魔方阵

问题3.1、n –魔方阵一、提出问题所谓“n – 魔方阵”是指由1至n 这n 个不同整数构成的魔方阵，其魔方常数为n ( n + 1 ) / 2。

例如，5 – 魔方阵和7 – 魔方阵如图3 – 1所示。

易知，这两个魔方阵的魔方常数分别为15和28。

3215415432432152154354321 ，4321765176543254321762176543654321732176547654321 图3 – 1 5 – 魔方阵和7 – 魔方阵n – 魔方阵的数字排列很有规律，若用人工的方法给出并不困难。

现在要求给出：能让计算机自动输出n （≥ 3）为奇数时形如图3 – 1所示的n – 魔方阵的算法。

二、简单分析n – 魔方阵较我们之后将要讨论的奇、偶数阶魔方阵，要简单许多。

观察后不难发现：1．要填入的n 个数字在阵列的每一行和每一列都要出现且仅出现一次，且各行（列）中的数字顺序相同，这里的顺序是指循环顺序，其中数字1接在数字n 的后面。

2．从阵列的行来看，每一行的第一个数字与它上一行正中间的数字相同。

通过对“n – 魔方阵”的分析，下面几个基本问题必须得到解决：◆ 如何确定阵列第一行各个数字？◆ 在填入其他行的数字时如何保证数字原有的顺序不改变同时每一行的第一个数字正好是其上一行正中间的数字？三、设计准备假设我们要构建的是一个n – 魔方阵，为此定义一个有n 行n 列的二维数组。

1．确定阵列第一行各个数字这里我们处理的方法很简单，即可以利用循环方法顺序地在二维数组第一行中填写1，2，3，…，n 这n 个自然数即可。

2．填入其他行的数字，并保证数字原有的顺序不改变同时每一行的第一个数字正好是其上一行正中间的数字要解决这个问题，需借助一个有n + 1单元的一维数组，并对该数组进行若干次“循环左移”处理。

所谓做一次“循环左移”，即指在一维数组中，将第1个数填入第n + 1个单元，第2个数填入第1个单元，……，第n个数填入第n– 1 个单元，最后再将第n + 1个单元中的数填入第n个单元。

例如，二维数组第二行中各个数字的填入可按下面的方式得到：第一步：在一维数组中依次填入与二维数组中第一行相同的数字；第二步：对一维数组中的数字进行( n– 1 ) / 2次“循环左移”处理；第三步：将一维数组其数字依次填入二维数组的第二行。

由于对数字的处理是“循环左移”，这样数字原有的顺序没有被改变。

而要将处在正中间的数字变成处在第一位，只需将其向左移动( n– 1 ) / 2个单元，因此按上述方法处理后，二维数组中第二行所填入的数字满足我们的要求。

接下来，不断地对一维数组重复上方法的第二步，并将其结果中的数字依次地按顺序填入二维数组中的第三行、第四行，……，第n行即可。

3．其他要求的处理这里我们提出另外的二项要求，即（1）对输入的整数n，要保证是不小于3的奇数，不然就要重新输入；（2）增加对构建好的阵列是否是魔方阵的判断，并对判断的结果输出成功或失败的信息。

对于第一个要求，可通过判断n /2 是否等于INT ( n / 2 ) 和n是否不小于3来实现。

对于第二个要求，可通过比较各行、列、对角线上元素之和是否与n ( n + 1 ) / 2的值相等来实现。

四、实施步骤1．算法编制的工作顺序：有了上述的设计准备，我们所要的算法可按如下的工作顺序编制：第一步：输入奇整数n，并以此定义一维数组S和二维数组A；第二步：将1至n这n个不同整数依次填入S的前n个单元；第三步：通过对数组S实施“循环左移”处理，确定数组A中第二行至第n行中各单元的数字，并输出这些数字；第四步：通过统计各行、列和对角线上各数字的和，判断输出的数字阵列是否是魔方阵。

2．变量设置：N：魔方的阶数；G：行、列和对角线上元素之和；V：每行元素累计和；U：每列元素累计和；S：主对角线上的元素累计和；R：次对角线上的元素累计和；S：为循环左移工作的数组；A：魔方阵（二维数组）。

3．参考框图：如图3 – 2 所示。

4．框图说明：框图应当包含三个功能部分。

第一个部分的功能是判断N是否是一个大于3的奇数；定义S和A两个数组；产生1 ~ N这N个自然数，并存在在S数组里；第二个部分的功能是能够对S数组中的数字循环左移( N– 1 ) / 2次；输出S数组中的数字以表示魔方的行元素，并存放在A数组指定的行中。

实现循环左移（即产生和输出方阵的方法）可参考下面的算法：第01步：让S ( I ) ⇐ I，I = 1，2，…，N；图3 – 2 处理“素数魔方阵”问题的框图第02步：让S ( N + 1 ) ⇐ S ( 1 )；第03步：让I⇐ 1；第04步：让K⇐ 1；第05步：让S ( M –1 ) ⇐S ( M )，M = 2，3，…，N + 1；第06步：让S ( N + 1 ) ⇐ S ( 1 )；第07步：让K ⇐ K +1，若K≤(N –1)/ 2，则执行第05步；第08步：让A ( I , J ) ⇐S ( J )，输出A ( I , J )，J =1，2，…，N ；第09步：让I⇐ I + 1，若I≤N，则执行第04步；第三个部分的功能是验证所输出的阵列是否正确，并以特别提示信息表示。

我们的验证工作，是通过比较各行、列、对角线上元素之和是否与N ( N + 1 ) / 2的值相等来实现。

而各行、列、对角线上元素之和可参考如下的方式得到：第01步：让I⇐ 1；第02步：让U⇐U + A ( I , J )，J = 1，2，…，N；——产生第I行各元素的和。

第03步：让V⇐V + A ( J , I )，J = 1，2，…，N；——产生第I列各元素的和。

第04步：让P⇐P + A ( I , I )；——产生主对角线上各元素的和。

第05步：让Q⇐Q + A ( I , N + 1 –I )；——产生从对角线上各元素的和。

第06步：让I⇐I + 1，若I≤N，执行第02步；5．参考算法第01步：输入一个正整数N ；第02步：若N /2 = INT ( N / 2 ) 或N < 3，则执行第01步；第03步：定义数组S ( N + 1 )和A ( N , N ) ；第04步：让I⇐ 1；第05步：让S ( I ) ⇐I，A ( 1 , I ) ⇐I ；第06步：在位置3 ( J– 1 ) + 1处输出S ( J ) ；第07步：让I⇐I + 1，若I≤N ，则返回第05步；第08步：让S ( N + 1 ) ⇐S ( 1 ) ；第09步：换行；第10步：让I⇐ 2 ；第11步：让K⇐ 1 ；第12步：让M⇐ 2 ；第13步：让S ( M– 1 ) ⇐S ( M )；第14步：让M⇐M + 1 ，若M≤N + 1，则返回第13步；第15步：让S ( N + 1 ) ⇐S ( 1 ) ；第16步：让K⇐K + 1，若K≤ ( N– 1 ) / 2，则返回第12步；第17步：让J⇐ 1 ；第18步：让A ( I , J ) ⇐S ( J ) ；第19步：在位置3 ( J– 1 ) + 1处输出S ( J ) ；第20步：让J⇐J + 1，若J≤N，则返回第18步；第21步：换行；第22步：让I⇐I + 1，若I≤N，则返回第11步；第23步：让G⇐N ( N + 1 ) / 2 ，S⇐ 0 ，R⇐ 0 ；第24步：让I⇐ 1；第25步：让S⇐S + A ( I , I ) ，R⇐R + A ( I , N + 1 –I ) ；第26步：让V⇐ 0 ，U⇐ 0 ；第27步：让J⇐ 1 ；第28步：让U⇐U + A ( I , J ) ，V⇐V + A ( J , I ) ；第29步：让J⇐J + 1，若J≤N，则返回第27步；第30步：若U + V≠ 2G ，则执行第34步；第31步：让I⇐I + 1 ，若J≤N，则返回第26步；第32步：若S + R≠ 2G ，则执行第34步；第33步：输出“成功信息”，结束．第34步：输出“失败信息”，结束．在参考算法中：第01步至第03步完成输入正整数N并判断是否是不小于3的奇数，同时定义S数组和A数组；第04步至第09步产生1 ~ N个自然数并存放到S数组和A数组的第一行中，输出S数组；第10步至第22步实现S数组中的数字循环左移( N– 1 ) / 2次后输出，并存放在A数组之中。

第23步至第34步完成验证输出的方阵是否正确的工作。

五、评估反思我们所编制的参考算法可以实现对任何大小的“n–魔方阵”（n≥ 3为奇数）的输出，并满足了在提出问题时所给出的所有条件，具有自动判断输出结果是否正确的功能。

参考算法在具体设计时，将魔方阵的验证工作安排在魔方阵的产生和输出之后，这符合一般的验证工作思路。

尤其在处理魔方阵时，让其每个数字的产生与输出同步进行，这使得处理的速度较快。

对于处理n为偶数的n–魔方阵的算法，我们只要对参考算法稍加修改就可方便地得到。

事实上，将参考算法中第02步改为“若N /2 ≠ IMT ( N / 2 ) 或N < 2，则执行第01步”，就得到可处理任何大小的“n–魔方阵”（n≥ 2为偶数）的算法。

更一般地，如果在参考算法中去掉第02步，就得到了处理任何大小的“n–魔方阵”（n为正整数）的算法。

1．关于“循环左移”。

参考算法的关键是实现“填入其他行的数字，并保证数字原有的顺序不改变同时每一行的第一个数字正好是其上一行正中间的数字”这一功能，我们为此采取了―循环左移‖的方法。

对于“循环左移”的方法，下面几点是我们应该了解的。

（1）对数字“循环左移”并没有增减其数字，这就保证了在填写过程中数字原有的顺序不变，而且各行（列）及对角线上都能出现1，2，3，…，n这n个整数且仅出现一次，进而保证了各行（列）及对角线上各数字的和为一个定值，即为1 +2 +3 + … + n =2)1(+nn。

（2）对一行中的数字连续进行( n – 1 ) / 2次“循环左移”，就是将处在第( n + 1 ) / 2位的数字左移到第1位上。

当n为奇数时，第( n + 1 ) / 2位的数字正好就是正中间的数字。

（3）如果改变要求为“每一行的第一个数字正好是其上一行第m个数字”，那么只要对该行的数字连续进行m– 1次“循环左移”即可。

（4）由于n为偶数时n–魔方阵的行不存在“正中间”的数字，可以将“循环左移”次数“( n + 1 ) / 2”修订为“INT (( n + 1 ) / 2 )”，这样可将处在正中间偏左的数字左移至第1位。

（5）若不采用“循环左移”方法来实现所要求的功能，最简单的思路是：确定第i行数字时，可先找到第i– 1行正中间的位置（即第( n + 1 ) / 2个数字），再将所对应的数字填入到第i行的第1个单元之中，其他单元可按顺序填入后续的数字。