任意角的三角函数定义、三角函数线重点、难点题型

任意角的三角函数定义、三角函数线重点、难点题型

知识梳理：

1．任意角三角函数的定义 任意角三角函数的定义

如图所示，以任意角α的顶点O 为坐标原点，以角α的始边的方向作为x 轴的正方向，建立直角坐标系．设P (x ，y )是任意角α终边上不同于坐标原点的任意一点．

其中，r ＝OP ＝x 2＋y 2>0．

定义：x r 叫做角α的余弦，记作cos α，即cos α＝x r

；

y r 叫做角α的正弦，记作sin α，即sin α＝y r ； y x 叫做角α的正切，记作tan α，即tan α＝y x

． 另外，角α的正割：sec α＝1cos α＝r

x ；

角α的余割：csc α＝1sin α＝r

y ；

角α的余切：cot α＝1tan α＝x

y

．

2．六种三角函数值在各象限的符号

3．三角函数的定义域

三角函数 定义域 sin α，cos α tan α，sec α

cot α，csc α

题型一：三角函数定义的应用 例1. 已知角α终边上一点P (－3，y )，且sin α＝

3

4

y ，求cos α和tan α的值．

思维启迪：对m 的讨论必须全面，不能遗漏m=0

例2. 角α的终边经过点P (－b,4)且cos α＝－3

5

，则b 的值为( )

A ．3

B ．－3

C ．±3

D ．5

跟踪练习：

已知角α的终边上一点P (－15a,8a ) (a ∈R 且a ≠0)，求sin cos αα+

感悟：1．三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P (x ，y )在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定．即三角函数值的大小只与角有关．

2．符号sin α、cos α、tan α是一个整体，离开“α”，“sin ”、“cos ”、“tan ”不表示任何意义，更不能把“sin α”当成“sin ”与“α”的乘积．

题型二 符号规律的应用 例3.判断下列各式的符号：

(1)sin α·cos α(其中α是第二象限角)； (2)sin 285°cos(－105°)；

(3)sin 3·cos 4·tan(－23π

4

)．

例4.已知α终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则a 的取值范围为________

跟踪练习：

1. 若sin α<0且tan α>0，则α是( )

A ．第一象限角

B ．第二象限角

C ．第三象限角

D ．第四象限角

2. 已知x 为终边不在坐标轴上的角，则函数f (x )＝|sin x |sin x ＋cos x |cos x |＋|tan x |

tan x

的值域是( )

A ．{－3，－1,1,3}

B ．{－3，－1}

C ．{1,3}

D ．{－1,3} 3.．代数式：sin 2cos 3tan 4的符号是________ 4.若θ为第一象限角，则能确定为正值的是( )

A ．sin θ2

B ．cos θ2

C ．tan θ

2

D ．cos 2θ

能力提升：

1若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝________．

2. 若角α的终边过点0

(2sin30,2cos30)-，则sin α=______ 3. 角α的终边过点P 43(,)55m m --，且cos 0tan αα

<，求sin tan αα+的值

题型三：单位圆与三角函数线的应用

1．单位圆与三角函数的定义

一般地，我们把半径为1的圆叫做单位圆．

2．三角函数线

三角函数线是表示三角函数值的有向线段，线段的方向表示了三角函数值的正负，线段的长度表示了三角函数值的绝对值．

有向线段MP 即为正弦线 有向线段OM 即为余弦线

有向线段A T 即为正切线

例5在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合．

(1)sin α≥32； (2)cos α≤－1

2

．

能力提升: 求下列函数的定义域． f (x )＝1－2cos x ＋ln ⎝

⎛⎭

⎫sin x －

22 例6.已知点P (sin cos ,tan )ααα-在第一象限，在[]0,2π内，求α的取值范围

例7.若如何利用三角函数线证明下面的不等式？

当α∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，求证：（1）sin α<α

跟踪练习：1.已知5,44x ππ⎛⎫∈

⎪⎝⎭

，则sin x 与cos x 的大小关系是（ ） （A ）sin cos x x ≥（B ）sin cos x x ≤ （C ）sin cos x x >（D ）sin cos x x <

2.下列四个命题中：

（1）α一定时，单位圆中的正弦线一定； （2）单位圆中，有相同正弦的角相等； （3）α与απ+有相同的正弦线

（4）具有相同正切线的两个角终边在同一直线上。 不正确的命题的个数是（ ）（A ）0（B ）1（C ）2（D ）3 3.若α是三角形的内角，且2

sin cos 3

αα+=

，则这个三角形是（ ） （A ）等边三角形（B ）直角三角形（C ）锐角三角形（D ）钝角三角形 4.以下命题正确的是（ ）

（A ）α，β都是第一象限角，若cos cos αβ>则sin sin αβ> （B ）α，β都是第二象限角，若sin sin αβ>则tan tan αβ> （C ）α，β都是第三象限角，若cos cos αβ>则sin sin αβ> （D ）α，β都是第四象限角，若sin sin αβ>则tan tan αβ>