《电动力学第三版》chapter2_1静电场的标势及其微分方程

(x)
(x)
E(x)
静电场是电荷分布与电场的稳定平衡状态下的场.
2. 静电势的微分方程和边值关系
对各向同性、线性介质
D E D ()
若是均匀介质
2 ——泊松方程
其中ρ为自由电荷密度.
描述均匀、各向同性、线性介质中静电场的基 本方程：泊松方程.
泊松方程是静电势满足的基本微分方程. 给出边
W
1 2
dV
(1) 上式只能用于计算静电场的总能量.
(2) 1 不是能量密度. 2
仅对静电场成立，/2不代表能量密度.
电荷分布 所激发的电场总能量
W 1 24 π 1 d V d V 'ρ x r x '
例1 求均匀电场的电势.
解：
均匀电场每一点强度相同, 其电场线为平行直线. 选空间任
一点为原点, 并设该点上的电势为0, 则得任一点P处的电势
1
4π0
ρx(')1
dV'
V |x''x'|x
1
4π0
V|xρx(x'')|dV'4π10
ρ(x')dV' Vr
由以上讨论可知，若空间中所有电荷分布都 给定，则电场强度和电势均可求出. 但实际情况 中往往并不是所有电荷都能预先给定，因此，必 须知道电荷与电场相互作用的微分方程.
通常电荷分布和电场是耦合的，不能事先确定.
1
1R/ M2
1
1
R0
/
M2
4π0 M 1 1R/ M2 1 1R0 / M2
lim ln
1R0 / M2 1
4π0 M 1R/ M2 1
4π0
lim
M
ln11RR0//MM2211
2π0
ln
R0 R
取的梯度得
ER R2π0R, E Ez0
用高斯定理也可以得出这结果.
例3 求带电量Q、半径为a的导体球的静电场总能量.
界条件就可以确定电势的解. 在数学上这称为边值
问题. 电场的边值关系：
enE 2E 10
enD 2D 1f
介质2 en
P2
Pꞌ2
P1
Pꞌ1
介质1
如图把电荷沿两种介质交平面
的法线方向移动时，切向分量不做 功. 沿法向方向做功很小，可认为零.
导致静电势的边值关系：
(1)电势是连续的
= 1 2
ar12dr
Q2
8π0a
面. 整个导体的电势相等.
导体表面的边界条件为
C
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n
f
3. 静电场能量
在线性介质中静电场的总能量为
W 1 2 E D d V1 2 ( )D d V
1 2 (D ) D dV
E D
1 2SD dS 1 2dV
1 2
dV
1/r, D 1/r2,面积 r2,r
积分区域V为 ρ≠0的区域.
注意：
enE 2E 10
介质2 en
P2
Pꞌ2
P1
Pꞌ1
介质1
电势连续保证了电场切向分量连续
将 DE 代入另一边值关系
e n(D 2 D 1)f
得：e n D 2 D 1 e n 2 E 2 1 E 1 e n 1 1 2 2
(2)电势法向梯度值变化与面(自由)电荷有关
e n (2 2 1 1 ) f
e n 从1指向2!
即
2n21n1f
(d d l e n d n )
1 2
= enE 2E 10
= 2n21n1f
enD 2D 1f
静电场的问题求解下列方程问题
2
1 2
2n2 1n1 f
有导体时的边值问题
在静止情况下, 导体的静电平衡条件为 (1)导体内部不带电,电荷只能分布于导体表面上; (2)导体内部电场为零; (3)导体表面上电场沿法线方向, 导体表面为等势
解：
如图,设场点P到导线的垂直距离为R, 因为电荷分布到无限远处,所以不能选 择无穷远处为电势零点. 选与导线的 垂直距离为R0 的P0点电势参考点.
dz z P R
(P)
4π0
1
z2 R2
1 z2 R02
dz
利用公式
M
dz
1 1R/M2
ln
M z2R2 1 1R/M2
(P)
lim
ln
P P
( P ) 0 0 E 0 d l 0 E 0 0 d l 0 E 0 x
x为P点的位矢. 注意均匀电场可以看作由无穷大平行板电容
器产生, 其电荷分布不在有限区城内, 因此不能选 () ＝ 0. 若选0 ＝ 0, 则有
(x )E 0x
例2 均匀带电的无限长直导线的电荷线密度为,求电势.
第二章 静电场
电磁场的基本理论应用到最简单的情 况：电荷静止，相应的电场不随时间而变 化的情况.
在给定自由电荷分布以及周围空间介 质和导体分布的情况下，求解静电场.
E0
Edl 0
静电场对电荷做功与路径无关. 设C1和C2为连接P1和
P2点的两条不同路径，则
EdlEdl
C1
C2
静电场是无旋场，故可引入标量场，静电势 (x,y,z)
解：整个导体为等势体, 导体球的电荷分布于球面上，
可知球面上的电势为
a
Q
4π 0 a
因此静电场总能量为
W12VdV12Qa
W Q2
8 0a
静电场总能量也可以由 E, D求出. 因为球内电场 为零，故只需对球外积分
1
W2EDdV
W0 E2dV0
2
2
Q2
(4π0r2)2
r2drd
Q2
8π0
E
(P 2)(P 1)P P 12E dl
(P)
Edl
取无穷远点电势为零
P
注意： (1) 由定义，只有两点的电势差才有物理意义， 某点上的电势的绝对数值是没有物理意义的.
(2) 某点电势的具体数值与零势点的选择有关， 所以必须指明零势点的位置.
(3) 零势点的选择是任意的，在电荷分布于有限 区域的情况下，可以选无穷远点的电势为零. (4) 一个具体问题中只能选一个零势点.
若电荷分布 (x')给定，则静电势可以直接求出：
( x ) x E ( x ') 'd x ' 'x 4 π 1 0V( x ')|x x '' ''x x ''|3 d V d x ''
4π 1 0V x (x ')|x x '' ' 'x x ''|3d x ' 'dV'