江苏省苏州市2017届高三(上)期末数学试卷(解析版)

2016-2017学年江苏省苏州市高三（上）期末数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．若集合A={x|x＞1}，B={x|x＜3}，则A∩B=．2．复数z=，其中i是虚数单位，则复数z的虚部是．3．在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣=1的离心率为．4．用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，已知该校高二年级共有学生300人，则该校学生总数是人．5．一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为0.4，则目标受损但未完全击毁的概率为．6．阅读程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数x的取值范围是．7．已知实数x，y满足，则z=2x﹣y的最大值是．8．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a2=7，S7=﹣7，则a7的值为．9．在平面直角坐标系xOy中，已知过点M（1，1）的直线l与圆（x+1）2+（y ﹣2）2=5相切，且与直线ax+y﹣1=0垂直，则实数a=．10．在一个长方体的三条棱长分别为3、8、9，若在该长方体上面钻一个圆柱形的孔后其表面积没有变化，则圆孔的半径为．11．已知正数x，y满足x+y=1，则的最小值为．12．若2tanα=3tan，则tan（α﹣）=．13．已知函数f（x）=若关于x的方程|f（x）|﹣ax﹣5=0恰有三个不同的实数解，则满足条件的所有实数a的取值集合为．14．已知A，B，C是半径为l的圆O上的三点，AB为圆O的直径，P为圆O内一点（含圆周），则的取值范围为．二、解答题（共6小题，满分90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x．（1）求f（x）的最小值，并写出取得最小值时的自变量x的集合．（2）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，若sinB=2sinA，求a，b的值．16．已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点．求证：（Ⅰ）直线MF∥平面ABCD；（Ⅱ）平面AFC1⊥平面ACC1A1．17．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，并且过点P（2，﹣1）（1）求椭圆C的方程；（2）设点Q在椭圆C上，且PQ与x轴平行，过p点作两条直线分别交椭圆C 于两点A（x1，y1），B（x2，y2），若直线PQ平分∠APB，求证：直线AB的斜率是定值，并求出这个定值．18．某湿地公园内有一条河，现打算建一座桥（如图1）将河两岸的路连接起来，剖面设计图纸（图2）如下，其中，点A，E为x轴上关于原点对称的两点，曲线段BCD是桥的主体，C为桥顶，并且曲线段BCD在图纸上的图形对应函数的解析式为y=（x∈[﹣2，2]），曲线段AB，DE均为开口向上的抛物线段，且A，E分别为两抛物线的顶点．设计时要求：保持两曲线在各衔接处（B，D）的切线的斜率相等．（1）曲线段AB在图纸上对应函数的解析式，并写出定义域；（2）车辆从A经B到C爬坡，定义车辆上桥过程中某点P所需要的爬坡能力为：M=（该点P与桥顶间的水平距离）×（设计图纸上该点P处的切线的斜率）其中M P的单位：米．若该景区可提供三种类型的观光车：①游客踏乘；②蓄电池动力；③内燃机动力，它们的爬坡能力分别为0.8米，1.5米，2.0米，用已知图纸上一个单位长度表示实际长度1米，试问三种类型的观光车是否都可以顺利过桥？19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足=﹣﹣…+（﹣1）n+1，求数列{b n}的通项公式；（3）在（2）的条件下，设c n=2n+λb n，问是否存在实数λ使得数列{c n}（n∈N*）是单调递增数列？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明你的理由．20．已知函数f（x）=（lnx﹣k﹣1）x（k∈R）（1）当x＞1时，求f（x）的单调区间和极值．（2）若对于任意x∈[e，e2]，都有f（x）＜4lnx成立，求k的取值范围．（3）若x1≠x2，且f（x1）=f（x2），证明：x1x2＜e2k．2016-2017学年江苏省苏州市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．若集合A={x|x＞1}，B={x|x＜3}，则A∩B={x|1＜x＜3} ．【考点】交集及其运算．【分析】由集合A={x|x＞1}，B={x|x＜3}，结合集合交集的定义，可得答案．【解答】解：∵集合A={x|x＞1}，B={x|x＜3}，∴A∩B={x|1＜x＜3}，故答案为：{x|1＜x＜3}2．复数z=，其中i是虚数单位，则复数z的虚部是．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z==，∴复数z的虚部是﹣．故答案为：．3．在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣=1的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】直接利用双曲线方程求解双曲线的离心率即可．【解答】解：双曲线﹣=1，可知a=，c=3，则双曲线的离心率为：=．故答案为：．4．用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，已知该校高二年级共有学生300人，则该校学生总数是900人．【考点】分层抽样方法．【分析】用分层抽样的方法抽取一个容量为45的样本，根据其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，得到高二年级要抽取的人数，根据该校高二年级共有学生300人，算出全校共有的人数．【解答】解：∵用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，∴高二年级要抽取45﹣20﹣10=15∵该校高二年级共有学生300人，∴每个个体被抽到的概率是=∴该校学生总数是=900，故答案为：900．5．一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为0.4，则目标受损但未完全击毁的概率为0.4．【考点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式．【分析】由已知条件利用对立事件概率计算公式直接求解．【解答】解：∵一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为0.4，∴P（目标未受损）=0.4，∴P（目标受损）=1﹣0.4=0.6，目标受损分为完全击毁和未完全击毁两种情形，它们是对立事件，P（目标受损）=P（目标受损但未完全击毁）+P（目标受损但击毁），即0.6=P（目标受损但未完全击毁）+0.2，∴P（目标受损但未完全击毁）=0.6﹣0.2=0.4．故答案为：0.4．6．阅读程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数x的取值范围是[﹣2，﹣1] ．【考点】选择结构．【分析】由程序框图可得分段函数，根据函数的值域，即可确定实数x的取值范围．【解答】解：由程序框图可得分段函数：∴令，则x∈[﹣2，﹣1]，满足题意；故答案为：[﹣2，﹣1]7．已知实数x，y满足，则z=2x﹣y的最大值是5．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得：A（3，1），化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线y=2x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为5．故答案为：5．8．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a2=7，S7=﹣7，则a7的值为﹣13．【考点】等差数列的通项公式；等差数列的性质．【分析】由等差数列的通项公式和求和公式可得a1和d的方程组，解方程组由通项公式可得．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a2=7，S7=﹣7，∴，解方程组可得，∴a7=a1+6d=11﹣6×4=﹣13故答案为：﹣13．9．在平面直角坐标系xOy中，已知过点M（1，1）的直线l与圆（x+1）2+（y ﹣2）2=5相切，且与直线ax+y﹣1=0垂直，则实数a=．【考点】圆的切线方程．【分析】由题意，直线ax+y﹣1=0的斜率﹣a==﹣，即可得出结论．【解答】解：由题意，直线ax+y﹣1=0的斜率﹣a==﹣，∴a=．故答案为．10．在一个长方体的三条棱长分别为3、8、9，若在该长方体上面钻一个圆柱形的孔后其表面积没有变化，则圆孔的半径为3．【考点】棱柱的结构特征．【分析】设半径为r，由题意得减少的2个圆的面积=圆柱的侧面积，由此列出方程能求出圆孔的半径．【解答】解：设半径为r，∵在一个长方体的三条棱长分别为3、8、9，在该长方体上面钻一个圆柱形的孔后其表面积没有变化，∴减少的2个圆的面积=圆柱的侧面积，∴2πr2=2πr×3，解得r=3．∴圆孔的半径为3．故答案为：3．11．已知正数x，y满足x+y=1，则的最小值为．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】由条件可得（x+2）+（y+1）=4，则= [（x+2）+（y+1）]（），展开后，运用基本不等式即可得到所求最小值，注意等号成立的条件．【解答】解：正数x，y满足x+y=1，即有（x+2）+（y+1）=4，则= [（x+2）+（y+1）]（）= [5++]≥ [5+2]=×（5+4）=，当且仅当x=2y=时，取得最小值．故答案为：．12．若2tanα=3tan，则tan（α﹣）=．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】利用特殊角的三角函数值及二倍角的正切函数公式可求tan的值，利用已知及两角差的正切函数公式化简所求，即可计算得解．【解答】解：∵tan=1=，整理可得：tan2+2tan﹣1=0，解得：tan=，或﹣1﹣，（舍去），∵2tanα=3tan，可得：tanα=tan=（），∴tan（α﹣）===．故答案为：．13．已知函数f（x）=若关于x的方程|f（x）|﹣ax﹣5=0恰有三个不同的实数解，则满足条件的所有实数a的取值集合为{﹣e，﹣，2， } ．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】作出y=|f（x）|的函数图象，根据直线y=ax+5与y=|f（x）|有3个交点得出两函数图象的关系，从而得出a的值．【解答】解：令f（x）=0得x=2或x=ln5，∵f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，∴|f（x）|=，作出y=|f（x）|的函数图象如图所示：∵关于x的方程|f（x）|﹣ax﹣5=0恰有三个不同的实数解，∴直线y=ax+5与y=|f（x）|有3个交点，∴y=ax+5过点（﹣2，0）或过点（ln5，0）或y=ax+5与y=|f（x）|的图象相切，（1）若y=ax+5过点（﹣2，0），则a=，（2）若y=ax+5过点（ln5，0），则a=﹣，（3）若y=ax+5与y=|f（x）|在（﹣2，0）上的图象相切，设切点为（x0，y0），则，解得a=2，（4）若y=ax+5与y=|f（x）|在（0，ln5）上的图象相切，设切点为（x1，y1），则，解得a=﹣e，∴a的取值集合为{﹣e，﹣，2， }．故答案为{﹣e，﹣，2， }．14．已知A，B，C是半径为l的圆O上的三点，AB为圆O的直径，P为圆O内一点（含圆周），则的取值范围为[﹣，4] ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，把化为3+2•﹣1，利用参数表示点C（cosα，sinα），P（rcosβ，rsinβ）且0≤r≤1；根据三角函数的有界性求出3+2•﹣1的最值即可．【解答】解：根据题意，=﹣，且||=||=||=1，∴=（+）•（+）+（+）•（+）+（+）•（+）=3+2•（++）+•+（+）•=3+2•﹣1，以点O为坐标原点，建立直角坐标系，设点C（cosα，sinα），点P（rcosβ，rsinβ），且0≤r≤1；则3+2•﹣1=3r2﹣2rcos（α﹣β）﹣1，∴3+2•﹣1≤3r2+2r﹣1≤4，且3+2•﹣1≥3r2﹣2r﹣1≥﹣；∴的取值范围是[﹣，4]．故答案为：[﹣，4]．二、解答题（共6小题，满分90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x．（1）求f（x）的最小值，并写出取得最小值时的自变量x的集合．（2）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，若sinB=2sinA，求a，b的值．【考点】余弦定理；三角函数的化简求值．【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x ﹣）﹣1，利用正弦函数的图象和性质即可求解．（2）由已知可求sin（2C﹣）﹣1=0，结合范围0＜C＜π，可求C=，由已知及正弦定理可得b=2a，进而由余弦定理可得a2+b2﹣ab=3，联立即可解得a，b 的值．【解答】（本题满分为14分）解：（1）∵f（x）=sin2x﹣cos2x=sin2x﹣=sin（2x﹣）﹣1， (4)分∴当2x﹣=2kπ﹣，即x=kπ﹣（k∈Z）时，f（x）的最小值为﹣2，…6分此时自变量x的集合为：{x/x=kπ﹣，k∈Z}…7分（2）∵f（C）=0，∴sin（2C﹣）﹣1=0，又∵0＜C＜π，∴2C﹣=，可得：C=，…9分∵sinB=2sinA，由正弦定理可得：b=2a①，又c=，∴由余弦定理可得：（）2=a2+b2﹣2abcos，可得：a2+b2﹣ab=3②，…13分∴联立①②解得：a=1，b=2…14分16．已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点．求证：（Ⅰ）直线MF∥平面ABCD；（Ⅱ）平面AFC1⊥平面ACC1A1．【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）延长C1F交CB的延长线于点N，由三角形的中位线的性质可得MF ∥AN，从而证明MF∥平面ABCD．（2）由A1A⊥BD，AC⊥BD，可得BD⊥平面ACC1A1，由DANB为平行四边形，故NA∥BD，故NA⊥平面ACC1A1，从而证得平面AFC1⊥ACC1A1．【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）延长C1F交CB的延长线于点N，连接AN．因为F是BB1的中点，所以，F为C1N的中点，B为CN的中点．又M是线段AC1的中点，故MF∥AN．又MF不在平面ABCD内，AN⊂平面ABCD，∴MF∥平面ABCD．（Ⅱ）连BD，由直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1 ，可知A1A⊥平面ABCD，又∵BD⊂平面ABCD，∴A1A⊥BD．∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD．又∵AC∩A1A=A，AC，A1A⊂平面ACC1A1，∴BD⊥平面ACC1A1．在四边形DANB中，DA∥BN且DA=BN，所以四边形DANB为平行四边形，故NA∥BD，∴NA⊥平面ACC1A1，又因为NA⊂平面AFC1，∴平面AFC1⊥ACC1A1．17．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，并且过点P（2，﹣1）（1）求椭圆C的方程；（2）设点Q在椭圆C上，且PQ与x轴平行，过p点作两条直线分别交椭圆C 于两点A（x1，y1），B（x2，y2），若直线PQ平分∠APB，求证：直线AB的斜率是定值，并求出这个定值．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）由题意的离心率可得a，b的关系，化椭圆方程为x2+4y2=4b2．结合C过点P（2，﹣1），可得b2的值，进一步求得a2的值，则椭圆方程可求；（2）设直线PA的方程为y+1=k（x﹣2），联立直线方程和椭圆方程，求得A的横坐标，同理求得B的横坐标，进一步求得A、B的纵坐标的差，代入向量公式得答案．【解答】（1）解：由，得，即a2=4b2，∴椭圆C的方程可化为x2+4y2=4b2．又椭圆C过点P（2，﹣1），∴4+4=4b2，得b2=2，则a2=8．∴椭圆C的方程为；（2）证明：由题意，设直线PA的方程为y+1=k（x﹣2），联立，得（1+4k2）x2﹣8（2k2+k）x+16k2+16k﹣4=0．∴，即．∵直线PQ平分∠APB，即直线PA与直线PB的斜率互为相反数，设直线PB的方程为y=1=﹣k（x﹣2），同理求得．又，∴y1﹣y2=k（x1+x2）﹣4k．即=，．∴直线AB的斜率为．18．某湿地公园内有一条河，现打算建一座桥（如图1）将河两岸的路连接起来，剖面设计图纸（图2）如下，其中，点A，E为x轴上关于原点对称的两点，曲线段BCD是桥的主体，C为桥顶，并且曲线段BCD在图纸上的图形对应函数的解析式为y=（x∈[﹣2，2]），曲线段AB，DE均为开口向上的抛物线段，且A，E分别为两抛物线的顶点．设计时要求：保持两曲线在各衔接处（B，D）的切线的斜率相等．（1）曲线段AB在图纸上对应函数的解析式，并写出定义域；（2）车辆从A经B到C爬坡，定义车辆上桥过程中某点P所需要的爬坡能力为：M=（该点P与桥顶间的水平距离）×（设计图纸上该点P处的切线的斜率）其中M P的单位：米．若该景区可提供三种类型的观光车：①游客踏乘；②蓄电池动力；③内燃机动力，它们的爬坡能力分别为0.8米，1.5米，2.0米，用已知图纸上一个单位长度表示实际长度1米，试问三种类型的观光车是否都可以顺利过桥？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）设出方程，利用B为衔接点，即可求出曲线段AB在图纸上对应函数的解析式，并写出定义域；（2）分类讨论，求最值，即可得出结论．【解答】解：（1）由题意A为抛物线的顶点，设A（a，0）（a＜﹣2），则可设方程为y=λ（x﹣a）2（a≤x≤﹣2，λ＞0），y′=2λ（x﹣a）．曲线段BCD在图纸上的图形对应函数的解析式为y=（x∈[﹣2，2]），y′=，且B（﹣2，1），则曲线在B处的切线斜率为，∴，∴a=﹣6，λ=，∴曲线段AB在图纸上对应函数的解析式为y=（﹣6≤x≤﹣2）；（2）设P为曲线段AC上任意一点．①P在曲线段AB上，则通过该点所需要的爬坡能力（M P）1==，在[﹣6，﹣3]上为增函数，[﹣3，﹣2]上是减函数，最大为米；②P在曲线段BC上，则通过该点所需要的爬坡能力（M P）2==（x∈[﹣2，0]），设t=x2，t∈[0，4]，（M P）2=y=．t=0，y=0；0＜t≤4，y=≤1（t=4取等号），此时最大为1米．由上可得，最大爬坡能力为米；∵0.8＜＜1.5＜2，∴游客踏乘不能顺利通过该桥；蓄电池动力和内燃机动力能顺利通过该桥．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足=﹣﹣…+（﹣1）n+1，求数列{b n}的通项公式；（3）在（2）的条件下，设c n=2n+λb n，问是否存在实数λ使得数列{c n}（n∈N*）是单调递增数列？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明你的理由．【考点】数列递推式；数列的求和；数列与函数的综合．【分析】（1）由S n=2a n﹣2（n∈N*），可得a1=2a1﹣2，解得a1=2；n≥2时，a n=S n ，化为：a n=2a n﹣1．即可得出．﹣S n﹣1（2）==﹣﹣…+（﹣1）n+1，n≥2时，=﹣﹣…+，相减可得：b n=（﹣1）n．当n=1时，=，解得b1=．（3）c n=2n+λb n，n≥3时，c n=2n+λ，c n﹣c n﹣1=2n﹣1+＞0，即（﹣1）n•λ＞﹣．①当n为大于或等于4的偶数时，λ＞﹣．②当n为大于或等于3的奇数时，λ＜．当n=2时，c2﹣c1＞0，即λ＜8．即可得出．【解答】解：（1）由S n=2a n﹣2（n∈N*），可得a1=2a1﹣2，解得a1=2；n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2﹣（2a n﹣1﹣2），化为：a n=2a n﹣1．∴数列{a n}是等比数列，公比为2，首项为2．∴a n=2n．（2）∵==﹣﹣…+（﹣1）n+1，∴=﹣﹣…+，∴=（﹣1）n+1，∴b n=（﹣1）n．当n=1时，=，解得b1=．∴b n=．（3）c n=2n+λb n，∴n≥3时，c n=2n+λ，c n﹣1=2n﹣1+（﹣1）n﹣1λ，c n﹣c n﹣1=2n﹣1+＞0，即（﹣1）n•λ＞﹣．①当n为大于或等于4的偶数时，λ＞﹣，即λ＞﹣，当且仅当n=4时，λ＞﹣．②当n为大于或等于3的奇数时，λ＜，当且仅当n=3时，λ＜．当n=2时，c2﹣c1=﹣＞0，即λ＜8．综上可得：λ的取值范围是．20．已知函数f（x）=（lnx﹣k﹣1）x（k∈R）（1）当x＞1时，求f（x）的单调区间和极值．（2）若对于任意x∈[e，e2]，都有f（x）＜4lnx成立，求k的取值范围．（3）若x1≠x2，且f（x1）=f（x2），证明：x1x2＜e2k．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）由题意x＞0，=lnx﹣k，由此根据k≤0，k ＞0利用导数性质分类讨论，能求出函数f（x）的单调区间和极值．（2）问题转化为k+1＞对于x∈[e，e2]恒成立，令g（x）=，则，令t（x）=4lnx+x﹣4，x∈[e，e2]，则，由此利用导数性质能求出实数k的取值范围．（3）设x1＜x2，则0＜x1＜e k＜x2＜e k+1，要证x1x2＜e2k，只要证x2＜，即证＜，由此利用导数性质能证明x1x2＜e2k．【解答】解：（1）∵f（x）=（lnx﹣k﹣1）x（k∈R），∴x＞0，=lnx﹣k，①当k≤0时，∵x＞1，∴f′（x）=lnx﹣k＞0，函数f（x）的单调增区间是（1，+∞），无单调减区间，无极值；②当k＞0时，令lnx﹣k=0，解得x=e k，当1＜x＜e k时，f′（x）＜0；当x＞e k，f′（x）＞0，∴函数f（x）的单调减区间是（1，e k），单调减区间是（e k，+∞），在区间（1，+∞）上的极小值为f（e k）=（k﹣k﹣1）e k=﹣e k，无极大值．（2）∵对于任意x∈[e，e2]，都有f（x）＜4lnx成立，∴f（x）﹣4lnx＜0，即问题转化为（x﹣4）lnx﹣（k+1）x＜0对于x∈[e，e2]恒成立，即k+1＞对于x∈[e，e2]恒成立，令g（x）=，则，令t（x）=4lnx+x﹣4，x∈[e，e2]，则，∴t（x）在区间[e，e2]上单调递增，故t（x）min=t（e）=e﹣4+4=e＞0，故g′（x）＞0，∴g（x）在区间[e，e2]上单调递增，函数g（x）max=g（e2）=2﹣，要使k+1＞对于x∈[e，e2]恒成立，只要k+1＞g（x）max，∴k+1＞2﹣，即实数k的取值范围是（1﹣，+∞）．证明：（3）∵f（x1）=f（x2），由（1）知，函数f（x）在区间（0，e k）上单调递减，在区间（e k，+∞）上单调递增，且f（e k+1）=0，不妨设x1＜x2，则0＜x1＜e k＜x2＜e k+1，要证x1x2＜e2k，只要证x2＜，即证＜，∵f（x）在区间（e k，+∞）上单调递增，∴f（x2）＜f（），又f（x1）=f（x2），即证f（x1）＜，构造函数h（x）=f（x）﹣f（）=（lnx﹣k﹣1）x﹣（ln﹣k﹣1），即h（x）=xlnx﹣（k+1）x+e2k（），x∈（0，e k）h′（x）=lnx+1﹣（k+1）+e2k（+）=（lnx﹣k），∵x∈（0，e k），∴lnx﹣k＜0，x2＜e2k，即h′（x）＞0，∴函数h（x）在区间（0，e k）上单调递增，故h′（x）＜h（e k），∵，故h（x）＜0，∴f（x1）＜f（），即f（x2）=f（x1）＜f（），∴x1x2＜e2k成立．第21页（共21页）。