2020高考江苏数学(理)大一轮复习(理科提高版)复习练习题：练习册第七章数列

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高考总复习课程--2020年高考数学(理)第一轮复习(江苏版) 讲义：答案 .doc

讲义参考答案第1讲集合与简易逻辑金题精讲题一：1．题二： ①16；②29．题三：B ．题四：B ．题五：C ．题六：A ．题七：A ．第2讲函数及其性质经典精讲题一：[3,1];[0,2];[3,1]--- 题二：（3）题三：2 题四：（3）（4）题五：（3）（4）题六：（1）(5,1) （2）2，左，1 （3）x = -1第3讲函数及其性质2018新题赏析金题精讲题一：C 题二：B题三：[1,3] 题四：(0,1][3,)+∞U 题五:9(,]2-∞题六：8第4讲平面向量金题精讲题一：题二： 4，题三：A ．题四：6．题五：B ．题六：3．题七：① 1Q ；② 2p ．第5讲三角函数与三角恒等变换经典精讲金题精讲题一：75 题二：5665-题四：A 题五：A题六：(1)6x 5π=；(2)0x =时，()f x 取得最大值为3，56x π=时，()f x 取得最小值为- 题七：2第6讲三角函数与三角恒等变换2018新题赏析金题精讲题一：79-题二：D 题三：D 题四：A题五：(1)2；(2) 最小正周期为π，单调递增区间为[,]()63k k k π2ππ+π+∈Z第7讲解三角形金题精讲题一：3π题二：B 题三：A 题四：75°题六：(1) 23；(2)3+ 第8讲不等式经典精讲题一：(1)[24,)+∞ (2)(0,81]题二：(1)(,2-∞- (2)7[,)2+∞ (3)4 题三：不对，正确解法如下：因为3ab a b =++，所以31a b a +=-，所以2233(1)5(1)4111a a a a a ab a a a a ++-+-+===--- 495=(1)5=(1)5111a a a a a -++-++----因为9(1)1a a -+≥-，当且仅当4a =时，“=”成立，又因为51y a =--在(4,)+∞上单调递增，所以53y ≥-，所以5286533ab ≥+-=，故ab 的取值范围是28[,)3+∞. 题四：(0,1)第9讲线性规划经典精讲题一：4题二：(1，3] 题三：7题四：4,135⎡⎤⎢⎥⎣⎦第10讲数列经典精讲金题精讲题一：－24．题二：21nn +．题三：(1)32n a n =-，2nn b =；(2)1328433n n +-⨯+．题四：(1)证明：因为{}n a 是等差数列，所以112n n n a a a -++=①；222n n n a a a -++=②；332n n n a a a -++=③，由①+②+③可得：3211236n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=于是得到等差数列{}n a 是“(3)P 数列”;(2)证明：因为数列{}n a 是“(2)P 数列”，所以21124n n n n n a a a a a --+++++=①；又因为数列{}n a 是“(3)P 数列”，所以3211236n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=②，由②-①得332n n n a a a -++=，于是得到33,,n n n a a a -+是等差数列，故147,,a a a 、258,,a a a 、369,,a a a …成等差数列，设147,,a a a 的公差为13d ，258,,a a a 的公差为23d ，369,,a a a 的公差为33d ，…，当3n =时，124534a a a a a +++=④，当4n =时，235644a a a a a +++=⑤，当5n =时，346754a a a a a +++=⑥ …将首项和公差代入上述式子可得：1212322334a a d d a +++=⑦ 2323112233412a a d d a d +++=+⑧ 1331222239412a a d d a d +++=+⑨由⑦+⑧+⑨可得：23d d =，将23d d =代入分别代入⑦、⑧、⑨整理可得13d d =，于是有123d d d ==，将123d d d ==代入1331222239412a a d d a d +++=+ 可得到2132a a a =+，故数列123,,a a a 是等差数列，设其公差为d '，于是有2131,2a a d a a d =+=+''，将其代入⑦可得1d d ='，于是有123d d d d ==='，故数列{}n a 是等差数列.第11讲数列2018新题赏析金题精讲题一： 4．题二： 3．题三： A ．题四： (1)221n a n =-；(2)数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为 221n n T n =+．题五： (1)12n n x -=；(2)(21)212n n n T -⨯+=．第12讲导数及其应用经典精讲题一：4题二：题三：(1)极大值为(1)4f -=-，极小值为1112()327f -=- (2)a ≤5 题四：(1)2()ln 1f x x x x =-- (2)1-(3)证明：要证函数2()e x y f x x x =-+的图象在直线21y x =--的下方只需证 2()e 210x f x x x x -+++<，即要证e 20ln x x x x x +<-，所以只要证e 2ln 0x x +-<，令e 2()ln x h x x +=-，则1e ()x xh x '=-，根据函数1xy =和e x y =的图象，可知 0(0,1)x ∃∈，使得0001e 0()x x x h ='=-所以0()()x x h h ≤，又因为001e x x =，所以00e x x -=，故 00000002000200e 21212(21)(1)0()ln ln x x x x x x x x x x x x h +=+=-+--+=--=<=---也就是()0x h <恒成立，此题得证.第13讲导数及其应用2018新题赏析金题精讲题一：①④ 题二：1[1,]2-题三：(1)()f x 在(－∞，－ln a )单调递减，在(－ln a ，+∞)单调递增；(2) (0，1)第14讲巧用导数解决实际应用问题题一：(1)3312m ；(2)23；题二：(1)222()S r x r x =+-(0,)r ；233. 第15讲空间立体几何经典精讲323,24π+163 3 题三：（Ⅰ）证法一：因为E ，F 分别是P A ，PD的中点，所以EF∥AD.又因为AD∥BC，所以EF∥BC.因为E，H分别为P A，AB的中点，所以EH∥PB，又因为PB∩BC=B，EF∩EH=E，所以平面EFH∥平面PBC，又PC⊂平面PBC，所以PC∥平面EFH.证法二：连接AC，BD，设交点为O，连接HO，FO，因为O，H分别是BD，AB的中点，E，F分别是P A，PD的中点，所以EF∥AD，EF=12AD，OH∥AD，OH=12AD，所以OH∥EF，OH=EF，所以点O在平面EFH上，所以证PC∥平面EFH，即证PC∥平面EFOH.因为O，E分别是AC，AP的中点，所以EO∥PC，又因为直线PC⊄平面EFOH，所以PC∥平面EFOH.(Ⅱ)证明：因为AP=AD，点F是PD的中点，所以AF⊥PD. 因为P A⊥平面ABCD，所以P A⊥AB.因为四边形ABCD是矩形，所以AB⊥AD，所以AB⊥平面APD，所以AB⊥PD，即AH⊥PD，又AF⊥PD，AF∩AH=A，所以PD⊥平面AHF，又PD⊂平面PCD，所以平面PCD⊥平面AHF.题四：（Ⅰ）证明：因为DE⊥面ACD，AF⊂面ACD，所以DE⊥AF，又因为AF⊥CD，所以AF⊥面BCDE，所以AF BE⊥.（Ⅱ）线段AB上存在点Q，使AC⊥平面DEQ．理由如下：如图，分别取AC AB，的中点G Q，，则GQ//BC，且GQ=12 BC，又因为DE//BC，12DE BC=，所以GQ//DE且GQ=DE，因为AD=CD，所以DG⊥AC，因为DE⊥面ACD，所以DE⊥AC，所以AC⊥面EDGQ，即AC⊥平面DEQ．第16讲空间向量法解立体几何题经典精讲题一：④题二：23题三：(1)当P为AC中点时，PF与BC所成的角是60︒ (2) 60︒题四：(1)证明：∵ABC-A1B1C1为直棱柱，∴C1C⊥面ABC，∴C1C⊥AC，C1C⊥CB，即︒=∠=∠90DCBDCA，∵底面为等腰直角三角形，且90ACB∠=︒，∴CA = CB，在△DCA和△DCB中⎪⎩⎪⎨⎧︒==∠=∠=CBCADCBDCADCDC90∴△DCA≌△DCB（SAS），∴DA=DB，又∵G为ABD∆的重心，∴DG⊥AB，∵E在面ABD上的射影为G，∴EG⊥面ABD，∴EG⊥AB，∵DG⊥AB，EG⊥AB，∴AB⊥面DEG.7第17讲空间立体几何2018新题赏析金题精讲题一：A题二：C10题四：②③题五：(1)证明：∵∠BAP =∠CDP =90°，∴PA ⊥AB ，PD ⊥CD ， ∵AB ∥CD ，∴AB ⊥PD ，又∵PA ∩PD =P ，且PA ⊂平面PAD ， PD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥平面PAD ，又AB ⊂平面PAB ， ∴平面PAB ⊥平面PAD ；(2) 第18讲直线与圆经典精讲题一：(,[1,)-∞⋃+∞，π2π[,]43题三：(1)24 (2)24题四：(1)320x y ++= (2)22(2)8x y -+= (3)221(22x y x -=≤第19讲椭圆经典精讲金题精讲题一：D题二：2题三：1题四：题六：(±.第20讲双曲线与抛物线经典精讲金题精讲题一：B题二：221312x y -=；2y x =±题三：C 题四：C题六：证明：如图，设点11(,)A x y ，点22(,)B x y ，直线:AB l x my t =+，由22x my t y px=+⎧⎨=⎩，得2220y pmy pt --=，∴2221212122,22y y y y pt x x t p p=-==g ，又∵121k k =-，∴12120x x y y +=， ∴220t pt -=，∴2t p =，（0t =舍）， ∴:2AB l x my p =+，∴AB l 恒过点(2,0)p . 题七：(1) 证明：设直线:AB l x my t =+，由22x my ty px=+⎧⎨=⎩，得2220y pmy pt --=，∴122y y pt =-，又∵122y y p =-，∴1t =，∴:1AB l x my =+， ∴AB l 恒过点(1,0). (2)（0，4）.第21讲解析几何2018新题赏析金题精讲题一：(0,1][9,)+∞U题二：22y x =±题三：233题四：(1) 抛物线C 的方程为y 2 = x ，焦点坐标为(14，0)，准线为x =－14； (2) 设过点(0，12)的直线方程为y = kx +12(k ≠ 0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， ∴直线OP 为y = x ，直线ON 为y =22y x x ，由题意知A (x 1，x 1)，B (x 1，122x y x )，由212y kx y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得k 2x 2+(k －1)x +14= 0，∴x 1+x 2 =21k k -，x 1x 2 =214k ，要证A 为线段BM 的中点，只需证211122y x y x x =+，即证2111211222kx x kx x x +=++，即证1212212111222x x kx x x kx x x =+++，即证12121(22)()2k x x x x -=+，而12122221111222(1)(22)()(22)02244k k k k x xx x k k k k ------+=-⋅-⋅==∴ A 为线段BM 的中点．第22讲排列、组合及二项式定理经典精讲金题精讲题一：14 题二：C 题三：D 题四：-2 题五：10题六：710. 题七：证明：设a n =2n ，b n =n +2，∴数列{a n }是以2首项，公比为2的等比数列， ∴a 1=2．a 2=4．a 3=8，知a 1、a 2显然不是数列{b n }中的项． ∵a 3=8=3×2+2，∴a 3是数列{b n }中的第2项，设a k =2k 是数列{b n }中的第m 项，则2k =3m +2（k 、m ∈N *）， ∵a k+1=2k+1=2×2k =2（3m +2）=3（2m +1）+1， ∴a k+1不是数列{b n }中的项，∵a k +2=2k +2=4×2k =4（3m +2）=3（4m +2）+2， ∴a k +2是数列{b n }中的项，∴c 1=a 3，c 2=a 5，c 3=a 7，…，c n =a 2n +1， ∴数列{c n }的通项公式是c n =22n +1（n ∈N *）， ∴{c n }是等比数列. 题八：(1)72；432.(2) 有五位数，无六位数. (3)4012第23讲统计与两个概型经典精讲金题精讲题一：B 题二：（I ）1315；（II ）78题三：B题四：（1）B 地区用户满意度评分的频率分布直方图如下：B 地区用户满意度评分的频率分布直方图通过直方图比较可以看出，B 地区满意度评分的平均值高于A 地区用户满意度评分的平均值，B 地区用户满意度评分比较集中，而A 地区用户满意度评分比较分散；（2）A 地区的满意度等级为不满意的概率大，理由略. 题五：23题六：(I) 1.2 3.6y t =+$；(II)10.8(千亿元).第24讲离散型随机变量及其分布列、期望经典精讲金题精讲题一：1.96．题二：(1)0.3； (2)ξ的分布列如下：ξ 0 12P16 23 16E (ξ)=1；(3) 100名患者中服药者指标y 数据的方差比未服药者指标y 数据的方差大． X 0 123P14 1124 14 124E (X )=12； (2)1148．题四：(1)518；(2)X X1234EX =2．题五：(1)23； (2)X数学期望EX =236．第25讲概率统计2018新题赏析金题精讲题一：25 题二：59题三：π8题四：A 题五：B题六：(1)0.4；(2)20；(3)3:2．题七：(1)0.6；(2) Y 的所有可能值为900,300,－100；Y 大于零的概率为0.8．第26讲几何证明选讲(选修4-1) 题一：点P 的轨迹是223(0)x y y +=≠所表示的两个半圆. 题二：题三：43题四：11第27讲矩阵与变换(选修4-2)题一：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤92－15 －1 题二：（Ⅰ）1a =，1b =-；（Ⅱ）(1,0)题三：1203--⎡⎤⎢⎥⎣⎦题四：（1）312221⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦；（2）32223⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎣⎦题五：矩阵A ＝1120-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，其另一个特征值为1. 第28讲坐标系与参数方程（选修4-4）金题精讲题二：1 题三：（1）1C ：cos 2ρθ=-， 2C ：22cos 4sin 40ρρθρθ--+=；（2）12题四：78第29讲不等式选讲(选修4-5)金题精讲题一：(,8]-∞ 题二：1a ≤时，x ∈∅；12a <≤时，533a a x +-<<； 2a >时，5533a a x -+<<题三：（Ⅰ）2|23x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；（Ⅱ）(2,)+∞.第30讲复数题二：(31)-，题三：i 题四：i 题五：−3题六：1第31讲定积分都考啥题一：2题三：3ln 22-题四：13第32讲算法金题精讲题一：8. 题二：②.题三：(1) {1,3,5,7,9,11,13}，a n =2n -1 （n ∈N +且n ≤7）；(2) a =2；(3) a =a +3. 题四：12na a a n+++…；样本平均数.题五：2.第33讲高考数学一轮复习综合验收题精讲(一)金题精讲题一：1 题二：12题三：7或8 题四：（Ⅰ）π；（Ⅱ）最大值为2，最小值为－1. 题五：（Ⅰ）2y x =；（Ⅱ）令3()()2()3x g x f x x =-+，则4222()()2(1)1x g x f x x x ''=-+=-，因为()0g x '>(01)x <<，所以()g x 在区间(0,1)上单调递增，所以()(0)0g x g >=，(0,1)x ∈，即当(0,1)x ∈时，3()2()3x f x x >+；（Ⅲ）2.第34讲高考数学一轮复习综合验收题精讲(二)金题精讲题一：3R π 题二：1a题三：2sin 4y x =+题四：7 题五：14 题六：（1）连接BD ，∵底面ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ， ∵BB 1⊥底面ABCD ，∴BB 1⊥AC ，∵BD ∩BB 1=B ，∴ AC ⊥面DBB 1，∴AC ⊥B 1D ；（2）60°.题七：（Ⅰ）37；（Ⅱ）1049；（Ⅲ）11a =或18a =. 第35讲集合与常用逻辑用语经典回顾题一：(){2,4,8}U A B =U ð．第36讲函数的概念及其性质经典回顾题一：-8．题二：（Ⅰ）(0)0f =，(1)0f =；（Ⅱ）()f x 是奇函数, 证明：因为2(1)[(1)](1)(1)0f f f f =-=----= 所以(1)0f -=()(1)()(1)()f x f x f x xf f x -=-⋅=-+-=- 因此()f x 是奇函数题三：（Ⅰ）(0)1f =；（II ）证明：设1212,,x x x x <∈R ， 212111211121()()()()()()1()()1f x f x f x x x f x f x x f x f x f x x -=-+-=-+--=--∵210x x ->∴2121()1,()10f x x f x x ->--> 所以21()()f x f x > 因此()f x 在R 上是增函数.第37讲数列经典回顾开心自测题一：24. 题二：!2n 金题精讲题一： 60. 题二：（Ⅰ）13n na ∴=；（Ⅱ）1(21)3344n n n S +-∴=+．题三：（Ⅰ）*65()n a n n N =-∈；（Ⅱ）10．第38讲导数及其应用经典回顾金题精讲题一：（Ⅰ）32()312f x x x x =-+；（Ⅱ）a 的取值范围是[]1,9．题二：(Ⅰ) ()f x 的减区间是(,ln 2)-∞，增区间是(ln 2,)+∞，ln2()(ln 2)2ln 2222ln 22f x f e a a ==-+=-+极小(Ⅱ) 证明：设()221e R x g x x ax x =-+-∈，，∴()2e R 2x g x x a x '=-+∈，，由(Ⅰ)知当ln21a -＞时，()g x '最小值为 ()()ln221ln20g a '=-+＞，∴对任意R x ∈，都有()0g x '＞，所以()g x 在R 内单调递增；∴当ln21a -＞时，对任意0()x ∈+∞，，都有()()0g x g ＞，而()00g =，从而对任意()00()x g x ∈+∞，，＞，即221e 0x x ax -+-＞，故221e x x ax -+＞.第39讲复数与算法初步经典回顾金题精讲题一：30．题二：3．第40讲推理与证明问题经典回顾开心自测题一：81248,T T T T ．题二：证明：假设T 为奇数,则1271,2,,7a a a ---L 均为奇数.因奇数个奇数之和为奇数,故有奇数()()()()()1271271271027a a a a a a -+-++-+++-=+=+=+L L L ，但0≠奇数,这一矛盾说明T 为偶数.金题精讲题一：2222ABC ACD ADB BCD S S S S ++=△△△△．题二：2(1)(32)(21)n n n n ++++-=-L ．题三：1()(())n n f x f f x -==(21)2n nxx -+.题四：（1）13{,}a a 是E 的第5个子集．（2）E 的第211个子集是12578{,,,,}a a a a a ．题五：证明：（用反证法）假设c b a ,,都不大于0，即0,0,0≤≤≤c b a ，则有0≤++c b a ，而222222(2)(2)(2)236(1)(1)(1)()3236a b cx y y z z x x y z ππππππ++=-++-++-+=-+-+-+++- =3)1()1()1(222-+-+-+-πz y x∴222)1(,)1(,)1(---z y x 均大于或等于0，03>-π，∴0>++c b a ，这与假设0≤++c b a 矛盾，故c b a ,,中至少有一个大于0.第41讲选修4经典回顾开心自测题一：{11}x x -≤≤．题二：98a ．金题精讲题一：CE题二：3)4π．题三：（Ⅰ）2a =．（Ⅱ）m 的取值范围是(,5]-∞．。

2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第七章不等式、推理与证明、数学归纳法 7.3含解析

§7.3　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题考情考向分析　以画二元一次不等式(组)表示的平面区域、目标函数最值的求法为主，兼顾由最优解(可行域)情况确定参数的范围，以及简单线性规划问题的实际应用，加强转化与化归和数形结合思想的应用意识．本节内容在高考中主要以填空题的形式进行考查，中低档难度．1．二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域Ax ＋By ＋C >0不包括边界直线Ax ＋By ＋C ≥0直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧的所有点组成的平面区域包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2.线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x ，y 组成的不等式(组)线性约束条件由x ，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数关于x ，y 的函数解析式，如z ＝2x ＋3y 等线性目标函数关于x ，y 的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x ，y )可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题概念方法微思考1．不等式x≥0表示的平面区域是什么？提示　不等式x≥0表示的区域是y轴的右侧(包括y轴)．2．可行解一定是最优解吗？二者有何关系？提示　不一定．最优解是可行解中的一个或多个．最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解，最优解不一定唯一．题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．(　×　)(2)点(x1，y1)，(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0，异侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0.(　√　)(3)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy<0表示．(　√　)(4)线性目标函数的最优解是唯一的．(　×　)(5)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．(　×　)题组二　教材改编2．[P74T1]点(3,1)和(－4,6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，则a的取值范围是________．答案　(－7,24)解析　点(3,1)和(－4,6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，说明将这两点坐标代入3x－2y＋a后，符号相反，所以(9－2＋a)(－12－12＋a)<0，解得－7<a<24.3．[P77T2]不等式组Error!所表示的平面区域的面积是________．答案　25解析　直线x －y ＋4＝0与直线x ＋y ＝0的交点为A (－2，2)，直线x －y ＋4＝0与直线x ＝3的交点为B (3,7)，直线x ＋y ＝0与直线x ＝3的交点为C (3，－3)，则不等式组表示的平面区域是一个以点A (－2,2)，B (3,7)，C (3，－3)为顶点的三角形及其内部，所以其面积为S △ABC ＝×5×1012＝25.4．[P84T4]设变量x ，y 满足约束条件Error!则z ＝x －3y 的最小值为________．答案　－8解析　画出可行域与目标函数线如图(阴影部分含边界)，由图可知，目标函数在点(－2,2)处取最小值－8.题组三　易错自纠5．(2018·全国Ⅰ)若x ，y 满足约束条件Error!则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．答案　6解析　作出满足约束条件的可行域如图阴影部分(包含边界)所示．由z ＝3x ＋2y ，得y ＝－x ＋.32z 2作直线l 0：y ＝－x ，平移直线l 0，当直线y ＝－x ＋过点(2,0)时，z 取最大值，z max ＝3×2＋2×03232z 2＝6.6．已知x ，y 满足Error!若使得z ＝ax ＋y 取最大值的点(x ，y )有无数个，则a 的值为________．答案　－1解析　先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，当直线z ＝ax ＋y 和直线AB 重合时，z 取得最大值的点(x ，y )有无数个，∴－a ＝k AB ＝1，∴a ＝－1.题型一　二元一次不等式(组)表示的平面区域命题点1　不含参数的平面区域问题例1 在平面直角坐标系中，不等式组Error!表示的平面区域的面积是________．答案　3解析　作出不等式组表示的平面区域是以点O (0,0)，B (－2，0)和A (1，)为顶点的三角形及3内部区域，即如图所示的阴影部分(含边界)，由图知该平面区域的面积为×2×＝.1233命题点2　含参数的平面区域问题例2 若不等式组Error!表示的平面区域的形状是三角形，则a的取值范围是______．答案　(0,1]∪[43，＋∞)解析　作出不等式组Error!表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示．由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线l：x＋y＝a在l1，l2之间(包含l2，不包含l1)或l3上方(包含l3)．思维升华平面区域的形状问题主要有两种题型(1)确定平面区域的形状，求解时先画满足条件的平面区域，然后判断其形状；(2)根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先画满足条件的平面区域，但要注意对参数进行必要的讨论．跟踪训练1 (1)不等式组Error!表示的平面区域的形状为________三角形．答案　等腰直角解析　作出不等式组表示的平面区域，如图所示，易知平面区域的形状为等腰直角三角形(阴影部分，含边界)．(2)已知由不等式组Error!确定的平面区域Ω的面积为7，则k的值为________．答案　－1解析　作出不等式组Error!所表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示，可知该区域是等腰直角三角形且面积为8.由于直线y ＝kx ＋2恒过点B (0，2)，且原点的坐标恒满足y －kx ≤2，当k ＝0时，y ≤2，此时平面区域Ω的面积为6，由于6<7，由此可得k <0.由Error!可得D ，(2k －1，4k －2k －1)依题意应有×2×＝1，12|2k －1|解得k ＝－1或k ＝3(舍去)．题型二　求目标函数的最值问题命题点1　求线性目标函数的最值例3 (1)(2018·全国Ⅱ)若x，y满足约束条件Error!则z＝x＋y的最大值为________．答案　9解析　由不等式组画出可行域如图阴影部分(含边界)．目标函数x＋y取得最大值⇔斜率为－1的直线x＋y＝z(z看作常数)在y轴上的截距最大，由图可得当直线x＋y＝z过点C时，z取得最大值．由Error!得点C(5,4)，∴z max＝5＋4＝9.(2)(2018·南通模拟)已知实数x，y满足约束条件Error!则z＝|x|＋|y－3|的取值范围是________．答案　[1,7]解析　作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，则0≤x≤4且0≤y≤3，所以z＝|x|＋|y－3|＝x－y＋3，平移目标直线y＝x－z＋3经过点A(4,0)时，z取得最大值7，经过点B(1,3)时，z取得最小值1，所以z的取值范围为[1,7]．命题点2　求非线性目标函数的最值例4 (1)(2018·徐州模拟)已知(x ，y )满足Error!则k ＝的最大值为________．y x ＋1答案　1解析　画出可行域如图阴影部分(含边界)：因为k 的几何意义为可行域内的点P (x ，y )与定点A (－1，0)连线的斜率，则由图象可知AB的斜率最大，其中B (0,1)，此时k ＝＝1.10＋1(2)(2018·扬州模拟)若实数x ，y 满足约束条件Error!则x 2＋y 2的取值范围是______．答案　[14425，25]解析　作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，则x 2＋y 2表示可行域内的点到坐标原点的距离的平方．由图知(x 2＋y 2)max ＝42＋32＝25，(x 2＋y 2)min ＝2＝，(1232＋42)14425所以x 2＋y 2的取值范围为.[14425，25]命题点3　求参数值或取值范围例5 已知实数x ，y 满足Error!如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m ＝____.答案　5解析　绘制不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示(含边界)，联立直线方程Error!可得交点坐标为A ，(m ＋13，2m －13)由目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最小值，所以－＝－1，解得m ＝5.m ＋132m －13思维升华常见的三类目标函数(1)截距型：形如z ＝ax ＋by .(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2.(3)斜率型：形如z ＝.y －b x －a跟踪训练2 (1)若实数x ，y 满足约束条件Error!则z ＝2x －y 的最大值为________．答案　10解析　先根据约束条件画出可行域，如图阴影部分所示(含边界)，将z ＝2x －y 的最大值转化为直线y ＝2x －z 在y 轴上截距的最小值．当直线y ＝2x －z 经过点A 时，在y 轴上的截距最小，z 最大，又A(3，－4)，故z的最大值为10.(2)已知x，y满足Error!且z＝3x－y的最大值为2，则实数m的值为________．答案　2解析　由约束条件Error!作出可行域(图略)，z＝3x－y的最大值为2，联立Error!解得A(2,4)，可知直线mx－y＝0必须过点A，可得2m－4＝0，解得m＝2.(3)已知实数x，y满足不等式组Error!则(x－3)2＋(y＋2)2的最小值为________．答案　13解析　画出不等式组Error!表示的平面区域(图略)，易知(x－3)2＋(y＋2)2表示可行域内的点(x，y)与(3，－2)两点间距离的平方，可知当(x，y)为直线x＋y＝2与y＝1的交点(1,1)时，(x－3)2＋(y＋2)2取得最小值，最小值为13.1．设点(x，y)满足约束条件Error!且x∈Z，y∈Z，则这样的点共有________个．答案　12解析　画出Error!表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)，由图可知，满足x ∈Z ，y ∈Z 的(x ，y )为(－4，－1)，(－3,0)，(－2,1)，(－2,0)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，共12个．2．设不等式Error!表示的平面区域为M .若直线y ＝kx －2上存在M 内的点，则实数k 的取值范围是________．答案　[2,5]解析　由约束条件作出可行域，如图阴影部分(含边界)所示．因为函数y ＝kx －2的图象为恒过定点A (0，－2)，且斜率为k 的直线l ，由图知，当直线l 过点B (1,3)时，k 取最大值5，当直线l 过点C (2,2)时，k 取最小值2，故实数k 的取值范围是[2,5]．3．在直角坐标平面内，不等式组Error!所表示的平面区域的面积为，则t 的值为______．32答案　1解析　不等式组Error!所表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界)．由Error!解得交点B (t ，t ＋1)．在y ＝x ＋1中，令x ＝0得y ＝1，即直线y ＝x ＋1与y 轴的交点为C (0,1)．由平面区域的面积S ＝＝，(1＋t ＋1)×t 232得t 2＋2t －3＝0，解得t ＝1或t ＝－3(不合题意，舍去)．4．已知变量x ，y 满足约束条件Error!且有无穷多个点(x ，y )使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，则m ＝________.答案　1解析　作出线性约束条件表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示．若m ＝0，则z ＝x ，目标函数z ＝x ＋my 取得最小值的最优解只有一个，不符合题意；若m ≠0，则目标函数z ＝x ＋my 可看作斜率为－的动直线y ＝－x ＋.1m 1m zm若m <0，则－>0，数形结合知使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值的最优解不可能有无穷多个；1m 若m >0，则－<0，数形结合可知，当动直线与直线AB 重合时，有无穷多个点(x ，y )在线段AB1m 上，使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，即－＝－1，则m ＝1.1m 综上可知，m ＝1.5．(2019·如皋调研)已知实数x ，y 满足约束条件Error!则z ＝x ＋2y 的最大值为_______．答案　143解析　约束条件Error!对应的可行域如图阴影部分(含边界)所示：当目标函数所在直线过点A 时，z 取得最大值，解方程组Error!得A ，此时x ＋2y ＝＋＝(43，53)43103.1436．(2018·全国Ⅲ)若变量x ，y 满足约束条件Error!则z ＝x ＋y 的最大值是________．13答案　3解析　画出可行域如图阴影部分(含边界)所示，由z ＝x ＋y 得y ＝－3x ＋3z ，作出直线y ＝－3x ，13并平移该直线，当直线y ＝－3x ＋3z 过点A (2,3)时，目标函数z ＝x ＋y 取得最大值为2＋×3＝13133.7．若不等式组Error!表示的平面区域为三角形且其面积等于，则z ＝x －y 的最小值为4312________．答案　－2解析　作出不等式组表示的平面区域(如图阴影部分含边界所示)，由Error!得A (1－m,1＋m )，同理B ，C (2，0)，D (－2m,0)，(23－43m ，23＋23m )S △ABC ＝S △ADC －S △BDC ＝·DC ·(|y A |－|y B |)＝＝，12(1＋m )2343解得m ＝1或m ＝－3，由图象，得要使可行域ABC 存在，则－2m <2，即m >－1，即m ＝1，即A (0,2)，B ，C (2,0)；(－23，43)由图象，得当直线z ＝x －y 过点A (0,2)时，z 取得最小值为－2.128．设变量x ，y 满足约束条件Error!则目标函数z ＝2x ＋y 的最大值为________．(12)答案　18解析　绘制不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示(含边界)，要求目标函数z ＝2x ＋y 的最大值，只需求解函数z ′＝2x ＋y 的最小值，(12)结合目标函数的几何意义可知，目标函数在点C (1,1)处取得最小值z ′min ＝2＋1＝3，则目标函数z ＝2x ＋y 的最大值为3＝.(12)(12)189．若x ，y 满足约束条件Error!则的最小值为________．y ＋1x ＋2答案　23解析　画出x ，y 满足约束条件Error!的可行域如图阴影部分所示(含边界)．的几何意义为可行域内的动点P (x ，y )与定点Q (－2，－1)连线的斜率，y ＋1x ＋2当P 位于B (1,1)时，直线PQ 的斜率最小，此时k min ＝＝.1＋11＋22310．(2018·南通模拟)甲、乙两种食物的维生素含量如下表：维生素A(单位/kg)维生素B(单位/kg)甲35乙42分别取这两种食物若干并混合，且使混合物中维生素A ，B 的含量分别不低于100,120单位，则混合物重量的最小值为________ kg.答案　30解析　设甲食物重x kg ，乙食物重y kg ，∵维生素A ，B 的含量分别不低于100,120单位，∴Error!作出可行域如图阴影部分所示(含边界)，由Error!得Error!即A (20,10)，混合物重z ＝x ＋y ，平移直线z ＝x ＋y ，由图知，当直线过A (20,10)时，z 最小值为20＋10＝30.11．变量x ，y 满足Error!(1)设z ＝，求z 的最小值；yx(2)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的最大值．解　由约束条件Error!作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)．由Error!解得A .(1，225)由Error!解得C (1,1)．由Error!解得B (5,2)．(1)因为z ＝＝，y x y －0x －0所以z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率，观察图形可知z min ＝k OB ＝.25(2)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是可行域内的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域内的点B 到(－3,2)的距离最大，d max ＝＝8，(－3－5)2＋(2－2)2故z 的最大值为64.12．若x ，y 满足约束条件Error!(1)求目标函数z ＝x －y ＋的最值；1212(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．解　(1)作出可行域如图阴影部分所示(含边界)，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)．平移初始直线x －y ＋＝0，当直线过A (3,4)时，z 取最小值－2，过C (1,0)时，z 取最大值1.1212所以z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－<2，a2解得－4<a <2.故a 的取值范围是(－4,2)．13．(2018·南通模拟)已知实数x ，y 满足Error!且(k －1)x －y ＋k －2≥0恒成立，则实数k 的最小值是________．答案　4解析　画出Error!表示的可行域，如图阴影部分(含边界)所示，直线l ：(k －1)x －y ＋k －2＝0过定点(－1，－1)，若(k －1)x －y ＋k －2≥0恒成立，即可行域在直线下方，直线l 的斜率为k －1，当斜率最小时，k 最小．当直线过点(0,2)时，k －1有最小值＝3，k 的最小值为4.2＋1114．设x ，y 满足约束条件Error!则z ＝的最大值为________．|yx ＋3|答案　1解析　由约束条件作出可行域(如图阴影部分含边界)，可知z 恒大于等于0，则目标函数z ＝的几何意义是可行域内(包括边界)的点与点A (－3,0)连线的斜率的绝对值|yx ＋3|的取值范围，由可行域可知直线|k AB |＝＝1，|k AC |＝＝，故最大值为1.|－1－0－2－(－3)||0－1－3－0|1315．记不等式组Error!的解集为D ，若∀(x ，y )∈D ，不等式a ≤3x ＋y 恒成立，则a 的取值范围是________．答案　(－∞，7]解析　若∀(x ，y )∈D ，不等式a ≤3x ＋y 恒成立，即求z ＝3x ＋y 的最小值，作出不等式组对应的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示：当y＝－3x＋z经过A(1,4)点时，z最小，此时z min＝3×1＋4＝7，∴a≤7.16．已知函数y＝f(x)单调递增，函数y＝f(x－2)的图象关于点(2,0)对称，实数x，y满足不等式f(x2－2x)＋f(－2y－y2)≤0，求z＝x2＋y2－6x＋4y＋14的最小值．解　因为函数y＝f(x－2)的图象关于点(2,0)对称，所以函数y＝f(x)的图象关于点(0,0)对称，所以函数y＝f(x)是奇函数．因为f(x2－2x)＋f(－2y－y2)≤0，所以f(x2－2x)≤－f(－2y－y2)，所以f(x2－2x)≤f(2y＋y2)，因为函数y＝f(x)是增函数，所以x2－2x≤y2＋2y，所以x2－y2－2(x＋y)≤0，所以(x＋y)(x－y)－2(x＋y)≤0.所以(x＋y)(x－y－2)≤0，所以点(x，y)对应的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，因为z＝x2＋y2－6x＋4y＋14，所以z＝(x－3)2＋(y＋2)2＋1，所以z表示可行域内的点(x，y)到点(3，－2)的距离的平方再加1，观察图形得，当圆和直线x ＋y ＝0相切时，z 最小，因为d ＝＝，|3－2|12＋1222所以d 2＝，所以z min ＝＋1＝.121232。

2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第七章不等式、推理与证明、数学归纳法 7.5 Word版含解析

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③结论——揭示了一般原理与特殊对象的内在联系．概念方法微思考 1．合情推理所得结论一定是正确的吗？提示合情推理所得结论是猜想，不一定正确，用演绎推理能够证明的猜想是正确的，否则不正确． 2．合情推理对我们学习数学有什么帮助？提示合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论，证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向． 3．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括大前提，小前提，结论，在用其进行推理时，大前提是否可以省略？提示大前提是已知的一般原理，当已知问题背景很清楚的时候，大前提可以省略．
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答案 (1＋x)n≥1＋nx 解析左边为等比数列，右边为等差数列，所以第 n 个关系式为(1＋x)n≥1＋nx(n∈N*)．
题型一归纳推理
命题点 1 与数式有关的的推理
例 1 (1)《周易》历来被人们视为儒家经典之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映了中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“ ”当做数字“1”，把阴爻“ ”当做数字“0”，则八卦代表的数表示如下：
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§7.5 合情推理与演绎推理
考情考向分析以理解类比推理、归纳推理和演绎推理的推理方法为主，常以演绎推理的方法根据几个人的不同说法作出推理判断进行命题．注重培养学生的推理能力；在高考中以填空题的形式进行考查，属于中低档题．
1．合情推理 (1)归纳推理 ①定义：从个别事实中推演出一般性的结论，称为归纳推理(简称归纳法)． ②特点：归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理． (2)类比推理 ①定义：根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理(简称类比法)． ②特点：类比推理是由特殊到特殊的推理． (3)合情推理合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程．归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理． 2．演绎推理 (1)演绎推理由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理． (2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提——一般性的原理； ②小前提——特殊对象；

2020高考数学(理)(全国通用)大一轮复习2020高考试题汇编第七章不等式 Word版含解析.doc

第七章不等式第一节不等式的性质与不等式的解法题型75 不等式的性质——暂无题型76 比较数（式）的大小1.(2017北京理13)能够说明“设a b c ，，是任意实数．若a b c >>，则a b c +>”是假命题的一组整数a b c ，，的值依次为__________________．解析由题知，取一组特殊值且,,a b c 为整数，如1a =-，2b =-，3c =-.2.（2017山东理7）若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是（）. A.()21log 2a b a a b b +<<+ B.()21log 2a b a b a b <+<+ C.()21log 2a ba ab b +<+< D.()21log 2a b a b a b +<+<解析由题意知1a >，01b <<，所以12ab<，()22log log 1a b +>=， 12112log ()a ba ab a a b b b+>+>+⇒+>+.故选B. 评注本题也可采用特殊值法，如13,3a b ==，易得结论.题型77 一元一次不等式与一元二次不等式的解法题型78 分式不等式的解法——暂无第二节二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题题型79 二元一次不等式组表示的平面区域题型80 求解目标函数的取值范围或最值1.（2017天津理2）设变量,x y 满足约束条件2022003x y x y x y +⎧⎪+-⎪⎨⎪⎪⎩…………，则目标函数z x y =+的最大值为（）. A.23 B.1 C.32D.3 解析变量,x y 满足约束条件2022003x y x y x y +⎧⎪+-⎪⎨⎪⎪⎩…………的可行域如图所示，目标函数z x y =+经过可行域的点A 时，目标函数取得最大值，由03x y =⎧⎨=⎩，可得(0,3)A ，目标函数z x y =+的最大值为3.故选D.32.(2017北京理4)若x ，y 满足32x x y y x ⎧⎪+⎨⎪⎩………，则2x y +的最大值为（）. A.1 B. 3 C.5 D.9解析作出不等式组的可行区域，如图所示，令2z x y =+，则22x zy -=+.当过A 点时z 取最大值，由()3,3A，故max 369z =+=.故选D.3.（2017全国1理14）设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +⎧⎪+-⎨⎪-⎩………，则32z x y =-的最小值为 .解析不等式组21210x y x y x y +⎧⎪+-⎨⎪-⎩………表示的平面区域如图所示，由32z x y =-，得322zy x =-，求z 的最小值，即求直线322z y x =-的纵截距的最大值，当直线322zy x =-过图中点A 时，纵截距最大，由2121x y x y +=-⎧⎨+=⎩，解得点A 的坐标为(1,1)-，此时3(1)215z =⨯--⨯=-.4.（2017全国2理5）设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪+⎩………，则2z x y =+的最小值是（）. A ．15- B ．9- C ．1 D ．9解析目标区域如图所示，当直线2y =x+z -过点()63--，时，所求z 取到最小值为15-．故选A.(6,35.（2017全国3理12）若x ，y 满足约束条件0200x y x y y -⎧⎪+-⎨⎪⎩………，则34z x y =-的最小值为__________．解析由题意，作出可行域如图所示.目标函数为34z x y =-，则直线344zy x =-的纵截距越大，z 值越小．由图可知z 在()1,1A 处取得最小值，故min 31411z =⨯-⨯=-．6.（2017山东理4）已知x ，y 满足3035030x y x y x -+⎧⎪++⎨⎪+⎩………，则2z x y =+的最大值是（）.A. 0B. 2C.5D.6解析由303+5030x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪+⎩………，作出可行域及直线20x y +=，如图所示，平移20x y +=发现，当其经过直线350x y ++=与3x =-的交点(3,4)-时，2z x y =+取最大值为max 3245z =-+⨯=.故选C.y=-3x-5y=-x 27.(2017浙江理4)若x ，y 满足约束条件03020x x y x y ⎧⎪+-⎨⎪-⎩………，则2z x y =+的取值范围是（）.A.[]0,6B.[]0,4C.[)6,+∞D.[)4,+∞ 解析如图所示，22x zy =-+在点()2,1取到z 的最小值为2214z =+⨯=，没有最大值，故[)4,z ∈+∞．故选D ．题型81 求解目标函数中参数的取值范围——暂无题型82 简单线性规划问题的实际运用第三节基本不等式及其应用题型83 利用基本不等式求函数的最值1.（2017江苏10）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是．解析一年的总运费与总存储费用之和为6003600644x x x x⨯+=+240=…，当且仅当36004x x=，即30x =时取等号．故填30． 2.(2017浙江理17)已知a ∈R ，函数()4f x x a a x=+-+在区间[]14，上的最大值是5，则a 的取值范围是 . 解析设4t x x=+，则()f t t a a =-+，[]4,5t ∈. 解法一：可知()f t 的最大值为{}max (4),(5)f f ，即(4)45(5)55f a a f a a ⎧=-+=⎪⎨=-+⎪⎩…或(4)45(5)55f a a f a a ⎧=-+⎪⎨=-+=⎪⎩…，解得 4.55a a =⎧⎨⎩…或 4.55a a ⎧⎨⎩……，所以 4.5a …．则a 的取值范围是(],4.5-∞. 解法二：如图所示，当0a <时，()5f t t a a t =-+=…成立；当0a t <…时，()05f t a t a t =-+-=…成立；当a t >时，()5f t t a a a t a =-+=-+…成立，即 4.5a …. 则a 的取值范围是(],4.5-∞.题型84 利用基本不等式证明不等式——暂无a。

2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第七章不等式、推理与证明、数学归纳法 7.7 Word版含解析

§7.7　数学归纳法考情考向分析　高考要求理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的命题，以附加题形式在高考中出现，难度为中高档．1．由一系列有限的特殊现象得出一般性的结论的推理方法，通常叫做归纳法．2．用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤如下：(1)归纳奠基：证明取第一个自然数n0时命题成立；(2)归纳递推：假设n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时，命题成立；(3)由(1)(2)得出结论．概念方法微思考1．用数学归纳法证明命题时，n取第1个值n0，是否n0就是1?提示　n0是对命题成立的第1个正整数，不一定是1.如证明n边形的内角和时，n≥3. 2．用数学归纳法证明命题时，归纳假设不用可以吗？提示　不可以，用数学归纳法证明命题，必须用到归纳假设．题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．(　×　)(2)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，项数都增加了一项．(　×　)(3)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n ＋2＝2n ＋3－1”，验证n ＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.(　√　)(4)用数学归纳法证明凸n 边形的内角和公式时，n 0＝3.(　√　)题组二　教材改编2．[P94习题T7]用数学归纳法证明1＋＋＋…＋<n (n ∈N *，n >1)时，第一步应验证_____．121312n －1答案　1＋＋<21213解析　∵n ∈N *，n >1，∴n 取的第一个数为2，左端分母最大的项为＝.122－1133．[P103T13]在数列{a n }中，a 1＝，且S n ＝n (2n －1)a n ，通过求a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式13为________．答案　a n ＝1(2n －1)(2n ＋1)解析　当n ＝2时，＋a 2＝2×3×a 2，13∴a 2＝；13×5当n ＝3时，＋＋a 3＝3×5×a 3，13115∴a 3＝；15×7当n ＝4时，＋＋＋a 4＝4×7×a 4，13115135∴a 4＝；17×9故猜想a n ＝.1(2n －1)(2n ＋1)4．[P105T13]已知a 1＝，a n ＋1＝，则a 2，a 3，a 4，a 5的值分别为________．由此猜想a n ＝123a na n ＋3________.答案　，，，　3738133103n ＋5解析　a 2＝＝＝＝，3a 1a 1＋33×1212＋33732＋5同理a 3＝＝＝，a 4＝＝，a 5＝＝，3a 2a 2＋33833＋53934＋531035＋5又a 1＝＝，符合以上规律．31＋512故猜想a n ＝.3n ＋5题组三　易错自纠5．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝(a ≠1，n ∈N *)，在验证n ＝1时，等式左1－a n ＋21－a边的项是________．答案　1＋a ＋a 2解析　当n ＝1时，n ＋1＝2，∴左边＝1＋a 1＋a 2＝1＋a ＋a 2.6．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋2n ＝2n －1＋22n －1(n ∈N *)时，假设当n ＝k 时命题成立，则当n ＝k ＋1时，左端增加的项数是__________．答案　2k解析　运用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋2n ＝2n －1＋22n －1(n ∈N *)．当n ＝k 时，则有1＋2＋3＋…＋2k ＝2k －1＋22k －1(k ∈N *)，左边表示的为2k 项的和．当n ＝k ＋1时，左边＝1＋2＋3＋…＋2k ＋(2k ＋1)＋…＋2k ＋1，表示的为2k ＋1项的和，增加了2k ＋1－2k ＝2k 项．题型一　用数学归纳法证明等式1．用数学归纳法证明：＋＋＋…＋＝(n ∈N *)．12×414×616×812n (2n ＋2)n4(n ＋1)证明　①当n ＝1时，左边＝＝，右边＝＝，12×1×(2×1＋2)1814×(1＋1)18左边＝右边，所以等式成立．②假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时等式成立，即有＋＋＋…＋＝，12×414×616×812k (2k ＋2)k 4(k ＋1)则当n ＝k ＋1时，＋＋＋…＋＋12×414×616×812k (2k ＋2)12(k ＋1)[2(k ＋1)＋2]＝＋＝k4(k ＋1)14(k ＋1)(k ＋2)k (k ＋2)＋14(k ＋1)(k ＋2)＝＝＝.(k ＋1)24(k ＋1)(k ＋2)k ＋14(k ＋2)k ＋14(k ＋1＋1)所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．由①②可知，对于一切n ∈N *等式都成立．2．用数学归纳法证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n ∈N *)．12131412n －112n 1n ＋11n ＋212n 证明　①当n ＝1时，等式左边＝1－＝＝右边，等式成立．1212②假设当n ＝k (k ∈N *)时，等式成立，即1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，12131412k －112k 1k ＋11k ＋212k 那么，当n ＝k ＋1时，有1－＋－＋…＋－＋－＝＋＋…＋＋12131412k －112k 12k ＋112k ＋21k ＋11k ＋212k－＝＋＋…＋＋，12k ＋112k ＋21k ＋21k ＋312k ＋112k ＋2所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．由①②知，等式对任何n ∈N *均成立．思维升华用数学归纳法证明等式时应注意：(1)明确初始值n 0的取值；(2)由n ＝k 证明n ＝k ＋1时，弄清左边增加的项，明确变形目标；(3)变形时常用的几种方法：①因式分解；②添拆项；③配方法．题型二　证明不等式例1 若函数f (x )＝x 2－2x －3，定义数列{x n }如下：x 1＝2，x n ＋1是过点P (4,5)，Q n (x n ，f (x n ))(n ∈N *)的直线PQ n 与x 轴的交点的横坐标，试运用数学归纳法证明：2≤x n <x n ＋1<3.证明　①当n ＝1时，x 1＝2，f (x 1)＝－3，Q 1(2，－3)．所以直线PQ 1的方程为y ＝4x －11，令y ＝0，得x 2＝，因此2≤x 1<x 2<3，114即n ＝1时结论成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，结论成立，即2≤x k <x k ＋1<3.当n ＝k ＋1时，直线PQ k ＋1的方程为y －5＝·(x －4)．f (x k ＋1)－5x k ＋1－4又f (x k ＋1)＝x －2x k ＋1－3，2k ＋1代入上式，令y ＝0，得x k ＋2＝＝4－，3＋4x k ＋12＋x k ＋152＋x k ＋1由归纳假设，2<x k ＋1<3，x k ＋2＝4－<4－＝3；52＋x k ＋152＋3x k ＋2－x k ＋1＝>0，(3－x k ＋1)(1＋x k ＋1)2＋x k ＋1即x k ＋1<x k ＋2，所以2≤x k ＋1<x k ＋2<3，即当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②知对任意的正整数n,2≤x n <x n ＋1<3.思维升华数学归纳法证明不等式的适用范围及关键(1)适用范围：当遇到与正整数n 有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则应考虑用数学归纳法．(2)关键：由n ＝k 时命题成立证n ＝k ＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化．跟踪训练1 用数学归纳法证明不等式：＋＋＋…＋>1(n ∈N *且n >1)．1n 1n ＋11n ＋21n 2证明　①当n ＝2时，＋＋＝>1成立．1213141312②设n ＝k (k ∈N *，k >1)时，＋＋＋…＋>1成立．1k 1k ＋11k ＋21k 2由于当k >1时，k 2－k －1>0，即k (2k ＋1)>k 2＋2k ＋1，则当n ＝k ＋1时，＋＋＋…＋1k ＋11k ＋21k ＋31(k ＋1)2＝＋＋＋…＋－(1k ＋1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k 2)1k 2＋11k 2＋21k 2＋2k ＋11k>1＋＋＋…＋－1k 2＋11k 2＋21k 2＋2k ＋11k >1＋＋＋…＋－1k (2k ＋1)1k (2k ＋1)1k (2k ＋1)1k ＝1＋－＝1.2k ＋1k (2k ＋1)1k 综合①②可知，原不等式对n ∈N *且n >1恒成立．题型三　数学归纳法的综合应用命题点1　整除问题例2 (2018·苏北四市期中)设n ∈N *，f (n )＝3n ＋7n －2.(1)求f (1)，f (2)，f (3)的值；(2)求证：对任意的正整数n ，f (n )是8的倍数．(1)解　∵n ∈N *，f (n )＝3n ＋7n －2，∴f (1)＝3＋7－2＝8，f (2)＝32＋72－2＝56，f (3)＝33＋73－2＝368.(2)证明　用数学归纳法证明如下：①当n ＝1时，f (1)＝3＋7－2＝8，成立；②假设当n ＝k (k ∈N *)时成立，即f (k )＝3k ＋7k －2能被8整除，则当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝3k ＋1＋7k ＋1－2＝3×3k ＋7×7k －2＝3(3k ＋7k －2)＋4×7k ＋4＝3(3k ＋7k －2)＋4(7k ＋1)，∵3k ＋7k －2能被8整除，7k ＋1是偶数，∴3(3k ＋7k －2)＋4(7k ＋1)一定能被8整除，即n ＝k ＋1时也成立．由①②得对任意正整数n ，f (n )是8的倍数．命题点2　和二项式系数有关的问题例3 (2018·江苏扬州中学期中)已知F n (x )＝(－1)k·C f k(x )](n ∈N *)．n∑k ＝0[k n (1)若f k (x )＝x k ，求F 2 015(2)的值；(2)若f k (x )＝(x ∉{0，－1，…，－n })，求证：F n (x )＝.x x ＋k n ！(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n )(1)解　F n (x )＝(－1)k C f k(x )]＝(－x )k C ]n∑k ＝0[k n n∑k ＝0[kn ＝C (－x )k·1n －k ]＝(1－x )n ，n∑k ＝0[kn ∴F 2 015(2)＝－1.(2)证明　①当n ＝1时，左边＝1－＝＝右边．x x ＋11x ＋1②设n ＝m (m ∈N *)时，对一切实数x (x ≠0，－1，…，－m )，有＝，m∑k ＝0[(－1)k C kmxx ＋k ]m ！(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋m )那么，当n ＝m ＋1时，对一切实数x (x ≠0，－1，…，－(m ＋1))，有m ＋1∑k ＝0[(－1)k C k m ＋1x x ＋k]＝1＋＋(－1)m ＋1m∑k ＝1[(－1)k (C k m＋C k －1m )x x ＋k ]x x ＋m ＋1＝＋m∑k ＝0[(－1)k C k m x x ＋k ]m ＋1∑k ＝1[(－1)k C k －1m x x ＋k ]＝－·m∑k ＝0[(－1)k C k mx x ＋k ]m∑k ＝0[(－1)k C k m x ＋1x ＋1＋k ]x x ＋1＝－·m ！(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋m )m ！(x ＋2)(x ＋3)…(x ＋1＋m )xx ＋1＝m ！[(x ＋m ＋1)－x ](x ＋1)(x ＋2)…(x ＋m )(x ＋m ＋1)＝，(m ＋1)！(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋m ＋1)即n ＝m ＋1时，等式成立．故对一切正整数n 及一切实数x (x ≠0，－1，…，－n )，有＝.n∑k ＝0[(－1)k C knxx ＋k ]n ！(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n )命题点3　和数列集合等有关的交汇问题例4　设集合M ＝{1,2,3，…，n }(n ∈N *，n ≥3)，记M 的含有三个元素的子集个数为S n ，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为T n .(1)分别求，，，的值；T 3S 3T 4S 4T 5S 5T 6S6(2)猜想关于n 的表达式，并加以证明．T nSn 解　(1)当n ＝3时，M ＝{1,2,3}，S 3＝1，T 3＝2，＝2；T 3S3当n ＝4时，M ＝{1,2,3,4}，S 4＝4，T 4＝2＋2＋3＋3＝10，＝，＝3，＝.T 4S 452T 5S 5T 6S 672(2)猜想＝.T n S n n ＋12下面用数学归纳法证明：①当n ＝3时，由(1)知猜想成立．②假设当n ＝k (k ≥3，k ∈N *)时，猜想成立，即＝，T k S k k ＋12而S k ＝C ，所以T k＝C .3k k ＋123k 则当n ＝k ＋1时，易知S k ＋1＝C ，3k ＋1而当集合M 从{1,2,3，…，k }变为{1,2,3，…，k ，k ＋1}时，T k ＋1在T k 的基础上增加了1个2,2个3,3个4，…，(k －1)个k ，所以T k ＋1＝T k ＋2×1＋3×2＋4×3＋…＋k (k －1)＝C ＋2(C ＋C ＋C ＋…＋C )k ＋123k 223242k ＝C ＋2(C ＋C ＋C ＋…＋C )k ＋123k 323242k ＝C ＋2C ＝C ＝S k ＋1，k －223k ＋13k ＋1k ＋223k ＋1(k ＋1)＋12即＝.T k ＋1S k ＋1(k ＋1)＋12所以当n ＝k ＋1时，猜想也成立．综上所述，猜想成立．思维升华利用数学归纳法可以探索与正整数n 有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性．跟踪训练2 (1)求证：对一切正整数n,42n ＋1＋3n ＋2都能被13整除．证明　①当n ＝1时，42×1＋1＋31＋2＝91能被13整除．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，42k ＋1＋3k ＋2能被13整除，则当n ＝k ＋1时，42(k ＋1)＋1＋3k ＋3＝42k ＋1·42＋3k ＋2·3－42k ＋1·3＋42k ＋1·3＝42k ＋1·13＋3·(42k ＋1＋3k ＋2)，∵42k ＋1·13能被13整除，42k ＋1＋3k ＋2能被13整除，∴当n ＝k ＋1时也成立，由①②可知，当n ∈N *时，42n ＋1＋3n ＋2能被13整除．(2)已知数列{a n }的各项都是正数，且满足：a 0＝1，a n ＋1＝·a n ·(4－a n )，n ∈N .12①求a 1，a 2；②证明：a n <a n ＋1<2，n ∈N .①解　a 0＝1，a 1＝a 0·(4－a 0)＝，1232a 2＝·a 1(4－a 1)＝.12158②证明　用数学归纳法证明：(ⅰ)当n ＝0时，a 0＝1，a 1＝，32∴a 0<a 1<2，命题成立．(ⅱ)假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时有a k －1<a k <2.则n ＝k ＋1时，a k －a k ＋1＝a k －1(4－a k －1)－a k (4－a k )1212＝2(a k －1－a k )－(a k －1－a k )(a k －1＋a k )12＝(a k －1－a k )·(4－a k －1－a k )．12而a k －1－a k <0,4－a k －1－a k >0，∴a k －a k ＋1<0，即a k <a k ＋1.又a k ＋1＝a k (4－a k )＝[4－(a k －2)2]<2.1212∴n ＝k ＋1时命题成立．由(ⅰ)(ⅱ)知，对一切n ∈N 都有a n <a n ＋1<2.1．(2019·江苏省扬州市仪征中学考试)已知正项数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝1＋a n1＋a n (n ∈N *)．用数学归纳法证明：a n <a n ＋1(n ∈N *)．证明　(1)当n ＝1时，a 2＝1＋＝，a 1<a 2，a 11＋a 132所以当n ＝1时，不等式成立；(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，a k <a k ＋1成立，则当n ＝k ＋1时，a k ＋2－a k ＋1＝1＋－a k ＋1a k ＋11＋a k ＋1＝1＋－a k ＋11＋a k ＋1(1＋a k1＋a k)＝－＝>0，11＋a k 11＋a k ＋1a k ＋1－a k(1＋a k )(1＋a k ＋1)所以，当n ＝k ＋1时，不等式成立．综上所述，不等式a n <a n ＋1(n ∈N *)成立．2．用数学归纳法证明a n ＋1＋(a ＋1)2n －1能被a 2＋a ＋1整除(n ∈N *)．证明　①当n ＝1时，左边＝a 2＋(a ＋1)1＝a 2＋a ＋1，可被a 2＋a ＋1整除；②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，a k ＋1＋(a ＋1)2k －1能被a 2＋a ＋1整除，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＋1＋(a ＋1)2(k ＋1)－1＝a k ＋2＋(a ＋1)2k ＋1＝a ·a k ＋1＋(a ＋1)2(a ＋1)2k －1＝a ·a k ＋1＋a (a ＋1)2k －1＋(a 2＋a ＋1)(a ＋1)2k －1＝a [a k ＋1＋(a ＋1)2k －1]＋(a 2＋a ＋1)(a ＋1)2k －1，由假设可知a [a k ＋1＋(a ＋1)2k －1]能被a 2＋a ＋1整除，又(a 2＋a ＋1)(a ＋1)2k －1也能被a 2＋a ＋1整除，所以a k ＋2＋(a ＋1)2k ＋1能被a 2＋a ＋1整除，即n ＝k ＋1时，命题也成立．由①②知，对一切n ∈N *命题都成立．3．(2018·江苏省常州市田家炳高级中学考试)已知正项数列{a n }中，a 1＝－1且－a n ＋1＝21an ＋1＋a n ，n ∈N *.1an (1)分别计算出a 2，a 3，a 4的值，然后猜想数列{a n }的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的猜想．(1)解　令n ＝1，得－a 2＝＋a 1＝2，1a 21a 12化简得(a 2＋)2＝3，2解得a 2＝－或a 2＝－－.3232∵a 2>0，∴a 2＝－.32令n ＝2，得－a 3＝＋a 2＝2，1a 31a 23化简得(a 3＋)2＝4，3解得a 3＝2－或a 3＝－2－.33∵a 3>0，∴a 3＝2－.3令n ＝3，得－a 4＝＋a 3＝4，1a 41a 3化简得(a 4＋2)2＝5，解得a 4＝－2或a 4＝－－2.55∵a 4>0，∴a 4＝－2.5猜想a n ＝－.(*)n ＋1n (2)证明　①当n ＝1时，a 1＝－1＝－，(*)式成立；221②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，(*)式成立，即a k ＝－，k ＋1k 那么当n ＝k ＋1时，－a k ＋1＝＋a k ＝＋＋－＝2.1a k ＋11ak k ＋1k k ＋1k k ＋1k＋1化简得(a k＋1＋)2＝k＋2，k＋2k＋1∵a k＋1>0，∴a k＋1＝－，∴当n＝k＋1时，(*)式也成立．n＋1n综上，由①②得当n∈N*时，a n＝－.a2n－2a n＋24．设a1＝1，a n＋1＝＋b(n∈N*)．(1)若b＝1，求a2，a3及数列{a n}的通项公式；(2)若b＝－1，问：是否存在实数c使得a2n<c<a2n＋1对所有n∈N*成立？证明你的结论．2解　(1)方法一　a2＝2，a3＝＋1.再由题设条件知(a n＋1－1)2－(a n－1)2＝1.从而{(a n－1)2}是首项为0，公差为1的等差数列，n－1故(a n－1)2＝n－1，即a n＝＋1(n∈N*)．2方法二　a2＝2，a3＝＋1.1－12－13－1可写为a1＝＋1，a2＝＋1，a3＝＋1.n－1因此猜想a n＝＋1.下面用数学归纳法证明上式：当n＝1时，结论显然成立．假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时结论成立，k－1即a k＝＋1，则a k＋1＝＋1＝＋1(a k－1)2＋1(k－1)＋1＝＋1.(k＋1)－1所以当n＝k＋1时结论成立．所以a n ＝＋1(n ∈N *)．n －1(2)方法一　设f (x )＝－1，(x －1)2＋1则a n ＋1＝f (a n )．令c ＝f (c )，即c ＝－1，解得c ＝.(c －1)2＋114下面用数学归纳法证明加强命题：a 2n <c <a 2n ＋1<1.当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (a 2)＝f (0)＝－1，2所以a 2<<a 3<1，结论成立．14假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时结论成立，即a 2k <c <a 2k ＋1<1.易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而c ＝f (c )>f (a 2k ＋1)>f (1)＝a 2，即1>c >a 2k ＋2>a 2.再由f (x )在(－∞，1]上为减函数，得c ＝f (c )<f (a 2k ＋2)<f (a 2)＝a 3<1，故c <a 2k ＋3<1.因此a 2(k ＋1)<c <a 2(k ＋1)＋1<1.即当n ＝k ＋1时结论成立．综上，符合条件的c 存在，其中一个值为c ＝.14方法二　设f (x )＝－1，(x －1)2＋1则a n ＋1＝f (a n )．先证：0≤a n ≤1(n ∈N *)．①当n ＝1时，结论显然成立．假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时结论成立，即0≤a k ≤1.易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而0＝f (1)≤f (a k )≤f (0)＝－1<1，即0≤a k ＋1<1.2即当n ＝k ＋1时结论成立．故①成立．再证：a 2n <a 2n ＋1(n ∈N *)．②当n ＝1时，a 2＝f (a 1)＝0，a 3＝f (a 2)＝f (0)＝－1，2有a 2<a 3，即n ＝1时②成立．假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，结论成立，即a 2k <a 2k ＋1.由①及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得a 2k ＋1＝f (a 2k )>f (a 2k ＋1)＝a 2k ＋2，a 2(k ＋1)＝f (a 2k ＋1)<f (a 2k ＋2)＝a 2(k ＋1)＋1.即当n ＝k ＋1时②成立，所以②对一切n ∈N *成立．由②得a 2n < －1，a 22n －2a 2n ＋2即(a 2n ＋1)2<a －2a 2n ＋2，因此a 2n <.③22n 14又由①②及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得f (a 2n )>f (a 2n ＋1)，即a 2n ＋1>a 2n ＋2，所以a 2n ＋1>－1.a 22n ＋1－2a 2n ＋1＋2解得a 2n ＋1>.④14综上，由②③④知存在c ＝使得a 2n <c <a 2n ＋1对一切n ∈N *成立．145．已知函数f0(x)＝x(sin x＋cos x)，设f n(x)为f n－1(x)的导数，n∈N*.(1)求f1(x)，f2(x)的表达式；(2)写出f n(x)的表达式，并用数学归纳法证明．解　(1)因为f n(x)为f n－1(x)的导数，所以f1(x)＝f0′(x)＝(sin x＋cos x)＋x(cos x－sin x)＝(x＋1)cos x＋(x－1)(－sin x)，同理，f2(x)＝－(x＋2)sin x－(x－2)cos x.(2)由(1)得f3(x)＝f2′(x)＝－(x＋3)cos x＋(x－3)sin x，把f1(x)，f2(x)，f3(x)分别改写为(x＋π2)(x＋π2)f1(x)＝(x＋1)sin＋(x－1)·cos，(x＋2π2)(x＋2π2)f2(x)＝(x＋2)sin＋(x－2)·cos，(x＋3π2)(x＋3π2)f3(x)＝(x＋3)sin＋(x－3)·cos，(x＋nπ2)(x＋nπ2)猜测f n(x)＝(x＋n)sin＋(x－n)·cos.(*)下面用数学归纳法证明上述等式．①当n＝1时，由(1)知，等式(*)成立；②假设当n＝k时，等式(*)成立，(x＋kπ2)(x＋kπ2)即f k(x)＝(x＋k)sin＋(x－k)cos.则当n＝k＋1时，f k＋1(x)＝f k′(x)＝sin ＋(x ＋k )cos ＋cos ＋(x －k )(x ＋k π2)(x ＋k π2)(x ＋k π2)[－sin (x＋k π2)]＝(x ＋k ＋1)cos ＋[x －(k ＋1)]·(x ＋k π2)[－sin (x ＋k π2)]＝[x ＋(k ＋1)]sin ＋[x －(k ＋1)]·(x ＋k ＋12π)cos ，(x ＋k ＋12π)即当n ＝k ＋1时，等式(*)成立．综上所述，当n ∈N *时，f n (x )＝(x ＋n )·sin ＋(x －n )cos 成立．(x ＋n π2)(x ＋n π2)6．已知数列{a n }中，a 1＝，a n ＋1＝2a n －3a .142n (1)求证：对任意的n ∈N *，都有0<a n <；13(2)求证：＋＋…＋≥4n ＋1－4.31－3a 131－3a 231－3an 证明　(1)①当n ＝1时，a 1＝，有0<a 1<，1413所以n ＝1时，不等式成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，即0<a k <.13则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2a k －3a 2k ＝－3＝－32＋，(a 2k －23a k )(a k －13)13于是－a k ＋1＝32.13(13－a k )因为0<a k <，所以0<32<，13(13－a k )13即0<－a k ＋1<，可得0<a k ＋1<，131313所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由①②可知，对任意的正整数n ，都有0<a n <.13(2)由(1)可得－a n ＋1＝32，13(13－a n )两边同时取以3为底的对数，可得log 3＝1＋2log 3，(13－a n ＋1)(13－a n )化简为1＋log 3＝2，(13－a n ＋1)[1＋log 3(13－a n )]所以数列是以log 3为首项，2为公比的等比数列，{1＋log 3(13－a n )}14所以1＋log 3＝2n －1log 3，(13－a n )14化简求得－a n ＝·2n －1，1313(14)所以＝3·.113－a n 124n 因为当n ≥2时，2n －1＝C ＋C ＋C ＋…＋C ≥1＋n －1＝n ，0n －11n －12n －1n －1当n ＝1时，2n －1＝1，所以当n ∈N *时，2n －1≥n ，所以≥3·4n ，113－a n ＋＋…＋≥3(41＋42＋…＋4n )＝4n ＋1－4，113－a 1113－a 2113－a n 所以＋＋…＋≥4n ＋1－4.31－3a 131－3a 231－3an。

2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第七章不等式、推理与证明、数学归纳法 7.4 Word版含解析

x－2
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6．若正数 x，y 满足 3x＋y＝5xy，则 4x＋3y 的最小值是________．
答案 5
3x＋y 3 1 解析由 3x＋y＝5xy，得＝＋＝5，
xy y x
( ) 1 3 1
所以 4x＋3y＝(4x＋3y)· ＋ 5y x
( ) 1
3y 12x
＝ 4＋9＋＋
∴a＋b≥a2＋a＋4.
a
a
又∵a，b>0，∴ ≤
，
a＋b a2＋a＋4
a
a
∴－ ≥－
，
a＋b a2＋a＋4
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2a＋3b
a
a
∴u＝
＝3－ ≥3－
a＋b
a＋b
a2＋a＋4
1
1
14
＝3－
≥3－
＝，
4 a＋＋1
a
4
5
2 a· ＋1
a
当且仅当 a＝2，b＝8 时，两等号同时成立，即取得最小值．
( ) 1
L(x)＝1 000x×0.05－ x2＋10x －250 3
1 ＝－ x2＋40x－250；
3
当 x≥80 时，
( ) 10 000
L(x)＝1 000x×0.05－ 51x＋
－1 450 －250
x
( ) 10 000
＝1 200－ x＋
.
x
∴L(x)＝Error!
1 (2)当 0<x<80 时，L(x)＝－ (x－60)2＋950.
a＋1 b＋c
答案 3
解析 ∵a，b，c 都是正数，且 a＋b＋c＝2，

2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第七章不等式、推理与证明、数学归纳法 7.1含解析

考试内容等级要求基本不等式C一元二次不等式C线性规划A合情推理与演绎推理B分析法与综合法A反证法A数学归纳法的原理A数学归纳法的简单应用B§7.1　不等关系与不等式考情考向分析　以理解不等式的性质为主，在高考中主要以填空题形式考查不等式的性质；以主观题形式考查不等式与其他知识的综合．属低档题．1．两个实数比较大小的方法(1)作差法Error! (a，b∈R)(2)作商法Error! (a ∈R ，b >0)2．不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性a >b ⇔b <a ⇔传递性a >b ，b >c ⇒a >c ⇒可加性a >b ⇔a ＋c >b ＋c ⇔同向可加性Error!⇒a ＋c >b ＋d ⇒Error!⇒ac >bc可乘性Error!⇒ac <bc注意c 的符号同向同正可乘性Error!⇒ac >bd ⇒可乘方性a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n >1)a ，b 同为正数可开方性a >b >0⇒>(n ∈N ，且n a n b n >1)a ，b 同为正数概念方法微思考1．若a >b ，且a 与b 都不为0，则与的大小关系确定吗？1a 1b提示　不确定．若a >b ，ab >0，则<，即若a 与b 同号，则分子相同，分母大的反而小；1a 1b 若a >0>b ，则 >，即正数大于负数．1a 1b 2．两个同向不等式可以相加和相乘吗？提示　可以相加但不一定能相乘，例如2>－1，－1>－3.题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a 1，则a >b .(　×　)ab(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．(　×　)(4)a >b >0，c >d >0⇒>.(　√　)a d bc (5)ab >0，a >b ⇔<.(　√　)1a 1b 题组二　教材改编2．[P3练习T1]若a ，b 都是实数，则“－>0”是“a 2－b 2>0”的________条件．a b 答案　充分不必要解析　－>0⇒>⇒a >b ⇒a 2>b 2，a b a b 但由a 2－b 2>0≠－>0.a b 3．[P66练习T1]雷电的温度大约是28 000 ℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t ℃，那么t 应满足的关系式是________．答案　4.5t <28 000解析　由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5 t <28 000.题组三　易错自纠4．若a >b >0，c <d <0，则下列一定正确的序号为________．①－>0；②－<0；③>；④<.a c b d a c b d a d b c a d b c 答案　④解析　∵c <d <0，∴0<－d <－c ，又0ac ，又∵cd >0，∴>，即>.bd cd ac cd b c ad当a ＝5，c ＝－5，b ＝4，d ＝－4时，易知①②不正确．5．设a ，b ∈R ，则“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)答案　充分不必要解析　若a >2且b >1，则由不等式的同向可加性可得a ＋b >2＋1＝3，由不等式的同向同正可乘性可得ab >2×1＝2.即“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的充分条件；反之，若“a ＋b >3且ab >2”，则“a >2且b >1”不一定成立，如a ＝6，b ＝.所以“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”12的充分不必要条件．6．若－<α<β<，则α－β的取值范围是__________．π2π2答案　(－π，0)解析　由－<α<，－<－β<，α<β，π2π2π2π2得－π<α－β<0.题型一　比较两个数(式)的大小例1 (1)若a <0，b <0，则p ＝＋与q ＝a ＋b 的大小关系为________．b 2a a 2b 答案　p ≤q解析　(作差法)p －q ＝＋－a －bb 2a a 2b ＝＋＝(b 2－a 2)·b 2－a 2a a 2－b 2b (1a －1b)＝＝，(b 2－a 2)(b －a )ab (b －a )2(b ＋a )ab因为a <0，b <0，所以a ＋b <0，ab >0.若a ＝b ，则p －q ＝0，故p ＝q ；若a ≠b ，则p －q <0，故p <q .综上，p ≤q .(2)若P ＝－，Q ＝－(a >0)，则P ，Q 的大小关系是________．a ＋3a ＋2a ＋2a ＋1答案　P <Q解析　Q －P ＝(－)－(－)a ＋2a ＋1a ＋3a ＋2＝－>0，1a ＋2＋a ＋11a ＋3＋a ＋2所以P <Q .(3)若a ＝，b ＝，c ＝，则a ，b ，c 的大小关系为________．ln 33ln 44ln 55答案　c b ；＝＝log 6251 024>1，b c 5ln 44ln 5所以b >c .即c e 时，函数f (x )单调递减．因为e<3<4<5，所以f (3)>f (4)>f (5)，即c b >0，比较a a b b 与a b b a 的大小．解　∵＝＝a －b ，a ab b a b b a a a －b b a －b (a b )又a >b >0，故>1，a －b >0，ab ∴a －b >1，即>1，(a b)a ab ba b b a又a b b a >0，∴a a b b >a b b a ，∴a a b b 与a b b a 的大小关系为a a b b >a b b a .思维升华比较大小的常用方法(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④结论．(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论．(3)函数的单调性法．跟踪训练1 (1)已知p ∈R ，M ＝(2p ＋1)(p －3)，N ＝(p －6)(p ＋3)＋10，则M ，N 的大小关系为________．答案　M >N解析　因为M －N ＝(2p ＋1)(p －3)－[(p －6)(p ＋3)＋10]＝p 2－2p ＋5＝(p －1)2＋4>0，所以M >N .(2)若a >0，且a ≠7，则77a a 和7a a 7的大小关系为________．答案　77a a >7a a 7解析　＝77－a a a －7＝7－a ，77a a 7a a 7(7a)则当a >7时，0<<1,7－a <0，7a 则7－a >1，∴77a a >7a a 7；(7a)当0<a <7时，>1,7－a >0，7a则7－a >1，∴77a a >7a a 7.(7a)综上，77a a >7a a 7.题型二　不等式的性质1．若<<0，则下列不等式：1a 1b①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a 0，1a 1b 所以a ＋b <ab ，|a |<|b |，在b <a 两边同时乘以b ，因为b <0，所以ab ac ；②c (b －a )<0；③cb 2<ab 2；④ac (a －c )>0.答案　①解析　由c 0.由b >c ，得ab >ac 一定成立．3．设a >b >1，c <0，给出下列三个结论：①>；②a c log a (b －c )．c a cb 其中所有正确结论的序号是________．答案　①②③解析　由不等式性质及a >b >1，知<，1a 1b 又c <0，∴>，①正确；c a cb构造函数y＝x c，∵c<0，∴y＝x c在(0，＋∞)上是单调递减的，又a>b>1，∴a cb>1，c<0，∴a－c>b－c>1，∴log b(a－c)>log a(a－c)>log a(b－c)，③正确．思维升华常用方法：一是用性质逐个验证；二是用特殊值法排除．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．题型三　不等式性质的应用命题点1　应用性质判断不等式是否成立例2 已知a>b>0，给出下列四个不等式：a－b a b①a2>b2；②2a>2b－1；③>－；④a3＋b3>2a2b.其中一定成立的不等式为________．(填序号)答案　①②③解析　由a>b>0可得a2>b2，①成立；由a>b>0可得a>b－1，而函数f(x)＝2x在R上是增函数，∴f(a)>f(b－1)，即2a>2b－1，②成立；a b∵a>b>0，∴>，a－b a b∴()2－(－)2ab b a b＝2－2b＝2(－)>0，a－b a b∴>－，③成立；若a＝3，b＝2，则a3＋b3＝35,2a2b＝36，a 3＋b 3<2a 2b ，④不成立．命题点2　求代数式的取值范围例3 已知－1<x <4,2<y <3，则x －y 的取值范围是________，3x ＋2y 的取值范围是________．答案　(－4,2)　(1,18)解析　∵－1<x <4,2<y <3，∴－3<－y <－2，∴－4<x －y <2.由－1<x <4,2<y <3，得－3<3x <12,4<2y <6，∴1<3x ＋2y <18.引申探究1．若将本例条件改为－1<x <y <3，求x －y 的取值范围．解　∵－1<x <3，－1<y <3，∴－3<－y <1，∴－4<x －y <4.又∵x <y ，∴x －y <0，∴－4<x －y <0，故x －y 的取值范围为(－4,0)．2．若将本例条件改为－1<x ＋y <4,2<x －y <3，求3x ＋2y 的取值范围．解　设3x ＋2y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，则Error!∴Error!即3x ＋2y ＝(x ＋y )＋(x －y )，5212又∵－1<x ＋y <4,2<x －y <3，∴－<(x ＋y )<10,1<(x －y )<，52521232∴－<(x ＋y )＋(x －y )<，325212232即－<3x ＋2y <，32232∴3x ＋2y 的取值范围为.(－32，232)思维升华 (1)判断不等式是否成立的方法①逐一给出推理判断或反例说明．②结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断．(2)求代数式的取值范围一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围．跟踪训练2 (1)若a ； ②a 2<ab ；1a －b 1b③<； ④a n >b n (n ∈N *)．|b ||a ||b |＋1|a |＋1答案　③解析　(特值法)取a ＝－2，b ＝－1，逐个检验，可知①②④项均不正确；③项，<⇔|b |(|a |＋1)<|a |(|b |＋1)⇔|a ||b |＋|b |<|a ||b |＋|a |⇔|b |<|a |，|b ||a ||b |＋1|a |＋1∵a b >c >0，x ＝，y ＝，z ＝，则x ，y ，z 的大小关a 2＋(b ＋c )2b 2＋(c ＋a )2c 2＋(a ＋b )2系是________．(用“>”连接)答案　z >y >x解析　方法一　由题易知，x >0，y >0，z >0，又y 2－x 2＝2c (a －b )>0，∴y >x .同理，z >y ，∴z >y >x .方法二　令a ＝3，b ＝2，c ＝1，则x ＝，y ＝，1820z ＝，故z >y >x .261．下列命题中，正确的序号是________．①若a >b ，c >d ，则ac >bd ；②若ac >bc ，则a >b ；③若<，则a b ，c >d ，则a －c >b －d .答案　③解析　①取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，可知①错误；②当c <0时，ac >bc ⇒a 0，所以a g (x )解析　f (x )－g (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0，则f (x )>g (x )．3．对于0<a <1，给出下列四个不等式：①log a (1＋a )<log a ；(1＋1a )②log a (1＋a )>log a ；(1＋1a)③a 1＋a < ；11a a +④a 1＋a >.11a a +其中正确的不等式是________．(填序号)答案　②④解析　当0<a <1时，函数y ＝log a x 与y ＝a x 均为(0，＋∞)上的减函数．∵0<a <1，∴1＋a <1＋，∴②④正确．1a4．若6<a <10，≤b ≤2a ，c ＝a ＋b ，那么c 的取值范围是________．a 2答案　(9,30)解析　∵c ＝a ＋b ≤3a 且c ＝a ＋b ≥，3a 2∴9<≤a ＋b ≤3a <30.3a 25．设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s ，t 的大小关系为________．答案　t ≤s解析　s －t ＝b 2－2b ＋1＝(b －1)2≥0，∴s ≥t .6．若α，β满足－<α<β<，则2α－β的取值范围是________．π2π2答案　(－3π2，π2)解析 ∵－<α<，∴－π<2α<π.π2π2∵－<β<，∴－<－β<，π2π2π2π2∴－<2α－β<.3π23π2又α－β<0，α<，∴2α－β<.π2π2∴－<2α－β<.3π2π27．已知a ＋b >0，则＋与＋的大小关系是________．a b 2b a 21a 1b答案　＋≥＋a b 2b a 21a 1b解析　＋－＝＋a b 2b a 2(1a ＋1b )a －b b 2b －a a 2＝(a －b )·＝.(1b 2－1a 2)(a ＋b )(a －b )2a 2b 2∵a ＋b >0，(a －b )2≥0，∴≥0.(a ＋b )(a －b )2a 2b 2∴＋≥＋.a b 2b a 21a 1b8．已知有三个条件：①ac 2>bc 2；②>；③a 2>b 2，其中能成为a >b 的充分条件的是________．a c b c答案　①解析　由ac 2>bc 2可知c 2>0，即a >b ，故“ac 2>bc 2”是“a >b ”的充分条件；②当c <0时，a b 的充分条件．9．已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题：①若ab >0，bc －ad >0，则－>0；c a d b②若ab >0，－>0，则bc －ad >0；c a d b③若bc －ad >0，－>0，则ab >0.c a d b其中正确的命题是________．(填序号)答案　①②③解析　∵ab >0，bc －ad >0，∴－＝>0，∴①正确；c a d b bc －ad ab∵ab >0，又－>0，即>0，c a d b bc －ad ab∴bc －ad >0，∴②正确；∵bc －ad >0，又－>0，即>0，c a d b bc －ad ab∴ab >0，∴③正确．故①②③都正确．10．设α∈，T 1＝cos(1＋α)，T 2＝cos(1－α)，则T 1与T 2的大小关系为________．(0，12)答案　T 1<T 2解析　T 1－T 2＝(cos 1cos α－sin 1sin α)－(cos 1cos α＋sin 1sin α)＝－2sin 1sin α<0.故T 1<T 2.11．(1)若bc －ad ≥0，bd >0，求证：≤；a ＋b b c ＋d d(2)已知c >a >b >0，求证：>.a c －a b c －b证明　(1)∵bc ≥ad ，bd >0，∴≥，c d a b∴＋1≥＋1，∴≤.c d a b a ＋b b c ＋d d(2)∵c >a >b >0，∴c －a >0，c －b >0.Error!⇒<c a c b⇒Error!⇒>.a c －a b c －b12．已知1<a <4,2<b <8，试求a －b 与的取值范围．a b解　因为1<a <4,2<b <8，所以－8<－b <－2.所以1－8<a －b <4－2，即－7<a －b <2.又因为<<，所以<<＝2，181b 1218a b 42即<<2.18a b13．设实数x ，y 满足0<xy <4，且0<2x ＋2y <4＋xy ，则x ，y 的取值范围是________．答案　0<x <2且0<y <2解析　由题意得Error!则Error!由2x ＋2y －4－xy ＝(x －2)·(2－y )<0，得Error!或Error!又xy <4，可得Error!14．(2018·江苏无锡天一中学质检)设f (x )＝ln x,0<a p ；④p ＝r >q .答案　②解析　由于b >a >0，所以>>0，a ＋b 2ab 所以ln >ln ，则q >p .a ＋b 2ab 而p ＝ln ＝(ln a ＋ln b )＝r ，故②正确．ab 1215．设0b ln a ；②a ln b b e a .答案　②④解析　令y ＝，0<x <1.则y ′＝，可见函数y ＝在(0,1)上单调递增．所以<，②ln x x 1－ln x x 2ln x x ln b b ln a a 正确．令f (x )＝，0<x <1，则f ′(x )＝＝<0，所以函数f (x )＝在(0,1)上单调递e x x x e x －e x x 2(x －1)e x x 2e x x 减，又因为0b e a ，故②④正确．e a a e b b16．已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且满足b ＋c <2a ，求的取值范围．c a解　由已知及三角形三边关系得Error!∴Error!∴Error!两式相加，得0<2×<3，∴的取值范围为.c a c a (0，32)。

2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第七章不等式、推理与证明、数学归纳法 7.2含解析

§7.2　一元二次不等式及其解法考情考向分析　以理解一元二次不等式的解法为主，常与集合的运算相结合考查一元二次不等式的解法，有时也在导数的应用中用到，加强函数与方程思想，分类讨论思想和数形结合思想的应用意识．在高考中常以填空题的形式考查，属于低档题，若在导数的应用中考查，难度较高．一元二次不等式的解集判别式Δ＝b 2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a >0)的图象方程ax 2＋bx ＋c=0(a >0)的根有两相异实根x 1，x 2(x 1<x 2)有两相等实根x 1＝x 2＝－b 2a 没有实数根ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集{x |x <x 1或x >x 2}Error!{x |x ∈R }ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集{x |x 1<x <x 2}∅∅概念方法微思考1．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集与其对应的函数y＝ax2＋bx＋c的图象有什么关系？提示　ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集就是其对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分所对应的x的取值范围．2．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件是什么？提示　显然a≠0.ax2＋bx＋c>0恒成立的条件是Error!ax2＋bx＋c<0恒成立的条件是Error!题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.(　√　)(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.(　√　)(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　×　)(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.(　×　)(5)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．(　√　)题组二　教材改编2．[P67例1(2)]不等式－x2－2x＋3>0的解集为________________．答案　{x|－3<x<1}解析　原不等式可化为x2＋2x－3<0，得－3<x<1.(－12，13)3．[P71习题T6]若关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集是，则a＋b＝________.答案　－14解析　∵x 1＝－，x 2＝是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个根，1213∴Error!解得Error!∴a ＋b ＝－14.题组三　易错自纠4．不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示)答案　(－4,1)解析　由－x 2－3x ＋4>0可知，(x ＋4)(x －1)<0，得－4<x <1.5．函数y ＝的定义域为________．1－x x ＋2答案　(－2,1]解析　由≥0⇒－2<x ≤1，1－x x ＋2得函数的定义域为(－2,1]．6．不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案　(－2,2]解析　设方程(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＝0，当a ≠2时，由题意得，Error!∴－2<a <2；当a ＝2时，原式化为－4<0，不等式恒成立，∴－2<a ≤2.题型一　一元二次不等式的求解命题点1　不含参的不等式例1 已知集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{y |y ＝2x }，则A ∩B ＝________.答案　(0,2)解析　由题意得A ＝{x |x 2－x －2<0}＝{x |－1<x <2}，B ＝{y |y ＝2x }＝{y |y >0}，∴A ∩B ＝{x |0<x <2}＝(0,2)．命题点2　含参不等式例2 解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a >0)．解　原不等式变为(ax －1)(x －1)<0，因为a >0，所以(x －1)<0.(x －1a )所以当a >1时，解为<x <1；1a当a ＝1时，解集为∅；当0<a <1时，解为1<x <.1a综上，当0<a <1时，不等式的解集为Error!；当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a >1时，不等式的解集为Error!.命题点3　分式不等式例3 已知关于x 的不等式<1.(a ＋1)x －3x －1(1)当a ＝1时，解该不等式；(2)当a 为任意实数时，解该不等式．解　(1)当a ＝1时，不等式化为<1，2x －3x －1可得<0，∴1<x <2，x －2x －1∴不等式的解集为{x |1<x <2}．(2)原不等式可化为<0，ax －2x －1可化为(ax －2)(x －1)<0，当a ＝0时，x >1.当a <0时，(x －1)>0，(x －2a )∴x >1或x <.2a当a >0时，(x －1)<0，(x －2a)若>1，即0<a <2时，可得1<x <，2a 2a若＝1，即a ＝2时，x ∈∅，2a若0<<1，即a >2时，<x <1.2a 2a综上，当a <0时，原不等式的解集为Error!，当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x >1}，当0<a <2时，原不等式的解集为Error!，当a ＝2时，原不等式的解集为∅，当a >2时，原不等式的解集为Error!.思维升华对含参的不等式，应对参数进行分类讨论：①根据二次项系数为正、负及零进行分类．②根据判别式Δ判断根的个数．③有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．跟踪训练1 解不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R )．解　原不等式可化为12x 2－ax －a 2>0，即(4x ＋a )(3x －a )>0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0，解得x 1＝－，x 2＝.a 4a 3当a >0时，不等式的解集为∪；(－∞，－a 4)(a 3，＋∞)当a ＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；当a <0时，不等式的解集为∪.(－∞，a 3)(－a 4，＋∞)题型二　三个“二次”的关系例4 (1)已知函数f (x )＝2x 2＋bx ＋c (b ，c ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<m 的解集为(n ，n ＋10)，求实数m 的值．解　由已知可得Δ＝b 2－8c ＝0，∴c ＝，b 28由不等式2x 2＋bx ＋－m <0的解集为(n ，n ＋10)，b 28可得方程2x 2＋bx ＋－m ＝0的两根为n ，n ＋10，b 28∴10＝＝，b 24－b 24＋2m 2m ∴m ＝50.(2)已知方程x 2＋ax ＋2＝0的两根都小于－1，求实数a 的取值范围．解　设f(x)＝x2＋ax＋2，2由题意可得Error!解得2<a<3，2∴实数a的取值范围是(2，3)．思维升华一元二次不等式ax2＋bx＋c＝0的两根x1，x2即为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的零点，也是一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或ax2＋bx＋c<0)的解集的两个端点．跟踪训练2 若α，β是方程x2＋(2m－1)x＋4－2m＝0的两个根，且α<2<β，求实数m的取值范围．解　设f(x)＝x2＋(2m－1)x＋4－2m，∵α，β是方程f(x)＝0的根，且α<2<β，∴f(2)<0，∴4＋2(2m－1)＋4－2m<0，∴m<－3，故实数m的取值范围是(－∞，－3)．题型三　一元二次不等式恒成立问题命题点1　在R上的恒成立问题例5 已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈R，f(x)<0恒成立，求实数m的取值范围．解　当m＝0时，f(x)＝－1<0恒成立．当m≠0时，则Error!即－4<m<0.综上，－4<m≤0，故m的取值范围是(－4,0]．命题点2　在给定区间上的恒成立问题例6 已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)<5－m恒成立，求实数m的取值范围．解　要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，即m 2＋m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．(x －12)34有以下两种方法：方法一　令g (x )＝m 2＋m －6，x ∈[1,3]．(x －12)34当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)，即7m －6<0，所以m <，所以0<m <；6767当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)，即m －6<0，所以m <6，所以m <0.综上所述，m 的取值范围是Error!.方法二　因为x 2－x ＋1＝2＋>0，(x －12)34又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <.6x 2－x ＋1因为函数y ＝＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m <即可．6x 2－x ＋16(x －12)2＋346767所以m 的取值范围是Error!.引申探究1．若将“f (x )<5－m 恒成立”改为“f (x )<5－m 无解”，如何求m 的取值范围？解　若f (x )<5－m 无解，即f (x )≥5－m 恒成立，即m ≥恒成立，又x ∈[1,3]，6x 2－x ＋1得m ≥6，即m 的取值范围为[6，＋∞)．2．若将“f (x )<5－m 恒成立”改为“存在x ，使f (x )<5－m 成立”，如何求m 的取值范围．解　由题意知f (x )<5－m 有解，即m <有解，则m <max ，6x 2－x ＋1(6x 2－x ＋1)又x ∈[1,3]，得m <6，即m 的取值范围为(－∞，6)．命题点3　给定参数范围的恒成立问题例7 若mx 2－mx －1<0对于m ∈[1,2]恒成立，求实数x 的取值范围．解　设g (m )＝mx 2－mx －1＝(x 2－x )m －1，其图象是直线，当m ∈[1,2]时，图象为一条线段，则Error!即Error!解得<x <，1－321＋32故x 的取值范围为.(1－32，1＋32)思维升华解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．跟踪训练3 函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求实数a 的取值范围；(2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求实数a 的取值范围；(3)当a ∈[4,6]时，f (x )≥0恒成立，求实数x 的取值范围．解　(1)∵当x ∈R 时，x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，即－6≤a ≤2，∴实数a 的取值范围是[－6,2]．(2)当x∈[－2,2]时，设g(x)＝x2＋ax＋3－a≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)：①如图①，当g(x)的图象与x轴不超过1个交点时，有Δ＝a2－4(3－a)≤0，即－6≤a≤2.②如图②，g(x)的图象与x轴有2个交点，但当x∈[－2，＋∞)时，g(x)≥0，即Error!　即Error!可得Error!　解得a∈∅.③如图③，g(x)的图象与x轴有2个交点，但当x∈(－∞，2]时，g(x)≥0.即Error!　即Error!可得Error!　∴－7≤a<－6，综上，实数a的取值范围是[－7,2]．(3)令h(a)＝xa＋x2＋3.当a∈[4,6]时，h(a)≥0恒成立．只需Error!即Error!66解得x≤－3－或x≥－3＋.∴实数x的取值范围是66(－∞，－3－]∪[－3＋，＋∞)．1．已知集合A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |(x ＋1)(x －5)<0}，则A ∩B ＝________.答案　[0,5)解析　由题意得B ＝{x |－1<x <5}，故A ∩B ＝{x |x ≥0}∩{x |－1<x <5}＝[0,5)．2．若不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a >0的解集为________．答案　Error!解析　∵不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，∴ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－1,2，且a <0，即Error!解得Error!则所求不等式可化为2x 2＋x －1>0，解得x <－1或x >.123．(2018·江苏省南京市秦淮中学模拟)不等式≥1的解集为________．1－2x x ＋3答案　(－3，－23]解析　不等式≥1⇔≤0⇔(3x ＋2)(x ＋3)≤0且x ≠－3⇔－3<x ≤－，即不等式的1－2x x ＋33x ＋2x ＋323解集为.(－3，－23]4．若存在实数x ∈[2,4]，使x 2－2x ＋5－m <0成立，则m 的取值范围为________．答案　(5，＋∞)解析　m >x 2－2x ＋5，设f (x )＝x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4，x ∈[2,4]，当x ＝2时f (x )min ＝5，∃x ∈[2,4]使x 2－2x ＋5－m <0成立，即m >f (x )min ，∴m >5.5．已知x 2＋px ＋q <0的解集为Error!，则不等式qx 2＋px ＋1>0的解集为________．解析　∵x 2＋px ＋q <0的解集为Error!，∴－，是方程x 2＋px ＋q ＝0的两实数根，1213则Error!解得Error!∴不等式qx 2＋px ＋1>0可化为－x 2＋x ＋1>0，1616即x 2－x －6<0，解得－2<x <3，∴不等式qx 2＋px ＋1>0的解集为{x |－2<x <3}．6．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品售价每提高1元，销售量就会减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，售价每件应定为________元．(填符合要求的区间)答案　(12,16)解析　设售价定为每件x 元，利润为y ，则y ＝(x －8)[100－10(x －10)]，依题意有(x －8)[100－10(x －10)]>320，即x 2－28x ＋192<0，解得12<x <16，所以每件售价应定为12元到16元之间．7．不等式x 2－2ax －3a 2<0(a >0)的解集为________．答案　{x |－a <x <3a }解析　x 2－2ax －3a 2<0⇔(x －3a )(x ＋a )<0，∵a >0，∴－a <3a ，不等式的解集为{x |－a <x <3a }．8．已知函数f (x )＝Error!则不等式f (f (x ))≤3的解集为________．解析　当x ＝0时，f (f (x ))＝f (0)＝0≤3，当x >0时，f (f (x ))＝f (－x 2)＝(－x 2)2－2x 2≤3，即(x 2－3)(x 2＋1)≤0，解得0<x ≤；3当－2<x <0时，f (f (x ))＝f (x 2＋2x )＝(x 2＋2x )2＋2(x 2＋2x )≤3，即(x 2＋2x －1)(x 2＋2x ＋3)≤0，即－2<x <0；当x ≤－2时，f (f (x ))＝f (x 2＋2x )＝－(x 2＋2x )2≤3，解得x ≤－2.综上，不等式的解集为{x |x ≤}．39．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为{x |m <x <m ＋6}，则实数c 的值为________．答案　9解析　由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b＝2＋b －.(x ＋a 2)a 24∵f (x )的值域为[0，＋∞)，∴b －＝0，即b ＝，a 24a 24∴f (x )＝2.(x ＋a 2)∵f (x )<c ，∴2<c ，即－－<x <－＋.(x ＋a 2)a 2c a 2c ∴Error!②－①得，2＝6，∴c ＝9.c 10．若不等式x 2＋ax ＋4≥0对一切x ∈(0,1]恒成立，则a 的取值范围为________．答案　[－5，＋∞)(x＋4x)解析　由题意，分离参数后得，a≥－.(x＋4x)设f(x)＝－，x∈(0,1]，则只要a≥[f(x)]max即可．由于函数f(x)在区间(0,1]上单调递增，所以[f(x)]max＝f(1)＝－5，故a≥－5.11．已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.(1)解关于a的不等式f(1)>0；(2)若不等式f(x)>b的解集为(－1,3)，求实数a，b的值．解　(1)∵f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6，∴f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3>0，33即a2－6a－3<0，解得3－2<a<3＋2.33∴原不等式的解集为{a|3－2<a<3＋2}．(2)∵f(x)>b的解集为(－1,3)，∴方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1,3，∴Error!解得Error!12．已知f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集是(0,5)．(1)求f(x)的解析式；(2)若对于任意的x∈[－1,1]，不等式f(x)＋t≤2恒成立，求t的取值范围．解　(1)f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集是(0,5)，即2x2＋bx＋c<0的解集是(0,5)，∴0和5是方程2x 2＋bx ＋c ＝0的两个根，则Error!∴b ＝－10，c ＝0，f (x )＝2x 2－10x .(2)当x ∈[－1,1]时，f (x )＋t ≤2恒成立等价于2x 2－10x ＋t －2≤0恒成立，∴2x 2－10x ＋t －2在x ∈[－1,1]上的最大值小于或等于0.设g (x )＝2x 2－10x ＋t －2，x ∈[－1,1]，则由二次函数的图象(图略)可知g (x )＝2x 2－10x ＋t －2在区间[－1,1]上为减函数，∴g (x )max ＝g (－1)＝10＋t ，∴10＋t ≤0，即t ≤－10.即实数t 的取值范围是(－∞，－10]．13．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是________．答案　(－235，＋∞)解析　方法一　设f (x )＝x 2＋ax －2，由Δ＝a 2＋8>0知方程恒有两个不等实根，又因为f (0)＝－2<0，所以方程必有一正根，一负根，函数f (x )图象的示意图如图．所以不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)>0，解得a >－.235方法二　因为不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，所以a >－x 在区间[1,5]上有解，2x因为函数y ＝和y ＝－x 在区间[1,5]上单调递减，2x所以－x ∈，所以a >－.2x [－235，1]23514．(2018·苏北三市模拟)已知对于任意的x ∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x 2－2(a －2)x ＋a >0，则实数a 的取值范围是________．答案　(1,5]解析　设f (x )＝x 2－2(a －2)x ＋a ，当Δ＝4(a －2)2－4a <0，即1<a <4 时，f (x )>0 对x ∈R 恒成立；当a ＝1时，f (－1)＝0，不合题意；当a ＝4时，f (2)＝0 符合题意；当Δ>0 时，由Error!即Error!即4<a ≤5.综上所述，实数a 的取值范围是(1,5]．15．在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中至多包含1个整数，则a 的取值范围是_____．答案　[－1,3]解析因为关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0可化为(x －1)(x －a )<0，当a >1时，不等式的解集为{x |1<x <a }，当a <1时，不等式的解集为{x |a <x <1}，当a ＝1时，不等式的解集为∅，要使得解集中至多包含1个整数，则a ＝1或1<a ≤3或－1≤a <1，所以实数a 的取值范围是a ∈[－1,3]．16．设a <0，(4x 2＋a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立，求b －a 的最大值．解　当a <b <0时，∀x ∈(a ，b )，2x ＋b <0，所以(4x 2＋a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立，可转化为∀x ∈(a ，b )，a ≤－4x 2，所以a ≤－4a 2，所以－≤a <0，14所以0<b －a <；14当a <0<b 时，(4x 2＋a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立，当x ＝0时，(4x 2＋a )(2x ＋b )＝ab <0，不符合题意；当a <0＝b 时，由题意知x ∈(a,0)，(4x 2＋a )2x ≥0恒成立，所以4x 2＋a ≤0，所以－≤a <0，14所以0<b －a ≤.14综上所述，b －a 的最大值为.14。

2020高考江苏数学(理)大一轮复习：册答案PDF

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2020版高考数学（理）大一轮复习：全册精品学案（含答案）

2020版高考数学（理）大一轮复习：全册精品学案（含答案）第1讲集合1.元素与集合(1)集合元素的性质:、、无序性.(2)集合与元素的关系:①属于,记为;②不属于,记为.(3)集合的表示方法:列举法、和.(4)常见数集及记法数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号2.集合间的基本关系文字语言符号语言记法基本关系子集集合A中的都是集合B中的元素x∈A?x∈BA?B或集合A是集合B的子集,但集合B中有一个元素不属于AA?B,?x0∈B,x0?AAB或B?A 相等集合A,B的元素完全A?B,B?A空集任何元素的集合,空集是任何集合的子集x,x?,A3.集合的基本运算表示运算文字语言符号语言图形语言记法交集属于 A属于B的元素组成的集合{x|x∈A,x∈B}并集属于A属于B的元素组成的集合{x|x∈A,x∈B}补集全集U中属于A的元素组成的集合{x|x∈U,xA}4.集合的运算性质(1)并集的性质:A∪?=A;A∪A=A;A∪B= ;A∪B= ?B?A.(2)交集的性质:A∩?=?;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A?A B.(3)补集的性质:A∪(?U A)=U;A∩(?U A)= ;U(?U A)= ;?U(A∪B)=(?U A)(?U B);?U(A∩B)= ∪.常用结论(1)非常规性表示常用数集:如{x|x=2(n-1),n∈Z}为偶数集,{x|x=4n±1,n∈Z}为奇数集等.(2)①一个集合的真子集必是其子集,一个集合的子集不一定是其真子集;②任何一个集合是它本身的子集;③对于集合A,B,C,若A?B,B?C,则A?C(真子集也满足);④若A?B,则有A=?和A≠?两种可能.(3)集合子集的个数:集合A中有n个元素,则集合A有2n个子集、2n-1个真子集、2n-1个非空子集、2n-2个非空真子集.集合元素个数:card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)(常用在实际问题中).题组一常识题1.[教材改编]已知集合A={0,1,x2-5x},若-4∈A,则实数x的值为.2.[教材改编]已知集合A={a,b},若A∪B={a,b,c},则满足条件的集合B有个.3.[教材改编]设全集U=R,集合A={x|0≤x≤2},B={y|1≤y≤3},则(?UA)∪B= .4.[教材改编]已知集合A={-1,1},B={a,a2+2}.若A∩B={1},则实数a 的值为.题组二常错题◆索引:忽视集合元素的性质致错;对集合的表示方法理解不到位致错;忘记空集的情况导致出错;忽视集合运算中端点取值致错.5.已知集合A={1,3,},B={1,m},若B?A,则m= .6.已知x∈N,y∈N,M={(x,y)|x+y≤2},N={(x,y)|x-y≥0},则M∩N中元素的个数是.7.已知集合M={x|x-a=0},N={x|ax-1=0},若M∩N=N,则实数a的值是.8.设集合A={x||x-a|<1,x∈R},B={x|1<x<5,x∈r},若a?b,则a的取值范围为.< p="">探究点一集合的含义与表示例1 (1)[2018·全国卷Ⅱ]已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为()A.9B.8C.5D.4(2)设集合A={-4,2a-1,a2},B={9,a-5,1-a},且集合A,B中有唯一的公共元素9,则实数a的值为.[总结反思] 解决集合含义问题的关键有三点:一是确定构成集合的元素;二是确定元素的限制条件;三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题.特别提醒:含字母的集合问题,在求出字母的值后,需要验证集合的元素是否满足互异性.变式题 (1)已知集合A={x|x=3k-1,k∈Z},则下列表示正确的是()A.-1?AB.-11∈AC.3k2-1∈AD.-34?A(2)[2018·上海黄浦区二模]已知集合A={1,2,3},B={1,m},若3-m∈A,则非零实数m的值是.探究点二集合间的基本关系例2 (1)[2018·武汉4月调研]已知集合M={x|x2=1},N={x|ax=1},若N?M,则实数a的取值集合为()A.{1}B.{-1,1}C.{1,0}D.{1,-1,0}(2)设集合M={x|x=5-4a+a2,a∈R},N={y|y=4b2+4b+2,b∈R},则下列关系中正确的是()A.M=NB.M?NC.N?MD.M∈N[总结反思] (1)一般利用数轴法、Venn图法以及结构法判断两集合间的关系,如果集合中含有参数,需要对式子进行变形,有时需要进一步对参数分类讨论.(2)确定非空集合A的子集的个数,需先确定集合A中的元素的个数.特别提醒:不能忽略任何非空集合是它自身的子集.(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素满足的式子或区间端点间的关系,常用数轴法、Venn图法.变式题(1)设x,y∈R,集合A={(x,y)|y=x},B=(x,y)=1,则集合A,B间的关系为() A.A?B B.B?AC.A=BD.A∩B=?(2)已知集合M={x|x≤1},N={x|a≤x≤3a+1},若M∩N=?,则a的取值范围是.探究点三集合的基本运算角度1集合的运算例3 (1)[2018·长沙周南中学月考]已知集合A={x|x<1},B={x|e x<1},则()A.A∩B={x|x<1}B.A∪B={x|x<e}< p="">C.A∪(?R B)=RD.(?R A)∩B={x|0<x<1}< p="">(2)[2018·山西大学附中5月调研]已知集合A={x|2x≤1},B={x|ln x<1},则A∪B=()A.{x|x<e}< p="">B.{x|0≤x≤e}C.{x|x≤e}D.{x|x>e}[总结反思] 对于已知集合的运算,可根据集合的交集和并集的定义直接求解,必要时可结合数轴以及Venn图求解.角度2利用集合运算求参数例4 (1)已知集合A={x∈Z|x2-4x-5<0},B={x|4x>2m},若A∩B中有三个元素,则实数m的取值范围是()A.[3,6)B.[1,2)C.[2,4)D.(2,4](2)设全集U=R,集合A={x|x>1},集合B={x|x>p},若(?U A)∩B=?,则p应该满足的条件是()A.p>1B.p≥1C.p<1D.p≤1[总结反思] 根据集合运算求参数,要把集合语言转换为方程或不等式,然后解方程或不等式,再利用数形结合法求解.角度3集合语言的运用例5 (1)已知集合S={0,1,2,3,4,5},A是S的一个子集,当x∈A时,若有x-1?A且x+1?A,则称x为A的一个“孤立元素”,那么S的无“孤立元素”的非空子集的个数为 ()A.16B.17C.18D.20(2)对于a,b∈N,规定a*b=与的奇偶性相同与的奇偶性不同集合M={(a,b)|a*b=36,a,b∈N*},则M中的元素个数为.[总结反思] 解决集合新定义问题的关键是:(1)准确转化:解决新定义问题时,一定要读懂新定义的本质含义,紧扣题目所给定义,结合题目的要求进行恰当转化,切忌同已有概念或定义相混淆.(2)方法选取:对于新定义问题,可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法,并结合集合的相关性质求解.第1讲集合考试说明 1.集合的含义与表示:(1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系;(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.</e}<></x<1}<></e}<></x<5,x∈r},若a?b,则a的取值范围为.<>。

2020江苏高考数学(理)(提高版)大一轮复习课件：第7章第37课数列的概念及等差数列

等差数列的基本量运算
(1) 已知等差数列{an}中的前三项和为12，且2a1，a2，a3＋1依次成等比数列，求数列{an}的公差．
【思维引导】对于(1)，可先求得a2的值，设公差为d，构造关于d的方程，然后求之．
【解答】设等差数列{an}的公差为d，由数列的前三项和为12，得3a2＝12，所以 a2＝4.
(a1＋2d)2＋(a1＋3d)2，即 8a1d＋12d2＝0.因为 d≠0，所以 a1＝－32d.又由 S5＝5a3＝5，
得 a3＝1，所以 a1＋2d＝1，解得 a1＝－3，d＝2，所以 an＝a1＋(n－1)d＝2n－5，故
a7＝2×7－5＝9. 方法二：因为a21＋a22＝a23＋a24，所以a22－a23＝a24－a21，即(a2－a3)·(a2＋a3)＝(a4－
已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足log2(1＋Sn)＝n＋1，求数列{an}的通
项公式．【解答】由log2(1＋Sn)＝n＋1，得Sn＝2n＋1－1. 当n＝1时，a1＝S1＝3；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1－1)－(2n－1)＝2n. 因为a1＝3不满足an＝2n，
所以an＝32，n，nn＝≥12，.
11，即2a5＝11，a5＝121，从而3a3＋a11＝3(a1＋2d)＋a1＋10d＝4(a1＋4d)＝4a5＝22. 2. 在等差数列{an}中，若an＋an＋2＝4n＋6(n∈N*)，则该数列的通项公式为an＝
_2__n_＋___1_. 【解析】方法一：在等差数列中，由 an＋an＋2＝4n＋6，得 an＋1＝2n＋3，从而 an＝
成为等比数列{an}中的a3，a4，a5.
(1) 求数列{an}的通项公式；
【解答】设成等差数列的三个正数分别为 a－d，a，a＋d，则(a－d)＋a＋(a＋d)＝

2020高考江苏数学(理)大一轮复习(理科提高版)复习练习题：练习册第六章平面向量与复数

第六章平面向量与复数第32课平面向量的概念与线性运算A. 课时精练一、填空题1. 如图，在正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AD →＝λAC →＋μAE →，则λ－μ的值为________．(第1题)2. 如图，在平行四边形ABCD 中，M 为BC 的中点，若AB →＝λAM →＋μDB →，则λμ＝________．(第2题)3. 如图，在平行四边形ABCD 中，M 为线段DC 的中点，AM 交BD 于点Q ，若AQ →＝λAD →＋μAC →，则λ＋μ＝________．(第3题)4. 如图，平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点O ，点E ，F 分别在边AB ，AD 上，AE ＝57AB ，AF ＝14AD ，直线EF 交AC 于点K ，且AK →＝λAO →，则λ＝________．(第4题)5. 在△ABC 中，若点D 满足BC →＝3BD →，则AD →用向量AB →，AC →表示为________________．6. 若G 是△ABC 的重心，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且aGA →＋bGB →＋33cGC →＝0，则角A ＝________．7. (2018·郑州一检)如图，在△ABC 中，若N 为线段AC 上靠近A 点的三等分点，点P 在BN 上且AP →＝⎝⎛⎭⎫m ＋211AB →＋211BC →，则实数m 的值为________．(第7题)8. 在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝2，P 为矩形内部(不包括边界)一点，且AP ＝1，若AP →＝xAB →＋yAD →，则3x ＋2y 的取值范围是________．二、解答题9. 如图，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE →＝23AD →，AB →＝a ，AC →＝b .(1) 用a ，b 表示向量AD →，AE →，AF →，BE →，BF →； (2) 求证：B ，E ，F 三点共线．(第9题)10. 平面内有一个△ABC 和一点O ，线段OA ，OB ，OC 的中点分别为E ，F ，G ，线段BC ，CA ，AB 的中点分别为L ，M ，N ，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC ＝c .(1) 试用a ，b ，c 表示向量EL →，FM →，GN →；(2) 求证：线段EL ，FM ，GN 交于一点且互相平分．11. 在△ABC 中，过中线AD 的中点E 任作一直线分别交边AB ，AC 于M ，N 两点，设AM →＝xAB →，AN →＝yAC →(xy ≠0)，求4x ＋y 的最小值．B. 滚动小练1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a2＋b2＝2c2，则cos C的最小值为________．2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c＝2，b＝23，C＝30°，则角B＝________．3.如图，已知A，B，C，D四点共面，且CD＝1，BC＝2，AB＝4，∠ABC＝120°，cos∠BDC＝277.(1) 求sin∠DBC的值；(2) 求AD的长．(第3题)第33课平面向量的基本定理及坐标表示A. 课时精练一、填空题1. 已知向量AB →＝(m ，n)，BD →＝(2，1)，AD →＝(3，8)，那么mn ＝________． 2. 已知平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，－4)，那么2a ＋3b ＝________．3. 如图，在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC →＝λAM →＋μBD →，则λ＋μ＝________．(第3题)4. (2018·邯郸一模)在平行四边形ABCD 中，若AB →＝λAC →＋μDB →，则λ＋μ＝________．5. 如图所示的5个全等小正方形，若BD →＝xAE →＋yAF →，则x ＋y 的值是________．(第5题)6. 如图，在△ABC 中，D 是AB 边上的点，且满足AD ＝3BD ，若CA →＝a ，CD →＝b ，则向量CB →可用a ，b 表示为__________________________．(第6题)7. 如图，已知四边形ABCD 是正方形，延长CD 至点E ，使得DE ＝CD ，若P 为CD 的中点，且AP →＝λAB →＋μAE →，则λ＋μ＝________．(第7题)8. (2018·安庆二模)在△ABC 中，D 是边BC 上任意一点，M 是线段AD 的中点，若存在实数λ和μ，使得BM →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝________．二、解答题9. 平面上有A(2，－1)，B(1，4)，D(4，－3)三点，点C 在直线AB 上，且AC →＝12BC →，连接DC 延长至点E ，使得|CE →|＝14|ED →|，求点E 的坐标．10. 已知点A(－1，－2)，向量AB →＝(4，3)，AD →＝(－3，－1)． (1) 求线段BD 的中点M 的坐标；(2) 若点P(2，y)满足PB →＝λBD →(λ∈R )，求y 和λ的值．11. 已知线段PQ 过△OAB 的重心G ，且P ，Q 分别在OA ，OB 上，设OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →＝n b ，求证：1m ＋1n＝3.B. 滚动小练1. 已知p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的负根；q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数m 的取值范围．2. (2017·苏州中学)已知函数f(x)＝(3sin ωx ＋cos ωx)·cos ωx －12，其中ω>0，它的最小正周期为4π.(1) 求函数f(x)的单调增区间；(2) 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且(2a －c)cos B ＝b cos C ，求函数f(A)的值域．第34课平面向量的平行与垂直A. 课时精练一、填空题1. (2018·济南一模)已知向量a ＝(1，1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与3a －b 平行，则实数x 的值是________．2. 已知向量a ＝(2，1)，b ＝(3，4)，c ＝(k ，2)．若(3a －b )∥c ，则实数k 的值为________．3. 已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，1)，若向量a －λb 与向量c ＝(5，－2)共线，则λ的值为________．4. 已知a ＝(2，m )，b ＝(1，－2)，若a ∥(a ＋2b )，则实数m 的值是________．5. 若非零向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且(a ＋b )⊥(3a －b )，则a 与b 的夹角θ的余弦值为________．6. 已知向量a 与b 的夹角为2π3，|a |＝2，|b |＝3，若m ＝3a －2b ，n ＝2a ＋k b ，且m ⊥n ，则实数k 的值为________．7. 已知△ABC 的顶点分别为A(2，1)，B(3，2)，C(－3，－1)，BC 边上的高为AD ，那么点D 的坐标为________．8. 在△ABC 中，AE →＝13AB →，AF →＝23AC →.设BF ，CE 交于点P ，且EP →＝λEC →，FP →＝μFB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________．二、解答题9. 已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6，3，b ＝(1，4cos α)，α∈(0，π)． (1) 若a ⊥b ，求tan α的值； (2) 若a ∥b ，求α的值．10. (2018·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)在平面直角坐标系xOy 中，设向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(－sin β，cos β)，c ＝⎝⎛⎭⎫－12，32.(1) 若|a ＋b |＝|c |，求sin(α－β)的值；(2) 设α＝5π6，0<β<π，且a ∥(b ＋c )，求β的值．11. 已知a ＝(3，－1)，a ·b ＝－5，c ＝x a ＋(1－x )b . (1) 若a ⊥c ，求实数x 的值； (2) 若|b |＝5，求|c |的最小值．B. 滚动小练1. 已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x ∈R . (1) 若点P ⎝⎛⎭⎫35，45是角α终边上一点，求f (α)的值； (2) 设函数g (x )＝f (x )＋sin x ，求函数g (x )的单调增区间．2. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且8sin 2B ＋C2－2cos 2A ＝7. (1) 求角A 的大小；(2) 若a ＝3，b ＋c ＝3，求b 和c 的值．第35课平面向量的数量积A. 课时精练一、填空题1. 已知两个平面向量a ，b 满足|a |＝1，|a －2b |＝21，且a 与b 的夹角为120°，那么|b |＝________．2. (2017·天津卷)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2.若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________．3. 在△ABC 中，若AB →·BC →＝0，|AB →|＝2，|BC →|＝23，D 为AC 的中点，则BD →·DA →＝________．4. 若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(3a －2b )·a ＝0，则a 与b 的夹角为________．5. (2018·南通模拟)在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝4，AD ＝3，∠BAD ＝60°，点E ，F 分别满足AE →＝2ED →，DF →＝FC →，那么AF →·BE →的值为________．6. (2018·天津卷)如图，已知OM ＝1，ON ＝2，∠MON ＝120°，BM →＝2MA →，CN →＝2NA →，那么BC →·OM →的值为________．(第6题)7. (2018·南京学情调研)在△ABC 中，已知AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120°，BM →＝λBC →.若AM →·BC →＝－173，则实数λ的值为________．8. (2018·南通、泰州一调)如图，已知矩形ABCD 的边AB ＝2，AD ＝1.点P ，Q 分别在边BC ，CD 上，且∠PAQ ＝45°，那么AP →·AQ →的最小值为________．(第8题)二、解答题9. 在△OAB 中，P 为线段AB 上一点，且OP →＝xOA →＋yOB →. (1) 若AP →＝PB →，求x ，y 的值；(2) 若AP →＝3PB →，|OA →|＝4，|OB →|＝2，且OA →与OB →的夹角为60°，求OP →·AB →的值．10. (2018·苏锡常镇调研(一))已知向量a ＝(2sin α，1)，b ＝⎝⎛⎭⎫1，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4. (1) 若角α的终边过点(3，4)，求a ·b 的值； (2) 若a ∥b ，求锐角α的大小．11. 设△ABC 是边长为1的正三角形，点P 1，P 2，P 3四等分线段BC ，如图所示． (1) 求AB →·AP 1→＋AP 1→·AP 2→的值；(2) Q 为线段AP 1上一点，若AQ →＝mAB →＋112AC →，求实数m 的值；(3) 若P 为边BC 上一动点，当PA →·PC →取最小值时，求cos ∠PAB 的值．(第11题)B. 滚动小练1. 已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若(a ＋b －c)(a ＋b ＋c)＝ab ，则角C ＝________．2. 函数f(x)＝11－x （1－x ）的最大值是________．3. 已知函数f(x)＝23sin 2x ＋2sin x cos x －3，x ∈⎣⎡⎦⎤π3，11π24. (1) 求函数f(x)的值域；(2) 已知锐角三角形ABC 的两边长分别为函数f(x)的最大值与最小值，且△ABC 外接圆的半径为324，求△ABC的面积．第36课复数A. 课时精练一、填空题1. (2018·镇江期末)若复数z满足3＋4iz＝5i，其中i为虚数单位，则|z|＝________．2. (2018·苏北四市期末)已知复数z＝2＋i2－i(i为虚数单位)，那么|z|＝________．3. (2018·常州期末)若复数z满足z·2i＝|z|2＋1(其中i为虚数单位)，则|z|＝________．4. (2018·扬州期末)若复数(a－2i)(1＋3i)(i是虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为________．5. (2017·北京卷)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是________．6. (2018·安庆二模)已知复数z满足(2＋i)z＝1－i，其中i是虚数单位，那么z的共轭复数为________．7. (2018·太原二模)若复数a－i2＋i(i为虚数单位)的实部与虚部相等，则实数a的值为________．8. 若复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝________．二、解答题9. 已知复数z ＝a 2－7a ＋6a ＋1＋(a 2－5a －6)i (其中a ∈R )，试求实数a 的取值，使得z 分别为： (1) 实数；(2) 虚数；(3) 纯虚数．10. 已知复数z 1＝sin 2x ＋i ·cos 2x ，z 2＝sin 2x ＋i ·cos x.在复平面上，复数z 1，z 2能否表示同一个点？若能，指出该点表示的复数；若不能，请说明理由．11. 已知复数z 的共轭复数是z ，且z ＋|（2＋i ）2（3＋i ）|z＝3(2＋i )，求复数z.B. 滚动小练1. 已知点P(－1，2)，线段PQ 的中点M 的坐标(1，－1)．若向量PQ →与向量a ＝(λ，1)共线，则λ＝________．2. 如图，在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，那么BC 的长为________．(第2题)3. (2017·如东、丰县联考)已知函数f(x)＝1x＋a ln x ，a ∈R .(1) 求函数f (x )的单调减区间；(2) 当x ∈⎣⎡⎦⎤12，1时，函数f (x )的最小值是0，求实数a 的值．。

2020版高考数学新增分大一轮江苏专用讲义+习题：第七章不等式、推理与证明、数学归纳法 7.5含解析

§7.5　合情推理与演绎推理考情考向分析　以理解类比推理、归纳推理和演绎推理的推理方法为主，常以演绎推理的方法根据几个人的不同说法作出推理判断进行命题．注重培养学生的推理能力；在高考中以填空题的形式进行考查，属于中低档题．1．合情推理(1)归纳推理①定义：从个别事实中推演出一般性的结论，称为归纳推理(简称归纳法)．②特点：归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理①定义：根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理(简称类比法)．②特点：类比推理是由特殊到特殊的推理．(3)合情推理合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程．归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理．2．演绎推理(1)演绎推理由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——一般性的原理；②小前提——特殊对象；③结论——揭示了一般原理与特殊对象的内在联系．概念方法微思考1．合情推理所得结论一定是正确的吗？提示　合情推理所得结论是猜想，不一定正确，用演绎推理能够证明的猜想是正确的，否则不正确．2．合情推理对我们学习数学有什么帮助？提示　合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论，证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．3．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括大前提，小前提，结论，在用其进行推理时，大前提是否可以省略？提示　大前提是已知的一般原理，当已知问题背景很清楚的时候，大前提可以省略．题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．(　√　)(2)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(　×　)(3)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．(　√　)(4)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是a n＝n(n∈N*)．(　×　)(5)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．(　×　)题组二　教材改编2．[P64例1]已知在数列{a n}中，a1＝1，当n≥2时，a n＝a n－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想a n的表达式是________．答案　a n＝n2解析　a2＝a1＋3＝4，a3＝a2＋5＝9，a4＝a3＋7＝16，a1＝12，a2＝22，a3＝32，a4＝42，猜想a n＝n2.3．[P68T4]在等差数列{a n}中，若a10＝0，则有a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19－n (n<19，n∈N*)成立，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b9＝1，则存在的等式为________________．答案　b1b2…b n＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N*)解析　利用类比推理，借助等比数列的性质，29b＝b1＋n·b17－n，可知存在的等式为b1b2…b n＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N*)．题组三　易错自纠4．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理错误的原因是________．答案　小前提错误解析　f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提错误．5．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论：①垂直于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③垂直于同一个平面的两个平面互相平行；④垂直于同一条直线的两个平面互相平行．则正确的结论是________．(填序号)答案　①④解析　显然①④正确；对于②，在空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行，也可以异面或相交；对于③，在空间中垂直于同一个平面的两个平面可以平行，也可以相交．(1＋x)(1＋x)6．观察下列关系式：1＋x＝1＋x；2≥1＋2x，3≥1＋3x，……，由此规律，得到的第n个关系式为________．答案　(1＋x )n ≥1＋nx解析　左边为等比数列，右边为等差数列，所以第n 个关系式为(1＋x )n ≥1＋nx (n ∈N *)．题型一　归纳推理命题点1　与数式有关的的推理例1 (1)《周易》历来被人们视为儒家经典之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映了中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当做数字“1”，把阴爻“”当做数字“0”，则八卦代表的数表示如下：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤0000震0011坎0102兑0113以此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是________．答案　17解析　由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符号 “”表示二进制数的010001，转化为十进制数的计算为1×20＋0×21＋0×22＋0×23＋1×24＋0×25＝17.(2)观察下列式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，…，根据以上式子可以猜想：1＋122321221325312213214274＋＋…＋<________.12213212 0192解析　由题意得，不等式右边分数的分母是左边最后一个分数的分母的底数，所以猜想的分母是2 019，分子组成了一个以3为首项，2为公差的等差数列，所以a 2 018＝3＋(2 018－1)×2＝4 037.命题点2　与图形变化有关的推理例2 分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科．其中，把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形．分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程．标准的自相似分形是数学上的抽象，迭代生成无限精细的结构．也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已，谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，按照如下规律依次在一个黑色三角形内去掉小三角形，则当n ＝6时，该黑色三角形内去掉小三角形个数为________．答案　364解析　由图可知，每一个图形中小三角形的个数等于前一个图形小三角形个数的3倍加1，所以，n ＝1时，a 1＝1；n ＝2时，a 2＝3＋1＝4；n ＝3时，a 3＝3×4＋1＝13；n ＝4时，a 4＝3×13＋1＝40；n ＝5时，a 5＝3×40＋1＝121；n ＝6时，a 6＝3×121＋1＝364.思维升华归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解．(2)与式子有关的推理．观察每个式子的特点，注意是纵向看，找到规律后可解．(3)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．跟踪训练1 某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为________．答案　55解析　由2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3知，从第三项起，每一项都等于前两项的和，则第6年为8，第7年为13，第8年为21，第9年为34，第10年为55.题型二　类比推理例3 (1)已知{a n }为等差数列，a 1 010＝5，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 019＝5×2 019.若{b n }为等比数列，b 1010＝5，则{b n }类似的结论是________________．答案　b 1b 2b 3…b 2 019＝52 019解析　在等差数列{a n }中，令S ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 019，则S ＝a 2 019＋a 2 018＋a 2 017＋…＋a 1，∴2S ＝(a 1＋a 2 019)＋(a 2＋a 2 018)＋(a 3＋a 2 017)＋…＋(a 2 019＋a 1)＝2 019(a 1＋a 2 019)＝2 019×2a 1 010＝10×2 019，∴S ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 019＝5×2 019.在等比数列{b n }中，令T ＝b 1b 2b 3…b 2 019，则T ＝b 2 019b 2 018b 2 017…b 1，∴T 2＝(b 1b 2 019)(b 2b 2 018)(b 3b 2 017)…(b 2 019b 1)＝(b )2 019，21 010∴T ＝b 1b 2b 3…b 2 019＝(b 1 010)2 019＝52 019.(2)祖暅是我国古代的伟大科学家，他在5世纪末提出祖暅：“幂势即同，则积不容异”，意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等．祖暅原理常用来由已知几何体的体积推导未知几何体的体积，例如由圆锥和圆柱的体积推导半球体的体积，其示意图如图所示，其中图(1)是一个半径为R 的半球体，图(2)是从圆柱中挖去一个圆锥所得到的几何体．(圆柱和圆锥的底面半径和高均为R )利用类似的方法，可以计算抛物体的体积：在xOy 坐标系中，设抛物线C 的方程为y ＝1－x 2(－1≤x ≤1)，将曲线C 围绕y 轴旋转，得到的旋转体称为抛物体．利用祖暅原理可计算得该抛物体的体积为________．答案　π2解析　构造如图所示的直三棱柱，高设为x ，底面两个直角边长为2,1，由底面积相等得到，2x ＝π×12，x ＝.π2下面说明截面面积相等，设截面距底面为t ，矩形截面长为a ，圆形截面半径为r ，由左图得到，＝，∴a ＝2(1－t )，a 21－t1∴截面面积为2(1－t )×＝(1－t )π，π2由右图得到，t ＝1－r 2(坐标系中(图略)易得)，∴r 2＝1－t ，∴截面面积为(1－t )π，∴二者截面面积相等，∴体积相等．∴抛物体的体积为V 三棱柱＝Sh ＝×2×1×＝.12π2π2思维升华类比推理常见的情形有：平面与空间类比；低维与高维类比；等差与等比数列类比；运算类比(加与乘，乘与乘方，减与除，除与开方)．数的运算与向量运算类比；圆锥曲线间的类比等．跟踪训练2 在平面上，设h a ，h b ，h c 是△ABC 三条边上的高，P 为三角形内任一点，P 到相应三边的距离分别为P a ，P b ，P c ，我们可以得到结论：＋＋＝1.把它类比到空间中，P a h a P b h b P ch c 则三棱锥中的类似结论为____________________．答案　＋＋＋＝1P a h a P b h b P c h c P dhd 解析　设h a ，h b ，h c ，h d 分别是三棱锥A －BCD 四个面上的高，P 为三棱锥A －BCD 内任一点，P 到相应四个面的距离分别为P a ，P b ，P c ，P d ，于是可以得出结论：＋＋＋＝1.P a h a P b h b P c h c P dh d 题型三　演绎推理例4 设同时满足条件：①≤b n ＋1(n ∈N *)；b n ＋b n ＋22②b n ≤M (n ∈N *，M 是与n 无关的常数)的无穷数列{b n }叫“特界”数列．(1)若数列{a n }为等差数列，S n 是其前n 项和，a 3＝4，S 3＝18，求S n ；(2)判断(1)中的数列{S n }是否为“特界”数列，并说明理由．解　(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1＋2d ＝4,3a 1＋3d ＝18，解得a 1＝8，d ＝－2，S n ＝na 1＋d ＝－n 2＋9n .n (n －1)2(2){S n }为“特界”数列．理由如下：由－S n ＋1＝S n ＋S n ＋22(S n ＋2－S n ＋1)－(S n ＋1－S n )2＝＝＝－1<0，a n ＋2－a n ＋12d 2得<S n ＋1，S n ＋S n ＋22故数列{S n }满足条件①；而S n ＝－n 2＋9n ＝－2＋(n ∈N *)，(n －92)814则当n ＝4或5时，S n 有最大值20，即S n ≤20，故数列{S n }满足条件②.综上，数列{S n }是“特界”数列．思维升华演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题，应当首先明确什么是大前提和小前提，若前提是显然的，则可以省略．跟踪训练3 某市为了缓解交通压力，实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末(周六和周日)不限行．某公司有A ，B ，C ，D ，E 五辆车，保证每天至少有四辆车可以上路行驶．已知E 车周四限行，B 车昨天限行，从今天算起，A ，C 两车连续四天都能上路行驶，E 车明天可以上路，由此可知今天是星期________．答案　四解析　因为每天至少有四辆车可以上路行驶，E 车明天可以上路，E 车周四限行，所以今天不是周三；因为B 车昨天限行，所以今天不是周一，不是周五，也不是周日；因为A ，C 两车连续四天都能上路行驶，所以今天不是周二和周六，所以今天是周四．1．观察下列各式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，可以得出的一般结论是____________________．答案　n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2解析　由题中式子可以归纳：等式左边为连续自然数的和，有2n －1项，且第一项为n ，则最后一项为3n －2，等式右边均为2n －1的平方．2．观察下列三角形数阵：1　1315 1719111 113115117119……按照以上排列的规律，第16行从左到右的第2个数为________．答案　1243解析　前15行共有＝120(个)数，15×(15＋1)2所以第16行第2个数为a 122＝＝.12×122－112433．设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝.2Sa ＋b ＋c 类比这个结论可知：四面体P －ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为r ，四面体P －ABC 的体积为V ，则r ＝________.答案　3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4解析　由类比推理可知r ＝.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 44．已知＝2，＝3，＝4，…，类比这些等式，若＝2＋23233＋38384＋4154156＋ab6(a ，b 均为正数)，则a ＋b ＝________.ab答案　41解析　观察等式＝2，＝3，＝4，…，第n 个应该是 2＋23233＋38384＋415415＝(n ＋1)，则第5个等式中a ＝6，b ＝a 2－1＝35，a ＋b ＝41.n ＋1＋n ＋1(n ＋1)2－1n ＋1(n ＋1)2－15．有一个游戏，将标有数字1,2,3,4的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁4个人，每人一张，并请这4人在看自己的卡片之前进行预测：甲说：乙或丙拿到标有3的卡片；乙说：甲或丙拿到标有2的卡片；丙说：标有1的卡片在甲手中；丁说：甲拿到标有3的卡片．结果显示：这4人的预测都不正确，那么甲、乙、丙、丁4个人拿到的卡片上的数字依次为________．答案　4,2,1,3解析　由于4个人预测不正确，其各自的对立事件正确，即甲：乙、丙没拿到3；乙：甲、丙没拿到2；丙：甲没拿到1；丁：甲没拿到3.综上，甲没拿到1,2,3，故甲拿到了4，丁拿到了3，丙拿到了1，乙拿到了2.6．已知f (x )＝，x ≥0，若f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))，n ∈N *，则f 2 019(x )的表达式为________．x 1＋x答案　f 2 019(x )＝x 1＋2 019x解析　f 1(x )＝，f 2(x )＝＝，f 3(x )＝＝，…，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))＝x 1＋x x1＋x1＋x1＋x x 1＋2x x 1＋2x 1＋x 1＋2x x 1＋3x，x1＋(n ＋1)x归纳可得f 2 019(x )＝.x 1＋2 019x7．二维空间中，圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2；三维空间中，球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝πr 3.应用合情推理，若四维空间中，“特级球”的43三维测度V ＝12πr 3，则其四维测度W ＝________.答案　3πr 4解析　二维空间中圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2；观察发现S ′＝l ，三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝πr 3，观察发现V ′＝S ，43∴四维空间中“特级球”的三维测度V ＝12πr 3，猜想其四维测度W ，则W ′＝V ＝12πr 3，∴W ＝3πr 4.8．天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推．已知1949年为“己丑”年，那么到中华人民共和国成立80年时为________年．答案　己酉解析　天干是以10为一个周期循环，地支以12为一个周期循环，从1949年到2029年经过80年，且1949年为“己丑”年，以1949年的天干和地支分别为起点，则80÷10＝8，则2029的天干为己，80÷12＝6余8，则2029的地支为酉．9．已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式：x ＋≥2，x ＋＝＋＋≥3，x ＋＝＋＋＋≥4，…，类比得x ＋≥n ＋1(n ∈N *)，1x 4x 2x 2x 24x 227x 3x 3x 3x 327x 3a x n 则a ＝________.答案　n n解析　第一个式子是n ＝1的情况，此时a ＝11＝1；第二个式子是n ＝2的情况，此时a ＝22＝4；第三个式子是n ＝3的情况，此时a ＝33＝27，归纳可知a ＝n n .10．“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2 018这2 017个整数中能被2除余1且被3除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{a n }，则此数列的项数______．答案　336解析　因为这些整数能被2除余1且被3除余1，所以这些数组成的数列的通项a n ＝6n ＋1，设6n ＋1≤2 018，∴6n ≤2 017，∴n ≤336.16所以此数列的项数为336.11．设f (x )＝，先分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳猜想一般性13x ＋3结论，并给出证明．解　f (0)＋f (1)＝＋130＋3131＋3＝＋＝＋＝，11＋313＋33－123－3633同理可得f (－1)＋f (2)＝，f (－2)＋f (3)＝，3333并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1.归纳猜想得当x 1＋x 2＝1时，均有f (x 1)＋f (x 2)＝.33证明：设x 1＋x 2＝1，f (x 1)＋f (x 2)＝.3312．设f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，若a ＋b ＋c ＝0，f (0)>0，f (1)>0，证明：(1)a >0且－2<<－1；b a(2)方程f (x )＝0在(0,1)内有两个实根．证明　(1)因为f (0)>0，f (1)>0，所以c >0,3a ＋2b ＋c >0.由a ＋b ＋c ＝0，消去b 得a >c >0；再由条件a ＋b ＋c ＝0，消去c 得a ＋b <0且2a ＋b >0，所以－2<<－1.b a(2)因为抛物线f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c 的顶点坐标为，(－b 3a ，3ac －b 23a )又因为－2<<－1，b a所以<－<.13b 3a 23因为f (0)>0，f (1)>0，而f ＝＝－(－b 3a )3ac －b 23a a 2＋c 2－ac 3a ＝－<0，(a －c 2)2＋3c 243a 所以方程f (x )＝0在区间与内分别有一个实根，故方程f (x )＝0在(0,1)内有(0，－b 3a )(－b 3a ，1)两个实根．13．一质点从坐标原点出发，按如图的运动轨迹运动，每步运动一个单位，例如第3步结束时该质点所在位置的坐标为(0,1)，第4步结束时质点所在位置的坐标为(－1,1)，那么第2 018步结束时该质点所在位置的坐标为________．答案　(16，－22)解析　当运动：1＋1＋2＋2步时，坐标为(－1，－1)；当运动：1＋1＋2＋2＋3＋3＋4＋4步时，坐标为(－2，－2)；当运动：1＋1＋2＋2＋3＋3＋4＋4＋5＋5＋6＋6步时，坐标为(－3，－3)；……当运动：1＋1＋2＋2＋3＋3＋4＋4＋5＋5＋6＋6＋…＋n ＋n (n 为偶数)步时，坐标为.(－n 2，－n 2)而1＋1＋2＋2＋3＋3＋4＋4＋5＋5＋6＋6＋…＋n ＋n ≤2 018，即n (n ＋1)≤2 018(n ∈N *)，解得n ≤44.当n ＝44时，该点的坐标为(－22，－22)，共走了1 980步，此时还需向右走38步，故最终坐标为(16，－22)．14.如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为________．答案　8解析　由题意知，第1层的点数为1，第2层的点数为6，第3层的点数为2×6，第4层的点数为3×6，第5层的点数为4×6，…，第n (n ≥2，n ∈N *)层的点数为6(n －1)．设一个点阵有n (n ≥2，n ∈N *)层，则共有的点数为1＋6＋6×2＋…＋6(n －1)＝1＋6·＝3n 2－3n ＋n (n －1)21，由题意，得3n 2－3n ＋1＝169，即(n ＋7)·(n －8)＝0，所以n ＝8，故共有8层．15.某电子设备的锁屏图案设计的操作界面如图①所示，屏幕解锁图案的设计规则如下：从九个点中选择一个点为起点，手指依次划过某些点(点的个数在1到9个之间)就形成了一个线路图(线上的点只有首次被划到时才起到确定线路的作用，即第二次被划到不会成为确定线路的点)，这个线路图就形成一个屏幕解锁的图案，则图②所给线路中可以成为屏幕解锁图案的是________．(填序号)答案　ab解析　由解锁图案的设计规则可知，所给的线路图可以成为屏幕解锁图案的充分条件是：构成线路图的所有的点能且只能起到一次确定线段的作用．将屏保九宫格编号如下：则能形成a线路的方案是：a：1→5→9→2→8→6→4→3→7或者b：7→5→3→4→6→8→2→9→1，两者都能成为屏幕解锁图案；能形成b线路的方案是：c：6→5→4→2→7→8→9→5→8或者d：6→5→4→2→7→8→5→9→8或者e：8→9→5→8→7→2→4→6或者f：8→5→9→7→2→4→6或者g：8→5→4→2→7→9→5→6，其中f能成为屏幕解锁图案；能形成c 线路的方案是：h ：7→6→5→9→3→2→1→6或者i ：7→6→1→2→3→9→5→6或者j ：6→5→9→3→2→1→6→7或者k ：6→1→2→3→9→5→6→7或者l ：7→6→3→2→1→6→9→5→6或者m ：7→6→3→2→1→6→5→9→6或者n ：7→6→9→5→6→1→2→3→6，其中点6在所有的方案中至少起到两次确定线段的作用，都不能成为屏幕解锁图案．故本题正确答案为ab.16．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的．一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB 的长度为a ，在线段AB 上取两个点C ，D ，使得AC ＝DB ＝AB ，以CD 为一边在线段AB 的上方14做一个正六边形，然后去掉线段CD ，得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段EF 做相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：记第n 个图形(图1为第1个图形)中的所有线段长的和为S n ，现给出有关数列{S n }的四个命题：①数列{S n }不是等比数列；②数列{S n }是递增数列；③存在最小的正数a ，使得对任意的正整数n ，都有S n >2 019；④存在最大的正数a ，使得对任意的正整数n ，都有S n <2 019.其中真命题的序号是________．(请写出所有真命题的序号)答案　①②④解析　由题意，得图1中的线段为a ，S 1＝a ，图2中的正六边形的边长为，a 2S 2＝S 1＋×4＝S 1＋2a ，a 2图3中的最小正六边形的边长为，a 4S 3＝S 2＋×4＝S 2＋a ，a 4图4中的最小正六边形的边长为，a 8S 4＝S 3＋×4＝S 3＋，a 8a 2由此类推，S n －S n －1＝(n ≥2)，a2n －3即{S n }为递增数列，且不是等比数列，(S n )min ＝S 1＝a ，若使对任意正整数n ，都有S n >2 019，则a >2 019.所以不存在最小的正数a .即①②正确，③错误；因为S n ＝S 1＋(S 2－S 1)＋(S 3－S 2)＋…＋(S n －S n －1)＝a ＋2a ＋a ＋＋…＋＝a ＋a 2a 2n －32a (1－12n －1)1－12＝a ＋4a <5a (n ≥2，n ∈N *)，(1－12n －1)又S 1＝a <5a ，所以存在最大的正数a ＝，2 0195使得对任意的正整数n ，都有S n <2 019，即④正确．。

【精选】2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练7含解析

随堂巩固训练(7)1. 函数f(x)＝x 2－2x(x ∈[－2，4])的单调增区间为__[1，4]__；f(x)max ＝__8__．解析：函数f(x)＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，所以函数f(x)图象的对称轴是直线x ＝1，所以单调增区间为[1，4]，根据二次函数的对称性可知f(x)max ＝f(－2)＝f(4)＝8.2. 若函数y ＝－a x在区间(0，＋∞)上是减函数，则y ＝－2x 2＋ax 在区间(0，＋∞)上是单调__减__函数．(填“增”或“减”)解析：因为y ＝－a x在区间(0，＋∞)上是减函数，所以a<0.又函数y ＝－2x 2＋ax 图象的对称轴为直线x ＝a 4<0，所以y ＝－2x 2＋ax 在区间(0，＋∞)上为减函数． 3. 设x 1，x 2为函数y ＝f(x)的定义域上任意两个变量，有以下几个命题：①(x 1－x 2)[f(x 1)－f(x 2)]>0; ②(x 1－x 2)[f(x 1)－f(x 2)]<0；③f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0; ④f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0. 其中能推出函数y ＝f(x)为增函数的命题为__①③__．(填序号)解析：根据函数y ＝f(x)为增函数，有若x 1<x 2，则f(x 1)<f(x 2)，即x 1－x 2与f(x 1)－f(x 2)同号，所以①③正确，②④错误．4. 函数f(x)＝x 2－2x －3的单调增区间为__[3，＋∞)__．解析：由x 2－2x －3≥0，得x ≤－1或x ≥3，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．f(x)＝x 2－2x －3可看作由y ＝t ，t ＝x 2－2x －3复合成的，而y ＝t 在定义域上单调递增，要求函数f(x)＝x 2－2x －3的单调增区间，只需求t ＝x 2－2x －3的增区间，易知t ＝x 2－2x －3的单调增区间为[3，＋∞)，所以函数f(x)的单调增区间为[3，＋∞)．5. 设f(x)是定义在A 上的增函数，且f(x)>0，则下列函数中是减函数的有__①②④⑤__．①y ＝3－f(x) ②y ＝1＋2f （x ）； ③y ＝[f(x)]2； ④y ＝1－f （x ）； ⑤y ＝f(－x); ⑥y ＝f(x)－f(－x)．解析：因为f(x)是定义在A 上的增函数，且f(x)>0，所以①是减函数，②是减函数；③是增函数；④⑤是减函数；⑥是增函数．6. 函数f(x)＝log 2(x 2－2|x|)的单调增区间为__(2，＋∞)__．解析：由题意得x 2－2|x|>0，解得x>2或x<－2.因为a ＝2>1，所以由函数图象得单调增区间为(2，＋∞)．7. 若函数f(x)＝－x 2＋2ax 与g(x)＝a x ＋1在区间[1，2]上都是减函数，则实数a 的取值范围是__(0，1]__．解析：因为函数f(x)＝－x 2＋2ax 在区间[1，2]上是减函数，所以a ≤1.又因为函数g(x)＝a x ＋1在区间[1，2]上是减函数，所以a>0，故实数a 的取值范围是(0，1]． 8. 已知函数f(x)为R 上的减函数，则满足不等式f ⎝⎛⎭⎫|1x |<f(1)的实数x 的取值范围是__(－1，0)∪(0，1)__．解析：因为函数f(x)为R 上的减函数，且满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f(1)，所以⎪⎪⎪⎪1x >1，解得－1<x<1.又|x|≠0，所以x ≠0，所以实数x 的取值范围是(－1，0)∪(0，1)．9. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log ax ， x>1，2ax ＋3x ＋2－43， 0<x ≤1在定义域上单调递减，则实数a 的取值范围是__⎣⎡⎭⎫12，34__．解析：由题意，得2ax ＋3x ＋2－43＝2a ＋3－4a x ＋2－43.因为函数f(x)在定义域上单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a<1，3－4a>0，2a ＋31＋2－43≥0，解得12≤a<34，故实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，34.10. 若定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)满足f(xy)＝f(x)＋是区间(0，＋∞)上的增函数，则不等式f(x)＋f ⎝⎛⎭⎫x －12≤0的解集是__⎭⎪⎫4，0∪⎝⎛⎭⎫0，12∪⎝ ⎛12，4__．解析：令x ＝y ＝1，由f(xy)＝f(x)＋f(y)，得f(1)＝0；令x ＝y ＝－1，得f(1)＝2f(－1)，所以f(－1)＝0.又令y ＝－1，则f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．因为f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，所以当f(x)≤0＝f(1)时，－1≤x ≤1且x ≠0.因为f(x)＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＝f ⎣⎡⎦⎤x ⎝⎛⎭⎫x －12≤0，所以－1≤x ⎝⎛⎭⎫x －12≤1且x ⎝⎛⎭⎫x －12≠0，解得1－174≤x<0或0<x<12或12<x ≤1＋174. 11. 已知函数f(x)＝a －1|x|. (1) 求证：函数y ＝f(x)在区间(－∞，0)上是减函数；(2) 若f(x)<2x 在区间(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．解析：(1) 当x ∈(－∞，0)时，f(x)＝a ＋1x. 设x 1<x 2<0，则x 1x 2>0，x 2－x 1>0，f(x 1)－f(x 2)＝⎝⎛⎭⎫a ＋1x 1－⎝⎛⎭⎫a ＋1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，所以f(x 1)>f(x 2)，即f(x)在区间(－∞，0)上是减函数．(2) 由题意得a －1x<2x 在区间(1，＋∞)上恒成立，即a<1x＋2x 在区间(1，＋∞)上恒成立．设h(x)＝2x ＋1x，则a<h(x)在区间(1，＋∞)上恒成立．因为h(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，故a ≤h(1)，即a ≤3，所以实数a 的取值范围为(－∞，3]．12. 某工厂拟建一座平面图(如图所示)为矩形且面积为200 m 2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m ．如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)．(1) 写出总造价y(元)与污水处理池的长x(m)的函数关系式，并指出其定义域；(2) 利用函数单调性求当污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？最低总造价是多少？解析：(1) 因为污水处理池的长为xm ，则宽为200xm ，总造价y ＝400⎝⎛⎭⎫2x ＋2×200x ＋248×200x×2＋80×200＝800⎝⎛⎭⎫x ＋324x ＋16 000.由题设条件得⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤16，0<200x ≤16，x ≥200x ，解得102≤x ≤16，即函数的定义域为[102，16]．(2) 由(1)知y ＝800⎝⎛⎭⎫x ＋324x ＋16 000，所以y′＝800⎝⎛⎭⎫1－324x 2. 令y′＝800⎝⎛⎭⎫1－324x 2＝0，解得x ＝18. 当x ∈(0，18)时，函数y 为减函数；当x ∈(18，＋∞)时，函数y 为增函数，故函数y ＝f(x)在区间[102，16]上是减函数，所以当x ＝16时，y 取得最小值，此时y min ＝800×⎝⎛⎭⎫16＋32416＋16 000＝45 000(元)， 200x ＝20016＝12.5(m)，故当污水处理池的长为16 m ，宽为12.5 m 时，总造价最低，最低为45 000元．13. 已知函数f(x)对任意的m ，n ∈R ，都有f(m ＋n)＝f(m)＋f(n)－1，且当x>0时，恒有f(x)>1.(1) 求证：函数f(x)在R 上是增函数；(2) 若f(3)＝4，解不等式：f(a 2＋a －5)<2.解析：(1) 设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则x 2－x 1>0.因为当x>0时，f(x)>1，所以f(x 2－x 1)>1.因为f(x 2)＝f[(x 2－x 1)＋x 1]＝f(x 2－x 1)＋f(x 1)－1，所以f(x 2)－f(x 1)＝f(x 2－x 1)－1>0，即f(x 1)<f(x 2)，所以函数f(x)在R 上为增函数．(2) 因为m ，n ∈R ，不妨设m ＝n ＝1，所以f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1，即f(2)＝2f(1)－1.由f(3)＝4得f(2＋1)＝4，即f(2)＋f(1)－1＝4，所以3f(1)－2＝4，即f(1)＝2，所以f(a 2＋a －5)<2＝f(1)．因为f(x)在R 上为增函数，所以a 2＋a －5<1，解得－3<a<2.。

2020高考江苏数学(理)大一轮复习(理科提高版)复习练习题：练习册第二章函数与基本初等函数

第二章函数与基本初等函数Ⅰ第4课函数的概念及其表示法A. 课时精练一、填空题1. 已知函数y ＝f(x)，以下说法中正确的有________个．①y 是x 的函数；②对于不同的x ，对应的y 的值也不同；③f(a)表示当x ＝a 时，函数f(x)的值，是一个常量；④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来．2. 若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x>1，－x －2，x ≤1，则f(f(2))＝________．3. 已知函数f(x)＝x 3＋3x 2＋1，若a ≠0，且f(x)－f(a)＝(x －b)(x －a)2，x ∈R ，则a ＝________，b ＝________．4. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2，x<1，x 2＋ax ，x ≥1，若f(f(0))＝4a ，则实数a ＝________．5. 下列各组函数中，表示同一个函数的是________．(填序号)①y ＝x －1，y ＝x 2－1x ＋1； ②y ＝x 0，y ＝1；③f(x)＝x 2，g(x)＝(x ＋1)2；④f(x)＝（x ）2x ，g(x)＝x （x ）2.6. 若某等腰三角形的周长为20，底边长y 是腰长x 的函数，则y 关于x 的函数解析式为____________．7. 已知实数m ≠0，函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －m ，x ≤2，－x －2m ，x>2，若f(2－m)＝f(2＋m)，则m 的值为________． 8. 已知f(x)＝2x ＋a ，g(x)＝14(x 2＋3)，若g(f(x))＝x 2＋x ＋1，则实数a ＝ ________．二、解答题9. 已知函数f(x)＝x ＋2x －6. (1) 点(3，14)在函数f(x)的图象上吗？(2) 当x ＝4时，求函数f(x)的值；(3) 当f(x)＝2时，求x 的值．10. 已知函数f(x)＝x 2－1，g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x>0，2－x ，x<0. (1) 求f(g(2))和g(f(2))的值；(2) 求函数f(g(x))和g(f(x))的表达式．11. 已知f(x)是定义在[－6，6]上的奇函数，它在[0，3]上是一次函数，在[3，6]上是二次函数，且当x ∈[3，6]时，f(x)≤f(5)＝3，f(6)＝2，求函数f(x)的解析式．B. 滚动小练1. 已知集合A ＝{x|log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a)，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________．2. 已知p ：－1＜m ＜5，q ：方程x 2－2mx ＋m 2－1＝0的两个根均大于－2且小于 4，那么p 是q 的________________条件．3. 已知命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实负根，命题q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实数根．若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数m 的取值范围．第5课函数的定义域与值域A. 课时精练一、填空题1. 函数f(x)＝x ＋1＋（1－x ）02－x的定义域为________．2. (2018·苏北四市期末)函数y ＝log 12x 的定义域为________．3. 若定义域为R 的函数y ＝f (x )的值域为[a ，b ]，则函数y ＝f (x ＋a )的值域为________．4. (2017·常州期末)函数y ＝1－x ＋lg (x ＋2)的定义域为________．5. 函数y ＝1x 2－4x ＋3(x ≠1且x ≠3)的值域为________．6. 已知函数f(x)的定义域为⎣⎡⎦⎤－12，12，那么函数f ⎝⎛⎭⎫x 2－x －12的定义域为________．7. 若函数f(x)＝2x 2＋2ax －a ＋1的定义域为R ，则a 的取值范围为________．8. 若函数y ＝2x －1的定义域是(－∞，1)∪[2，5)，则其值域是 ________．二、解答题9. 求下列函数的定义域．(1) y ＝4－x 2x －1＋(x ＋2)0； (2) y ＝1x ＋3＋－x ＋x ＋4.10. 求下列函数的值域．(1) f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋1，x<1，1x ，x>1； (2) y ＝x －x.11. 已知函数f(x)＝x 2－4ax ＋2a ＋6(a ∈R )．(1) 若函数f (x )的值域为[0，＋∞)，求a 的值；(2) 若函数f (x )的值均为非负数，求函数g (a )＝2－a |a ＋3|的值域．B. 滚动小练1. 命题“∀x ∈R ，x 2－x ＋3>0”的否定是______________________．2. “a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的________条件．3. 已知p ：方程a 2x 2＋ax －2＝0在[－1，1]上有解；q ：只有一个实数x 满足不等式x 2＋2ax ＋2a ≤0.若“p 或q ”是假命题，求实数a 的取值范围．第6课函数的单调性A. 课时精练一、填空题1. 若函数f(x)＝(2k －1)x ＋1在R 上单调递减，则实数k 的取值范围是________________．2. 函数y ＝1－x 1＋x 的单调减区间是________．3. 若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x>0，0，x ＝0，－1，x<0，g(x)＝x 2f(x －1)，则函数g(x)的单调减区间是________．4. 已知函数f(x)为R 上的单调减函数，那么满足f (|x |)<f (1)的实数x 的取值范围是________．5. (2018·太原期末)已知函数f(x)＝x ＋1x －1，x ∈[2，5]，那么f(x)的最大值为________．6. 给出下列函数：①y ＝x 12；②y ＝log 12(x ＋1)；③y ＝|x －1|；④y ＝2x ＋1.其中在区间(0，1)上单调递减的函数是________．(填序号)7. 若函数y ＝x x ＋a在(－2，＋∞)上为增函数，则a 的取值范围是________．8. 若函数f(x)＝x 2＋a|x －2|在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．二、解答题9. 已知函数f(x)＝ax ＋1x ＋2(a 为常数)． (1) 若a ＝0，试判断f(x)的单调性；(2) 若f(x)在[0，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围．10. 已知函数f(x)＝ax ＋1x 2(x ≠0，a ∈R )． (1) 讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2) 若函数f (x )在x ∈[3，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围．11. 已知函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调减函数，且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f ⎝⎛⎭⎫13＝1.(1) 求f(1)的值；(2) 若存在实数m ，使得f(m)＝2，求实数m 的值；(3) 若f(x)＋f(2－x)<2，求x 的取值范围．B. 滚动小练1. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x<1，x 2＋ax ，x ≥1，若f(f(0))＝4a ，则实数a ＝________．2. 已知函数f(x)＝2|x －1|－x ＋1，那么函数f(x)的单调增区间是________．3. 已知函数g(x)＝ax ＋1，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，0≤x ≤2，－x 2，－2≤x<0.若对任意的x 1∈[－2，2]，存在x 2∈ [－2，2]，使得g(x 1)＝f(x 2)成立，则a 的取值范围是________．第7课函数的奇偶性A. 课时精练一、填空题1. 若函数f(x)＝k－2x1＋k·2x在定义域上为奇函数，则实数k＝________．2. 已知函数f(x)为偶函数，且当x<0时，f(x)＝x2－1x，那么f(1)＝________．3. 已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝3x－7x＋2b(b为常数)，那么f(－2)＝________．4. 已知定义域为[a－4，2a－2]的奇函数f(x)＝2 016x3－sin x＋b＋2，那么f(a)＋f(b)＝________．5. 已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f (x－2)≤1的x的取值范围是________．6. (2018·唐山期末)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，若f(－2)＝0，则满足xf(x－1)>0的x的取值范围是________．7. (2018·石家庄一模)已知f(x)是定义在[－2b，1＋b]上的偶函数，且在[－2b，0]上为增函数，那么f(x－1)≤f(2x)的解集为________．8. (2018·南师附中)已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x≥0时，f(x)＝x－sin x.若不等式f(－4t)>f(2mt2＋m)对任意的实数t恒成立，则实数m的取值范围是________．二、解答题9. 已知函数f(x)＝1＋x 21－x 2. (1) 求函数f(x)的定义域；(2) 判断函数f(x)的奇偶性；(3) 求证：f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f(x)＝0.10. 已知函数f(x)＝ax 2＋1bx ＋c(其中a ，b ，c ∈Z )是奇函数且f (1)＝2，f (2)<3，求实数a ，b ，c 的值和函数f (x )的解析式．11. (2017·金陵中学)已知f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，且f(1)＝1，若a ，b ∈[－1，1]，且a ＋b ≠0时，有f （a ）＋f （b ）a ＋b>0恒成立． (1) 试用定义证明函数f(x)在[－1，1]上是单调增函数；(2) 解不等式：f ⎝⎛⎭⎫x ＋12<f(1－x)．B. 滚动小练1. 已知函数f(x)＝x x －a(x ≠a)，若a ＝－2，求证：f(x)在(－∞，－2)上单调递增．2. 已知函数f(x)是定义在R 上的单调函数，满足f (－3)＝2，且对任意的a ∈R ，有f (－a )＋f (a )＝0恒成立．(1) 试判断f (x )在R 上的单调性，并说明理由；(2) 解关于x 的不等式f ⎝⎛⎭⎫2－3x x <2.第8课函数的图象和周期性A. 课时精练一、填空题1. 已知函数f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1，4)，那么实数a的值为________．2. (2018·泉州模拟)已知函数f(x)是偶函数，且f(x)＝f(x＋4)，f(1)＝1，那么f(－9)＝________．3.若f(x)是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，又f(－3)＝0，则x·f(x)<0的解集是________．4.使log2(－x)<x＋1成立的x的取值范围为________．5. 已知函数f(x)的图象关于原点对称，且周期为4，当x∈(0，2)时，f(x)＝(x－8)2－4，则f(210)＝________．(注：210∈(6，6.5))6. (2017·南师附中)已知函数f(x)的定义域为R，当x＜0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x＞12时，f ⎝⎛⎭⎫x＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x－12.则f(2 017)＝________．7. (2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，且满足f(1－x)＝f(1＋x)，若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝________．8. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f (x)＝f (12－x)，当x∈[0，6]时，f (x)＝log6(x＋1)，若f(a)＝1(a∈[0，2 020])，则a的最大值是________．二、解答题9. 已知f(x)是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x .(1) 当x <0时，求函数f (x )的解析式；(2) 作出函数f (x )的图象，并指出其单调区间．10. 已知函数f(x)＝1＋|x|－x 2(－2<x ≤2)． (1) 用分段函数的形式表示该函数解析式；(2) 画出该函数的图象；(3) 写出该函数的值域．11. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x<0，2x ，x ≥0，且f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)． (1) 求函数f(x)的解析式，并求f(f(－2))的值；(2) 请利用“描点法”画出函数f(x)的大致图象．B. 滚动小练1. 若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2co sπx ，－1<x<0，e 2x －1，x ≥0满足f ⎝⎛⎭⎫12＋f(a)＝2，则a 的所有可能取值为________．2. (2018·蚌埠一检)已知函数f(x)＝e |x|·lg (1＋4x 2＋ax)的图象关于原点对称，那么实数a 的值为________．3. 已知二次函数f(x)＝ax 2＋(a －1)x ＋a.(1) 函数f(x)在(－∞，－1)上单调递增，求实数a 的取值范围；(2) 若关于x 的不等式f （x ）x≥2在x ∈[1，2]上恒成立，求实数a 的取值范围．第9课二次函数A. 课时精练一、填空题1. 若二次函数f(x)＝－x 2＋2ax ＋4a ＋1有一个零点小于－1，一个零点大于3，则实数a 的取值范围是________．2. 函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，－2≤x<0，x 2－2x －3，0≤x ≤3的值域是________．3. 若函数f(x)＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是单调减函数，则实数a 的取值范围是________．4. 若二次函数f(x)＝(m －1)x 2＋(m 2－1)x ＋1是偶函数，则f(x)的单调增区间是________．5. 若f(x)＝x 2－ax ＋1有负值，则实数a 的取值范围是________．6. 已知函数f(x)＝－x 2＋4x ＋a(x ∈[0，1])，若函数f(x)有最小值－2，则函数f(x)的最大值为________．7. 已知二次函数f(x)同时满足条件：①图象的对称轴是x ＝1；②f(x)的最大值为15；③f(x)的两个根的立方和等于17.那么f(x)的解析式是________________．8. (2018·天津卷)已知a ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋a －2，x ≤0，－x 2＋2x －2a ，x >0.若对任意的x ∈[－3，＋∞)，f (x )≤|x |恒成立，则a 的取值范围是________．二、解答题9. 已知f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集是(0，5)．(1) 求f(x)的解析式；(2) 对于任意的x∈[－1，1]，不等式f(x)＋t≤2恒成立，求t的取值范围．10. 已知函数f(x)＝ax2－|x|＋2a－1，其中a≥0，a∈R.(1) 若a＝1，作出函数f(x)的图象；(2) 若f(x)在区间[1，2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式．11. (1) 已知函数f(x)＝4x2－kx－8在[5，20]上具有单调性，求实数k的取值范围．(2) 若关于x的方程mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两个不同的实数根，且一个大于4，另一个小于4，求m的取值范围．B. 滚动小练1.若函数f(x)＝2x－(k2－3)·2－x，则“k＝2”是“函数f(x)为奇函数”的________________条件．2. 若函数f(x)是偶函数，且当x≥0时，f(x)＝lg(x＋1)，则满足f(2x＋1)<1的实数x的取值范围是________．3.已知函数f(x)＝ax2＋1x，其中a为实数．(1) 根据a的不同取值，判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2) 若a∈(1，3)，判断函数f(x)在[1，2]上的单调性，并说明理由．第10课指数与指数函数A. 课时精练一、填空题1. 计算：⎝⎛⎭⎫9412－(－9.6)0－⎝⎛⎭⎫278－23＋⎝⎛⎭⎫32－2＝________．2. 若函数f(x)＝a x －1＋3(a>0且a ≠1)的图象必过定点P ，则P 点的坐标为________．3. 函数y ＝4－2x 的定义域为________．4. 已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，那么a ，b ，c 的大小关系为________．5. 若f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2，x>1，⎝⎛⎭⎫4－a 2x ＋2，x ≤1是R 上的单调增函数，则实数a 的取值范围为________．6. 已知函数y ＝f(x)是R 上的奇函数，满足f (3＋x )＝f (3－x )，当x ∈(0，3)时，f (x )＝2x ，则当x ∈(－6，－3)时，f (x )＝________．7. 已知函数221(2),1,()2,1,x f x x f x x -->⎧⎪=⎨≤⎪⎩则f(3)＝________；当x<0时，不等式f(x)<2的解集为________．8. (2018·石家庄二模)若函数f(x)，g(x)分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且满足f (x )＋2g (x )＝e x ，则g (－1)，f (－2)，f (－3)的大小关系为____________．二、解答题9. 已知函数f(x)＝3x ＋λ·3－x (λ∈R )．(1) 当λ＝1时，试判断函数f (x )＝3x ＋λ·3－x 的奇偶性，并证明你的结论；(2) 若不等式f (x )≤6在x ∈[0，2]上恒成立，求实数λ的取值范围．10. 已知函数f(x)＝－3x ＋a 3x ＋1＋b. (1) 当a ＝b ＝1时，求满足f(x)＝3x 的x 的值；(2) 若函数f(x)是定义在R 上的奇函数，存在t ∈R ，不等式f (t 2－2t )<f (2t 2－k )有解，求k 的取值范围．11. 已知函数f(x)＝2x －12|x|. (1) 若f(x)＝2，求x 的值；(2) 若2t f(2t)＋mf(t)≥0对于t ∈[1，2]恒成立，求实数m 的取值范围．B. 滚动小练1. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ≤1，x ，x>1，那么f(2)＝________．2. 已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，在区间[－1，1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋a ，－1≤x ≤0，x 2－log 2x ，0<x <1.若f ⎝⎛⎭⎫－52－f ⎝⎛⎭⎫92＝0，则f (4a )＝________．3. 已知f(x)为定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )为二次函数，且满足f (2)＝1，f (x )在(0，＋∞)上的两个零点为1和3.(1) 求函数f (x )的解析式；(2) 作出函数f (x )的图象，并根据它的图象讨论关于x 的方程f (x )－c ＝0(c ∈R )的根的个数．(第3题)第11课对数的运算A. 课时精练一、填空题1. 计算：lg 2＋lg 5＋2log 510－log 520＝________．2. 已知lg 3＝a ，lg 5＝b ，那么log 515＝________．3. 计算：2log 32－log 3329＋log 38－5log 53＝________．4. 计算：(log 29＋log 227)(log 32＋log 34)＝________．5. 已知函数f(x)＝a log 3x ＋b log 4x ＋1，若f(2 015)＝3，则f ⎝⎛⎭⎫12 015＝________．6. 已知x>0，y>0，若2x ·8y ＝16，则2－1＋log 2x ＋log 927y ＝________．7. 若[x]表示不超过x 的最大整数，如[π]＝3，[－3.2]＝－4，则[lg 1]＋[lg 2]＋[lg 3]＋…＋[lg 100]＝________．8. (2018·江苏考前热身B 卷)已知函数f(x)＝log a x ，若对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，f(x 21)－f(x 22)＝1，则f(x 2 0181)－f(x 2 0182)的值为________．二、解答题9. 求下列各式的值．(1) log 48＋lg 50＋lg 2＋5log 53＋(－9.8)0；(2) log 327－log 33＋lg 25＋lg 4＋ln (e 2)．10. 已知2lgx －y 2＝lg x ＋lg y ，求 x y的值．11. 已知2x ＝3y ＝5z ，且x ，y ，z 都是正数，比较2x ，3y ，5z 的大小．B. 滚动小练1. 已知函数f(x)是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝4x ，则f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (1)＝________．2. 若函数f(x)＝kx 2＋(k －1)x ＋2是偶函数，则f(x)的单调减区间是________．3. 已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 满足：①对于任意的实数x ，都有f(x)≥x ，且当x ∈(1，3)时，f(x)≤18(x ＋2)2恒成立；②f(－2)＝0. (1) 求证：f(2)＝2；(2) 求f(x)的解析式．第12课对数函数A. 课时精练一、填空题1. (2018·南京、盐城、连云港二模)函数f(x)＝lg(2－x)的定义域为________．2. (2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝log2(x2＋a)，若f(3)＝1，则a＝________．3. 已知函数y＝log a(x＋b)的图象如图所示，那么a＝________，b＝________．(第3题)4. (2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调增区间是________．5.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－log2x，则不等式f(x)<0的解集是________．6. (2018·天津卷)已知a＝log372，b＝⎝⎛⎭⎫1413，c＝log1315，那么a，b，c的大小关系为________．7. 已知函数f(x)＝1－x＋log21－x1＋x，那么f⎝⎛⎭⎫12＋f⎝⎛⎭⎫－12的值为________．8. (2018·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝ln(1＋x2－x)＋1，f(a)＝4，那么f(－a)＝________．二、解答题9. 已知函数f(x)＝log a (x 2－x ＋1)(a>0且a ≠1)．(1) 当a 变化时，函数f(x)的图象恒过定点，试求该定点的坐标；(2) 若f(2)＝12，求实数a 的值； (3) 若函数f(x)在区间[0，2]上的最大值为2，求实数a 的值．10. 已知函数f(x)＝log 2g(x)＋(k －1)x.(1) 若g(log 2x)＝x ＋1，且f(x)为偶函数，求实数k 的值；(2) 当k ＝1，g(x)＝ax 2＋(a ＋1)x ＋a 时，若函数f(x)的值域为R ，求实数a 的取值范围．11. 已知a ∈R ，函数f (x )＝log 2⎝⎛⎭⎫1x ＋a .(1) 当a ＝1时，解不等式f (x )>1；(2) 若关于x 的方程f (x )＋log 2x 2＝0的解集中恰有一个元素，求a 的值；(3) 设a >0，若对任意的t ∈⎣⎡⎦⎤12，1，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．B. 滚动小练1. 已知函数y ＝1＋x 1－x＋lg (3－4x ＋x 2)的定义域为M. (1) 求M ；(2) 当x ∈M 时，求f(x)＝a·2x ＋2＋3·4x (a>－3)的最小值．2. 已知函数f(x)＝22x －7－a 4x －1(a>0且a ≠1)．(1) 当a ＝22时，求不等式f(x)<0的解集；(2) 当x∈[0，1]时，f(x)<0恒成立，求实数a的取值范围．第13课幂函数、函数与方程A. 课时精练一、填空题1. 如图所示是幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则m ，n 的取值范围分别是________和________．(第1题)2. 方程log 12x ＝－x ＋1的根的个数是________．3. 若幂函数的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，14，则它的单调增区间是________．4. 函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x>0的零点个数为________．5. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x>0，2x ，x ≤0，且关于x 的方程f(x)＋x －a ＝0有且只有一个实数根，那么实数a 的取值范围是________．6. 已知函数g(x)＝log a (x －3)＋2(a>0，a ≠1)的图象经过定点M ，若幂函数f(x)＝x a 的图象经过点M ，则a 的值为________．7. (2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x>0，g(x)＝f(x)＋x ＋a.若g(x)存在2个零点，则a 的取值范围是________．8. (2018·海安、南外、金陵中学三校联考)已知关于x 的方程x 2－6x ＋(a －2)|x －3|－2a ＋9＝0有两个不同的实数根，那么实数a 的取值范围是________．二、解答题9. 已知f(x)是定义域为R 的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x .(1) 写出函数f (x )的解析式；(2) 若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，求实数a 的取值范围．10. 若函数f(x)＝4x ＋a·2x ＋a ＋1在(－∞，＋∞)上存在零点，求实数a 的取值范围．11. 已知函数f(x)＝3ax 2－2(a ＋c)x ＋c(a>0，a ，c ∈R )．(1) 设a >c >0，若f (x )>c 2－2c ＋a 对x ∈[1，＋∞)恒成立，求c 的取值范围； (2) 试问：函数f (x )在区间(0，1)内是否有零点，有几个零点？并说明理由．B. 滚动小练1. 由命题“存在x ∈R ，使得e |x －1|－m ≤0”是假命题，得m 的取值范围是(－∞，a )，则实数a 的值是________．2. 已知f(x)为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝________．3. 已知函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，对于任意的正实数m ，n 恒有f(mn)＝f(m)＋f(n)，且当x>1时，f(x)>0，f(2)＝1.(1) 求f ⎝⎛⎭⎫12的值；(2) 求证：f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数．第14课函数模型及其应用A. 课时精练一、填空题1. 将进货价格为8元/个的商品按10元/个销售，每天可卖出100个．若每个商品涨价1元，则日销售量减少10个．为了获得最大利润，此商品当日销售价格应定为每个________元．2. 根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：min )为f(x)＝⎩⎨⎧cx，x<a ，ca ，x ≥a(a ，c为常数)．已知该名工人组装第4件产品用时30 min ，组装第a 件产品用时15 min ，那么c 和a 的值分别是________和________．3. 为了促进资源节约型和环境友好型社会建设，引导居民合理用电、节约用电，北京居民生活用电试行阶梯电价．其电价标准如下表：用户类别分档电量 (kW ·h /户·月)电价标准 (元/kW ·h )试行阶梯电价的用户一档 1～240(含) 0.488 3 二档 241～400(含) 0.538 3 三档400以上0.788 3若北京市某户居民2019年1月的平均电费为0.498 3元/kW ·h ，则该用户1月份的用电量为________．4. 已知有一批材料可以建成200 m 长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，那么围成场地的最大面积为________．(围墙厚度不计)(第4题)5. 某工厂生产的A 种产品进入商场销售，商场为吸引厂家第一年免收管理费，因此第一年A 种产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件，从第二年开始，商场对A 种产品征收销售额的x%的管理费(即销售100元要征收x 元)，于是该产品定价每件比第一年增加了70·x%1－x%元，预计年销售量减少x 万件，要使商场第二年在A 种产品经营中收取的管理费不少于14万元，则x 的最大值是________．6. 某食品的保鲜时间y(单位：h )与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (k ，b 为常数)．若该食品在0℃的保鲜时间是192h，在22℃的保鲜时间是48h，则该食品在33℃的保鲜时间是________h.7. 某高校为了提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入．若该高校2017年全年投入科研经费1 300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投入的科研经费开始超过2 000万元的年份是________年．(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)8.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆该种品牌车，则能获得的最大利润为________．二、解答题9. 食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P(单位：万元)、种黄瓜的年收入Q(单位：万元)与投入a(单位：万元)满足P＝80＋42a，Q＝14a＋120.设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元)．(1) 求f(50)的值；(2) 试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？10. (2018·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)将一铁块高温熔化后制成一张厚度忽略不计、面积为100 dm2的矩形薄铁皮，如图所示，并沿虚线l1，l2裁剪成A，B，C三个矩形(B，C全等)，用来制成一个柱体．现有以下两种方案：方案①：以l1为母线，将A作为圆柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面；方案②：以l1为侧棱，将A作为正四棱柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个正方形(各边分别与l1或l2垂直)作为正四棱柱的两个底面．(1) 设B，C都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面的半径；(2) 设l1的长为x dm，则当x为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？(第10题)11. (2018·姜堰、溧阳、前黄中学4月联考)经科学研究证实，二氧化碳等温空气体的排放(简称碳排放)对全球气候和生态环境产生了负面影响，环境部门对A市每年的碳排放总量规定不能超过550万吨，否则将采取紧急限排措施．已知A市2017年的碳排放总量为400万吨，通过技术改造和倡导低碳生活等措施，此后每年的碳排放量比上一年的碳排放总量减少10%.同时，因经济发展和人口增加等因素，每年又新增加碳排放量m万吨(m>0)．(1) 求A市2019年的碳排放总量(用含m的式子表示)；(2) 若A市永远不需要采取紧急限排措施，求m的取值范围．。

2020版高考江苏数学大一轮精准复习精练：7.1 数列的有关概念 Word版含解析

专题七数列【真题典例】7.1数列的有关概念挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点数列的概念及通项公式1.求通项公式2.数列的性质3.数列的递推公式4.a n与S n的关系的应用2015江苏,11 利用递推式求通项求数列的前n项和★★☆分析解读本节知识一般不单独考查,通常结合等差数列和等比数列进行综合考查,其中利用递推公式求通项公式及a n与S n的关系的应用,常常在综合题中出现.破考点【考点集训】考点数列的概念及通项公式1.(2019届江苏汇龙中学检测)已知数列{a n },a n =-2n 2+λn.若该数列是递减数列,则实数λ的取值范围是 .答案 (-∞,6)2.(2018江苏盐城中学检测)数列{x n }中,若x 1=1,x n+1=1x n +1-1,则x 2 018= . 答案 -123.(2019届江苏江阴中学检测)已知数列{a n }的前n 项和S n =2a n -1,则满足a n n ≤2的正整数n 的集合为 .答案 {1,2,3,4}4.已知数列{a n }中,a 1=1,a n+1-a n =13n+1,则a n = . 答案 76-12×3n 5.(2019届江苏南通天星湖中学检测)已知数列{a n }的通项公式是a n =n 2+kn+4.(1)若k=-5,则数列中有多少项是负数?n 为何值时,a n 有最小值?并求出最小值;(2)对于n ∈N *,都有a n+1>a n ,求实数k 的取值范围.解析 (1)由n 2-5n+4<0,解得1<n<4. 因为n ∈N *,所以n=2,3, 所以数列中有两项是负数,即为a 2,a 3.因为a n =n 2-5n+4=(n -52)2-94, 所以由二次函数的性质,得当n=2或n=3时,a n 有最小值,其最小值为a 2=a 3=-2.(2)由a n+1>a n 知该数列是一个递增数列,又因为通项公式a n =n 2+kn+4可以看作是关于n 的二次函数,考虑到n ∈N *, 所以-k 2<32,即得k>-3.所以实数k 的取值范围为(-3,+∞). 炼技法【方法集训】方法一由递推关系式求通项公式的常用方法根据下列条件,确定数列{a n }的通项公式.(1)a 1=1,a n+1=3a n +2;(2)a 1=1,a n+1=(n+1)a n ;。

2020版高考数学(江苏版)新攻略总复习课标通用练习：第七章-第三节基本不等式及其应用

第三节基本不等式及其应用课时作业练1.当x>1时,函数y=x+1x -1的最小值是 . 答案 3解析当x>1时,x-1>0, y=x+1x -1=(x-1)+1x -1+1≥2√(x -1)·1x -1+1=3, 当且仅当x-1=1x -1,即x=2时等号成立.2.(2018江苏高考信息预测)函数y=x+12x -1(x >12)的最小值是 . 答案 √2+12解析 ∵x>12,∴2x -1>0.∴y=x+12x -1=(x -12)+12x -1+12≥2√12+12=√2+12,当且仅当x=√2+12时取等号.∴函数y=x+12x -1(x >12)的最小值是√2+12.3.函数y=log a (x+3)-1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点A,若点A 在直线mx+ny+1=0上,其中mn>0,则1m +2n 的最小值为 . 答案 8解析 ∵函数y=log a (x+3)-1的图象恒过点(-2,-1),∴A(-2,-1).又点A 在直线mx+ny+1=0上,∴-2m-n+1=0,即2m+n=1.又mn>0,∴m>0,n>0.∴1m +2n =2m+n m +4m+2n n =2+n m +2+4mn≥4+2√4=8,当且仅当n=12,m=14时,等号成立,∴1m +2n的最小值为8.4.若正数x,y 满足x+3y=5xy,则3x+4y 的最小值是 . 答案 5解析由x+3y=5xy,得3x +1y=5(x>0,y>0), 则3x+4y=15(3x+4y)(3x +1y ) =15(13+12y x +3x y )≥15(13+2√12y x ·3xy) =15×(13+12)=5, 当且仅当12y x =3xy,即x=2y 时,等号成立,此时由{x =2y ,x +3y =5xy ,解得{x =1,y =12.5.若a>0,b>0,且2a+b=1,则S=2√ab -(4a 2+b 2)的最大值是 . 答案√2-12解析由√(2a )2+b 22≥2a+b 2≥√2a ·b ,得√2ab ≤12,且4a 2+b 2≥12,所以S=2√ab -(4a 2+b 2)=√2·√2ab -(4a 2+b 2)≤√22-12,当且仅当2a=b=12时,等号成立.6.(2018江苏无锡调研)已知正数a,b,直线l 1:(a-b)x+aby+1=0,l 2:(a+3b)x+y=0,若l 1∥l 2,则b 的最大值为 . 答案 13解析由l 1∥l 2得a-b=ab(a+3b),则1b -1a =a+3b.∵a>0,∴1b -3b=a+1a ≥2√a ·1a =2,整理得3b 2+2b-1≤0.又b>0,解得0<b≤13,即b 的最大值为13. 7.(2018徐州高三模拟)已知正实数m,n 满足m+n=3,则m 2+1m +n 2n+1的最小值为.答案 3解析令n+1=t,t>1,则n=t-1,m+n=m+t-1=3,m+t=4,则m 2+1m +n 2n+1=m+1m +(t -1)2t =m+1m +t+1t-2=2+1m +1t =2+14(m+t)(1m +1t )=2+14(2+tm +mt )≥2+12+14×2√tm ·mt =3,当且仅当m=t=2时取等号,故m 2+1m+n 2n+1的最小值为3.8.(2018江苏南通海安高级中学高三阶段检测)设m>0,n>0,2m+n=1,则4m 2+n 2+√mn 的最大值与最小值之和为 . 答案25+4√216解析由m>0,n>0,2m+n=1得1≥2√2mn ,0<mn≤18,0<√mn ≤√24,4m 2+n 2+√mn =(2m+n)2-4mn+√mn=-4mn+√mn +1=-4(√mn -18)2+1716,当√mn =18时,取得最大值1716;当√mn =√24时,取得最小值12+√24,所以最大值与最小值之和为1716+12+√24=25+4√216. 9.(2017兴化一中高三12月月考)等比数列{a n }的首项为1,公比为2,前n 项的和为S n ,若log 2[14a n (S 4m +1)]=7,则1n +4m 的最小值为 . 答案 52解析由题意得a n =2n-1,S 4m =1-24m 1-2=24m -1,则14a n (S 4m +1)=14×2n-1×24m =24m+n-3=27,则4m+n=10,所以1n +4m =110(1n +4m )(4m+n)=110(17+4m n +4n m )≥110(17+2√4m n ·4n m)=52,当且仅当m=n=2时取等号,故1n +4m 的最小值为52. 10.(2017镇江高三期末)已知a,b∈R,a+b=4,则1a 2+1+1b 2+1的最大值为 .答案2+√54解析由基本不等式可得ab≤(a+b 2)2=4,则1a 2+1+1b 2+1=a 2+b 2+2(a 2+1)(b 2+1)=(a+b )2-2ab+2(ab )2+(a+b )2-2ab+1=18-2ab (ab )2-2ab+17, 令9-ab=t,t≥5,则ab=9-t,1a 2+1+1b 2+1=2t t 2-16t+80=2t+80t-16≤8√5-16=√5+24,当且仅当t=4√5时取等号,故1a 2+1+1b 2+1的最大值是2+√54. 11.(2018江苏南京多校高三上学期第一次段考)已知函数y=x+mx -1(m>0). (1)若m=1,求当x>1时函数的最小值; (2)当x<1时,函数有最大值-3,求实数m 的值. 解析 (1)m=1时,y=x+1x -1=x-1+1x -1+1.因为x>1,所以x-1>0.所以y=x-1+1x -1+1≥2√(x -1)·1x -1+1=3. 当且仅当x-1=1x -1,即x=2时取等号.所以当x>1时函数的最小值为3. (2)因为x<1,所以x-1<0.所以y=x-1+mx -1+1=-(1-x +m1-x )+1≤-2√(1-x )·m1-x +1=-2√m +1. 当且仅当1-x=m 1-x ,即x=1-√m 时取等号.即函数的最大值为-2√m +1,所以-2√m +1=-3,解得m=4.12.如图,等腰直角三角形区域ABC 中,∠ACB=90°,BC=AC=1百米.现准备划出一块三角形区域CDE,其中D,E 均在斜边AB 上,且∠DCE=45°.记三角形CDE 的面积为S. (1)①设∠BCE=θ,试用θ表示S; ②设AD=x,试用x 表示S; (2)在②的基础上,求S 的最大值.解析 (1)①以CB 所在直线为x 轴,CA 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系, 则直线CE:y=(tan θ)·x,直线CD:y=(tan (θ+π4))·x,0≤θ<π4,直线AB:y=-x+1, 联立解得E (11+tanθ,tanθ1+tanθ),D (1-tanθ2,1+tanθ2), 所以S=12×√22×|DE|=1+tan 2θ4(1+tanθ).当θ=π4时,S △CDE =14,满足S=1+tan 2θ4(1+tanθ),所以S=1+tan 2θ4(1+tanθ),0≤θ≤π4.②如图,以AB 为斜边另作等腰直角三角形AOB,延长CD 交AO 于F,延长CE 交BO 于G,设∠ACF=α,∠BCG=β,AF=m,BG=n,所以tan α=m=AF AC =AF BC =ADDB =√2-x,同理tan β=n=√2-x -DEx+DE.由tan(α+β)=m+n1-mn =1, 代入化简得DE=2√2x+1√2-x ,0≤x≤√22,所以S=12×√22×|DE|=√2x 2√24(√2-x ),0≤x≤√22.(2)令t=√2-x,√22≤t≤√2,则S=√24(t +1t -√2)≥√2-12,当且仅当t=1,即x=√2-1时取到等号.答:三角形CDE 面积S 的最大值为√2-12百米2.13.(2019徐州铜山高三模拟)某三甲医院开展用直升飞机接送危重病人业务,为了保证直升飞机的降落准确、安全,在门诊楼AB 和综合楼CD 的楼上安装导航标记,已知两楼的地面距离AC=50 m,在A,C 之间取一导航标志观测点P,当点P 在AC 中点时,测得两楼顶导航标记的张角∠BPD=45°,若∠ACB=45°.(1)求两导航标记距离地面的高度AB 、CD;(2)要使在点P 处看两楼顶导航标记的张角∠BPD 最大,点P 应在何处?解析 (1)因为点P 是AC 的中点,AC=50 m,所以AP=PC=25 m, 在Rt△ABC 中,AC=50 m,∠ACB=45°,可得AB=AC=50 m,在Rt△APB 中,tan∠APB=AB AP =5025=2,在Rt△CPD 中,tan∠DPC=CD PC =CD25,因为∠BPD=45°,所以∠APB+∠DPC=135°,于是tan(∠APB+∠DPC)=tan∠APB+tan∠DPC1-tan∠APB ·tan∠DPC =2+CD251-2·CD 25=-1,解得CD=75.(2)设AP=x m,则PC=(50-x)m,在Rt△APB 中,tan∠APB=AB AP =50x , 在Rt△CPD 中,tan∠DPC=CD PC =7550-x ,于是tan∠BPD=tan(180°-∠APB -∠DPC)=-tan(∠APB+∠DPC)=-tan∠APB+tan∠DPC1-tan∠APB ·tan∠DPC =-50x +7550-x 1-50x ·7550-x=25(x+100)x 2-50x+50×75,设100+x=t,则tan∠BPD=f(t)=25tt -250t+252×30,f(t)=25t+252×30t-250≤2√t ·252×30t-250=2√30-10,当且仅当t=252×30t时取等号,于是当t=25√30时,函数f(t)取最大值,此时100+x=25√30,x=25√30-100,又因为t2-250t+252×30>0恒成立,所以tan∠BPD=f(t)>0,从而∠BPD∈(0,π2),而正切函数在(0,π2)上为增函数,所以当f(t)取最大值时∠BPD也最大.答:(1)两导航标记距离地面的高度AB,CD分别为50 m,75 m.(2)当AP=(25√30-100)m时,在点P处看两楼顶导航标记的张角∠BPD最大.基础滚动练(滚动循环夯实基础)1.已知集合A={x|x≥3}∪{x|x<-1},则∁RA= .答案 {x|-1≤x<3}2.函数f(x)=√2x-4的定义域为 .答案[2,+∞)解析由2x-4≥0⇒x≥2,得原函数的定义域为[2,+∞).3.已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m,m+6),则实数c的值为.答案9解析由函数f(x)=x2+ax+b的值域是[0,+∞),所以判别式Δ=a2-4b=0(*),又不等式x2+ax+b-c<0的解集是(m,m+6),所以2m+6=-a,m(m+6)=b-c,得a=-(2m+6),b=m(m+6)+c,代入(*)解得c=9.4.已知{an }为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10= .答案-7解析∵a4+a7=2,由等比数列的性质可得,a5a6=a4a7=-8,∴a4=4,a7=-2或a4=-2,a7=4,当a4=4,a7=-2时,q3=-12,∴a1=-8,a10=1,∴a1+a10=-7.当a4=-2,a7=4时,q3=-2,则a10=-8,a1=1,∴a1+a10=-7,综上可得a 1+a10=-7.5.(2018扬州中学第一学期阶段性测试)设函数y=sin ωx(ω>0)在区间[-π6,π4]上是增函数,则ω的取值范围为. 答案(0,2]解析因为ω>0,所以{-π6ω≥-π2,π4ω≤π2,解得0<ω≤2.6.函数y=2x-log0.5(x+1)在区间[0,1]上的最大值和最小值之和为.答案 4解析因为函数y=2x-log0.5(x+1)在区间[0,1]上递增,所以x=0时,y取得最小值1,当x=1时,y取得最大值3,所以最大值和最小值之和为4.7.(2018盐城时杨中学高三月考)若变量x,y满足约束条件{y≤x,x+y≤1,y≥-1,且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n,则m-n= .答案6解析作出不等式组对应的平面区域如图.由z=2x+y,得y=-2x+z,平移直线y=-2x+z,由图象可知当直线y=-2x+z经过点A时,直线y=-2x+z的截距最小,此时z最小,由{y =-1,y =x 解得{x =-1,y =-1,即A(-1,-1),此时z=-2-1=-3,此时n=-3.平移直线y=-2x+z,由图象可知当直线y=-2x+z 经过点B 时, 直线y=-2x+z 的截距最大,此时z 最大, 由{y =-1,x +y =1解得{x =2,y =-1,即B(2,-1),此时z=2×2-1=3,即m=3.则m-n=3-(-3)=6.8.(2018常州教育学会学业水平检测)在△ABC 中,已知B=π3,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是 . 答案 [-14,+∞)解析以点B 为坐标原点,BA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系,则C(1,√3),设A(x,0),x>0,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-x,0)·(1-x,√3)=x 2-x=(x -12)2-14≥-14,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是[-14,+∞). 9.(2018江苏苏州高三上学期期中)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,已知sin B+sin C=msin A(m∈R),且a 2-4bc=0. (1)当a=2,m=54时,求b,c 的值;(2)若角A 为锐角,求实数m 的取值范围.解析 (1) 由题意得b+c=ma,a 2-4bc=0.当a=2,m=54时,b+c=52,bc=1,解得{b =2,c =12或{b =12,c =2.(2) cos A=b 2+c 2-a 22bc=(b+c )2-2bc -a 22bc=(ma )2-a 22-a 2a 22=2m 2-3.因为A 为锐角,所以cos A=2m 2-3∈(0,1),所以32<m 2<2.又由b+c=ma可得m>0,所以√6<m<√2.2。

2020高考江苏数学(文)大一轮复习(文科提高版)复习练习：第七章数列含答案

第七章数列、推理与证明,第37课数列的概念及等差数列激活思维1.(必修5P38习题3改编)在等差数列{a n}中，若a1＝－1，d＝2，则a8＝________．2. (必修5P37习题6改编)若a1，a2，a3，…，a n，a n＋1，…，a2n是公差为d的等差数列，则数列{a2n}的公差为________．3. (必修5P40习题7改编)在等差数列{a n}中，若a4＝10，a10＝4，则a7＝________．4. (必修5P44练习5改编)在等差数列{a n}中，已知a5＝8，那么S9＝________．5. (必修5P44练习6改编)在等差数列{a n}中，已知S8＝24，S16＝32，那么S24＝________．知识梳理1. 数列的通项a n与前n项和S n之间的关系为_________________________________．2. 等差数列的定义及通项如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于____________，那么这个数列就叫作等差数列．这个常数叫作等差数列的________．等差数列的通项公式：____；推广：a n＝a m＋(________)d.3. 等差数列求和公式S n＝n（a1＋a n）2＝na1＋n（n－1）2d＝d2n2＋⎝⎛⎭⎫a1－12d n.4. 等差数列的其他性质(1) 若a，b，c成等差数列，则称b为a，c的等差中项，且b＝________．(2) 在等差数列{a n}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则____________________．(3) S nn＝a1＋(n－1)d2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S nn也是等差数列，首项为________，公差为________．(4) 若等差数列{a n}的前n项和为S n，即S k，S2k－S k，S3k－S2k，…也成等差数列，公差为________．(5) 分别用A n和B n表示等差数列{a n}和{b n}的前n项和，则a nb n＝________．课堂导学_根据S n求a n(1) 已知数列{a n}的前n项和S n＝n2＋2n＋1，求数列{a n}的通项公式．(2) 已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝3n＋1，求数列{a n}的通项公式．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足log2(1＋S n)＝n＋1，求数列{a n}的通项公式．等差数列的基本量运算(1) 已知等差数列{a n}中的前三项和为12，且2a1，a2，a3＋1依次成等比数列，求数列{a n}的公差．(2) 已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，S n为其前n项和，若a21＋a22＝a23＋a24，S5＝5，求a7的值．【高频考点·题组强化】1.(2018·南京、盐城、连云港二模)已知等差数列{a n}的前n项和为S n.若S15＝30，a7＝1，则S9的值为________．2.(2018·扬州考前调研)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S13＝6，则3a9－2a10＝________．3. (2017·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)已知{a n}是公差不为0的等差数列，S n 是其前n 项和．若a 2a 3＝a 4a 5，S 9＝27，则a 1的值是________．4. (2017·南通一调)《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为________升．等差数列的性质已知{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，且a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13＝________．(2017·南京、盐城一模)设{a n }是等差数列，若a 4＋a 5＋a 6＝21，则S 9＝________．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 11＝22，则a 3＋a 7＋a 8＝________．等差数列的判定与证明若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2，n ∈N *)，a 1＝12.(1) 求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列；(2) 求数列{a n }的通项公式．已知成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列{a n }中的a 3，a 4，a 5.(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 若数列{a n }的前n 项和为S n ，判断数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是等差数列还是等比数列，并给出证明．课堂评价1. 在等差数列{a n }中，已知a 2＋a 8＝11，则3a 3＋a 11的值为________．2. 在等差数列{a n }中，若a n ＋a n ＋2＝4n ＋6(n ∈N *)，则该数列的通项公式为a n ＝________．3. (2017· 苏州期末)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 2＝7，S 7＝－7，则a 7的值为________．4. 在等差数列{a n }中，若a 3＝5，S 6＝36，则S 9＝________．5. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2－6n ，那么数列{|a n |}的前6项和T 6＝________．, 第38课等比数列激活思维1. (必修5P 49习题1改编)已知数列{a n }为正项等比数列，a 2＝9，a 4＝4，那么数列{a n }的通项公式为a n ＝________．2. (必修5P 49习题1改编)如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么b ＝________，a·c ＝________．3. (必修5P 58练习6改编)若对于实数x ，有a n ＝x n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________．4. (必修5P 61习题3改编)若等比数列{a n }的通项公式为a n ＝4×31－n ，则数列{a n }是________数列．(填“递增”或“递减”)5. (必修5P 67习题3改编)设{a n }是等比数列，给出下列四个命题： ①{a 2n }是等比数列； ②{a n a n ＋1}是等比数列；③⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等比数列； ④{lg |a n |}是等比数列．其中正确的命题是________．(填序号)知识梳理1. 等比数列的定义及通项如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的______都等于______________，那么这个数列就叫作等比数列．这个常数叫作等比数列的________．等比数列的通项公式：________________________；推广：a n ＝a m q n －m.2. 等比数列求和公式S n ＝____________＝____________．3. 等比数列的性质设数列{a n }是等比数列，公比为q.(1) 若m ＋n ＝p ＋q(m ，n ，p ，q ∈N *)，则____________；(2) 数列{ka n }(k 为非零常数)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a k n }(k ∈Z 且为常数)也是等比数列；(3) 每隔k 项取出一项(k ∈N *)，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列； (4) 若{a n }的前n 项和为S n ，则S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…仍组成等比数列(各项不为0)．课堂导学等比数列的基本量运算(2017·南京学情调研)已知{a n}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为S n.若a2－a5＝－78，S3＝13，则数列{a n}的通项公式a n＝________．【高频考点·题组强化】1.(2018·南通、泰州一调)在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a2＝1，a8＝a6＋6a4，则a3的值为________．2. (2017·南京、盐城二模)记公比为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n.若a1＝1，S4－5S2＝0，则S5的值为________．3. 在等比数列{a n}中，若a1＝1，a3a5＝4(a4－1)，则a7＝________．4. (2017·苏北四市期末)已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2＝2a2＋3，S3＝2a3＋3，则公比q的值为________．5.(2018·天一中学)设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝7，S6＝63，则a7＋a8＋a9＝________．等比数列的性质及应用已知数列{a n}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，那么数列{a n}的前2 019项之和S2 019＝________．(2018·常熟寒假调查)在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a2a3a4＝a2＋a3＋a4，则a3的最小值为________．等比数列的判定和证明已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n ＋(－1)n . (1) 求数列{a n }的前3项a 1，a 2，a 3的值；(2) 证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋23（－1）n 为等比数列，并求出{a n }的通项公式．(2018·姜堰、泗洪联合调研改编)已知数列{an }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝m(m ≠3)，a n ＋1＝S n ＋3n ，n ∈N *，数列{b n }满足b n ＝S n －3n ，n ∈N *.求证：数列{b n }是等比数列．等比数列的求和问题已知在等比数列{a n }中，a 1＝1，且a 2是a 1和a 3－1的等差中项． (1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 若数列{b n }满足b n ＝2n －1＋a n (n ∈N *)，求{b n }的前n 项和S n .已知数列{a n }是等比数列，满足a 1＝3，a 4＝24，数列{b n }是等差数列，满足b 2＝4，b 4＝a 3.(1) 求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2) 设c n ＝a n －b n ，求数列{c n }的前n 项和S n .1. (2018·苏州期末)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 6S 3＝－198，a 4－a 2＝－158，则a 3的值为________．2. (2018·镇江期末)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－2，S 6＝9S 3，则a 5的值为________．3. (2017· 镇江期末)已知数列{a n }为等比数列，且a 1＋1，a 3＋4，a 5＋7成等差数列，则公差d ＝________．4. (2017·苏州、无锡、常州、镇江一调)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3，S 9，S 6成等差数列，且a 2＋a 5＝4，则a 8的值为________．5. (2017·南通一调改编)已知等差数列{a n }的公差d 不为0，且ak 1，ak 2，…，ak n ，…(k 1＜k 2＜…＜k n ＜…)成等比数列，公比为q.(1) 若k 1＝1，k 2＝3，k 3＝8，求a 1d 的值；(2) 当a 1d 为何值时，数列{k n }为等比数列？, 第39课数列的递推关系与通项激活思维1. (必修5P 41习题13改编)已知等差数列{a n }的公差为d ，那么a n －a m ＝__________d.2. (必修5P 52公式推导过程改编)在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1a n ＝nn ＋1，那么a n ＝________．3. (必修5P 41习题13改编)若数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝n ＋a n －1(n ≥2，n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________．4. (必修5P 67复习题5改编)在等差数列{a n }中，若a 1＝1，d ＝2，S n ＋2－S n ＝24，则n ＝________．5. (必修5P 63阅读改编)在斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，…中，a n ，a n ＋1，a n ＋2的关系是____________．1. 递推数列(1) 概念：数列的连续若干项满足的等量关系a n＋k＝f(a n＋k－1，a n＋k－2，…，a n)称为数列的递推关系．由递推关系及k个初始值确定的数列叫递推数列．(2) 求递推数列通项公式的常用方法：迭代法、构造法、累加(乘)法、归纳猜想法．2. 数列递推关系的几种常见类型(1) 形如a n－a n－1＝f(n)(n∈N*且n≥2)方法：累加法，即当n∈N*，n≥2时，a n＝(a n－a n－1)＋(a n－1－a n－2)＋…＋(a2－a1)＋a1.(2) 形如a na n－1＝f(n)(n∈N*且n≥2)方法：累乘法，即当n∈N*，n≥2时，a n＝a na n－1·a n－1a n－2·…·a2a1·a1.注意：n＝1不一定满足上述形式，所以需要检验．(3) 形如a n＝pa n－1＋q(n∈N*且n≥2)方法：化为a n＋qp－1＝p⎝⎛⎭⎫a n－1＋qp－1的形式．令b n＝a n＋qp－1，即得b n＝pb n－1，{b n}为等比数列，从而求得数列{a n}的通项公式．(4) 形如a n＝pa n－1＋f(n)(n∈N*且n≥2)方法：两边同除p n，得a np n＝a n－1p n－1＋f（n）p n，令b n＝a np n，得b n＝b n－1＋f（n）p n，转化为利用累加法求b n(若f（n）p n为常数，则{b n}为等差数列)，从而求得数列{a n}的通项公式.课堂导学根据递推关系式求通项)(1) 在数列{a n}中，已知a1＝3，a n＋1＝3n－13n＋2a n(n∈N*)，求数列{a n}的通项公式．（2）在数列{a n }中，已知1112,,(1)n n a a a n n +==++求数列{a n }的通项公式．已知在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2n a n ，求数列{a n }的通项公式．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝a n1＋na n，求数列{a n }的通项公式．由a n 与S n 的递推关系求通项已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝13S n (n ＝1，2，3，…)，求S n 及a n .已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋2n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝2－b n . (1) 求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2) 设c n ＝a 2n ·b n ，求证：当且仅当n ≥3时，c n ＋1<c n .构造等差、等比数列求通项(1) 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，求数列{a n }的通项公式．(2) 在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，求数列{a n }的通项公式．在数列{an }中，已知a n ≥1，a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝2a n ＋1＋a n －1，n ∈N *.记b n ＝⎝⎛⎭⎫a n －122，n ∈N *，求数列{b n }的通项公式．课堂评价1. 已知数列{a n }满足a n ＋1＝λa n －1(n ∈N *，λ∈R 且λ≠0)，若数列{a n －1}是等比数列，则λ的值为________．2. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )在函数f(x)＝x 2＋x －2的图象上，则数列{a n }的通项公式为________．3. 在数列{a n }中，若a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n ＝________．4. 若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则数列{a n }的通项公式为________．5. 若数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，则数列{a n }的通项公式为________．, 第40课数列的求和激活思维1. (必修5P 57例3改编)数列112，214，318，4116，…的前n 项和为__________________．2. (必修5P 55练习4改编)求和：∑k ＝110(k ＋2k )＝________．3. (必修5P 68复习题2改编)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋n ＋1，那么数列{a n }的前n 项和为________．4. (必修5P 68复习题13改编)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n （n ＋1）的前n 项和S n ＝________．5. (必修5P 68复习题12改编)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫（n ＋1）⎝⎛⎭⎫12n 的前n 项和T n ＝________．知识梳理1. 常用的一般数列的求和方法(1) 公式法：若可以判断出所求数列是等差或等比数列，则可以直接利用公式进行求和．若数列不是等差数列，也不是等比数列，有时可直接运用常见的基本求和公式进行求和．(2) 分组转化法：把数列的每一项拆成两项的差(或和)，或把数列的项重新组合，使其转化为等差或等比数列．(3) 裂项相消法：把数列的通项拆成两项的差(或和)，使求和时出现的一些正负项相互抵消，于是前n 项和变成首尾两项或少数几项的和(差)．(4) 倒序相加法：把S n 中项的顺序首尾颠倒过来，再与原来顺序的S n 相加．这种方法体现了“补”的思想，等差数列的前n 项和公式就是用它推导出来的．事实上，如果一个数列倒过来与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余的项的和可求出来，那么这样的数列就可以用倒序相加法求和．(5) 错位相减法：数列{a n b n }的求和问题应用此法，其中{a n }是等差数列，{b n }是等比数列．2. 几种常见类型的处理 (1) 形如a n ±b n 的形式方法：分组求和法． (2) 形如1a n （a n ＋d ）或1n ＋d ＋n等形式方法：采用裂项相消法．(3) 形如a n b n 的形式(其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列) 方法：采用错位相减法．(4) 首尾对称的两项和为定值的形式方法：倒序相加法． (5) 正负交替出现的数列形式方法：并项相加法.课堂导学_利用“裂项相消法”求和已知{a n }是公比不等于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 3＝3，S 3＝9. (1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 设b n ＝log 23a 2n ＋3，若c n ＝4b n b n ＋1，求数列{c n }的前n 项和T n .已知等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6. (1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和．利用“错位相减法”求和已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意的正整数n ，都有S n ＝32a n ＋n －3成立．(1) 求证：{a n －1}为等比数列； (2) 求数列{na n }的前n 项和T n .已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，n ∈N *. (1) 求证：数列{a n ＋3}是等比数列； (2) 求数列{na n }的前n 项和S n .利用“分组转化法”求和已知等差数列{a n }的公差d ≠0，a 4＝10，且a 3，a 6，a 10成等比数列． (1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 令b n ＝(－1)n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .利用“倒序相加法”求和设A(x 1，f(x 1))，B(x 2，f(x 2))是函数f(x)＝12＋log 2x1－x 的图象上的任意两点．(1) 当x 1＋x 2＝1时，求f(x 1)＋f(x 2)的值；(2) 设S n ＝f ⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋f ⎝⎛⎭⎫2n ＋1＋f ⎝⎛⎭⎫3n ＋1＋…＋f ⎝⎛⎭⎫n －1n ＋1＋f ⎝⎛⎭⎫n n ＋1，其中n ∈N *，求S n .课堂评价1. (2018·海安、南外、金陵中学三校联考)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，若a 1＝2，且S n ＋1＝2S n ，设b n ＝log 2a n ，则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 10b 11的值是________．2. 已知函数f(n)＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2，n 为奇数，－n 2，n 为偶数，且a n ＝f(n)＋f(n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 50＝________．3. 已知等差数列{a n }的首项为a ，公差为d ，且不等式ax 2－3x ＋2<0的解集为(1，d)． (1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 若b n ＝3a n ＋a n －1，求数列{b n }的前n 项和T n ., 第41课数列的综合应用激活思维1. (必修5P 38练习4改编)已知一个直角三角形的三边的长组成等差数列，其中最小边长为3，那么该直角三角形的斜边长为________．2. (必修5P 39习题8改编)已知x>0，y>0，x ，a 1，a 2，y 成等差数列，x ，b 1，b 2，y 成等比数列，那么（a 1＋a 2）2b 1b 2的最小值是________．3. (必修5P 48习题13改编)如图所示的三角形数阵，根据图中的规律，第n 行(n ≥2)第2个数是________．(第3题)4. (必修5P 44例4改编)某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，这个剧场共有________个座位．5. (必修5P 55例5改编)某人为了购买商品房，从2010年起，每年1月1日到银行存入a 元一年期定期储蓄，若年利率为p 且保持不变，并约定每年到期存款及利息均自动转为新一年定期存款，到2018年1月1日(当日不存只取)将所有的存款及利息全部取回(不计利息税)，则可取人民币为____________元．知识梳理1. 数列可以与函数、方程、不等式、三角函数、平面向量、解析几何等组成综合问题，灵活地运用等差、等比数列的知识分析问题、解决问题是关键．2. 解答有关数列的实际应用问题，通常可分为三步： (1) 根据题意建立数列模型； (2) 运用数列知识求解数列模型；(3) 检验结果是否符合题意，给出问题的答案．课堂导学新定义数列给定一个数列{a n }，在这个数列中，任取m(m ≥3，m ∈N *)项，并且不改变它们在数列{a n }中的先后次序，得到的数列{a n }的一个m 阶子数列．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋a(n ∈N *，a 为常数)，等差数列a 2，a 3，a 6是数列{a n }的一个3阶子数列．(1) 求a 的值；(2) 设等差数列b 1，b 2，…，b m 是{a n }的一个m (m ≥3，m ∈N *)阶子数列，且b 1＝1k (k 为常数，k ∈N *，k ≥2)，求证：m ≤k ＋1.(2018·南师附中、天一、海门、淮阴四校期初联考)设数列{an}的首项为1，前n项和为S n，若对任意的n∈N*，均有S n＝a n＋k－k(k是常数且k∈N*)成立，则称数列{a n}为P(k)“数列”．(1) 若数列{a n}为“P(1)数列”，求数列{a n}的通项公式；(2) 是否存在数列{a n}既是“P(k)数列”，也是“P(k＋2)数列”？若存在，求出符合条件的数列{a n}的通项公式及对应的k的值；若不存在，请说明理由．数列与函数、不等式等综合问题(2017·徐州、连云港、宿迁三检)已知两个无穷数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n，T n，a1＝1，S2＝4，对任意的n∈N*，都有3S n＋1＝2S n＋S n＋2＋a n.(1) 求数列{a n}的通项公式；(2) 若{b n}为等差数列，对任意的n∈N*，都有S n>T n，求证：a n>b n.(2018·苏州期末改编)已知各项都是正数的数列{a n}的前n项和为S n.若S n＋S n－1＝a2n＋23(n∈N *，n≥2)，且a1＝2.(1) 求数列{a n}的通项公式；(2) 若S n≤λ·2n＋1对任意的n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．数列的实际应用问题(2017·南通模拟)已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料200 kg，配料的价格为1.8元/kg，每次购买配料需支付运费236元．每次购买来的配料还需支付保管费用，其标准如下：7天以内(含7天)，无论重量多少，均按10元/天支付；超出7天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天0.03元/kg支付．(1) 当9天购买一次配料时，求该厂用于配料的保管费用P是多少元；(2) 设该厂x天购买一次配料，求该厂在这x天中用于配料的总费用y(元)关于x的函数关系式，并求该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少．某市2017年新建住房面积为500万平方米，其中安置房面积为200万平方米．计划以后每年新建住房面积比上一年增长10% ，且安置房面积比上一年增加50万平方米. 记2017年为第1年．(1) 该市几年内所建的安置房面积之和首次不低于3 000万平方米？(2) 是否存在连续两年，每年所建安置房面积占当年新建住房面积的比保持不变？并说明理由．课堂评价1. 已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝－20，在区间(3，5)内任取一个实数作为数列{a n}的公差，则S n的最小值仅为S6的概率为________．2. (2017·扬州期末)在正项等比数列{a n}中，若a4＋a3－2a2－2a1＝6，则a5＋a6的最小值为________．3. 已知数列{a n}的前n项和S n满足S n＝2a n－1.若对任意正整数n都有λS n＋1－S n<0恒成立，则实数λ的取值范围为________．4. 已知数列{a n}是以t为首项，2为公差的等差数列，数列{b n}满足2b n＝(n＋1)a n.若对任意的n∈N*都有b n≥b4成立，则实数t的取值范围是________．, 第42课推理与证明激活思维1. (选修12P 31例1改编)前提：蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的．蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物．则结论是_______________________________________________．2. (选修12P 32例3改编)由23<34，23<45，23<56，…，猜想：若m ＞0，则2＋m 3＋m 与23之间的大小关系为________．3. (选修12P 33练习3改编)观察下列等式： 1＋3＝22， 1＋3＋5＝32， 1＋3＋5＋7＝42， …从中归纳出一般结论是_________________________________________．4. (选修12P 47定义改编)分析法是从要证的结论出发，寻求使它成立的________条件．5. (选修12P 49例1改编)要证明“正弦函数没有比2π小的正周期”可选择的方法有以下几种，其中最合理的是________．(填序号)①反证法； ②分析法； ③综合法．知识梳理1. 推理一般包括合情推理和____________．其中合情推理又包括____________和____________．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：________、________、________． 2. 归纳推理是由________到整体，由特殊到________的推理；类比推理是由________到________的推理；演绎推理是由________到________的推理． 3. 证明分直接证明和间接证明．直接证明又有综合法、________法等．常用的间接证明方法是________．4. 综合法是从________________出发，经过逐步的推理，达到待证的________．分析法是从____________出发，寻求结论成立的________条件，达到题设的________________________________________________________________________或__________________________________．反证法是从______________________________入手，推出与__________________________________________或显然成立的事实等矛盾的结果，从而判定假设错误，结论成立．一般步骤为____________、归谬、____________．课堂导学合情推理在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n<19，n ∈N *)成立，类比上述性质，相应地，在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则有等式________________________成立．一种十字绣作品由相同的小正方形构成，如图，图①②③④分别是制作该作品前四步时对应的图案，按照如此规律，第n 步完成时对应图案中所包含小正方形的个数记为f (n )．,①) ,②) ,③) ,④)(例2)(1) 求出f(2)，f(3)，f(4)的值；(2) 利用归纳推理，归纳出f(n ＋1)与f(n)的关系式； (3) 猜想f(n)的表达式，并写出推导过程．已知圆x 2＋y 2＝r 2上任意一点(x 0，y 0)处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2，类比以上结论有：双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上任意一点(x 0，y 0)处的切线方程为________________．综合法与分析法在△ABC 中，已知3b ＝23a sin B ，且cos A ＝cos C ，求证：△ABC 为等边三角形．用分析法证明：若a>0，则a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.若a ＞b ＞c ＞d ＞0且a ＋d ＝b ＋c ，求证：d ＋a ＜b ＋ c._反证法若x ，y 都是正实数，且x ＋y>2，求证：1＋x y <2与1＋yx<2中至少有一个成立．设{a n }，{b n }是公比不相等的两个等比数列，c n ＝a n ＋b n ，求证：数列{c n }不是等比数列．课堂评价1. 观察下列等式： 1－12＝12，1－12＋13－14＝13＋14，1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16，…据此规律，第n 个等式可为________．2. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数．,1) ,3) ,6) ,10)(第2题)将三角形数1，3，6，10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }，可以推测：b 2 019是数列{a n }中的第________项．3. (2017·徐州检测)观察下列等式：13＝12，13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第n 个等式为________________．4. 已知a ，b ，c 成等差数列且公差d ≠0，求证：1a ，1b ，1c 不可能成等差数列．可转化为等差、等比数列的问题已知在数列{a n }中，a 1＝3，且a n ＋1＝a n ＋2n ，n ∈N *，求数列{a n }的通项公式．【思维引导】由“差成等比数列”，注意到{a n }的递推公式的形式与等差数列的递推公式类似，因而采用把若干个差逐一相加，使中间若干项相抵消来求得通项．在数列{a n }中，已知 a 1＝a 2＝1，a n ＋a n ＋2＝λ＋2a n ＋1，n ∈N *，λ为常数．(1) 求证：a 1，a 4，a 5成等差数列；(2) 设c n ＝2a n ＋2－a n ，求数列{c n }的前n 项和 S n .1. 数列的基本思想方法是递推，确定数列的通项对于研究数列的性质起着至关重要的作用，求数列的通项一般可以构造辅助的等差(比)数列获解．当能求出差数列{a n ＋1－a n }时，可以利用恒等式a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1处理；当能求出商数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1a n 时，可以利用恒等式a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1处理；对于一阶线性递推关系： a n ＋1＝pa n ＋q ，可以利用待定系数法处理，也可先求差数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1pn ＋1－a n p n 后再处理；对于一阶非线性递推关系： a n ＋1＝pa n ＋qr n ，可以化为一阶线性递推关系后再来处理；对于二阶线性递推关系： a n ＋1＝pa n ＋qa n －1，可以通过构造{a n ＋1－xa n }化为一阶非线性递推关系处理．2. 对于数列中可转化为等差、等比数列的问题需要注意以下两点：①以递推式为目标，具备整体观点看问题，必要时进行整体代换，注意起始下标，要注重细节；②一般数列的求通项、求和问题大多以递推通项为背景，通过常见的公式，累加、累乘、构造等方法对递推公式进行变形，最终转化为我们熟知的等差、等比数列的定义式进行求解，有时候在构造过程中我们会用到多种构造方法，但最终的目的还是将未知的数列转化为我们已知的数列进行求解．对于小题可以通过列举前几项，猜想通项公式解决．1. 已知在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n a n ＋3(n ∈N *)，则a n ＝________．2. 已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a n a n ＋2，则数列{a n }的通项公式为________．3. 已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－4a n ＝3×2n ＋1，那么a n ＝________．4. 已知在正项数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋3×5n ，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________．5. 在正项数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1－a n ＋1＝a n ＋a n ，则数列{a n }的通项公式为________．6. 已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝4(n ≥1)，且a 1＝9，其前n 项和为S n ，则满足不等式|S n －n －6|＜1125的最小整数n ＝________．7. 已知数列{a n }满足a 1＝78，且a n ＋1＝12a n ＋13，n ∈N *. (1) 求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －23是等比数列； (2) 求数列{a n }的通项公式．8. 已知等比数列{a n }是递增数列，a 2a 5＝32，a 3＋a 4＝12，数列{b n }满足b 1＝1，且b n ＋1＝2b n ＋2a n (n ∈N *)．(1) 求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 是等差数列； (2) 若对任意n ∈N *，不等式(n ＋2)b n ＋1≥λb n 总成立，求实数λ的最大值．子数列问题已知在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝a ，且a n ＋1＝k(a n ＋a n ＋2)对任意正整数n 都成立，数列{a n }的前n 项和为S n .(1) 若k ＝12，且S 2 018＝2 018a ，求a 的值； (2) 是否存在实数k ，使数列{a n }是公比不为1的等比数列，且对任意相邻三项a m ，a m ＋1，a m ＋2按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由．【思维引导】假设存在这样的k ，然后根据{a n }是等比数列，得到a m ，a m ＋1，a m ＋2，最后进行排序，从而分类讨论解决问题．已知在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧13a n ＋n ，n 为奇数，a n －3n ，n 为偶数.(1) 是否存在实数λ，使得数列{a 2n －λ}是等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由；(2) 若S n 是数列{a n }的前n 项和，求满足S n >0的所有正整数n.【思维引导】(1) 数列的奇偶项问题的处理类似分段函数的处理，对奇数项和偶数项分别进行处理；(2) 把a 2k －1＋a 2k 看做一项，求出S 2k ，再求S 2k －1＝S 2k －a 2k .数列解答题是高考中的压轴题，跟子数列相关问题也是高考中的常考问题．主要有以下两类问题：(1) 子数列是从一个数列中抽取几个数，按照它们在原数列中的顺序所组成的新的数列．此类问题的处理关键是认清原数列和子数列的关系．(2) 数列的奇偶项问题的处理类似分段函数的处理，分别对奇数项和偶数项进行处理．如：对于通项公式分奇偶不同的数列{a n }求S n 时，我们可以分别求出奇数项的和及偶数项的和，也可以把a 2k －1＋a 2k 看做一项，求出S 2k ，再由S 2k －1＝S 2k －a 2k 求S 2k －1.1. 若公差不为0的等差数列的第二、三、六项构成等比数列，则公比q ＝________．2. 在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝________．3. 若数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＋a n ＝2n ，则a 2 018＝________．4. 约瑟夫规则：将1，2，3，…，n 按逆时针方向依次放置在一个单位圆上，然后从1开始，按逆时针方向，每隔一个数删除一个数，直至剩余一个数为止，删除的数依次为1，3，5，7，….当n ＝65时，剩余的一个数为________．5. (2018·无锡期末)已知数列{a n }满足⎝⎛⎭⎫1－1a 1⎝⎛⎭⎫1－1a 2·…·⎝⎛⎭⎫1－1a n ＝1a n，n ∈N *，S n 是数列{a n }的前n 项和．(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 若a p ，30，S q 成等差数列，a p ，18，S q 成等比数列，求正整数p ，q 的值；(3) 是否存在k ∈N *，使得a k a k ＋1＋16为数列{a n }中的项？若存在，求出所有满足条件的k 的值；若不存在，请说明理由．6. (2018·姜堰、泗洪联合调研)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝m(m ≠3)，a n ＋1＝S n ＋3n ，n ∈N *，数列{b n }满足b n ＝S n －3n ，n ∈N *.(1) 求证：数列{b n }是等比数列；(2) 若a n ＋1≥a n ，n ∈N *，求实数m 的最小值；(3) 当m ＝4时，给出一个新数列{c n }，其中c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，b n ，n ≥2，设这个新数列{c n }的前n 项和为C n ，若数列{C n }中必有一项可以写成t p (t ，p ∈N *，t >1，p >1)的形式，请写出这一项．(只要写出结果，无需说明理由)高考总复习一轮复习导学案数学文科学生用书详解详析第一章集合与常用逻辑用语第1课集合的概念与运算激活思维1. {1，2}【解析】因为x2－3x＋2＝0，所以x＝1或x＝2.故集合为{1，2}．2. 7【解析】因为A＝{x|0≤x＜3且x∈N}＝{0，1，2}，所以真子集有7个．3. {0，1}【解析】由题意知A∩B＝{0，1}．4. [4，＋∞)【解析】在数轴上画出集合A，B，根据图象可知a∈[4，＋∞)．5. 3【解析】因为全集U＝A∪B＝{3，4，5，7，8，9}，A∩B＝{4，7，9}，所以∁U(A∩B)＝{3，5，8}，所以∁U(A∩B)中的元素共有3个．知识梳理1.(1) 确定的不同的集合元素(2) 确定性互异性无序性(3) 列举法描述法Venn图法(4) N N*N＋Z QR C2. (1) ∈∉(2) ⊆〓＝3. (1) 交集A∩B{x|x∈A且x∈B}(2) 并集A∪B{x|x∈A或x∈B}(3) 补集∁S A {x|x∈S且x∉A}课堂导学例1【思维引导】由分析数字1是集合B中的某个元素入手．【答案】1【解析】由题意可得1∈B，又a2＋3≥3，故a＝1，此时B＝{1，4}，符合题意．【精要点评】关于集合交集、并集、补集的基本运算是江苏高考中常见的考查题型，属于简单问题的处理．集合的基本运算中还可能涉及到元素与集合、集合与集合之间的基本运算等知识点．高频考点·题组强化1. {1，8}【解答】因为A＝{0，1，2，8}，B＝{－1，1，6，8}，所以A∩B＝{1，8}．2. {－3，－2，2}【解答】因为A＝{x|(x＋3)(x－2)＝0}＝{－3，2}，B＝{x|x2－4＝0}＝{－2，2}，所以A∪B＝{－3，－2，2}．3. {1，3，5}【解析】由A∩B＝{3}，得a＋2＝3，所以a＝1，所以A∪B＝{1，3，5}．4. {－1}【解析】因为A＝{－1，1}，所以A∩B＝{－1}．5.{x|－1≤x≤2}【解答】解不等式x2－x－2>0，得x<－1或x>2，所以∁R A＝{x|－1≤x≤2}．例2【思维引导】认清集合元素的属性(是点集)，根据x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z判断出集合A中的元素是圆x2＋y2＝3及其内部的整数点．【答案】9【解析】由题知集合A中的元素是圆x2＋y2＝3及其内部的整数点，有(0，1)，(0，－1)，(1，0)，(－1，0)，(1，1)，(1，－1)，(－1，1)，(－1，－1)，(0，0)，共9个．【精要点评】与集合中元素有关问题的求解策略：(1) 确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集；(2) 看这些元素满足什么限制条件；(3) 根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．变式【答案】(1) 9 (2) －32【解析】(1) 集合B 中元素有(1，1)，(1，2)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，4)，(4，1)，(4，2)，(4，4)，共9个．(2) 由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，则m ＝1或m ＝－32. 当m ＝1时，m ＋2＝3且2m 2＋m ＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2＋m ＝3，故m ＝－32. 例3 【思维引导】(1) 对于B ⊆A ，一定要分B ＝∅和B ≠∅两种情况进行讨论．(2) “不存在元素x 使得x ∈A 与x ∈B 同时成立”表示A ∩B ＝∅.【解答】(1) ①当m ＋1＞2m －1，即m ＜2时，B ＝∅，满足B ⊆A ；②当m ＋1≤2m －1，即m ≥2 时，要使B ⊆A 成立，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤5，解得2≤m ≤3. 综上，实数m 的取值范围为{m|m ≤3}．(2) 因为x ∈R ，且A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，不存在元素x 使得x ∈A 与x ∈B 同时成立，即A ∩B ＝∅.①若B ＝∅，即m ＋1＞2m －1，得m ＜2，此时满足条件；②若B ≠∅，则需满足的条件有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1>5或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，2m －1<－2，解得m ＞4. 综上，实数m 的取值范围为{m |m <2或m >4}．【精要点评】(1) 空集是任何集合的子集，因此，当 B ⊆A 时需考虑 B ＝∅的情形；(2) 当A ∩B ＝∅时也需考虑B ＝∅的情形，当集合B 不是空集时，要保证B ⊆A ，可以利用数轴，这样既直观又简洁；(3) 虽然本题的难度不大，但都需要分两种情况进行讨论，在(1)中解不等式组时需求交集，而最终结果又都要求两种讨论结果的并集，因此，本题综合性还是很强的．变式1 【答案】(－∞，－1]【解析】因为B ⊆(A ∩B)，所以B ⊆A.①当B ＝∅时，满足B ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，即a ≤－32. ②当B ≠∅时，要使B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧－a<a ＋3，－a ≥1，a ＋3<5，解得－32<a ≤－1. 由①②可知，实数a 的取值范围为(－∞，－1]．变式2 【解答】(1) 由x 2－4x －5≤0，得－1≤x ≤5，所以A ＝[－1，5]．由2x －6≥0，得x ≥3，所以B ＝[3，＋∞)，所以M ＝[3，5]．(2) 因为M ∩C ＝M ，所以M ⊆C ，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤3，7－a ≥5，a －1≤7－a ，解得a ≤2.故实数a 的取值范围为(－∞，2]．。

2020高考江苏数学(理)大一轮复习(理科提高版)复习练习题：练习册 第七章数列

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