精编(人教版)必修一数学：16《函数与方程》巩固练习函数与方程提高版(含答案)

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人教版高中数学必修一知识讲解,巩固练习(教学资料,补习资料)：专题3.1 函数与方程高一数学人教版

知识一、函数的零点 1．函数零点的概念对于函数()y f x =，我们把使_______的实数x 叫做函数()y f x =的零点．易错提醒1．函数的零点是实数，而不是点． 2．并不是所有的函数都有零点．3．若函数有零点，则零点一定在函数的定义域内．2．函数零点与方程根的联系函数()y f x =的零点就是方程()0f x =的实数根，也就是函数()y f x =的图象与x 轴的交点的________．所以方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点．二、函数零点的判断如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是_______一条曲线，并且有_______，那么，函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点，即存在(,)c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根．注意：由零点存在性定理只能判断出零点存在，不能确定零点的个数．三、二分法的定义对于在区间[,]a b 上连续不断且______的函数()y f x =，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间________，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．注意：用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点（曲线通过零点时函数值的符号变号）适用，对函数的不变号零点（曲线通过零点时函数值的符号不变号）不适用．四、用二分法求函数零点近似值的步骤给定精确度ε，用二分法求函数()f x 零点近似值的步骤如下： 1．确定区间[,]a b ，验证_______，给定精确度ε． 2．求区间(,)a b 的中点c ． 3．计算()f c ，（1）若()0f c =，则c 就是函数的零点；（2）若()()0f a f c ⋅<，则令b c =（此时零点0(,)x a c ∈）；（3）若()()0f c f b ⋅<，则令a c =（此时零点0(,)x c b ∈）．4．判断是否达到精确度ε：即若________，则得到零点近似值a （或b ）；否则重复2~4．名师提醒1．应用二分法求函数零点近似值（方程的近似解）时，应注意在第一步中要使：（1）区间[,]a b 的长度尽量小；（2）()f a ，()f b 的值比较容易计算，且()()0f a f b ⋅<． 2．由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解．易错辨析精确度与精确到不是一回事，精确度是近似数的误差不超过某个数，就说它的精确度是多少，即设x 为准确值，x '为x 的一个近似值，若x x ε'-<，则x '是精确度为ε的x 的一个近似值．而按四舍五入的原则得到准确值x 的前几位近似值x '，x '的最后一位有效数字在某一数位，就说精确到某一数位．知识参考答案：重点1．函数零点的求法求函数的零点一般有两种方法．（1）代数法：根据零点的定义，解方程()0f x =，它的实数解就是函数()y f x =的零点．（2）几何法：若方程()0f x =无法求解，可以根据函数()y f x =的性质及图象求出零点．【例1】已知函数221,1()1log ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨+>⎩，则函数()f x 的零点为________．【答案】0【解析】当1x ≤时，由()210xf x =-=，解得0x =；当1x >时，由2()1log 0f x x =+=，解得12x =，又因为1x >，所以此时方程无解．综上，函数()f x 的零点为0．【名师点睛】求函数的零点就是求使这个函数的函数值为零时的自变量的值，即解相应的方程．若遇到解高次方程，可用因式分解法．【例2】若函数()2f x x ax b =-+的两个零点是2和3，则函数()21g x bx ax =--的零点是A ．1-和16 B ．1和16- C ．12和13D ．12-【答案】B2．函数零点个数的判断方法（1）解方程法：令f （x ）=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f （a ）·f （b ）<0，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性）才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．（3）数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．【例3】已知01a <<，则函数log xa y a x =-的零点的个数为______．【答案】2【解析】函数log xa y a x =-的零点的个数即为方程log xa a x =的解的个数，也就是函数()(01)xf x a a =<<与()log (01)a g x x a =<<的图象的交点的个数．画出函数图象如图所示，观察可得函数()(01)xf x a a =<<与()log (01)a g x x a =<<的图象的交点的个数为2，从而函数log xa y a x =-的零点的个数为2．【技巧点拨】判断函数()()()f x h x g x =-的零点个数问题，可采用数形结合的方法． 3．判断函数零点、方程的根所在的区间确定函数的零点（方程的根）所在的区间时，可以利用零点的存在性定理转化为判断区间两端点对应的函数值是否异号来确定，也可以利用数形结合法，通过画函数图象与x 轴的交点来确定．【例4】已知实数,a b 满足23,32a b ==，则函数()xf x a x b =+-的零点所在的区间是A ．(2,1)--B ．(1,0)-C ．(0,1)D ．(1,2)【答案】B【名师点睛】在判断区间端点对应的函数值的符号时，要注意运用指数函数、对数函数及幂函数的相关知识来解决．4．求与零点（或方程的根）有关的参数的取值范围（1）已知函数零点所在区间求参数或参数的取值范围根据函数零点或方程的根求解参数的关键是结合条件给出参数的限制条件，此时应分三步： ①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；③解不等式，即得参数的取值范围．在求解时，注意函数图象的应用．（2）已知函数零点的个数求参数或参数的取值范围一般情况下，常利用数形结合法，把此问题转化为求两函数图象的交点问题．【例5】函数()22x f x a x=--的一个零点在区间()1,2内，则实数a 的取值范围是 A ．()1,3 B ．()1,2 C ．()0,3D ．()0,2【答案】C【例6】已知函数()()21,1,1a x x f x x a x ⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩，函数()()2g x f x =-，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则实数a 的取值范围是________．【答案】(2,3]【解析】由题意函数()()()2[1]y f x g x f x =-=-恰有4个零点，则方程()1f x =有4个解．作出函数()()21,1,1a x x f x x a x ⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩的图象，如图所示，当1x ≤时，函数()f x 的最大值为a ；在[1,1]-上，()1f x a x =-+的最小值为(1)2f a =-；当1a >时，在(1,]a 上，2(1)(1)f a =-．要使方程()1f x =有4个解，则()212111a a a ⎧>⎪⎪-≤⎨⎪->⎪⎩，解得23a <≤．故实数a 的取值范围是(2,3]．5．二次函数的零点与一元二次方程根的分布问题（1）二次函数2)( 0y ax bx c a =++>的零点：（2）一元二次方程20ax bx c ++=在区间内的根的问题一般转化为相应的二次函数的零点问题，转化时需要从三个方面考虑： ①判别式；②区间端点函数值的正负； ③对称轴2bx a=-与区间端点的关系．【例7】若方程()()21210x k x k +--+=的一个根在区间()2,3内，则实数k 的取值范围是 A ．()3,4 B ．()2,3 C ．()1,3D ．()1,2【答案】D【解析】设()()()2121f x x k x k =+--+，对于方程()()21210x k x k +--+=，判别式为()()()221412130k k k ∆=--⨯⨯-+=+≥⎡⎤⎣⎦，当3k =-时，函数()f x 的唯一零点为()22,3x =-∉，故要使方程()()21210x k x k +--+=的一个根在区间()2,3内，只需()()230f f ⋅<，即()()441050k k -⋅-<，解得12k <<，故选D ．【例8】（1）m 为何值时，2()234f x x mx m =+++．①有且仅有一个零点； ②有两个零点且均比1-大．（2）若函数2()4f x x x a =-+有4个零点，求实数a 的取值范围．（2）令()0f x =，得240x x a -+=，即24x x a -=-．令2()4g x x x =-，()h x a =-．作出(),()g x h x 的图象如图所示：由图象可知，当04a <-<，即40a -<<时，()g x 与()h x 的图象有4个交点，即()f x 有4个零点，故a 的取值范围为(4,0)-．【名师点睛】第（1）问利用方程的根与相应函数的零点的联系，把问题转化为含参数的一元二次方程根的分布问题，可根据一元二次方程实数根的分布与二次函数的图象列出等式或不等式组，从而获得参数的值或取值范围． 6．二分法的适用条件当方程()0f x =同时满足下列三个条件时：（1）函数()f x 在闭区间[,]a b 上的图象是一条连续曲线；（2）函数()f x 在区间(,)a b 上有唯一的零点；（3）()()0f a f b ⋅<．用二分法一定能够求出方程()0f x =的近似解．【例9】下列函数图象与x 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是【答案】C【名师点睛】若D 选项中的图象在包含零点的一定区间内，函数是连续的，则仍可以使用二分法求零点． 7．二分法的简单应用二分就是平均分成两部分，二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．【例10】用二分法求函数()f x 的一个正实数零点时，经计算：()()0.640,0.720f f <>，()0.680f <，()0.740f >，则函数()f x 的一个精确度为0．1的正实数零点的近似值为A ．0.64B ．0.8C ．0.7D ．0.6【答案】C【名师点睛】“二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点． 8．用二分法求函数的零点或方程的近似解（1）用二分法求函数的零点按照二分法求函数零点近似值的步骤求解即可，在求解过程中，我们可以借助表格或数轴清楚地描写逐步缩小的零点所在的区间，在区间长度小于精确度ε时终止运算．（2）根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的．求方程()0f x =的近似解，即按照用二分法求函数()f x 零点近似值的步骤求解．对于求形如()()f x g x =的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如()()()0F x f x g x =-=的方程的近似解，然后按照用二分法求函数()F x 零点近似值的步骤求解．有些较复杂的探求方程近似解的问题需要大致作出函数图象或列表，以此确定方程近似解所在的区间，即初始区间．【例11】用二分法求函数2()5f x x =-的一个正零点（误差不超过0.02）．【解析】由于(0)50(3)40f f =-<=>，，故可取区间(03)，作为计算的初始区间．用二分法逐次计算，列表如下：由上表计算可知，区间(2.22656252.23828125)，的长度小于0.02，所以此区间的中点2.232421875可作为所求函数的一个正零点的近似值．【名师点睛】用二分法求函数的零点的近似值，首先要选好初始区间，这个区间既要包含所求的根，又要使其长度尽量小；其次要依据给定的精确度及时检验区间长度是否满足精确度，以决定是否继续计算．【例12】借助计算器或计算机，用二分法求方程lg 210xx --+=的近似解（精确到0.1）．【解析】令()lg 21xf x x -=-+，函数()f x 的定义域为(0,)+∞．因为函数()f x 在(0,)+∞上是增函数，所以()f x 至多有一个零点．又因为(1)0.50f =>，(0.1)0.9330329910f ≈-<，所以方程在(0.1,1)内有唯一一个实数解．用二分法逐次计算，列表如下：由于区间(0.493750.521875)，内的所有值，若精确到0.1，都是0.5，所以0.5是方程精确到0.1的近似解．【名师点睛】本题中利用函数的单调性确定了初始区间，也可以在平面直角坐标系中画出函数lg 1y x =+与函数1()2x y =的图象，根据图象确定初始区间．9．二分法思想的实际应用二分法的思想方法除了可以用来处理生活中、数学中的对称问题外，还可以通过其思想方法处理一些现实中的不对称问题，在生活中、数学中也经常见到．要注意二分法的思想方法与实际问题之间的联系及其应用．【例13】有9个外表看上去一样的小球，其中8个重10克，1个重9克，现有一架天平，问至少称_______次可以确保把轻球挑出来．【答案】210．忽略零点存在性定理成立的条件【例14】函数1()f x x x=+的零点个数为 A ．0 B ．1 C ．2D ．3【错解】因为(1)20f -=-<，(1)20f =>，所以函数()f x 有一个零点，故选B ．【错因分析】函数的定义域决定了函数的一切性质，分析函数的有关问题时必须先求出函数的定义域．通过作图（图略），可知函数1()f x x x=+的图象不是连续不断的，而零点存在性定理不能在包含间断点的区间上使用．【正解】函数()f x 的定义域为{|0}x x ≠，当0x >时，()0f x >；当0x <时，()0f x <．所以函数()f x 没有零点，故选A ．【名师点睛】零点存在性定理成立的条件缺一不可，如果其中一个条件不成立，那么就不能使用该定理．基础训练1．函数f （x ）=x 2–3x –4的零点是A ．（1，–4）B ．（4，–1）C ．1，–4D ．4，–12．函数y =ax –2的零点有A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．对于用二分法求函数的零点的说法，下列正确的是A．函数只要有零点，就能用二分法求B．零点是整数的函数不能用二分法求C．多个零点的函数，不能用二分法求零点的近似解D．以上说法都错误4．方程1xx-=的一个实数解的存在区间为A．（0，1）B．（0.5，1.5）C．（–2，1）D．（2，3）5．方程2x+x=0在下列哪个区间内有实数根A．（–2，–1）B．（0，1）C．（1，2）D．（–1，0）6．根据表格中的数据，可以断定函数f（x）=e x–x–2的一个零点所在的区间是A．（–1，0）B．（1，2）C．（0，1）D．（2，3）7．已知函数f（x）=（14）x–15x，那么函数f（x）零点所在的区间可以是A．（–1，0）B．（0，15）C．（15，14）D．（14，1）8．已知函数f（x）的图象是连续不断的，有如下的x，f（x）对应值：函数f（x）在区间[1，6]上的零点至少有__________个．9．函数f（x）=ax2+2ax+c（a≠0）的一个零点为1，则它的另一个零点是__________．10．已知函数f（x）在定义域R上的图象如图所示，则函数f（x）在区间R上有__________个零点．能力提升11．若f（x）在区间[a，b]内单调，且f（a）•f（b）<0，则f（x）在区间[a，b]内A．至多有一个根B．至少有一个根C．恰好有一个根D．不确定12．方程x3–x–1=0在[1，2]的一个近似解（精确到0.1）是A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.513．已知函数f（x）=3x+x–5的零点x0∈[a，b]，且b–a=1，a，b∈N*，则a+b=A．–2 B．1 C．2 D．314．已知二次函数f（x）=ax2–（a+2）x+1，若a为整数，且函数f（x）在（–2，–1）上恰有一个零点，则a的值是A．–1 B．1 C．–2 D．215．方程x3+x–1=0的解x∈[n，n+1]（n∈N），则n=__________．16．方程x5–x–1=0的一个零点存在的区间可能是__________．（端点值为整数）17．已知函数f（x）对一切实数x都有f（2–x）=f（2+x），若函数f（x）恰有4个零点，则这些零点之间的和为__________．18．已知函数f（x）=x+2，判断函数g（x）=[f（x）]2+f（x2）有无零点？并说明理由．19．利用二分法求方程x 2–2=0的一个正根的近似值（精确到0.1）．真题练习20．（2019•浙江模拟）已知λ∈R ，函数f （x ）=2443x x x x x λλ-≥⎧⎨-+<⎩，，，当λ=2时，不等式f （x ）<0的解集是__________．若函数f （x ）恰有2个零点，则λ的取值范围是__________．21．（2018•天津模拟）已知函数2(43)3,0()(01)log (1)1,0且a x a x a x f x a a x x ⎧+-+<=>≠⎨++≥⎩在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|23xf x =-恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是__________．参考答案1．【答案】D【解析】由x 2–3x –4=0，可得x =4或–1，∴函数f （x ）=x 2–3x –4的零点是4，–1．故选D ． 2．【答案】B【解析】∵函数y =ax –2，∴a ≠0时，函数y =ax –2，单调函数，∴ax –2=0．x =2a，故选B ． 3．【答案】D4．【答案】B【解析】解方程1xx-=得，x=1或x=–1，故选B．5．【答案】D【解析】设函数f（x）=2x+x，其对应的函数值如下表：由于f（–1）•f（0）<0，所以方程2x+x=0在（–1，0）内有实数根，故选D．6．【答案】B【解析】根据表格中的数据，我们可以判断f（–1）<0，f（0）<0，（1）<0，f（2）>0，f（3）>0，根据零点存在定理得：在区间（1，2）上函数存在一个零点，故选B．7．【答案】C【解析】计算可得f（–1）=（14）–1–（–115)=4+1=5>0，f（0）=（14）0–150=1>0，f（1）=14–1<0，f（14）=115411()()44-<0，f（15）=115511()()45->0，∴f（14）•f（15）<0，∴函数f（x）在区间（15，14）有零点，故选C．8．【答案】3【解析】由函数的零点判定定理可知，函数的零点在（2，3），（3，4），（4，5）各一个零点，共有3个．故答案为：3．9．【答案】–3【解析】由题意可知方程ax2+2ax+c=0的一个根为1，设方程的另一个根为x1，根据根与系数的关系，则x1+1=–2，∴x1=–3．故答案为：–3．10．【答案】3【解析】由函数f（x）在定义域R上的图象可知，在区间R上，图象与x轴有三个交点，∴函数f（x）在区间R上有3个零点．故答案为：3．11．【答案】C12．【答案】B【解析】由已知令f（x）=x3–x–1，所以f（1）=–1，f（2）=4，由二分法知计算f（1.5）=78>0，由二分法知计算f（1.25）=–0.2969<0．所以方程的根位于区间（1.25，1.5）内．由f（1.375）=0.225>0．所以方程的根位于区间（1.25，1.375）内．故符合要求的选项只有1.3．故选B．13．【答案】D【解析】∵函数f（x）=3x+x–5，∴f（1）=31+1–5=–1<0，f（2）=32+2–5=4=6>0，∴f（1）f（2）<0，∴f（x）的零点x0在区间（1，2）内．∴a=1，b=2，∴a+b=3，故选D．14．【答案】A【解析】①当a=0时，–2x+1=0，故x=12；②当a<0时，函数f（x）=ax2–（a+2）x+1的零点一正一负，故f（–2）•f（–1）=（6a+5）（2a+3）<0，故–32<a<–56；③当a>0时，ax2–（a+2）x+1=0的两根为正值，故函数f（x）=ax2–（a+2）x+1在区间（–2，–1）上没有零点，综上所述，–32<a<–56．∵a为整数，∴a=–1．故选A．15．【答案】0【解析】方程x3+x–1=0的解即函数y=x3+x–1=0的零点，也就是函数y=x3与函数y=1–x交点的横坐标，在同一坐标系中作出函数y=x3与函数y=1–x的图象如下图所示：由图可知函数图象交点的横坐标位于区间[0，1]上，故n=0，故答案为：0．16．【答案】（1，2）【解析】令f（x）=x5–x–1，把x=0，1，2，3，4代入，若f（a）•f（b）<0，则零点在（a，b），所以f（1）<0，f（2）>0满足，所以在（1，2），故答案为：（1，2）．17．【答案】818．【答案】函数g（x）无零点，理由详见解析．【解析】∵f（x）=x+2，∴函数g（x）=[f（x）]2+f（x2）=（x+2）2+x2+2=2x2+4x+6=2（x+1）2+4>0，∴函数g（x）与x轴无交点，因此函数g（x）无零点．19．【答案】1.4【解析】本题即求函数f（x）=x2–2的一个为正数的零点，因为f（1）=–1<0，f（2）=2>0，所以方程x2–2=0在区间（1，2）上有实数解．再根据f（1.5）=0.25，f（1.5）•f（1）<0，再根据用二分法求方程的近似解的方法和步骤，所以方程x2–2=0在区间（1，1.5）上有实数解．…，如此不断进行下去，得到方程x2–2=0的近似解为1.4．20．【答案】{x|1<x<4}；（1，3]∪（4，+∞）函数f （x ）恰有2个零点，则1<λ≤3或λ>4．故答案为：{x |1<x <4}；（1，3]∪（4，+∞）． 21．【答案】12[,)33【解析】由函数()f x 在R 上单调递减得43130,01,31234a a a a --≥<<≥⇒≤≤，又方程|()|23x f x =-恰有两个不相等的实数解，所以232,3解得a a <<，因此a 的取值范围是12[,)33．。

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高中数学新人教版必修一知识讲解及练习附答案【巩固练习】1．函数y 1 x x 的定义域是()A．x | x 1 B ．x | x 0C ．x | x 1或x 0 D ．x | 0 x 12．函数y 2 x2 4x 的值域是( )A．[ 2,2] B ． [1,2] C．[0,2] D ． [ 2, 2]3．对于集合 A 到集合 B 的映射，有下述四个结论( )① B 中的任何一个元素在 A 中必有原象；② A 中的不同元素在 B 中的象也不同；③A 中任何一个元素在 B 中的象是唯一的；④A 中任何一个元素在 B 中可以有不同的象．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．设M x | 0 x 2 , N y |1 y 2 ，给出下列四个图形，如下图所示，其中能表示从集合M 到 N 的函数关系的有( )个．A．1个B．2个C．3个D．4个5．已知函数f ( x) 2 x, x 0 , 若f (a) f (1) 0,则实数a的值等于（）x 1,x 0A．－3 B．－ 1 C．1 D． 36．已知函数y f ( x 2) 定义域是 [ 1，2] ，则 y f (2 x 1) 的定义域是( )A． 5] B[ 14] [55]D [37] ． C ．．2 ，，，7．向高为H的水瓶里注水，注满为止，如果注水量V 与水深 h 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是图中的（）8 ．已知函数x 2则f ( x) ，1 x21 1 1 f (2010) f (1）f (1) f (2) f ( )f (3) f ( ) f (4)f ( )) 的值是（23420101A ． 2008B ． 2009C ．20092D ． 20109．若函数 yf (x) 的定义域是 0,1 ，则函数 F ( x) f (x a) f (2 x a) 0 a1 的定义域是．1, x 0，则不等式 x( x 2) f ( x2) 5 10．已知 f ( x)的解集是．1, x 011．设函数 g( x) x 22(xR), f ( x) g (x) x 4, xg( x),则 f (x) 的值域是（）．g (x) x, x g( x).12 ．已知 a, b N *，f (a b)f (a) f (b), f (1) 2,则f (2) f (3) f (4)f (2011)．f (1)f (2)f (3)=f (2010)13．当 m 为何值时，方程 x24 | x |5 m, （ 1）无解；（ 2）有两个实数解；（3）有三个实数解；（ 4）有四个实数解．14．已知函数 f (x) ax 2bx c ，且满足 f (0) 0, f ( x 1) f ( x) x 1,求 f ( x) 的值域．15．设 A, B 两地相距 260 km ，汽车以 52km/ h 的速度从 A 地到 B 地，在 B 地停留 1.5h 后，再以 65km / h 的速度返回到 A 地．试将汽车离开A 地后行走的路程 s 表示为时间 t 的函数．16．已知函数对任意的实数 a, b ，都有 f ( ab) f (a) f (b) 成立．（ 1）求 f (0), f (1)的值；（ 2）求证： f (1) f (x)0(x 0) ；x（ 3）若 f (2)m, f (3)n(m, n 均为常数 ) ，求 f (36) 的值．【答案与解析】1．【答案】 D ．【解析】由题意 1-x ≥ 0 且 x ≥0，解得 0x1 ，故选 D ．2．【答案】 C.【解析】x 24x( x 2) 2 4 4,0x 2 4x 2, 2 x 2 4x 02x 2 4x2,0 y2 ；3．【答案】 A ．【解析】由映射的概念知，只有③正确． 4．【答案】 A ．【解析】由函数的定义知选A ．5．【答案】 A ．【解析】该分段函数的二段各自的值域为,1, 0，， f (a) f (1) 2∴ f ( a) a 1 2, a3 ∴ a 3．6．【答案】 A ．【解析】1x 2,1 x2 4,1 2x 1 4,1 x5；7．【答案】 B. 2【解析】观察函数的图象发现，图象开始“增得快” ，后来“增得慢” ， A 、 C 、 D 都不具备此特性．也就是由函数的图象可知，随高度h 的增加，体积 V 也增加，并且随单位高度 h 的增加，选项 A 的体积 V的增加量变大；选项 B 的体积 V 的增加量变小；选项 C 的体积 V 的增加量先变小后变大；选项D 的体积 V 的增加量不变，故选 B.8．【答案】 C ．【解析】9．【答案】1 1 原式 f (1) 20091 1 f (2) f ( ) 1, f (3)f ( ) 1, ，2009 2009 ．2322a , 1 a 2 20 x a 1,a x 1 a, a ,1a a1 a ．a1 a ，又a1 a,x解不等式组0 2x a得1.x22222210．【答案】【解析】 (3 ] .,23 ,当 x 20,即x2, f ( x 2) 1,则 x x 2 5, 2 x2当 x 20,即 x 2, f (x 2)1,则 x x2 5, 恒成立，即 x 2 ，3∴ x.211．【答案】【解析】9,0 2,．4令 xg (x) ，即 x 2 x2 0 ，解得 x 1或 x 2 ．令 x g( x) ，而 x 2 x 20 ，解得 1 x 2 ，x 2x 2( x 1或 x2),当 x1或 x 2 时，函数 f ( x) f ( 1) 2；当1 x2故函数 f ( x)x 2( 1 x 2).x 21) f ( x) f ( 9f ( x) 0 ．故函数 f ( x) 的值域是9,02,．时，函数 f ( 1) ，即2 4 412．【答案】 4020【解析】令 a x, b 1 ，则由 f (a b) f (a) f (b), f (1) 2,可得 f ( x 1) f (1) f ( x) 2 f ( x), 即f (x 1)2, 分别令 x 1,2,3, ,2010 ，f (x)则 f (2) f (3) f (4) f (2011)f (1) f (2) f (3) f (2010)=2+2+2+ +2=2010× 2=402013．【解析】设y1 x2 4 | x | 5, y2 m ，则该方程解的个数问题即可转化为两个函数图象的交点个数问题来处理．设 y1 x2 4 | x | 5,x2 4 x 5, x 0,则 y12 4x 5, x 0.x画出函数的图象，如右图．再画出函数y2m 的图象．由图象可以看出：（1）当m 1时，两个函数图象没有交点，故原方程无解．（2）当m 1或m 5时，两个函数图象由两个交点，故原方程有两个解．（3）当m 5时，两个函数图象有三个交点，故原方程有三个解．（4）当1 m 5时，两个函数图象有四个交点，故原方程有四个解．14．【答案】 1 ,8【解析】由 f (0) 0 得c 0 ，从而 f (x) ax2 bx由 f (x 1) f ( x) x 1,得 a(x 1)2 b( x 1) ax2 bx x 1,整理得 2ax a b x 1 ，x R ，2a 1,，解得a b1 a b.1 2f (x) 1 x2 1 x 1 ( x 1 )2 1 ， f (x) 的值域为 1 , .2 2 2 2 8 852t, 0 t<515．【答案】 s260,5 t 6.526065(t 6.5),6.5 t10.516．【解析】（ 1）不妨设 a b 0,则应用 f (0 0) f (0) f (0),从而得 f (0)0 ，设 a b 1 ，则应有 f (1 1) f (1)f (1),f (1) 0 .（ 2）证明：当 x 0 时，注意到 x 1 1 ，于是 f (1) f ( x 1 ) f (x) f ( 1) ，而 f (1) 0,f ( 1) 0(x x x x所以 f ( x) 0) .x（ 3 ）题设中有 f (2)m, f (3) n ，因此需将 36 转化，注意到 36=22 32，因此，f (36)f (22 32 ) f (2 2 )f (32 ) f (22)f (3 3) = 2 f (2) 2 f (3) 2(m n) .。

精编(人教版)必修一数学：32《指数、对数、幂函数》全章复习巩固练习提高版(含答案)

【巩固练习】 1．设函数f(x)和g(x)分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )A ．|f(x)|－g(x)是奇函数B ．|f(x)|＋g(x)是偶函数C ．f(x)－|g(x)|是奇函数D ．f(x)＋|g(x)|是偶函数2．已知函数y ＝f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(2＋x)＝f(2－x)，则f(4)＝( )A ．4B ．2C ．0D ．不确定3．若函数x 2x 1x a f(x)=(+)(-)为奇函数，则a ＝( ) A. 12B. 23C. 34 D ．1 4．已知f(x)是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时， f(x)＝x 3－x ，则函数y ＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．95．设f(x)＝2x ,|x |1x,|x |1⎧≥⎨<⎩g(x)是二次函数，若f(g(x))的值域是[0，＋∞)，则g(x)的值域是( )A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B ．(－∞，－1]∪[0，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．[1，＋∞)6．已知f(x)＝2x 1,1x 0x 1,0x 1+-≤≤⎧⎨+<≤⎩，则如图中函数的图象错误的是( )7．已知f(x －1x )＝x 2＋21x，则函数f(3)＝________. 8．设函数f(x)是定义在R 上周期为3的奇函数，若f(1)<1，f(2)＝211a a -+，则a 的取值范围是________．9．设函数f(x)＝12(x ＋|x|)，则函数f[f(x)]的值域为________． 10．已知函数f(x)＝a 1- (a ≠1)，若f(x)在区间(0,1]上是减函数，则实数a 的取值范围是________．11．二次函数f(x)满足f(x ＋1)－f(x)＝2x ，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)解不等式f(x)>2x ＋5.12．函数f(x)对一切实数x 、y 均有f(x ＋y)－f(y)＝x(x ＋2y ＋1)成立，且f(1)＝0，(1)求f(0)的值；(2)试确定函数f(x)的解析式．13．已知函数f(x)＝22x 2x,x 00,x 0x mx,x 0⎧-+>⎪=⎨⎪+<⎩是奇函数． (1)求实数m 的值；(2)若函数f(x)在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．14．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 012)．15．已知函数f(x)＝x2＋4ax＋2a＋6.(1)若函数f(x)的值域为[0，＋∞)，求a的值；(2)若函数f(x)的函数值均为非负数，求g(a)＝2－a|a＋3|的值域．16．已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【答案与解析】1．【答案】D【解析】设F(x)＝f(x)＋|g(x)|，由f(x)和g(x)分别是R 上的偶函数和奇函数，得F(－x)＝f(－x)＋|g(－x)|＝f(x)＋|g(x)|＝F(x)，∴f(x)＋|g(x)|是偶函数．2．【答案】C【解析】∵f(x)是R 上的奇函数，∴f(0)＝0.∴f(4)＝f(2－2)＝f(0)＝0.3．【答案】A 【解析】法一：由已知得x 2x 1x a f(x)=(+)(-)定义域关于原点对称，由于该函数定义域为 1x |x x a 2⎧⎫≠-≠⎨⎬⎩⎭且，知a ＝12 法二：∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，又f(x)＝2x 2x (12a x a +-)-则2x 2x (12a x a ---)-＝2x 2x (12a x a-+-)-在函数的定义域内恒成立，∴1－2a ＝0，可得a ＝124．【答案】B 【解析】由f(x)＝0，x ∈[0,2)可得x ＝0或x ＝1，即在一个周期内，函数的图象与x 轴有两个交点，在区间[0,6)上共有6个交点，当x ＝6时，也是符合要求的交点，故共有7个不同的交点．5．【答案】C【解析】由f(x)≥0，可得x ≥0或x ≤－1，且x ≤－1时，f(x)≥1；x ≥0时，f(x)≥0. 又g(x)为二次函数，其值域为(－∞，a]或[b ，＋∞)型，而f(g(x))的值域为[0，＋∞)，可知g(x)≥0.6．【答案】D【解析】因f(x)＝2x 1,1x 0x 1,0x 1+-≤≤⎧⎨+<≤⎩其图象如图，验证知f(x －1)，f(－x)，f(|x|)的图象均正确，只有|f(x)|的图象错误．7．【答案】11【解析】∵f(x－1x)＝x2＋21x＝(x－1x)2＋2，∴f(x)＝x2＋2，∴f(3)＝32＋2＝11.8．【答案】(－∞，－1)∪(0，＋∞)【解析】∵f(x)是奇函数，∴f(1)＝－f(－1)<1.∴f(－1)>－1.又∵f(x)的周期为3，∴f(－1)＝f(2)＝211aa-+>－1.即31aa+>0，解得a>0或a<－1.9．【答案】[0，＋∞)【解析】先去绝对值，当x≥0时，f(x)＝x，故f[f(x)]＝f(x)＝x，当x<0时，f(x)＝0，故f[f(x)]＝f(0)＝0，即f[f(x)]＝x,x00,x1≥⎧⎨<⎩，易知其值域为[0，＋∞)．10．【答案】(－∞，0)∪(1,3]【解析】当a－1>0，即a>1时，要使f(x)在(0,1]上是减函数，则需3－a×1≥0，此时1<a≤3.当a－1<0，即a<1时，要使f(x)在(0,1]上是减函数，则需－a>0，此时a<0所以，实数a的取值范围是(－∞，0)∪(1,3]11．【解析】(1)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．∵f(0)＝1，∴c＝1.把f(x)的表达式代入f(x＋1)－f(x)＝2x，有a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x.∴2ax＋a＋b＝2x.∴a＝1，b＝－1.∴f(x)＝x2－x＋1.(2)由x2－x＋1>2x＋5，即x2－3x－4>0，解得x>4或x<－1.故原不等式解集为{x|x>4或x<－1}．12．【解析】(1)令x＝1，y＝0，得f(1)－f(0)＝2.又∵f(1)＝0，∴f(0)＝－2.(2)令y＝0，则f(x)－f(0)＝x(x＋1)，由(1)知，f(1)＝x(x＋1)＋f(0)＝x(x＋1)－2＝x2＋x－2.13．【解析】(1)设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象知a21, a21,->-⎧⎨-≤⎩所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．14．【解析】(1)∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2.又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2，∴f(x)＝x2＋2x.又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.从而求得x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.(3)f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1.又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 008)＋f(2 009)＋f(2 010)＋f(2 011)＋f(2 012)＝0.∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 012)＝0.15．【解析】(1)∵函数的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝16a 2－4(2a ＋6)＝0⇒2a 2－a －3＝0⇒a ＝－1或a ＝32(2)∵对一切x ∈R 函数值均为非负，∴Δ＝8(2a 2－a －3)≤0⇒－1≤a ≤32， ∴a ＋3>0.∴g(a)＝2－a|a ＋3|＝－a 2－3a ＋2＝－（a+32)2＋174,312a ,⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦∵二次函数g(a)在312,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减， ∴g 32⎛⎫ ⎪⎝⎭≤g(a)≤g(－1)，即－194≤g(a)≤4. ∴g(a)的值域为1944,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 16．【解析】(1)∵f(1)＝1，∴log 4(a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，a ＝－1，这时f(x)＝log 4(－x 2＋2x ＋3)．由－x 2＋2x ＋3>0得－1<x<3，函数定义域为(－1,3)．令g(x)＝－x 2＋2x ＋3.则g(x)在(－∞，1)上递增，在(1，＋∞)上递减，又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上递增，所以f(x)的单调递增区间是(－1,1)，递减区间是(1,3)．(2)假设存在实数a 使f(x)的最小值为0，则h(x)＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1，因此应有012414a ,a .a>⎧⎪-⎨=⎪⎩ 解得a ＝12故存在实数a ＝12使f(x)的最小值等于0.。

高中数学新人教版必修一知识讲解及练习附答案知识讲解_《函数》全章复习与巩固_ 基础

高中数学新人教版必修一知识讲解及练习附答案《函数》全章复习与巩固编稿：审稿：【学习目标】1．会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用.2．能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；3．求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用；4．理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数了解奇偶性的含义；5．理解函数零点的意义，能判断二次函数零点的存在性，会求简单函数的零点，了解函数的零点与方程根的关系；6．能运用函数的图象理解和研究函数的性质.【知识网络】【要点梳理】要点一：关于函数的概念1．两个函数相等的条件用集合与对应的语言刻画函数，与初中的“用变量的观点描述函数”实质上是一致的．函数有三要素——定义域、值域、对应关系，它们是不可分割的一个整体．当且仅当两个函数的三要素完全相同时，这两个函数相等．2．函数的常用表示方法函数的常用表示方法有：图象法、列表法、解析法．注意领会在实际情境中根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．3．映射设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x（原f x（象）与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集象），在集合B中都有唯一确定的元素()合B的一个映射．由映射定义知，函数是一种特殊的映射，即函数是两个非空的数集间的映射．4．函数的定义域函数的定义域是自变量x 的取值范围，但要注意，在实际问题中，定义域要受到实际意义的制约．其题型主要有以下几种类型：（1）已知()f x 得函数表达式，求定义域；（2）已知()f x 的定义域，求[]()f x ϕ的定义域，其实质是由()x ϕ的取值范围，求出x 的取值范围；（3）已知[]()fx ϕ的定义域，求()f x 的定义域，其实质是由x 的取值范围，求()x ϕ的取值范围．5．函数的值域由函数的定义知，自变量x 在对应法则f 下取值的集合叫做函数的值域．函数值域的求法：（1）与二次函数有关的函数，可用配方法（注意定义域）；（2）形如y ax b =+t =，转化成二次函数再求值域（注意0t ≥）；（3）形如(0)ax by c cx d+=≠+的函数可借助反比例函数求其值域，若用变量分离法求值域，这种函数的值域为|a y y c ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭；（4）形如22ax bx cy mx nx p++=++（,a m 中至少有一个不为零）的函数求值域，可用判别式求值域． 6．函数的解析式函数的解析式是函数的一种表示方法，求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是求出函数的定义域．求函数解析式的主要方法：已知函数解析式的类型时，可用待定系数法；已知复合函数[]()f g x 的表达式时，可用换元法，此时要注意“元”的取值范围；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组、消参的方法求出()f x ．要点二：函数的单调性（1）如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数．（2）如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数．（3）若函数()f x 在某个区间上总是递增（或递减）的，则该区间是函数的一个单调增（或减）区间．若函数()f x 在整个定义域上总是递增（或递减）的，则称该函数为单调增（或减）函数．与函数单调性有关的问题主要有：由函数单调性定义判断或证明某一个函数在一个区间的单调性；通过图象或运用复合函数的单调性原理求函数的单调区间；应用函数的单调性证明不等式、比较数的大小、判断某些超越方程根的个数等．要点三：函数的奇偶性（1）若一个函数具有奇偶性，则它的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，那么它就失去了是奇函数或是偶函数的条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数．（2）若奇函数()y f x =的定义域内有零，则由奇函数定义知(0)(0)f f -=-，即(0)(0)f f =-，所以(0)0f =．（3）奇、偶性图象的特点如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y 轴为对称轴的对称图形；反之，如果一个函数的图象是y 轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数是偶函数．要点四：图象的作法与平移（1）根据函数表达式列表、描点、连光滑曲线；（2）利用熟知函数图象的平移、翻转、伸缩变换；（3）利用函数的奇偶性，图象的对称性描绘函数图象．要点五：一次函数和二次函数 1．一次函数(0)y kx b k =+≠，其中y k x∆=∆． 2．二次函数二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，通过配方可以得到2(),y a x h k a =-+决定了二次函数图象的开口大小及方向．顶点坐标为(),h k ，对称轴方程为x h =．对于二次函数2224()()24b ac b f x ax bx c a x a a-=++=++．当0a >时，()f x 的图象开口向上；顶点坐标为24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；对称轴为2bx a =-；()f x 在,2b a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上是单调递减的，在,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上是单调递增的；当2b x a =-时，函数取得最小值244ac b a-．当0a <时，()f x 的图象开口向下；顶点坐标为24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；对称轴为2bx a =-；()f x 在,2b a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上是单调递增的，在,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上是单调递减的；当2b x a =-时，函数取得最大值244ac b a-．要点六：函数的应用举例（实际问题的解法）（1）审题：弄清题意、分清条件和结论、理顺数量关系；（2）建模：将文字语言转化成数学语言，利用相应的数学知识模型；（3）求模：求解数学模型，得到数学结论；（4）还原：将用数学方法得到的结论，还原为实际问题的意义．求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：要点七：函数与方程（1）对于函数()()y f x x D =∈，我们把使()0f x =得实数x 叫做函数()()y f x x D =∈的零点．（2）确定函数()y f x =的零点，就是求方程()0f x =的实数根．（3）一般地，如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图象是连续不间断的一条曲线，并且()()0f a f b ⋅<，那么函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在()0,x a b ∈，使得0()0f x =，这个0x 也就是方程()0f x =的根．（4）一般地，对于不能用公式法求根的方法()0f x =来说，我们可以将它与函数()y f x =联系起来，并利用函数的性质找出零点或零点所在的区间，从而求出方程的根，或者用二分法求出方程的近似解．判断函数在某区间有零点的依据：对于一些比较简单的方程，我们可以通过公式等方法进行解决，对于不能用公式解决的方程，我们可以把这些方程()0f x =与函数()y f x =联系起来，并利用函数的图象和性质找零点，从而求出方程的根．对于如何判断函数在某区间内是否是零点的问题，最关键的是要把握两条：其一，函数的图象在某区间是否是连续不间断的一条曲线；其二，该函数是否满足在上述区间的两个端点处，函数值之积小于0．（5）在实数范围内，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的零点与二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根之间有密切关系．①0∆>，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个实根，其对应二次函数有两个零点； ②0∆=，方程20(0)ax bx c a ++=≠有一个二重根，其对应二次函数有一个二重零点； ③0∆<，方程20(0)ax bx c a ++=≠无根，其对应二次函数无零点．【典型例题】类型一：映射例1．设集合{(,)|,}A B x y x y ==∈∈R R ，f 是A 到B 的映射，并满足:(,)(,)f x y xy x y →--．（1）求B 中元素（3，－4）在A 中的原象；（2）试探索B 中有哪些元素在A 中存在原象；（3）求B 中元素（a ，b ）在A 中有且只有一个原象时，a ，b 所满足的关系式．【思路点拨】本例是一道与方程综合的题目，关键是将题目转化为我们所熟悉的映射的知识．【解析】（1）设（x ，y ）是（3，－4）在A 中的原象，于是34xy x y -=⎧⎨-=-⎩，解得13x y =-⎧⎨=⎩或31x y =-⎧⎨=⎩，∴（―3，4）在A 中的原象是（―1，3）或（―3，1）．（2）设任意（a ，b ）∈B 在A 中有原象（x ，y ），应满足 xy a x y b -=⎧⎨-=⎩①②由②可得y=x ―b ，代入①得x 2―bx+a=0． ③ 当且仅当Δ=b 2―4a ≥0时，方程③有实根．∴只有当B 中元素满足b 2－4a ≥0时，才在A 中有原象．（3）由以上（2）的解题过程知，只有当B 中元素满足b 2=4a 时，它在A 中有且只有一个原象．【总结升华】高考对映射考查较少，考查时只涉及映射的概念，因此我们必须准确地把握映射的概念，并灵活地运用它解决有关问题．举一反三：【变式1】已知a ，b 为两个不相等的实数，集合2{4,1}M a a =--，2{41,2}N b b =-+-，:f x x →表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a+b 等于（）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】 D【解析】由已知可得M=N ，故222242420411420a a a a b b b b ⎧⎧-=--+=⎪⎪⇒⎨⎨-+=--+=⎪⎪⎩⎩，a 、b 是方程x 2－4x+2=0的两根，故a+b=4．类型二：函数的概念及性质【高清课堂：集合与函数性质综合377492 例2】例2．设定义在R 上的函数y = f （x ）是偶函数,且f （x ）在（－∞，0）为增函数．若对于120x x <<，且120x x +>，则有 ( )A ．12(||)(||)f x f x <B ．21()()f x f x ->-C ．12()()f x f x <-D ．12()()f x f x -> 【答案】D【解析】因为120x x <<，且120x x +>，所以21||||x x >，画出y = f （x ）的图象，数形结合知，只有选项D 正确．【总结升华】对函数性质的综合考查是高考命题热点问题．这类问题往往涉及函数单调性、奇偶性、函数图象的对称性，以及题目中给出的函数性质．解决这类问题的关键在于“各个击破”，也就是涉及哪个性质，就利用该性质来分析解决问题．举一反三：【变式1】下列函数中,既是奇函数又是增函数的为（） A ．1y x =+ B ．2y x =-C ．1y x=D ．||y x x =【答案】D【解析】奇函数有1y x=和||y x x =,又是增函数的只有选项D 正确．【变式2】定义在R 上的偶函数f (x)，对任意x 1，x 2∈[0，+∞）（x 1≠x 2），有2121()()0f x f x x x -<-，则（）A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<- 【答案】A【解析】由题知，()f x 为偶函数，故(2)(2)f f =-，又知x ∈[0，+∞）时，()f x 为减函数，且3＞2＞1，∴(3)(2)(1)f f f <<，即(3)(2)(1)f f f <-<．故选A ．例3．设偶函数()f x 满足3()8(0)f x x x =-≥，则{|(2)0}x f x ->=（） A ．{x|x ＜－2或x ＞4} B ．{x|x ＜0或x ＞4} C ．{x|x ＜0或x ＞6} D ．{x|x ＜－2或x ＞2} 【答案】 B【解析】当x ＜0时，－x ＞0，∴33()()88f x x x -=--=--，又()f x 是偶函数，∴3()()8f x f x x =-=--，∴338, 0()8, 0x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩，∴33(2)8, 0(2)(2)8, 0x x f x x x ⎧--≥⎪-=⎨---<⎪⎩，30(2)80x x ≥⎧⎨-->⎩或30(2)80x x <⎧⎨--->⎩．解得x ＞4或x ＜0，故选B ．例4．设函数()0)f x a =<的定义域为D ，若所有点(,())s f t (,)s t D ∈构成一个正方形区域，则a 的值为（）A ．－2B ．－4C ．－8D ．不能确定【答案】 B【解析】依题意，设关于x 的不等式ax 2+bx+c ≥0（a ＜0）的解集是[x 1，x 2]（x 1＜x 2），且12()()0f x f x ==，22140)x x b ac a-=->-，()f x =的最大值是=s ∈[x 1，x 2]的取值一定时，()f t 取遍⎡⎢⎢⎣中的每一个组，相应的图形是一条线段；当s 取遍[x 1，x 2]中的每一个值时，所形成的图形是一个正方形区域（即相当于将前面所得到的线段在坐标平面内平移所得），因此有0a =>-，a -=a ＜0，因此a=－4，选B 项．举一反三：【变式1】若函数()y f x =的定义域是[0，2]，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域是（） A ．[0，1] B ．[0，1） C ．[0，1）∪（1，4] D ．（0，1）【答案】 B【解析】要使()g x 有意义，则02210x x ≤≤⎧⎨-≠⎩，解得0≤x ＜1，故定义域为[0，1），选B ．例5．已知函数y =M ，最小值为m ，则mM的值为（）A ．14 B ．12C ．22D ．32【答案】 C【解析】函数的定义域为[－3，1]．又22242(1)(3)4223424(1)y x x x x x =+-+=+--+=+-+．而204(1)2x ≤-+≤，∴4≤y 2≤8．又y ＞0，∴222y ≤≤．∴22M =，m=2．∴22m M =．故选C 项．举一反三：【变式1】函数221x y x =+（x ∈R ）的值域是________．【答案】[0，1）【解析】（1）注意到x 2≥0，故可以先解出x 2，再利用函数的有界性求出函数值域．由221x y x =+，得21y x y=-，∴01y y ≥-，解之得0≤y ＜1．故填[0，1）．例6．设函数()|24|1f x x =-+．（1）画出函数()y f x =的图象；（2）若不等式()f x ax ≤的解集非空，求a 的取值范围．【解析】（1）由于25, 2()23, 3x x f x x x -+<⎧=⎨-≥⎩，则函数()y f x =的图象如图所示．（2）由函数()y f x =与函数y=ax 的图象可知，当且仅当12a ≥或a ＜―2时，函数()y f x =与函数y=ax 的图象有交点．故不等式()f x ax ≤的解集非空时，a 的取值范围为1(,2)[,)2-∞-+∞．举一反三：【变式1】直线y=1与曲线y=x 2－|x|+a 有四个交点，则a 的取值范围是________．【答案】 514a <<【解析】如图，作出y=x 2－|x|+a 的图象，若要使y=1与其有四个交点，则需满足114a a -<<，解得514a <<．类型三：函数的零点问题例7．若函数()y f x =在区间（－2，2）上的图象是连续的，且方程()0f x =在（－2，2）上仅有一个实根0，则(1)(1)f f -⋅的值（）A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．无法确定【答案】D【解析】根据连续函数零点的性质，若(1)(1)0f f -⋅<，则()f x 在（－1，1）内必有零点，即方程()0f x =在（－1，1）内有根；反之，若方程()0f x =在（－2，2）内有实根，不一定有(1)(1)0f f -⋅<，也有可能(1)(1)0f f -⋅>．【总结升华】若(1)(1)0f f -⋅<，则()f x 在（－1，1）内必有零点，但当()f x 在（－1，1）内有零点时，却不一定总有(1)(1)0f f -⋅<．举一反三：【变式1】若函数2()f x x ax b =++的零点是2和4-，则a = ，b = ．【答案】2,8a b ==-【变式2】若函数()0f x ax b =+=有一个零点是2，那么函数2()g x bx ax =-的零点是．【答案】10,2-类型四：函数性质的综合应用例8. 已知函数2()af x x x=+（x ≠0，常数a ∈R ）．（1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）若函数()f x 在x ∈[2，+∞）上为增函数，求a 的取值范围．【思路点拨】（1）对a 进行分类讨论，然后利用奇函数的定义去证明即可．（2）由题意知，任取2≤x 1＜x 2，则有12()()0f x f x -<恒成立，即可得a 的取值范围．【解析】（1）当a=0时，2()f x x =，对任意x ∈（－∞，0）∪（0，+∞），22()()()f x x x f x -=-==，∴()f x 为偶函数．当a ≠0时，2()af x x x=+（a ≠0，x ≠0），取x=±1，得(1)(1)20f f -+=≠， ∴(1)(1)f f -≠-，(1)(1)f f -≠，∴函数(1)(1)f f -≠既不是奇函数，也不是偶函数．（2）解法一：设2≤x 1＜x 2，2212121212121212()()[()]x x a a f x f x x x x x x x a x x x x --=+--=⋅+-，要使函数()f x 在x ∈[2，+∞）上为增函数，必须12()()0f x f x -<恒成立．∵x 1－x 2＜0，x 1 x 2＞4，即a ＜x 1 x 2 (x 1+ x 2)恒成立．又∵x 1+ x 2＞4，∴x 1x2(x 1+ x 2)＞16． ∴a 的取值范围是（－∞，16]．解法二：当a=0时，2()f x x =，显然在[2，+∞）上为增函数．当a ＜0时，反比例函数ax在[2，+∞）上为增函数， ∴2()af x x x=+在[2，+∞）上为增函数．当a ＞0时，同解法一．【总结升华】函数的奇偶性与单调性是函数的重要性质，因而也是高考命题的热点．应运用研究函数的奇偶性与单调性的基本方法，来分析解决问题．举一反三：【高清课堂：集合与函数性质综合377492 例5】【变式1】已知函数1()f x kx x=-，且f （1）=1．（1）求实数k 的值及函数的定义域；（2）判断函数在（0，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．【解析】（1）(1)1,11,2f k k =∴-=∴=，1()2f x x x∴=-，定义域为：()(),00,-∞+∞．（2）在（0，+∞）上任取1212,,x x x x <且，则12121211()()22f x f x x x x x -=--+=12121()(2)x x x x -+1212121,0,20x x x x x x <∴-<+> 12()()f x f x ∴<所以函数1(2)2f x x=-在()0,+∞上单调递增．类型五：函数的实际应用例9．某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定资本为200元，每桶水的进价是5元．销售单价与日均销售量的关系如下表：请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价能获得最大利润? 【答案】11.5 1490【思路点拨】由题目可获取以下主要信息：(1)已知固定成本200元／天，水进价5元／桶；(2)用表格体现出了售价与日销售量的关系；(3)解决利润最大问题．解决本题可先分析表格，从中找到单价每增加1元，则日销售量就减少40桶，然后设出有关未知量，建立函数模型，进而解决问题．【解析】设每桶水在原来的基础上上涨x 元，利润为y 元，由表格中的数据可以得到：价格每上涨1元，日销售量就减少40桶，所以涨价x 元后，日销售的桶数为：480-40(x -1)＝520-40x ＞0，所以0＜x ＜13，则利润：213(52040)2004014902y x x x ⎛⎫=--=--+ ⎪⎝⎭．(0＜x ＜13)故当x ＝6.5时，利润最大，即当水的价格为11.5元时，利润最大值为1490元．【总结升华】列表法是给出函数关系的一个重要形式，通过“利润＝收入－支出”这一实际意义建立变量之间的关系．运用二次函数模型，常解决一些最大（小）值问题，对生产生活等问题进行优化．举一反三：【变式1】某公司每年需购买某种元件8000个用于组装生产，每年分n 次等量进货，每进一次货（不分进货量大小）费用500元，为了持续生产，需有每次进货的一半库存备用，每件每年库存费2元，问分几次进货可使得每年购买和贮存总费用最低？【思路点拨】本题的关键是根据题意列出函数关系式，然后利用配方法求函数的最大值．【答案】4【解析】设每年购买和贮存元件总费用为y 元，其中购买成本费为固定投入，设为c 元，则 8000150022y n c n =+⨯⨯+ 800016500500()n c n c n n=++=++ 24000c =++，=，即n=4时，y取得最小值且y min=4000+c．所以分4次进货可使得每年购买和贮存元件总费用最低．【总结升华】题中用了配方法求最值，技巧性高，另外本题还可利用函数16y xx=+在（0，+∞）上的单调性求最值．。

【精品】高中数学必修一《函数》全章复习与巩固讲义_知识讲解+巩固练习(含答案)_ 提高

《函数》全章复习与巩固【学习目标】1．会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用；2．能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；3．求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用；4．理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数了解奇偶性的含义；5．理解函数零点的意义，能判断二次函数零点的存在性，会求简单函数的零点，了解函数的零点与方程根的关系；6．能运用函数的图象理解和研究函数的性质．【知识网络】【要点梳理】要点一：关于函数的概念1．两个函数相等的条件用集合与对应的语言刻画函数，与初中的“用变量的观点描述函数”实质上是一致的．函数有三要素——定义域、值域、对应关系，它们是不可分割的一个整体．当且仅当两个函数的三要素完全相同时，这两个函数相等．2．函数的常用表示方法函数的常用表示方法有：图象法、列表法、解析法．注意领会在实际情境中根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．3．映射设A 、B 是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x （原象），在集合B 中都有唯一确定的元素()f x （象）与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．由映射定义知，函数是一种特殊的映射，即函数是两个非空的数集间的映射．4．函数的定义域函数的定义域是自变量x 的取值范围，但要注意，在实际问题中，定义域要受到实际意义的制约．其题型主要有以下几种类型：（1）已知()f x 得函数表达式，求定义域；（2）已知()f x 的定义域，求[]()f x ϕ的定义域，其实质是由()x ϕ的取值范围，求出x 的取值范围；（3）已知[]()f x ϕ的定义域，求()f x 的定义域，其实质是由x 的取值范围，求()x ϕ的取值范围．5．函数的值域由函数的定义知，自变量x 在对应法则f 下取值的集合叫做函数的值域．函数值域的求法：（1）与二次函数有关的函数，可用配方法（注意定义域）；（2）形如y ax b =+±t =再求值域（注意0t ≥）；（3）形如(0)ax b y c cx d+=≠+的函数可借助反比例函数求其值域，若用变量分离法求值域，这种函数的值域为|a y y c ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭；（4）形如22ax bx c y mx nx p++=++（,a m 中至少有一个不为零）的函数求值域，可用判别式求6．函数的解析式函数的解析式是函数的一种表示方法，求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是求出函数的定义域．求函数解析式的主要方法：已知函数解析式的类型时，可用待定系数法；已知复合函数[]()f g x 的表达式时，可用换元法，此时要注意“元”的取值范围；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组、消参的方法求出()f x ．要点二：函数的单调性（1）如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数．（2）如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数．（3）若函数()f x 在某个区间上总是递增（或递减）的，则该区间是函数的一个单调增（或减）区间．若函数()f x 在整个定义域上总是递增（或递减）的，则称该函数为单调增（或减）函数．与函数单调性有关的问题主要有：由函数单调性定义判断或证明某一个函数在一个区间的单调性；通过图象或运用复合函数的单调性原理求函数的单调区间；应用函数的单调性证明不等式、比较数的大小、判断某些超越方程根的个数等．要点三：函数的奇偶性（1）若一个函数具有奇偶性，则它的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，那么它就失去了是奇函数或是偶函数的条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数．（2）若奇函数()y f x =的定义域内有零，则由奇函数定义知(0)(0)f f -=-，即(0)(0)f f =-，所以(0)0f =．（3）奇、偶性图象的特点如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y 轴为对称轴的对称图形；反之，如果一个函数的图象是y 轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数是偶函数．要点四：图象的作法与平移（1）根据函数表达式列表、描点、连光滑曲线；（2）利用熟知函数图象的平移、翻转、伸缩变换；（3）利用函数的奇偶性，图象的对称性描绘函数图象．要点五：一次函数和二次函数1．一次函数(0)y kx b k =+≠，其中y k x∆=∆． 2．二次函数二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，通过配方可以得到2(),y a x h k a =-+决定了二次函数图象的开口大小及方向．顶点坐标为(),h k ，对称轴方程为x h =．对于二次函数2224()()24b ac b f x ax bx c a x a a -=++=++．当0a >时，()f x 的图象开口向上；顶点坐标为24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；对称轴为2b x a =-；()f x 在,2b a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上是单调递减的，在,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上是单调递增的；当2b x a =-时，函数取得最小值244ac b a-．当0a <时，()f x 的图象开口向下；顶点坐标为24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；对称轴为2b x a =-；()f x 在,2b a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上是单调递增的，在,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上是单调递减的；当2b x a =-时，函数取得最大值244ac b a-．要点六：函数的应用举例（实际问题的解法）（1）审题：弄清题意、分清条件和结论、理顺数量关系；（2）建模：将文字语言转化成数学语言，利用相应的数学知识模型；（3）求模：求解数学模型，得到数学结论；（4）还原：将用数学方法得到的结论，还原为实际问题的意义．求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：要点七：函数与方程（1）对于函数()()y f x x D =∈，我们把使()0f x =得实数x 叫做函数()()y f x x D =∈的零点．（2）确定函数()y f x =的零点，就是求方程()0f x =的实数根．（3）一般地，如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图象是连续不间断的一条曲线，并且()()0f a f b ⋅<，那么函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在()0,x a b ∈，使得0()0f x =，这个0x 也就是方程()0f x =的根．（4）一般地，对于不能用公式法求根的方法()0f x =来说，我们可以将它与函数()y f x =联系起来，并利用函数的性质找出零点或零点所在的区间，从而求出方程的根，或者用二分法求出方程的近似解．判断函数在某区间有零点的依据：对于一些比较简单的方程，我们可以通过公式等方法进行解决，对于不能用公式解决的方程，我们可以把这些方程()0f x =与函数()y f x =联系起来，并利用函数的图象和性质找零点，从而求出方程的根．对于如何判断函数在某区间内是否是零点的问题，最关键的是要把握两条：其一，函数的图象在某区间是否是连续不间断的一条曲线；其二，该函数是否满足在上述区间的两个端点处，函数值之积小于0．（5）在实数范围内，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的零点与二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根之间有密切关系．①0∆>，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个实根，其对应二次函数有两个零点； ②0∆=，方程20(0)ax bx c a ++=≠有一个二重根，其对应二次函数有一个二重零点； ③0∆<，方程20(0)ax bx c a ++=≠无根，其对应二次函数无零点．【典型例题】类型一：映射例1．设集合{(,)|,}A B x y x y ==∈∈R R ，f 是A 到B 的映射，并满足:(,)(,)f x y xy x y →--．（1）求B 中元素（3，－4）在A 中的原象；（2）试探索B 中有哪些元素在A 中存在原象；（3）求B 中元素（a ，b ）在A 中有且只有一个原象时，a ，b 所满足的关系式．【思路点拨】本例是一道与方程综合的题目，关键是将题目转化为我们所熟悉的映射的知识．【答案】（1）（―1，3）或（―3，1）；（2）b 2－4a ≥0；（3）b 2=4a【解析】（1）设（x ，y ）是（3，－4）在A 中的原象，于是34xy x y -=⎧⎨-=-⎩，解得13x y =-⎧⎨=⎩或31x y =-⎧⎨=⎩， ∴（―3，4）在A 中的原象是（―1，3）或（―3，1）．（2）设任意（a ，b ）∈B 在A 中有原象（x ，y ），应满足 xy a x y b -=⎧⎨-=⎩①② 由②可得y=x ―b ，代入①得x 2―bx+a=0． ③当且仅当Δ=b 2―4a ≥0时，方程③有实根．∴只有当B 中元素满足b 2－4a ≥0时，才在A 中有原象．（3）由以上（2）的解题过程知，只有当B 中元素满足b 2=4a 时，它在A 中有且只有一个原象．【总结升华】高考对映射考查较少，考查时只涉及映射的概念，因此我们必须准确地把握映射的概念，并灵活地运用它解决有关问题．举一反三：【变式1】已知a ，b 为两个不相等的实数，集合2{4,1}M a a =--，2{41,2}N b b =-+-，:f x x →表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a+b 等于（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】 D【解析】由已知可得M=N ，故222242*********a a a ab b b b ⎧⎧-=--+=⎪⎪⇒⎨⎨-+=--+=⎪⎪⎩⎩，a 、b 是方程x 2－4x+2=0的两根，故a+b=4．类型二：函数的概念及性质【高清课堂：集合与函数性质综合377492 例2】例2．设定义在R 上的函数y = f （x ）是偶函数,且f （x ）在（－∞，0）为增函数．若对于120x x <<，且120x x +>，则有 ( )A ．12(||)(||)f x f x <B ．21()()f x f x ->-C ．12()()f x f x <-D ．12()()f x f x ->【答案】D【解析】因为120x x <<，且120x x +>，所以21||||x x >，画出y = f （x ）的图象，数形结合知，只有选项D 正确．【总结升华】对函数性质的综合考查是高考命题热点问题．这类问题往往涉及函数单调性、奇偶性、函数图象的对称性，以及题目中给出的函数性质．解决这类问题的关键在于“各个击破”，也就是涉及哪个性质，就利用该性质来分析解决问题．举一反三：【变式1】（1）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0，2]上是增函数，则（）A ．(25)(11)(80)f f f -<<B ．(80)(11)(25)f f f <<-C ．(11)(80)(25)f f f <<-D ．(25)(80)(11)f f f -<<（2）定义在R 上的偶函数f (x)，对任意x 1，x 2∈[0，+∞）（x 1≠x 2），有2121()()0f x f x x x -<-，则（）A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<-【答案】（1）D （2）A【解析】（1）由函数()f x 是奇函数且()f x 在[0，2]上是增函数可以推知()f x 在[－2，2]上递增，又(4)()(8)(4)()f x f x f x f x f x -=-⇒-=--=，故函数()f x 以8为周期，(25)(1)f f -=-，(11)(3)(34)(1)f f f f ==--=，(80)(0)f f =，故(25)(80)(11)f f f -<<．故选D ．（2）由题知，()f x 为偶函数，故(2)(2)f f =-，又知x ∈[0，+∞）时，()f x 为减函数，且3＞2＞1，∴(3)(2)(1)f f f <<，即(3)(2)(1)f f f <-<．故选A ．例3．设函数()0)f x a =<的定义域为D ，若所有点(,())s f t (,)s t D ∈构成一个正方形区域，则a 的值为（）A ．－2B ．－4C ．－8D ．不能确定【答案】 B【解析】依题意，设关于x 的不等式ax 2+bx+c ≥0（a ＜0）的解集是[x 1，x 2]（x 1＜x 2），且12()()0f x f x ==，22140)x x b ac -=->，()f x =的最大值是=s ∈[x 1，x 2]的取值一定时，()f t取遍⎡⎢⎢⎣中的每一个组，相应的图形是一条线段；当s 取遍[x 1，x 2]中的每一个值时，所形成的图形是一个正方形区域（即相当于将前面所得到的线段在坐标平面内平移所得），因此有224404b ac b ac a a--=>--，4a a -=-．又a ＜0，因此a=－4，选B 项．举一反三：【变式1】若函数()y f x =的定义域是[0，2]，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域是（） A ．[0，1] B ．[0，1） C ．[0，1）∪（1，4] D ．（0，1）【答案】 B【解析】要使()g x 有意义，则2210x x x ≤≤⎧⎨-≠⎩，解得0≤x ＜1，故定义域为[0，1），选B ．例4．设函数()|24|1f x x =-+．（1）画出函数()y f x =的图象；（2）若不等式()f x ax ≤的解集非空，求a 的取值范围．【答案】（1）右图；（2）1(,2)[,)2-∞-+∞U ．【解析】（1）由于25, 2()23, 3x x f x x x -+<⎧=⎨-≥⎩，则函数()y f x =的图象如图所示．（2）由函数()y f x =与函数y=ax 的图象可知，当且仅当12a ≥或a ＜―2时，函数()y f x =与函数y=ax 的图象有交点．故不等式()f x ax ≤的解集非空时，a 的取值范围为1(,2)[,)2-∞-+∞U ．举一反三：【变式1】对于实数a 和b ,定义运算“﹡”:22,*,a ab a b b ab ⎧-⎪=⎨⎪-⎩a b a b≤>,设()(21)*(1)f x x x =--,且关于x 的方程为()()f x m m R =∈恰有三个互不相等的实数根123,,x x x ,则123x x x 的取值范围是_________________.【答案】 1316-（,0）【解析】由定义运算“*”可知 2222112()0(21)(21)(1),21148()=11(1)(21)(1),211()024x x x x x x x f x x x x x x x x ⎧--≤⎪⎧-----≤-⎪⎪=⎨⎨------⎪⎩⎪--+⎪⎩，＞＞,画出该函数图象可知满足条件的取值范围是1316-（,0）. 【变式2】设函数21(),()(,,0)f x g x ax bx a b R a x==+∈≠,若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则下列判断正确的是（）A ．当0a <时,12120,0x x y y +<+>B ．当0a <时,12120,0x x y y +>+<C ．当0a >时,12120,0x x y y +<+<D ．当0a >时,12120,0x x y y +>+>【答案】B【解析】在同一坐标系中分别画出两个函数的图象,当0<a 时,要想满足条件,则有如图,做出点A 关于原点的对称点C,则C 点坐标为),(11y x --,由图象知,,2121y y x x >-<-即0,02121<+>+y y x x ,同理当0>a 时,则有0,02121>+<+y y x x ,故答案选B.例5．已知函数2()a f x x x=+（x ≠0，常数a ∈R ）．（1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）若函数()f x 在x ∈[2，+∞）上为增函数，求a 的取值范围．【思路点拨】（1）对a 进行分类讨论，然后利用奇函数的定义去证明即可．（2）由题意知，任取2≤x 1＜x 2，则有12()()0f x f x -<恒成立，即可得a 的取值范围．【答案】（1）当a=0时，为偶函数；当a ≠0时，既不是奇函数，也不是偶函数．（2）（－∞，16]．【解析】（1）当a=0时，2()f x x =，对任意x ∈（－∞，0）∪（0，+∞），22()()()f x x x f x -=-==，∴()f x 为偶函数．当a ≠0时，2()a f x x x =+（a ≠0，x ≠0），取x=±1，得(1)(1)20f f -+=≠， ∴(1)(1)f f -≠-，(1)(1)f f -≠，∴函数(1)(1)f f -≠既不是奇函数，也不是偶函数．（2）解法一：设2≤x 1＜x 2，2212121212121212()()[()]x x a a f x f x x x x x x x a x x x x --=+--=⋅+-，要使函数()f x 在x ∈[2，+∞）上为增函数，必须12()()0f x f x -<恒成立．∵x 1－x 2＜0，x 1 x 2＞4，即a ＜x 1 x 2 (x 1+ x 2)恒成立．又∵x 1+ x 2＞4，∴x 1x2(x 1+ x 2)＞16． ∴a 的取值范围是（－∞，16]．解法二：当a=0时，2()f x x =，显然在[2，+∞）上为增函数．当a ＜0时，反比例函数ax在[2，+∞）上为增函数， ∴2()af x x x=+在[2，+∞）上为增函数．当a ＞0时，同解法一．【总结升华】函数的奇偶性与单调性是函数的重要性质，因而也是高考命题的热点．应运用研究函数的奇偶性与单调性的基本方法，来分析解决问题．举一反三：【高清课堂：集合与函数性质综合377492 例5】【变式1】已知函数1()f x kx x =-，且f （1）=1．（1）求实数k 的值及函数的定义域；（2）判断函数在（0，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．【答案】（1）2 ()(),00,-∞+∞U ；（2）单调递增【解析】（1）(1)1,11,2f k k =∴-=∴=Q ，1()2f x x x ∴=-，定义域为：()(),00,-∞+∞U ．（2）在（0，+∞）上任取1212,,x x x x <且，则12121211()()22f x f x x x x x -=--+=12121()(2)x x x x -+1212121,0,20x x x x x x <∴-<+>Q 12()()f x f x ∴<所以函数1(2)2f x x=-在()0,+∞上单调递增．【变式2】函数()f x 在[,]a b 上有定义,若对任意12,[,]x x a b ∈,有12121()[()()]22x x f f x f x +≤+,则称()f x 在[,]a b 上具有性质P .设()f x 在[1,3]上具有性质P ,现给出如下命题:①()f x 在[1,3]上的图像时连续不断的; ②()f x在上具有性质P ; ③若()f x 在2x =处取得最大值1,则()1,[1,3]f x x =∈; ④对任意1234,,,[1,3]x x x x ∈,有123412341()[()()()()]44x x x x f f x f x f x f x +++≤+++ 其中真命题的序号是（）A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④【答案】D【解析】正确理解和推断可知①②错误,③④错误例6．请先阅读下列材料，然后回答问题．对于问题“已知函数21()32f x x x=+-，问函数()f x 是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由．”一个同学给出了如下解答：解：令u=3+2x ―x 2，则u=―(x ―1)2+4，当x=1时，u 有最大值，u max =4，显然u 没有最小值．∴当x=1时，()f x 有最小值14，没有最大值．（1）你认为上述解答正确吗？若不正确，说明理由，并给出正确的解答；（2）对于函数21()(0)f x a ax bx c=>++，试研究其最值情况．【答案】（1）不正确；（2）当Δ≥0时，()f x 既无最大值，也无最小值；当Δ＜0时，()f x 有最大值244a ac b -，此时2bx a=-，没有最小值．【解析】（1）不正确．没有考虑到u 还可以小于0．正确解答如下：令u=3+2x ―x 2，则u=―(x ―1)2+4≤4，当0＜u ≤4时，114u ≥，即1()4f x ≥；当u ＜0时，10u<，即()0f x <． ∴()0f x <或1()4f x ≥，即()f x 既无最大值，也无最小值．（2）对于函数21()(0)f x a ax bx c =>++，令u=ax2+bx+c （a ＞0）． ①当Δ＞0时，u 有最小值，2min404ac b u a-=<，当2404ac b u a -≤<时，2144a u ac b ≤-，即24()4af x ac b ≤-；当u ＞0时，即()0f x >． ∴()0f x >或24()4af x ac b≤-，即()f x 既无最大值，也无最小值． ②当Δ=0时，u 有最小值，2min 404ac b u a-==，此时，u ≥0，∴＜10u>，即()0f x >，()f x 既无最大值，也无最小值． ③当Δ＜0时，u 有最小值，2min404ac b u a-=>，即2404ac b u a-≥>． ∴21404a u ac b <≤-，即240()4af x ac b<≤-． ∴当2b x a =-时，()f x 有最大值244aac b -，没有最小值．综上，当Δ≥0时，()f x 既无最大值，也无最小值．当Δ＜0时，()f x 有最大值244a ac b -，此时2bx a=-，没有最小值．【总结升华】研究性学习是新课标所倡导的教学理念，是培养创新能力的重要途径，因而也是新课标高考的重点考查对象．解决像本例这样的研究性问题，关键是透彻理解题目中所提供的材料，准确地把握题意，灵活地运用所学的基本知识和基本方法分析解决问题．举一反三：【变式1】（1）已知函数y =M ，最小值为m ，则mM的值为（）A ．14 B ．12C ．2D ．2【答案】 C【解析】函数的定义域为[－3，1]．又2444y =+=+=+而02≤，∴4≤y 2≤8．又y ＞0，∴2y ≤≤．∴M =m=2．∴m M =．故选C 项．（2）设2, ||1(), ||1x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩，()g x 是二次函数，若[()]f g x 的值域是[0，+∞），则()g x 的值域是（）A ．（－∞，－1]∪[1，+∞）B ．（－∞，－1]∪[0，+∞）C ．[0，+∞）D ．[1，+∞）【答案】C【解析】要使[()]f g x 的值域是[0，+∞），则()g x 可取（－∞，－1]∪[0，+∞）．又()g x 是二次函数，定义域连续，故()g x 不可能同时取（－∞，－1]和[0，+∞）．结合选项只能选C 项．【总结升华】函数的值域问题每年高考必考，而且既有常规题型[如本例（1）]，也有创新题[如本例（2）]．解答这类问题，既要熟练掌握求函数值域的基本方法，更要根据具体问题情景，灵活地处理．如本例（2）中，其背景函数属常规函数（分段函数、二次函数、复合函数），但给出[()]f g x 的值域，要求()g x 的值域，就在常规题型基础上有所创新，解答这类问题，应利用基本方法、基本知识来分析解决问题．类型三：函数的零点问题例7．若函数2()4f x x kx =-+在区间（1，6）内有零点，求k 的取值范围．【答案】204,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】二次函数在区间（1x ，2x ）上有零点，分以下四种情况：【解析】（1）(1)(6)0f f ⋅<，解得2053k <<，如图1 （2）0(1)0(6)0162f f k ∆>⎧⎪>⎪⎪⎨>⎪⎪<<⎪⎩，解得45k <<，如图2（3）0162k ∆=⎧⎪⎨<<⎪⎩，解得4k =，如图3（4）(1)07122f k =⎧⎪⎨<<⎪⎩或(6)07622f k =⎧⎪⎨<<⎪⎩，解得5k =，如图4或5综上所述k 的取值范围是204,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭．【总结升华】二次函数2()f x ax bx c =++（不妨设0a >）在有限的开区间12(,)x x 内有零点的条件是：（1）12()()0f x f x ⋅<（2）12120()0()02f x f x b x x a ∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩（3）1202bx x a ∆=⎧⎪⎨<-<⎪⎩（4）1121()022f x x x b x a =⎧⎪⎨+<-<⎪⎩或2122()022f x x x bx a =⎧⎪⎨+<-<⎪⎩ 举一反三：【变式1】试讨论函数2()2||1()f x x x a a R =---∈的零点个数．【解析】由2()2||10f x x x a =---=得22||1x x a -=+，令222,0,()()12,0,x x x g x h x a x x x ⎧-≥⎪==+⎨+<⎪⎩(),()g x h x 的图象如图所示，(2)(0)(2)0,(1)(1)1g g g g g -===-==-．当11,a +<-即2a <-时，()g x 与()h x 无公共点．当11a +=-或10a +>，即2a =-或1a >-时，()g x 与()h x 有两个交点．当110,a -<+<即21a -<<-时，()g x 与()h x 有四个交点．当10a +=，即1a =-时，()g x 与()h x 有三个交点．所以，当2a <-时，函数()f x 无零点．当2a =-或1a >-时，函数()f x 有两个零点．当21a -<<-时，函数()f x 有四个零点．当1a =-时，函数()f x 有三个零点．【总结升华】体现了函数与方程的互相转化，体现了数形结合思想的应用，它对于解决有更多限制条件的问题提供了一种新的途径．类型四：函数的综合问题例8．（1）已知函数2()21f x ax ax =++在区间[－1，2]上最大值为4，求实数a 的值；（2）已知函数2()22f x x ax =-+，x ∈[－1，1]，求函数()f x 的最小值．【思路点拨】第（1）小题中应对二次项系数进行全面讨论，即按a=0，a ＞0，a ＜0三种情况分析；第（2）小题中的抛物线开口方向确定，对称轴不稳定．【答案】（1）－3或38；（2）略【解析】（1）2()(1)1f x a x a =++-．①当a=0时，函数()f x 在区间[－1，2]上的值为常数1，不合题意；②当a ＞0时，函数()f x 在区间[－1，2]上是增函数，最大值为(2)814f a =+=，38a =；③当a ＜0时，函数()f x 在区间[―1，2]上是减函数，最大值为(1)14f a -=-=，a=―3．综上，a 的值为－3或38．（2）222()22()2f x x ax x a a =-+=-+-，对称轴为直线x=a ，且抛物线的开口向上，如下图所示：当a ≥1时，函数()f x 在区间[―1，1]上是减函数，最小值为(1)32f a =-；当―1＜a ＜1时，函数()f x 在区间[－1，1]上是先减后增，最小值为2()2f a a =-；当a ≤―1时，函数()f x 在区间[―1，1]上是增函数，最小值为(1)32f a -=+．【总结升华】求二次函数在闭区间上的最值的方法是：一看抛物线的开口方向；二看对称轴与已知闭区间的相对位置，作出二次函数相关部分的简图，利用数形结合方法就可得到问题的解．对于“定区间、动对称轴”这一类型，依对称轴在定区间左侧、右侧和在区间内三种情况，运用函数的单调性进行讨论，即可得到函数的最值．举一反三：【变式1】设函数2()22f x x x =-+，x ∈[t ，t+1]，t ∈R ，求函数()f x 的最小值．【答案】2222,1()1,011,0t t t f x t t t ⎧-+>⎪=≤≤⎨⎪+<⎩【解析】二次函数是确定的，但定义域是变化的，依t 的大小情况作出对应的图象（抛物线的一段），从中发现规律．22()22(1)1f x x x x =-+=-+，x ∈[t ，t+1]，t ∈R ，对称轴为x=1，作出其图象如下图所示：当t+1＜1，即t ＜0时，如上图①，函数()f x 在区间[t ，t+1]上为减函数，所以最小值为2(1)1f t t +=+；当1≤t+1≤2，即0≤t ≤1时，如上图②，最小值为(1)1f =；当t ＞1时，如上图③，函数()f x 在区间[t ，t+1]上为增函数，所以最小值为2()22f t t t =-+．综上有2222,1()1,011,0t t t f x t t t ⎧-+>⎪=≤≤⎨⎪+<⎩【总结升华】这里区间是变化的，但整个区间长度为1个单位长度，用运动观点来看，让区间从左向右沿x 轴正方向移动，看移动到不同位置时对最值有什么影响．借助图形，可使问题的解决显得直观、清晰．例9．设a 为实数，函数2()2()||f x x x a x a =+--．（1）若(0)1f ≥，求a 的取值范围；（2）求()f x 的最小值；（3）设函数()()h x f x =，x ∈（a ，+∞），直接写出（不需要给出演算步骤）不等式()1h x ≥的解集．【答案】（1）（―∞，－1]；（2）222, 0()2, 03a a g a a a ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩；（3）略．【解析】（1）因为(0)||1f a a =--≥，所以－a ＞0，即a ＜0．由a 2≥1知a ≤―1．因此a 的取值范围为（―∞，－1]．（2）记()f x 的最小值为()g a ，我们有2222223(), ()2()||33()2, a a x x a f x x x a x a x a a x a ⎧-+>⎪=+--=⎨⎪+-≤⎩①② （i ）当a ≥0时，2()2f a a -=-，由①②知2()2f x a ≥-，此时2()2g a a =-．（ii ）当a ＜0时，22()33a f a =．若x ＞a ，则由①知22()3f x a ≥；若x ≤a ，则x+a ≤2a＜0，由②知222()23f x a a ≥>．此时22()3g a a =．综上得222, 0()2, 03a a g a a a ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩．（3）（i）当(,)2a ∈-∞+∞U 时，解集为（a ，+∞）；（ii）当a ⎡∈⎢⎣⎭时，解集为⎫+∞⎪⎪⎢⎣⎭；（iii）当22a ⎛∈-- ⎝⎭时，解集为a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U ．类型五：函数的实际应用【高清课堂：函数模型的应用实例392115 例3】例10．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．（Ⅰ）当20200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式；（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）()()f x xv x =可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）【思路点拨】首先应根据题意，建立车密度x 与车流速度v 之间的函数关系，然后再转化为求函数的最大值问题。

高中数学新人教版必修一知识讲解及练习附答案巩固练习_《函数》全章复习与巩固_ 提高

高中数学新人教版必修一知识讲解及练习附答案《函数》全章复习与巩固【巩固练习】1.已知函数()f x 在R 上是增函数，若0a b +>，则有（）。

A. ()()()()f a f b f a f b +>-+-B. ()()()()f a f b f a f b +>---C. ()()()()f a f a f b f b +->+-D. ()()()()f a f a f b f b +->--2.若函数2()2f x x x a =++没有零点，则实数a 的取值范围是（）。

A.1a < B. 1a > C. 1a ≤ D. 1a ≥3．函数2()23f x x ax =--在区间[]1,2上是单调函数的条件是（）。

A.(],1a ∈-∞B.[)2,a ∈+∞C.[]1,2a ∈D. (][),12,a ∈-∞+∞4.函数y = ）A.(][),01,-∞+∞ B .[]0,1 Ｃ. (]0,1 Ｄ. ()[),01,-∞+∞5.函数|35|y x =-的单调递减区间是（） A.()0,+∞ B. (),0-∞ C. 5,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D. 5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭6.设()f x 是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是( ) A. ()()f x f x ⋅-是奇函数 B. ()|()|f x f x ⋅-是奇函数 C. ()()f x f x --是偶函数 D. ()()f x f x +-是偶函数7. 已知函数1, 0()1, 0x x f x x x -+<⎧=⎨-≥⎩，则不等式(1)(1)1x x f x +++≤的解集是（）A．{|11}x x -≤≤ B ．{x|x ≤1}C．{|1}x x ≤D．{|11}x x ≤≤8.实数,x y 满足224x y +=，则283x y ++的最大值是（） A ．23 B ．21 C ．19 D ． 17．9.设[]2,3x ∈-，则函数2241y x x =--的值域是 .10. 设()f x 是定义在R 上的函数且(2)()f x f x +=,在区间[11]-，上,0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，.若1322f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则3a b +的值为 .11．已知函数2|1|=1x y x --的图象与函数=2y kx -的图象恰有两个交点,则实数k 的取值范围是______________.12.关于函数22()21,f x x ax a x R =-++∈，有下列四个结论： ①当0a >时，函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增； ②当0a >时，函数()f x 在区间(],0-∞上单调递减； ③对于任意x R ∈，必有()1f x ≥成立；④对于任意x R ∈，必有()(2)f x f a x =-成立．其中正确的论断序号是．（将全部正确结论的序号都填上）13. 已知函数f(x)=-x 2+2ax-a 2+1(1)若函数f(x)在区间[0，2]上是单调的，求实数a 取值范围；(2)当x ∈[-1，1]时，求函数f(x)的最大值g(a)，并画出最大值函数y=g(a)的图象．14. 已知实数1[,1]3a ∈，将函数f(x)=ax 2-2x+1在区间[1，3]上的最大值和最小值分别表示为a 的函数M(a)，N(a)，令g(a)=M(a)-N(a). (1)求g(a)的表达式；(2)判断函数g(a)在区间1[,1]3上的单调性，并求出g(a)的最小值．15．已知函数()f x 的定义域是),0(+∞，且满足()()()f xy f x f y =+,1()12f =,如果对于0x y <<,都有()()f x f y >．（1）求(1)f ；（2）解不等式2)3()(-≥-+-x f x f ．【答案与解析】1. 【答案】A【解析】因为a b >-、b a >-，所以()()f a f b >-、()()f b f a >-，即()()()()f a f b f a f b +>-+-。

人教版数学必修一巩固练习_《函数》全章复习与巩固_ 基础

《函数》全章复习与巩固【巩固练习】1.定义在R 上的函数()f x 对任意两个不等实数,a b 总有()()0f a f b a b->-成立，则必有（）。

A.函数()f x 是先增后减 B. 函数()f x 是先减后增C.函数()f x 在R 上是增函数D. 函数()f x 在R 上是减函数2．二次函数2y ax bx c =++中，0ac <，则函数零点个数是（）。

A. 1个B. 2个C. 0个D. 无法确定3.当(]0,5x ∈时，函数2()34f x x x c =-+的值域为（）。

A. [](0),(5)f fB. 2(0),()3f f ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 2(),(5)3f f ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. [],(5)c f4.函数1y x =的定义域为（）A.[]4,1-B. [)4,0- Ｃ. (]0,1 Ｄ. [)(]4,00,1-5.设集合{}{}|06,|02A x x B y y =≤≤=≤≤，则从A 到B 的对应法则f 是映射的是（） A.:3f x y x →= B. :f x y x →= C. 1:2f x y x →= D. 1:3f x y x→=6.设a 为常数，函数2()43f x x x =-+．若()f x a +为偶函数，则a 等于( )A.-2B. 2C. -1D. 17.若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是( ) A.)2()1()23(f f f <-<- B.)2()23()1(f f f <-<- C.)23()1()2(-<-<f f f D. )1()23()2(-<-<f f f8. 设函数21,0()21,0x x f x x x ⎧->=⎨-+<⎩　，．若0()3f x >，则0x 的取值范围是( )A. ()(),21,-∞-+∞B. ()(),12,-∞-+∞C. ()(),21,-∞--+∞D. ()(),12,-∞+∞9.若函数2()f x x ax b =++的零点是2和4-，则a = ，b = .10. 若(2)()()x x m f x x ++=为奇函数,则实数m =______ .11.设221,||1()1,||1x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，则3f = ，5()2f f ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ .12.函数221y x x =-++在区间[]3,a -上是增函数，则a 的取值范围是 .13. 已知函数f(x)=-x 2+2ax-a 2+1(1)若函数f(x)在区间[0，2]上是单调的，求实数a 取值范围；(2)当x ∈[-1，1]时，求函数f(x)的最大值g(a)，并画出最大值函数y=g(a)的图象．14．已知函数[]2()22,5,5f x x ax x =++∈-.① 当1a =-时，求函数的最大值和最小值；② 求实数a 的取值范围，使()y f x =在区间[]5,5-上是单调函数．15．“依法纳税是每个公民应尽的义务”．2008年3月1日开始实施新的个人所得税方案，国家征收个人所得税是分段计算，总收入不超过2000元，免征个人工资薪金所得税；超过2000元部分征税，设全月纳税所得额为x(1)若应纳税额为()f x ，试用分段函数表示1～3级纳税额()f x 的计算公式；(2)某人2008年10月份工资总收入3200元，试计算这个人10月份应纳税多少元?(3)某人2009年1月份应缴纳此项税款26.78元，则他当月工资总收入介于( )．A ．2000～2100元B ．2100～2400元C ．2400～2700元D ．2700～3000元【答案与解析】1.【答案】C【解析】因为()()0f a f b a b ->-，所以有0()()0a b f a f b ->⎧⎨->⎩ 或0()()0a b f a f b -<⎧⎨-<⎩，即()()a b f a f b >⎧⎨>⎩或()()a b f a f b <⎧⎨<⎩，由增函数的定义知，选C 。

必修一函数与方程习题答案

必修一函数与方程习题答案函数与方程是高中数学中的重要内容，它们是数学中的基础概念，也是解决实际问题的重要工具。

在学习过程中，我们常常会遇到一些习题，下面我将为大家提供一些必修一函数与方程习题的答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握相关知识。

1. 已知函数f(x) = 2x + 3，求f(4)的值。

解：将x = 4代入函数f(x)中，得到f(4) = 2(4) + 3 = 11。

2. 已知函数g(x) = x^2 + 2x，求g(-3)的值。

解：将x = -3代入函数g(x)中，得到g(-3) = (-3)^2 + 2(-3) = 9 - 6 = 3。

3. 已知函数h(x) = 3x - 1，求解方程h(x) = 8的解。

解：将h(x) = 8转化为3x - 1 = 8，解得x = 3。

4. 解方程2x + 5 = 3x - 1。

解：将方程化简为2x - 3x = -1 - 5，得到-x = -6，解得x = 6。

5. 解方程3(x - 2) = 2x + 1。

解：将方程化简为3x - 6 = 2x + 1，再将2x移到一边，得到3x - 2x = 1 + 6，解得x = 7。

6. 解方程2(3x - 4) - 5(x + 1) = 3(2x - 1)。

解：将方程化简为6x - 8 - 5x - 5 = 6x - 3，将6x移到一边，得到6x - 6x = 8 + 5 - 3，解得x = 10。

通过以上几道习题的解答，我们可以看出，函数与方程的解题过程主要是根据已知条件进行计算和化简，最终求出未知数的值。

在解方程时，我们需要注意将方程化简为一元一次方程，然后通过移项和合并同类项等步骤得出最终的解。

除了以上习题的答案，还有一些其他类型的函数与方程的习题，如二次函数、指数函数、对数函数等。

这些习题需要我们掌握相应的函数性质和解题方法，才能够正确地求解。

总之，函数与方程是数学中的重要内容，它们在数学的学习和实际问题的解决中起着重要的作用。

高中数学高考总复习----函数与方程的思想巩固练习题(含答案解析)

高中数学高考总复习----函数与方程的思想巩固
练习题（含答案解析）
【巩固练习】
1.已知 f (x) 是定义在 R 上的偶函数，且以 2 为周期，则“ f (x) 为[0,1] 上的增函数”是“ f (x) 为[3,4] 上
的减函数”的（）（A）既不充分也不必要的条件（C）必要而不充分的条件
（B）充分而不必要的条件（D）充要条件
2
3.【答案】B 【命题意图】本试题主要考查了函数与方程思想，函数的零点的概念，零点存在定理以及作图与用图的数学能力.
【解析】解法 1 ：因为函数 f (x) 2x x3 2 的导数为 f '(x) 2x ln 2 3x2 0 ，所以函数
f (x) 2x x3 2 单调递增，又 f (0)=1+0 2= 1， f (1)=2+23 2=8，即 f (0) f (1)<0 且函数 f (x)
1 a0
x2 是原方程的解当且仅当 x2
，即 a 1．
于是满足题意的 a 1, 2 ．综上， a 的取值范围为 1, 2 3, 4 ．
（3）当 0
x1
x2
时，
1 x1
a
1 x2
a
log2
，
1 x1
a
log2
1 x2
a
，
所以 f x 在 0, 上单调递减．
函数 f x 在区间t,t 1 上的最大值与最小值分别为 f t ， f t 1 ．
(A)x＜y＜z （B）z＜x＜y (C)z＜y＜x
(D)y＜z＜x
5. (2016
上海高考)已知无穷等比数列{an}的公比为
q，前
n

人教版数学必修一巩固练习-函数的应用(Ⅰ)-基础

【巩固练习】1.一个旅社有100间客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现了这样一个规律：如果客房定价每天每间160元，入住率为55%；每间定价140元时，入住率为65%；每间定价120元时，入住率为75%；每间定价100元时，入住率为85%；要使每天收入达到最高，每间每天应定价为( )A.160元B.140元C.120元D.100元2.为了改善某地的生态环境，政府决定绿化荒山，计划第一年先植树0.5万亩，以后每年比上一年增加1万亩，结果植树总亩数是时间(年数)的一次函数，则这个函数的图象大致是( )3.对某种产品市场产销情况调查如图所示，其中1L 表示产品各年产量的变化规律；2L 表示产品各年的销售情况；下列叙述：(1)产品产量、销售量均以直线上升，仍可按原计划进行下去；(2)产品已经出现了供大于求的情况，价格趋跌；(3)产品库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销售量；(4)产品的产、销情况均以一定的年增长率递增.你认为较合理的是( )A.(1)(2)(3)B.(1)(3)(4)C.(2)(4)D.(2)(3)4.某工厂的大门是一抛物线型水泥建筑物，大门的地面宽度为8m ，两侧距地面3m高处各有一个壁灯，两壁灯之间的水平距离为6m ，如图所示，则厂门的高为(水泥建筑物的厚度忽略不计，精确到0.1m)( )A.6.9mB.7.0mC.7.1mD.6.8m5.某幢建筑物，从10m 高的窗口A 用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在平面与墙面垂直，如图所示)，如果抛物线的最高点M 离墙1m ，离地面403m ，则水流落地点B 离墙的距离OB 是( )A.2mB.3mC.4mD.5m6.将进货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，根据经验，该商品若每个涨(降)1元，其销售量就减少(增加)20个，为获得最大利润，售价应定为( )A.92元B.94元C.95元D.88元7.某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个_____________.8.某航空公司规定，乘机所携带行李的重量(kg)与运费(元)由图中的一次函数图象确定，那么乘客免费可携带行李的最大重量为_____________.9.建造一个容积为8000m 3深为6m 的长方体蓄水池，池壁造价为a 元/m 2，池底造价为2a 元/m 2，把总造价y(元)表示为底的一边长x(m)的函数：______________.10．将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个．若每个销售涨价一元，则日销售量减少10个．为获得最大利润，则此商品当日销售价应定为每个__________元．11.某地方政府为保护地方电子工业发展，决定对某一进口电子产品征收附加税．已知这种电子产品国内市场零售价为每件250元，每年可销售40万件，若政府增加附加税率为每百元收t 元时，则每年销售量将减少58t 万件． (1)将税金收入表示为征收附加税率的函数；(2)若在该项经营中每年征收附加税金不低于600万元，那么附加税率应控制在什么范围？12. 某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出。

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