高中数学 1.1.2基本不等式 新人教A版选修4-5

因为 y＝240xx＋6x4≥240×2 x×6x4＝3 840，
当且仅当 x＝6x4，即 x＝8 时，等号成立．
精品课件
所以每人至少应交3 48840＝80(元)． (2)每批去 x 名同学，共需去48x×4批， 总开支又分为：
①买卡所需费用 240x 元，
栏
②包车所需费用48×x 4×40元．
目 链 接
当且仅当 x＝x4，即 x＝2 时等号成立．
因此，当 x＝2 时，y 取得最小值 160，即容器的最低总造价为
接
∴x＝14，y＝12，∴当 x＝41，y＝12时，x1＋2y取最小值 8. 点评：使用基本不等式求最值时，一定要验证三个条件：“一正”“二 定”“三相”等，缺一不可．
精品课件
►变式训练
1．设x≥0，y≥0，x2＋＝1，则x 的最大值为
__________．
栏
1．分析：∵x2＋＝1是常数，∴x2与的积可能有最 目
π θ＝ 6 时，也即
x＝
23，y＝
22时，
x 1＋y2取得最大值342.
答案：3
2 4
精品课件
利用基本不等式证明不等式
已知a，b，c是不全相等的正数，求证：a(b2＋c2) ＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)＞6abc.
栏 目
链
分析：本题的结论是关于a，b，c的轮换对称式(a， 接
b，c在不等式中的作用相等，交换其中任意两个
∴a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)＞6abc.
精品课件
2
．
证
明
：
(1
＋
1 x
)(1
＋
1 y
)
＝
（x＋1）（y＋1） xy
＝
栏 目
链
（2x＋y）（2y＋x） xy
＝
5xy＋2（x2＋y2） xy
＝
5
＋
2（x2＋y2） xy
≥
5
＋
接
2×xy2xy＝9.
当且仅当 x＝y＝21时取等号．∴(1＋1x)(1＋1y)≥9.
当 x2＝6 时，y2＝240×6＋362＝2 720.
栏 目
链
接
因为 y1＞y2，
所以当 x2＝6 时，y 有最小值，ymin＝2 720.
故每人至少应交2 47820≈56.67(元)．
精品课件
点评：利用基本不等式解决应用题时，首先要仔细
阅读题目，弄清要解决的实际问题，确定是求什么
量的最值，然后分析题目中给出的条件，建立y的
第一讲 不等式和绝对值不等式 1．1 不 等 式
1．1.2 基本不等式
精品课件
栏 目 链 接
精品课件
利用基本不等式求函数的值域或最值
栏
(1)若x＞0，求f(x)＝4x＋的最小值
目
链
(2)设x＞0，y＞0且2x＋y＝1，则＋的最小值是
接
______；
分析：函数解析式在形式上已经基本符合了基本不
等式的形式，但还应注意适用前提．
目 链 接
所以 y＝240x＋48×x 4×40(0＜x≤48，x∈Z)，
即 y＝240x＋3x2≥240×2 x×3x2＝1 920 2. 当且仅当 x＝3x2，即 x＝4 2时，等号成立．
精品课件
由 0＜x≤48，5＜4 2＜6，x∈Z)可知，
当 x1＝5 时，y1＝240×5＋352＝2 736；
x
1＋y2取得最大值3
4
2 .
精品课件
解法二 令{ x＝cos θ， y＝ 2sin θ 0≤θ≤π2 ，
则 x 1＋y2＝cos θ 1＋2sin2θ＝
2cos2θ（1＋2sin2θ）·12≤
12·2cos2θ＋（21＋2sin2θ）2＝3 4 2.
栏 目 链 接
当
2cos2θ＝1＋2sin2θ，即
精品课件
分析：弄清题意，理解总费用由买游泳卡所需费用及包车费两项
组成．
解析：设买 x 张游泳卡，总开支为 y 元．
(1)每批去 x 同学，共需去48x×8批，总开支又分为：
栏
①买卡所需费用 240x 元，
目
Hale Waihona Puke Baidu
链
②包车所需车费用48×x 8×40元．
接
所以 y＝240x＋48×x 8×40(0＜x≤48，x∈Z)．
的位置，结论仍成立)，只需侧重证明a(b2＋
c2)≥2abc，其他按“同理”的格式书写即可．
精品课件
证明：∵b2＋c2≥2bc，a＞0，∴a(b2＋c2)≥2abc，①
同理，b(c2＋a2)≥2abc，②
栏
目
c(a2＋b2)≥2abc.③
链 接
∵a，b，c 不全相等，∴①②③式中至少有一个式子不能取等号．
精品课件
解析：(1)因为 x＞0，所以由基本不等式得 f(x)＝4x＋1x6≥
栏
2 4x·1x6＝2 64＝16.
目 链 接
当且仅当 4x＝1x6，即 x＝2 时，“＝”成立．
精品课件
(2)运用“乘 1 法” 1x＋2y＝1x＋2y×1＝1x＋2y(2x＋y)＝4＋4yx＋ xy≥4＋2 4yx·xy＝8，当且仅当4yx＝xy时，等号成立．又∵2x＋y＝1，栏目链
栏 目
函数表达式y＝f(x)(x一般为题目中最后所要求的
链 接
量)，最后利用不等式的有关知识解题．求解过程
中要注意实际问题对变量x的范围的制约．
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►变式训练
3．(2014·福建卷)要制作一个容积为4 m3，高为1 m
的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方
米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低
栏 目
总造价是( )
链 接
A．80 元 B．120 元 C．160 元 D．240 元
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解析：设底面矩形的一边长为 x.由容器的容积为 4 m3，高为 1
m．得另一边长为4xm.记容器的总造价为 y 元，则
y＝4×20＋2x＋4x×1×10＝
栏
80＋20x＋4x≥80＋20×2 x·4x＝160，
大值．
链 接
∴可把x放到根号里面去考虑，即化为，
注意到x2与1＋y2的积，应处理成2x2·.
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解析：解法一 ∵x≥0，y≥0，x2＋y22＝1，
∴x 1＋y2＝ x2（1＋y2）＝
2x2·1＋2 y2≤
栏
2x2＋21＋2 y2＝ 2x2＋2y22＋12＝342，
目 链 接
当且仅当 x2＝1＋2 y2，即 x＝ 23，y＝ 22时，
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利用基本不等式解应用题
某游泳馆出售冬季游泳卡，每张 240 元，其使用规定 为：不记名，每卡每次只限一人，每天只限一次．某
栏
班有48名同学，老师打算组织同学们集体去游泳，除 目
链
需购买若干张游泳卡外，每次游泳还需包一辆汽车， 接 无论乘坐多少名同学，每次的包车费都为40元． (1)若每个同学游8次，每人至少应交多少元钱？ (2)若每个同学游4次，每人至少应交多少元钱？