《电动力学第三版》chapter2_1静电场的标势及其微分方程
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电动力学课件：2-1-静电势及其微分方程1
① 知的道选择即不可唯确一定，相E差一个常数，只要
② 取负号
③ 满足迭加原理
Q
E E1
E1 E2
1
E2
2
\ 1 2 (1 2 )
2、电势差
d dl E dl
空间某点电势无物 理意义，两点间电 势差才有意义
Q
P Q
E dl
P
① 电场力作正功，电势下降 ( Q P ) 电场力作负功，电势上升 ( Q P )
1 1 r r 2l cos 2l cos
r r
r r
R 2 l 2 cos2
R2
(P) 2Ql cos 2QlRcos p R
4 0 R2
4 0 R3
4 0 R3
3. 42页例2 4．带电Q的导体球（半径为a）产生的电势。
电荷分布在有限区，参
考点选在无穷远。根据
Q
P
对称性，导体产生的场
因为电荷分布在无穷区域，可选
R
空间任一点为参考点，为方便取
y
坐标原点电势
0 x
0 0 P
0
(P)
E
P
dl
E0
dl
P
E0
0
dl
E0
R
(P) 0 E0 R( 0 E0Z 0 E0Rcos )
2. 电偶极子产生的电势
解：电偶极子： 两个相距为
2l
的同量异号点电荷构成的
|s 常数
n s
Q dS dS
S
S n
En
三．静电场的能量
仅讨论均匀介质
1. 一般方程： 能量密度
w
1
E
D
2
总能量
第二章 静电场
一、静电场的标势
dz
ln( z z 2 R 2 )
40 z 2 R 2 40
由高斯定理得
E
2 0r
er
一、静电场的标势
(P ) (P0)
P0 E dl
P
R0 dr ln R0 ln R
R 20 r 20 R 20 R0
若取P0点为参考点，即规定 (P0 ) 0 ，则 (P ) ln R 20 R0
二、静电场的微分方程和边值关系
对于静电场来说，求电势分布时，可以解 满φ足 的微分方程，但是要把 唯φ一确定下来，还必须知
道初始条件和边界条件。
二、静电场的微分方程和边值关系 在均匀各向同性的线性电介质中，
D E, E
D ρ
(E ) ()
2 /
称为泊松(Poisson)方程.
三、静电场的总能量
W
1 2
dV
1 2
(D )dV
V (D)dV SD dS
W
1 2
dV
（1.14）
三、静电场的总能量
W
1 2
dV
（1.14）
值得说明的是： ① （1.14）式表明，能量只与存在电荷分布的空间
有关，但并不是只有电荷分布的区域才有能量。
三、静电场的总能量
W
1 2
V
dV
取导体为介质1，介质为介质2。
φ1 ＝常量（即导体为等势体）
2
2
n
二、静电场的微分方程和边值关系
常量
（1.11a）
n
（1.12a）
导体为介质1，介质为介质2，n 的方向由导体指向 介质。
三、静电场的总能量
W
1 2
2.1静电场的标势及其微分方程.
ˆ ( E E ) 0 n 2 1 ˆ ( D D ) n 2 1
由此，可导出电势所满足的边值关系：
结束
第二章∶静电场
任意两种介质分界面情况
在界面两边附近任取 h 2 两点P1和P2 ，它们与界面 h1 距离分别为h1和h2 ，则 P1 1
A
f
因而相距为
dl 两点的电势差为
d E dl
结束
第二章∶静电场
又
d dx dy dz dl x y z
所以
E
既：电场ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ度是电势的负梯度。 讨论 空间某点电势无物理意义，只有两点的电势差才有 物理意义。电势差的意义为电场力将单位正电荷从P1 移到P2点所作功负值。
2、静电势的微分方程
(differential equation of electrostatic potential)
如果电荷周围有导体，那么物理机制为：
给定电荷分布 求空间一点 电场分布 感 应电荷分布 而场引起导体上 而感应电荷分布反过来引起
为简化问题，可把电荷和电场相互作用规律用 微分方程描写，而把周围导体或介质作为边界条件 处理。这样把求解静电场问题转化为解一定边界条 件下的微分方程问题。因是标量，求解的微分方 程比直接求解电场强度要简单。
第二章∶静电场
第二章
静电场
Electrostatic field
结束
第二章∶静电场
本章研究的主要问题是：在给定的自由电荷分 布以及周围空间介质和导体分布的情况下，如 何求解电场。静电问题一般通过静电势求解。 静电场的特点
① H B 0 Jf 0 ② E, D, P, , 等均与时间无关。
静电场的标势及其微分方程
布的空间，更不能认为存储于电荷；
只是对于静电场，能量才可表为
W
1 2
dV
这表明电场能量与电荷分布有关 。
对于随时间变化的电场，磁场亦要激发电场，电场总能量 不能完全通过电荷分布来表示。
8
(P)(O)PE dlE 0r
O
设坐标原点O 的电势为零
(P)E 0r
均匀电场不衰减，不宜选无穷远处为零势点。
导线单位长度带有电荷为t, 在P 点
i si
S
第一种情形：给定外表面上电势
SSS0 上式左端积分为零。
第二种情形：给定外表面处法向微商
0 nS nS nS
上式左端积分也为零。
14
i 2 d V 0 c o n s t. i V i
电势附加常量对电场无影响，所以电场是唯一确定的。
第一类：给定导体表面上的
i
n
或 i
第二类：给定导体上的电荷 Q i
1
E0Rcos
n
bn Rn1
Pncos
2 n cnRnPncos
23
➢ 在介质球表面处，电势满足
1
2
0
1 n
2 n
E0R0P1n
0E0P10
Rb0nn1Pn n cnR0nPn
n
(n1)bn R0n2
Pn
n
nncR0n1Pn
勒让德函数是相互正交独立的函数，所以对于不同的n 值，
40
Mli mln11
1R/ M2 1R0 /M2
R2 R02
（利用了洛比 达法则）
R2 R
40
lnR02
20
ln R0
设P0点为电势零点
(P) ln R
静电场的标势及其微分方程
介质的电磁性质方程：Dv
v E
2
§2.1 静电场的标势及其微分方程
1、静电场的标势
静电场的Maxwell方程为：
v
D
v E 0
自由电荷分布
是电位移
v D
的源
静电场是无旋场
➢静电场的无旋性表明电场沿任意闭合回路L的环量等于零
vv
Ñ L E dl 0
蜒 v v v v
E dl E dl 0
v D
vv
对于各向同性线性均匀介质有： D E
v E
v
E
2
Poisson方程，静电势满足的基本 微分方程
7
讨论： (1) Poisson方程的求解，必须给定边界条件。
2
(2) 若介质为不同类型的均匀介质组成，则对于每种介质，建立 Poisson方程，而在介质分界面上建立合适的边值关系以及边界条件。
➢ 导体内部不带净电荷，净电荷只能分布于导体表面上
由高斯定理
S E dS
q
0
可知，q=0
➢ 导体表面上电场必沿法线方向，导体表面为等势面，整
个导体为等势体
由
v E
可知，
为常量，因而是等势体；如果导体表面上的电场
不沿法线方向，则必有切向分量，因而电荷将沿切线方向移动
11
3）导体表面的边值关系
2 S12 常数
静电场
静电场的基本特点：
电荷静止
v J
vv
0
场量不随时间变化 物理量 =0
t
静电场的基本问题：
给定自由电荷的分布，以及周围空间介质或 导体的分布，运用电磁场理论求解带电体系 的电场。
1
解决静电问题的基本方程：
015-2第2章 静电场-1-静电场的标势及其微分方程
₪静电场1.静电场的标势2.静电势的微分方程和边值关系3.静电场能量静电场2.1静电场的标势及其微分方程第2章₪静电场1.静电场的标势(２) 电标势的定义根据静电场无旋性，电场中任一闭合回路L 的环量等于零，C1、C 2是点a 到点b 的两条不同路径 1212d 0d d 0d d 功与路径无关L C C C C b a E l E l E l E l E l b a E dlC 1C 2a bL₪静电场1.静电场的标势(4) 电势参考点在有限的电荷分布于有限区域的情况下，可以选择无穷远处作为零电势参考点，则每一点的电势实际是该点与无穷远点的电势差，因而是有确定的物理意义的。
=PPP P E dl E dl1.静电场的标势(5) 零电势参考点的选取1.有限电荷分布于有限自由空间的情况，选取无穷远处作为零电势参考点；2.对于接地的带电体，选取地球或者接地处、或者接地的导体，作为零电势的参考点、或者参考面、或者参考体；QQ₪静电场₪静电场1.静电场的标势(5) 零电势参考点的选取3.对于电路而言，选取地线为零电势参考线；4.对于无限电荷分布于无限空间，根据题目条件选取参考点。
0地线火线零线拉线开关三孔插座₪静电场1.静电场的标势(6)电势与电场的关系PP E dl E 电势与电场可以由上面两个式子共同决定，相互制约的。
可以看出，只要确定电场分布或者电势的其中一个物理量，另外一个物理量就可以确定。
而且电场强度的方向是电势梯度方向（电势改变最快的方向）。
1.静电场的标势(７)关于电势的五点说明1.引入电势的优点：如果知道电势，只需要通过计算梯度，即可求出电场强度矢量。
这说明电势和电场强度矢量所包含的信息量是一样的，但是电场强度矢量有三个分量，而电势只是一个标量，因此通过引入电势这个量，可以将矢量问题约化为标量问题。
₪静电场₪静电场1.静电场的标势(７)关于电势的五点说明3.参考点的选择是任意的，选择不同的参考点电势会增加一个常数K ，K 是电场强度矢量在两个参考点之间的线积分。
电动力学 第3章 静电场和稳恒磁场1
导体球上感应电荷为
Q1 d Q1 4 0
R R1
小结：利用分离变量法求电势：1）写出各个区域的 拉氏方程；2）根据对称性写出对应的解； 3）边界 条件
3.4
电像法
静电镜像法是求解静电场的一种特殊的方法，它适 用于点电荷的边值问题，而且边界条件具有较好的 对称性情况。 一、点电荷密度的 函数表示 1、一个点电荷可以用一个 函数来表示，定义如下：
1 2 ）
R R1
R3
2
R2
R1 1
1
R
0，2） 2
R R2
1
R R3
1 3） 1 0 R
R R3
2 , 2 0 R
R R2
R R3
1 2 2 2 Q R d R R R d 0 R R 2
1 1 1 W dV D dV dV D dS 2 2 2 W
1 2
1 1 r , , D 2 , S r 2 r r
1 dV 2
注意：w
不代表能量密度。能量密度遍布于 电场内，而不仅仅是电荷分布的区域内，即电场 1 w ED 能量密度为 2
blm m l r , , alm r l 1 P cos cos m l r m l
l
dlm m l clm r l 1 P cos sin m l r m l
l
式中 alm , blm , clm , dlm 为任意常数，在具体问题中 由边界条件定出。
第三章 3.1静电场 静电场特点
1静电场标势及微分方程
第二章 静电场带电体系：电荷静止，所激发的电场不随时间变化；给定自由电荷的分布以及周围空间介质或者导体的分布，运用电磁场理论求解这样的带电体系的电场。
§1 静电场的标势及其微分方程 1、 静电场的标势——静电势 麦克斯韦方程0 , ,=⋅∇∂∂+=⨯∇∂∂-=⨯∇=⋅∇B tD J H tB E Dρ静电条件：()00==∂∂J t 物理量 将静电条件代入麦克斯韦方程得到00=⋅∇=⨯∇=⋅∇=⨯∇B H D Eρ✧ 在静电条件下，电场和磁场相互独立，可以分开求解；✧ 静电场是无旋场；自由电荷分布是D的源。
解决静电问题的基本方程： 微分方程0 =⨯∇=⋅∇E D ρ +边界条件f D D n σ=-⋅1221+介质的电磁性质方程静电势的定义：静电场的无旋性是静电场的一个重要的特征，其积分形式为0d =⋅⎰l E L——（1.3）“电场沿任一闭合回路的线积分等于零。
”将单位电荷从1P 点移至2P 点时电场对它所做的功⎰⋅21d P P l E将单位电荷从1P 点移至2P 点时电场对它所做的功与具体的路径无关，只与起点和终点有关。
0d =⋅⎰l E L0d d 21=⋅+⋅⎰⎰-C C l E l E0d d 21=⋅-⋅⎰⎰C C l E l E⎰⎰⋅=⋅21d d C C l E l E利用这一特点，引入电势的概念，是空间位置的标量函数（标势）； 定义两点间的电势差为⎰⋅-=-21d )()(12P P l E P Pϕϕ ——（1.4）推论：如果电场对（单位）正电荷做正功，则电势降低；只有两点的电势差才具有物理意义； 如果知道空间的电场的分布，则可以计算空间任意两点间的电势差；实际的计算中为了方便，常选取某个参考点，规定该点的电势为零，这样整个空间里的电势就有一个确定的值。
如果电荷分布在有限的空间里，则可以取无穷远处的电势为零，即()0=∞ϕ这样空间P 点的电势为()⎰∞⋅=Pl E P d ϕ相距为ld 的两点的电势的增量为l E dd ⋅-=ϕ式中()lz y x z y x zzy y x x z y x y y xd de d e d e e e e d d d d ⋅∇=++⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=ϕϕϕϕϕϕϕϕ从而得到，ϕ-∇=E——（1.5）如果知道了空间电势的分布情况，则可采用上式计算电场强度的分布。
§2.1-静电场的标量势(精)
比较两个微分式可得： ( x ) E 讨论： (1) 电势的绝对值没有具体的物理意义，有意义的是两 点之间的电势差；
电动力学
电动力学
(2) 为了方便，一般都选取一个电势基准点，这样空间 各点的电势都以相对于基准点的差值加以标识。一 般选取无穷远点为电势的零点。 以点电荷为例：
Q r E 4 r 3 Q 1 Q 4 r 4 r Q 1 0 4 r Q 1 若取无穷远点为零电势点，则： (r ) 4 r
所以在有限区域V内，静电场总能量为：
1 2 W E ( x )dV 2 V
现在考虑将电场替换为电势表示，则：
1 1 W E DdV DdV 2 V 2 V
电动力学
电动力学
而： D D D
1 则： W
WP1 P2 ( P 1 ) (P 2 ) F dl QE dl
P 1 P 1
P2
P2
也即： d E dl 另外： d ( x )
( x ) ( x ) ( x ) dx dy dz ( x ) dl x y z
结论：电势与电场强度之间并不是一一对应的关系，而是 多对一的关系，描述同一静电场的标势场函数可以差任 意一个常数。
电动力学
电动力学
2、电势分布的微分方程 对于由电荷所形成的静电场，由Maxwell方程有：
D f E 0
对于线性介质来说： D E 由此得： E
电动力学
电动力学
又由于： E l 在跨越介质面时，当： 0 l 0 ，则：
2 S 1 S 所以：
电动力学答案(郭硕鸿+第三版) chapter2
ϕ0
E0 Rcosθ
+
b0 R
+
E0 R03 R2
cosθ
∫ 又由边界条件 −
s
ε0
∂φ外 ∂r
ds
Q
∴ b0
=
Q 4πε 0
∴ϕ内
Q 4πε 0 R0
− ϕ0,R
<
R0
m ϕ外
Q 4πε 0R
+
E0 R03 R2
cosθ
E0 Rcosθ
R > R0
课 后 答 案 网
o 3 均匀介质球的中心置一点电荷 Qf 球的电容率为 ε 球外为真空 试用分离变数法求
da ρf
=
∇
⋅
Dr
=
ε
ε −ε0
∇
⋅
Pr
=
(ε
εK −ε0
)r 2
`
(3)对于球外电场 由高斯定理可得
h ∫ Er外
⋅
dsr
=
Q ε0
.k∫ ∫∫∫ ∴Er外 ⋅4πr2 =
ρ f dV = ε0
(ε
εK − ε0 )r 2
⋅r2
sinθdrdθdϕ
ε0
ww∴Er外
εKR ε 0 (ε − ε 0 )r 3
)
两者合起来就是极化偶极子
da PrP
=
(ε0 ε1
− 1) Pr f
h 5.空心导体球壳地内外半径为 R1 和 R2 k 电势和电荷分布
解
.
w ∇2φ3 = 0,φ3 r→∞ = 0
φ 2
wwφ1
= =
4CπP,rεφ⋅02rrrr3→+0
= φ1'
ch2-1 静电场的标势及其微分方程
P
P
P
(0
1)
n (P2 P1 )
② 静电平衡时的导体：
导体内 J E 0（ 0）
E, D, P, , 0
外表面
E
En
,
Et 0
电荷分布在表面上，电场处 处垂直于导体表面
(2) 静电势
E 0
静电场标势
[简称电势]
E
① 的选择不唯一，相差一个常数，只要
知道 即可确定
① 电场力作正功，电势下降 电场力作负功，电势上升
② 两点电势差与作功的路径无关
(Q P ) (Q P )
( LE dl 0)
等势面：电势处处相等的曲面
E 与等势面垂直，即
E
n
均匀场电场线与等势面
+
电偶极子的电场线与等势面
点电荷电场 线与等势面
参考点
• 电荷分布在有限区域，通常选无穷远为电势参考点。
求解出发点：静电场的标势 求解方法：①分离变量法; ②镜像法；③格林函数法
求解依据：唯一性定理 其它内容：电多极矩
本章主要内容
静电场的标势及其微分方程 唯一性定理 拉普拉斯方程，分离变量法 镜象法 格林函数法 电多极矩
§2.1 静电场的标势及其微分方程
Scalar potential and differential equation for electrostatic field
2
能量与存在着电荷分布的空间有关。真实的静电能
量是以密度 w 的1 E形 D式 在空间连续分布，
场强大的地方能量也大2；
（4）W
1 2
d
中的 是由电荷分布
激发的
电势；
（5）在静电场中，电场决定于电荷分布。在场内 没有独立的运动。因而场的能量就由电荷分布所决 定。
2-1 静电场的标势及其微分方程
求带电量q半径为a的导体球的静电场总能量整个导体为等势体导体球的电荷分布于球面上静电场总能量静电场总能量求带电量q半径为a的导体球的静电场总能量因为球内电场为零故只须对球外积分
第二章 静电场
本章内容： 本章内容： 电磁场的基本理论应用到最简单的情况： 电磁场的基本理论应用到最简单的情况： 电荷静止，相应的电场不随时间而变化的情况。 电荷静止，相应的电场不随时间而变化的情况。 本章研究的主要问题： 本章研究的主要问题： 在给定的自由电荷分布以及周围空间介质 和导体分布的情况下，求解静电场。 和导体分布的情况下，求解静电场。
积分区域V为 的区域。 积分区域 为ρ≠0的区域。 的区域
注意： 注意： (1) 上式只能用于计算静电场的总能量。 上式只能用于计算静电场的总能量。 1 (2) ρϕ不是能量密度。 不是能量密度。 2
§2.1 静电场的标势及其微分方程
求均匀电场E 的电势。 例1 求均匀电场 0的电势。 解：均匀电场每一点强度 0相同，其电场线为平行直线。 均匀电场每一点强度E 相同，其电场线为平行直线。 选空间任一点为原点，并设该点上的电势为 选空间任一点为原点，并设该点上的电势为φ0，那么 任一点P处的电势为 任一点 处的电势为 r r P r P r ϕ(P) = ϕ0 − ∫ E0 ⋅ dl = ϕ0 − E0 ⋅ ∫ dl 0 0 r r = ϕ0 − E0 ⋅ x x为P点位矢。均匀电场可看作由无穷大平行板电容器产 为 点位矢 点位矢。 生，其电荷分布不在有限区域内，不能选无穷远电势为零 其电荷分布不在有限区域内，
τ R 的负梯度得： 的负梯度得： ln 取 ϕ(R) = − 2πε0 R0
∂ϕ τ ER = − = ∂R 2πε0R
Eθ = Ez = 0
第二章 静电场
本章内容： 本章内容： 电磁场的基本理论应用到最简单的情况： 电磁场的基本理论应用到最简单的情况： 电荷静止，相应的电场不随时间而变化的情况。 电荷静止，相应的电场不随时间而变化的情况。 本章研究的主要问题： 本章研究的主要问题： 在给定的自由电荷分布以及周围空间介质 和导体分布的情况下，求解静电场。 和导体分布的情况下，求解静电场。
积分区域V为 的区域。 积分区域 为ρ≠0的区域。 的区域
注意： 注意： (1) 上式只能用于计算静电场的总能量。 上式只能用于计算静电场的总能量。 1 (2) ρϕ不是能量密度。 不是能量密度。 2
§2.1 静电场的标势及其微分方程
求均匀电场E 的电势。 例1 求均匀电场 0的电势。 解：均匀电场每一点强度 0相同，其电场线为平行直线。 均匀电场每一点强度E 相同，其电场线为平行直线。 选空间任一点为原点，并设该点上的电势为 选空间任一点为原点，并设该点上的电势为φ0，那么 任一点P处的电势为 任一点 处的电势为 r r P r P r ϕ(P) = ϕ0 − ∫ E0 ⋅ dl = ϕ0 − E0 ⋅ ∫ dl 0 0 r r = ϕ0 − E0 ⋅ x x为P点位矢。均匀电场可看作由无穷大平行板电容器产 为 点位矢 点位矢。 生，其电荷分布不在有限区域内，不能选无穷远电势为零 其电荷分布不在有限区域内，
τ R 的负梯度得： 的负梯度得： ln 取 ϕ(R) = − 2πε0 R0
∂ϕ τ ER = − = ∂R 2πε0R
Eθ = Ez = 0
第二章_静电场
1 Q 4 0 r1 r2 r r 2 b 2 2rb cos 2
r1 r 2 a 2 2ra cos Q
例 真空中有一半径为R的接地导体球，距球心为 a(a R)处有一点电荷 Q，求空间电势。 P 解： 带入边界条件②可解得
适用范围
区域中只有一个或几个点电荷，区域边界是 规则的导体面或介质面，则该问题可用镜象法求解。
例 真空中有一半径为R的接地导体球，距球心为 a(a R)处有一点电荷 Q，求空间电势。
解： 建立球坐标系 显然电势满足泊松方程 边界条件为
P
r 0
O
Q'
Q
rR 0
设置镜像电荷如图
ra
0
可解得 k E0a
3
cos E0r cos E0a 2 r
3
此解为满足拉普拉斯方程的解。由唯一性定理， 必为唯一解。
例2 两同心导体球壳间充以两种介质，左半部介 电常数为 1，右半部为 2。内球壳带电Q，外球壳 接地。求电场及球壳上电荷分布。
解: 由电荷分布的对称性,显然 球壳内外电场都为零.对于 球壳间，应用高斯定理得: S D dS Q 1E1 dS1 2 E2 dS2 Q
2
0
2
拉普拉斯方程
2 边值关系
n ( D2 D1 ) n ( E2 E1 ) 0
E2t E1t 0
D2 n D1n
1 2 1 2 n n
1 2
n
导体界面
常量
P
p
Q 4 0 r
多个点电荷时 电荷连续分布时
2.1静电场的标势及其微分方程
总结静电场的能量表达式 1. 一般方程： 能量密度
1 w ED 2
1 总能量 W E DdV 2 2. 若已知 , 总能量为 1 W dV 2 V
1 不是能量密度 2
由 E 和 D 得 E D D (D) D (D)
因此 即
1 1 W d (D)d 2 2
1 1 W d D ds 2 2 s
例题
0
0 P 0 ( P) E dl E0 dl E0 dl E0 R
0 P P 0
( P) 0 E0 R( 0 E0 Z 0 E0 R cos )
2. 电偶极子产生的电势
Q P
P
Q
0
所以 即
P Q
1 S 2
S
此式可以代替
（2）另一边值关系
由于
结合 E
n ( D2 D1 )
D E
2 2 n
因此，在两种不同介质的 分界面上，电势满足的
S
1 1 n
S
关系为
2 S 1 S 2 1 1 2 n S n
Q P
Q
Pபைடு நூலகம்
E dl
① 电场力作正功，电势下降 ( Q P ) 电场力作负功，电势上升 ( Q P )
② 两点电势差与作功的路径无关 ( E dl 0) L
3. 电势零点的选择 （1）电荷分布在有限区域， 通常选无穷远为电势 参考点 0 (Q )
1第二章-静电场
（3）球壳带总电荷Q，因而
1 R2d
2 R2d Q
RR3 R
RR2 R
0
由这些边界条件得 a 0，b Q Q1 ，
c Q1 ，d Q1
40 40
4 0 R1
4 0
其中
Q1
R11
R31 R21
R31
Q
利用这些值，得电势的解
若问题具有球对称性
a b
R
2. 柱坐标一般用于二维问题
二维问题的解：
( A0 B0 ln r)(C0 D0 )
( Anrn Bnrn )(Cn cos n Dn sin n )
n
或写成： A0 B0 ln r C0 D0 ln r
而 d dl dx dy dz
x y z
所以 E
由以上讨论可知，若空间中所有电荷分布都
给定，则电场强度和电势均可求出。但实际情况
往往并不是所有电荷都能预先给定，因此，必须
求电荷与电场相互作用的微分方程。
二、静电势的微分方程和边值关系
1. 泊松（Poisson)方程
) cos
m
n,m
(cnm R n
dnm R n 1
)Pnm (cos ) sin
m
anm, bnm, cnm, dnm为积分常数，在具体问题中由边 界条件确定。
若问题具有轴对称性，取此轴为极轴，通解为
n
(an Rn
bn R n 1
)Pn
(cos
)
其中 P0 cos 1， P1cos cos，
1 R2d
2 R2d Q
RR3 R
RR2 R
0
由这些边界条件得 a 0，b Q Q1 ，
c Q1 ，d Q1
40 40
4 0 R1
4 0
其中
Q1
R11
R31 R21
R31
Q
利用这些值，得电势的解
若问题具有球对称性
a b
R
2. 柱坐标一般用于二维问题
二维问题的解：
( A0 B0 ln r)(C0 D0 )
( Anrn Bnrn )(Cn cos n Dn sin n )
n
或写成： A0 B0 ln r C0 D0 ln r
而 d dl dx dy dz
x y z
所以 E
由以上讨论可知，若空间中所有电荷分布都
给定，则电场强度和电势均可求出。但实际情况
往往并不是所有电荷都能预先给定，因此，必须
求电荷与电场相互作用的微分方程。
二、静电势的微分方程和边值关系
1. 泊松（Poisson)方程
) cos
m
n,m
(cnm R n
dnm R n 1
)Pnm (cos ) sin
m
anm, bnm, cnm, dnm为积分常数，在具体问题中由边 界条件确定。
若问题具有轴对称性，取此轴为极轴，通解为
n
(an Rn
bn R n 1
)Pn
(cos
)
其中 P0 cos 1， P1cos cos，
§2.1-静电场的标量势(精)
由定义有： E 则为： Et et1 et2 t1 t2 1 2 f 2 1 n n 由此得： 1 2 , 1 2 t1 t2 t2 t1
P2
l1
QE dl
P 1
P2
l2
显然，电荷Q从P1点移动到P2点，电场力做功与所选路径 无关。 结论：静电场为保守场，静电场做功只与路径的起点与终 点有关，而与具体路径无关。
电动力学
电动力学
显然，对于静电场（保守场），可以引入标量势函数(x) ，而电场对电荷所做的功就等于两点之间的电势减少量. 对于上例：
电动力学
电动力学
§2· 1 静电场的标量势
1、标势的引入
对于由电荷所形成的静电场，由Maxwell方程有：
D f E 0 由静电场的无旋性，有： E dl 0
如图，对于任意闭合路径 l ，
由： E dl 0
得： E dl E dl E dl 0
所以，静电场的总电场能可以表示为 ：
W
1 8
' dV dV V V
( x ' ) ( x)
r
由此可以看出，静电场的能量是由电荷分布决定的。
电动力学
电动力学
讨论： (1) 积分只需要对电荷分布区域积分； (2) 虽然被积函数是 f ，但 f 并不是静电场的能量。
结论：电势与电场强度之间并不是一一对应的关系，而是 多对一的关系，描述同一静电场的标势场函数可以差任 意一个常数。
电动力学
电动力学
2、电势分布的微分方程 对于由电荷所形成的静电场，由Maxwell方程有：
D f E 0
P2
l1
QE dl
P 1
P2
l2
显然，电荷Q从P1点移动到P2点，电场力做功与所选路径 无关。 结论：静电场为保守场，静电场做功只与路径的起点与终 点有关，而与具体路径无关。
电动力学
电动力学
显然，对于静电场（保守场），可以引入标量势函数(x) ，而电场对电荷所做的功就等于两点之间的电势减少量. 对于上例：
电动力学
电动力学
§2· 1 静电场的标量势
1、标势的引入
对于由电荷所形成的静电场，由Maxwell方程有：
D f E 0 由静电场的无旋性，有： E dl 0
如图，对于任意闭合路径 l ，
由： E dl 0
得： E dl E dl E dl 0
所以，静电场的总电场能可以表示为 ：
W
1 8
' dV dV V V
( x ' ) ( x)
r
由此可以看出，静电场的能量是由电荷分布决定的。
电动力学
电动力学
讨论： (1) 积分只需要对电荷分布区域积分； (2) 虽然被积函数是 f ，但 f 并不是静电场的能量。
结论：电势与电场强度之间并不是一一对应的关系，而是 多对一的关系，描述同一静电场的标势场函数可以差任 意一个常数。
电动力学
电动力学
2、电势分布的微分方程 对于由电荷所形成的静电场，由Maxwell方程有：
D f E 0
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解：整个导体为等势体, 导体球的电荷分布于球面上，
可知球面上的电势为
a
Q
4π 0 a
因此静电场总能量为
W12VdV12Qa
W Q2
8 0a
静电场总能量也可以由 E, D求出. 因为球内电场 为零，故只需对球外积分
1
W2EDdV
W0 E2dV0
2
2
Q2
(4π0r2)2
r2drd
Q2
8π0
第二章 静电场
电磁场的基本理论应用到最简单的情 况：电荷静止，相应的电场不随时间而变 化的情况.
在给定自由电荷分布以及周围空间介 质和导体分布的情况下，求解静电场.
E0
Edl 0
静电场对电荷做功与路径无关. 设C1和C2为连接P1和
P2点的两条不同路径，则
EdlEdl
C1
C2
静电场是无旋场，故可引入标量场，静电势 (x,y,z)
(x)
(x)
E(x)
静电场是电荷分布与电场的稳定平衡状态下的场.
2. 静电势的微分方程和边值关系
对各向同性、线性介质
D E D ()
若是均匀介质
2 ——泊松方程
其中ρ为自由电荷密度.
描述均匀、各向同性、线性介质中静电场的基 本方程：泊松方程.
泊松方程是静电势满足的基本微分方程. 给出边
W
1 2
dV
(1) 上式只能用于计算静电场的总能量.
(2) 1 不是能量密度. 2
仅对静电场成立，/2不代表能量密度.
电荷分布 所激发的电场总能量
W 1 24 π 1 d V d V 'ρ x r x '
例1 求均匀电场的电势.
解：
均匀电场每一点强度相同, 其电场线为平行直线. 选空间任
一点为原点, 并设该点上的电势为0, 则得任一点P处的电势
P P
( P ) 0 0 E 0 d l 0 E 0 0 d l 0 E 0 x
x为P点的位矢. 注意均匀电场可以看作由无穷大平行板电容
器产生, 其电荷分布不在有限区城内, 因此不能选 () ＝ 0. 若选0 ＝ 0, 则有
(x )E 0x
例2 均匀带电的无限长直导线的电荷线密度为,求电势.
1
1R/ M2
1
1
R0
/
M2
4π0 M 1 1R/ M2 1 1R0 / M2
lim ln
1R0 / M2 1
4π0 M 1R/ M2 1
4π0
lim
M
ln11RR0//MM2211
2π0
ln
R0 R
取的梯度得
ER R2π0R, E Ez0
用高斯定理也可以得出这结果.
例3 求带电量Q、半径为a的导体球的静电场总能量.
1
4π0
ρx(')1
dV'
V |x''x'|x
1
4π0
V|xρx(x'')|dV'4π10
ρ(x')dV' Vr
由以上讨论可知，若空间中所有电荷分布都 给定，则电场强度和电势均可求出. 但实际情况 中往往并不是所有电荷都能预先给定，因此，必 须知道电荷与电场相互作用的微分方程.
通常电荷分布和电场是耦合的，不能事先确定.
e n (2 2 1 1 ) f
e n 从1指向2!
即
2n21n1f
(d d l e n d n )
1 2
= enE 2E 10
= 2n21n1f
enD 2D 1f
静电场的问题求解下列方程问题
2
1 2
2n2 1n1 f
有导体时的边值问题
在静止情况下, 导体的静电平衡条件为 (1)导体内部不带电,电荷只能分布于导体表面上; (2)导体内部电场为零; (3)导体表面上电场沿法线方向, 导体表面为等势
解：
如图,设场点P到导线的垂直距离为R, 因为电荷分布到无限远处,所以不能选 择无穷远处为电势零点. 选与导线的 垂直距离为R0 的P0点电势参考点.
dz z P R
(P)
4π0
1
z2 R2
1 z2 R02
dz
利用公式
M
dz
1 1R/M2
ln
M z2R2 1 1R/M2
(P)
lim
ln
若电荷分布 (x')给定，则静电势可以直接求出：
( x ) x E ( x ') 'd x ' 'x 4 π 1 0V( x ')|x x '' ''x x ''|3 d V d x ''
4π 1 0V x (x ')|x x '' ' 'x x ''|3d x ' 'dV'
面. 整个导体的电势相等.
导体表面的边界条件为
C
n
f
3. 静电场能量
在线性介质中静电场的总能量为
W 1 2 E D d V1 2 ( )D d V
1 2 (D ) D dV
E D
1 2SD dS 1 2dV
1 2
dV
1/r, D 1/r2,面积 r2,r
积分区域V为 ρ≠0的区域.
注意：
ar12dr
Q2
8π0a
E
(P 2)(P 1)P P 12E dl
(P)
Edl
取无穷远点电势为零
P
注意： (1) 由定义，只有两点的电势差才有物理意义， 某点上的电势的绝对数值是没有物理意义的.
(2) 某点电势的具体数值与零势点的选择有关， 所以必须指明零势点的位置.
(3) 零势点的选择是任意的，在电荷分布于有限 区域的情况下，可以选无穷远点的电势为零. (4) 一个具体问题中只能选一个零势点.
enE 2E 10
介质2 en
P2
Pꞌ2
P1
Pꞌ1
介质1
电势连续保证了电场切向分量连续
将 DE 代入另一边值关系
e n(D 2 D 1)f
得：e n D 2 D 1 e n 2 E 2 1 E 1 e n 1 1 2 2
(2)电势法向梯度值变化与面(自由)电荷有关
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
界条件就可以确定电势的解. 在数学上这称为边值
问题. 电场的边值关系：
enE 2E 10
enD 2D 1f
介质2 en
P2
Pꞌ2
P1
Pꞌ1
介质1
如图把电荷沿两种介质交平面
的法线方向移动时，切向分量不做 功. 沿法向方向做功很小，可认为零.
导致静电势的边值关系：
(1)电势是连续的
= 1 2