任意角的三角函数定义、三角函数线重点、难点题型

任意角的三角函数定义、三角函数线重点、难点题型
知识梳理：
1．任意角三角函数的定义 任意角三角函数的定义
如图所示，以任意角α的顶点O 为坐标原点，以角α的始边的方向作为x 轴的正方向，建立直角坐标系．设P (x ，y )是任意角α终边上不同于坐标原点的任意一点．
其中，r ＝OP ＝x 2＋y 2>0．
定义：x r 叫做角α的余弦，记作cos α，即cos α＝x r
；
y r 叫做角α的正弦，记作sin α，即sin α＝y r ； y x 叫做角α的正切，记作tan α，即tan α＝y x
． 另外，角α的正割：sec α＝1cos α＝r
x ；
角α的余割：csc α＝1sin α＝r
y ；
角α的余切：cot α＝1tan α＝x
y
．
2．六种三角函数值在各象限的符号
3．三角函数的定义域
三角函数 定义域 sin α，cos α tan α，sec α
cot α，csc α
题型一：三角函数定义的应用 例1. 已知角α终边上一点P (－3，y )，且sin α＝
3
4
y ，求cos α和tan α的值．
思维启迪：对m 的讨论必须全面，不能遗漏m=0
例2. 角α的终边经过点P (－b,4)且cos α＝－3
5
，则b 的值为( )
A ．3
B ．－3
C ．±3
D ．5
跟踪练习：
已知角α的终边上一点P (－15a,8a ) (a ∈R 且a ≠0)，求sin cos αα+
感悟：1．三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P (x ，y )在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定．即三角函数值的大小只与角有关．
2．符号sin α、cos α、tan α是一个整体，离开“α”，“sin ”、“cos ”、“tan ”不表示任何意义，更不能把“sin α”当成“sin ”与“α”的乘积．
题型二 符号规律的应用 例3.判断下列各式的符号：
(1)sin α·cos α(其中α是第二象限角)； (2)sin 285°cos(－105°)；
(3)sin 3·cos 4·tan(－23π
4
)．
例4.已知α终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则a 的取值范围为________
跟踪练习：
1. 若sin α<0且tan α>0，则α是( )
A ．第一象限角
B ．第二象限角
C ．第三象限角
D ．第四象限角
2. 已知x 为终边不在坐标轴上的角，则函数f (x )＝|sin x |sin x ＋cos x |cos x |＋|tan x |
tan x
的值域是( )
A ．{－3，－1,1,3}
B ．{－3，－1}
C ．{1,3}
D ．{－1,3} 3.．代数式：sin 2cos 3tan 4的符号是________ 4.若θ为第一象限角，则能确定为正值的是( )
A ．sin θ2
B ．cos θ2
C ．tan θ
2
D ．cos 2θ
能力提升：
1若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝________．
2. 若角α的终边过点0
(2sin30,2cos30)-，则sin α=______ 3. 角α的终边过点P 43(,)55m m --，且cos 0tan αα
<，求sin tan αα+的值
题型三：单位圆与三角函数线的应用
1．单位圆与三角函数的定义
一般地，我们把半径为1的圆叫做单位圆．
2．三角函数线
三角函数线是表示三角函数值的有向线段，线段的方向表示了三角函数值的正负，线段的长度表示了三角函数值的绝对值．
有向线段MP 即为正弦线 有向线段OM 即为余弦线
有向线段A T 即为正切线
例5在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合．
(1)sin α≥32； (2)cos α≤－1
2
．
能力提升: 求下列函数的定义域． f (x )＝1－2cos x ＋ln ⎝
⎛⎭
⎫sin x －
22 例6.已知点P (sin cos ,tan )ααα-在第一象限，在[]0,2π内，求α的取值范围
例7.若如何利用三角函数线证明下面的不等式？
当α∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，求证：（1）sin α<α<tan α．（2）1sin cos 2παα<+<
跟踪练习：1.已知5,44x ππ⎛⎫∈
⎪⎝⎭
，则sin x 与cos x 的大小关系是（ ） （A ）sin cos x x ≥（B ）sin cos x x ≤ （C ）sin cos x x >（D ）sin cos x x <
2.下列四个命题中：
（1）α一定时，单位圆中的正弦线一定； （2）单位圆中，有相同正弦的角相等； （3）α与απ+有相同的正弦线
（4）具有相同正切线的两个角终边在同一直线上。

不正确的命题的个数是（ ）（A ）0（B ）1（C ）2（D ）3 3.若α是三角形的内角，且2
sin cos 3
αα+=
，则这个三角形是（ ） （A ）等边三角形（B ）直角三角形（C ）锐角三角形（D ）钝角三角形 4.以下命题正确的是（ ）
（A ）α，β都是第一象限角，若cos cos αβ>则sin sin αβ> （B ）α，β都是第二象限角，若sin sin αβ>则tan tan αβ> （C ）α，β都是第三象限角，若cos cos αβ>则sin sin αβ> （D ）α，β都是第四象限角，若sin sin αβ>则tan tan αβ>。