第三节波动的叠加

1.3
波的叠加
1.3.1 波的独立传播与叠加原理 ：
1.3.2 同频率简谐波叠加的一般分析及干涉概念 1.3.3 两列同频率 同向振动的平面波的叠加
1.3.4 两列同频率 同向振动 反向传播的平面波的 叠加——光驻波
1.3
波的叠加
1.3.5 两列同频率、振动方向互相垂直、同向传 播的平面波的叠加——椭圆偏振光的形成及特征 1.3.6 两列频率相近、同向振动、同向传播的平 面波的叠加—光学拍
即N列波的振幅满足线性迭加关系。 由于振动量通常是矢量，所以一般情况下此处之“和” 应理解为矢量和. 波在其中不服从迭加原理的媒质称为“非线性媒质”。
1.3.2 同频率简谐波叠加的一般分析及干涉概念
设两列同频率简谐波在其波场交叠区某点P各自产生的复振幅分别为
1.3.2
同频率简谐波叠加的一般分析及干涉概念 E ( P) E ( P) exp i ( P)
(cos 2 cos 1 ) x (cos 2 cos 1 ) y (cos 2 cos 1 ) z C
我们把两列(或多列)相干波的交叠区称为干涉场，
将干涉场中光强随空间位置的分布称为干涉图样。 由以上分析可知，两列同频率平面波的干涉图样是三维空间中一族光强 极大与极小相间排列的平行平面。 由于在I1、I2 给定时，光强I仅取决于cosδ，而cosδ随x,y,z的变化具有 周期性， 故，干涉场的强度变化亦具有空间周期性。
2E10 ( P) E20 ( P)cos[2 ( P) 1 ( P)]
1.3.2 同频率简谐波叠加的一般分析及干涉概念
令
2 2 I1 ( P) E10 I2 ( P) E20 ( P) ( P) 2 ( P) 1 ( P)
则
I ( P) I1 ( p) I2 ( p) 2E10 ( p) E20 ( p) cos ( p)
本节所讨论内容的理论基础：
一、波的独立传播定律： 两列光波在空间交迭时，它的传播互不干扰,亦即每列波如何 传播，就像另一列波完全不存在一样各自独立进行。此即波的独立 传播定律。 必须注意的是：此定律并不是普遍成立的，例，光通过变色玻 璃时是不服从独立传播定律的。
1.3.1 波的独立传播与叠加原理
二、波的叠加原理：
可见，一般地说θ 的大小，即E 在xy 平面内的指向将随位置z和 时间t 而变化。以下分别讨论其时空依赖关系。
1.3.5 两列同频率、振动方向互相垂直、同向传播的平面波的 叠加——椭圆偏振光的形成及特征 一、光矢量E的时间变化
设z为定值 可以证明，当t 为任意值时，E矢量末端随时间的变化在空 间扫描出的轨迹由以下方程所确定：
(2m 1)
光强I 取得极小值
(m = 0，±l，±2，…)
2 2 Im E10 E20 2E10 E20 (E10 E20 )2
这时称两列波发生了相消干涉。
1.3.3 两列同频率 同向振动的平面波的叠加
δ相同的点的集合构成了三维空间中的等强度面，
这种等强度面的方程是
容易看出，波腹与波节相间分布，相邻波腹(或波节)的间距皆为λ/2。
由于整个波形并不发生空间推移，所以这种波称为驻波。 相应地，前文所讨论的各种在空间传播的波则可以称为行波。
1.3.4 两列同频率 同向振动 反向传播的平面波的叠加——
光驻波


历史上，维纳(O．winer)曾经作了这样一个著名的实验， 它既验证了光驻波的存在，也证实了在光化学反应中对 物质起主要作用的是电场而不是磁场。 可以预见:若有光驻波存在，在感光片上将有亮暗相间的 条纹存在，且条纹间距应与/2按几何关系对应。即
1.3.2 同频率简谐波叠加的一般分析及干涉概念
设两列三维平面波的频率相同，振动方向相同(故可用标量波表示)， 其复振幅分别为
此时
E1 (r) E10 exp[k1 r 10 ] E2 (r) E20 exp[k2 r 20 ] E10 // E20
2 10 2 20
1.3.3 两列同频率 同向振动的平面波的叠加
光强仅随位置r变化而变化。在某些特定位置，使得
2m
光强I 取得极大值
(m = 0，±l，±2，…)
2 2 I M E10 E20 2E10 E20 (E10 E20 )2
这时称两列波发生了相长干涉； 在另一些特定位置，使得
2 2 Ey Ex E y Ex 2 2 cos sin 2 2 Ex 0 E y 0 Ex 0 E y 0
显然，一般说来这是一个“斜椭圆”(两半轴方位不与x,y轴重 合)方程，相应的光称为椭圆偏振光 。 Ey 该椭圆内截于一个长方形，长方形各边 与坐标轴平行，边长为2a1和2 a2 。如图 示。椭圆的长轴与OX轴的夹角： ψ
采用实波函数来进行分析。
其实波函数分别为： E
1
( z, t ) E10 cos(kz t )
E2 ( z, t ) E20 cos(kz t 0 )
为突出波叠加时的主要特征，设E10=E20，则合成波为 E ( z , t ) E1 ( z, t ) E2 ( z, t )
光在真空中总是独立传播的，从而服从叠加原理。 光在普通玻璃中，只要不是太强，也服从叠加原理。 波在其中服从叠加原理的媒质称为“线性媒质”。 此时，对于非相干光波：
I ( P) I i ( P)
i 1
N
即N列波的强度满足线性迭加关系。
1.3.1 波的独立传播与叠加原理
对于相干光波 ：
N E ( P) Ei ( P) i 1
且有
2 f sin 2 式中θ为k 、k 夹角。
1 2
对fx fy fz 取倒数可以得到干涉图样在x,y,z方向的空间 周期dx,dy,dz
相邻光强极大(或极小)平面的间距则为
1 d f 2sin 2
1.3.4 两列同频率 同向振动 反向传播的平面波的叠加——
光驻波
设两列波的传播方向分别沿z轴的负方向和正方向,
0 ) cos(t 0 ) 2 2 上式中第二项表明波场中任一点仍作角频率为ω 的简谐振动，而 第一项的绝对值则表示为坐标为z处的振动振幅， 2 E10 cos(kz
将此振幅记为E0（z），即有：
0 E0 ( z ) 2 E10 cos(kz ) 2
1.3.4 两列同频率 同向振动 反向传播的平面波的叠加——
1.3.3 两列同频率 同向振动的平面波的叠加
由于
2( f x x f y y f z z) 0
可知，光强分布在x ,y ,z 方向的空间频率分别为 cos 2 cos 1 f 2 x f1x , fx cos 2 cos 1 fy f2 y f2 y , cos 2 cos 1 fz f2 z f2 z ,
上式亦可写成矢量形式
f f源自文库 f1
式中f1，f2 分别是第一列波、第二列波的空间频率矢量，f 是干涉图 样(在垂直于等强度面方向)的空间频率矢量。
1.3.3 两列同频率 同向振动的平面波的叠加 由于f1=f2=1/λ, f 的方向为等强度面的法线方向，
可知等强度面位于f1、f2 (亦即k1、k2)的角平分面，
光驻波
显然，各点的振幅不再是常数，而随其空间位置z而变化。 在满足
0 kz m 2
(m = 0，±1，±2，…)
的位置，振幅E(z)取得最大值2E10，这些点称为波腹。 在满足
kz
0 1 (m ) 2 2
(m = 0，±1，±2，…)
的位置，振幅E(z)取得最小值0，这些点称为波节。

tg a 2
二、几种特殊情况：

由椭圆方程 E 2 E 2 y x
a12
2 a2
2
Ex E y a1a2
cos( 20 10 ) sin 2 ( 20 10 )


知：椭圆形状由两叠加光波的位相差 20 10 和振幅比a2/a1 决定. 当两种特殊情况下,合成光波仍是线偏振光. 1. 20 10 0 或 ±2π的整数倍时， a2 Ex 椭圆方程为： E y a1 此式表示：合矢量的末端的运动沿着一条经过坐 标原点而斜率为 a2/a1的直线进行。
2a a tg 2 2 1 2 2 cos a1 a 2
式中a1, a2分别为Ex0 ,Ey0。
2a2
0
Ex
2a1
1.3.5 两列同频率、振动方向互相垂直、同向传播的平面波的 叠加——椭圆偏振光的形成及特征
令 a1 tg 2 tg 2 cos 则 由于两叠加光波的角频率为ω ，故P点合 矢量沿椭圆旋转的角频率为ω 。 我们把光矢量周期性地旋转，其末端轨迹 描成一个椭圆的这种光称为椭圆偏振光。
因为两列波均沿z方向等速传播，故其合成波亦沿同方向以同 样速度传播，并且合矢量E仍在xy平面内，即光波仍保持其横波性。 以θ表示E矢量与x轴正向所成的角，则有
E ( z, t ) Ex ( z, t ) E y ( z, t )
tan
Ey Ex

E y 0 cos(kz t ) Ex 0 cos(kz t )
E10 E20 E10 E20,
可得到光场中的光强分布为
I E E 2E10 E20 cos
或写为
其中
I (r ) I1 I 2 2 I1I 2 cos
2 1 (k2 k1 ) r 20 10 k[(cos 2 cos 1 ) x (cos 2 cos 1 ) y (cos 2 cos 1 ) z] 20 10
l


2sin
实验证实了这个预言，
即证实了驻波的存在。
1.3.5 两列同频率、振动方向互相垂直、同向传播的平面波的 叠加——椭圆偏振光的形成及特征
取互相垂直的两个振动方向分别为x和y轴，波的传播方向为z方向
则x，y方向的矢量实波函数可分别写为
波场中任意位置和时刻的合振动应为
E x ( z , t ) Ex 0 cos(kz t ) E y ( z , t ) E y 0 cos(kz t )
1.3.1 波的独立传播与叠加原理 ：
由于任何复杂的光波都可以分解为一组由余弦函数和正弦函 数表示的单色光波，因此讨论两个（或多个）光波在空间某一区 域相遇时，所发生的光波的叠加问题是有意义的。同时，频率、 振幅和位相都不相同的光波的叠加，情形很复杂。 本节只限于讨论频率相同或频率相差很小的单色光波的叠加， 这种情况下可以写出结果的数学表达式。
若在两波的交叠区波场的强度分布不是简单地等于每列波单独产 生的强度之和，即 一般地 I ( P) I1 ( P) I 2 ( P) 则称这两列波发生了干涉。 易见对干涉的贡献来自合强度式中的第三项——干涉项。 为使该项具有不为零的稳定贡献，必须有 （1） E10 ·E20 =0，即E10不垂直于E20 ； （2）对给定点P，相差δ（P )恒定，不随时间而变化。 对理想单色简谐波，只要振动方向不互相正交，总是相干的。
当两列(或多列)波在同一空间传播时，空间各点都参与每列 波在该点引起的振动。若波的独立传播定律成立，则当两列(或多 列)波同时存在时，在它们的交迭区域内每点的振动是各列波单独 在该点产生振动的合成.此即波的迭加原理。 与独立传播定律相同，叠加原理适用性也是有条件的。这条 件，一是媒质,二是波的强度。
1 10 1


E2 ( P) E20 ( P) exp i2 ( P)
P点合振动的复振幅矢量为
P点合光强为
E ( P) E1 ( P) E2 ( P)
I ( P) E ( P) E ( P)
[ E1 ( P) E2 ( P)] [ E1 ( P) E2 ( P)] 2 2 E10 ( p) E20 ( p)