3.3选择终极生命表解析
保险精算学-笔记-涵盖（利息,生命表,寿险精算及实务,非寿险,风险理论,内容丰富）
保险精算学-笔记-涵盖（利息,⽣命表,寿险精算及实务,⾮寿险,风险理论,内容丰富）第⼀章：利息理论基础第⼀节：利息的度量⼀、利息的定义利息产⽣在资⾦的所有者和使⽤者不统⼀的场合，它的实质是资⾦的使⽤者付给资⾦所有者的租⾦，⽤以补偿所有者在资⾦租借期内不能⽀配该笔资⾦⽽蒙受的损失。
⼆、利息的度量利息可以按照不同的标准来度量，主要的度量⽅式有1、按照计息时刻划分：期末计息：利率期初计息：贴现率2、按照积累⽅式划分：（1）线性积累：单利计息单贴现计息（2）指数积累：复利计息复贴现计息（3）单复利/贴现计息之间的相关关系单利的实质利率逐期递减，复利的实质利率保持恒定。
单贴现的实质利率逐期递增，复贴现的实质利率保持恒定。
时，相同单复利场合，复利计息⽐单利计息产⽣更⼤的积累值。
所以长期业务⼀般复利计息。
时，相同单复利场合，单利计息⽐复利计息产⽣更⼤的积累值。
所以短期业务⼀般单利计息。
3、按照利息转换频率划分：（1）⼀年转换⼀次：实质利率（实质贴现率）（2）⼀年转换次：名义利率（名义贴现率）（3）连续计息（⼀年转换⽆穷次）：利息效⼒特别，恒定利息效⼒场合有三、变利息1、什么是变利息2、常见的变利息情况（1）连续变化场合（2）离散变化场合第⼆节：利息问题求解原则⼀、利息问题求解四要素1、原始投资本⾦2、投资时期的长度3、利率及计息⽅式4、本⾦在投资期末的积累值⼆、利息问题求解的原则1、本质任何⼀个有关利息问题的求解本质都是对四要素知三求⼀的问题。
2、⼯具现⾦流图：⼀维坐标图，记录资⾦按时间顺序投⼊或抽出的⽰意图。
3、⽅法建⽴现⾦流分析⽅程（求值⽅程）4、原则在任意时间参照点，求值⽅程等号两边现时值相等。
第三节：年⾦⼀、年⾦的定义与分类1、年⾦的定义：按⼀定的时间间隔⽀付的⼀系列付款称为年⾦。
原始含义是限于⼀年⽀付⼀次的付款，现已推⼴到任意间隔长度的系列付款。
2、年⾦的分类：（1）基本年⾦约束条件：等时间间隔付款付款频率与利息转换频率⼀致每次付款⾦额恒定（2）⼀般年⾦不满⾜基本年⾦三个约束条件的年⾦即为⼀般年⾦。
第一章 生命表
1.1.4
离散型未来寿命的分布
取整余命（ K）：K(x)=[T(x)]
Pr[ K ( x ) k ] Pr[ k T ( x ) k 1] Pr[ k T ( x ) k 1] k 1 q x k q x k p x k 1 p x k|q x
1.1.5
死力
几种常见的假设：
1）de Moivre假设（1729）：
xt
1 0 x 1 , e x E [T ( x )]
0
xt
x
,
s(x) 1
,
f T (t )
x
2
x
其中的ω 为极限年龄，即假定在此年龄下，所 有的人均已死亡。
1.1.5
0
1
2
3
… …
q0
q1
i
q2
q3
q
i0
1,
qi 0
1.1.2
含义
生存函数
s(x)=1- F(x)=Pr(X>x), x≥0
新生婴儿x岁以后死亡的概率 新生婴儿活过x岁的概率
性质 a. s ( 0 ) 1,
x
lim s ( x ) 0
b. 单调递减函数
死力
xt
2）Gompertz假设（1825）：
xt B C
,
B 、 C 为常数
3）Makeham假设（1860）：
xt A B C
xt
,
A 、 B 、 C 为常数
4）Weibull假设（1939）：
xt k ( x t ) ,
保险精算第3章(3)
s(x t)
t px
1 ty px t px
1
pxt y pxt
1
p
y x
y p xt pxy
26
例：在常数死力下求： q5 75.25
l75 56799 l76 54239 l80 43180 l81 40208
p 5 75.25 p 0.75 75.25 4 p76 0.25 p80
5 p20 0.2 p25 (10.8 p25.2 2 p26 0.6 p28 )
l25 l20
(1
0.2q25 )[1
(1
0.8q25 1 0.2q25
)
l28 l26
(1
0.6q28 )
0.00248
24
二、年龄内常数死力假设(几何插值法)
还可以怎么写？
• 令： s(x t) s(x)1t s(x 1)t 0 t 1
p0.75 75
l80 l76
p 0.25 80
0.75545
q5 75.25 0.24455
27
三、调和插值法（Balducci假设）
• 令： 1 1 t t
s(x t) s(x) s(x 1)
0t 1
• 生存函数：
t
px
s(x t) s(x)
1 1t t s(x) s(x 1)
0 t 1
1.t qx
lx
lxt lx
td x lx
tqx
2.t px
lxt lx
lx tdx lx
1 tqx
3. y qxt
lxt
lxt y lxt
yd x lx tdx
yqx 1 tqx
21
第三章 生命函数和生命表66
选择-终极表实例
[x] 选择表 终极5 76 77 .0175 .0191 .0209 .0228 .0249 .0273 .0298 .0326
q[ x ]+1 q[ x ]+2 q[ x ]+3 q[ x ]+4
.0249 .0272 .0297 .0324 .0354 .0387 .0424 .0464 .0313 .0342 .0374 .0409 .0447 .0489 .0535 .0586 .0388 .0424 .0463 .0507 .0554 .0607 .0664 .0727 .0474 .0518 .0566 .0620 .0678 .0742 .0812 .0889
lx = l0 .p(x > x) = l0 .s(x)
2. dx: 0岁的人在x岁和x+1岁间死亡的人数
dx = l0[s(x) − s(x +1)] = lx − lx+1
3. px :x岁的人在至少存活一年的概率
px
=P(T>1)
4. qx :x岁的人在一年内死亡的概率 qx ＝P(T<1)
yqt s(x + t) − s(x + t + y) = s(x + t) 1− tqx
q = y x+t
例2 ：设张某在3个月前满75岁，在年龄内均匀分布 假设下，求其在5年内死亡的概率。
5
p75.25 =0.75 p75.25⋅4 p76 ⋅0.25 p80
中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）
年龄 （x） 75 76 77 78 79 80 死亡率 生存人数 死亡人数 生存人年数 平均余命 0
第二章--生命函数与生命表理论
均匀分布下
0
ex
ex
1 2
第四节 死亡效力
瞬时死亡率，简记
x
lim
h0
S(x) S(x h) h S(x)
S ( x) S(x)
(ln S(x))
f (x) S(x)
死亡效力曲线称为“浴盆曲线”
死亡效力与生存函数关系：
x
S(x) exp{ 0 sds}
寿命变量和剩余寿命变量的区别在于前者是无条件概率， 后者是条件概率；
特别地.
(1)t q0 F (t); (2)1qx记为qx ;
(3) t|u qx Pr(t T ( X ) t u) Pr(x t X x t u X x) S(x t) S(x t u) S(x)
第八节 有关分数年龄的假设
基本原理:插值法
1）均匀分布假定(线性插值) 2）常数死亡力假定(几何插 值) 3）Balducci假定(调和插值)
均匀分布假定(线性插值)
s(x t) (1 t)s(x) ts(x 1) , 0 t 1
常数死亡力假定(几何插值)
s(x t) s(x)(1t) s(x 1)t , 0 t 1
例 假设某人群的生存函数为S(x) 120 x , 0 x 120. 求： 10
（1）39岁的人至少还能再活45年的概率； （2）56岁的人能活过71岁但活不过84岁的概率.
剩余寿命的期望和方差
o
e 期望剩余寿命：剩余寿命的期望值(均值),简记 x
o
wx
ex E(T (x)) t fT (t)dt t pxdt
生命表
国内的生命表
10年来，业务快速发展，积累了大量的保险业务数据资料； 2、保险公司信息化程度大幅提高，数据质量也有了较大 的改善； 3、保险精算技术获得了极大的发展，积累了一些死亡率 分析经验。 基于各方面的考虑，在中国保监会的领导和组织下， 2003年8月，正式启动了新生命表编制项目。新生命表编 制完成后，于2005年11月12日通过了以著名人口学专家、 全国人大副委员长蒋正华为主任的专家评审会的评审。于 2006年1月1日正式启用。
X=年龄 lx=在X岁生存的人数 dx=年龄在岁的人在一年内死亡的人数=lx-lx+1 qx=年龄在岁的人在一年内死亡的概率=dx/lx px=年龄在岁的人活过一年的概率 =lx+1/lx
生命表的分类
以死亡统计的对象为标准，生命表可分为 国民生命表和经验生命表。 国民生命表是根据全体国民或某一特定地 区人口的死亡资料编制而成的。 经验生命表是根据保险机构有关人寿保险、 社会保险的死亡记录编制而成的。
生命表概述
2009年10月
原理
现代保险学是建立在概率论和大数定律的基础上 大数法则：是用来说明大量的随机现象由于偶然性相互抵消所呈现的必然数 量规律的一系列定理的统称. 切比雪夫大数法则：在承保标的数量足够大时，被保险人所交纳的纯保费与 其所能获得的赔款期望值相等。 贝努力定理大数法则：利用统计资料来估计损失概率是极其重要的。 泊松大数法则：平均概率与观察结果所得的比例将无限接近。
国内的生命表
新生命表包括非养老金业务男女表和养老金业务男女表共 两套四张表，简称“CL(2000-2003)”。其结构与原生命表 相同，但取消了混合表。 之所以非养老金业务与养老金业务用表不同，是因为整体 而言，投保养老金的人群死亡的概率比投保非养老金的人 群要小。 本次非养老金业务表男性平均寿命为76.7岁，较原生命表 提高了3.1岁，女性平均寿命为80.9岁，较原生命表提高 了3.1岁。养老金业务表男性平均寿命为79.7岁，较原生 命表提高了4.8岁，女性平均寿命为83.7岁，较原生命表 提高了4.7岁。
3.生命表
n1 x ｜
q = n qx；当m = ∞时， ∞ qx = n px。 ｜ n ｜
6
生命表基本函数
nLx：x岁的人在x~x+n生存的人年数。
人年数是表示人群存活时间的复合单位，1个人存活了1年是 1人年，2个人每人存活半年也是1人年，在死亡均匀分布假 设下，x~x+n岁的死亡人数ndx平均来说存活了n/2年，而活到 lx+n岁的人存活了n年，故
K ( X ) = k,
概率函数
k ≤ T ( x) < k + 1, k = 0,1,⋯
Pr( K ( X ) = k ) = Pr(k ≤ T ( x) < k + 1) = k +1 qx − k qx = k px − k +1 px = k px ⋅ qx+ k = k qx
15
死亡力
定义：( x) 的瞬时死亡率，简记 µ x
n n n Lx ≈ nl x + n + n d x = (l x + l x + n ) 2 2 1 当n=1时， Lx ≈ (l x + l x +1 ) 2
7
生命表基本函数
Tx：x岁的人群未来累积生存人年数。
Tx = Lx + Lx +1 + ⋯ + Lω −1 =
在均匀分布假设下，
∞
ω − x −1
yq x 1 − tq x qx 1 − tq x
1− e
e
− ut
− ut
y q x +t
1− e
− ut
µ x+t
fT(t) (t pxµx+t )
第二章 生命表函数与生命表构造
第二章生命表函数与生命表构造第一节生命表函数一、生存函数1、定义：2、概率意义：新生儿能活到的概率3、与分布函数的关系：4、与密度函数的关系：二、剩余寿命1、定义：已经活到x岁的人（简记），还能继续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。
2、剩余寿命的分布函数5、：，它的概率意义为：将在未来的年内去世的概率，简记3、剩余寿命的生存函数：，它的概率意义为：能活过岁的概率，简记特别：（1）（2）（3）（4）：将在岁与岁之间去世的概率4、整值剩余寿命（1）定义：未来存活的完整年数，简记（2）概率函数：5、剩余寿命的期望与方差（1）期望剩余寿命：剩余寿命的期望值（均值），简记（2）剩余寿命的方差：6、整值剩余寿命的期望与方差（1）期望整值剩余寿命：整值剩余寿命的期望值（均值），简记（2）整值剩余寿命的方差：2三、死亡效力1、定义：的人瞬时死亡率，记作2、死亡效力与生存函数的关系3、死亡效力与密度函数的关系4、死亡效力表示剩余寿命的密度函数记为剩余寿命的分布函数，为的密度函数，则第二节生命表的构造一、有关寿命分布的参数模型1、de Moivre模型（1729）2、Gompertz模型（1825）3、Makeham模型（1860）4、Weibull模型（1939）二、生命表的起源1、参数模型的缺点（1）至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。
这四个常用模型的拟合效果不令人满意。
（2）使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的误差（3）寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命的分布。
（4）在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的分布。
2、生命表的起源（1）生命表的定义根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制成的由每个年龄死亡率所组成的汇总表.（2）生命表的发展历史1662年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡名单,写过《生命表的自然和政治观察》。
中国精算师考试指引——考试用书及考试形式
中国精算师资格考试指南第I部分中国精算师资格考试一准精算师部分A1数学考试时间：3小时考试形式：选择题考试要求：本科目是关于风险管理和精算中随机数学的基础课程。
通过本科目的学习，考生应该掌握基本的概率统计知识，具备一定的数据分析能力，初步了解各种随机过程的性质。
考生应掌握概率论、统计模型和应用随机过程的基本概念和主要内容。
考试内容：A、概率论（分数比例约为35%）1. 概率的计算、条件概率、全概公式和贝叶斯公式（第一章）2. 联合分布律、边缘分布函数及边缘概率密度的计算（第二章）3. 随机变量的数字特征（§3.1、§3.2、§3.4）4. 条件期望和条件方差（§3.3）5. 大数定律及其应用（第四章）B、数理统计（分数比例约为25%）1. 统计量及其分布（第五章）2. 参数估计（第六章）3. 假设检验（第七章）4. 方差分析（§8.1）C、应用统计（分数比例约为10%）1. 一维线性回归分析（§8.2）2. 时间序列分析（平稳时间序列及ARIMA模型）（第九章）D、随机过程（分数比例约为20%）1. 随机过程一般定义和基本数字特征（第十章）2. 几个常用过程的定义和性质（泊松过程、更新过程、马氏过程、鞅过程和布朗运动）（第十一章）E、随机微积分（分数比例约为10%）1. 关于布朗运动的积分（§11.5、第十二章）2. 伊藤公式（§12.2）考试指定教材：中国精算师资格考试用书：《数学》肖宇谷主编，李勇权主审，中国财政经济出版社2010版，所有章节。
A2金融数学考试时间：3小时考试形式：选择题考试要求：本科目要求考生具有较好的数学知识背景。
通过学习本科目，考生应该熟练掌握利息理论、利率期限结构与随机利率模型、金融衍生工具定价理论、投资组合理论的主要内容，在了解基本概念、基本理论的基础上，掌握上述几部分内容涉及的方法和技巧。
3.3选择终极生命表
[ x]n1 [ x]n
q ld m [ x]n
m [ x]n [ x]n
q l l l m｜ [ x]n
[ x]nm [ x]nm1 [ x]n
选择-终极表实例
[x]
选择表
终极表
q[ x]
q[ x]1
q q [ x]2
[ x]3
q[ x]4
qx5
x5
1 1t t S0 (x t) S0 (x) S0 (x 1)
, 0t 1
死亡均匀分布假设
假设死亡在整数年龄之间均匀发生，此时存活函数是线性的。
S0 (x t) (1 t) S0 (x) t S0(x 1) (x为整数，0 t 1) S0 (x) t [S0 (x 1) S0 (x)]
[ xr 1]r 1
[ xr2]r 2
qx
依据选择效果已经消失后的死亡概率资料编制的生命表
称为终极表。
注记： 由于终极表是选择表中选择效果消失后形成的表，
通常把他们放在一起，形成选择 终极表
由不分投保年数的死亡率资料编制的生命表，
称为综合表。
16
选择生命表
选择生命表构造的原因
60 .0175 .0249 .0313 .0388 .0474 .0545 65
61 .0191 .0272 .0342 .0424 .0518 .0596 66
62 .0209 .0297 .0374 .0463 .0566 .0652 67
63 .0228 .0324 .0409 .0507 .0620 .0714 68
t
px
e
0t
dt
2021精算师考试《精算模型》真题模拟及答案(2)
2021精算师考试《精算模型》真题模拟及答案(2)1、如表所示，对于两减因生存模型，已知：设在年龄阶段[67,68），每一终止原因的终止力为常数，（单选题）A. 0.03B. 0.0543C. 0.15D. 0.64E. 0.9457试题答案：B2、最适合于计算追加筹资决策的加权平均资本成本的方法是（）。
（单选题）A. 净现值法B. 账面价值法C. 市场价值法D. 目标价值法E. 回收期法试题答案：D3、已知一个随机变量u的矩母函数为：M u（t）=（1-2t）-9,t＜1/2，则其方差Var（u）=（）。
（单选题）A. 18B. 36C. 54D. 324E. 360试题答案：B4、按误差数值表示的方法，误差可分为（）（多选题）A. 绝对误差B. 相对误差C. 系统误差D. 引用误差试题答案：A,B,D5、设S（x）是生存函数，则生存函数S（x）的极限年龄ω为（）。
（单选题）A. 121B. 122C. 125D. 128E. 130试题答案：C6、“支付的其他与经营活动有关的现金”项目应反映的项目有（）。
（多选题）A. 罚款支付的现金B. 差旅费支付的现金C. 经营租赁支付的现金D. 融资租赁支付的现金E. 业务招待费支付的现金试题答案：A,B,C,E7、排放污染物超过国家或者地方规定的污染物排放标准的企业事业单位，要依照国家规定激纳超标准排污费，（）。
（单选题）A. 并可继续生产B. 并负责治理C. 并停业整顿D. 并责令转产试题答案：B8、对泊松盈余过程为使破产概率低于α，保险人的安全附加系数θ应定为（）。
（单选题）A.B.C.D.E.试题答案：D9、备案时不需要提供的材料是（）（单选题）A. 营业执照B. 居民身份证C. 技术设备D. 政审证明试题答案：C10、某保险人承保的损失随机变量X的概率密度函数为：已知的期望值分别为P0与P l，则P0+P1=（）。
（单选题）A.B.C.D.E.试题答案：D11、PMK可编程序调节器的输出（MV）极性选择开关的作用是（）。
关于我国生命表编制问题的探讨
需要经过体检等核保程序， 因而被保 高， 在一定程度上可视作加入安全系
险人的死亡率经验与一般人口的死亡 数的生命表， 因此它常用于计算责任
平均数， 有时也用年中 ｘ 岁人数代替， 明， 年金保险的被保险人死亡率低于
则
ｘ
岁的中心死亡率
ｍ＇ ｘ
为：
ｍ＇ ｘ ＝
Ｄｘ Ｐｘ
非年金寿险的被保险人死亡率。
（ ｍ＇ ｘ 正是人口统计中的分年龄死亡率） 。
（ 三） 根据性别不同， 可编制男性
生 命 表 分 年 龄 中 心 死 亡 率 ｍｘ ， 生 命 表 、女 性 生 命 表 和 混 合 生 命 表 。正
金 融 ＦＵＪ ＩＡＮ ＦＩＮＡＮＣＥ 实务 金融法苑
其和其所供养人的生活必需费用和必要的生活用品情况下， 将其财产拍卖， 按 一 定 比 例 分 配 给 债 权 人 的 一 项 法 律 制 度 。个 人 破 产 制 度 的 社 会 意 义 在 于 维 护 民 事 流 转 与 商 事 交 易 的 安 全 。从 我 国 目 前 情 况 看 ， 由 于 个 人 信 用 制 度 不 完 善， 市场经济不成熟， 个人对自己信用的轻视及恶意赖账的现象时有发生， 致 使 商 业 银 行 提 供 个 人 贷 款 的 积 极 性 受 到 遏 制 。为 平 衡 债 权 人 和 债 务 人 利 益 ， 建 议 应 加 快 建 立 个 人 破 产 制 度 。个 人 破 产 制 度 对 债 务 人 而 言 ， 可 以 保 障 其 及其所供养人的基本生活， 同时， 使诚实而遭遇不幸的债务人从债务的深渊 中 解 脱 出 来 ， 去 创 造 新 的 生 活 。对 债 权 人 而 言 ， 个 人 破 产 制 度 可 以 使 不 能 清 偿 到 期 债 务 的 人 不 得 不 倾 其 家 产 、尽 其 所 能 ， 切 实 承 担 起 偿 债 责 任 ， 使 债 权 人 的 合 法 权 益 最 大 可 能 地 得 以 实 现 。还 要 进 一 步 健 全 考 虑 利 用 现 代 的 电 脑 网 络建立统一的个人信用制度和信息网络系统， 对到期欠债不还者列入黑名单 公布， 同时不能再给以银行贷款。
保险精算学3-生命表
设S(x)为x岁人在其死亡年度中所活过的不足一年的 部分。 S(x)是（0，1）上的连续分布，有：
T (x) K(x) S(x)
K(x)的期望值是简约平均余命：
ex E(K (x)) k k px qxk k ( k px k1 px ) p k1 x
3050253031303030053030050530300530303070700514069700505139525505002555505552550025525505255001094501090250105454401090105042245025010901050847440253030530305303030530300569569ln05695生命表可以依据实际同时出生的一批人资料编制不过编制这种生命表需要纵向追踪一批人从生到死的全部过程而且在实际中很难取得完整的原始资料同时该表也只是历史的追述不能说明现在某个时期的死亡水平因此一般不采用实际同批人方法编制生通常采用假设同批人方法编制即把某一时期各个年龄的死亡水平当做同时出生的一批人在一生中经历的各个年龄时的死亡水平看待从而描述某一时期处于不同年龄人群的死亡水平
1、tLx：x岁的人在x~x+t岁间的生存人年数。
人年数（复合单位）：人群存活时间的复合单位。1 个人存活1年是1人年，2个人每人存活半年也是1人 年。
在死亡均匀分布的假设下，x~x+t岁间死亡的人数
tdx平均存活t/2年，活到lx+t的人则存活t年，故有：
t Lx
t lxt
t 2
t dx
t 2
二、x岁余命的生命函数
T(x)：x岁的人未来能生存的时间。其分布函数为：
《保险精算》之三--生命表
∫
x+n
x
µ y dy = − ∫
x+n
x
s'( y) d y = − lns(y) | x + n = − [ln s ( x + n ) − ln s ( x )] x s( y)
= − ln 故有
n
s( x + n) = − ln n p x s( x)
−
x+n
p x = e ∫xµBiblioteka y dy∞ 0ex
正是T(x)随机变量的期望值
p xµ
∞ 0 t
e
x
= E [T ( x )] =
∫
t
t
x + t
dt =
∫
p xdt
23
死亡力
生命表x岁死亡人数dx正是生存人数函数lx+t与死亡力之积在 0~1上的积分
d x = ∫ lx + t µ x + t dt
0
1
生命表x岁生存人年数Lx正是生存人数函数lx+t在0~1上的积分
26
例3.6：已知F0 (t ) = 1 − e
− λt
, λ > 0, 计算µ x 。
解：由已知条件知，f 0 (t ) = λ e − λt , 有 f 0 ( x) λ e−λ x = −λ x = λ; µx = 1 − F0 (t ) e
27
整值平均余寿与中值余寿
x岁的整值平均余寿是指x岁未来平均存活的整数年数， 不包括不满1年的零数余寿，它是整值余寿随机变量K(x) 的期望值，以ex表示，
d x + n lx + n − lx + n + m = = n px − n + m px = n px ⋅m qx + n n｜m q x＝ lx lx
第2章 生命表基础
t +u
px
条件生存函数
进一步地，有：
t |u
qx = Pr(t < T ( x ) ≤ t + u ) = Pr(T ( x ) > t ) ⋅ Pr(T ( x ) ≤ t + u | T ( x ) > t ) = t px ⋅ u qx +t
条件生存函数：
t +u
px =
t |u
px = t p x ⋅ u px +t =
u|t
p x = u p x ⋅ t p x +u
特别地，有：
x +t
p0 = x p0 ⋅ t px
整值剩余寿命
定义：( x)未来存活的完整年数，简记 K ( x)
K ( X ) = k, k ≤ T ( x) < k + 1, k = 0,1,L
概率函数
Pr( K ( X ) = k ) = Pr(k ≤ T ( x) < k + 1) = k +1 qx − k qx = k px − k +1 px = k px ⋅ qx + k = k qx
生命表的特点
构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分布假定（非参 数方法）
生命表的分类
总体上可分为：国民生命表和经验生命表两大类。 国民生命表：完全生命表和简易生命表。 经验生命表：由寿险公司编制。分为： 综合生命表：仅考虑到达年龄（被保人已经达到的年 龄）而不考虑进入年龄（被保人投保时的年龄）。国民 生命表和终极和进入年龄的生命表。 终极生命表：按照承保选择的影响消失后的死亡率数 据编制而成的生命表称为终极表。 选择-终极生命表：选择表和终极表编制在同一张表 格中。
保险精算-第3章2-生命表
3.2.2 生命表的内容
基数: 在生命表中,首先选择初始年龄且假定在 该年龄生存的一个合适的人数. 一般0为初始年龄,基数用 l 0 表示 需要规定极限年龄,用 表示
常用符号
x ：年龄
lx
：生存数，指从初始年龄至满 x 岁尚生存的人。 （1）l x 表示自出生至满 x 岁尚存活人数的期望值。
年龄 x 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 未来一年内死亡概率 q x 0.00133 算出各种 0.00134 0.00137 有用的概率 ： 0.00142 p 34 , q 34 , 2 p 34 , 2 q 34 0.00150 q 34 0.00159 2| 0.00170 0.00183 0.00197 0.00213
q x m p x m 1 p x m p x n q x m
例3.1
已知
l x 10000 (1 x 100 )
计算下面各值：
（1）d ,
30 20
p 30 ,
30
q 30 ,
10
q 30
（2）20岁的人在50~55岁死亡的概率。 （3）该人群平均寿命。
例3.1答案
• 国民生命表是以全体国民或特定地区的人口生 存状况统计资料编制成的 • 经验表是人寿保险公司依据过去其承保的被保 险人实际的生存状况统计资料编制的。
在同一时期内， 国民生命的死亡率一般要高于经验表的死亡率。
国民生命表
1.完全生命表（complete life table） 2.简易生命表（abridged life table） • 完全生命表是根据准确的人口普查资料，依 年龄分别计算死亡率、生存率、平均余命等 生命函数而编制的。 • 简易生命表则采取每年的人口生存状况动态 统计资料和人口抽样调查的资料，按年龄段 （如5岁或10岁为一段）计算的死亡率、生 存率、平均余命等生命函数。
精算
答案
方法一
1.75
p75.25 = 0.75 p75.25 ⋅ p76 = (1− 0.75 q75.25 ) ⋅ p76 0.75q75 ⋅ (1 − q76 ) = 1 − 1 − 0.25q 75 = (1 − 0.045685279) × (1 − 0.07) = 0.88751269
l0
1 5 l1 − l1 + l2 6 1 l1 − l2 1 d1 6 = = × = × = 0.000 113 33 l0 6 l0 6 l0
1 1 l1 l1 − l2 1 d1 或 1 q = p0 i1/ 6 q1 = p0 i q1 = × × = × = 0.000 113 33 1| 6 6 l0 l1 6 l0 6
1, K = 0,1,⋯ , n − 1 bK +1 = 0, K = n, n + 1,⋯
保险金给付在签单时的现值随机变量
v K +1 , K = 0,1,⋯ , n − 1 Z = bK +1vK +1 = K = n, n + 1,⋯ 0, 趸缴净保费
A
1 x: n|
= E (Z ) = ∑ v
计算原理 k +1 E ( Z ) = ∑ bk +1 ⋅ v ⋅ Pr( K = k )
k
= ∑ bk +1 ⋅ v
k
k +1
⋅ k | qx ⋅ k px ⋅ qx + k
= ∑ bk +1 ⋅ v
k
k +1
K的不同上下限，对应着不同的险种 的不同上下限， 的不同上下限
（一）n年定期寿险
给付函数
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当选择效果消失时，死亡率只与年龄有关，如果选择期为r年， 投保期超过r年的同一年龄上的死亡概率相等。此时，死亡 概率可以用qx 表示，有 q[ x r ] r q[ x r 1] r 1 q[ x r 2] r 2 称为终极表。 注记： 由于终极表是选择表中选择效果消失后形成的表， 通常把他们放在一起，形成选择 终极表 由不分投保年数的死亡率资料编制的生命表， 称为综合表。
5.25 q50 Balducci 0.1 0.9
0.25
0.25 0.1050847 44 0.25
3、 30.5UDD
q30 1 1 0.5q30 69.5
69 ) 70 q30 1 30.5 Balducci p30 0.5q30 69.5
30.5 CF ln( p30 ) ln(
2、5.25 q50 5 q50 5 p50 0.25 q55
5 q50 0.1 5 p50 0.9
q55
1 45
5.25
q50 UDD 0.1 0.9 0.25
1 0.105 45 ) 0.1050422
44 q CF 0.1 0.9 (1 5.25 50 45
1 1 t t S0 ( x t ) S0 ( x) S0 ( x 1)
, 0 t 1
死亡均匀分布假设
假设死亡在整数年龄之间均匀发生，此时存活函数是线性的。
S0 ( x t ) (1 t ) S0 ( x) t S0 ( x 1) S0 ( x) t [ S0 ( x 1) S0 ( x)]
t qx
( x为整数， 0 t 1)
S0 ( x) S0 ( x t ) t[ S0 ( x) S0 ( x 1)] tqx S0 ( x ) S0 ( x)
死亡均匀分布假设
t qx y
S0 ( x y ) S0 ( x y t ) tqx S0 ( x y ) 1 yqx
(1 t ) 1 t s( x t ) s ( x) s( x 1)
巴尔杜奇(Balducci)假设
此时，
t qx
tq x 1 (1 t )q x tq x 1 (1 y t )q x
(1 t )q x
t q x y
（其中，0≤t≤1, 0≤y≤1, 0≤t+y≤1）
三种假定
均匀分布假定(线性插值)UDD假设
S0 ( x t ) (1 t )S0 ( x) tS0 ( x 1) , 0 t 1
常数死亡力假定(几何插值)
S0 ( x t ) S0 ( x)(1t ) S0 ( x 1)t
, 0 t 1
Balducci假定(调和插值)
二、选择-终极生命表
在对被保险人依一定的 健康标准加以选择后， 一组被保险人的死亡率 不仅 随年龄而变动，而且随 已投保年限长短变动。 以 q[ x ] n 表示 x岁加入保险， 经过n年在x n岁的死亡概率，有 q[ x ] q[ x 1]1 q[ x 2] 2 这一差异可以忽略不计 。
t dt 0 e t px e
死亡力恒定假设
若以
x1 / 2表示 x t ，有
x 1/ 2 ln px
此时，
tμx1/ 2 p e ( px )t t x
巴尔杜奇(Balducci)假设
以意大利精算师巴尔杜奇的名字命名，这一假设 是当x为整数，0≤t≤1时，生存函数的倒数是t的 线性函数，即
经验数据表明： q[ x n ] n q[ x n 1] n 1的值随着n的增大迅速缩小。一般 当n 10时
选择期：把同一年龄上相邻已投保年数死亡率 差异明显的时期，也称为选择明显期。
•
选择生命表：依据q[ n ] n 编制的生命表。它表明 随年龄和已投保期而变 动 的死亡规律。
1t q x t
三种假定下的生命表函数
函数
ti
t qx 1 (1 t ) qx
qx
tq x
yqx 1 tq x qx 1 tq x
1 e t
e
t
t px
y q x t
1 tqx
1 e y
x t
e t
px 1 (1 t ) qx yqx 1 (1 y t )qx qx 1 (1 t )qx
px qx [1 (1 t ) qx ]2
f x (t )
qx
例：已知
l x 10000 (1
x ) 100
分别在三种分数年龄假定下，计算下面各值：
0.5 30 5.25 50
q ,
q ，30.5
解： 1、q30 l30 l31 1 e p30 69
l30 70
0.5 30
70
q UDD 0.5q30
1 140 69 70
0.5 1 0.5 q30 CF 1 e
0.5 q30 Balducci
0.5q30 1 p30 0.5q30 139
第五节 生命表的编制
一、有关分数年龄的假设
使用背景:
生命表提供了整数年龄上的寿命分布,但有时我们需要分 数年龄上的生存状况,于是我们通常依靠相邻两个整数生 存数据,选择某种分数年龄的生存分布假定， 估计分数 年龄的生存状况
基本原理:插值法 常用方法
均匀分布假定(线性插值) 常数死亡力假定(几何插值) Balducci假定(调和插值)
(0≤t≤１, 0≤y≤１,0≤t+y≤１)
x t
S0 '( x t ) S0 ( x) S0 ( x 1) qx S0 ( x t ) S0 ( x) t[ S0 ( x) S0 ( x 1)] 1 tqx
死亡力恒定假设
当假设死亡力在x~x+1上恒定时， x t (x为整数，0≤t≤1)， d ln t p x 由死亡力的定义， x t dt