为闭区间 [a,b] 上的所有实连续函数
所成线性空间，对于函数 f ( x), g( x) ，定义
b
( f , g) a f ( x)g( x) dx
1. 引入夹角概念的可能性与困难
1）在 R3中向量 与 的夹角 , arccos
（4）
2）在一般欧氏空间中推广（4）的形式，首先
应证明不等式： 此即,
( , ) 1
2. 柯西－布涅柯夫，有
( , )
、 , 定义一个二元实函数，记作 ( , ) ，若 ( , ) 满足性质： , , V , k R
1 (, ) ( , )
（对称性）
2 (k, ) k(, )
3 ( , ) , ( , )
（数乘） （可加性）
欧氏空间
必要性。如果 α , β 线性无关，那么对任意实数 k ， α − k β ≠ 0 所以：
0 < (α − k β , α − k β ) = (α , α ) − 2k (α , β ) + k 2 ( β , β )
右边是关于 k 的二次多项式，那么由上式不等式知，判别式： Δ = (−2(α , β ))2 − 4(α , α )( β , β ) < 0 那么就有：
注意： ① 因为对称性， 对于上面的双线性只需要求一个线性就够了， 另一个可以从单线性和对称性推 导出。 ② 同一个实线性空间可以定义不同的内积， 从而得到不同的欧氏空间， 这会在以后的习题中遇 到。 内积的基本性质
1.2
从定义容易得到，向量的内积有如下基本性质： （ 1） (0, a) = (a, 0) = 0 （ 2）任给的 α1 , α 2 ,L , α n ∈ V 和 β1 , β 2 ,L , β n ∈ V ，及 k1 , k2 ,L , kn ∈ R 和 l1 , l2 ,L , ln ∈ R 有：
k o o b n c . w ww ∑∑ ∑∑
( A, B ) =
n n i =1 j =1
aij bij =
n
n
满足对称性。 又有：
( A + C , B) =
k o o ∑∑ b n c . ∑∑ ∑∑ w ww
n n i =1 j =1 n n
i =1 j =1
bij aij = ( B, A)
b
k o o b n c . w ∫ ww ∫
1
1
称之为三角不等式。 证明： 因为：
| α + β |2 = (α + β , α + β ) = (α , α ) + 2(α + β ) + ( β , β ) ≤| α |2 +2 | α || β | + | β |2 = (| α | + | β |) 2
线性代数-欧氏空间
, 2
,
0
,
即
, 2 , ,
两边开方后便得到
, 当α,β线性相关时，必有β=kα，从而
, k ,
k
故 , k , k
即(7.4.2)中等式成立. 反之，若(7.4.2)中等 式成立，则或者β=0 ，或者(7.4.3)式对
,
t
,
等式成立，这意味着此时
t , t 0 由内积性质(4)，即知
性质2 设α , β是欧氏空间中的元素， 且α⊥β，则
2 2 2
证 由正交的定义，
2 , , 2 , ,
, ,
2 2
所得到的等式是普通几何空间中勾股 定理的推广. 它对于多个元素也成立，即 若α1,α2,…,αm两两正交，则
1 2 m 2 1 2 2 2 m 2
为基底ε1,ε2,…,εn的度量矩阵.
式(7.4.4)或(7.4.5)说明，在取定了一组 基后，任二元素的内积可由基的内积αij决 定，或由度量矩阵A决定. 换言之，只要给 出了度量矩阵A，就给出了V上的内积. 度 量矩阵完全确定了内积.
由内积的对称性，有 aij i , j j ,i a ji , i, j 1,2,, n
i1 j 1
引入矩阵记号，令
a11
A
a 21
a12
a 22
a1n a2n
an1 an2 ann
(7.4.4)
x1
X
x2
xn
y1
Y
y2
yn
则(7.4.4)式可写为
, X T AY
(7.4.5)
其中X、Y分别是α , β在基底 ε1,ε2,…,εn下的 坐标，A是由基底的内积组成的矩阵，称
欧式空间的定义
欧式空间的定义欧式空间的定义简介编辑编辑欧式空间一般指欧几里德空间欧氏空间是一个特别的度量空间，它使得我们能够对其的拓扑性质，在包含了欧氏几何和非欧几何的流形的定义上发挥了作用。
约在公元前300年，古希腊数学家欧几里得建立了角和空间中距离之间联系的法则，现称为欧几里得几何。
欧几里得首先开发了处理平面上二维物体的“平面几何”，他接着分析三维物体的“立体几何”，所有欧几里得的公理已被编排到叫做二维或三维欧几里得空间的抽象数学空间中。
这些数学空间可以被扩展来应用于任何有限维度，而这种空间叫做 n 维欧几里得空间（甚至简称 n 维空间）或有限维实内积空间。
这些数学空间还可被扩展到任意维的情形，称为实内积空间（不一定完备），希尔伯特空间在高等代数教科书中也被称为欧几里得空间。
为了开发更高维的欧几里得空间，空间的性质必须严密地表达并被扩展到任意维度。
尽管这样做的结果导致数学非常抽象，但却捕获了我们熟悉的欧几里得空间的根本本质，即平面性。
还另存在其他种类的空间，例如球面则非欧几里得空间，相对论所描述的四维时空在重力出现的时候也不是欧几里得空间。
有一种方法论把欧几里得平面看作满足可依据距离和角表达的特定联系的点所成的集合。
其一是平移，它意味着移动这个平面就使得所有点都以相同方向移动相同距离。
其二是关于在这个平面中固定点的旋转，其中在平面上的所有点关于这个固定点旋转相同的角度。
欧几里得几何的一个基本原则是，如果通过一序列的平移和旋转可以把一个图形变换成另一个图形，平面的两个图形（也就是子集）应被认为是等价的（全等）。
（参见欧几里得群）。
欧几里得空间的最后问题是它在技术上不是向量空间，而是向量空间作用于其上仿射空间。
直觉上，区别在于对于原点应当位于这个空间的什么地方没有标准选择，因为它可以到处移动。
这种技术本文中很大程度上被忽略了。
欧几里德空间(Euclidean Space)，简称为欧氏空间(也可以称为平直空间) ，在数学中是对欧几里德所研究的2维和3维空间的一般化。
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即 (a1 b1)2 (a2 b2 )2 (a3 b3 )2
a12 a22 a32 b12 b22 b32 2 cos( )
所以 cos( 1) a1b1 a2b2 a3b3 即 , a1b1 a2b2 a3b3 上式称为几何向量内积的坐标表达式。
0 1 (1,2,4,2)T (1 , 2 , 4 , 2)T
5
555 5
7
定理4.1 许瓦兹 不等式
向量的内积满足
<, >2 ≤<, > <, >，
即
|<, >|≤‖‖•‖‖.
根据许瓦兹不等式，
对任何非零向量， ，总有
,
1
即, 1
1 , 1
8
3、向量的夹角
定义3 当 ≠ ， ≠ 时，
a,3a a,b 17b,3a 17b,b
3 a,a a,b 51 b,a 17 b,b
a a,a a,a a 2
12
4、欧氏空间
定义了内积的向量空间V称为欧几里德（Euclid）空间, 简称欧氏空间，仍记作V . 注：1 、定义了内积的n维向量空间R n是一个欧氏空间
arccos ,
称为n维向量与的夹角，记为(^).
说明 当<, >=0时，称向量与正交（垂直），记为
⊥. 显然，零向量与任意向量正交。
11
第三章大作业 一 填空题 3、
条 件 ： a, b a b cos(a, b)
a 17b,3a b 0 解 ： a 17b,3a b
在数学中向量用有向线段来表示。在几何空间中引入 坐标系后，有向线段即向量可用三元有序数组来表示， 这样几何问题可转化为代数问题来研究。
19
一、几何向量(geometrical vector)
的基本概念
M2
向量： 既有大小又有方向的量.
向量表示： a 或 M1M2
M1
以M1为2 设=(a1, a2,…, an)T，=(b1, b2,…, bn)TRn ,记
n
<，> a1b1 a2b2 anbn ak bk k 1
称<，>为向量与的内积，或数量积.内积也可记作 • .
2、n维向量的长度
定义 设 (a1, a2 ,, an )T R n，令
||||= , = a12 a22 , an2 称||||为向量的长度,称长度为1的向量为单位向量.
在直角坐标系{O;i, j, k}下，设向量、的坐标表达式为
(a1, a2 , a3 ) (b1, b2 , b3 )
(b1 a1, b2 a2 , b3 a3 )
由向量减法的几何意义， 、 、 构成三角形的三条边
由余弦定理： 2 2 2 2 cos( )
13
, ,
, ,
, cos( , )
cos( , ) ,
,
, 2
, ,
把 , 称为在上的投影向量 ,
14
三、本节课小结
几何向量的内积 n维向量的内积 欧氏空间
15
1、n维向量内积的概念vector inner product
24
一、空间直角坐标系 space rectangular coordinate system
单位【向定量义3i .4,】则j在称,空k 间中. 取{ 定O 一;点iO,及j三,个k两}两. 垂直的
为空间的一个直角坐标系.点O称为坐标原点。
z 竖轴
k
o •
j
i
y 纵轴
横轴 x
25
z 竖轴
k
29
向量的模： 向量的大小.
a
或 M1M2
单位向量：
模长为1的向量.
a
0
或
M1 M 20
a
a
0
.
|| a ||
20
自由向量： 不考虑起点位置的向量.
相等向量：大小相等且方向相同的向量.
a
b
21
二、几何向量的线性运算
[11、] 加向法量b：的a 加c b减 法c
a
（平行四边形法则）
c
b
a
(三角形法则）
2、 几 何 向 量 空 间 成 立 的性 质 可 推 广 到 一 般 的 欧氏 空 间
设、是 欧 氏 空 间V中 的 两 个n维 向 量 ，
三角不等式
余弦定理
2 2 2 2 cos( ) 勾 股 定 理(设1,2 ,,m是 两 两 正 交 的 向 量)
1 2 m 2 12 22 m2
(a x,ay ,az )
向量a在坐标系{O,
i ，j，k}下的坐标
28
三、用坐标进行向量的运算
a (ax ,ay ,az ), b (bx ,by ,bz ) ,
1、向量的加减法运算的坐标表达式
a b (ax bx , ay by , az bz )
2、向量与数的乘法运算的坐标表达式 a (ax ,ay ,az )
3、 几 何 向 量 空 间 中 两 向量 垂 直 的 充 要 条 件 为
, a1b1 a2b2 a3b3 0
4
二、n维 向量的内积 欧氏空间
把三维向量的内积的坐标表达式推广到n维向量 ， 进而定义n维向量的长度和交角概念。
1、n维向量内积的概念vector inner product
第四章 欧氏空间
第一节 向量的内积 vector inner product 欧氏空间 Euclid space
几何向量的内积 n维向量的内积 欧氏空间
1
一、R3中向量的内积
1、几何向量内积的几何定义式
几何向量的内积是从物理和几何问题抽象出来的。
例 ： 设 一 物 体 在 常 力 f的 作 用 下 从 空 间 点A移 动 到 空 间 点B， 物 体 有 位 移S,
3
, a1b1 a2b2 a3b3 上式称为几何向量内积的坐标表达式。
注 ：1、 向 量长 度 的 内 积 表 达 式 为
, ( a12 a22 a32 )
2、 两 向 量 夹 角 的 内 积 表达 式 为
(, ) arccos
,
, ,
(注意： , cos )
力f所 做 的 功 为
f
W f s cos( f s)
这种乘积经常用到，抽象出如下定义：
s
定义4.1 设、是R3中的两个向量，记它们的夹角为 ,
称数
cos
为向量与的内积(数量积或点乘积),记为 , 或 ,即
, cos
2
2、几何向量内积的坐标表示式
16
3、向量的夹角
定义3 当 ≠ ， ≠ 时，
arccos ,
称为n维向量与的夹角，记为(^).
17
第三章 向量与向量空间
第一节 向量及其线性运算
几何向量的基本概念 几何向量的线性运算
18
在自然界中，常会遇到这样一类量，它们既有大小又有方向。 例 如：力、力矩、速度等，这类量称为向量。
OM a
K
R
H
M
Q
Po
N
OM OP PM x
OP PN NM OP OQ OR
设 OP axi , OQ ay j , OR azk
则 axi ay j azk
y
27
在坐标系
{O；i，j,k}
a
一一对应
a
(a x，a
y，az
)
三元有序数组(a x,ay ,az )
[2] 减法
a
b
a
(b)
a
b
b
a
ab
22
2、向量与数的乘法
向量a与实数的乘积记作 a，规定 是a 一个向量:
a
2a
1
a
2
向量的加法运算与向量的数乘运算统称为向量的 线性运算。
23
第三章 向量与向量空间
第二节 空间直角坐标系
空间直角坐标系 几何向量的坐标表示 用坐标进行向量的线性运算
o •
j
i
横轴 x
y 纵轴
i 、j 、叫k做基本向量，也称为自然基，
它们所在的直线分别叫做x轴（横轴）、y轴（纵轴）
和z轴（竖轴）.这三个坐标轴中的每两个都
决定一个平面，分别记作xOy，yOz，zOx，统称为坐标
平面.
26
二、几何向量的坐标表示
1、几何向量的坐标z 表示
任 意 向 量a， 始 点 与 坐 标 原 点O重 合 ， 终 点 为M.
定义4.2 设=(a1, a2,…, an)T，=(b1, b2,…, bn)TRn ,记
n
<，> a1b1 a2b2 anbn ak bk k 1
称<，>为向量与的内积，或数量积.内积也可记作 • .
5
注 由矩阵乘法的定义，显然有
b1
<，> =T= T
T=
(a1,
a2,…,
an)
2、n维向量的长度
定义 设 (a1, a2 ,, an )T R n，令
||||= , = a12 a22 , an2
称||||为向量的长度,称长度为1的向量为单位向量.
为与同方向的单位向量，称为的单位化，记为 0
例：设 (1,2,4,2)T
12 22 42 (2)2 25 5
b2 bn
内积的运算律（其中，， R n，k，l R）：
（1） <，> = <，>；
（2） <k，> = k <，>；
（3） <+，> = <，> + <，>；