全等三角形专题讲解

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E O D B A 全等三角形专题讲解

专题一 全等三角形判别方法的应用

专题概说：判定两个三角形全等的方法一般有以下4种：

1．三边对应相等的两个三角形全等（简写成“SSS ”）

2．两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“SAS ”）

3．两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“ASA ”）

4．两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“AAS ”）

而在判别两个直角三角形全等时，除了可以应用以上4种判别方法外，还可以应用“斜边、直角边”，即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“HL ”）．也就是说“斜边、直角边”是判别两个直角三角形全等的特有的方法，它仅适用于判别两个直角三角形全等．

三角形全等是证明线段相等，角相等最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．那么我们应该怎样应用三角形全等的判别方法呢？

（1）条件充足时直接应用

在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等，而从近年的中考题来看，这类试题难度不大，证明两个三角形的条件比较充分．只要同学们认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等．

例1 已知：如图1，CE ⊥AB 于点E ，BD ⊥AC 于点D ，BD 、CE 交于点O ，且AO 平分∠BAC ．那么图中全等的三角形有___对．

分析：由CE ⊥AB ，BD ⊥AC ，得∠AEO=∠ADO=90º．由AO 平分∠BAC ，得∠EAO=∠DAO ．又AO 为公共边，所以△AEO ≌△ADO ．所以EO=DO ，AE=AD ．又∠BEO=∠CDO=90º，

∠BOE=∠COD ，所以△BOE ≌△COD ．由

AE=AD ，∠AEO=∠ADO=90º，∠BAC 为公

共角，所以△EAC ≌DAO ．所以AB=AC ．又 ∠EAO=∠DAO ， AO 为公共边，所以△ABO ≌△ACO ． 图1 所以图中全等的三角形一共有4对． （2）条件不足，会增加条件用判别方法

此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充使三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案．

例2 如图2，已知AB=AD ，∠1=∠2，要使△ABC ≌△ADE ，还需添加的条件是（只需填一个）_____．

2

1C E D

B A

2143C O B A G A B F D E C 分析：要使△ABC ≌△ADE ，注意到∠1=∠2，

所以∠1+∠DAC=∠2+∠DAC ，即∠BAC=∠EAC ． 要使△ABC ≌△ADE ，根据SAS 可知只需AC=AE 图2

即可；根据ASA 可知只需∠B=∠D ；根据AAS 可知只需∠C=∠E ．故可添加的条件是AC=AE 或∠B=∠D 或∠C=∠E ．

（3）条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判别方法

在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等． 例3 已知：如图3，AB=AC ，∠1=∠2．

求证：AO 平分∠BAC ．

分析：要证AO 平分∠BAC ，即证∠BAO=∠BCO ，

要证∠BAO=∠BCO ，只需证∠BAO 和∠BCO 所在的两

个三角形全等．而由已知条件知，只需再证明BO=CO 即可．

证明：连结BC ． 因为AB=AC ，所以∠ABC ＝∠ACB ． 因为∠1=∠2，所以∠ABC -∠1＝∠ACB -∠2． 图3

即∠3=∠4，所以BO=CO ．

因为AB=AC ，BO=CO ，AO=AO ，

所以△ABO ≌△ACO ．

所以∠BAO=∠CAO ，即AO 平分∠BAC ．

（4）条件中没有现成的全等三角形时，会通过构造全等三角形用判别方法

有些几何问题中，往往不能直接证明一对三角形全等，一般需要作辅助线来构造全等三角形．

例4 已知：如图4，在Rt △ABC 中，∠ACB=90º，AC=BC ，D 为BC 的中点，CE ⊥AD 于E ，交AB 于F ，连接DF ．

求证：∠ADC=∠BDF ． 证明：过B 作BG ⊥BC 交CF 延长线于G ，

所以BG ∥AC ．所以∠G=∠ACE ．因为AC ⊥BC ，

CE ⊥AD ，所以∠ACE=∠ADC ．所以∠G=∠ADC ． 因为AC=BC ，∠ACD ＝∠CBG=90º，所以 图4 △ACD ≌△CBG ．所以BG=CD=BD ．因为∠CBF=∠GBF=45º，BF=BF ，所以△GBF ≌△DBF ．所以∠G=∠BDF ．所以∠ADC ＝∠BDF ．所以∠ADC ＝∠BDF ．

说明：常见的构造三角形全等的方法有如下三种：①涉及三角形的中线问题时，常采用延长中线一倍的方法，构造出一对全等三角形；②涉及角平分线问题时，经过角平分线上一点向两边作垂线，可以得到一对全等三角形；

O D A C B F C E

D B A C

E D B A A

O Q M C P B

N ③证明两条线段的和等于第三条线段时，用“截长补短”法可以构造一对全等三角形．

（5）会在实际问题中用全等三角形的判别方法

新课标强调了数学的应用价值，注意培养同学们应用数学的意识，形成解决简单实际问题的能力﹒在近年中考出现的与全等三角形有关的实际问题，体现了这一数学理念，应当引起同学们的重视．

例5 要在湖的两岸A 、B 间建一座观赏桥，由于条件

限制，无法直接度量A ，B 两点间的距离﹒请你用学过的数

学知识按以下要求设计一测量方案﹒

(1)画出测量图案﹒

(2)写出测量步骤（测量数据用字母表示）﹒ 图5

(3)计算A 、B 的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）﹒ 分析：可把此题转化为证两个三角形全等．第(1)题，测量图案如图5所示．第(2)题，测量步骤：先在陆地上找到一点O ，在AO 的延长线上取一点C ，并测得OC=OA ，在BO 的延长线上取一点D ，并测得OD=OB ，这时测得CD 的长为a ，则AB 的长就是a ．第(3)题易证△AOB ≌△COD ，所以AB=CD ，测得CD 的长即可得AB 的长．

解：(1)如图6示．

(2)在陆地上找到可以直接到达A 、B 的一点O ，在AO 的延长线上取

一点C ，并测得OC ＝OA ，在BO 的延长线上取一点D ，并测

得OD ＝OB ，这时测出CD 的长为a ，则AB 的长就是a ．

(3)理由：由测法可得OC=OA ，OD=OB ．

又∠COD=∠AOB ，∴△COD ≌△AOB ．

∴CD=AB=a ． 图6 评注：本题的背景是学生熟悉的，提供了一个学生

动手操作的机会，重点考查了学生的操作能力，培养了 学生用数学的意识﹒

练习：1．已知：如图7，D 是△ABC 的边

AB 上一点，AB ∥FC ，DF 交AC 于点E ，DE=FE ． 图7

求证：AE=CE ．

2．如图8，在△ABC 中，点E 在BC 上，点

D 在A

E 上，已知∠ABD=∠ACD ，∠BDE=∠CDE ． 求证：BD=CD ． 3．用有刻度的直尺能平分任意角吗？下面是一种 图8 方法：如图9所示，先在∠AOB 的两边上取OP=OQ ， 再取PM=QN ，连接PN 、QM ，得交点C ，则射线OC

平分∠AOB ．你能说明道理吗？ 图9

4．如图10，△ABC 中，AB=AC ，过点A 作