信号系统习题解答3版.doc

第8章习题答案8-1* 判断下列激励与响应的关系是否为线性的？是否为时不变的？23(1)[]2[]3(2)[][]cos()[]([])(4)[][]85m n y n x n y n x n y n x n y n n m ππ∞=-∞=+=-==∑解：1112221212121212112121(1)[][[]]2[]3,[][[]]2[]3;[[]][]]2{[][]}3;[][][[][[]]2{[][][[][]][][}6;2]]][]3[[T x n x n y n T x n x n y n T x n x n T x n x n x n x n y y n y n T x n m n y n T x n T x n x n x n x n m ==+==++=+++=+=∴+≠+∴-++-+==Q 设根据题意有：但：系统为非线性系统又；1[]y n m -∴综上所述系统为非线系统为时不变系统，性、时不变系统。

111222121212121122123(2)[][[]][]cos(),853[][[]][]cos();853[[]][]]{[][]}cos();853[][][[][[]]{[][]}cos([[][]);85][][n y n T x n x n n y n T x n x n n T x n x n x n x n n y n y n T x n T x n x n x T x n n y n x n y ππππππππ==-==-+=+-+=+=+-∴+=+设根据题意有：且：()111113[]cos();853[][[]][][]cos[]85[]]n T x n m y n m T x n n x n m n m m x n m ππππ∴-----≠-=-=-∴Q 系统为线性系统；系综上所述系统为线统为时变系统，但性、时变系统。

21112222212122212121121222111(3)[][[]]([]),[][[]]([])[[]][]]([][])[][][[][[]][[][]][][][[]]([])([])([[]);y n T x n x n y n T x n x n T x n x n x n x n y n y n T x n T x n x n T x n x n y n y n T x n m y x n x n n m ====+=++=∴+≠+∴-+=+=-Q 系统为非线性系统设根据题意；有：但：且211([][[])]]x n m m T x n m ---==∴系综上所述系统为时不变系统，非统为线性、时不变系统。

111221212122121121211(4)[][],[][],[[]][]]{[][]}[][][[][[]][][],[[[][]][][][[]][]n nm m nm n nm m nm y n x m y n x m T T x n x n y n y n T x n k x n x n x m x m y n y n T x n T x n x m x m x y m k =-∞=-∞=-∞=-∞=-∞=-∞∴+=+∴-===+=++=+=+-∑∑∑∑∑∑Q 设根据题意有：系统为线性：系统；又1111][][[][]][]m m kn knm m n k y n k T x n x m x m k k '=+-'=-∞=-∞'−−−−→-∴-=-=-∴∑∑令系统为时不变系统，综上所述系统为线性、时不变系统。

8-2 列出图题8-2所示系统的差分方程，指出其阶次。

图 题8-2解：1201[][1][2][][1]y n b y n b y n a x n a x n ----=+- 二阶8-3 列出图题8-3所示系统的差分方程，已知边界条件y [-1] = 0，分别求以下输入序列时的输出y [n ]，并绘出其图形（用逐次迭代方法求）。

（1）[][]x n n δ= （2）[][]x n u n = 图 题8-3解：1[][1][]3y n y n x n --=（1） 1[][]3ny n u n ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）311[](())[]223n y n u n =-8-7 用单边z 变换解下列差分方程。

（2）y [n ] + 2y [n -1] = (n -2) u [n ]，y [0] = 1 解：（2）由差分方程得：2(0)3(0)2(1)2(1)22y y y y --+-=-∴-==-差分方程两边同时进行z 变换：12222111222(1)()2(12)[()(1)]21(1)2()(1)(12)(1)(12)()33(1)2(1)(2)(1)3949139(1)2(1)z z Y z z Y z y z z z z z Y z z z z z Y z z z A B C z z z z y z z z z z z ----++-=---=--+-+-+==++-+-+--=++---++-1413[]((2))[]399n y n n u n =-+-y [n ]02341n1y [n ]328-8 *若描述某线性时不变系统的差分方程为：y [n ] - y [n - 1] - 2y [n - 2] = x [n ] + 2x [n - 2]，已知y [-1] = 2，y [-2] = -1/2，x [n ] = u [n ]。

求系统的零输入响应和零状态响应。

解：差分方程两边同时进行Z 变换：12221221211212()()[1]2[()[2][1]]()2()()[12](12)()[1]2[2]2[1]1214()()1212Y z z Y z y z Y z z y zy X z z X z Y z z z z X z y y z Y z z Y z X z z z z z -----------------+-+-=+--=++-+-+-++=+----11214(4)()(2)(1)12zi z z z Y z z z z z---++==-+--1222122312()212121[]2(2)[](1)[]122()()1122()2122321121113[][2(2)(1)][]22zi n n zi zs zs n nzs Y z A A z z z z z y n u n u n z z zY z X z z z z z z Y z B B B z z z z z z z y n u n ----=+=+-+-+=--++==⨯------=++=++-+--+-=+-- 2212222122(),()12212()()()21zs z z zH z X z z z z z z z z Y z H z X z z z z ---++===-----+==⋅---另解：特征根为：121,2αα=-=，设，12[]n n zi y n A B αα=+{1]2,[2]12,2,1y y A B -=-=-==-Q 解得：[][2(2)(1)][]n n zi y n u n ∴=--8-12 对于由差分方程y [n ] + y [n - 1] = x [n ]所表示的因果离散系统： （1）求系统函数H (z )及单位样值响应h [n ]，并说明系统的稳定性； （2）若系统起始状态为零，而且输入x [n ] = 10 u [n ]，求系统的响应y [n ]。

解：（1） 差分方程两边同时进行z 变换：11()()()()1()()11[](1)[]n Y z z Y z X z Y z zH z X z z z h n u n --+=∴===++=-系统的收敛域不包括单位圆，所以不稳定。

210(2)()111055()()()(1)(1)11[]5[1(1)][]n zX z z z z z zY z X z H z z z z z y n u n =>-===+-+-+=+-8-14 * 因果系统的系统函数H (z )如下，试说明这些系统是否稳定。

（1）22822z z z +-- （2）12121252z z z z ------++ （3）23421z z z ++- （4）11211z z z ---+-+解：（1）收敛域为18z +>，包括单位圆，所以稳定。

（2）收敛域为2z >不包括单位圆，所以不稳定。

（3）收敛域为1z >不包括单位圆，所以不稳定。

（4）收敛域为1z >不包括单位圆，所以不稳定。

8-15 已知系统函数为H (z ) = 9.5(0.5)(10)zz z --，分别在z > 10及0.5 <z < 10两种收敛域情况下，求系统的单位样值响应，并说明系统的稳定性与因果性。

解：()9.511(0.5)(10)0.510[][(0.5)10][]10n n H z z z z z z h n u n z ==-----=-> 系统是因果，不稳定的。

[](0.5)[]10[1]0.510n n h n u n u n z=+--<<系统是非因果，稳定的。

8-16 建立图题8-16所示各系统的差分方程，并求单位样值响应h [n ]。

图 题8-16解：（a ）1[][1][]3y n y n x n --= 1[][]3nh n u n ⎛⎫= ⎪⎝⎭（b ）*[]4[2][]y n y n x n --= 1[]2(2)[]2nn h n u n ⎡⎤=+-⎣⎦8-17 利用z 平面零极点分布的几何作图法粗略画出下列各系统函数所对应系统的幅频特性曲线。

（1）H (z ) = 0.5z z - （2）H (z ) = 10.5z - （3）H (z ) = 0.5z z+解：(1)(2)Re(z )jIm(z )0.51ωωH(e j ω)22/3π2π(3)8-18* 已知横向数字滤波器的结构如图题8-18所示。

试以M = 8为例。

（1）写出差分方程；（2）求系统函数H (z )； （3）求单位样值响应h [n ]；（4）画出H (z )的零极点图； （5）粗略画出系统的幅频特性曲线。

图 题8-29解:2117(1)[][][1][2][1][][]M M k kk k y n x n ax n a x n a x n M a x n k a x n k --===+-+-++-+=-=-∑∑L ω-0.51jIm(z)H(e )ωπ2π3/20.5Re(z)jIm(z)0.51ω2 2/3π 2πωH(e j ω)1181110887()1()1()(2)()()110()M M k k k Y z az az H z a z X z az az z a z z z a ------=--====---=>-∑77(3)[][()][()][]{[][8]}k kk n k k h n H z a z a n k a u n u n δ-=====-=--∑∑-1-1Z Z 2812(4)(1,28),,0ji i z aeip a p π====L （7阶）为保证系统稳定，设|a |<1,则零极点图如下：8-25 由下列差分方程画出因果离散系统的结构图，求系统函数H (z )及单位样值响应h [n ]。