《菱形的性质与判定》典型例题
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《菱形的性质与判定》典型例题
例1 如图，在菱形ABCD 中，E 是AB 的中点，且a AB AB DE =⊥,，求：
（1）ABC ∠的度数；（2）对角线AC 的长；（3）菱形ABCD 的面积．
例2 已知：如图，在菱形ABCD 中，AB CE ⊥于AD CF E ⊥,于 F ．
求证：.AF AE =
例 3 已知：如图，菱形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 上的一点，︒=∠=∠60EAF D ，︒=∠18BAE ，求CEF ∠的度数.
例4 如图，已知四边形ABCD 和四边形BEDF 都是长方形，且DF AD =． 求证：GH 垂直平分CF ．
例 5 如图，ABCD中，AB
=，E、F在直线CD上，且
AD2
=．
DE=
CF
CD
求证：AF
BE⊥．
例6 如图，在Rt△ABC中，
∠ACB，E为AB的中点，四边形BCDE
=
90
是平行四边形．
求证：AC与DE互相垂直平分
参考答案
例1 分析 （1）由E 为AB 的中点，AB DE ⊥，可知DE 是AB 的垂直平分线，从而DB AD =，且AB AD =，则ABD ∆是等边三角形，从而菱形中各角都可以求出．（2）而OC AO BD AC =⊥,，利用勾股定理可以求出AC ．（3）由菱形的对角线互相垂直，可知.2
1BD AC S ⋅= 解 （1）连结BD ，∵四边形ABCD 是菱形，∴.AB AD =
E 是AB 的中点，且AB DE ⊥，∴.DB AD =
∴ABD ∆是等边三角形，∴DBC ∆也是等边三角形．
∴.120260︒=⨯︒=∠ABC
（2）∵四边形ABCD 是菱形，∴AC 与BD 互相垂直平分， ∴.2
12121a AB BD OB === ∴a a a OB AB OA 2
3)21(2222=-=-=，∴.32a AO AC == （3）菱形ABCD 的面积.2
3321212a a a BD AC S =⋅⋅=⋅= 说明：本题中的菱形有一个内角是60°的特殊的菱形，这个菱形有许多特点，通过解题应该逐步认识这些特点．
例2 分析 要证明AF AE =，可以先证明DF BE =，而根据菱形的有关性质不难证明DCF BCE ∆≅∆，从而可以证得本题的结论．
证明 ∵四边形ABCD 是菱形，∴D B CD BC ∠=∠=,，且︒=∠=∠90DFC BEC ，∴DCF BCE ∆≅∆，∴DF BE =，
AD AB = ，
∴DF
=
-，
AB-
BE
AD
∴.
AE=
AF
例3 解答：连结AC.
∵四边形ABCD为菱形，
∴︒
BC
AB=
CD
=.
=
=
∠
B，AD
=
∠60
D
∴ABC
∆为等边三角形.
∆与CDA
∴︒
,BAC
ACD
B
=60
AB
AC
=
∠
∠
=
=
∠
∵︒
EAF，
=
∠60
∴CAF
∠
=
BAE∠
∴ACF
∆
ABE∆
≅
∴AF
AE=
∵︒
EAF，
=
∠60
∴EAF
∆为等边三角形.
∴︒
=
AEF
∠60
∵CEF
∠
+
∠，
=
=
∠
BAE
∠
B
AEF
AEC∠
+
∴CEF
+
60
︒
18
︒60
=
∠
+
︒
∴︒
∠18
CEF
=
说明本题综合考查菱形和等边三角形的性质，解题关键是连AC，证∆
≅
ACF
ABE∆
例4 分析由已知条件可证明四边形BGDH是菱形，再根据菱形的对角线平分对角以及等腰三角形的“三线合一”可证明GH垂直平分CF．证明：∵四边形ABCD、BEDF都是长方形
∴BF DE //，CD AB //， 90=∠=∠BCD DFH ，BC AD = ∴四边形BGDH 是平行四边形
∵DF AD =，∴BC DF =
在△DFH 和△BCH 中
⎪⎩
⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠BC DF BHC DHF BCH DFH
∴△DFH ≌△BCH ∴BH DH =，HC HF = ∵四边形BGDH 是平行四边形
∴四边形BGDH 是菱形
∴GH 平分BHD ∠ ∴GH 平分FHC ∠ ∵HC HF = ∴GH 垂直平分FC ．
例5 分析 要证AF BE ⊥，关键是要证明四边形ABHG 是菱形，然后利用菱形的性质证明结论．
证明 ∵四边形ABCD 是平行四边形
∴CD AB //，CD AB =，BH AG //，∴E ∠=∠1 ∵ED CD =，∴ED AB =
在△ABG 和△EDG 中 ⎪⎩
⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠ED AB E 321
∴△ABG ≌△DEG ∴GD AG =
∵AB AD 2= ∴AB AG =
同理：BH AB = ∴BH AG =
∵BH
AG //