第02章 静电场分析(图片版)

则认为，在该处有一点电荷。 当带电体的尺寸<< 研究点到带电体的距离时，则可认 为带电体是一电量为q的点电荷。
第二节 库仑定律与电场强度
• 库仑定律
由实验得到的库仑定律是静电 场理论的基础，它给出了源点对 场点电荷的作用力。
q ' q (r r ) F (r ) 4 0 r r 3
第三节 真空中静电场的基本规律
• • • • • 静电场的基本方程 电位 真空 介质 无限空间 有限空间 能量
描述静电场的变量
(r ) 电荷密度——源变量 E (r ) 电场强度——场变量 D(r ) 电位移——场变量
(C / m 2 )
产生原因：电介质内 束缚电荷在外电场力 作用下发生位移，由 麦克斯韦通过实验证 实
E
l
束缚电荷
无极分子
q
点偶极子
电偶极矩 p ql
• 电介质的极化强度
p P = lim V 0 V
C/m
2
• 例：一个半径为a的均匀极化介质球，极化强度是 P0 ez ，求极 化电荷分布
• 电介质中的基本方程（高斯定理、介电常数） 真空中：
E =0
• 介电常数
实验证明：P e 0 E
由于E在顶面底面均无分量，即对两个面的通量 为零由高斯定理得： q 2 rhE er , 其中q h h
1
arLeabharlann bl b 又U E dr ln a 2 a 2U 即：l = 则E =er
b
ln b / a
U , D= E， 即可求得We r ln(b / a)
若闭合曲面内有多个点电荷，则
• 例题：真空中，假设在半径为a的球体内均匀分布着密度为 0 的电荷，试求任意点的电场强度。
• 静电场的环量与旋度
先证明电场强度沿着开曲线的线积分，即
O
B
r
P
M dl N
dr
MN dl PN dr
A
O
rB
r
B

q 4 0

B
A
dr r2
rA
A
已知：D 0 E P
e : 极化率 （无量纲）
则：D 0 E e 0 E = 0 1+e E = 0 r E
介电常数： 0 r
代表了电介质对电荷的束缚能力。 越大，说明
电介质对电荷的束缚能力越强，该电介质就越不 容易被极化，即该电介质的绝缘能力越强。（击穿）
• 当介质2时理想导体时：
S
n
2
en E1 0
1
h0
• 例：同心球电容器的内导体半径为a，外导体的内半径为b， 其间填充两种介质。设内外道题带点分别为q、-q，求介质中 q 的电场强度和电位移。
解： 电场强度和电位移的方向均为er，则在介质 交界面上全部分布在切向，则E1 =E2 =Eer
q
1
a
b
2
则，取a r b的球形高斯面，利用基本方程得： 2 r 21 E1 2 r 2 2 E2 2 r 2 1 2 E = q D1 =1 E D2 = 2 E
• 电位函数
E = - = ex ey ez x y z
则， E在任意方向上的分量可表示为 El l
由P到P0的电位差
• 例：真空中均匀带电球体，半径为a，求空间任意点的电位。
• 泊松方程、拉普拉斯方程
= 0
2
2 =0
作用：只需知道源，即可求得电场强度。
• 电位函数的边界条件
2 1 2 1 S n n
电磁场与电磁波
第二章 静电场分析
第一节 电荷与电荷分布
• 微观——电荷离散分布在空间中； • 宏观——电荷连续分布，但未必均匀分布。
描述带电体中电荷分布情况时，引入“电荷密度”
(r ) lim 电荷体密度：
q dq (C / m3 ) V 0 V dV
q ( r )dV
l
E1t E2t 0
• 当交界面上无自由电荷时：
D1n E1t 1 D2 n E2t
D1 cos 1 E1 sin 1 1 D1 sin 1 则： D2 cos 2 E2 sin 2 2 D2 sin 2
1 tan 1 即 = 2 tan 2
• 例：已知半径为a的球内、外电场分布为
a 2 E0 er , r a r E E r e , r a 0 r a
求电荷密度。
解：球坐标系中
• 圆柱坐标系中
• 球坐标系中
第四节 介质中静电场的基本规律
• 电介质的极化
q
q 由实验得到： D(r ) e 2 r 4 r
E (r ) q
r q e 3 2 r 4 0 r 4 0 r
D 0E
• 静电场的通量和散度 dS 证明：引入“立体角” O
整个球面对球心所张立体角为 4
扩展：任一闭合曲面对一点O所张立体角有2种情况： 1， O点在闭合曲面内部—— 4 2， O点在闭合曲面外部—— 0
• 证明：在极化介质中，束缚电荷体密度与自由电荷体密度的 关系为 - 0
P = -


第五节 介质中的边界条件
n
S
2
D2
2
1
D1
h0
1
若交界面上没有自由电荷，则 D1n D2n
n
l
2
D2
n l n E1 E2 0 即：
2
1
h0
D1
1
V
S (r ) lim 电荷面密度：
q dq (C / m 2 ) S 0 S dS q dq (C / m ) l 0 l dl
q S (r )dS
S
l (r ) lim 电荷线密度：
q l (r )dl
c
• 点电荷
若电荷体密度： (r ) lim V 0 V dV q dq
P

dr
q 1 1 4 0 rA rB
M dl N
F qE
保守场
积分形式
微分形式？ 电位
• 例：一半径为a的均匀带电圆柱（无限长）的电荷密度是 ， 求圆柱体内外的电场强度。
q r l
2
r E 2 0
q a 2l
a2 E 2r 0
真空介电常数
(N )
1 0 109 8.854 1012 F / m 36
• 电场强度 静电场中，点电荷q’ 在某点处的电场强度
F q ' (r r ') q' R q 4 0 r r ' 3 4 0 R 3
E (r )
q’的电量根据其电荷分布特性积分后可求得
1 2 1 = 2 n n
• 例：P33 例2.5.2
第七节 电场能量
• 电场能量
能量体密度：we 1 E D 2
1 电场能量：We E Dd V 2
• 例：若一同轴线内导体半径为a，外导体半径为b，之间填充 的电介质，当内外电压为U时，求单位长度的电场能量。
解：设导体单位长度带电量为l (一圈上电荷密度)