江苏省南通市海安高级中学2020-2021学年高二下学期期末数学试题
南通市2020年高二第二学期数学期末达标测试试题含解析
南通市2020年高二第二学期数学期末达标测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知复数z 满足()113i z i -=+，则复数z 在复平面内对应的点为 ( ) A ．()1,2-B ．()2,1-C ．()2,1D ．()1,2--2．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张.不同取法的种数为 A ．232B ．252C ．472D ．4843．从装有3个白球,4个红球的箱子中,随机取出了3个球,恰好是2个白球,1个红球的概率是( ) A ．435B ．635C ．1235D ．363434．已知复数z 满足：32z z =-，且z 的实部为2，则1z -=A ．3BC ．D ．5．将两枚骰子各掷一次，设事件A ={两个点数都不相同}，B ={至少出现一个3点}，则(|)P B A =（ ） A ．13B ．518C ．1011D ．126．设函数()2,21,2x a x f x ax x ⎧+>=⎨+≤⎩，若()f x 的值域为R ，则实数a 的取值范围是( )A ．(,1][2,)-∞-+∞B ．[3,)+∞C ．()3,+∞D ．(0,3]7．黄金螺旋线又名鹦鹉螺曲线，是自然界最美的鬼斧神工。
就是在一个黄金矩形（宽除以长约等于0.6的矩形）先以宽为边长做一个正方形，然后再在剩下的矩形里面再以其中的宽为边长做一个正方形，以此循环做下去，最后在所形成的每个正方形里面画出1/4圆，把圆弧线顺序连接，得到的这条弧线就是“黄金螺旋曲线了。
著名的“蒙娜丽莎”便是符合这个比例，现把每一段黄金螺旋线与其每段所在的正方形所围成的扇形面积设为n c ，每扇形{}n c 的半径设为{},n n a a 满足()*12121,1,,,3n n n a a a a a n N n --===+∈≥，若将{}n c 的每一项按照上图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n 项所占的对应正方形格子的面积之和为n S ，则下列结论错误的是（ ）A ．2111n n n n S a a a +++=+⋅ B ．1221n n a a a a +++⋯+=- C ．()2134n n n n a c c a π+++-=⋅D ．1352121n n a a a a a -+++⋯+=-8．利用数学归纳法证明“1+a+a 2+…+a n+1=，（a ≠1，n N ）”时，在验证n=1成立时，左边应该是（ ） A ．1B ．1+aC ．1+a+a 2D ．1+a+a 2+a 39．已知实数,a b 满足cos cos a b a b ->-，则下列说法错误．．的是（ ） A ． cos cos a b a b +>+ B ．cos cos a b b a ->- C ．sin sin a b a b ->-D ．sin sin a b b a ->-10．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为A ．15B ．625C ．825D ．2511．函数()ln 2x xf x x-=的图象在点()1,2-处的切线方程为( ) A ．240x y --=B ．20x y +=C ．30x y --=D ．10x y ++=12．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，动点E ，F 在棱11A B 上，动点P ，Q 分别在棱AD ，CD 上．若 2E F =，1 A E m =， D Q n =， D P p =（,,m n p 大于零），则四面体PEFQ 的体积A ．与,,m n p 都有关B ．与m 有关，与,n p 无关C ．与p 有关，与,m n 无关D ．与π有关，与,m p 无关二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．若函数()y f x =的反函数为1()f x -，且11()3x f x -+=，则(1)f 的值为________14．半径为R 的圆形铁片剪去一个扇形，用剩下的部分卷一个圆锥．圆锥的体积最大值为______ 15．对于无理数x ,用x 表示与x 最接近的整数,如3π=,32=.设n *∈N ，对于区间11,22n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的无理数x ,定义x xm m C C =,我们知道,若m *∈N ,()n m n *∈N ≤和()r r n *∈N≤,则有以下两个恒等式成立：①m n mn n C C -=；②11r r r m m m C C C -+=+,那么对于正整数n 和两个无理数()0,m n ∈,()1,r n ∈,以下两个等式依然成立的序号是______；①m n m n n C C -=；②11r r r n n n C C C -+=+.16．设函数()f x 的导数为()f x '，且()sin cos 2f x f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭'，则4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭' ． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．近期，某公交公司与银行开展云闪付乘车支付活动，吸引了众多乘客使用这种支付方式．某线路公交车准备用20天时间开展推广活动，他们组织有关工作人员，对活动的前七天使用云闪付支付的人次数据做了初步处理，设第x 天使用云闪付支付的人次为y ，得到如图所示的散点图．由统计图表可知，可用函数y ＝a •b x 拟合y 与x 的关系 （1）求y 关于x 的回归方程；（2）预测推广期内第几天起使用云闪付支付的人次将超过10000人次． 附：①参考数据表中v i ＝lgy i ，7117==∑i v lgy i②参考公式：对于一组数据（u 1，v 1），（u 2，v 2）…，（u n ，v n ），其回归直线v ＝α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β1221==-=-∑∑ni i i n i i u v nuv u nu，αβ=-v u ．18．已知函数()2(0)f x a lnx ax a =+->. （1）求()f x 的最大值()a ϕ； （2）若()0f x ≤恒成立，求a 的值；（3）在（2）的条件下,设[]()()x f x ax g x x a+=-在(,)a +∞上的最小值为,m 求证：11()10f m -<<-.19．（6分）设函数2()2ln f x x x =-，2()2g x x x a =-+++.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若函数()f x 与()g x 在区间(1,3)内恰有两个交点，求实数a 的取值范围. 20．（6分）等差数列{}n a 的前n 项和为46,62,75n S S S =-=-，求数列{||}n a 前n 项和.21．（6分）设函数()212f x x x =--+． （1）解不等式()0f x >；（2）若0x R ∃∈，使得()2024f x m m +<，求实数m 的取值范围．22．（8分）设实部为正数的复数z ，满足1+3i ）z 在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上. (I)求复数z(II)若复数z + m 2(1 +i)-2i 十2m -5为纯虚数，求实数m 的值.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．A 【解析】 【分析】利用复数除法运算，化简z 为i a b +的形式，由此求得z 对应的点的坐标. 【详解】 依题意()()()()13i 1i 13i 24i12i 1i 1i 1i 2z +++-+====-+--+，对应的点为()1,2-，故选A. 【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数对应点的坐标，属于基础题. 2．C 【解析】试题分析：3张卡片不能是同一种颜色，有两种情形：三种颜色或者两种颜色，如果是三种颜色，取法数为，如果是两种颜色，取法数为，所以取法总数为，故选C ．考点：分类加法原理与分步乘法原理．【名师点晴】（1）对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰．（2）当两个原理混合使用时，一般是先分类，在每类方法里再分步． 3．C 【解析】分析：根据古典概型计算恰好是2个白球1个红球的概率.详解：由题得恰好是2个白球1个红球的概率为2134371235C C C =. 故答案为:C.点睛：（1）本题主要考查古典概型，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 古典概型的解题步骤:①求出试验的总的基本事件数n ；②求出事件A 所包含的基本事件数m ；③代公式()P A =A mn=包含的基本事件数总的基本事件个数.4．B【解析】分析：根据题意设2,z bi =+根据题意得到224+1412b b b z i =+⇒=±∴=±，从而根据复数的模的概念得到结果.详解：设2,z bi =+根据题意得到224+1412b b b z i =+⇒=±∴=±则1z -. 故答案为B.点睛：本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算. 5．A 【解析】分析：利用条件概率求(|)P B A .详解：由题得2265()30,()3010,n A A n AB A ===-=所以(|)P B A =()101.()303n AB n A ==故答案为：A. 点睛：（1）本题主要考查条件概率，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 条件概率的公式:()(|)()P AB P B A P A = , (|)P B A =()()n AB n A .6．B 【解析】很明显0a >，且应满足当2x =时，类指数函数的函数值不大于一次函数的函数值，即2221a a +≤⨯+，解得：3a ≥，即实数a 的取值范围是[)3,+∞. 本题选择B 选项.点睛：(1)问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑； (2)求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求． 7．D 【解析】 【分析】根据定义求数列和，利用12n n n a a a --=+化简求解，利用特殊值否定结论. 【详解】由题意得1n S +为以1+2n n a a +，为长和宽矩形的面积，即21111112=(+)n n n n n n n n n S a a a a a a a a +++++++==+⋅；()2221212121344((44))n n n n n n n n n n c c a a a a a a a a ππππ+++++++++⎛⎫-=-=+⋅-=⋅ ⎪⎝⎭； 又32435412121))(((())()n n n n n a a a a a a a a a a a a a +++++---⋯+=++++⋯+--+2221n n a a a ++=-=-，故,,A B C 正确；因为121a a ≠-，所以D 错误,选D. 【点睛】本题考查数列求和以及利用递推关系化简，考查综合分析求解能力，属较难题. 8．C 【解析】考点：数学归纳法．分析：首先分析题目已知用数学归纳法证明：“1+a+a 1+…+a n+1=（a≠1）”在验证n=1时，左端计算所得的项．把n=1代入等式左边即可得到答案． 解：用数学归纳法证明：“1+a+a 1+…+a n+1=（a≠1）”在验证n=1时，把当n=1代入，左端=1+a+a 1． 故选C ． 9．A 【解析】 【分析】设()cos f x x x =-，证明()f x 单调递增，得到a b >，构造函数根据单调性到BCD 正确，取1a =，1b =-，则cos cos a b a b +>+不成立，A 错误，得到答案. 【详解】设()cos f x x x =-，则()'1sin 0f x x =+≥恒成立，故()f x 单调递增，cos cos a b a b ->-，即cos cos a a b b ->-，即()()f a f b >，a b >. 取1a =，1b =-，则 cos cos a b a b +>+不成立，A 错误；设()cos g x x x =+，则()'1sin 0g x x =-≥恒成立，()g x 单调递增， 故()()g a g b >，就cos cos a b b a ->-，B 正确；同理可得：CD 正确. 故选：A . 【点睛】本题考查了根据函数的单调性比较式子大小，意在考查学生对于函数性质的综合应用. 10．A 【解析】 【分析】阳数：1,3,5,7,9，阴数：2,4,6,8,10，然后分析阴数和阳数差的绝对值为5的情况数，最后计算相应概率. 【详解】因为阳数：1,3,5,7,9，阴数：2,4,6,8,10，所以从阴数和阳数中各取一数差的绝对值有：5525⨯=个，满足差的绝对值为5的有：()()()()()1,6,3,8,5,10,7,2,9,4共5个，则51255P ==. 故选：A. 【点睛】本题考查实际背景下古典概型的计算，难度一般.古典概型的概率计算公式：P =目标事件的个数基本本事件的总个数.11．C 【解析】 f′(x)＝21lnxx-，则f′(1)＝1， 故函数f(x)在点(1，－2)处的切线方程为y －(－2)＝x －1，即x －y －3＝0. 故选C 12．C 【解析】 【分析】连接1AD 、1A D 交于点O ，作1//PM AD ，证明1AD ⊥平面11A B CD ，可得出PM ⊥平面EFQ ，于此得出三棱锥P EFQ -的高为2PM p =，再由四边形11A B CD 为矩形知，点Q 到EF 的距离为1A D =EFQ ∆的面积为PEFQ 的体积的表达式，于此可得出结论． 【详解】如下图所示，连接1AD 、1A D 交于点O ，作1//PM AD ，在正方体1111ABCD A B C D -中，CD ⊥平面11AA D D ，且1A D ⊂平面11AA D D ，1AD CD ∴⊥，又四边形11AA D D 为正方形，则11AD A D ⊥，且1CD A D D =，1AD ∴⊥平面11A B CD ，即1AD ⊥平面EFQ ，1//PM AD ，PM ∴⊥平面EFQ ，且12sin 2PM PD ADA p =⋅∠=， 易知四边形11A B CD 是矩形，且142AD =∴点Q 到直线EF 的距离为1AD ，EFQ ∴∆的面积为1112424222EFQ S EF AD ∆=⋅=⨯⨯= 所以，四面体PEFQ 的体积为112442333P EFQ EFQ pV S PM p -∆=⋅=⨯=， 因此，四面体PEFQ 的体积与p 有关，与m 、n 无关，故选C. 【点睛】本题考查三棱锥体积的计算，解题的关键在于寻找底面和高，要充分结合题中已知的线面垂直的条件，找三棱锥的高时，只需过点作垂线的平行线可得出高，考查逻辑推理能力，属于难题． 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．1- 【解析】 【分析】根据反函数的解析式,求得函数()y f x =的解析式,代入即可求得()1f 的值. 【详解】因为函数()y f x =的反函数为1()f x -,且11()3x f x -+= 令13x y +=则13y x +=所以31log y x =-+即函数()31log f x x =-+(0x >)所以()311log 11f =-+=-故答案为: 1- 【点睛】本题考查了反函数的求法,求函数值,属于基础题.14．327R 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，可得222r R h =-，构造关于圆锥体积V 的函数，可得3233V h R h ππ=-+，利用导数可求得最大值.【详解】设圆锥的底面半径为r ，高为h 则222r h R +=，即222r R h =-∴圆锥的体积：()2223213333V r h R h h h R h ππππ=⋅=-=-+则223V h R ππ'=-+，令0V '=，解得：3h R =则0,3h R ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，0V '>；,3h R R ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，0V '<即V 在⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在,R R ⎫⎪⎪⎝⎭上单调递减 323max 333327V R R R R ππ⎛⎫∴=-+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭3R 【点睛】本题考查圆锥体积最值的求解，关键是能够利用圆锥体积公式将所求体积构造为关于圆锥的高的函数，从而可利用导数求解得到函数的最值. 15．①，②.. 【解析】 【分析】根据新定义,结合组合数公式,进行分类讨论即可.【详解】 当1()2m n +>时,由定义可知：m n 〈〉=,01,1m m n n m n m n n n n nn C C C C C C 〈〉-〈-〉======, 当1()2m n +<时,由定义可知：1m n 〈〉=-,11,m m n n m n m n n n n n n C C C n C C C n 〈〉--〈-〉======, 故①m n m n n C C -=成立；当1()2r n +>时,由定义可知：r n 〈〉=,1111111,1r r n r r r r n n n n n n n n n n n C C C n C C C C C C n 〈〉-〈〉〈-〉-+++===++=+=+=+, 当1()2r n +<时,由定义可知： 1r n 〈〉=-,11112111(1)(1)(1),222r r n r r r r n n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C n 〈〉--〈〉〈-〉--++++-+===+=+=+=+=故②11r r r n n n C C C -+=+成立.故答案为：①，②.【点睛】本题考查了新定义题,考查了数学阅读能力,考查了组合数的计算公式,考查了分类讨论思想.16．2-【解析】试题分析：，而，所以，，故填：.考点：导数三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．（1）y ＝100.2x+1.1；（2）预测推广期内第11天起使用云闪付支付的人次将超过10000人次【解析】【分析】（1）先对y ＝a •b x 两边同取以10为底的对数，得到v ＝xlgb+lga ，再根据斜率和截距的的最小二乘法估计得到lgb 和lga ，从而得到,a b ，再写出y 关于x 的线性回归方程；（2）根据（1）所得的线性回归方程，得到100.2x+1.1＞10000，解出x 的范围，得到答案.【详解】（1）由y ＝a •b x ，两边同时取以10为底的对数，得lgy ＝lga+xlgb ，即v ＝xlgb+lga ，由最小二乘法得：lgb 7172221771.4074 2.300.25140747i ii i i x v xv x x ==--⨯⨯===-⨯-∑∑． ∵v ＝xlgb+lga 过点（4，2.10），∴lga ＝2.10﹣0.2×4＝1.1．∴a ＝101.1，b ＝100.2．∴y 关于x 的线性回归方程为y ＝101.1•100.2x ＝100.2x+1.1；（2）由100.2x+1.1＞10000，得0.2x+1.1＞4，解得x ＞10.3．又∵x ∈N*，∴预测推广期内第11天起使用云闪付支付的人次将超过10000人次．【点睛】本题考查最小二乘法求线性回归方程，以及根据线性回归方程进行估算，属于简单题.18．（1）()22ln 2ln2(0)a a a a ϕ=--+>；（2）2；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）()2'(0)ax f x a x-=>，判断函数的单调性即可求解最大值；（2）要使()0f x ≤成立必须()22ln 2ln20a a a ϕ=--+≤，()2'a a aϕ-=，判断单调性求解()()min 20a ϕϕ==即可得解2a =；（3）()22ln 2x x x g x x +=-，得()()()222ln 4'2x x g x x --=-，令()2ln 4u x x x =--判断其单调性进而求得()()20000000min 0022ln 2=22x x x x x g x g x x x x +-===--，得0m x =，再求()0f x 的范围进而得证 【详解】（1）()2'(0)ax f x a x-=>, 由()'0f x >得20x a <<；()'0f x <得2x a >；所以()f x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.故()max 222ln 2ln2f x f a a a ⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭， 即()22ln 2ln2(0)a a a a ϕ=--+>；（2）要使()0f x ≤成立必须()22ln 2ln20a a a ϕ=--+≤.因为()2'a a aϕ-=，所以当02a <<时，()'0a ϕ<；当2a >时，()'0a ϕ>.所以()a ϕ在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增.又()()min 20a ϕϕ==，所以满足条件的a 只有2，即2a =.（3）由（2）知()22ln 2x x x g x x +=-，所以()()()222ln 4'2x x g x x --=-. 令()2ln 4u x x x =--，则()2'0x u x x-=>，()u x 是()2,+∞上的增函数；又()()80,90u u ，所以存在()08,9x ∈满足()00u x =，即002ln 4x x =-，且当()02,x x ∈时，()()0,'0u x g x <<；当()0,x x ∈+∞，()()0,'0u x g x >>所以()g x 在()02,x 上单调递减；在()0,x +∞上单调递增.所以()()20000000min 0022ln 2=22x x x x x g x g x x x x +-===--，即0m x =. 所以()()000022ln 2=21110f m f x x x x ==+---∈--（，），即()1110f m -<<-.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性及最值，考查了零点存在定理和数学转化思想，在（3）的证明过程中，利用零点存在定理转化是难点属中档题．19． (1)(0,1];(2)(2ln35,2ln 24)--.【解析】分析：（1）求函数()f x 的导数，解()'0f x >便得增区间．（2）要使函数()f x 与()g x 在区间()1,3内恰有两个交点，也就是让函数()f x g x -（）在[1，3]() 1,3内有两个零点，令()()()2ln 2h x f x g x x x a =-=---，下面要做的就是考查()h x 在区间()1,3内最值情况，若有最大值，则限制最大值大于0，然后两个端点值都小于0，若有最小值，情况恰好相反． 详解：（1）()()221'x f x x -=，∵0x >，()0,1x ∈时，()'0f x >，所以函数()f x 的单调递增区间是(]0,1.（2）令()()()2ln 2h x f x g x x x a =-=---，则()2'x h x x -=， ∴()1,2x ∈时，()'0h x >，()2,3x ∈时，()'0h x <，∴()2h 是()h x 的极大值，也是()h x 在()1,3上的最大值.∵函数()f x 与()g x 在区间()1,3内恰有两个交点，∴函数()h x 在区间()1,3内有两个零点，则有()20h >，()10h <，()30h <.所以有2240302350ln a a ln a -->⎧⎪--<⎨⎪--<⎩. 解得2ln352ln24a -<<-，所以a 的取值范围是()2ln35,2ln24--.点睛：利用导数求函数的单调区间，这个不难掌握，注意做第二题()20h >，()10h <，()30h <.，这几个限制条件的得出，并掌握做这类题的方法．.20．2243,172343154,822n n n n T n n n ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩ 【解析】【分析】由已知条件利用等差数列前n 项和公式求出公差和首项，由此能求出323n a n =-，且780,0a a <>，当17n ≤≤时，24332n n n n T S -=-=，当8n ≥时，234315422n T n n =-+。
2020年江苏省南通市数学高二第二学期期末达标测试试题含解析
2020年江苏省南通市数学高二第二学期期末达标测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．同时具有性质“①最小正周期是π”②图象关于,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称；③在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上是增函数的一个函数可以是（ ） A ．4sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ B ．sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．2cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭2．某校学生一次考试成绩X （单位：分）服从正态分布N （110，102），从中抽取一个同学的成绩ξ，记“该同学的成绩满足90＜ξ≤110”为事件A ，记“该同学的成绩满足80＜ξ≤100”为事件B ，则在A 事件发生的条件下B 事件发生的概率P （B|A ）＝（ ）附：X 满足P （μ﹣σ＜X ≤μ+σ）＝0.68，P （μ﹣2σ＜X ≤μ+2σ）＝0.95，P （μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）＝0.1． A ．2795B ．3195C ．2799D ．31993． “4ab =”是“直线210x ay +-=与直线220bx y +-=平行”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要4．已知复数z 满足1iz i =-，则其共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．已知函数()2321f x x x =--+, ()g x =(),t ∀∈-∞+∞,[]1,7s ∃∈，使()()(0)f t a g s a +≤>成立，则实数的a 取值范围是( ) A ．(]0,2B ．(]2,3 C ．[]3,6D ．[)4,+∞ 6．若{}{}1,21,2,3,4,5A ⊆⊆则满足条件的集合A 的个数是( ) A ．6B ．7C ．8D ．97．从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有 （ ） A ．210种B ．420种C ．630种D ．840种8．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14B ．8π C ．12D ．4π 9．已知集合{}|1,M x a x a a =<+∈Z …，{}23|log 2P x x =…，若图中的阴影部分为空集，则a 构成的集合为（ ）A ．{}2,1,1,2--B ．{}3,2,1,0,1,2---C ．{}2,1,0,1,2--D ．{}3,2,1,1,2---10．某三棱柱的底面是边长为2的正三角形，高为6，则该三棱柱的体积为 A ．23B ．43C ．63D ．8311．某地区高考改革，实行“321++”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“2”指在化学、生物、政治、地理四门科目中必选两门，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，则一名学生的不同选科组合有多少种？（ ） A ．8种B ．12种C ．16种D ．20种12．在一段线路中并联着两个独立自动控制的开关，只要其中一个开关能够闭合，线路就可以正常工作.设这两个开关能够闭合的概率分别为0.5和0.7，则线路能够正常工作的概率是（ ） A ．0.35B ．0.65C ．0.85D ．二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．设每门高射炮命中飞机的概率为0.06，且每一门高射炮是否命中飞机是独立的，若有一敌机来犯，则需要______门高射炮射击，才能以至少99%的概率命中它．14．已知函数32()6(0)f x ax ax b a =-+>，使()f x 在[1,2]-上取得最大值3，最小值-29，则b 的值为__________．15．若复数z 满足()12i Z i +=（i 为虚数单位），则Z 的共轭复数Z =__________．16．已知球的半径为24cm ，一个圆锥的高等于这个球的直径，而且球的表面积等于圆锥的表面积，则这个圆锥的体积是__________ cm 1．（结果保留圆周率π）17．选修4-5：不等式选讲 已知函数() 1.f x ax =-（1）若()2f x ≤的解集为[]3,1-，求实数a 的值；（2）若1a =，若存在x ∈R ，使得不等式()()21132f x f x m +--≤-成立，求实数m 的取值范围. 18．某中学一名数学老师对全班50名学生某次考试成绩分男女生进行统计，其中120分（含120分）以上为优秀，绘制了如图所示的两个频率分布直方图：（1）根据以上两个直方图完成下面的22⨯列联表： 性别 成绩 优秀 不优秀 总计 男生 女生 总计（2）根据（1）中表格的数据计算，你有多大把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系？0k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828()20P K k ≥0.15 0.100.05 0.025 0.010 0.005 0.001附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.19．（6分）某企业开发一种新产品，现准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q （万件）与广告费x （万元）之间的函数关系为()320x Q x x-=>，已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需要投入32万元，若年销售额为“年生产成本的150%”与“年广告费的50%”之和，而当年产销量相等：（1）试将年利润y （万元）表示为年广告费x （万元）的函数；20．（6分）已知函数()()222ln 02a a f x a x x ax a +=-+≠.（1）当3a =时，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 在1x =处取得极大值，求a 的取值范围.21．（6分）甲乙两个学校高三年级分别有1100人，1000人，为了了解两个学校全体高三年级学生在该地区一模考试的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两个学校一共抽取了105名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下：（1）计算x ，y 的值；（2）若规定考试成绩在[]120150,为优秀，请根据样本估计乙校数学成绩的优秀率； （3）若规定考试成绩在[]120150,内为优秀，由以上统计数据填写下面22⨯列联表，若按是否优秀来判断，是否有95%的把握认为两个学校的数学成绩有差异.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.22．（8分）某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款（年底余额），如下表1： 年份x20112012 2013 2014 2015 储蓄存款y （千亿元） 567810为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，2010,5t x z y =-=-得到下表2： 时间代号t 1 2 3 4 5 z1235（Ⅰ）求z 关于t 的线性回归方程；（Ⅱ）通过（Ⅰ）中的方程，求出y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）用所求回归方程预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达多少？（附：对于线性回归方程ˆˆˆybx a =+，其中1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nx yb ay bx xnx ==-⋅==--∑∑） 参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．B 【解析】 【分析】利用所给条件逐条验证，最小正周期是π得出2ω=，把②③分别代入选项验证可得. 【详解】 把6x π=代入A 选项可得sin()0y π=-=，符合；把6x π=代入B 选项可得sin 00y ==，符合；把6x π=代入C 选项可得cos 1y π==-，不符合，排除C ；把6x π=代入D 选项可得sin12y π==，不符合，排除D ； 当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，4452[,]336x πππ-∈--，此时为减函数；当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，πππ2[,]336x -∈-，此时为增函数；故选B. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，侧重考查直观想象的核心素养. 2．A 【解析】 【分析】利用条件概率公式，即可得出结论. 【详解】由题意()0.475P A =，()()10.990.680.155P B =-=，()()10.950.680.1352P AB =-=， 所以()()()0.135270.47595P AB P B A P A ===， 故选A 项. 【点睛】本题考查条件概率的计算，正态分布的简单应用，属于简单题. 3．B 【解析】 【分析】 【详解】0a =时，直线210x ay +-=与直线220bx y +-=不平行，所以直线210x ay +-=与直线220bx y +-=平行的充要条件是2221b a -=≠-， 即4ab =且1(4)a b ≠≠，所以“4ab =”是直线210x ay +-=与直线220bx y +-=平行的必要不充分条件． 故选B ． 4．B 【解析】分析：先求出z ，然后根据共轭复数定义结合复数坐标写法即可. 详解：由题可知：11,1iz i z i i-==--=-+，所以所对应的坐标为（-1,1），故在第二象限，选B. 点睛：考查复数的除法运算，复数的坐标表示，属于基础题. 5．A 【解析】由题意得“对(),t ∀∈-∞+∞,[]1,7s ∃∈，使()()(0)f t a g s a +≤>成立”等价于“max max ()()f x a g x +≤”．∵()2321(23)(21)4f x x x x x =--+=≤--+=，当且仅当(23)(21)0x x -⋅+≥时等号成立． ∴max ()4f x =．在()g x =1070x x -≥⎧⎨-≤⎩，解得17x ≤≤．令43cos ,[0,]x θθπ=+∈，则()g x ==(sin)sin()6222θθθϕ==+≤，（其中tan ϕ=． ∴max ()6g x =．由46a +≤，解得2a ≤， 又0a >，故02a <≤，∴实数的a 取值范围是(0,2]．选A ． 点睛：（1）对于求y x a x b ＝－＋－或y x a x b ＝＋－－型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．形如y x a x b ＝－＋－的函数只有最小值，形如y x a x b ＝＋－－的函数既有最大值又有最小值．（2）求函数的最值时要根据函数解析式的特点选择相应的方法，对于含有绝对值符号的函数求最值时，一般采用换元的方法进行，将问题转化为二次函数或三角函数的问题求解． 6．C 【解析】 【分析】根据题意A 中必须有1，2这两个元素，因此A 的个数应为集合{3,4，5}的子集的个数． 【详解】解：{}{}1,21,2,3,4,5A ⊆⊆Q ，∴集合A 中必须含有1，2两个元素，因此满足条件的集合A 为{}1,2，{}1,2,3，{}1,2,4，{}1,2,5，{}1,2,3,4，{}1,2,3,5，{}1,2,4,5，{}1,2,3,4,5共8个．故选C ． 【点睛】本题考查了子集的概念，熟练掌握由集合间的关系得到元素关系是解题的关键.有n 个元素的集合其子集共有2n 个. 7．B 【解析】依题意可得，3位实习教师中可能是一男两女或两男一女．若是一男两女，则有123543C C A ⋅⋅种选派方案，若是两男一女，则有213543C C A ⋅⋅种选派方案．所以总共有123213543543420C C A C C A ⋅⋅+⋅⋅=种不同选派方案，8．B 【解析】设正方形边长为a ，则圆的半径为2a ，正方形的面积为2a ，圆的面积为2π4a .由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是221ππ248a a ⋅=，选B. 点睛:对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A 区域的几何度量，最后计算()P A . 9．D 【解析】 【分析】先化简集合P ，注意0x ≠，由题意可知，M P ⊆，确定a 即可 【详解】Q {}{23|log 2|30P x x x x ≤==-≤<或}03x <≤，图中的阴影部分为空集，M P ∴⊆310a a ≥-⎧∴⎨+<⎩或013a a >⎧⎨+≤⎩，即30a -≤<或02a <≤又a Z ∈Q ，{}3,2,1,1,2a ∴∈---，故选D 【点睛】考查维恩图的识别、对数计算、列举法及集合的关系 10．C 【解析】 【分析】V S h =⋅计算结果.【详解】因为底面是边长为2的正三角形，所以底面的面积为12222⨯⨯⨯=6=．【点睛】本题考查了棱柱的体积公式，属于简单题型.根据题意，分3步进行分析该学生在“语文、数学、外语三门”、“化学、生物、政治、地理四门”、“物理、历史两门”中的选法数目，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分3步进行分析：①语文、数学、外语三门必考科目，有1种选法；②在化学、生物、政治、地理四门科目中必选两门，有246C =种选法； ③在物理、历史两门科目中必选一门，有121C =种选法；则这名学生的不同选科组合有16212⨯⨯=种. 故选：B ． 【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题． 12．C 【解析】试题分析：线路能够了正常工作的概率=1(10.5)(10.7)10.150.85---=-=,故选C. 考点：独立事件，事件的关系与概率.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．75 【解析】 【分析】设需要n 门高射炮，由题意得出()110.060.99n--≥，解出n 的取值范围，可得出正整数n 的最小值. 【详解】设需要n 门高射炮，则命不中的概率为()10.06n -，由题意得出10.940.99n-≥，得0.940.01n≤，解得0.942log 0.01lg 0.94n ≥=-，而274.43lg 0.94-≈，因此，至少需要75门高射炮.故答案为：75. 【点睛】本题考查独立事件概率乘法公式的应用，在涉及“至少”问题时，可以利用对立事件的概率公式来进行计分析：求函数的导数，可判断()f x 在[]1,2-上的单调性，求出函数在闭区间上[]1,2-的极大值，可得最大值，从而可得结果.详解：函数的()f x 的导数()()2'31234f x ax ax ax x =-=-，0a >Q ，∴由()'0f x <解得04x <<，此时函数单调递减.由()'0f x >，解得4x >或0x <，此时函数单调递增. 即函数在[]1,0-上单调递增，在[]0,2上单调递减，即函数在0x =处取得极大值同时也是最大值，则()03f b ==，故答案为3.点睛：本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值与最值，属于难题.求函数()f x 极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数()f x '；(3) 解方程()0,f x '=求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么()f x 在0x 处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小. 15．2155i - 【解析】 【分析】先由复数的除法运算，求出复数Z ，进而可得出其共轭复数. 【详解】因为()12i Z i +=，所以(12)22112(12)(12)555i i i i Z i i i i -+====+++-， 因此其共轭复数为2155Z i =- 故答案为2155i - 【点睛】本题主要考查复数的运算，以及共轭复数，熟记运算法则与共轭复数的概念即可，属于基础题型. 16．312288πcm结合球的表面积等于圆锥的表面积，建立等式，计算半径r ，利用体积计算公式2V r h π=⋅，即可。
2020年江苏省南通市数学高二下期末达标测试试题含解析
2020年江苏省南通市数学高二下期末达标测试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．现有4种不同品牌的小车各2辆(同一品牌的小车完全相同),计划将其放在4个车库中（每个车库放2辆则恰有2个车库放的是同一品牌的小车的不同放法共有（ ） A ．144种 B ．108种 C ．72种 D ．36种【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分3步进行分析：①、在4种不同品牌的小车任取2个品牌的小车，②、将取出的2个品牌的小车任意的放进2个车库中，③、剩余的4辆车放进剩下的2个车库，相同品牌的不能放进同一个车库，分别分析每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】解：根据题意，分3步进行分析：①、在4种不同品牌的小车任取2个品牌的小车，有C 42种取法， ②、将取出的2个品牌的小车任意的放进2个车库中，有A 42种情况，③、剩余的4辆车放进剩下的2个车库，相同品牌的不能放进同一个车库，有1种情况， 则恰有2个车库放的是同一品牌的小车的不同放法共有C 42A 42×1＝72种， 故选：C ．点睛：能用分步乘法计数原理解决的问题具有以下特点： (1)完成一件事需要经过n 个步骤，缺一不可． (2)完成每一步有若干种方法．(3)把各个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数．2．把座位编号为1，2，3，4，5，6的六张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人最多得两张，甲、乙各分得一张电影票，且甲所得电影票的编号总大于乙所得电影票的编号，则不同的分法共有（ ） A ．90种 B ．120种 C ．180种 D ．240种【答案】A 【解析】 【分析】从6张电影票中任选2张给甲、乙两人，共26C 种方法；再将剩余4张票平均分给丙丁2人，共有2242C C 种方法；根据分步乘法计数原理即可求得结果. 【详解】分两步：先从6张电影票中任选2张给甲，乙两人，有26C 种分法；再分配剩余的4张，而每人最多两张，所以每人各得两张，有2242C C 种分法， 由分步原理得，共有222642C C C 90=种分法． 故选：A 【点睛】本题主要考查分步乘法计数原理与组合的综合问题.3．若6234560123456(2)(1)(1)(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x a x a x a x +=++++++++++++，则2a = A ．10 B ．15 C ．30 D ．60【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】分析：由于()()()()()66260126666621111...1x x C C x C x C x +=++=+++++++ ，与已知对比可得2a 的值1．详解：由于()()()()()66260126666621111...1x x C C x C x C x +=++=+++++++ ，与已知()()()()()()()62345601234562111111x a a x a x a x a x a x a x +=++++++++++++对比可得22615.a C ==故选B.点睛：本题考查二项式定理的应用，观察分析得到6rr a C =是关键，考查分析与转化的能力，属于中档题．4．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与双曲线22222:1(0,0)x y C m n m n -=>>有相同的焦点12F F ，，点P 是两曲线的一个公共点，且1260F PF ︒∠=，若椭圆离心率1e =则双曲线2C 的离心率2e =（ ）A ．2B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】设1||PF s =，2||PF t =，由椭圆和双曲线的定义，解方程可得s ，t ，再由余弦定理，可得a ，m 与c 的关系，结合离心率公式，可得1e ，2e 的关系，计算可得所求值． 【详解】设1||PF s =，2||PF t =，P 为第一象限的交点， 由椭圆和双曲线的定义可得2s t a +=，2s t m -=， 解得s a m =+，t a m =-， 在三角形12F PF 中，1260F PF ∠=︒，可得22222222242cos6022()c s t st a m am a m am a m =+-︒=++++---， 即有22234a m c +=，可得222234a m c c+=，即为2212134e e +=，由1e =2e =，故选B ． 【点睛】本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，主要是离心率，考查解三角形的余弦定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．5．已知函数()f x 的定义域为D ，若对于,,a b c D ∀∈，(),(),()f a f b f c 分别为某三角形的三边长，则称()f x 为“三角形函数”.给出下列四个函数：①()(0)xf x e x =>②2()3(01)f x x x =+≤≤③12()(14)f x x x =≤≤④22()21x xf x +=+.其中为“三角形函数”的个数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B 【解析】 【分析】根据构成三角形条件，可知函数需满足max min min ()()()f x f x f x -<，由四个函数解析式，分别求得其值域，即可判断是否满足不等式成立. 【详解】根据题意，对于,,a b c D ∀∈，(),(),()f a f b f c 分别为某三角形的三边长，由三角形性质可知需满足max min min ()()()f x f x f x -<：对于①，()(0)xf x e x =>，如当1,1,10a b c ===时不能构成三角形，所以①不是“三角形函数”；对于②，2()3(01)f x x x =+≤≤，则[]()3,4f x ∈，满足max min min ()()()f x f x f x -<，所以②是“三角形函数”；对于③，12()(14)f x x x =≤≤，则[]()1,2f x ∈，当1,1,2a b c ===时不能构成三角形，所以③不是“三角形函数”；对于④，221()12121x x xf x +==+++，由指数函数性质可得()()1,2f x ∈，满足max min min ()()()f x f x f x -<，所以④是“三角形函数”；综上可知，为“三角形函数”的有②④， 故选：B. 【点睛】本题考查了函数新定义的综合应用，函数值域的求法，三角形构成的条件应用，属于中档题. 6．已知3,2a b ==，且()a ab ⊥-，则向量a 在b 方向上的投影为（ ）A ．1 BC ．32D ．2【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】分析：由()a ab ⊥-推导出()20a a b a a b ⋅-=-⋅=，从而3cos ,2a b =，由此能求出向量a 在向量b 方向上的投影.详解：3,2a b ==，且()a ab ⊥-，()2332cos ,0a a b a a b a b ∴⋅-=-⋅=-⨯⨯=，3cos ,2a b ∴=，∴向量a 在向量b 方向上的投影为3cos ,32a ab =⨯=，故选C.点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b θ⋅=，二是1212a b x x y y ⋅=+，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， cos a b a bθ=（此时a b 往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a 在b 上的投影是a b b⋅；（3）,a b 向量垂直则0a b ⋅=;(4)求向量ma nb + 的模（平方后需求a b ⋅）.7．已知21nx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中x 的系数为（ ）A ．5B ．10C ．20D ．40【答案】B 【解析】 【分析】首先根据二项展开式的各项系数和012232n n n n n n C C C C +++==，求得5n =，再根据二项展开式的通项为211()()r rn rr n T C x x-+=，求得2r，再求二项展开式中x 的系数.【详解】因为二项展开式的各项系数和012232n n n n n n C C C C +++==，所以5n =，又二项展开式的通项为211()()r rn rr n T C x x-+==3r r n n C x -，351r -=，2r所以二项展开式中x 的系数为2510C =．答案选择B ．【点睛】本题考查二项式展开系数、通项等公式，属于基础题． 8．已知1yx i i=+-，其中x 、y 是实数，i 是虚数单位，则复数x yi +的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】 【分析】 由1yx i i=+-得()11y x x i =++-，根据复数相等求出x y ，的值，从而可得复数x yi +的共轭复数，得到答案. 【详解】 由1yx i i=+-有()()()111y i x i x x i =-+=++-，其中x 、y 是实数. 所以110x y x +=⎧⎨-=⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩，所以1+2x yi i +=则复数x yi +的共轭复数为12i -，则12i -在复平面内对应的点为()12-，. 所以复数x yi +的共轭复数对应的点位于第四象限.故选：D 【点睛】本题考查复数的运算和根据复数相等求参数，考查复数的概念，属于基础题.9．已知各棱长均相等的正三棱锥、正四棱锥、正五棱锥的侧面与底面所成角的大小分别为αβγ，，，则（ ） A ．αβγ== B ．αβγ<< C ．αβγ>> D ．前三个答案都不对【答案】C 【解析】 【分析】通过作出图形，分别找出正三棱锥、正四棱锥、正五棱锥的侧面与底面所成角，通过计算余弦值比较大小即可知道角度大小关系. 【详解】如图，正三棱锥P ABC -，正四棱锥P ABCD -，正五棱锥P ABCDE -，设各棱长都为2，在正三棱锥中，取AC 中点D ，连接PD,BD ，可知PDB ∠即为侧面与底面所成角，可知，==3PD BD ，由余弦定理得1cos 3α=；同理3cos β=，11cos 12γ=，于是cos cos cos αβγ<<，而由于αβγ，，为锐角，所以αβγ>>，故选C.【点睛】本题主要考查面面角的相关计算，意在考查学生的转化能力，空间想象能力，计算能力，难度中等. 10．设()f x '是偶函数()()0f x x ≠的导函数，当()0,x ∈+∞时，()()20xf x f x -'>，则不等式()()()242019201920f x x f +-+-<的解集为（ ）A ．(),2021-∞-B ．()()2021,20192019,2017----C ．()2021,2017--D ．()(),20192019,2017-∞---【答案】B 【解析】 【分析】 设()()2f x F x x=，计算()0F x '>，变换得到()()20192F x F +<-，根据函数()F x 的单调性和奇偶性得到20192x +<，解得答案. 【详解】由题意()()()200xf x f x x '->>，得()()220x f x xf x '->，进而得到()()2420x f x xf x x'->，令()()2f x F x x =， 则()()()2420x f x xf x F x x'-'=>，()()224f F --=，()()()2201920192019f x F x x ++=+. 由()()()242019201920f x x f +-+-<，得()()()22019242019f x f x +-<+， 即()()20192F x F +<-.当()0,x ∈+∞时，()0F x '>，()F x ∴在()0,∞+上是增函数. 函数()f x 是偶函数，()()2f x F x x∴=也是偶函数，且()F x 在(),0-∞上是减函数， 20192x ∴+<，解得20212017x -<<-，又20190x +≠，即2019x ≠-，()()2021,20192019,2017x ∴∈----.故选：B . 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性和单调性解不等式，构造函数()()2f x F x x =，确定其单调性和奇偶性是解题的关键.11．在数学兴趣课堂上，老师出了一道数学思考题，某小组的三人先独立思考完成，然后一起讨论.甲说：“我做错了！”乙对甲说：“你做对了！”丙说：“我也做错了！”老师看了他们三人的答案后说：“你们三人中有且只有一人做对了，有且只有一人说对了.”请问下列说法正确的是（ ） A ．乙做对了 B ．甲说对了C ．乙说对了D ．甲做对了【答案】B分三种情况讨论：甲说法对、乙说法对、丙说法对，通过题意进行推理，可得出正确选项. 【详解】分以下三种情况讨论：①甲的说法正确，则甲做错了，乙的说法错误，则甲做错了，丙的说法错误，则丙做对了，那么乙做错了，合乎题意；②乙的说法正确，则甲的说法错误，则甲做对了，丙的说法错误，则丙做对了，矛盾；③丙的说法正确，则丙做错了，甲的说法错误，则甲做对了，乙的说法错误，则甲做错了，自相矛盾. 故选：B. 【点睛】本题考查简单的合情推理，解题时可以采用分类讨论法进行假设，考查推理能力，属于中等题.12．在一个袋子中装有12个除颜色外其他均相同的小球，其中有红球6个、白球4个、黄球2个，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸3次，则记下的颜色中有红有黄但没有白的概率为（ ） A ．13B ．14C ．16D ．18【答案】C 【解析】分析：由已知得取出的3球中有2红1黄或2黄1红，2红1黄的情况有3种，2黄1红的情况也有3种，由此能求出记下的颜色中有红有黄但没有白的概率.详解：从袋中随机摸出一个球，摸到红球、白球、黄球的概率分别为111,,236， 由已知得取出的3球中有2红1黄或2黄1红， 2红1黄的情况有3种，2黄1红的情况也有3种，∴下的颜色中有红有黄但没有白的概率为1111111332266626P =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=.故选：C.点睛：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率计算公式的合理运用. 二、填空题：本题共4小题 13．多项式()5122x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，含2x 项的系数是________. 【答案】200 【解析】 【分析】根据题意，由二项式定理可得，()52x +的通项公式为5152r r rr T C x -+=，令2,3r r ==，求出对应1r T +的根据题意，由二项式定理可得，()52x +的通项公式为5152r r rr T C x -+=，当2r时，可得232235280T C x x ==，当3r =时，可得323345240T C x x ==，所以多项式()5122x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，含2x 的项为232128040200x x x x⨯+⋅=， 故多项式()5122x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，含2x 项的系数为200. 故答案为：200 【点睛】本题考查利用二项式定理求二项展开式中某项的系数；考查运算求解能力；熟练掌握二项展开式的通项公式是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.14．已知,αβ表示两个不同的平面,m 为平面α内的一条直线,则“,αβ构成直二面角”是“m β⊥”的______条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”“或”“既不充分也不必要”）. 【答案】必要不充分 【解析】 【分析】根据直二面角的定义、面面垂直的判定理、充分性、必要性的定义可以直接判断. 【详解】,αβ构成直二面角,说明平面,αβ互相垂直,但是m β⊥不一定成立,比如这两个相交平面的交线显然是平面α内的一条直线,它就不垂直于平面β；当m β⊥时, m 为平面α内的一条直线,由面面垂直的判定定理可知：,αβ互相垂直,因此,αβ构成直二面角,故由m β⊥可以推出,αβ构成直二面角,故“,αβ构成直二面角”是“m β⊥”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分 【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断,考查了面面垂直的判定定理. 15．正方体中异面直线与所成角的大小为______.【答案】【解析】 【分析】由正方体的性质可以知道：,根据异面直线所成角的定义,可以知道就是异面直线与所成角,根据正方体的性质可以求出的大小.【详解】如图所示：连接,因为,所以就是异面直线与所成角,而是正方体面的对角线,它们相等,故三角形是等边三角形,所以,因此异面直线与所成角的大小为.故答案为【点睛】本题考查了异面直线所成的角,掌握正方体的性质是解题的关键.16．计算233398log3(2)27-⎛⎫+-⎪⎝⎭______.【答案】1 2【解析】【分析】利用指数运算、对数运算的性质即可得出．【详解】原式2332lg3 ()23⎛⎫⨯-⎪⎝⎭=-9112442 =+-=．故答案为：12．【点睛】本题考查了指数运算性质，对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2020年南通市名校数学高二下期末综合测试试题含解析
2020年南通市名校数学高二(下)期末综合测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．某地举办科技博览会，有3个场馆，现将24个志愿者名额分配给这3个场馆，要求每个场馆至少有一个名额且各场馆名额互不相同的分配方法共有（ ）种 A ．222B ．253C ．276D ．2842．某快递公司共有3人，从周一到周日的七天中，每天安排一人送货，每人至少送货2天，其不同的排法共有（ ）种. A ．1060B ．5040C ．630D ．2103．如图是由正方体与三棱锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A ．B ．C ．D ．4．函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图象如图所示，则导函数'()y f x =可能为（ ）A ．B ．C ．D ．5．函数()12ln 1xf x x x =-+的定义域（ ）A ．()0,∞+B ．()1,-+∞C ．()0,1D ．()()0,11,+∞U6．已知{}2|230A x x x =--<，{}|B x x a =<，若A 包含于B ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,-+∞B ．[)3,+∞C ．()3,+∞D ．(],3-∞7．在掷一枚图钉的随机试验中，令1,0,X ⎧=⎨⎩针尖向上针尖向下，若随机变量X 的分布列如下：X0 1P0.3p则EX =（） A ．0.21B ．0.3C ．0.5D ．0.78．某单位为了了解用电量y (度)与气温x (C ︒)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表： 气温(C ︒) 10 13 18 －1 用电量(度)38342464由表中数据得回归直线方程ˆˆˆybx a =+中的ˆ2b =-，预测当气温为4C -︒时，用电量度数约为（ ） A ．64 B ．65C ．68D ．709．圆的圆心到直线的距离为A ．B ．C ．2D ．10．已知函数3()32sin f x x x x =--+，设0.3222,0.3,log 0.3a b c ===，则 A ．()()()f b f a f c << B ．()()()f b f c f a << C ．()()()f c f b f a <<D ．()()()f a f b f c <<11．在20张百元纸币中混有4张假币，从中任意抽取2张，将其中一张在验钞机上检验发现是假币，则这两张都是假币的概率是( ) A ．335B ．338C ．217D ．以上都不正确12．已知函数1()()(,)2x xx f x e e a e e aex b a b R =⋅+--+∈在1x =时取得极大值，则a 的取值范围是( ) A ．[0,)+∞B ．(,0)e -C ．(,0)-∞D ．(,)e -∞-二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，4AB =，3AD =，2CD =，2AM MD =u u u u v u u u u v ，如果3AC BM ⋅=-u u u v u u u u v，则AB AD ⋅=u u u v u u u v________.14．已知函数()211f x x x =+--． （1）解不等式()2f x <；（2）若不等式()1123a f x x x -≥+-+-的解集非空，求实数a 的取值范围．15．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的x ∈R ，满足()()10f x f x ++=，且当01x <<时，()13x f x +=，则()()3log 184f f +=__________．16．在极坐标系中，点(2，)到直线ρsinθ=2的距离等于 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知直线的参数方程：1cos sin x t y t ，，θθ=+⎧⎨=⎩（为参数），曲线的参数方程：2cos sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，，（为参数），且直线交曲线于A ，B 两点．（1）将曲线的参数方程化为普通方程，并求时，的长度； （2）已知点，求当直线倾斜角变化时，的范围．18．已知曲线1C 的参数方程为cos 1sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩(ϕ为参数)，以原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()14πρθ-=．（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）射线OM θα=：(0)2πα<<与曲线1C 交点为O 、M 两点，射线4：ON =+πθα与曲线2C 交于点N ，求1OM ON+的最大值． 19．（6分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，已知点()2,0P ，直线122:3x t l y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是2sin cos ρθθ=.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 的交点为,A B ，求11PA PB+的值. 20．（6分）某医药开发公司实验室有()*n n N ∈瓶溶液，其中()m m N ∈瓶中有细菌R ，现需要把含有细菌R 的溶液检验出来，有如下两种方案： 方案一：逐瓶检验，则需检验n 次；方案二：混合检验，将n 瓶溶液分别取样，混合在一起检验，若检验结果不含有细菌R ，则n 瓶溶液全部不含有细菌R ；若检验结果含有细菌R ，就要对这n 瓶溶液再逐瓶检验，此时检验次数总共为1n +. (1)假设52n m ==，，采用方案一，求恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌R 的概率； (2)现对n 瓶溶液进行检验，已知每瓶溶液含有细菌R 的概率均为(01)P p ≤≤. 若采用方案一.需检验的总次数为ξ,若采用方案二.需检验的总次数为η. (i)若ξ与η的期望相等.试求P 关于n 的函数解析式()P f n =;(ii)若14P 1e -=-,且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的期望.求n 的最大值.参考数据：ln 20.69,ln3 1.10,ln5 1.61,ln 7 1.95≈≈≈=21．（6分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.（Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率； （Ⅲ）用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望.22．（8分）交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a 元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表： 交强险浮动因素和浮动费率比率表浮动因素浮动比率 1A上一年度未发生有责任道路交通事故下浮10%2A上两年度未发生有责任道路交通事故下浮20%某机构为了解某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：（1）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定，950a=，记x为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求x的分布列与数学期望；（数学期望值保留到个位数字）（2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车，假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元:①若该销售商购进三辆(车龄已满三年)该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；②若该销售商一次购进100辆(车龄已满三年)该品牌二手车，求他获得利润的期望值.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．A【解析】【分析】“每个场馆至少有一个名额的分法”相当于在24个名额之间的23个空隙中选出两个空隙插入分隔符号，则有223253C=种方法，再列举出“至少有两个场馆的名额数相同”的分配方法，进而得到满足题中条件的分配方法.【详解】每个场馆至少有一个名额的分法为223253C =种，至少有两个场馆的名额相同的分配方法有（1，1，22），（2,2,20），（3,3,18），（4,4,16），（5,5,14），（6,6,12），（7,7,10），（8,8,8），（9,9,6），（10,10,4），（11,11,2），再对场馆分配，共有1103131C +=种，所以每个场馆至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有25331222-=种， 故选A. 【点睛】该题考查的是有关形同元素的分配问题，涉及到的知识点有隔板法，在解题的过程中，注意对至少两个场馆分配名额相同的要去除. 2．C 【解析】分析：把7天分成2,2,3天3组，然后3人各选一组值班即可. 详解：7天分成2天，2天，3天3组，3人各选一组值班，共有22375322630C C A A =种，故选C. 点睛：本题主要考查分组与分配问题问题，着重考查分步乘法计数原理，意在考查综合运用所学知识解决实际问题的能力，属于中档题. 3．C 【解析】 【分析】由三视图可知，正方体的棱长为2，直三棱锥的底面是两直角边长都为2的直角三角形,高为3,由此可求得几何体的表面积. 【详解】由三视图可知，正方体的棱长为2，直三棱锥的底面是两直角边长都为2的直角三角形，高为3，故该几何体的表面积为【点睛】本题主要考查三视图的还原，几何体的表面积的计算，难度一般，意在考查学生的转化能力，空间想象能力，计算能力. 4．D 【解析】 【分析】根据函数()f x 的单调性判断出导函数()'f x 函数值的符号，然后结合所给的四个选项进行分析、判断后可得正确的结论． 【详解】由图象可知，函数()y f x =在0x <时是增函数，因此其导函数在0x <时，有()'0f x >（即函数()'f x 的图象在x 轴上方），因此排除A 、C ． 从原函数图象上可以看出在区间()10,x 上原函数是增函数，所以()'0f x >，在区间()12,x x 上原函数是减函数，所以()'0f x <；在区间()2,x +∞上原函数是增函数，所以()'0f x >． 所以可排除C ． 故选D ． 【点睛】解题时注意导函数的符号与函数单调性之间的关系，即函数递增（减）时导函数的符号大（小）于零，由此可判断出导函数图象与x 轴的相对位置，从而得到导函数图象的大体形状． 5．A 【解析】 【分析】解不等式010xx x ⎧>⎪+⎨⎪≥⎩即得函数的定义域.【详解】由题得010,0100xx x x x x x ⎧><->⎧⎪∴∴>+⎨⎨≥⎩⎪≥⎩或 所以函数的定义域为()0,∞+. 故选A【点睛】本题主要考查函数的定义域的求法，考查对数函数和幂函数的定义域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 6．B 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得集合A ，根据A 是B 的子集列不等式，由此求得a 的取值范围. 【详解】由()()223310x x x x --=-+<解得13x -<<，所以()13A ,=-，由于{}|B x x a =<且A 包含于B ，所以3a ≥，故a 的取值范围是[)3,+∞. 故选：B 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查根据包含关系求参数的取值范围，属于基础题. 7．D 【解析】 【分析】先由概率和为1，求出p ，然后即可算出EX 【详解】因为0.31p +=，所以0.7p = 所以00.310.70.7EX =⨯+⨯= 故选：D 【点睛】本题考查的是离散型随机变量的分布列的性质及求由分布列求期望，较简单. 8．C 【解析】 【分析】先求解出气温和用电量的平均数,x y ，然后将样本点中心(),x y 代入回归直线方程，求解出$a的值，即可预测气温为4C -︒时的用电量. 【详解】 因为()10131813834246410,4044x y +++-+++====，所以样本点中心()10,40，所以$40210a =-⨯+，所以60a =$，所以回归直线方程为：ˆ260yx =-+，当4x =-时，68y =. 故选：C. 【点睛】本题考查回归直线方程的求解以及利用回归直线方程估计数值，难度较易.注意回归直线方程过样本点的中心(),x y . 9．C 【解析】 【分析】先把圆和直线的极坐标方程化成直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式求解. 【详解】 由得，所以圆的圆心坐标为（0，4），直线的直角坐标方程为， 所以圆心到直线的距离为.故选：C 【点睛】本题主要考查极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查点到直线的距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 10．D 【解析】 【分析】对函数()y f x =求导，得出函数()y f x =在R 上单调递减，利用中间值法比较a 、b 、c 的大小关系，利用函数()y f x =的单调性得出()f a 、()f b 、()f c 三个数的大小关系．【详解】()332sin f x x x x =--+Q ，()222332cos 332310f x x x x x '∴=--+≤--+=--<，所以，函数()y f x =在R 上单调递减，0.30221a =>=Q ，2000.30.3<<，即01b <<，22log 0.3log 10c =<=，则a b c >>， Q 函数()y f x =在R 上单调递减，因此，()()()f a f b f c <<，故选D.【点睛】本题考查函数值的大小比较，这类问题需要结合函数的单调性以及自变量的大小，其中单调性可以利用导数来考查，本题中自变量的结构不相同，可以利用中间值法来比较，考查推理能力，属于中等题． 11．A 【解析】设事件A 表示“抽到的两张都是假钞”，事件B 表示“抽到的两张至少有一张假钞”， 则所求的概率即P(A|B).又()()()211244164222020,C C C C P AB P A P B C C +===， 由公式()()()24211441663|641635P AB C P A B P B C C C ====++⨯. 本题选择A 选项.点睛：条件概率的求解方法：(1)利用定义，求P(A)和P(AB)，则()()(|)n AB P B A n A =.(2)借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n(A)，再求事件A 与事件B 的交事件中包含的基本事件数n(AB)，得()()(|)n AB P B A n A =.12．D 【解析】 【分析】求出原函数的导函数，可得当a≥0时，f （x ）在x ＝1取得极小值，不符合；当a ＜0时，令f′（x ）＝0，得x ＝1或ln （﹣a ），为使f （x ）在x ＝1取得极大值，则有ln （﹣a ）＞1，由此求得a 的范围得答案． 【详解】 由()()212xx f x e a e e aex b =+--+，得 f′（x ）＝e 2x +（a ﹣e ）e x ﹣ae ＝（e x +a ）（e x ﹣e ）．当a≥0时，e x +a ＞0，由f′（x ）＞0，得x ＞1，由f′（x ）＜0，得x ＜1． ∴f （x ）在（﹣∞，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数， 则f （x ）在x ＝1取得极小值，不符合；当a ＜0时，令f′（x ）＝0，得x ＝1或ln （﹣a ），为使f （x ）在x ＝1取得极大值，则有ln （﹣a ）＞1，∴a ＜﹣e ． ∴a 的取值范围是a ＜﹣e ． 故选：D ． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，关键是明确函数单调性与导函数符号间的关系，是中档题．二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．32【解析】试题分析：因为122()()23233AC BM AD AB AB AD AB AD ⋅=+⋅-+=--⋅=-u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，所以3.2AB AD ⋅=u u u r u u u r考点：向量数量积 14．（1）24,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）(,3][5,)-∞-⋃+∞. 【解析】 【分析】（1）讨论x 范围去掉绝对值符号，再解不等式.（2）将函数代入不等式化简，再利用绝对值三角不等式得到不等式右边的最小值，转化为存在问题求得答案. 【详解】解：（1）()12,212113,122,1x x f x x x x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪=+--=-≤≤⎨⎪+>⎪⎪⎩，∴1222x x ⎧<-⎪⎨⎪--<⎩或11232x x ⎧-⎪⎨⎪<⎩剟或1{22x x >+<， 解得：142x -<<-或1223x -<„或无解，综上，不等式的解集是（4-，23）．（2）()()123212321234f x x x x x x x +-+-=++-+--=…（当1322x -剟时等号成立）， 因为不等式()1123a f x x x -+-+-…解集非空， ∴()1123mina f x x x ⎡⎤-+-+-⎣⎦…，∴14a -…， ∴14a --„或14a -…，即3a -„或5a …， ∴实数a 的取值范围是(,3][5,)-∞-⋃+∞ ． 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，存在问题，题型比较综合，意在考查学生的计算能力. 15．6 【解析】∵f(x)是定义在R 上的奇函数,对任意的x ∈R,满足f(x+1)+f(x)=0， ∴f(x+1)=−f(x)， 则f(x+2)=−f(x+1)=f(x)，则函数f(x)是周期为2的周期函数，据此可得：()()()()()()()()3log 2133333log 18log 18log 9log 236,44400,log 184 6.f f f f f f f f +=-====-==∴+=16．1 【解析】试题分析：在极坐标系中，点（2，）对应直角坐标系中坐标（，1），直线ρsinθ＝2对应直角坐标系中的方程为y ＝2，所以点到直线的距离为1． 考点：极坐标化直角坐标三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17． (1)2212x y +=423，(2)1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】分析：（1）联立直线和椭圆方程得到2340x x -=，∴1240,3x x ==，由点点距离公式得到AB 的长度；（2）联立直线和椭圆得到t 的二次方程，根据韦达定理得到1222211cos 2sin 1sin PA PB t t θθθ⋅=-⋅==++，进而得到范围. 详解：（1）曲线C 的参数方程：2x cos y sin αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），曲线C 的普通方程为2212xy +=．当4πθ=时，直线AB 的方程为1y x =-，代入2212x y +=，可得2340x x -=，∴1240,3x x ==.∴44110233AB =+-= （2）直线参数方程代入2212x y +=，得()222cos 2sin 2cos 10t t θθθ++⋅-=． 设,A B 对应的参数为12,t t ， ∴12222111,1cos 2sin 1sin 2PA PB t t θθθ⎡⎤⋅=-⋅==∈⎢⎥++⎣⎦． 点睛：这个题目考查了参数方程化为普通方程的方法，极坐标化为直角坐标的方法，以及极坐标中极径的几何意义，极径代表的是曲线上的点到极点的距离，在参数方程和极坐标方程中，能表示距离的量一个是极径，一个是t 的几何意义，其中极径多数用于过极点的曲线，而t 的应用更广泛一些. 18．（1）2cos ρθ=，0x y -+=；（2【解析】 【分析】（1）先将曲线1C 的参数方程化为普通方程，再由x cos y sin ρθρθ=⎧⎨=⎩转化为极坐标方程，将曲线2C 的极坐标利用两角差的正弦公式展开，由cos xsin yρθρθ=⎧⎨=⎩转化为直角坐标方程；（2）点M 和点N 的极坐标分别为()1,ρα，21,4ρα⎛⎫+⎪⎝⎭，将点M 、N 的极坐标分别代入曲线1C 、2C 的极坐标方程，得出1ρ、2ρ的表达式，再利用辅助角公式计算出1=OM ON+121ρρ+的最大值。
2020年南通市数学高二下期末统考试题含解析
2020年南通市数学高二(下)期末统考试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．设随机变量ξ服从正态分布()4,3N ，若()()51P a P a ξξ<-=>+，则实数a 等于（ ） A ．7B ．6C ．5D ．42．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．16B ．(10＋5)πC ．4＋(5＋5)πD ．6＋(5＋5)π3．函数()22ln f x x x =-的单调递减区间是（ ） A ．(]0,1B ．[)1,+∞C ．(],1-∞-，()0,1D ．[)1,0-，(]0,14．大学生小红与另外3名大学生一起分配到乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，若每个村小学至少分配1名大学生，则小红恰好分配到甲村小学的方法数为（ ） A ．3B ．18C ．12D ．65．设函数()()12xf x e x =-，()g x ax a =-，1a >-若存在唯一的整数0x ，使()()0f x g x ->，则a 的取值范围是（ ）A ．31,2e ⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．2,13e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．31,2e ⎛⎤--⎥⎝⎦D ．21,32e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭6．如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是( )A ．B ．C ．D ．7．数列中，则，则A ．B ．C ．D ．8．已知集合A ．B ．C ．D ．9．已知直线y=x+1与曲线相切，则α的值为A ．1B ．2C ．-1D ．-210．一个停车场有5个排成一排的空车位，现有2辆不同的车停进这个停车场，若停好后恰有2个相邻的停车位空着，则不同的停车方法共有 A ．6种B ．12种C ．36种D ．72种11．给出下列四个说法：①命题“0,x ">都有12x x+≥”的否定是“00,x ∃≤使得0012x x +<”；②已知0a b 、＞，a b >则a b >”的逆命题是真命题；③1x >是21x >的必要不充分条件;④若0x x =为函数2()2ln xf x x x x e -=++-的零点，则002ln 0x x +=，其中正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．312．已知定义域为R 的奇函数()f x ，当0x >时，满足()()()23log 72,0233,2x x f x f x x ⎧--<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，则()()()()123....2018f f f f ++++=（ ） A ．2log 5B ．2log 5-C ．2-D ．0二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．在某班举行的“庆五一”联欢晚会开幕前已排好有8个不同节目的节目单，如果保持原来的节目相对顺序不变，临时再插进去、、A B C 三个不同的新节目，且插进的三个新节目按、、A B C 顺序出场，那么共有__________种不同的插入方法（用数字作答）．14．在ABC ∆中,D 为AB 的中点,24AC CD ==,ABC ∆的面积为6,BE CD ⊥且BE 交CD 于点E ,将BCD ∆沿CD 翻折,翻折过程中，AC 与BE 所成角的余弦值取值范围是__．15．函数()()1lg 4211xx f x +=-+的最小值是___．16．已知点F 为椭圆:C 2212x y +=的左焦点，点P 为椭圆C 上任意一点，点Q 的坐标为()4,3，则PQ PF +取最大值时，点P 的坐标为 ．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．在如图所示的几何体中，DE AC P ，AC ⊥平面BCD ，24AC DE ==，2BC =，1DC =，60BCD ∠=︒.（1）证明：BD ⊥平面ACDE ；（2）求平面BCD 与平面BAE 所成二面角的正弦值.18．某中学一名数学老师对全班50名学生某次考试成绩分男女生进行了统计,其中120分(含120分)以上为优秀,绘制了如下的两个频率分布直方图:（1）根据以上两个直方图完成下面的22⨯列联表: 成绩性别 优秀不优秀合计男生 女生 总计（2）根据(1)中表格的数据计算,你有多大把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系?0k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828()20P K k ≥ 0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001（3）若从成绩在[130,140]的学生中任取2人,求取到的2人中至少有1名女生的概率. 19．（6分）已知2220122(12)nn n x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+*()n N ∈.（1）求0242n a a a a +++⋅⋅⋅+的值；（2）当5n =时，求(0,1,2,,2)k a k n =⋅⋅⋅的最大值.20．（6分）某单位组织“学习强国”知识竞赛，选手从6道备选题中随机抽取3道题.规定至少答对其中的2道题才能晋级.甲选手只能答对其中的4道题。
江苏省海安高级中学2019-2020 学年度高二年级第二学期数学试卷
14．记 Sn 为等比数列 {an}的前 n 项和，已知 a5＝- 2， S3＝a2 + 3a1，则 a1＝ ▲ ．
15．在△ABC 中，若 cos A + cos B＝sin C ， b2 + a2 - a2＝6 bc ，则 tan B＝ ▲ ．
a
b
c
5
16．已知抛物线 y2＝2 px （p＞0）的焦点为，过 F 作直线交抛物线于 M，N 两点，则 p＝
A．若 a＞b，c＞d，则 ac＞bd B．若 ab＞0，bc－ad＞0，则 c - d ＞0 ab
C．若 a＞b，c＞d，则 a－d＞b－c D．若 a＞b，c＞d＞0，则 a ＞b dc !!!" !!!"
12．在四边形 ABCD 中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2CD，E 为 BC 边上一点，且 BC＝3EC ，
aman＝32a12 ，则
1 m
+
4 的最小值为 n
（）
A． 9 7
B． 5 3
C． 4 3
D． 13 10
8． 函数 f ( x)＝2x3 - ax2 + 1在 (0, +¥)内有且只有一个零点，则 a 的值为（ ）
江苏省海安高级中学高二数学试卷（201） 第 1 页 共 4 页
A．3 B．－3 C．2 D．－2
18．（本小题满分 12 分）
在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，
3
sin
(
A
+
B
)＝4
sin
2
C 2
．
（1）求 cosC；
（2）若 b＝7，D 是 BC 边上的点，且△ACD 的面积为 6 3 ，求 sin∠ADB．
2020年南通市数学高二第二学期期末统考试题含解析
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由题意可知：直角三角向斜边长为17，由等面积，可得内切圆的半径为： 落在内切圆内的概率为 ，故落在圆外的概率为
又由 得 ，所以②不正确．
可得 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
∴ 的极大值为 ，极小值为 ，
又 ，
∴ ，
∴ 的最大值与最小值之和等于零．所以③正确．
综上可得①③正确．
故选C．
【点睛】
本题考查导数的几何意义的应用以及函数的极值、最值的求法，考查运算能力和应用能力，属于综合问题，解答时需注意各类问题的解法，根据相应问题的解法求解即可．
本题选择D选项.
点睛：已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：
(1)由 即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.
所以不同的排法种数为 ，
故选C项.
【点睛】
本题考查排列问题，利用插空法解决不相邻问题，属于简单题.
10．已知函数 （ ， ）的图象如图所示，则 的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
结合函数图像可得： ， ，
结合周期公式有： ，
且当 时， ，
令 可得： ，
据此可得函数的解析式为： .
2019-2020学年江苏省海安高级中学高二下学期期末考试数学试题 (有答案)
海安高级中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题一、单项选择题1．已知()312i z i +=-（i 为虚数单位），则z =（ ）A BC ．2D 2．已知全集U R =，集合{}22A x x x =>，则 UA =（ ）A ．[]0,2B ．()0,2C ．(],2-∞D ．(),2-∞3．在打气球的游戏中，某人每次击中气球的概率是45，则这人3次射击中恰有1次击中气球的概率为（ ） A ．1625B ．48125C ．12125D ．4254．若双曲线()222210,0x y a b a b-=>> ）A ．y =B ．2y x =±C ．2y x =±D ．y =5．已知a =，1b =，且()()22a b a b -⊥+，则向量a 与b 的夹角余弦值是（ ）A ．2B ．3C ．12-D ．2-6．()()621x x ++展开式中，3x 项的系数为（ ） A ．55B ．40C ．35D ．157．已知()log m f x x =，其中m =，已知0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin cos 2a f θθ+⎛⎫= ⎪⎝⎭，b f=，sin 2sin cos c f θθθ⎛⎫=⎪+⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a c b ≤≤ B ．b c a ≤≤C ．c b a ≤≤D ．a b c ≤≤8．在三棱锥P ABC -中，2AB =，AC BC ⊥，D 为AB 中点，2PD =，若该三棱锥的体积的最大值为23，则其外接球表面积为（ ）A ．5πB ．4912πC ．649πD ．254π二、多项选择题9．下列说法中，正确的命题是（ ）A ．已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ，()40.8P X <=，则()240.2P X <<= B ．线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱C ．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y a bx =+，若2b =，1x =，3y =，则1a =D ．若样本数据121x +，221x +，…，1621x +的方差为8，则数据1x ，2x ，…，16x 的方差为210．关于函数()sin cos f x x x =+()x R ∈，如下结论中正确的是（ ） A ．函数()f x 的周期是2πB ．函数()f x 的值域是0,2⎡⎤⎣⎦C ．函数()f x 的图象关于直线x π=对称D ．函数()f x 在3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递增 11．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 在棱1CC 上，则下列结论正确的是（ ）A ．直线BM平面11ADD AB ．平面1BMD 截正方体所得的截面为三角形C ．异面直线1AD 与11A C 所成的角为60︒ D ．1MB MD +512．已知函数()f x 对任意x R ∈都有()()()422f x f x f +-=，若()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，且对任意的1x ，()20,2x ∈，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 的周期4T=C ．()20220f =D ．()f x 在()4,2--单调递减三、填空题13．某单位在6名男职工和3名女职工中，选取5人参加义务献血，要求男、女职工各至少一名，则不同的选取方式的种数为______.（结果用数值表示） 14．已知sin sin sin sin 122ππαβαβ⎛⎫⎛⎫--+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan 2αβ-=______.15．已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且()2*324n n n a a S n N +=+∈，则5a =______.16．在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，()0,1A ，()1,0B ，过平面上一点(),P x y 作直线AB 的垂线，垂足为Q ，且满足：3OQ AB ⋅=，则实数,x y 满足的关系式是______，若点P 又在动圆()()2228x a y a -+++=()*a N ∈上，则正整数a 的取值集合是______. 四、解答题17．在ABC △中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且()tan 2tan b A c b B =-. （1）求A 的大小；（2）若213a =，且ABC △的 面积为3b c +的值.18．在①2a ，3a ，44a -成等差数列；②1S ，22S +，3S 成等差数列；③12n n a S +=+中任选一个，补充在下列问题中，并解答.在各项均为正数等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ，已知12a =，且______.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 的通项公式111n n n n b a a +=-+-，*n N ∈，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．一副标准的三角板如图1中，ABC ∠为直角，60A ∠=︒，DEF ∠为直角，DE EF =，且BC DF =，把BC 与DF 重合，拼成一个三棱锥，如图2.设M 是AC 的中点，N 是BC 的中点.（1）求证：BC ⊥平面EMN ；（2）在图2中，若4AC =，二面角E BC A --为直二面角，求直线EM 与平面ABE 所成角的正弦值.20．一种疫苗在正式上市之前要进行多次人体临床试验接种，假设每次接种之间互不影响，每人每次接种成功的概率相等.某医学研究院研究团队研发了新冠疫苗，并率先开展了新冠疫苗Ⅰ期和Ⅱ期临床试验.Ⅰ期试验为了解疫苗接种剂量与接种成功之间的关系，选取了两种剂量接种方案（0.5ml/次剂量组（低剂量）与1ml/次剂量组（中剂量）），临床试验免疫结果对比如下：接种成功 接种不成功总计（人）0.5ml/次剂量组 28 8 36 1ml/次剂量组 33 3 36 总计（人）611172（1）根据数据说明哪种方案接种效果好？并判断是否有90%的把握认为该疫苗接种成功与两种剂量接种方案有关？（2）若以数据中的频率为概率，从两组不同剂量组中分别抽取1名试验者，以X 表示这2人中接种成功的人数，求X 的分布列和数学期望.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++附表：()20P K k ≥0.40 0.25 0.15 0.10 0.050 0.025 0.010 0.001 0k0.7081.3232.0722.7063.8415.0246.63510.82821．如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“伴随圆”.过椭圆上一点M 作x 轴的垂线交其“伴随圆”于点N （M 、N 在同一象限内），称点N 为点M 的“伴随点”.已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>上的点33,⎛⎫⎪ ⎪⎭的“伴随点”为()3,1.（1）求椭圆E 及其“伴随圆”的方程；（2）求OMN △面积的最大值，并深圳市此时“伴随点”N 的坐标；（3）已知直线:0l x my t --=与椭圆E 交于不同的,A B 两点，若椭圆E 上存在点P ，使得四边形OAPB 是平行四边形.求直线l 与坐标轴围成的三角形面积最小时的22m t +的值.22．已知函数()2ln f x x x ax =+-，()221xg x xex =+-.（1）求曲线()y g x =在()()0,0g 处的切线方程； （2）讨论()f x 的单调区间；（3）若不等式()()f x g x ≤对任意0x >成立，求实数a 的取值范围.2020年期末数学学科测试试卷高二数学参考答案1．C 2．A 3．C 4．D 5．B 6．A 7．D 8．D 9．CD 10．ACD 11．ACD 12．ABC 13．120 14．1 15．11216．30x y --=；{}1,217．解：（1）由正弦定理sin sin sin a b cA B C==得：()2sin sin sin sin sin cos cos C B B B A A B -⋅= 在ABC △中，0B π<<，0C π<< ∴sin 0B ≠，sin 0C ≠∴()sin cos 2sin sin cos 2sin cos sin cos A B C B A C A B A =-=- 即sin cos cos sin 2sin cos A B A B C A += ∴()sin 2sin cos A B C A += 即sin 2sin cos C C A = 又sin 0C ≠ ∴1cos 2A =又0A π<< ∴3A π=（2）∵13sin 324ABC S bc A bc ===△∴48bc =由余弦定理知：2222cos a b c bc A =+- ∴()222523b c bc b c bc =+-=+- ∴()234852196b c +=⨯+= ∴14b c +=18．解：设等比数列的公比为()0q q >， （1）选①：因为2a ，3a ，44a -成等差数列， 所以32424a a a =+-，所以234224q q q =+-，又0q >解得2q =，所以2nn a =.选②：因为1S ，22S +，3S 成等差数列， 所以()21322S S S +=+，即234a a +=，所以2242q q +=，又0q >，解得2q =，所以2nn a =.选③：因为12n n a S +=+，所以2124a S =+=，则212a q a ==，所以2n n a =. （2）因为2nn a =，()()111122121212121212121nn n n nn nn n nb ++++--==-+--+----11122121212122nn n n n n n+++--==---则12...n n S b b b =+++((2132121212121...2121n n +=--+--++--1211n +=-19．解：（1）证明：设BC 中点为N ，连结MN ，EN . ∵M 是AC 的中点，N 是BC 的中点， ∴MNAB ，∵AB BC ⊥， ∴MN BC ⊥，∵BE EC ⊥，BE EC =，N 是BC 的中点，∴EN BC ⊥， 又MN BC ⊥，MN EN N =，MN ⊂平面EMN ，EN ⊂平面EMN ，∴BC ⊥平面EMN .（2）由（1）可知：EN BC ⊥，MN BC ⊥， ∴ENM ∠为二面角E BC C --的平面角 又二面角E BC C --为直二面角 ∴90ENM ∠=︒以NM ，NC ，NE 分别为x ，y ，z ，如图建立空间直角坐标系N xyz -. ∵4AC =，则2AB =，23BC =3NE =由(3E ，()1,0,0M ，则(1,0,3EM =-又()0,3,0B -，()2,3,0A -，(3E ，则(3,3BE =，()2,0,0BA =设(),,m x y z =为平面ABE 的一个法向量，则m BE m BA ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，即0,0m BE m BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,330,x y z =⎧⎪=令1y =，则1z =- ∴()0,1,1m =-为平面的一个法向量设直线EM 与平面ABE 所成的角为02πθθ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭36sin cos ,422m EM m EM m EMθ⋅==== 所以直线EM 与平面ABE 620．解：（1）0.5ml/次剂量组（低剂量）接种成功的概率为287369= 1ml/次剂量组（中剂量）接种成功的概率为33113612= ∵117129> ∴1ml/次剂量组（中剂量）接种效果好 由22⨯列联表得()2272283833 2.68 3.261113636k ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯.没有90%的把握认为该疫苗接种成功与两种剂量接种方案有关. （2）X 得可能取值为0，1，2()2121091210854P X ==⨯==()71211291912912108P X ==⨯+⨯=()711772912108P X ==⨯=X 得分布均为X 012P15429108 77108()0125410810810836E X =⨯+⨯+⨯==21．解：因为椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>过点33,⎭，伴随圆222x y a +=过点()3,1，所以222331431a b a ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩解得：23b =，∴椭圆E 的方程为22143x y +=；伴随圆的方程为224x y +=. （2）设(),m M m y ，(),n N m y ，则22143m y m +=，224n m y +=； 2211343224OMN n m S m y y m m m =⋅-=--△ ()2222213232344442244m m m m m m --=--=-=-2222342342m m ⎛⎫-+--≤= ⎪⎝⎭当且仅当224m m =-，即2m =±时，等号成立.此时(2,2N ±±. （3）由题意可设()11,A x y ，()22,B x y .联立22143x y x my t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩整理得()2223463120my mty t +++-=，则()2248340m t =+->△.由韦达定理得：122634mty y m +=-+ ()12121228234tx x my t my t m y y t m +=+++=++=+ 因为四边形OAPB 是平行四边形， 所以()12122286,,3434t mt OP OA OB x x y y m m -⎛⎫=+=++=⎪++⎝⎭. 又点P 在椭圆E 上，所以()()222222264361434334t m t m m +=++，整理得22434t m =+.在直线l ：0x my t --=中，由于直线l 与坐标轴围成三角形，则0t ≠，0m ≠.令0x =，得ty m =-，令0y =，得x t =.所以三角形OAB 面积为21134141334328882OAB tm S t m m m m ⎛⎫+=⋅-==+≥⨯= ⎪ ⎪⎝⎭△， 当且仅当243m =，22t =时，等号成立，此时0>△.且有22103m t +=，故所求22m t +的值为103.22．解：（1）()01g =()2222x x g x e xe x '=++∴()01k g '==∴切线的方程为1y x =-（2）()21212x ax f x x a x x -+'=+-=①当280a -≤即2222a -≤2210x ax -+≥在()0,+∞恒成立， 即()0f x '≥在()0,+∞恒成立，则()f x 的增区间为()0,+∞②当280a ->且02a>即22a >令()0f x '>，得2804a a x --<<或284a a x +->令()0f x '<，得228844a a a a x --+-<<∴()f x 的增区间为28a a ⎛-- ⎝⎭，28a a ⎫+++∞⎪⎪⎝⎭； 减区间为228844a a a a ⎛-+- ⎪⎝⎭③当280a ->且02a<即22a <-时，2210x ax -+>在()0,+∞恒成立，即()0f x '>在()0,+∞恒成立，∴()f x 在()0,+∞上单调递增 综上：当22a ≤时，()f x 的增区间为()0,+∞； 当22a >()f x 的增区间为28a a ⎛-- ⎝⎭，28a a ⎫+++∞⎪⎪⎝⎭； 减区间为2288a a a a --+-⎝⎭（3）2ln max maxln 1ln 12x x x xe x e x a x x ⎛⎫⎛⎫+-+-+≥= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭令()1x F x e x =--，则()1x F x e '=-当0x <时，()0F x '<，()F x 单调递减；当0x >时，()0F x '>，()F x 单调递增；当0x =时，()F x 有极小值也是最小值()10F =∴()()10F x F ≥=，即1x e x ≥+∴ln 2ln 21x x e x x +≥++（令()ln 1F x x x =-+，则()111xF x x x -'=-=当01x <<时，()0F x '>，()F x 单调递增；当1x >时，()0F x '<，()F x 单调递减当1x =时，()F x 有极大值也是最大值()10F =∴()()10F x F ≤=，即ln 1x x ≤-∴ln 2ln 2ln 1x x x x e e ++≤-，即ln 2ln 21x x x x e ++≤-，即ln 2ln 21x x x x e +++≤） ∵()2ln 2ln 1ln 21ln 1ln 12x x xx x xx xe x e x x x ++-+++-+-=≤=-当且仅当ln 20x x +=取等号， ∴2maxln 12xx xe x ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭，a≥-∴2。
2020-2021学年江苏省南通市高二(下)期末数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年江苏省南通市高二（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={x|−1≤x≤2}，B={x|x2<4x,x∈N}，则A∩B=()A. [0,2]B. (0,2]C. {0,1，2}D. {1,2}2.已知复数z=−12+√32i，则z2+z=()A. −1B. 1C. 12+√32i D. √32−12i3.已知a=π−2，b=−log25，c=log213，则()A. b>a>cB. c>b>aC. a>c>bD. a>b>c4.已知等比数列{a n}的前6项和为1894，公比为12，则a6=()A. 738B. 34C. 38D. 245.英国数学家泰勒(B.Taylor,1685−1731)发现了如下公式：sinx=x−x33!+x55!−x7 7!+⋯.根据该公式可知，与−1+13!−15!+17!−⋯的值最接近的是()A. cos57.3°B. cos147.3°C. sin57.3°D. sin(−32.7°)6.设F1，F2为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点.点P在C上，且PF1，F1F2，PF2成等比数列，则C的离心率的最大值为()A. 12B. 23C. 34D. 17.为贯彻落实《中共中央国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的文件精神，某学校推出了《植物栽培》、《手工编织》、《实用木工》、《实用电工》4门校本劳动选修课程，要求每个学生从中任选2门进行学习，则甲、乙两名同学的选课中恰有一门课程相同的概率为()A. 23B. 13C. 16D. 1128.若x1，x2∈(0,π2)，则“x1<x2”是“x2sinx1>x1sinx2”成立的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.如图是函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象，则()A. f(x)的最小正周期为πB. 图象关于(−2π3,0)对称C. f(−π12)=1D. f(x)的图象向右平移π6个单位，可以得到y =cos2x 的图象10. 已知四棱锥P −ABCD 的底面是矩形，PD ⊥平面ABCD ，则( )A. ∠PCD 是PC 与AB 所成的角B. ∠PAD 是PA 与平面ABCD 所成的角C. ∠PBA 是二面角P −BC −A 的平面角D. 作AE ⊥PB 于E ，连结EC ，则∠AEC 是二面角A −PB −C 的平面角11. 过抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点F 的直线与C 相交于P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)两点.若|PQ|的最小值为6，则( )A. 抛物线C 的方程为y 2=6xB. PQ 的中点到准线的距离的最小值为3C. y 1y 2=−36D. 当直线PQ 的倾斜角为60°时，F 为PQ 的一个四等分点12. 在△ABC 中，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则下列命题正确的是( )A. 若a ⃗ ⋅b ⃗ <0，则△ABC 为钝角三角形B. a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ ⋅c ⃗ +c ⃗ ⋅a ⃗ <0C. 若a ⃗ ⋅b ⃗ >b ⃗ ⋅c ⃗ ，则|a ⃗ |<|c ⃗ |D. 若|a ⃗ −b ⃗ |=|c ⃗ −b ⃗ |，则|a ⃗ |=|c ⃗ | 三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若(x +√a)6的展开式中x 的系数为30，则a = ______ ．14. 某公司于2021年1月推出了一款产品A ，现对产品上市时间x(单位：月)和市场占有率y 进行统计分析，得到如表数据：x 1 2 3 4 5 y0.0020.0050.0100.0150.018由表中数据求得线性回归方程为ŷ=0.0042x+â，则当x=10时，市场占有率y 约为______ ．15.已知f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)=ln ax.若f(e2)=1，则a=______ ．16.一个正四棱台的侧面与底面所成的角为60°，且下底面边长是上底面边长的2倍.若该棱台的体积为7√36，则其下底面边长为______ ，外接球的表面积为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1=0，S6=3(a7−1)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=2a n，求满足不等式1b1+1b2+1b3+⋯+1b n>14(b1+b2+b3+⋯+b n)的正整数n的集合．18.在①asinB=bsin B+C2；②AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =2√33S；③√3asinC+acosC=b+c这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并回答问题．问题：在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，D是BC的中点.若a=√7，b=2，且______，求A及AD的长．19.某中学高三年级组为了解学生主动预习与学习兴趣是否有关，随机抽取一个容量为n的样本进行调查.调查结果表明，主动预习的学生占样本容量的1315，学习兴趣高的学生占样本容量的23，主动预习且学习兴趣高的学生占样本容量的35．(1)完成下面2×2列联表.若有97.5%的把握认为主动预习与学习兴趣有关，求样本容量n 的最小值；(2)该校为了提高学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从“学习兴趣一般”的学生中抽取10人，组成数学学习小组，现从该小组中随机抽取3人进行摸底测试，记3人中“不太主动预习”的人数为X ，求X 的分布列和数学期望E(X)． 附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n =a +b +c +d ．20. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AB//CD ，∠BAD =60°，AB =AD =12CD =2，E 为棱PD 上的一点，且DE =2EP =2．(1)证明：PB//平面AEC ； (2)求二面角A −EC −D 的余弦值．21. 设双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线C 的左、右准线与其一条渐近线y =2x 的交点分别为A ，B ，四边形AF 1BF 2的面积为4． (1)求双曲线C 的方程；(2)已知l 为圆O ：x 2+y 2=43的切线，且与C 相交于P ，Q 两点，求OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．22. 设函数f(x)=ax −1+e x ，已知x =0是函数g(x)=f(x)−2x 的极值点．(1)求a ；(2)当x ∈[0,π2)时，若f(x)≥msin2x ，求实数m 的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵集合A ={x|−1≤x ≤2}，B ={x|x 2<4x,x ∈N}={x|0<x <4,x ∈N}={1,2，3}， ∴A ∩B ={1,2}． 故选：D ．求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：∵z =−12+√32i ，∴z 2+z =z(z +1)=(−12+√32i)(12+√3i)=(√32i)2−(12)2=−1．故选：A ．根据已知条件，运用复数的运算法则，即可求解．本题考查了复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：∵a =π−2=1π2，∴0<a <1， ∵b =−log 25=log 215，c =log 213，15<13，∴log 215<log 213，即b <c <0．∴a >c >b ， 故选：C ．利用对数函数和指数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．4.【答案】B【解析】解：根据题意，等比数列{a n}的前6项和为1894，公比为12，则有S6=a1(1−q6)1−q =1894，解可得a1=24，则a6=a1q5=34；故选：B．根据题意，由等比数列的前n项和公式可得S6=a1(1−q6)1−q =1894，解可得a1的值，由等比数列的通项公式计算可得答案．本题考查等比数列的求和，涉及等比数列的通项公式，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：由题意可知，sin(−1)=−1+13!−15!+17!−⋯，因为1弧度≈57.3°，所以sin(−1)≈sin(−57.3°)，由诱导公式可得sin(−α)=−sinα，sinα=cos(π2−α)，cos(π−α)=−cosα，所以sin(−57.3°)=−sin57.3°=−cos32.7°=cos(180°−32.7°)=cos147.3°，则与−1+13!−15!+17!−⋯的值最接近的是cos147.3°．故选：B．由题意得到sin(−1)=−1+13!−15!+17!−⋯，结合1弧度≈57.3°以及诱导公式进行化简，即可得到答案．本题考查了简单的合情推理的应用，主要考查了三角函数诱导公式的运用，弧度制与角度制关系的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：因为P在椭圆上，由椭圆的定义得PF1+PF2=2a①；由PF1，F1F2，PF2成等比数列，所以(2c)2=PF1⋅PF2②；由均值不等式PF1+PF22≥√PF1⋅PF2及①②，得a≥2c；所以e=ca ≤12，当且仅当PF1=PF2时，等号成立．故选：A．利用定义得到PF1，PF2的等量关系，再结合题目条件及基本不等式建立a，c的不等关系，进而求最值．本题考查椭圆中焦点三角形的问题，重点考查椭圆的定义及利用不等式求最值，属于中档题．7.【答案】A【解析】解：某学校推出了《植物栽培》、《手工编织》、《实用木工》、《实用电工》4门校本劳动选修课程，要求每个学生从中任选2门进行学习，甲、乙两名同学的选课包含的基本事件个数n=C42C42=36，甲、乙两名同学的选课中恰有一门课程相同包含的基本事件个数m=C42C21C21=24，则甲、乙两名同学的选课中恰有一门课程相同的概率为P=mn =2436=23．故选：A．甲、乙两名同学的选课包含的基本事件个数n=C42C42=36，甲、乙两名同学的选课中恰有一门课程相同包含的基本事件个数m=C42C21C21=24，由此能求出甲、乙两名同学的选课中恰有一门课程相同的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】C【解析】解：∵x1，x2∈(0,π2)，∴要使x2sinx1>x1sinx2即使sinx1x1>sinx2x2，令f(x)=sinxx ，x∈(0,π2)，f′(x)=xcosx−sinxx2，令ℎ(x)=xcosx−sinx，ℎ′(x)=cosx−xsinx−cosx=−xsinx<0，故ℎ(x)=xcosx−sinx在(0,π2)上为减函数，且ℎ(0)=0，故f′(x)<0，故f(x)=sinxx 在(0,π2)上为减函数，故“x 1<x 2”是“sinx 1x 1>sinx 2x 2”的充要条件，即“x 1<x 2”是“x 2sinx 1>x 1sinx 2”成立的充要条件， 故选：C ． 由题意转化为判断sinx 1x 1>sinx 2x 2，从而构造函数f(x)=sinx x，x ∈(0,π2)，利用导数判断函数的单调性，从而求得．本题考查了充分、必要条件的判断及函数的单调性的判断，通过构造函数，利用导数判断函数的单调性，从而判断充分、必要条件，其中构造函数并利用导数判断函数的单调性为难题，属于中档题．9.【答案】AC【解析】解：由图象可知，T2=2π3−π6=π2，所以f(x)的最小正周期为π， 故选项A 正确； 因为T =2πω=π，可得ω=2，又(π6,0)为“五点法”中的第二个点， 则2×π6+φ=π2，解得φ=π6， 所以f(x)=cos(2x +π6)， 因为f(−2π3)=cos[2×(−2π3)+π6]≠0， 则(−2π3,0)不是f(x)的对称中心，故选项B 错误；f(−π12)=cos[2×(−π12)+π6]=1，故选项C 正确；f(x)=cos(2x +π6)的图象向右平移π6个单位， 可得函数y =cos[2(x −π6)+π6]=cos(2x −π6)， 故选项D 错误． 故选：AC ．利用图象求出函数的最小正周期，即可判断选项A ，由周期公式求出ω，由特殊点求出φ，即可得到函数f(x)的解析式，求解函数值即可判断选项B，C，利用图象变换求出变换后的解析式，即可判断选项D．本题考查了三角函数图象和性质的综合应用，主要考查了三角函数解析式的求解，周期公式的应用，三角函数对称中心的理解与应用，三角函数的图象变换等，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．10.【答案】AB【解析】解：作出图象如图所示，因为ABCD是矩形，则AB//CD，所以∠PCD是PC与AB所成的角，故选项A正确；因为PD⊥平面ABCD，则PA在平面ABCD内的射影为AD，所以∠PAD是PA与平面ABCD所成的角，故选项B正确；因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，则BC⊥PD，又BC⊥CD，CD∩PD=D，CD，PD⊂平面PCD，所以BC⊥平面PCD，PC⊂平面PCD，则PC⊥BC，又CD⊥BC，故∠PCD为二面角P−BC−A的平面角，故选项C错误；作AE⊥PB于E，连结EC，因为没有条件可以判断EC是否垂直PB，所以不能确定∠AEC是二面角A−PB−C的平面角，故选项D错误．故选：AB．利用异面直线所成角的定义判断选项A，利用线面角的定义判断选项B，由二面角的平面角的定义判断选项C，D．本题考查了空间角的理解，解题的关键是掌握异面直线所成角的定义、线面所成角的定义、二面角的平面角的定义，考查了逻辑推理能力，属于中档题．11.【答案】ABD【解析】解：当斜率不存在时，即PQ过抛物线的焦点，且垂直x轴，∴y2=2p⋅p2，∴|PQ|=2p，当斜率存在时，设直线PQ的方程为y=k(x−p2)，设P(x1,y1)，P(x2,y2)，联立直线PQ与抛物线方程{y=k(x−p2)y2=2px，可得k2x2−(k2p+2p)x+k2p24=0①，由韦达定理，可得x1+x2=k2p+2pk2=p+2pk2，由抛物线的定义，可得|PQ|=x1+p2+x2+p2=2p+2pk2>2p，综合以上两种情况可得，当斜率不存在时，即PQ过抛物线的焦点，且垂直x轴，|PQ|取得最小值，∵|PQ|的最小值为6，∴2p=6，即p=3，∴抛物线的方程为y2=6x，故A选项正确，∵PQ的中点到准线的距离最小值为p2+p2=p=3，故B选项正确，∵当斜率不存在时，两交点坐标为(p2,p)，(p2,−p)，∴y1y2=−p2=−9，故C选项错误，当直线PQ的倾斜角为60°时，可得k=√3，∴|PQ|=2p+2p3=6，解得p=94，将k=√3，代入①中，可得12x2−20px+3p2=0，解得两根为3p2,p 6，不妨设，x1=3p2，x2=p6，∴由抛物线得的定义可得，|PF|=3p2+p2=2p，|FQ|=16p+12p=2p3，即|PQ|=|PF|+|FQ|=8p3，∴|FQ|=14|PQ|，即F为PQ的一个四等分点，故D选项正确．故选：ABD．由题意可知，当斜率不存在时，即PQ过抛物线的焦点，且垂直x轴，即|PQ|为通径时，|PQ|取得最小值，再结合抛物线的定义与性质，即可求解．本题考查了抛物线的定义与性质，需要学生掌握通径的概念，以及如何证明通径最短，需要学生较强的综合能力，属于难题．12.【答案】BD【解析】解：对于A ，a ⃗ ⋅b ⃗ <0⇔BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ <0⇔CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ >0⇔|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cosC >0⇔cosC >0， 又C ∈(0,π)，所以C ∈(0,π2)，故不能判断△ABC 是钝角三角形，故 A 错误； 对于B ，a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ ⋅c ⃗ +c ⃗ ⋅a ⃗ <0⇔|a ⃗ |⋅|b ⃗ |⋅cos(π−C)+|b ⃗ |⋅|c ⃗ |⋅cos(π−A)+|c ⃗ |⋅|a ⃗ |⋅cos(π−B)<0， ⇔|a ⃗ |⋅|b ⃗ |⋅cosC +|b ⃗ |⋅|c ⃗ |⋅cosA +|c ⃗ |⋅|a ⃗ |⋅cosB >0，⇔|a ⃗ |⋅|b ⃗ |⋅|a ⃗ |2+|b ⃗ |2−|c ⃗ |22|a ⃗ |⋅|b⃗ |+|b ⃗ |⋅|c ⃗ |⋅|b ⃗ |2+|c ⃗ |2−|a ⃗ |22|b ⃗ |⋅|c ⃗ |+|c ⃗ |⋅|a ⃗ |⋅|c ⃗ |2+|a ⃗ |2−|b⃗ |22|c ⃗ |⋅|a ⃗ |>0，⇔|a ⃗ |2+|b ⃗ |2+|c ⃗ |2>0， 显然成立，故B 正确； 对于C ，a ⃗ ⋅b ⃗ >b ⃗ ⋅c ⃗ ⇔|a ⃗ |⋅|b ⃗ |⋅cos(π−C)>|b ⃗ |⋅|c ⃗ |⋅cos(π−A)⇔|a ⃗ |cosC <|c ⃗ |⋅cosA ， 不能得到|a ⃗ |与|c ⃗ |的大小关系，故C 错误； 对于D ，|a ⃗ −b ⃗ |=|c ⃗ −b ⃗ |⇔|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⇔|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |， 设AB 的中点为M ，BC 的中点为N ，则CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 于是|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |， 在△BCM 中，由余弦定理可得 cosB =BM 2+BC 2−MC 22BM⋅BC=14BA 2+BC 2−MC 2BA⋅BC，在△BNA 中，由余弦定理可得 cosB =BN 2+BA 2−AN 22BN⋅BA=14BC 2+BA 2−AN 2BC⋅BA，所以14BA 2+BC 2−MC 2BA⋅BC=14BC 2+BA 2−AN 2BC⋅BA，又MC =AN ，所以BA =BC ，即|a ⃗ |=|c ⃗ |.故D 正确． 故选：BD ．对于A ，a ⃗ ⋅b ⃗ <0等价于cosC >0，即可判断A 错误；对于B ，a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ ⋅c ⃗ +c ⃗ ⋅a ⃗ <0等价于|a ⃗ |2+|b ⃗ |2+|c ⃗ |2>0，即可判断B 正确；对于C ，a ⃗ ⋅b ⃗ >b ⃗ ⋅c ⃗ ，等价于|a ⃗ |cosC <|c ⃗ |⋅cosA ，即可判断C 错误；对于D ，|a ⃗ −b ⃗ |=|c ⃗ −b ⃗ |等价于|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，设AB 的中点为M ，BC 的中点为N ，则|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，再结合余弦定理可判断D 正确． 本题考查平面向量数量积的线性运算和数量积运算，考查余弦定理的应用，考查数学运算和直观想象的核心素养，属于难题．13.【答案】√255【解析】解：因为(x +√a)6的展开式的通项公式为T r+1=C 6r x 6−r ⋅(√a)r ，、令6−r =1，则r =5，所以T 6=C 65⋅(√a)5x ，因为x 的系数为30，则C 65⋅(√a)5=30，解得a =√255．故答案为：√255．利用二项展开式的通项公式，求出r 的值，然后列出关于a 的等式，求解即可． 本题考查了二项式定理的应用，特定项的求解，二项展开式的通项公式的应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．14.【答案】0.0394【解析】解：由题意，x −=1+2+3+4+55=3，y −=0.002+0.005+0.010+0.015+0.0185=0.01，因为线性回归方程为ŷ=0.0042x +a ̂，则a ̂=0.01−0.0042×3=−0.0026， 所以ŷ=0.0042x −0.0026，将x =10代入，可得y ̂=0.0042×10−0.0026=0.0394． 故答案为：0.0394．先求出样本中心，再代入线性回归方程，即可求出a ^，从而得到线性回归方程，将x =10代入求解即可．本题考查了线性回归方程的求解，要掌握线性回归方程必过样本中心这一知识点，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．15.【答案】−e【解析】解：根据题意，f(x)是奇函数，若f(e 2)=1，则f(−e 2)=−1， 当x <0时，f(x)=ln ax ，则f(−e 2)=ln(a−e 2)=−1，则a =−e ， 故答案为：−e ．根据题意，由函数的奇偶性可得f(−e 2)=−1，结合函数的解析式计算可得答案． 本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．16.【答案】235π4【解析】解：设正四棱台下底面边长为2x ， 依题意可得，正四棱台的高ℎ=√32x ，∵棱台的体积为7√36，∴13⋅(x 2+4x 2+√x 2⋅4x 2)⋅√32x =7√36， 解得x =1，则正四棱台的下底面边长为2；∴正四棱台上底面对角线长为√2，下底面对角线长为2√2，设上底面中心为O 1，下底面中心为O 2，四棱台外接球半径为R ，若外接球球心O 在线段O 1O 2上，由√R 2−(√22)2+√R 2−(√2)2=√32，此方程无解；若外接球球心O 在线段O 1O 2的延长线上，由√R 2−(√22)2−√R 2−(√2)2=√32，解得：解得：R 2=3516，外接球的表面积为4π×3516=354π．故答案为：2；354π．设正四棱台下底面边长为2x ，可得正四棱台的高ℎ=√32x ，再由棱台体积公式列式求解x ，则下底面边长可求；设上底面中心为O 1，下底面中心为O 2，四棱台外接球半径为R ，由棱台的高相等分类列式求得R ，则外接球表面积可求．本题考查多面体的外接球，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 1=0，S 6=3(a 7−1)，所以15d =3(6d −1)，解得d =1， 所以数列{a n }的通项公式为a n =n −1； (2)因为b n =2a n =2n−1， 所以b 1+b 2+b 3+⋅⋅⋅+b n =1−2n 1−2=2n −1， 所以1b 1+1b 2+1b 3+⋯+1b n=1−(12)n1−12=2[1−(12)n ]，因为1b 1+1b 2+1b 3+⋯+1b n>14(b 1+b 2+b 3+⋯+b n )，所以2[1−(12)n ]>14(2n −1)， 即22n −9×2n +8<0， 解得1<2n <8， 所以0<n <3， 又n 为正整数， 所以n =1，2，故正整数n 的集合为{1,2}．【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d ，将已知的等式用d 表示，求出d ，由等差数列通项公式求解即可；(2)利用等比数列的求和公式表示出不等式，然后求出n 的取值范围，即可得到答案．本题考查了等差数列通项公式的运用，等比数列求和公式的应用以及指数不等式的解法，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．18.【答案】解：①asinB =bsinB+C 2，由正弦定理可得：sinAsinB =sinBsinB+C 2，又因为B ∈(0,π)，所以sinB ≠0，所以sinA =sinπ−A 2=cos A2，即2sin A2cos A2=cos A2，在三角形中，A ∈(0,π)，则A2∈(0,π20, 所以cos A2≠0，所以可得sin A2=12， 所以A2=π6或56π， 可得A =π3或53π(舍)由正弦定理可得asinA =bsinB ，而a =√7，b =2， 所以sinB =ba sinA =√7⋅√32=√3√7， cosB =√7，cosC =−cos(B +A)=−cosBcosA +sinAsinB =√7⋅12+√32√3√7=2√7，在△ADC 中，DC =a 2=√72， 由余弦定理可得AD =√AC 2+CD 2−2AC ⋅DC ⋅cosC =74√7212√7=√192； ②AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2√33S ；所以可得cbcosA =2√33⋅12bcsinA ， 所以可得tanA =√3，A ∈(0,π)， 所以A =π3，后面解法同①；③√3asinC +acosC =b +c ，由正弦定理可得：√3sinAsinC +sinAcosC =sinB +sinC ， 在三角形中，sinB =sin(A +C)=sinAcosC +cosAsinC ， 所以√3sinAsinC =cosAsinC +sinC ，sinC ≠0， 所以√3sinA −cosA =1，即2sin(A −π6)=1， 所以sin(A −π6)=12， 所以A −π6=π6或A −π6=56π，可得A =π3或A =π(舍)， 后面计算同①，综上所述：A =π3，AD =√192．【解析】由所给的①或②或③中的条件可得A 角，再由a ，b 边求出B 的正弦，进而求出余弦值，由三角形的内角和为π，求出cos C 的值，在三角形ADC 中由余弦定理可得AD 的值．本题考查三角形的余弦定理，正弦定理，面积公式的应用，属于中档题．19.【答案】解：(1)2×2列联表如下：则K 2=n(35n⋅115n−415n⋅115n)21315n⋅215n⋅23n⋅13n =n 52，因为有97.5%的把握认为主动预习与学习兴趣有关， 所以n52≥5.024，解得n ≥251.248， 结合题意，正整数n 是15的倍数， 所以n 的最小值为270；(2)由(1)可知，“学习兴趣一般”的学生中，“主动预习”与“不太主动预习”的学生人数之比为4：1，因此用分层抽样的方法，从“学习兴趣一般”的学生中抽取10人中，“不太主动预习”的人数为2， 所以X ～H(3,2，10)， 所以P(X =0)=C 83C 103=715，P(X =1)=C 21C 82C 103=715P(X =2)=C 22C 81C 103=115，所以X 的分布列为：X 0 1 2P715715115则E(X)=3×210=35．【解析】(1)作出2×2列联表，求出K2的值，由题意结合临界表中的数值，列出关于n 的不等式，求出n的范围，即可得到答案；(2)先求出从“学习兴趣一般”的学生中抽取10人中，“不太主动预习”的人数，利用X～H(3,2，10)，求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可．本题考查了独立性检验的应用，超几何分布数学期望计算公式的运用，离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．20.【答案】(1)证明：连结BD交AC于点O，连结OE，在底面ABCD中，因为AB//CD，AB=12CD，由△ABO∽△CDO，可得DOOB =CDAB=2，因为DE=2EP，即DEEP=2，所以在△BDP中，DOOB =DEEP，故E O//PB，因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB//平面AEC；(2)解：取AB的中点H，连结DH，因为∠BAD=60°，AB=AD，所以△ABD为等边三角形，则DH⊥AB，因为AB//CD，则DH⊥CD，因为PD⊥平面ABCD，又DH，CD⊂平面ABCD，所以PD⊥DH，PD⊥CD，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标如图所示，因为DH⊥CD，PD⊥DH，PD∩CD=D，PD，CD⊂平面PCD，则DH⊥平面PCD，因为AD=2，∠BAD=60°，所以DH =√3，平面PCD 的一个法向量为n ⃗ =(√3,0,0)， 因为AB =12CD =2，DE =2EP =2， 故A(√3,−1,0),C(0,4,0),E(0,0,2)， 所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,5,0),AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1,2)， 设平面ACE 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−√3x +5y =0−√3x +y +2z =0，令x =5，则y =√3,z =2√3， 故m ⃗⃗⃗ =(5,√3,2√3)， 所以|cos <n ⃗ ,m ⃗⃗⃗ >|=|n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=√3√3×2√10=√104， 故二面角A −EC −D 的余弦值√104．【解析】(1)连结BD 交AC 于点O ，连结OE ，利用平行线的性质以及三角形的相似比，可证明EO//PB ，由线面平行的判定定理证明即可；(2)取AB 的中点H ，连结DH ，证明PD ⊥DH ，PD ⊥CD ，建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面ACE 的法向量，由向量的夹角公式求解即可．本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面平行的判定定理的应用，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．21.【答案】解：(1)设F 1F 2=2c ，由直线y =2x 是双曲线C 的一条渐近线，可得ba =2①， 因为双曲线C 的准线方程为x =±a 2c ，则{x =a 2c y =2x，可得y =2a 2c ，所以B(a 2c ,2a 2c)，由双曲线的对称性，可得S 四边形AF 1BF 2=4S △BOF 2=4×12c ×2a 2c=4a 2，结合四边形AF 1BF 2的面积为4，可得4a 2=4，解得a =1， 结合①，可得b =2， 所以双曲线C 的方程为x 2−y 24=1；第21页，共23页 (2)①当直线l 的斜率存在时，对于圆O ：x 2+y 2=43，不妨考虑l ：x =2√33， 则由{x =2√33x 2−y 24=1，可得{x =2√33y =±2√33， 所以P(2√33,2√33),Q(2√33,−2√33)， 所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0； ②当直线l 的斜率存在时，设l ：y =kx +m ，因为这些l 与C 相交于P ，Q 两点，所以k ≠±2，因为这些PQ 与圆O 相切， 所以√1+k 2=2√33，即m 2=43(1+k 2)(∗)， 设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，联立方程组{y =kx +m x 2−y 24=1，可得(4−k 2)x 2−2kmx −(m 2+4)=0(k ≠±2)， 结合(∗)，可得△=(2km)2+4(4−k 2)(m 2+4)=163(k 2+16)>0， 则x 1+x 2=2km4−k 2,x 1x 2=−m 2+44−k 2，所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m) =(1+k 2)x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=−(1+k 2)(m 2+4)4−k 2+2k 2m 24−k2+m 2 =3m 2−4(k 2+1)k 2−4，结合(∗)，可得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3×43(1+k 2)−4(k 2+1)k 2−4=0．综上所述，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0． 【解析】(1)利用渐近线得到ba =2，再利用准线方程与直线y =2x ，求出点B ，从而由四边形AF 1BF 2的面积为4，列出关系，结合b a =2，即可求出a 和b 的值，从而得到答案；(2)①当直线l 的斜率存在时，求出点P ，Q 的值，求出OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即可；②当直线l 的斜率存在时，设l ：y =kx +m ，利用直线与圆的位置关系得到m 2=43(1+k 2)，将直线l 与双曲线联立方程组，得到韦达定理，利用平面向量数量积的坐标表示进行化简求解，即可得到答案．本题考查了双曲线标准方程的求解、直线与双曲线位置关系的应用，平面向量数量积的坐标运算，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．22.【答案】解：(1)因为f(x)=ax−1+e x，所以g(x)=(a−2)x−1+e x，则g′(x)=a−2+e x，因为x=0是函数g(x)的极值点，则g′(0)=0，解得a=1，当a=1时，g′(x)=e x−1，令g′(x)=0，解得x=0，当x<0时，g′(x)<0，则g(x)单调递减，当x>0时，g′(x)>0，则g(x)单调递增，所以x=0是函数g(x)的极值点，故a=1；(2)由(1)可知，f(x)=x−1+e x，且f(0)=0，因为f′(x)=1+e x>0，所以f(x)在[0,π2)上单调递增，则当x∈[0,π2)时，f(x)≥f(0)，即f(x)≥0，①当m≤0时，msin2x≤0，所以f(x)≥msin2x恒成立；②当m>0时，令ℎ(x)=f(x)−msin2x=x−1+e x−msin2x，x∈[0,π2)，则ℎ′(x)=1+e x−2mcos2x，x∈[0,π2)，若0<m≤1，x∈[0,π2)，则ℎ′(x)=1+e x−2mcos2x≥1+e x−2m≥2−2m≥0，所以ℎ(x)在[0,π2)上单调递增，则当x∈[0,π2)时，ℎ(x)≥ℎ(0)，结合ℎ(0)=0，可得ℎ(x)≥0，故当x∈[0,π2)时，f(x)≥msin2x恒成立，若m>1，则[ℎ′(x)]′=e x+4msin2x，所以当x∈[0,π2)时，[ℎ′(x)]′>0，则ℎ′(x)单调递增，因为ℎ′(0)=2−2m<0，ℎ′(π4)=1+eπ4>0，ℎ′(x)在[0,π2)上图象不间断，第22页，共23页)上存在唯一的零点，设为α，所以ℎ′(x)在[0,π2因为ℎ′(x)在(0,α)上是增函数，则当x∈(0,α)时，ℎ′(x)<ℎ′(α)，即ℎ′(x)<0，所以ℎ(x)在(0,α)上减增函数，则当x∈(0,α)时，ℎ(x)<ℎ(0)，即ℎ(x)<0，即x∈(0,α)时，f(x)<msin2x，与题设矛盾．综上所述，实数m的取值范围为(−∞,1]．【解析】(1)利用极值点满足g′(x)=0，求出a的值，然后再进行验证即可；(2)利用(1)可得f(x)≥0，当m≤0时，f(x)≥msin2x恒成立；当m>0时，构造函数ℎ(x)=f(x)−msin2x，利用导数研究ℎ(x)的性质，即可证明f(x)≥msin2x恒成立；当m>1时，利用导数研究ℎ(x)的性质，可得f(x)<msin2x，与题设矛盾，从而得到m 的取值范围．本题考查了导数的综合应用，利用导数研究不等式恒成立问题的策略为：通常构造新函数或参变量分离，利用导数研究函数的单调性，求出最值从而求得参数的取值范围，属于中档题．第23页，共23页。
2020年海安高级中高二下学期期末考试数学试卷及答案
（2）若 a 2 13 ，且 ABC 的面积为12 3 ，求 b c 的值.
解：（1）由正弦定理 a b c 得： sin B sin A 2sin C sin Bsin B
sin A sin B sin C
cos A
cos B
在 ABC 中， 0 B ， 0 C
∴ sin B 0 ， sin C 0
4. D； 5. B； 6. A；
7. D；
8. D.
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要
求的.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分.
9．下列说法中，正确的命题是（ ）
A．已知随机变量 X 服从正态分布 N 2, 2 ， P X 4 0.8 ，则 P 2 X 4 0.2
f x 4 f x 0 ，即 f x得周期为 4，B 选项正确； f 2022 f 2 0 ，C 选项正确； f x在 0 , 2 上单调增，则 f x在 4 , 2 上单调增，D 选项错误.
即正确选项为 ABC.
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，第 16 题双空，第一空 2 分，第二空 3 分.
）
A． f x 是偶函数
B． f x 的周期T 4
C． f 2022 0
D． f x 在 4, 2 单调递减
【答案】ABC
解： f x 1 的图像关于 x 1对称，则 f x的图像关于 x 0 对称 f x 为偶函数，即 A 选项正确； f x 4 f x 2 f 2 f 2 f 2 2 f 2 f 2 0
18．（本小题满分 12 分）
在① a2 , a3, a4 4 成等差数列；② S1, S2 2, S3 成等差数列；③ an1 Sn 2 中任选一个，补充在下列的问
江苏省南通中学2021-2022学年高二(下)期末数学试卷(文科)_161
江苏省南通中学2021—2022学年高二（下）期末数学试卷（文科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上．1．已知集合A={1，3，9}，B={1，5，9}，则A∩B=．2．已知算数z满足（1+i）z=﹣1+5i，则z=．3．某时段内共有100辆汽车经过某一雷达测速区域，将测得的汽车时速绘制成如图所示的频率分布直方图．根据图形推断，该时段时速不超过50km/h的汽车辆数为．4．口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之和大于5的概率为．5．执行如图的程序框图，若输入的N是3，则输出P的值是．6．“1＜x＜2”是“x＜2”成立的（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”）条件．7．我们知道，以正三角形的三边中点为顶点的三角形与原三角形的面积之比为1：4，类比该命题得，以正四面体的四个面的中心为顶点的四面体与原四面体的体积之比为．8．设实数x、y满足，则u=的取值范围是．9．曲线y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为．10．已知函数f（x）是定义在R上偶函数，且在区间（﹣∞，0]上是单调递减，则不等式f（x2﹣3x）＜f（4）的解集为．11．若f（x）=是R上的单调函数，则实数a的取值范围为．12．若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于．13．已知x，y∈R+，满足﹣=1，不等式（x﹣y）a+2a2﹣3≥0恒成立，则实数a的取值范围是．14．已知函数f（x）=，g（x）=f（x）﹣3k，若函数g（x）恰有两个不同的零点，则实数k的取值范围为．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知函数f（x）=lg（2+x）+lg（2﹣x）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）记函数g（x）=10f（x）+3x，求函数g（x）的值域．16．已知命题：“∃x∈[﹣1，1]，使等式m=x2﹣x成立”是真命题．（1）求实数m的取值集合M；（2）设不等式（x﹣a）[x﹣（2﹣a）]＜0的解集为N，若N⊆M，求a的取值范围．17．设命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣x+a）定义域为R；命题q：不等式3x﹣9x＜a对任意x∈R恒成立．（1）如果p是真命题，求实数a的取值范围；（2）如果命题“p或q”为真命题且“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．18．某市近郊有一块大约500m×500m的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S平方米．（1）分别用x表示y和S的函数关系式，并给出定义域；（2）怎样设计能使S取得最大值，并求出最大值．19．已知函数f（x）=x3﹣ax+1．（1）若x=1时，f（x）取得极值，求实数a的值；（2）求f（x）在[0，1]上的最小值．20．已知f（x）=lnx﹣x+1（x∈R+），g（x）=mx﹣1（m＞0）．（1）求函数y=f（x）的单调区间；（2）设x＞0，讨论函数y=f（x）的图象与直线g（x）=mx﹣1（m＞0）公共点的个数；（3）若数列{a n}的各项均为正数，a1=1，在m=2时，a n+1=f（a n）+g（a n）+2（n∈N*），求证：a n≤2n ﹣1．江苏省南通中学2021—2022学年高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上．1．已知集合A={1，3，9}，B={1，5，9}，则A∩B={1，9}．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：由A与B，求出两集合的交集即可．解答：解：∵A={1，3，9}，B={1，5，9}，∴A∩B={1，9}，故答案为：{1，9}点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知算数z满足（1+i）z=﹣1+5i，则z=2+3i．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：把等式两边同时乘以，然后直接利用复数代数形式的除法运算化简求值．解答：解：由（1+i）z=﹣1+5i，得．故答案为：2+3i．点评：本题考查复数代数形式的除法运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题．3．某时段内共有100辆汽车经过某一雷达测速区域，将测得的汽车时速绘制成如图所示的频率分布直方图．根据图形推断，该时段时速不超过50km/h的汽车辆数为23．考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：根据频率分布直方图计算出时速不超过50km/h的频率即可得到结论．解答：解：时速不超过50km/h对应的频率之和为（0.005+0.018）×10=0.23，则对应的频数为0.23×100=23，故答案为：23．点评：本题主要考查频率分布直方图的应用，根据图象求出对应的面积即频率是解决本题的关键．4．口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之和大于5的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：计算题．分析：由组合知识求出从4个球中随机抽取两个球的所有方法种数，由题意得到两球编号之和大于5的方法种数，然后直接利用古典概型概率计算公式求解．解答：解：从5个球中随机抽取两个球，共有种抽法．满足两球编号之和大于5的情况有（2，4），（3，4）共2种取法．所以取出的两个球的编号之和大于5的概率为．故答案为．点评：本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了组合及组合数公式，是基础题．5．执行如图的程序框图，若输入的N是3，则输出P的值是13．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量P的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解答：解：第一次执行循环体后，P=3，不满足退出循环的条件，i=2；再次执行循环体后，P=7，不满足退出循环的条件，i=3；再次执行循环体后，P=13，满足退出循环的条件，故输出的P值为：13，故答案为：13点评：本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．6．“1＜x＜2”是“x＜2”成立的充分不必要（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”）条件．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：若“1＜x＜2”则“x＜2”成立，若x=0满足x＜2，但1＜x＜2不成立，即“1＜x＜2”是“x＜2”成立的充分不必要条件，故答案为：充分不必要点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．7．我们知道，以正三角形的三边中点为顶点的三角形与原三角形的面积之比为1：4，类比该命题得，以正四面体的四个面的中心为顶点的四面体与原四面体的体积之比为．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由题意画出图形，结合三角形中位线、三角形重心的性质及相似三角形的面积比等于相似比的平方得答案．解答：解：如图，设正四面体ABCD四个面的中心分别为E、F、G、H，AH为四面体ABCD的面BCD上的高，交面EFG于H，则，又，∴，则，同理可得，∴正四面体的四个面的中心为顶点的四面体与原四面体的体积之比为．故答案为：．点评：本题考查了棱柱、棱锥、棱台的体积，考查了学生的空间想象能力和思维能力，属中档题．8．设实数x、y满足，则u=的取值范围是[，2]．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意首先画出不等式组表示的平面区域，然后根据u的几何意义求最值．解答：解：不等式组表示的平面区域如图，其中A（3，1），B（3，6），则u=表示过区域内的点与原点连接的直线的斜率，当过A时k OA=，k OB==2，所以u=的取值范围是[，2]；故答案为：[，2]．点评：本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决本题的关键，要利用数形结合的数学思想．9．曲线y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为y=4x﹣3．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：先求导函数，求出切线的斜率，再求切线的方程．解答：解：求导函数，可得y′=3lnx+4，当x=1时，y′=4，∴曲线y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为y﹣1=4（x﹣1），即y=4x﹣3．故答案为：y=4x﹣3．点评：本题考查导数的几何意义，考查点斜式求直线的方程，属于基础题．10．已知函数f（x）是定义在R上偶函数，且在区间（﹣∞，0]上是单调递减，则不等式f（x2﹣3x）＜f（4）的解集为{x|﹣1＜x＜4}．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可．解答：解：∵f（x）是定义在R上偶函数，且在区间（﹣∞，0]上是单调递减，∴在区间（0，+∞）上为增函数，则不等式f（x2﹣3x）＜f（4）等价为f（|x2﹣3x|）＜f（4），即|x2﹣3x|＜4，即，即，解得﹣1＜x＜4，故不等式的解集为{x|﹣1＜x＜4}，故答案为：{x|﹣1＜x＜4}．点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，将不等式进行转化是解决本题的关键．11．若f（x）=是R上的单调函数，则实数a的取值范围为[，+∞）．考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：若f（x）=是R上的单调函数，根据第二段函数为减函数，故第一段也应该为减函数，且x=1时，第二段的函数值不小于第一段的函数值，进而构造关于a的不等式组，解不等式组可得实数a的取值范围．解答：解：∵f（x）=是R上的单调函数，∴，解得：a≥，故实数a的取值范围为[，+∞），故答案为：[，+∞）点评：本题考查的知识点是分段函数的单调性，其中根据已知构造关于a的不等式组，是解答的关键．12．若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于9．考点：函数在某点取得极值的条件．专题：综合题．分析：求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为0得到a，b满足的条件，利用基本不等式求出ab的最值．解答：解：由题意，求导函数f′（x）=12x2﹣2ax﹣2b∵在x=1处有极值∴a+b=6∵a＞0，b＞0∴ab≤（）2=9，当且仅当a=b=3时取等号所以ab的最大值等于9故答案为：9点评：本题考查函数在极值点处的导数值为0、考查利用基本不等式求最值，需注意：一正、二定、三相等．13．已知x，y∈R+，满足﹣=1，不等式（x﹣y）a+2a2﹣3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣]．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意和基本不等式求最值可得t=x﹣y≤1，题目转化为不等式ta+2a2﹣3≥0在t∈（﹣∞，1]上恒成立，分类讨论可得．解答：解：∵x，y∈R+，满足﹣=1，∴x﹣y=（x﹣y）（﹣）=5﹣（+）≤5﹣2=1当且仅当=即x=2且y=1时取等号，∴t=x﹣y≤1，题目转化为不等式ta+2a2﹣3≥0在t∈（﹣∞，1]上恒成立．当a≥0时，显然不成立；当a＜0时，ta+2a2﹣3≥0恒成立，即ta+2a2﹣3的最小值≥0，∴a+2a2﹣3≥，解得a≤﹣，∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣]故答案为：（﹣∞，﹣]点评：本题考查基本不等式求最值，涉及恒成立和分类讨论的思想，属中档题．14．已知函数f（x）=，g（x）=f（x）﹣3k，若函数g（x）恰有两个不同的零点，则实数k的取值范围为（1，）∪{0，}．考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：由g（x）=0，利用方程和函数之间的关系，转化为求函数f（x）的极值问题，利用数形结合即可得到结论．解答：解：由g（x）=f（x）﹣3k=0，即f（x）=3k，当x≤0时，f（x）=（2x﹣x2）e x，则f'（x）=（2﹣x2）e x，由f'（x）=（2﹣x2）e x=0，解得x=﹣，当x=﹣时，函数f（x）取得极小值f（﹣）=，当x＞0时，f（x）=﹣x2+4x+3=﹣（x﹣2）2+7≤7，作出函数f（x）的图象，由图象可知，要使f（x）=3k有恰有两个不同的交点，则满足3＜3k＜7或=3k或k=0，即1＜k＜或k=或k=0，故答案为：（1，）∪{0，}点评：本题主要考查函数零点个数的判定，将方程转化为两个函数的相交个数问题是解决本题问题的基本方法．利用导数研究函数f（x）的极值是解决本题的关键．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知函数f（x）=lg（2+x）+lg（2﹣x）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）记函数g（x）=10f（x）+3x，求函数g（x）的值域．考点：对数函数图象与性质的综合应用；对数函数的定义域．专题：计算题．分析：（1）由题意得，x应满足：，由此解得x的范围，即为函数f（x）的定义域．（2）由题意得g（x）=﹣x2+3x+4（﹣2＜x＜2）为二次函数，对称轴为x=，故最大值为，在闭区间[﹣2，2]上，g（x）的最小值为g（﹣2）=﹣6，由此求得函数g（x）在定义域（﹣2，2）上的值域．解答：解：（1）由题意得，x应满足：，解得﹣2＜x＜2，所以f（x）的定义域为（﹣2，2）．（2）由于g（x）=10f（x）+3x，得g（x）=﹣x2+3x+4（﹣2＜x＜2）为二次函数，对称轴为x=，故最大值为，在闭区间[﹣2，2]上，最小值为g（﹣2）=﹣6．故在定义域（﹣2，2）上，函数g（x）的值域为．点评：本题主要考查对数函数的定义域，二次函数的性质的应用，属于中档题．16．已知命题：“∃x∈[﹣1，1]，使等式m=x2﹣x成立”是真命题．（1）求实数m的取值集合M；（2）设不等式（x﹣a）[x﹣（2﹣a）]＜0的解集为N，若N⊆M，求a的取值范围．考点：集合的包含关系判断及应用；特称命题．专题：集合；推理和证明．分析：（1）若方程m=x2﹣x在[﹣1，1]上有解，即m的取值范围为函数y=x2﹣x在[﹣1，1]上的值域，结合二次函数的图象和性质，要得M；（2）对a的取值进行分类讨论，求出不等式（x﹣a）[x﹣（2﹣a）]＜0的解集为N，结合N⊆M，可得a的取值范围．解答：解：（1）由题意知，方程m=x2﹣x在[﹣1，1]上有解，即m的取值范围为函数y=x2﹣x在[﹣1，1]上的值域，由函数y=x2﹣x的图象是开口朝上，且以直线x=为对称轴的抛物线，故当x=时，函数最小值为﹣，当x=﹣1时，函数最大值为2，故m=[﹣，2]，（5分）（2）当a=1时，解集N为空集，满足题意；（7分）当a＞1时，a＞2﹣a，此时集合N={x|2﹣a＜x＜a}，则1＜a≤2（10分）当a＜1时，a＜2﹣a，此时集合N={x|a＜x＜2﹣a}，则0≤a＜1（13分）综上：0≤a≤2（14分）点评：本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，特称命题，是集合与逻辑的简单综合应用，难度不大，属于基础题．17．设命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣x+a）定义域为R；命题q：不等式3x﹣9x＜a对任意x∈R恒成立．（1）如果p是真命题，求实数a的取值范围；（2）如果命题“p或q”为真命题且“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：（1）通过讨论a的范围，得到不等式组，解出即可；（2）分别求出p，q真时的a的范围，再根据p真q假或p假q真得到不等式组，解出即可．解答：解：（1）由题意ax2﹣x+a＞0 对任意x∈R恒成立，当a=0时，不符题意，舍去；当a≠0时，则⇒a＞2，所以实数a的取值范围是a＞2．（2）设t=3x（t＞0），g（t）=﹣t2+t=﹣+，g（t）max=，当q为真命题时，有a＞，∵命题“p或q”为真命题且“p且q”为假命题，∴p与q一个为真，一个为假，当p真q假，则，无解，当p假q真，则⇒＜a≤2，综上，实数a的取值范围是：＜a≤2．点评：本题考查了复合命题的判断，考查对数函数、指数函数的性质，是一道基础题．18．某市近郊有一块大约500m×500m的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S平方米．（1）分别用x表示y和S的函数关系式，并给出定义域；（2）怎样设计能使S取得最大值，并求出最大值．考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题；压轴题．分析：（1）总面积为xy=3000，且2a+6=y，则y=，（其中6＜x＜500），从而运动场占地面积为S=（x﹣4）a+（x﹣6）a，代入整理即得；（2）由（1）知，占地面积S=3030﹣6x﹣=3030﹣（6x+），由基本不等式可得函数的最大值，以及对应的x的值．解答：解：（1）由已知xy=3000，∴，其定义域是（6，500）．S=（x﹣4）a+（x﹣6）a=（2x﹣10）a，∵2a+6=y，∴，∴，其定义域是（6，500）．（2），当且仅当，即x=50∈（6，500）时，上述不等式等号成立，此时，x=50，y=60，S max=2430．答：设计x=50m，y=60m时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米．点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查应用基本不等式求函数最值，构建函数关系式是关键，属于中档题．19．已知函数f（x）=x3﹣ax+1．（1）若x=1时，f（x）取得极值，求实数a的值；（2）求f（x）在[0，1]上的最小值．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）由条件“f（x）在x=1处取得极值”可得f′（1）=0，解方程即可；（2）先求导数f′（x），然后讨论a的值，判断f′（x）的正负，进而得到f（x）在[0，1]上的单调性，即可得到f（x）在[0，1]上的最小值．解答：解：（1）f′（x）=x2﹣a，因为f（x）在x=1处取得极值，所以f′（1）=0，解得a=1；（2）f′（x）=x2﹣a，①当﹣a≥0，即a≤0时，f′（x）=x2≥0，则f（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数，所以f（x）在[0，1]上是增函数，故f（x）在[0，1]上的最小值为f（0）=1；②当﹣a＜0，即a＞0时，由f′（x）=x2﹣a＞0，得x＜﹣或x＞，所以f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣）和（，+∞）；由f′（x）=x2﹣a＜0得﹣＜x＜，所以f（x）的单调减区间为（﹣，）；所以当a≥1时，f（x）在[0，1]上单调递减，所以f（x）的最小值为f（1）=；当0＜a＜1时，f（x）在[0，）上单调递减，在（，1]上单调递增，所以f（x）的最小值为f（）=（）3﹣a+1=1﹣；综上所述，当a≤0时，f（x）的最小值为f（0）=1；当0＜a＜1时，f（x）的最小值为f（）=（）3﹣a+1=1﹣；当a≥1时，f（x）的最小值为f（1）=．点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及利用导数研究函数的单调性和利用导数求闭区间上函数的最值，属于中档题．20．已知f（x）=lnx﹣x+1（x∈R+），g（x）=mx﹣1（m＞0）．（1）求函数y=f（x）的单调区间；（2）设x＞0，讨论函数y=f（x）的图象与直线g（x）=mx﹣1（m＞0）公共点的个数；（3）若数列{a n}的各项均为正数，a1=1，在m=2时，a n+1=f（a n）+g（a n）+2（n∈N*），求证：a n≤2n ﹣1．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）先求出函数的导，从而求出函数的单调区间；（2）问题等价于曲线y=﹣1与直线y=m（m＞0）公共点的个数．构造h（x）=﹣1，通过讨论m法范围，得到交点的个数；（3）根据a n+1+1≤2（a n+1），对n取值，作乘即可得到结果．解答：解：（1）求导f′（x）=，由f′（x）=0得x=1．当x∈（0，1）时，f′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0．所以函数y=f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数．（2）当x＞0时，函数y=f（x）的图象与直线g（x）=mx﹣1（m＞0）公共点的个数等价于曲线y=﹣1与直线y=m（m＞0）公共点的个数．令h（x）=﹣1，则h′（x）=﹣，所以h′（）=0．当x∈（0，）时，h′（x）＞0，h（x）在（0，）上是增函数；当x∈（，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）在（，+∞）上是减函数．所以，h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（）=e﹣1＞0，且h（）=﹣1＜0，h（e2）=﹣1＜0，如图：于是①当0＜m＜e﹣1时，函数y=f（x）的图象与直线g（x）=mx﹣1（m＞0）有2个公共点；②当m=e﹣1时，函数y=f（x）的图象与直线g（x）=mx﹣1（m＞0）有1个公共点；③当m＞e﹣1时，函数y=f（x）的图象与直线g（x）=mx﹣1（m＞0）有0个公共点．（3）由题意，正项数列{a n}满足：a1=1，a n+1=lna n+a n+2，由（Ⅰ）知：f（x）=lnx﹣x+1≤f（1）=0，即有不等式lnx≤x﹣1（x＞0）由已知条件知a n＞0，a n+1=lna n+a n+2≤a n﹣1+a n+2=2a n+1，故a n+1+1≤2（a n+1），所以当n≥2时，0＜≤2，0＜≤2，…，0＜≤2，0＜≤2，以上格式相乘得：0＜≤2n﹣1，又a1=1，故a n+1≤2n，即a n≤2n﹣1，对n=1也成立．所以有a n≤2n﹣1（n∈N*）．点评：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，不等式的证明，本题有一定的难度．。
2021学年江苏省南通市高二(下)期末数学复习试卷(11)(文科)(有答案)
2021学年江苏省南通市高二（下）期末数学复习试卷（11）（文科）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1. 已知全集U＝R，集合A＝(−∞, 0)，B＝{−1, −3, a}，若(∁U A)∩B≠⌀，则实数a的取值范围是________．2. 已知z=1+i，则|z|=________．3. 命题：“若a，b，c成等比数列，则b2=ac”的逆命题为________．4. 用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60∘”时，应假设________．5. 已知各个命题A、B、C、D，若A是B的充分不必要条件，C是B的必要不充分条件，D是C的充分必要条件，试问D是A的________条件．6. 有这样一段“三段论”推理，对于可导函数f(x)，大前提：如果f′(x0)=0，那么x= x0是函数f(x)的极值点；小前提：因为函数f(x)=x3在x=0处的导数值f′(0)=0，结论：所以x=0是函数f(x)=x3的极值点．以上推理中错误的原因是________错误（填“大前提”，“小前提”，“结论”）．7. 函数f(x)=x−ln(x+1)的减区间是________．8. 若命题“∃x∈R，使得x2+(a−1)x+1≤0”为假命题，则实数a的范围________．9. 直线l与函数f(x)=x3图象相切，且l与直线x+3y=1垂直，则直线l的方程为________．10. 设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，则“a2+b2>c2”是“△ABC 为锐角三角形”成立的________条件（填充分不必要；必要不充分；充要；既不充分也不必要）．11. 下面给出三个类比推理命题（其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集）；①“a，b∈R，若a−b=0，则a=b”类比推出“a，b∈C，若a−b=0，则a=b”②“a，b，c，d∈R，若复数a+bi=c+di，则a=c，b=d”类比推出“a，b，c，d∈Q，若a+√2b=c+√2d，则a=c，b=d”．③“a，b∈R，若a−b>0，则a>b”类比推出“a，b∈C，若a−b>0，则a>b”其中类比结论正确的序号是________（写出所有正确结论的序号）12. 下列几个命题①方程x2+(a−3)x+a＝0的有一个正实根，一个负实根，则a<0．②函数y=√x2−1+√1−x2是偶函数，但不是奇函数．③函数f(x)的值域是[−2, 2]，则函数f(x+1)的值域为[−3, 1]．④设函数y＝f(x)定义域为R，则函数y＝f(1−x)与y＝f(x−1)的图象关于y轴对称．⑤一条曲线y＝|3−x2|和直线y＝a(a∈R)的公共点个数是m，则m的值不可能是1．其中正确的有________．13. （文科）已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f(x+2)=f(x)．当0≤x≤1时，f(x)=x2．若直线y=x+a与函数y=f(x)的图象在[0, 2]内恰有两个不同的公共点，则实数a=________．x3−x在(a,10−a2)上有最小值，则a的取值范围为________．14. 若函数f(x)=13二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）>1，x∈R}，B={x|x2+(1−m)x−m<0, x∈R}．已知集合A={x|6x+1（1）若A∩B={x|−1<x<4}，求实数m的值；（2）当m=3时，求A∩(∁R B)；（3）若A∪B=A，求实数m的取值范围．设命题p：曲线y=x3−2ax2+2ax上任一点处的切线的倾斜角都是锐角；命题q：直线y=x+a与曲线y=x2−x+2有两个公共点；若命题p和命题q中有且只有一个是真命题，求实数a的取值范围．已知复数z=(m2+m−6)+(m2+m−2)i(m∈R)在复平面内所对应的点为A．(1)若复数z+4m为纯虚数，求实数m的值；(2)若点A在第二象限，求实数M的取值范围；(3)求|z|的最小值及此时实数m的值．阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ−−−−−−①sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ−−−−−−②由①+②得sin(α+β)+sin(α−β)=2sinαcosβ−−−−−−③令α+β=A，α−β=B有α=A+B2，β=A−B2代入③得sin A+sin B=2sin A+B2cos A−B2．（1）类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cos A−cos B=−2sin A+B2sin A−B2；（2）若△ABC的三个内角A，B，C满足cos2A−cos2B=2sin2C，试判断△ABC的形状．（提示：如果需要，也可以直接利用阅读材料及（1）中的结论）已知a为实数，f(x)=(x2−4)(x−a)．（1）求导数f′(x)；（2）若f′(−1)=0，求f(x)在[−2, 2]上的最大值和最小值；（3）若f(x)在(−∞, −2)和(2, +∞)上都是递增的，求a的取值范围．已知集合M是同时满足下列两个性质的函数f(x)的全体：①f(x)在其定义域上是单调函数；②在f(x)的定义域内存在闭区间[a, b]，使得f(x)在[a, b]上的最小值是a2，最大值是b2．请解答以下问题：（1）判断函数g(x)=−x3是否属于集合M？并说明理由，若是，请找出满足②的闭区间[a, b]；（2）若函数ℎ(x)=√x−1+t∈M，求实数t的取值范围．参考答案与试题解析2021学年江苏省南通市高二（下）期末数学复习试卷（11）（文科）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1.【答案】a≥0【考点】集合关系中的参数取值问题交、并、补集的混合运算【解析】根据题意，由集合A求出A的补集，分析可得若(∁U A)∩B≠⌀，则B中必须有大于等于0的实数，由集合B的元素，分析可得答案．【解答】集合A＝(−∞, 0)＝{x|x<0}，则∁U A＝{x|x≥0}，若(∁U A)∩B≠⌀，则B中必须有大于等于0的实数，又由B＝{−1, −3, a}，则a≥0，2.【答案】√2【考点】复数的模【解析】直接由复数模的公式进行计算．【解答】解：由z=1+i，所以|z|=√12+12=√2．故答案为√2．3.【答案】若b2=ac，则a，b，c成等比数列【考点】四种命题间的逆否关系【解析】根据逆命题和原命题之间的关系进行改写即可．【解答】解：交换原命题的条件和结论，便可得到命题的逆命题为：若b2=ac，则a，b，c成等比数列．故答案为：若b2=ac，则a，b，c成等比数列．4.【答案】三个内角都大于60∘【考点】反证法【解析】根据命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60∘”的否定为“三个内角都大于60∘”，得到答案．【解答】解：根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，先把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，而命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60∘”的否定为“三个内角都大于60∘”，故答案为：三个内角都大于60∘．5.【答案】必要不充分【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】由题意A是B的充分不必要条件，可得A⇒B，C是B的必要不充分条件，可得B⇒C，D是C的充分必要条件，可得D⇔C，从而得D与A的关系．【解答】∵若A是B的充分不必要条件，C是B的必要不充分条件∴A⇒B，B⇒C，∴A⇒C，∵D是C的充分必要条件，∴D⇔C，∴A⇒D，∴D是A的必要不充分条件，6.【答案】大前提【考点】演绎推理【解析】在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“对于可导函数f(x)，如果f′(x0)=0，那么x=x0是函数f(x)的极值点”，不难得到结论．【解答】解：∵大前提是：“对于可导函数f(x)，如果f′(x0)=0，那么x=x0是函数f(x)的极值点”，不是真命题，∵对于可导函数f(x)，如果f′(x0)=0，且满足当x>x0时和当x<x0时的导函数值异号时，那么x=x0是函数f(x)的极值点，∴大前提错误.故答案为：大前提．7.【答案】(−1, 0)【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】解出f′(x)<0即可．【解答】解：f′(x)=1−1x+1=xx+1，(x>−1)．解f′(x)<0，得−1<x<0，∴函数f(x)=x−ln(x+1)的减区间是(−1, 0)．故答案为(−1, 0)．8.【答案】(−1, 3)【考点】全称命题与特称命题【解析】不等式对应的是二次函数，其开口向上，若“∃x∈R，使得x2+(a−1)x+1≤0”，则相应二次方程有实根．求出a的范围，然后求解命题“∃x∈R，使得x2+(a−1)x+1≤0”为假命题，实数a的范围．【解答】解：∵ “∃x∈R，使得x2+(a−1)x+1≤0∴x2+(a−1)x+1=0有两个实根∴△=(a−1)2−4≥0∴a≤−1，a≥3，所以命题“∃x∈R，使得x2+(a−1)x+1≤0”为假命题，则实数a的范围(−1, 3)．故答案为：(−1, 3)．9.【答案】y=3x±2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程直线的一般式方程与直线的垂直关系【解析】设所求的直线方程为y=3x+m，切点为(n, n3)，根据函数在切点处的导数即为切线的斜率，求出n值，可得切点的坐标，用点斜式求得切线的方程．【解答】解：设所求的直线方程为y=3x+m，切点为(n, n3)，则由题意可得3n2=3，∴n=±1，故切点为(1, 1)，或(−1, −1)，代入切线方程y=3x+m可得m=±2，故设所求的直线方程为y=3x±2，故答案为：y=3x±2．10.【答案】必要不充分【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断． 【解答】解：若a 2+b 2>c 2，则C 为锐角，但无法判断A ，B 的大小．若△ABC 为锐角三角形，则A ，B ，C 都为锐角，此时a 2+b 2>c 2成立． 所以“a 2+b 2>c 2”是“△ABC 为锐角三角形”成立的必要不充分条件． 故答案为：必要不充分． 11.【答案】 ①②． 【考点】命题的真假判断与应用 【解析】在数集的扩展过程中，有些性质是可以传递的，但有些性质不能传递，因此，要判断类比的结果是否正确，关键是要在新的数集里进行论证，当然要想证明一个结论是错误的，也可直接举一个反例，要想得到本题的正确答案，可对3个结论逐一进行分析，不难解答． 【解答】解：①在复数集C 中，若两个复数满足a −b =0，则它们的实部和虚部均相等，则a ，b 相等．故①正确；②在有理数集Q 中，若a +√2b =c +√2d 则(a −c)+(b −d)√2=0，易得：a =c ，b =d ．故②正确；③若a ，b ∈C ，当a =1+i ，b =i 时，a −b =1>0，但a ，b 是两个虚数，不能比较大小．故③错误 ①②是正确的． 故答案为：①②． 12.【答案】 ①⑤ 【考点】命题的真假判断与应用 【解析】①由方程x 2+(a −3)x +a ＝0的有一个正实根，一个负实根，利用根与系数的关系即可判断出；②要使函数y =√x 2−1+√1−x 2有意义，则{x 2−1≥01−x 2≥0 ，解得x 即可判断出；③函数f(x)的值域是[−2, 2]，则函数f(x +1)只是把函数y ＝f(x)的图象项左平移了一个单位，因此值域没改变；④举反例：若y ＝x(x ∈R)．则f(x −1)＝x −1与f(1−x)＝1−x 关于y 轴不对称； ⑤一条曲线y ＝|3−x 2|和直线y ＝a(a ∈R)的有公共点，则|3−x 2|＝a ≥0，可得x 2−3＝±a ，即x 2＝3±a >0，x =±√3±a ，即可判断出公共点的个数m ． 【解答】①∵ 方程x 2+(a −3)x +a ＝0的有一个正实根，一个负实根，则a1<0，即a <0，因此正确； ②要使函数y =√x 2−1+√1−x 2有意义，则{x2−1≥01−x 2≥0，解得x ＝±1，因此y ＝0(x ＝±1)，故函数既是偶函数，又是奇函数，故不正确；③函数f(x)的值域是[−2, 2]，则函数f(x +1)的值域仍然为[−2, 2]，故不正确； ④举例：若y ＝x(x ∈R)．则f(x −1)＝x −1与f(1−x)＝1−x 关于y 轴不对称，因此不正确；⑤一条曲线y ＝|3−x 2|和直线y ＝a(a ∈R)的有公共点，则|3−x 2|＝a ≥0，∴ x 2−3＝±a ，即x 2＝3±a >0，∴ x =±√3±a ，因此公共点的个数m 可以是2，4，故m 的值不可能是1． 综上可知：其中正确的有 ①⑤． 13. 【答案】 −14或0【考点】 函数的周期性 函数奇偶性的性质 根的存在性及根的个数判断【解析】根据题意可做出函数f(x)在[0, 2]上的图象，通过数形结合与方程思想的应用即可解决问题． 【解答】解：∵ f(x)是定义在R 上的偶函数，当0≤x ≤1时，f(x)=x 2， ∴ 当−1≤x ≤0时，0≤−x ≤1，f(−x)=(−x)2=x 2=f(x)， 又f(x +2)=f(x)，∴ f(x)是周期为2的函数，又直线y =x +a 与函数y =f(x)的图象在[0, 2]内恰有两个不同的公共点，其图象如下：当a =0时，直线y =x +a 变为直线l 1，其方程为：y =x ，显然，l 1与函数y =f(x)的图象在[0, 2]内恰有两个不同的公共点；当a ≠0时，直线y =x +a 与函数y =f(x)的图象在[0, 2]内恰有两个不同的公共点，由图可知，直线y =x +a 与函数y =f(x)相切，切点的横坐标x 0∈[0, 1]． 由{y =x +a y =x 2得：x 2−x −a =0，由△=1+4a =0得a =−14，此时，x 0=x =12∈[0, 1]．综上所述，a =−14或a =0． 故答案为：−14或a =0．14.【答案】[−2, 1)【考点】导数求函数的最值【解析】先求出函数的导函数，求出函数的单调区间，再根据已知在区间(a, 10−a2)有最小值确定出参数a的取值范围．【解答】解：由已知，f′(x)=x2−1，有x2−1≥0得x≥1或x≤−1，因此当x∈[1, +∞), (−∞, −1]时f(x)为增函数，在x∈[−1, 1]时f(x)为减函数．又因为函数f(x)=13x3−x在(a,10−a2)上有最小值，所以开区间(a, 10−a2)须包含x=1，所以函数f(x)的最小值即为函数的极小值f(1)=−23，又由f(x)=−23可得13x3−x=−23，于是得(x−1)2(x+2)=0即有f(−2)=−23，因此有以下不等式成立：{−2≤a<110−a2>1，可解得−2≤a<1，答案为：[−2, 1)二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）【答案】解：（1）对于集合A，由6x+1>1，得x−5x+1<0，解可得−1<x<5，则A={x|−1<x<5}，x2+(1−m)x−m<0⇔(x+1)(x−m)<0，则B={x|(x+1)(x−m)<0}，对于m分类讨论：①、m<−1，B={x|x<m或x>1}，A∩B={x|−1<x<4}不可能成立，②、m=−1，B=⌀，A∩B={x|−1<x<4}不可能成立，③、m>−1，B={x|−1<x<m}，若A∩B={x|−1<x<4}，则m=4，此时B={x|−1<x<4}，符合题意，故实数m的值为4．（2）当m=3时，B={x|−1<x<3}，则∁R B={x|x≤−1或x≥3}∴A∩(∁R B)={x|3≤x<5}（3）因为A∪B=A，所以B⊆A，①当B=ϕ时，即m=−1，符合题意，②当B≠ϕ时，显然−1<m≤5，综上所述，−1≤m≤5．【考点】其他不等式的解法集合的包含关系判断及应用【解析】 （1）解6x+1>1可得集合A ，由x 2+(1−m)x −m <0⇔(x +1)(x −m)<0，可得B ={x|(x +1)(x −m)<0}，对m 分类讨论，验证A ∩B ={x|−1<x <4}能不能成立，分析可得答案；（2）根据题意，由m =3可得集合B ，由补集的意义可得∁R B ，进而由交集的定义，计算可得答案；（3）分析可得，若A ∪B =A ，必有B ⊆A ，分①B =ϕ与②B ≠ϕ两种情况讨论，可得答案． 【解答】解：（1）对于集合A ，由6x+1>1，得x−5x+1<0，解可得−1<x <5，则A ={x|−1<x <5}，x 2+(1−m)x −m <0⇔(x +1)(x −m)<0，则B ={x|(x +1)(x −m)<0}， 对于m 分类讨论：①、m <−1，B ={x|x <m 或x >1}，A ∩B ={x|−1<x <4}不可能成立， ②、m =−1，B =⌀，A ∩B ={x|−1<x <4}不可能成立， ③、m >−1，B ={x|−1<x <m}， 若A ∩B ={x|−1<x <4}，则m =4， 此时B ={x|−1<x <4}，符合题意， 故实数m 的值为4．（2）当m =3时，B ={x|−1<x <3}，则∁R B ={x|x ≤−1或x ≥3} ∴ A ∩(∁R B)={x|3≤x <5} （3）因为A ∪B =A ，所以B ⊆A ， ①当B =ϕ时，即m =−1，符合题意， ②当B ≠ϕ时，显然−1<m ≤5， 综上所述，−1≤m ≤5．【答案】解：若命题p 为真命题，则y′=3x 2−4ax +2a >0对x ∈R 恒成立，… ∴ △1=(4a)2−4×3×2a =8a(2a −3)<0，得0<a <32；…若命题q 为真命题，则方程组{y =x +ay =x 2−x +2有两组不同的解，即x 2−2x +2−a =0有两个不等根，∴ △2=4−4(2−a)=4(a −1)>0，得a >1；…那么，命题p 为真命题而命题q 为假命题时，即0<a <32且a ≤1， 得，0<a ≤1；…命题p 为假命题而命题q 为真命题时，即{a ≤0或a ≥32a >1，得，a ≥32；∴ 当命题p 和命题q 中有且只有一个是真命题时，a ∈(0,1]∪[32，+∞)．… 【考点】命题的真假判断与应用 直线的倾斜角圆锥曲线的综合问题【解析】若命题p ：曲线y =x 3−2ax 2+2ax 上任一点处的切线的倾斜角都是锐角为真命题，则他的导函数大于0恒成立，由此可构造一个关于a 的不等式，解不等式可以求出满足条件的实数a 的取值范围，及不满足条件的实数a 的取值范围；若命题q ：直线y =x +a 与曲线y =x 2−x +2有两个公共点，则方程x 2−2x +2−a =0有两个不等根，由二次方程根的个数与△的关系，又可造一个关于a 的不等式，解不等式可以求出满足条件的实数a 的取值范围，及不满足条件的实数a 的取值范围；根据命题p 和命题q 中有且只有一个是真命题，分类讨论即可得到答案． 【解答】解：若命题p 为真命题，则y′=3x 2−4ax +2a >0对x ∈R 恒成立，… ∴ △1=(4a)2−4×3×2a =8a(2a −3)<0，得0<a <32；…若命题q 为真命题，则方程组{y =x +ay =x 2−x +2有两组不同的解，即x 2−2x +2−a =0有两个不等根，∴ △2=4−4(2−a)=4(a −1)>0，得a >1；…那么，命题p 为真命题而命题q 为假命题时，即0<a <32且a ≤1， 得，0<a ≤1；…命题p 为假命题而命题q 为真命题时，即{a ≤0或a ≥32a >1，得，a ≥32；∴ 当命题p 和命题q 中有且只有一个是真命题时，a ∈(0,1]∪[32，+∞)．… 【答案】解：(1)复数z +4m =(m 2+5m −6)+(m 2+m −2)i ，由{m 2+5m −6=0m 2+m −2≠0，解得m =−6.(2)由{m 2+m −6<0m 2+m −2>0， 解得−3<m <−2，或1<m <2.(3)|z|2=(m 2+m −6)2+(m 2+m −2)2， 令m 2+m −2=t ， t ∈[−94, +∞)，则|z|2=2t 2−4t +16=2(t −2)2+8， 所以当t =2，即m =−1±√172时， 有最小值2√2．【考点】 复数的模复数的代数表示法及其几何意义 复数的基本概念 【解析】（1）将z +4m 化为代数形式，令其实部为0，虚部不为0， （2）点A 在第二象限，应实部小于0，虚部大于0．（3）根据复数模的计算公式，得出关于m 的函数求出最值． 【解答】解：(1)复数z +4m =(m 2+5m −6)+(m 2+m −2)i ，由{m 2+5m −6=0m 2+m −2≠0， 解得m =−6.(2)由{m 2+m −6<0m 2+m −2>0，解得−3<m <−2，或1<m <2.(3)|z|2=(m 2+m −6)2+(m 2+m −2)2， 令m 2+m −2=t ， t ∈[−94, +∞)，则|z|2=2t 2−4t +16=2(t −2)2+8， 所以当t =2，即m =−1±√172时， 有最小值2√2．【答案】 满分． 解法一：（1）因为cos (α+β)=cos αcos β−sin αsin β，①cos (α−β)=cos αcos β+sin αsin β，②…①-②得cos (α+β)−cos (α−β)=−2sin αsin β．③… 令α+β=A ，α−β=B 有α=A+B 2，β=A−B 2，代入③得cos A −cos B =−2sinA+B 2sinA−B 2．…（2）由二倍角公式，cos 2A −cos 2B =2sin 2C 可化为1−2sin 2A −1+2sin 2B =2sin 2C ，…即sin 2A +sin 2C =sin 2B ．…设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 由正弦定理可得a 2+c 2=b 2．…根据勾股定理的逆定理知△ABC 为直角三角形．… 解法二：（1）同解法一．（2）利用（1）中的结论和二倍角公式，cos 2A −cos 2B =2sin 2C 可化为−2sin (A +B)sin (A −B)=2sin 2C ，…因为A ，B ，C 为△ABC 的内角，所以A +B +C =π， 所以−sin (A +B)sin (A −B)=sin 2(A +B)． 又因为0<A +B <π，所以sin (A +B)≠0， 所以sin (A +B)+sin (A −B)=0． 从而2sin A cos B =0．…又因为sin A ≠0，所以cos B =0，即∠B =π2． 所以△ABC 为直角三角形．…【考点】 类比推理三角函数中的恒等变换应用 【解析】（1）通过两角和与差的余弦公式，令α+β=A ，α−β=B 有α=A+B 2，β=A−B 2，即可证明结果．（2）解法一：利用二倍角公式以及正弦定理，即可判断三角形的形状．解法二：利用（1）中的结论和二倍角公式，cos 2A −cos 2B =2sin 2C ，以及A +B +C =π，推出2sin A cos B =0.∠B =π2．得到△ABC 为直角三角形【解答】 满分． 解法一：（1）因为cos (α+β)=cos αcos β−sin αsin β，①cos (α−β)=cos αcos β+sin αsin β，②…①-②得cos (α+β)−cos (α−β)=−2sin αsin β．③… 令α+β=A ，α−β=B 有α=A+B 2，β=A−B 2，代入③得cos A −cos B =−2sinA+B 2sinA−B 2．…（2）由二倍角公式，cos 2A −cos 2B =2sin 2C 可化为1−2sin 2A −1+2sin 2B =2sin 2C ，…即sin 2A +sin 2C =sin 2B ．…设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 由正弦定理可得a 2+c 2=b 2．…根据勾股定理的逆定理知△ABC 为直角三角形．… 解法二：（1）同解法一．（2）利用（1）中的结论和二倍角公式，cos 2A −cos 2B =2sin 2C 可化为−2sin (A +B)sin (A −B)=2sin 2C ，…因为A ，B ，C 为△ABC 的内角，所以A +B +C =π， 所以−sin (A +B)sin (A −B)=sin 2(A +B)． 又因为0<A +B <π，所以sin (A +B)≠0， 所以sin (A +B)+sin (A −B)=0． 从而2sin A cos B =0．…又因为sin A ≠0，所以cos B =0，即∠B =π2． 所以△ABC 为直角三角形．…【答案】 解：（1）由原式得f(x)=x 3−ax 2−4x +4a ，∴ f ′(x)=3x 2−2ax −4． （2）由f ′(−1)=0得a =12，此时有f(x)=(x 2−4)(x −12)，f′(x)=3x 2−x −4． 由f ′(x)=0得x =43或x =−1，又f(43)=−5027，f(−1)=92，f(−2)=0，f(2)=0， 所以f(x)在[−2, 2]上的最大值为92，最小值为−5027．（3）解法一：f ′(x)=3x 2−2ax −4的图象为开口向上且过点(0, −4)的抛物线，由条件得f ′(−2)≥0，f ′(2)≥0， ∴ −2≤a ≤2．所以a 的取值范围为[−2, 2]．解法二：令f ′(x)=0即3x 2−2ax −4=0，由求根公式得：x 1,2=a±√a 2+123(x 1<x 2)所以f ′(x)=3x 2−2ax −4．在(−∞, x 1]和[x 2, +∞)上非负． 由题意可知，当x ≤−2或x ≥2时，f ′(x)≥0， 从而x 1≥−2，x 2≤2，即{√a 2+12≤6−a √a 2+12≤a +6解不等式组得−2≤a ≤2． ∴ a 的取值范围是[−2, 2]．【考点】导数求函数的最值 导数的运算利用导数研究函数的单调性【解析】（1）按导数的求导法则求解（2）由f′(−1)=0代入可得f(x)，先求导数，研究函数的极值点，通过比较极值点与端点的大小从而确定出最值（3）（法一）由题意可得f′(2)≥0，f′(−2)≥0联立可得a 的范围（法二）求出f′(x)，再求单调区增间(−∞, x 1）和[x 2, +∞)，依题意有(−∞, −2)⊆(−∞, x 1）[2, +∞]⊆[x 2, +∞)【解答】 解：（1）由原式得f(x)=x 3−ax 2−4x +4a ，∴ f ′(x)=3x 2−2ax −4． （2）由f ′(−1)=0得a =12，此时有f(x)=(x 2−4)(x −12)，f′(x)=3x 2−x −4． 由f ′(x)=0得x =43或x =−1，又f(43)=−5027，f(−1)=92，f(−2)=0，f(2)=0，所以f(x)在[−2, 2]上的最大值为92，最小值为−5027．（3）解法一：f ′(x)=3x 2−2ax −4的图象为开口向上且过点(0, −4)的抛物线，由条件得f ′(−2)≥0，f ′(2)≥0， ∴ −2≤a ≤2．所以a 的取值范围为[−2, 2]．解法二：令f ′(x)=0即3x 2−2ax −4=0，由求根公式得：x 1,2=a±√a 2+123(x 1<x 2)所以f ′(x)=3x 2−2ax −4．在(−∞, x 1]和[x 2, +∞)上非负． 由题意可知，当x ≤−2或x ≥2时，f ′(x)≥0， 从而x 1≥−2，x 2≤2，即{√a 2+12≤6−a √a 2+12≤a +6解不等式组得−2≤a ≤2． ∴ a 的取值范围是[−2, 2]．【答案】 解：（1）函数g(x)=−x 3的定义域为R ，g′(x)=−3x 2≤0（仅在x =0时取等号）， 故函数g(x)在R 上是减函数，故满足条件①．若g(x)∈M ，当x ∈[a, b]时，{g(a)=b2g(b)=a 2a <b ，即{−a 3=b2−b 3=a 2a <b，解得{a =−√22b =√22，故满足条件②的闭区间为[−√22, √22]． 由此可得，g(x)属于集合M ．（2）函数ℎ(x)的定义域是[1, +∞)，当x >1时，ℎ′(x)=2√x−1>0，故函数ℎ(x)在[1, +∞)上是增函数，…若ℎ(x)∈M ，则存在a ，b ∈[1, +∞)，且a <b ，使得ℎ(a)=a2，ℎ(b)=b2，即a −2√a −1−2t =0，且b −2√b −1−2t =0，…令√x −1=y(x ≥1)，则y ≥0，于是关于y 的方程y 2−2y +1−2t =0在[0, +∞)上有两个不等的实根，… 记u(y)=y 2−2y +1−2t ，∴ {△>0u(0)≥0.，∴ t ∈(0,12]．…【考点】函数单调性的判断与证明 函数的定义域及其求法 函数单调性的性质【解析】（1）函数g(x)的定义域为R ，利用导数求得函数g(x)在R 上是减函数，故满足条件①．若g(x)∈M ，当x ∈[a, b]时，{g(a)=b2g(b)=a 2a <b，解得a 、b 的值，可得满足条件②的闭区间存在，从而g(x)属于集合M ．（2）利用导数可得函数ℎ(x)在定义域[1, +∞)上是增函数．若ℎ(x)∈M ，则存在a ，b ∈[1, +∞)，且a <b ，使得ℎ(a)=a2，ℎ(b)=b2，即a −2√a −1−2t =0，且b −2√b −1−2t =0．令√x −1=y(x ≥1)，则y ≥0，于是关于y 的方程y 2−2y +1−2t =0在[0, +∞)上有2个不等实根，利用二次函数的性质求得t 的范围．【解答】 解：（1）函数g(x)=−x 3的定义域为R ，g′(x)=−3x 2≤0（仅在x =0时取等号）， 故函数g(x)在R 上是减函数，故满足条件①．若g(x)∈M ，当x ∈[a, b]时，{g(a)=b2g(b)=a 2a <b ，即{−a 3=b2−b 3=a 2a <b，解得{a =−√22b =√22，故满足条件②的闭区间为[−√22, √22]．由此可得，g(x)属于集合M．（2）函数ℎ(x)的定义域是[1, +∞)，当x>1时，ℎ′(x)=2√x−1>0，故函数ℎ(x)在[1, +∞)上是增函数，…若ℎ(x)∈M，则存在a，b∈[1, +∞)，且a<b，使得ℎ(a)=a2，ℎ(b)=b2，即a−2√a−1−2t=0，且b−2√b−1−2t=0，…令√x−1=y(x≥1)，则y≥0，于是关于y的方程y2−2y+1−2t=0在[0, +∞)上有两个不等的实根，…记u(y)=y2−2y+1−2t，∴{△>0u(0)≥0.，∴t∈(0,12 ]．…。
2021学年江苏省南通市高二(下)期末数学复习试卷(7)(文科)(有答案)
2021学年江苏省南通市高二（下）期末数学复习试卷（7）（文科）一、填空题：1. 函数y=log3(x2−2x)的定义域为________．2. 命题“∀x∈R，x2−2x+2>0”的否定是________．3. 函数y=(12)x的值域为________．4. 若复数z1=4+29i，z2=6+i，其中i是虚数单位，则复数(z1−z2)i的虚部为________．5. 已知条件p:x≤1，q:1x<1，则q是￢p成立的________条件．6. 由命题“存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，求得m的取值范围是(a, +∞)，则实数a的值是________．7. 已知幂函数f(x)=k⋅xα的图象过点(12, √22)，则k+α=________．8. 若复数z满足|z−i|=1（i为虚数单位），则|z|的最大值为________．9. 已知函数f(x)=ax+1x+2在区间(−2, +∞)上为增函数，则实数a的取值范围是________．10. 已知函数f(x)=x3+ax2+bx−a2−7a在x=1处取得极大值10，则ab的值为________．11. 设定义在(−1, 1)上的奇函数f (x)的导函数f′(x)=5+cos x，且f (0)=0，则不等式f (x−1)+f (1−x2)<0的解集为________．12. 已知函数f(x)={−x 2+2x ，x ≤0ln (x +1),x >0若|f(x)|≥ax ，则a 的取值范围是________．13. 若y =f(x)是定义在R 上周期为2的周期函数，且f(x)是偶函数，当x ∈[0, 1]时，f(x)=2x −1，则函数g(x)=f(x)−log 5|x|的零点个数为________．14. 已知函数f(x)=||x −1|−1|，若关于x 的方程f(x)=m(m ∈R)恰有四个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1x 2x 3x 4的取值范围是________．二、解答题：已知复数z =(1−i)2+3(1+i)2−i ，若z 2+az +b =1−i ，（1）求z ；（2）求实数a ，b 的值．记函数f(x)=√2−x+3x+1的定义域为A ，g(x)=lg [(x −a −1)(2a −x)](a <1)的定义域为B ．(1)求A ；(2)若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．已知奇函数f(x)=−2x +a 2x+1+b (a, b ∈R)．（1）求a 与b 的值；（2）求函数f(x)的值域．已知函数f(x)=ln x −ax(a ∈R)．（1）当a =2时，求函数f(x)的单调区间；（2）当a >0时，求函数f(x)在[1, 2]上最小值．设二次函数f(x)=ax 2+bx +c(a, b, c ∈R )满足下列条件：①当x ∈R 时，f(x)的最小值为0，且f(x −1)=f(−x −1)恒成立；(1)求f(1)的值；(2)求f(x)的解析式；(3)求最大的实数m(m >1)，使得存在实数t ，只要当x ∈[1, m]时，就有f(x +t)≤x 成立．已知P(x, y)为函数y =1+ln x 图象上一点，O 为坐标原点，记直线OP 的斜率k =f(x)．(1)若函数f(x)在区间(m, m +13)(m >0)上存在极值，求实数m 的取值范围； (2)当x ≥1时，不等式f(x)≥t x+1恒成立，求实数t 的取值范围；(3)求证：∑ln n i=1[i ⋅(i +1)]>n −2(n ∈N ∗)．参考答案与试题解析2021学年江苏省南通市高二（下）期末数学复习试卷（7）（文科）一、填空题：1.【答案】(0, 2)【考点】函数的定义域及其求法【解析】根据对数函数成立的条件，建立不等式关系，然后求函数的定义域即可．【解答】解：要使函数f(x)有意义，则2x−x2>0，即x2−2x<0，解得0<x<2．∴函数的定义域为(0, 2)．故答案为：(0, 2)．2.【答案】∃x∈R，x2−2x+2≤0【考点】全称命题与特称命题命题的否定【解析】根据全称命题的否定是特称命题的结论，即可写出命题的否定．【解答】解：全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈R，x2−2x+2>0”的否定是：∃x∈R，x2−2x+2≤0．故答案为：∃x∈R，x2−2x+2≤0．3.【答案】(0, +∞)【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域【解析】直接利用指数函数的值域，写出结果即可．【解答】)x是指数函数，所以它的值域是(0, +∞)．解：因为函数y=(12故答案为：(0, +∞)．4.【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】利用复数的运算法则和虚部的定义即可得出．【解答】解：∵复数(z1−z2)i=[(4+29i)−(6+i)]i=(−2+28i)i=−28−2i，∴虚部=−2．故答案为：−2．5.【答案】必要不充分【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：若1x<1，则x<0或x>1，∵x≤1，∴￢p:x>1，即q是￢p成立的必要不充分条件，故答案为：必要不充分6.【答案】1【考点】一元二次不等式的解法【解析】由题意知“任意x∈R，使x2+2x+m>0”是真命题，由二次函数的性质得△<0，求出m的范围，结合题意求出a的值．【解答】解：∵ “存在x∈R，使x2+2x+m≤0”是假命题，∴ “任意x∈R，使x2+2x+m>0”是真命题，∴△=4−4m<0，解得m>1，故a的值是1．故答案为：1．7.【答案】32【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】根据幂函数系数为1，可以求出k的值，又由幂函数f(x)=k⋅xα的图象过点(12, √22)，我们将点的坐标代入函数解析式，易求出a值，进而得到k+α的值．解：由幂函数的定义得k =1，再将点(12, √22)代入得√22=(12)α， 从而α=12，故k +α=32．故答案为：32.8.【答案】2【考点】复数的模【解析】根据复数z 满足|z −i|=1（i 为虚数单位），可得|z|−|i|≤1，故|z|≤2，从而得到|z|的最大值．【解答】解：∵ 复数z 满足|z −i|=1（i 为虚数单位），∴ |z|−|i|≤1，∴ |z|≤2，即|z|的最大值为2，故答案为：2．9.【答案】{a|a >12} 【考点】函数的单调性及单调区间【解析】把函数f(x)解析式进行常数分离，变成一个常数和另一个函数g(x)的和的形式，由函数g(x)在 (−2, +∞)为增函数得出1−2a <0，从而得到实数a 的取值范围．【解答】解：∵ 函数f(x)=ax+1x+2=a +1−2a x+2， 令g(x)=1−2a x+2,结合复合函数的增减性，再根据f(x)在 (−2, +∞)为增函数，可得g(x)=1−2a x+2在 (−2, +∞)为增函数，∴ 1−2a <0，解得a >12.故答案为：{a|a >12}．10.【答案】−23利用导数研究函数的极值【解析】由于f′(x)=3x2+2ax+b，依题意知，f′(1)=3+2a+b=0，f(1)=1+a+b−a2−7a=10，于是有b=−3−2a，代入f(1)=10即可求得a，b，从而可得答案．【解答】解：∵f(x)=x3+ax2+bx−a2−7a，∴f′(x)=3x2+2ax+b，又f(x)=x3+ax2+bx−a2−7a在x=1处取得极大值10，∴f′(1)=3+2a+b=0，f(1)=1+a+b−a2−7a=10，∴a2+8a+12=0，∴a=−2，b=1或a=−6，b=9．当a=−2，b=1时，f′(x)=3x2−4x+1=(3x−1)(x−1)，当13<x<1时，f′(x)<0，当x>1时，f′(x)>0，∴f(x)在x=1处取得极小值，与题意不符；当a=−6，b=9时，f′(x)=3x2−12x+9=3(x−1)(x−3)当x<1时，f′(x)>0，当<x<3时，f′(x)<0，∴f(x)在x=1处取得极大值，符合题意；则ab =−69=−23故答案为：−2311.【答案】(1, √2)【考点】函数的单调性与导数的关系奇偶性与单调性的综合【解析】由题意函数的导函数f′(x)=5+cos x，恒正，故函数是增函数，再由函数是奇函数将不等式f (x−1)+f (1−x2)<0转化为f (x−1)<f (x2−1)，由单调性及定义转化为不等式组解之即可．【解答】解：∵函数的导函数f′(x)=5+cos x，恒正，∴函数是增函数，又函数为定义在(−1, 1)上的奇函数，则不等式f (x−1)+f (1−x2)<0转化为f (x−1)<f (x2−1)，∴{−1<x−1<1−1<x2−1<1x2−1>x−1解得x∈(1, √2)故答案为：(1, √2)12.【答案】[−2, 0]【考点】绝对值不等式的解法与证明①当x>0时，根据ln(x+1)>0恒成立，求得a≤0．②当x≤0时，可得x2−2x≥ax，求得a的范围．再把这两个a的取值范围取交集，可得答案．【解答】解：当x>0时，根据ln(x+1)>0恒成立，则此时a≤0．当x≤0时，根据−x2+2x的取值为(−∞, 0],|f(x)|=x2−2x≥ax，x=0时左边=右边，a取任意值．x<0时，有a≥x−2，即a≥−2．综上可得，a的取值为[−2, 0]，故答案为[−2, 0]．13.【答案】8【考点】函数的周期性函数的零点【解析】|x−1|的图象，结合函数的对称性，利用数形结合法分别作出函数y=f(x)，y=log5进行求解；【解答】解：当x∈[0, 1]时，f(x)=2x−1，函数y=f(x)的周期为2，x∈[−1, 0]时，f(x)=2−x−1，可作出函数的图象；|x|．图象关于y轴对称的偶函数y=log5函数y=g(x)的零点，即为函数图象交点横坐标，|x|>1，此时函数图象无交点，当x>5时，y=log5如图：又两函数在x>0上有4个交点，由对称性知它们在x<0上也有4个交点，且它们关于直线y轴对称，|x|的零点个数为8；可得函数g(x)=f(x)−log5故答案为8；14.【答案】(−3, 0)【考点】画出函数f(x)=||x−1|−1|的图象，可得方程f(x)=m(m∈R)恰有四个互不相等的实数根，m的取值范围，进而求出方程的四个根，进而根据m的范围和二次函数的图象和性质，可得x1x2x3x4的取值范围．【解答】解：函数f(x)=||x−1|−1|的图象如下图所示：由图可知，若f(x)=m的四个互不相等的实数根，则m∈(0, 1)且x1，x2，x3，x4分别为：x1=m，x2=2−m，x3=m+2，x4=−m，∴x1x2x3x4=(m2)2−4⋅m2=(m2−2)2−4∈(−3, 0)故答案为：(−3, 0)二、解答题：【答案】解：（1）z=−2i+3+3i2−i =3+i2−i=1+i，（2）把Z=1+i代入z2+az+b=1−i，即(1+i)2+a(1+i)+b=1−i，得a+b+(2+a)i=1−i．所以{a+b=12+a=−1解得a=−3；b=4所以实数a，b的值分别为−3，4【考点】复数代数形式的乘除运算复数相等的充要条件【解析】(1)(1−i)2=1−2i+i2=−2i，再由复数除法知识，分子分母同乘以2+i，化简整理即可．（2）把Z=1+i代入z2+az+b=1−i，整理成x+yi形式，由复数相等知识实部、虚部分别相等，列方程组求解．【解答】解：（1）z=−2i+3+3i2−i =3+i2−i=1+i，（2）把Z=1+i代入z2+az+b=1−i，即(1+i)2+a(1+i)+b=1−i，得a+b+(2+a)i=1−i．所以{a+b=12+a=−1解得a=−3；b=4所以实数a，b的值分别为−3，4【答案】解：(1)由2−x+3x+1≥0，得x−1x+1≥0，解得，x<−1或x≥1，即A=(−∞, −1)∪[1, +∞).(2)由(x−a−1)(2a−x)>0，得(x−a−1)(x−2a)<0，∵a<1，∴a+1>2a．∴B=(2a, a+1).∵B⊆A，∴2a≥1或a+1≤−1，即a≥12或a≤−2.∵a<1，∴12≤a<1或a≤−2.故当B⊆A时，实数a的取值范围是(−∞, −2]∪[12, 1)．【考点】对数函数的定义域函数的定义域及其求法集合的包含关系判断及应用【解析】(1)令被开方数大于等于零，列出不等式进行求解，最后需要用集合或区间的形式表示出来.(2)先根据真数大于零，求出函数g(x)的定义域，再由B⊆A和a<1求出a的范围．【解答】解：(1)由2−x+3x+1≥0，得x−1x+1≥0，解得，x<−1或x≥1，即A=(−∞, −1)∪[1, +∞).(2)由(x−a−1)(2a−x)>0，得(x−a−1)(x−2a)<0，∵a<1，∴a+1>2a．∴B=(2a, a+1).∵B⊆A，∴2a≥1或a+1≤−1，即a≥12或a≤−2.∵a<1,∴12≤a<1或a≤−2.故当B⊆A时，实数a的取值范围是(−∞, −2]∪[12, 1)．【答案】①若0∈D ，因为函数f(x)为奇函数， ∴ f(0)=0，a =1，f(1)=−14+b，f(−1)=12+2b，∵ f(1)+f(−1)=0， ∴ b =2，②若0∉D ，因为函数f(x)为奇函数， 根据（1），b =−2， ∵ f(1)+f(−1)=0， ∴ a =−1， ∴ {a =1b =2或{a =−1b =−2（2）若a =1，b =2， ∴ f(x)=−2x +12x+1+2， ∴ 2f(x)=−2x +12x +1=−1+21+2x ，∵ 1+2x ∈(1, +∞)， ∴ 21+2x ∈(0, 2)， ∴ f(x)∈(−12, 12)． 若a =−1，b =−2， ∵ f(x)=−2x −12x+1−2，2f(x)=−2x −12x −1=−1−22x −1，∴ f(x)∈(−∞, 12)∪(12, +∞)．综上，若a =1，b =2，函数f(x)的值域(−12, 12)．若a =−1，b =−2，函数f(x)的值域(−∞, 12)∪(12, +∞)． 【考点】函数单调性的判断与证明 函数奇偶性的性质【解析】（1）针对0∈D 和若0∉D 两种情形进行讨论，利用奇函数这个条件建立关系式，求解相应的值；（2）直接利用指数函数的值域情形进行求解． 【解答】 解：（1）设函数f(x)的定义域为D ， ①若0∈D ，因为函数f(x)为奇函数，∴ f(0)=0，a =1，f(1)=−14+b ，f(−1)=12+2b ， ∵ f(1)+f(−1)=0， ∴ b =2，②若0∉D ，因为函数f(x)为奇函数， 根据（1），b =−2，∵ f(1)+f(−1)=0， ∴ a =−1， ∴ {a =1b =2或{a =−1b =−2（2）若a =1，b =2， ∴ f(x)=−2x +12x+1+2，∴ 2f(x)=−2x +12x +1=−1+21+2x ，∵ 1+2x ∈(1, +∞)， ∴ 21+2x ∈(0, 2)， ∴ f(x)∈(−12, 12)． 若a =−1，b =−2， ∵ f(x)=−2x −12x+1−2，2f(x)=−2x −12x −1=−1−22x −1，∴ f(x)∈(−∞, 12)∪(12, +∞)．综上，若a =1，b =2，函数f(x)的值域(−12, 12)． 若a =−1，b =−2，函数f(x)的值域(−∞, 12)∪(12, +∞)．【答案】 解：（1）当a =2时，f(x)=ln x −ax ，函数f(x)的定义域为(0, +∞)， 求导函数可得f ′(x)=1x −2①由f ′(x)>0，x >0，得0<x <12②由f ′(x)<0，x >0，得x >12故函数f(x)的单调递增区间为(0, 12)，单调减区间是(12, +∞)．…（2）①当1a ≤1，即a ≥1时，函数f(x)在区间[1, 2]上是减函数， ∴ f(x)的最小值是f(2)=ln 2−2a ．…②当1a≥2，即a ≤12时，函数f(x)在区间[1, 2]上是增函数，∴ f(x)的最小值是f(1)=−a ．…③当1<1a <2，即12<a <1时，函数f(x)在[1, 1a ]上是增函数，在[1a , 2]上是减函数． 又f(2)−f(1)=ln 2−a ，∴ 当12<a <ln 2时，最小值是f(1)=−a ；当ln 2≤a <1时，最小值为f(2)=ln 2−2a ．…综上可知，当0<a <ln 2时，函数f(x)的最小值是−a ；当a ≥ln 2时，函数f(x)的最小值是ln 2−2a ．…【考点】导数求函数的最值利用导数研究函数的单调性【解析】（1）先确定函数f(x)的定义域，然后对函数f(x)求导，根据导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减求出单调区间；（2）分类讨论，确定函数的单调性，从而可确定函数的最值． 【解答】 解：（1）当a =2时，f(x)=ln x −ax ，函数f(x)的定义域为(0, +∞)， 求导函数可得f ′(x)=1x −2①由f ′(x)>0，x >0，得0<x <12 ②由f ′(x)<0，x >0，得x >12故函数f(x)的单调递增区间为(0, 12)，单调减区间是(12, +∞)．… （2）①当1a ≤1，即a ≥1时，函数f(x)在区间[1, 2]上是减函数， ∴ f(x)的最小值是f(2)=ln 2−2a ．…②当1a ≥2，即a ≤12时，函数f(x)在区间[1, 2]上是增函数， ∴ f(x)的最小值是f(1)=−a ．… ③当1<1a <2，即12<a <1时，函数f(x)在[1, 1a]上是增函数，在[1a, 2]上是减函数．又f(2)−f(1)=ln 2−a ，∴ 当12<a <ln 2时，最小值是f(1)=−a ；当ln 2≤a <1时，最小值为f(2)=ln 2−2a ．…综上可知，当0<a <ln 2时，函数f(x)的最小值是−a ；当a ≥ln 2时，函数f(x)的最小值是ln 2−2a ．…【答案】解：(1)∵ x ∈(0, 5)时，都有x ≤f(x)≤2|x −1|+1恒成立， ∴ 1≤f(1)≤2|1−1|+1=1， ∴ f(1)=1；(2)∵ f(−1+x)=f(−1−x)，∴ f(x)=ax 2+bx +c(a, b, c ∈R )的对称轴为x =−1， ∴ −b2a =−1，b =2a ．∵ 当x ∈R 时，函数的最小值为0，∴ a >0，f(x)=ax 2+bx +c(a, b, c ∈R )的对称轴为x =−1， ∴ f(x)min =f(−1)=0， ∴ a =c ．∴ f(x)=ax 2+2ax +a ．又f(1)=1， ∴ a =c =14，b =12．∴ f(x)=14x 2+12x +14=14(x +1)2；(3)∵ 当x ∈[1, m]时，就有f(x +t)≤x 成立， ∴ f(1+t)≤1，即14(1+t +1)2≤1，解得：−4≤t ≤0．而y =f(x +t)=f[x −(−t)]是函数y =f(x)向右平移(−t)个单位得到的，显然，f(x)向右平移的越多，直线y =x 与二次曲线y =f(x +t)的右交点的横坐标越大，∴ 当t =−4，−t =4时直线y =x 与二次曲线y =f(x +t)的右交点的横坐标最大． ∴ 14(m +1−4)2≤m ， ∴ 1≤m ≤9， ∴ m max =9．【考点】函数恒成立问题函数解析式的求解及常用方法 函数的求值【解析】(1)由当x ∈(0, 5)时，都有x ≤f(x)≤2|x −1|+1恒成立可得f(1)=1；(2)由f(−1+x)=f(−1−x)可得二次函数f(x)=ax 2+bx +c(a, b, c ∈R)的对称轴为x =−1，于是b =2a ，再由f(x)min =f(−1)=0，可得c =a ，从而可求得函数f(x)的解析式；(3)可由f(1+t)≤1，求得：−4≤t ≤0，再利用平移的知识求得最大的实数m ． 【解答】解：(1)∵ x ∈(0, 5)时，都有x ≤f(x)≤2|x −1|+1恒成立， ∴ 1≤f(1)≤2|1−1|+1=1， ∴ f(1)=1；(2)∵ f(−1+x)=f(−1−x)，∴ f(x)=ax 2+bx +c(a, b, c ∈R )的对称轴为x =−1， ∴ −b 2a =−1，b =2a ．∵ 当x ∈R 时，函数的最小值为0，∴ a >0，f(x)=ax 2+bx +c(a, b, c ∈R )的对称轴为x =−1， ∴ f(x)min =f(−1)=0， ∴ a =c ．∴ f(x)=ax 2+2ax +a ．又f(1)=1， ∴ a =c =14，b =12．∴ f(x)=14x 2+12x +14=14(x +1)2； (3)∵ 当x ∈[1, m]时，就有f(x +t)≤x 成立， ∴ f(1+t)≤1，即14(1+t +1)2≤1，解得：−4≤t ≤0．而y =f(x +t)=f[x −(−t)]是函数y =f(x)向右平移(−t)个单位得到的，显然，f(x)向右平移的越多，直线y =x 与二次曲线y =f(x +t)的右交点的横坐标越大，∴ 当t =−4，−t =4时直线y =x 与二次曲线y =f(x +t)的右交点的横坐标最大． ∴ 14(m +1−4)2≤m ， ∴ 1≤m ≤9， ∴ m max =9． 【答案】解：(I)由题意k =f(x)=1+ln x x，x >0，∴ f′(x)=−ln xx 2，当0<x <1时，f′(x)>0；当x >1时，f ′(x)<0． 所以f(x)在(0, 1)上单调递增，在(1, +∞)上单调递减． 故f(x)在x =1处取得极大值．因为函数f(x)在区间(m, m +13)（其中m >0）上存在极值， ∴ {0<m1m +13>1，解得：23<m <1，即实数m 的范围是(23, 1)． (2)由f(x)≥tx+1得t ≤(x+1)(1+ln x)x，令g(x)=(x+1)(1+ln x)x ，∴ g′(x)=x−ln x x 2，令ℎ(x)=x −ln x ，则ℎ′(x)=1−1x =1−x x，因为x ≥1，所以ℎ′(x)≥0，故ℎ(x)在[1, +∞)上单调递增．所以ℎ(x)≥ℎ(1)=1>0，从而g′(x)>0，g(x)在[1, +∞)上单调递增，g(x)≥g(1)=2，所以实数t 的取值范围是(−∞, 2]． (3)由(2)得：f(x)≥2x+1恒成立， 即1+ln x x≥2x+1⇔ln x ≥x−1x+1=1−2x+1>1−2x ．令x =n(n +1)，则ln [n(n +1)]>1−2n(n+1)∴ ln (1×2)>1−21×2，1n(2×3)>1−22×3，…，ln n(n +1)>1−2n(n+1)． 将以上n 个式子相加得：∑ln ni=1[i(i +1)]>n −2[11×2+12×3+...+1n(n +1)] =n −2(1−1n+1)>n −2，故∑ln n i=1[i(i +1)]>n −2，(n ∈N ∗)． 【考点】利用导数研究函数的单调性 导数求函数的最值 【解析】(1)由题意k =f(x)=1+ln x x，x >0，∴ f′(x)=−ln xx 2，当0<x <1时，f ′(x)>0；当x >1时，f ′(x)<0．所以f(x)在(0, 1)上单调递增，在(1, +∞)上单调递减．故f(x)在x =1处取得极大值．列出方程组从而解得23<m <1； (2)由f(x)≥tx+1得t ≤(x+1)(1+ln x)x ，令g(x)=(x+1)(1+ln x)x，从而g′(x)=x−ln x x 2，令ℎ(x)=x −ln x ，则ℎ′(x)=1−1x=1−x x，因为x ≥1，所以ℎ′(x)≥0，故ℎ(x)在[1, +∞)上单调递增．所以ℎ(x)≥ℎ(1)=1>0，从而g ′(x)>0，g(x)在[1, +∞)上单调递增，g(x)≥g(1)=2，容易求出t 的范围； (3)由(2)得：f(x)≥2x+1恒成立，即1+ln x x≥2x+1⇔ln x ≥x−1x+1=1−2x+1>1−2x ．令x =n(n +1)，则ln [n(n +1)]>1−2n(n+1)，从而∑ln n i=1[i(i +1)]>n −2[11×2+12×3+...+1n(n+1)]=n −2(1−1n+1)>n −2，故∑ln n i=1[i(i +1)]>n −2，(n ∈N ∗)．【解答】解：(I)由题意k =f(x)=1+ln x x，x >0，∴ f′(x)=−ln xx 2，当0<x <1时，f′(x)>0；当x >1时，f ′(x)<0．所以f(x)在(0, 1)上单调递增，在(1, +∞)上单调递减． 故f(x)在x =1处取得极大值．因为函数f(x)在区间(m, m +13)（其中m >0）上存在极值， ∴ {0<m1m +13>1，解得：23<m <1，即实数m 的范围是(23, 1)．(2)由f(x)≥tx+1得t ≤(x+1)(1+ln x)x，令g(x)=(x+1)(1+ln x)x ，∴ g′(x)=x−ln x x 2，令ℎ(x)=x −ln x ，则ℎ′(x)=1−1x =1−x x，因为x ≥1，所以ℎ′(x)≥0，故ℎ(x)在[1, +∞)上单调递增．所以ℎ(x)≥ℎ(1)=1>0，从而g′(x)>0，g(x)在[1, +∞)上单调递增，g(x)≥g(1)=2，所以实数t 的取值范围是(−∞, 2]．(3)由(2)得：f(x)≥2x+1恒成立， 即1+ln x x≥2x+1⇔ln x ≥x−1x+1=1−2x+1>1−2x ．令x =n(n +1)，则ln [n(n +1)]>1−2n(n+1)∴ ln (1×2)>1−21×2，1n(2×3)>1−22×3，…，ln n(n +1)>1−2n(n+1)． 将以上n 个式子相加得：∑ln ni=1[i(i +1)]>n −2[11×2+12×3+...+1n(n +1)] =n −2(1−1n+1)>n −2，故∑ln n i=1[i(i +1)]>n −2，(n ∈N ∗)．。
(江苏专用)2020-2021学年高二数学下学期期末试卷一(学生版)
卷01-期末全真模拟卷一一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 复数2+i1−i的共轭复数是( )A. 12−32iB. 12+32iC. −12−32iD. −12+32i2.甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利70周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有( )A. 12种B. 24种C. 48种D. 120种3.已知曲线C 1:f(x)=lnx +12x 2−x +12和C 2:g(x)=−ax 2+bx +1在交点(1,f (1))处具有相同的切线方程，则ab 的值为( )A. −1B. 0C. −6D. 64．下表是离散型随机变量X 的分布列，则常数a 的值是（ ）A ．6B ．12 C ．9D ．125．下列命题错误的是A ．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1B ．设()20,N ξσ~，且()114P ξ<-=，则()1012P ξ<<=C ．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽带越狭窄，其模型拟合的精度越高D ．已知变量x 和y 满足关系10.1y x =-，变量y 与z 正相关，则x 与z 负相关6.随机变量X 服从正态分布X ～N(10,σ2)，P(X >12)=m ，P(8≤X ≤10)=n ，则2m +1n 的最小值为( )．A. 3+4√2B. 6+2√2C. 8+2√2D. 6+4√27．回文联是我国对联中的一种.用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读.不仅意思不变，而且颇具趣味.相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人.”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为“回文数”.如44，585，2662等；那么用数字1，2，3，4，5，6可以组成4位“回文数”的个数为（ ）A ．30B ．36C ．360D ．12968．设函数()ln f x x x =，()()f x g x x'=，给定下列命题 ①不等式()0>g x 的解集为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；②函数()g x 在()0,e 单调递增，在(),e +∞单调递减； ③1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，总有()()f x g x <恒成立；④若函数2()()F x f x ax =-有两个极值点，则实数()0,1a ∈． 则正确的命题的个数为 A ．1B ．2C ．3D ．4二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【点睛】
本题考查求独立重复事件的概率公式，熟悉n次独立重复实验恰好发生k次的概率公式是解题的关键，属于基础题.
4．A
【解析】
分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.
详解：
因为渐近线方程为 ，所以渐近线方程为 ，选A.
点睛：已知双曲线方程 求渐近线方程： .
7．已知 ，其中 ，已知 ，且 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（）．
A． B． C． D．
8．在三棱锥 中， ， ， 为 中点， ，当该三棱锥的体积的最大值为 时，其外接球表面积为（）．
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法中，正确的命题是（）．
A．已知随机变量 服从正态分布 ， ，则
B．线性相关系数 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱
已知椭圆 ： 上的点 的“伴随点”为 .
（1）求椭圆 及其“伴随圆”的方程；
（2）求 面积的最大值，并求此时“伴随点” 的坐标；
（3）已知直线 与椭圆 交于不同的 两点，若椭圆 上存在点 ，使得四边形 是平行四边形.求直线 与坐标轴围成的三角形面积最小时的 的值.
22．已知函数 ， .
（1）求曲线 在 处的切线方程；
C．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为 ，若 ， ， ，则
D．若样本数据 ， ，…， 的方差为8，则数据 ， ，…， 的方差为2
10．关于函数 ，如下结论中正确的是（）．
A．函数 的周期是
B．函数 的值域是
C．函数 的图象关于直线 对称
D．函数 在 上递增
11．在棱长为1的正方体 中，点M在棱 上，则下列结论正确的是（）
5．B
【分析】
由两向量垂直数量积为0，对 化简，利用向量数量积公式计算，即可得出结果.
江苏省南通市海安高级中学2020-2021学年高二下学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知 （ 为虚数单位），则 （）．
A． B． C． D．
2．已知全集 ，集合 ，则 （）
A． B． C． D．
（2）讨论 的单调区间；
（3）若不等式 对任意 成立，求实数 的取值范围.
参考答案
1．C
【分析】
根据复数的运算和复数模的运算，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，复数 .
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了复数的运算，以及复数的模的运算，其中解答中熟记复数的运算，准确利用复数的模的运算公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
参考公式： ，其中
附表：
0.40
0.25
0.15
0.10
0.050
0.025
0.010
0.001
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
21．如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“伴随圆”.过椭圆上一点 作 轴的垂线交其“伴随圆”于点 （ 、 在同一象限内），称点 为点 的“伴随点”.
3．若某射手每次射击击中目标的概率是 ，则这名射手 次射击中恰有 次击中目标的概率为（）
A． B． C． D．
4．双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为
A． B． ． D．
5．已知 ， ，且 ，则向量 与 的夹角余弦值是（）．
A． B． C． D．
6． 展开式中， 项的系数为（）．
A．55B．40C．35D．15
接种成功
接种不成功
总计（人）
0.5ml/次剂量组
28
8
36
1ml/次剂量组
33
3
36
总计（人）
61
11
72
（1）根据数据说明哪种方案接种效果好？并判断是否有90%的把握认为该疫苗接种成功与两种剂量接种方案有关？
（2）若以数据中的频率为概率，从两组不同剂量组中分别抽取1名试验者，以 表示这2人中接种成功的人数，求 的分布列和数学期望.
（2）数列 的通项公式 ， ，求数列 的前 项和 .
19．一副标准的三角板如图1中， 为直角， ， 为直角， ，且 ，把 与 重合，拼成一个三棱锥，如图2.设 是 的中点， 是 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）在图2中，若 ，二面角 为直二面角，求直线 与平面 所成角的正弦值.
20．一种疫苗在正式上市之前要进行多次人体临床试验接种，假设每次接种之间互不影响，每人每次接种成功的概率相等.某医学研究院研究团队研发了新冠疫苗，并率先开展了新冠疫苗Ⅰ期和Ⅱ期临床试验.Ⅰ期试验为了解疫苗接种剂量与接种成功之间的关系，选取了两种剂量接种方案（0.5ml/次剂量组（低剂量）与1ml/次剂量组（中剂量）），临床试验免疫结果对比如下：
2．A
【分析】
解不等式确定集合 ，再由补集定义求解．
【详解】
∵ 或 ，
∴ ．
故选：A．
【点睛】
本题考查集合的补集运算，掌握补集的定义是解题基础．
3．C
【分析】
利用n次独立重复实验恰好发生k次的概率公式计算，即可求出结果.
【详解】
解：这名射手3次射击中恰有 次击中目标，则另外两次没有击中，
所以概率为 .
A．直线 与平面 平行
B．平面 截正方体所得的截面为三角形
C．异面直线 与 所成的角为
D． 的最小值为
12．已知函数 对任意 都有 ，若 的图象关于直线 对称，且对任意的 ， ，且 ，都有 ，则下列结论正确的是（）．
A． 是偶函数B． 的周期
C． D． 在 单调递减
三、填空题
13．某单位在6名男职工和3名女职工中，选取5人参加义务献血，要求男、女职工各至少一名，则不同的选取方式的种数为______.（结果用数值表示）
五、解答题
17．在 中，三个内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，且 .
（1）求 的大小；
（2）若 ，且 的面积为 ，求 的值.
18．在① ， ， 成等差数列；② ， ， 成等差数列；③ 中任选一个，补充在下列问题中，并解答.
在各项均为正数等比数列 中，前 项和为 ，已知 ，且______.
（1）求数列 的通项公式；
14．已知 ，则 ______.
15．已知数列 的各项均为正数，其前 项和为 ，且 ，则 ______.
四、双空题
16．在平面直角坐标系 中， 为坐标原点， ， ，过平面上一点 作直线 的垂线，垂足为 ，且满足： ，则实数 满足的关系式是______，若点 又在动圆 上，则正整数 的取值集合是______.