三年级盈亏问题

盈亏问题知识结构盈亏问题的特点是问题中每一同类量都要出现两种不同的情况．分配不足时，称之为“亏”，分配有余称之为“盈”；还有些实际问题，是把一定数量的物品平均分给一定数量的人时，如果每人少分，则物品就有余(也就是盈)，如果每人多分，则物品就不足(也就是亏)，凡研究这一类算法的应用题叫做“盈亏问题”．可以得出盈亏问题的基本关系式：(盈+亏)÷两次分得之差=人数或单位数(盈-盈)÷两次分得之差=人数或单位数(亏-亏)÷两次分得之差=人数或单位数物品数可由其中一种分法和人数求出.也有的问题两次都有余或两次都不足，不管哪种情况，都是属于按两个数的差求未知数的“盈亏问题”.注意：1.条件转换； 2.关系互换.例题精讲【例 1】幼儿园的老师给小朋友们发梨。

每人6个就剩12个，每人7个便少11个。

共有位小朋友个梨。

【考点】盈亏问题【难度】1星【题型】填空【关键词】2008年，第6届，走美杯，5年级，决赛【解析】盈亏问题，(1112)(76)23+÷-=（人），23612150⨯+=（个）梨。

【答案】23个小朋友，150个梨。

【巩固】幼儿园老师给几组小朋友分苹果，每组分7个，少3个；每组分6个，则多4个，苹果有______ 个，小朋友共______ 组。

【考点】盈亏问题【难度】1星【题型】填空【关键词】2003年，第1届，希望杯，4年级，1试【解析】盈亏问题中的“盈亏型”，小朋友有(3+4)÷(7-6)=7组，苹果有7×7-3=46个【答案】46个苹果，7组小朋友。

【例 2】学校规定上午8时到校，小明去上学，如果每分种走60米，可提早10分钟到校；如果每分钟走50米，可提早8分钟到校，求小明几时几分离家刚好8时到校？由家到学校的路程是多少？【考点】盈亏问题【难度】2星【题型】解答【解析】小明每分钟走60米，可提早10分钟到校，即到校后还可多走60×10＝600（米）；如果每分钟走50米，可提早8分钟到校，即到校后还可多走50×8＝400（米），第一种情况比第二种情况每分钟多走60－50＝10（米），就可以多走600－400＝200（米），从而可以求出小明由家到校所需时间．200÷（60－50）＝20（分钟），所以小明7时40分离家刚好8时到校.由家到校的路程： 60×（20－10）＝600（米）或：50×（20－8）＝600（米）．【答案】小明7时40分离家刚好8时到校，学校到家的距离为600米【巩固】 猫妈妈给小猫分鱼，每只小猫分10条鱼，就多出8条鱼，每只小猫分11条鱼则正好分完，那么一共有多少只小猫？猫妈妈一共有多少条鱼？【考点】盈亏问题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 猫妈妈的第一种方案盈8条鱼，第二种方案不盈不亏，所以盈亏总和是8条，两次分配之差是11101-=（条），由盈亏问题公式得，有小猫：818÷=（只），猫妈妈有810888⨯+=（条）鱼． 【答案】8只小猫，88条鱼【例 3】 用一根长绳测量井的深度，如果绳子两折时，多5米；如果绳子3折时，差4米.求绳子长度和井深.【考点】盈亏问题【难度】3星 【题型】解答 【解析】 条件转化：两折 多52=10⨯米三折 少43=12⨯米井的深度为：()()101232=22+÷-（米）；绳子长度为：()2252=54+⨯（米）【答案】绳子长54米，井深22米【巩固】 用一根长绳测量井的深度，如果绳子3折时，多8米；如果绳子5折时，差2米.求绳子长度和井深.【考点】盈亏问题【难度】3星 【题型】解答【解析】 条件转化：三折 多83=24⨯米五折 少25=10⨯米井的深度为：()()241053=17+÷-（米）；绳子长度为：()1783=75+⨯（米）【答案】绳子长75米，井深17米【例 4】一家旅店，若每个房间住6人，则16人没有床位；若每个房间住8人，则有一间房间是空出来的.这家旅店有多少个房间？要住宿的人数有多少？【考点】条件转化型盈亏问题【难度】☆☆☆【题型】应用题；【解析】这道题在第二个分配方案里并没直接告述我们少多少（即亏是多少），在这种说法中学生可能会错误计算.实际上，在第二种方案中，只要换一个说法：若每个房间住8人，还需要8个人才能住满。

这就跟之前的盈亏没有区别，同样是方案一：有一批人（总数），住进房间（份数）第一次分配6人住一间（一间房间分给它6个人），还多余8个人；第二次分配是8人住一间（一间房间分给它6个人），再来8个人才能让所有房间有人.也就是所需的人的总数要相差16＋8＝24（人），从这个对应的变化中可以看出，只要求24里面含有多少个2，就是所求的房间数；有了房间数，就不难求出有多少人了.16＋8＝24（人）；24÷2=12（间）人数是12×8－8＝88（人）或6×12＋16＝88（人）．【答案】12个房间；88人【巩固】【巩固】某合唱队的同学到会议室开会，若每条长椅上坐3人则多出9人，若每条长椅上坐4人则多一个长椅.问：合唱队有多少人？有多少个长椅？【答案】48人；13个长椅【例 5】妈妈买来一篮橘子分给全家人，如果其中两人分4个，其余人每人分2个，则多出4个；如果其中一人分6个，其余人每人分4个，则缺少12个，妈妈买来橘子多少个?全家共有多少人?【考点】盈亏问题【难度】1星【题型】解答【解析】由“其中两人分4个，其余每人分2个，则多出4个”转化为全家每人都分2个，这分4个的两人每人都拿出2个，共拿出4个，结果就多了448+=个；由“一人分6个，其余每人分4个，则缺少12个”转化为全家每人都分4个，分6个的人拿出2个，结果就少了12210-=个，转变成了盈亏问题的一般类型，则：全家的人数：[422(122)](42)+⨯+-÷-182=(人)=÷9橘子的个数：29826⨯+=(个)【答案】橘子26个，全家9个人【巩固】大猴采到一堆桃子，分给一群小猴吃。

如果其中两只小猴各分得4个桃，其余每只小猴各分得2个桃，则最后剩4个桃；如果其中一只小猴分得6个桃，其余每只小猴各分得4个桃，那么还差12个桃，大猴共采到 个桃，这群小猴共 只。

【考点】盈亏问题 【难度】3星 【题型】填空【关键词】2010年，第8届，希望杯，5年级，1试，第13题【解析】 本题是典型的盈亏问题，可以将它转化为：如果每个小猴分2个桃子，最后会剩下8个，如果每只小猴分4个，还差10个，应用盈亏问题的公式可以得到小猴子一共有(810)(42)9+÷-=只，桃子一共有491026⨯-=个。

【答案】26个桃子，小猴子9只【例 6】 小鸣用48元钱按零售价买了若干练习本。

如果按批发价购买，每本便宜2元，恰好多买4本。

问：零售价每本多少元?【考点】盈亏问题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2005年，第10届，华杯赛，初赛，第9题【解析】 见下图，以横线表示本数，纵线表示单价，因为黄色部分面积与绿色部分面积相等，所以黄色的宽是绿色高的2倍，设批发价为x 元（图中绿色长方形的高），则有：x ×（2x ＋4）＝48，即x ×（x ＋2）＝24＝4×6＝4×（4＋2），所以，x ＝4（元），零售价为x ＋2＝6（元）【答案】6元【巩固】 春节前夕，一富翁想向丐帮帮众施舍一笔钱财，一开始他准备给每人100元，结果剩下350元，他决定每人多给20元。

这时从其它地方又闻讯赶来了5个乞丐，如果他们每个人拿到的钱和其它乞丐一样多，富翁还需要再增加550元。

原有（ ）名乞丐。

【考点】盈亏问题 【难度】3星 【题型】填空【关键词】2010年，第8届，走美杯，3年级，初赛【解析】 如果不来这五个乞丐，富翁能剩下120555050⨯-=元。

因此有()350502015-÷=名乞丐。

【答案】15名【例 7】幼儿园将一筐苹果分给小朋友，如果全部分给大班的小朋友，每人分5个，则余下10个。

如全部分给小班的小朋友，每人分到8个，则缺2个。

已知大班比小班多3人，问：这筐苹果共有多少个？【考点】盈亏问题【难度】4星【题型】解答【解析】先把大班人数和小班人数转化为一样。

大班减少3人，则苹果又收回3515⨯=个苹果，人数一样，根据盈亏问题公式，小班人数为：(15102)(85)9++÷-=人，苹果总数是89270⨯-=个。

【答案】70个【巩固】幼儿园把一袋糖果分给小朋友。

如果分给大班的小朋友，每人5粒就缺6粒。

如果分给小班的小朋友，每人4粒就余4粒。

已知大班比小班少2个小朋友，这袋糖果共有粒。

【考点】盈亏问题【难度】4星【题型】填空【关键词】2004年，第2届，走美杯，4年级，决赛【解析】如果大班增加2个小朋友，大、小班人数就相等了。

变为“每人5粒缺16粒，每人4粒多4 粒”的盈亏问题。

小班有(16+4)÷(5-4)=20(人)。

这袋糖果有：4×20+4=84(粒)。

【答案】84粒【例 8】四⑵班举行“六一”联欢晚会，辅导员老师带着一笔钱去买糖果．如果买芒果13千克，还差4元；如果买奶糖15千克，则还剩2元．已知每千克芒果比奶糖贵2元，那么，辅导员老师带了元钱．【考点】盈亏问题【难度】4星【题型】解答【解析】这笔钱买13千克芒果还差4元，若把这13千克芒果换成奶糖就会多出13226⨯=元，所以这笔钱买13千克奶糖会多出26422-=元．而这笔钱买15千克奶糖会多出2元，所以每千克奶糖的价格为：(222)(1513)10-÷-=（元）．辅导老师共带了10152152⨯+=元．【答案】152元【巩固】小明妈妈带着一笔钱去买肉，若买10千克牛肉则还差6元，若买12千克猪肉则还剩4元．已知每千克牛肉比猪肉贵3元，问：小明妈妈带了多少钱？【考点】盈亏问题【难度】4星【题型】解答【解析】因为“每千克牛肉比猪肉贵3元”，所以同样买10千克猪肉的话，就剩了3×10－6＝24（元），这样化成普通的盈亏问题，猪肉的价钱是：（24－4）÷（12－10）＝10（元），所以小明妈妈带的钱数是：12×10＋4＝124（元）．【答案】124元【例 9】 有一些糖，每人分5块则多10块，如果现有人数增加到原有人数的1.5倍，那么每人4块就少两块，这些糖共有多少块？【考点】盈亏问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 第一次每人分5块，第二次每人分4块，可以认为原有的人每人拿出541-=块糖分给新增加的人，而新增加的人刚好是原来的一半，这样新增加的人每人可分到2块糖果，这些人每人还差422-=块，一共差了10212+=块，所以新增加了1226÷=人，原有6212⨯=人．糖果数为：1251070⨯+=(块)．【答案】糖果70块【巩固】 体育队将一些羽毛球分给若干个人，每人5个还多余10个羽毛球，如果人数增加到3倍，那么每人分2个羽毛球还缺少8个，问有羽毛球多少个？【考点】盈亏问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 考虑人数增加3倍后，相当于按原人数每人给2×3＝6（个），每人给5个与给6个，总数相差10＋8＝18 (个），所以原有人数 18÷（6－5)＝18（人），羽毛球总数是 5×18＋10＝100（个）．【答案】100个【例 10】 养猪专业户王大伯说：“如果卖掉75头猪，那么饲料可维持20天，如果买进100头猪，那么饲料只能维持15天。