第1节 二维随机变量的联合分布
二维随机变量的联合分布
❖ 一.二维随机变量 二维随机变量的概念
➢ 定义3.1.1 设随机试验的样本空间为 = {}, X=X () 和 Y=Y () 是定义在上的两个随机变量，由它们构成的向 量(X (), Y ())，称为二维随机变量(或二维随机向量)简
记为(X, Y), 并称X, Y为二维随机变量(X, Y)的两个分量.
F(2, 2) F(2, 0) F(0, 2) F(0, 0) 1 . 16
概率论与数理统计
10
❖ 三.多维随机变量的概念 概念
➢ 如果X1()，X2()，…，Xn()是定义在同一个样本空间 = {}上的n个随机变量，则称 X ( ) ( X1 ( ), X 2 ( ),, X n ( ))
概率论与数理统计
8
❖ 二.联合分布函数 3.性质
➢ 例3.1.1 设随机变量(X ,Y )的联合分布函数为
F ( x,
y)
A
B
arctan
x 2
C
arctan
y 2
其中 <x, y<+, 求
(1)常数A , B , C 的值；(2)P (0<X 2, 0<Y 2).
➢ 解 (1)由联合分布函数的性质得
y 2
其中 <x, y<+, 求
(1)常数A , B , C 的值；(2)P (0<X 2, 0<Y 2).
➢
解
(1)由联合分布函数的性质得
1
B 2 ,C 2 , A 2
分布函数为
F ( x,
y)
1
2
2
arctan
x 2
2
arctan
y 2
概率论-3-1 二维随机变量
★ 证明 P{ x1 X x2 , y1 Y y2 }
P{ X x2 , y1 Y y2 } P{ X x1, y1 Y y2 } P{ X x2 ,Y y2 } P{ X x2 ,Y y1}
P{ X x1,Y y2 } P{ X x1,Y y1} 0,
(3,1)
p31
1 4
1 3
1 12
P( X ,Y )
(3,2)
p32
1 4
2 3
1. 6
从而所求的分布列为： X Y 1 2 3
1 0 1 6 1 12
2 16 16 16
3 1 12 1 6 0
三、连续型二维随机变量
定义
对于二维随机变量（X ,Y）的分布函数F（x, y), 如果存在非负的函数f (x, y)，使得对于任意的x, y有
定义
给定一个随机试验, 是它的样本空间, 如果对
每一个 ，有一对有序实数[ X (),Y ()]与之对
应，则这样一个定义域为，取值为有序实数( X ,Y )
[ X (),Y ()]的变量称为二维随机变量（向量），
简记为( X ,Y )。
e S
X (e) Y (e)
2、联合分布函数
定义：设 ( X ,Y ) 是二维随机变量,对于任意实数 x, y, 二元函数: F ( x, y) P{( X x) (Y y)} P{ X x,Y y} 称为二维随机变量( X ,Y ) 的分布函数,或称为随 机变量X 和 Y 的联合分布函数.
F ( x, y)的函数值就是随机点落在如图所示区
0,
二维随机变量(X,Y)的联合分布
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解：设X可能的取值为 i, i 1,2,3,4
Y可能的取值为 j, j 1, , i .
则： P( X i,Y j)
定义 设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数 为F(x,y),分别把X和Y的分布函数记为FX(x)和FY(y)， 叫做二维随机变量(X,Y) 关于X和Y的边缘分布函数.
即: FX (x) P{X x} PX x,Y F(x,)
FY ( y) P{Y y} PX ,Y y F(, y)
定义：设二维随机变量（X，Y）的分布函数为 F(x,y),若存在非负函数f（x，y），使对任 意实数 x，y 有
x
y
F( x, y)
f (u, v)dudv
则称（X，Y）是二维连续型随机变量,f（x，y）
称为（X，Y）的联合概率密度函数。
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说明
(1) 分布函数 F( x, y) 是连续函数. (因为 F( x, y)
是积分上限函数)
(2)
的性质
(i) f (x, y) 0
(ii)
f ( x, y)dxdy F (,) 1
(注：从几何上看，z f ( x, y)表示空间的一个曲面，
介于它和XOY面的空间区域的体积为1）
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xy
F( x, y)
f ( x, y)dxdy
f ( x, y) Fxy ( x, y)
几何意义
(X,Y)平面上随机点的坐标
F (x, y) P { X x,Y y }
3.3二维随机变量及其分布一、联合分布函数1、定义：设X,Y是二维
3.3二维随机变量及其分布一、联合分布函数1、定义：设(X, Y)是二维随机变量，(x,y)∈R 2,则称F(x,y)=P{X<x,Y<y}为(X,Y)的分布函数，或X 与Y 的联合分布函数。
几何意义：分布函数F(00,y x )表示随机点(X,Y)落在区域{}00,),(y y x x y x <<-∞<<∞-中的概率。
如图阴影部分： 对于(x 1,y 1),(x 2,y 2)∈R 2,(x 1<x 2，y 1<y 2),则P{x 1≤X<x 2，y 1≤y<y 2}＝F(x 2,y 2)－F(x 1,y 2)－F(x 2,y 1)＋F(x 1,y 1)2、分布函数F(x, y)具有如下性质(p119)：(1)归一性：对任意(x,y)∈R 2, 0≤F(x,y)≤1,(2)单调不减：对任意y ∈R,当x 1<x 2时，F(x 1,y)≤F(x 2,y)；对任意x ∈R ，当y 1<y 2时，F(x,y 1)≤F(x,y 2)。
(3)左连续：对任意x ∈R,0y ∈R,1),(lim ),(==∞∞∞→∞→y x F F y x 0),(lim ),(==-∞-∞-∞→-∞→y x F F y x 0),(lim ),(==-∞-∞→y x F y F x 0),(lim ),(==-∞-∞→y x F x F y ).,(),(lim )0,(000y x F y x F y x F y y ==--→(4)矩形不等式：对于任意(x 1,y 1),(x 2,y 2)∈R 2,(x 1<x 2，y 1<y 2),F(x 2,y 2)－F(x 1,2)－F(x 2,y 1)＋F(x 1,y 1)≥0.反之，任一满足上述四个性质的二元函数F(x, y)都可以作为某个二维随机变量(X,Y)的分布函数。
例1:已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为:1)求常数A ，B ，C ；2)求P{0≤X<2,0≤Y<3}。
《概率论与数理统计》课件3-1二维随机变量及其联合分布
二维随机变量联合分布函数
F(x,y) = P{X x,Y y}
(1) 有界性 0 F(x,y) 1，且有F(− ,y) = lim F(x,y) = 0
x→−
F(x，− ) = lim F(x,y) = 0 F(− ，− ) = lim F(x,y) = 0 ，
1
F(
) 1 F( y) 0 F(x ) 0
F ( , ) A(B )(C ) 1
2
2
F ( , y) A(B )(C arctan y) 0 2
F ( x,
) A( B arctan x) ( C
)0
2
A
F (x, y) y).
1
2
,
B
1
2 (2
C.
2
arctan x)( 2
arctan
(2) P 0 X , 0 Y 1 F( ,1) F(0,1) F( , 0) F(0, 0) ．
则〈
l
0，
它
P 恳1 < X 共 2,3 < Y 共 5}
x > 0, y > 0 其
= F(2,5) − F(1,5) − F(1,3) + F(2,3)
A) V
B) 根
A
B
提交
1 F(x, y) A(B arctan x)(C arctan y).
1
A, B,C 2 P 0 X , 0 Y 1
A.
B.
C.
D.
A
C
B
D
提交
1. F(x, y) P{X x,Y y}.
2.
二维随机变量(x,y)的联合分布律
二维随机变量(x,y)的联合分布律
二维随机变量的联合分布律是一类重要的参数，它某种程度上反映和描述了两个不同变量
关系的概率性质。
一般来说，定义在一定空间某点上的联合分布概率，可以用一个函数来
表示，即联合分布函数。
它可以是连续的或离散的，它包括条件概率和条件协方差分布两
部分。
联合分布律不仅描述两个变量之间的关系，还可以揭示各个变量的独立性，或特定变量的正态分布等信息。
研究二维随机变量的联合分布律，有助于我们更加深入、全面地理解变
量之间的关系，分析不同概率分布，从而制定合理的投资策略。
联合分布律经常用于自然科学和经济等领域，非常有用。
如艺术家需要对不同色调和饱和度进行评估，就可以用联合分布律来更好地识别不同色调，也可以帮助统计学家更好地预测某一特定变量的行为趋势。
此外，它也可以帮助金融专业人士观察大量投资者之间的独立性，并做出相应的经济决策。
总之，研究二维随机变量的联合分布律对于解决许多问题至关重要，在金融投资中尤其如此。
熟悉这样的数学模型，能够帮助投资人更好地预测市场的走向，获得资金的最高价值。
概率论第三章二维随机变量
取下列数组中的值:(0,0),( :(0,0),(例2 二维离散型随机向量 ( X ,Y ) 取下列数组中的值:(0,0),(-1,1) 1,2),(2,0);且相应的概率依次为 且相应的概率依次为:1/6, (-1,2),(2,0);且相应的概率依次为:1/6, 1/3, 1/12, 5/12. 的联合概率分布 分布. 求X与Y的联合概率分布.
X Y y1
y2
⋯
yj
⋯
Hale Waihona Puke x1 p11 x 2 p21 ⋮ ⋮ xi pi1 ⋮ ⋮ 联合分布律 联合分布律的性质 (1) p ij ≥
p12 ⋯ p1 j p22 ⋯ p2 j ⋮ ⋮ pi 2 ⋯ pij ⋮ ⋮ 0 ; (2) ∑ ∑
⋯ ⋯ ⋯
p ij = 1
i ≥1 j ≥1
边缘分布 分布律 ２. 边缘分布律 二维离散型随机变量的边缘分布律可列于联合分布 二维离散型随机变量的边缘分布律可列于联合分布 可列 的两侧: 表的两侧 Y y y ⋯ y ⋯
型随机变量(X,X, 的分布律,或随机变量X 型随机变量(X,X,)的分布律,或随机变量X与Y的联合 (X,X 分布律 分布律.可记为
, ( X ,Y) ~ pij = P( X = xi ,Y = y j ) (i, j =1,2,⋯ )
二维离散型随机变量的联合分布律可列表如下: 二维离散型随机变量的联合分布律可列表如下 可列表如下
p12 1/ 4 p22 1/ 2 p32 1/ 4 1/ 2 1/ 2 1
3. 求联合分布的步骤与方法 求联合分布的步骤与方法 分布 先画出二向表的表头,并确定X 的取值; (1) 先画出二向表的表头,并确定X与Y的取值; 求联合分布表的中的概率项. (2) 求联合分布表的中的概率项.
3.1 二维随机变量及其分布
可得
三、二维连续型随机变量及其概率分布
例：设二维随机变量（X, Y）具有概率密度
试求：（1）c 的值；（2）两个边缘密度。
解：（2）由 概率密度函数性质 4，即
即Y的边缘 密度函数为
三、二维连续型随机变量及其概率分布
例：设二维随机变量（X, Y）具有概率密度
试求：（1）c 的值；（2）两个边缘密度。
解：（2）由 概率密度函数性质 4，即
即X的边缘 密度函数为
三、二维连续型随机变量及其概率分布
例：设二维随机变量（X, Y）具有概率密度
试求两个边缘密度。
解：由 概率密度函数性质 4，即
三、二维连续型随机变量及其概率分布
例：设二维随机变量（X, Y）具有概率密度
试求两个边缘密度。
解：由 概率密度函数性质 4，即
三、二维连续型随机变量及其概率分布
解：依题意知，概率密度函数为
由 概率密度函数性质 4，得
三、二维连续型随机变量及其概率分布
解：依题意知，概率密度函数为
三、二维连续型随机变量及其概率分布
两个常见二维连续型概率分布
三、二维连续型随机变量及其概率分布
关于二维正态分布的说明 （1）服从二维正态分布的密度函数的典型图形见下图； （2）二维正态分布的两个边缘分布是一维正态分布。
解：（1）由二维随机变量分布函数的性质, 可得
一、二维随机变量及其分布函数
例：设二维随机变量（X, Y）的分布函数为
解：由（1）式可得
第一节 二维随机变量及其分布
二维随机变量及其分布函数
二维离散型随机变量及其概率分布 二维连续型随机变量及其概率密度
二、二维离散型随机变量及其概率分布
二维随机变量的联合分布函数
二维随机变量的联合分布函数随机变量是概率论和数理统计中的重要概念之一，它可以描述一个随机事件以及该事件可能出现的结果。
二维随机变量则是另一种更为复杂的随机变量类型，它可以同时描述两个随机事件之间的关系。
在二维随机变量中，我们有一个联合分布函数，它描述了两个随机变量的值同时出现的可能性，也就是两个随机变量之间的联合关系。
二维随机变量的联合分布函数定义为：F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)
其中，X和Y是两个二维随机变量，F(x,y)表示X≤x且Y≤y的概率。
联合分布函数可以用来描述两个随机变量之间的关系，从而可以计算出相应的统计特征，如均值、方差、协方差等。
在实际应用中，联合分布函数也可以用于概率分布估计、预测和建模等问题。
例如，如果我们有两个随机变量X和Y，它们分别表示某个商品的价格和销量。
我们可以通过计算它们之间的联合分布函数，来研究价格和销量之间的关系。
如果联合分布函数的曲线表现为随价格上升而
销量下降的趋势，那么我们可以得出这个商品的价格和销量之间是负
相关的。
另外，联合分布函数还可以衍生出边际分布函数和条件分布函数。
边际分布函数指的是某一个随机变量的概率分布函数，而条件分布函
数则指的是在已知另一个随机变量取某一值的情况下，另一个随机变
量的概率分布函数。
总之，二维随机变量的联合分布函数是概率论和数理统计中重要
的概念之一。
通过联合分布函数，我们可以研究和描述两个随机变量
之间的相互关系，从而得出相应的统计特征，如均值、方差、协方差等。
同时，联合分布函数还可以衍生出边际分布函数和条件分布函数，有助于在实际应用中进行概率分布估计、预测和建模等问题的解决。
第一节 二维随机变量及其分布
xi x y j y
F （4）二维离散随机变量的分布函数为： x , y px i , y j
对单变量 x 或 y 来说都右连续的。 二维连续随机变量的分布函数 F(x , y)是连续函数。
4
几何意义 F(x, y)表示随机点(X, Y)落在以(x, y)为顶 点，且位于该点左下方的无穷矩形区域内的概率。
解 （1 ） f ( x, y ) dxdy 1
0
0
ce
( x y )
dxdy c 0 (e
y
( x y )
)
0
dy
c e dy c(e ) 0
y 0
c1
c 1
（ 2）P ( X Y 1)
x y 1
f ( x, y ) dxdy
17
P ( X Y 1)
1 0
1 y
0
e
( x y ) 1
dxdy
y
x y1
e dy
1 y 0
1 y
0
e
x
dx e y (1 e y 1 )dy
0 y x
x
1 (e y e 1 )dy 1 2e
XY
1
0
1 3
2
1 3 1 3
1
2
7
例3.2 设随机变量X在1，2，3，4四个整数中等可能 地取值，另一个随机变量Y在1~X中等可能地取一整 数值，试求（X，Y）的分布律. 解 由乘法公式容易求得（X，Y）的分布律，易知3，4，j取不大于 i的正整数，且
11 P X i, Y j P Y j | X i P X i , i 4 i 1, 2,3, 4, j i.
二维随机变量与联合概率分布
二维随机变量与联合概率分布随机变量是概率论中的重要概念，它描述了随机试验的结果。
而在某些情况下，我们需要考虑两个或者多个随机变量之间的关联关系，这就引出了二维随机变量的概念。
本文将介绍二维随机变量以及联合概率分布的相关知识。
一、二维随机变量的定义在概率论中，二维随机变量由两个随机变量组成，通常用大写字母（如X、Y）表示。
二维随机变量可以表示为(X,Y)。
二、联合概率分布的定义联合概率分布是二维随机变量(X,Y)所对应的概率分布。
对于任意的(x,y)，联合概率分布可以表示为P(X=x,Y=y)，其中P表示概率。
三、联合概率密度函数如果二维随机变量的取值是连续的，那么联合概率分布可以用联合概率密度函数来描述。
记为f(x,y)，则对于任意的(x,y)，联合概率密度函数满足以下条件：1. f(x,y)大于或等于0；2. 在整个定义域上的积分等于1，即∬f(x,y)dxdy=1；3. 对于任意的事件A，有P((X,Y)∈A)=∬Af(x,y)dxdy。
四、边缘概率分布边缘概率分布是指在二维随机变量的联合分布中，只考虑某一个随机变量的概率分布。
对于离散型二维随机变量，边缘概率分布可以通过联合概率分布进行计算。
对于连续型二维随机变量，边缘概率分布可以通过联合概率密度函数积分得到。
五、条件概率分布条件概率分布是指在给定一个随机变量的取值时，另一个随机变量的概率分布。
对于二维随机变量(X,Y)，在给定X=x的条件下，Y的条件概率为P(Y=y|X=x)，表示Y取值为y的条件下，X取值为x的概率。
六、独立性如果二维随机变量X和Y的联合概率分布等于边缘概率分布之积，即P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y)，那么称X和Y是相互独立的。
七、联合分布函数与边缘分布函数联合分布函数是指二维随机变量(X,Y)的分布函数，记为F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)。
边缘分布函数是指在联合分布函数中，只考虑某一随机变量的取值的分布函数。
二维随机变量及其联合分布
(y 2)2 22
)
其中 均为常数， 1, 2 , 1, 2 ,
1 0, 2 0, 1, (x, y) R2
，则称
(X , Y)
服从参数为（ 1 ,
2,
2 1
,
2 2
,
）的二
维正态分布，记为
(
X
,
Y
)
~
N
(1
,
2
,
2 1
,
通常我们用联合概率分布律列是二维离散型随机变量它所有可能的取值为的联合分布律列或联合概率分布jointprobabilitydistribution简称分布12112221规范性37其联合分布函数为定义35设二维随机变量的分布函为若存在非负可积函数使得对于任意实数的联合概率密度函数jointprobabilitydensityfunction简称的概率密度
（Joint Distribution）．与一维情形类似，为 了研究二维随机变量的联合分布，我们引 入二维随机变量的分布函数的概念．
定义3.2 设 X (), Y() 是定义在样本空间 上 的二维随机变量，对于任意的实数 x, y ， 称函数
F(x, y) P{ : X x, Y y} （3—1）
pi2 p i j
显然，二维离散型随机变量的分布列 满足：
1. pi j 0 （非负性）
2. pi j 1 （规范性） （3—7） i, j
其联合分布函数为
F(x, y) P{X x, Y y} pi j（3—8） yj y xix
四、二维连续型随机变量及联合概率密 度函数
二维随机变量两个随机变量的联合分布与相关性
二维随机变量两个随机变量的联合分布与相关性二维随机变量：两个随机变量的联合分布与相关性随机变量是概率论和数理统计中的重要概念，它描述了一个随机试验中可能出现的不同结果，并给出了这些结果发生的概率分布。
在某些情况下，我们需要研究两个随机变量之间的关系，这就引入了二维随机变量的概念。
本文将介绍二维随机变量的联合分布与相关性。
一、二维随机变量的定义与性质在概率论中，二维随机变量（X，Y）表示两个随机变量X和Y同时取某个值的情况。
二维随机变量可以用联合分布函数、联合概率密度函数或者联合概率质量函数来描述。
1. 联合分布函数：对于任意实数x和y，定义联合分布函数F(x,y)为二维随机变量(X,Y)满足X≤x且Y≤y的概率，即F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)。
2. 联合概率密度函数：对于连续型二维随机变量(X,Y)，如果存在非负可积函数f(x,y)使得对于任意的实数域A，有P((X,Y)∈A)=∬_Af(x,y)dxdy，则称f(x,y)为(X,Y)的联合概率密度函数。
3. 联合概率质量函数：对于离散型二维随机变量(X,Y)，如果存在非负函数p(x,y)满足对于所有的(x,y)有P(X=x,Y=y)=p(x,y)，则称p(x,y)为(X,Y)的联合概率质量函数。
二、联合分布的性质1. 边缘分布：对于二维随机变量(X,Y)的联合分布函数F(x,y)，我们可以通过F(x,y)求得X和Y的边缘分布函数F_X(x)和F_Y(y)，即F_X(x)=P(X≤x)，F_Y(y)=P(Y≤y)。
2. 边缘概率密度函数（质量函数）：同样地，对于具有概率密度函数（概率质量函数）的连续型（离散型）二维随机变量(X,Y)，我们可以通过联合概率密度函数（概率质量函数）f(x,y)求得X和Y的边缘概率密度函数（质量函数）。
3. 条件分布：给定一个条件，我们可以求得在该条件下其他随机变量的分布。
对于二维随机变量(X,Y)，若Y=y，则X的条件分布函数为F_X|Y(x|y)=P(X≤x|Y=y)，条件概率密度函数（质量函数）为f_X|Y(x|y)=d/dx F_X|Y(x|y)。
§3.1 二维随机变量的联合分布
D
∫∫x , y )≤0} p( x , y )dxdy II. P ( g( X , Y ) ≤ 0) = ∫∫ p( x , y )dxdy = {( x , y ): g (
D
=
{ g ( X ,Y ) ≤ 0}
∫∫
p( x , y )dxdy
如：P ( X 2 ≤ Y ) =
∫∫
{ X 2 ≤Y }
常数k; (2)P(X<1,Y< 3); 求: (1)常数 常数 (3)P(X< 1.5); (4)P(X+Y≤4) + ≤
1/8，3/8，27/32，2/3 ， ， ，
课堂练习: 课堂练习 盒子里装有3只黑球 只黑球， 只红球 只红球， 只白球 在其中任取4 只白球， 盒子里装有 只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取 只球， 表示取到黑球的只数， 只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只 表示取到黑球的只数 表示取到红球的只 数，求X,Y的联合分布列 的联合分布列
∫−∞ ∫−∞
则称(X, 是二维连续型随机变量 是二维连续型随机变量. 则称 ,Y)是二维连续型随机变量 而p(x,y)称为 称为 (X,Y)的(概率 密度函数 概率)密度函数 , 的 概率 p(x,y)的性质： 的性质： 的性质 (1) ∀x,y∈R, p(x,y)≥0 ∈ ≥ (2)
∫−∞ ∫−∞ p( x, y )dxdy = 1
+∞
+∞
几何意义： 几何意义： p(x,y)在几何上表示一个曲面 分布区面 介于分布区面和 在几何上表示一个曲面(分布区面 在几何上表示一个曲面 分布区面), xoy平面之间空间的体积为 平面之间空间的体积为1 平面之间空间的体积为
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C C C P( X i , Y j ) 4 C10
i 3
j 5
4 i j 2
,
其中 i 0 ,1 ,2 ,3 ; j 0 ,1 ,2 ,3 ,4 ; 2 i j 4. 由此得
( X , Y ) 的二维联合概率分布如下：
概率论与数理统计（湘潭大学）
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1．二维均匀分布 定义1.5 设D为xy平面上的有界区域，面积为A， 如果二维随机变量(X,Y)具有联合概率密度
1 , f ( x, y ) A 0,
( x, y ) D ( x, y ) D
则称(X,Y)在D上服从均匀分布。
概率论与数理统计（湘潭大
（ 2 ） F ( x, y ) 分别关于 x , y 单调非减：
当x1 x2 时, F ( x1, y ) F ( x2 , y ) , y (,)， 当y1 y2 时, F ( x, y1 ) F ( x, y2 ) , x (,). (3) 极限性质： F ( , ) 1, F (, ) 0, F (, y ) 0, y (, ), F ( x, ) 0, x (, )
y
( x, y )
F ( x, y) 是 ( X ,Y ) 落在以 ( x, y) 为顶点
而位于该点左下方的无 穷矩形区域
内的概率.
概率论与数理统计（湘潭大学）
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O
x
结束
9
§2.9 二维随机变量的联合分布
联合分布函数的性质
（ 1 ） 0 F ( x, y ) 1;
概率论与数理统计（湘潭大学）
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结束
10
§2.9 二维随机变量的联合分布
(4)
F ( x, y) 的连续性：
F ( x, y ) p ( xi , y j ) x x y y
i j
二维离散随机变量的联 合分布函数
对单变量 x 或 y 是右连续的.
二维连续随机变量的联合分布函数是二元连续 函数.
j
p 11
p 12 p 22
x2
p 21
p 1n p 2n
p X ( x1 ) p X ( x2 )
p X ( xm )
1
xm
i
p m1
p m2
p mn
pY ( yn )
pY ( y1 ) pY ( y2 )
其中 : pij p ( xi , y j )
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(i, j 1, 2,3, 4)
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8
§2.9 二维随机变量的联合分布
2.二维随机变量的联合分布函数
定义 设 ( X , Y ) 表示二维随机变量. 二元函数 F ( x , y ) P ( X x, Y y )
称为二维随机变量 ( X , Y ) 联合分布函数. 将 ( X ,Y ) 视为平面上的随机点，
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(3)
P ( XY 1)
xy 1
2
f ( x, y ) dxdy
1 x 1 2
1 2
dx
1 dy 2 3 4x y
9 16
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20
4、两个重要的二维连续分布
x 1 y 3
1 1 3 f ( x, y)dxdy dx (6 x y)dy 8 0 2
1 1 7 3 ( x)dx 8 0 2 8
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16
(3) P( X 1.5)
x 1.5 y
对任意的 x1 x2 , y1 y2 有 P( x1 X x2 , y1 Y y2 ) F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y2 ) F ( x1 , y1 ) 0
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§2.9 二维随机变量的联合分布
[例1] 已知 10 件产品中有 3 件一等品， 5 件二等品， 求其中一 2 件三等品. 从这批产品中任取 4 件产品， 等品、二等品件数的二维联合概率分布.
解: 设 X , Y 分别是取出的4件产品中一等品及二等
品的件数， 则 ( X , Y ) 的联合概率函数为
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f ( x, y ) dxdy
例5 设随机变量( X , Y )的概率密度为 1 1 A 2 3 , x , y 2 2 f ( x, y ) x y 0, 其他 求： (1) 常数 A ；(2) ( X , Y )的分布函数； (3) P( XY 1)。
x y
f ( x, y)dxdy.
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13
§2.9 二维随机变量的联合分布
利用联合概率密度求概率
事件 "( X ,Y ) 落在平面区域 G 内 " (记为 : ( X ,Y ) G) 的概率 : P [ ( X , Y ) G ] f ( x, y ) dx dy
1 1 解 因为 P ( A) , P ( B A) P ( A B ) 4 2 1 1 所以 P ( AB ) , P ( B ) 8 4
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6
于是
P( X 0, Y 0) P( AB ) 1 P( A B) 5 1 P( A) P( B) P( AB) 8 1 P( X 1, Y 1) P( AB) 8 1 P( X 0, Y 1) P( AB) P( B) P( AB) 8 1 P( X 1, Y 0) P ( AB ) P ( A) P ( AB ) 8
F ( x Δ x,y Δ y ) F ( x Δ x,y ) F ( x,y Δ y ) F ( x,y ) f ( x, y ) lim x 0 Δ xΔ y
y 0
Fxy ( x, y );
（ 2 ） F ( x, y ) P( X x,Y y)
解 （） 1 由
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f ( x, y)dxdy 1 得
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15
1 dx k (6 x y )dy k (6 2 x)dx 8k
0 2 0
2
4
2
所以
1 k 8
(2) P( X 1, Y 3)
G
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14
例 4 设随机变量( X , Y )的概率密度为 k (6 x y ) , 0 x 2, 2 y 4 f ( x, y ) 0, 其他 (1) 确定常数 k (2) 求 P( X 1, Y 3) (3) 求 P( X 1.5) (4) 求 P( X Y 4)
第三章 多维随机变量及其分布
§3.1 二维随机变量的联合分布
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1
§3.1 二维随机变量的联合分布
1.二维离散随机变量的联合概率分布
定义 设 ( X , Y ) 表示二维离散随机变量. 取值： X : x1, x2 , , xm , ； Y : y1, y2 , , xn , . p ( xi , y j ) P( X xi ,Y y j ) (i 1, 2, , m, , j 1, 2, , n, ) 称为二维离散随机变量 ( X , Y ) 的联合概率函数. 联合概率函数的性质 （ 1 ） p( xi , y j ) 0, i , j.
联合概率密度的性质
（ 1 ） f ( x, y ) 0 ;
（ 2 ）
f ( x, y)dxdy 1.
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§2.9 二维随机变量的联合分布
联合分布函数与联合概率密度的关系
（ 1 ） f ( x, y) Fxy ( x, y );
(2)
p( xi , y j ) 1. i 1 j 1
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§2.9 二维随机变量的联合分布
有时用下面的联合分布表给出 ( X , Y )的分布情况：
X Y x1
y1
y2
yn
§2.9 二维随机变量的联合分布
3.二维连续随机变量的联合概率密度
定义 二元函数 P ( x X x x, y Y y y ) f ( x, y ) lim x 0 x y y 0
称为二维连续随机变量 ( X , Y ) 的联合概率密度.