高中数学 1.1.2基本不等式 新人教A版选修4-5
2017年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.1.2基本不等式课件新人教A版选修4_5
【归纳总结】 1.理解基本不等式的两个关键点 一是定理成立的条件是a,b都是正数;二是等号取得的 条件是当且仅当a=b时.
2(.1利 )各用项a或2 b各因a式b 为求正最.值的三个条件 (2)和或积为定值. (3)各项或各因式能取得相等的值.
3.定理1与定理2的不同点 定理1的适用范围是a,b∈R;定理2的适用范围是 a>0,b>0.
ab 等式 1 2 2 1 2 , 构造关于 ab 的不等式.
ab ab
2.如何利用“x+2y+xy=30”这个条件? 提示:由x+2y+xy=30,得y= 30 x .
x2
【解析】1.选C.因为 1 2 ab ,所以a>0,b>0,由 ab
ab 1 2 2 1 2 ＝2
方法一:由于2x+3y≥ 2 2x 3y 2 6ห้องสมุดไป่ตู้y, 所以2 6x≤y18,得xy≤ , 27
2
即S≤ 27,当且仅当2x=3y时,等号成立.
由
2x 2x
23y 3y,
18,
解得
x y
4.5, 3.
故每间虎笼长为4.5m,宽为3m时,可使面积最大.
方法二:由2x+3y=18,得x=93- y.
小,最小费用为2200元.
【补偿训练】动物园要围成相同面积的长方形虎笼四 间.一面可利用原有的墙,其他各面(不包括上盖和地面) 用钢筋网围成.
(1)现有36m长的材料,每间虎笼的长、宽各设计为多少 时,可使每间虎笼面积最大? (2)若使每间虎笼面积为24m2,则每间虎笼的长、宽各 设计为多少时,可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小?
高中数学新人教A版选修4-5课件：第一讲不等式和绝对值不等式1.1.2基本不等式
年销售收入为 150% 32 3- t+1 + 3 + 2t.
首 页
探究一
探究二
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
探究三
由题意,生产 x 万件化妆品正好销完,
由年利润=年销售收入-年生产成本-促销费,
-t2 +98t+35
得年利润 y=
(t≥0).
2(t+1)
-t2 +98t+35
1 2x+y 2
1
(x,y∈R+)中,用的是不等式链中的
其变形去解题,如 xy= ×(2x)y≤
2
2
2
2
1 (2x+y)
1
a+b 2
(x,y∈R+)也可以,这两种解法比较,
.但是 xy= ×(2x)y≤ ×
ab≤
2
2
2
2
可以发现,求得的最值不一样,这说明选择不同的重要不等式的变形形式,求
得的值或范围是不同的,所以我们在选择重要不等式的变形形式时,要使
论有关的不等关系,得出有关理论参数的值.
(4)作出问题结论:根据③中得到的理论参数的值,结合题目要求得出问
题的结论.
J 基础知识 Z 重点难点
首 页
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
1
1.下列各式中,最小值等于 2 的是(
x
A.
y
y
+
x
B.
1
C.tanθ+θ
2
3
S 随堂练习
1
的最大值,转化为求 (2x)y 的最大值,即
高中数学人教A版选修 选修4-5 1.2.1 绝对值三角不等式 教案
1.2.1 绝对值三角不等式教学目标：1：了解绝对值三角不等式的含义，理解绝对值三角不等式公式及推导方法， 会进行简 单的应用。
2：充分运用观察、类比、猜想、分析证明的数学思维方法，体会转化和数形结合的数学思想，并能运用绝对值三角不等式公式进行推理和证明。
教学重点：绝对值三角不等式的含义，绝对值三角不等式的理解和运用。
教学难点：绝对值三角不等式的发现和推导、取等条件。
教学过程： 一、复习引入：关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式。
本节课探讨不等式证明这类问题。
1．请同学们回忆一下绝对值的意义。
⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0000x x x x x x ，如果，如果，如果。
几何意义：在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。
2．证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：（1）a a ≥，当且仅当0≥a 时等号成立，.a a -≥当且仅当0≤a 时等号成立。
（2）2a a =， （3）b a b a ⋅=⋅， （4）)0(≠=b baba 那么?b a b a +=+?b a b a +=- 二、讲解新课：结论：a b a b ++≤（当且仅当0ab ≥时，等号成立.）探究: ,,a b a b +, 之间的什么关系?b a -baa b+已知,a b 是实数，试证明：a b a b ++≤（当且仅当0ab ≥时，等号成立.） 方法一：证明:10.当ab ≥0时, 20. 当ab <0时,综合10, 20知定理成立.方法二：分析法，两边平方（略）定理1 如果,a b 是实数，则a b a b ++≤（当且仅当0ab ≥时，等号成立.）（1）若把b a ,换为向量b a,情形又怎样呢？根据定理1，有b b a b b a -+≥-++，就是，a b b a ≥++。
高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.1.2基本不等式练习(含解析)新人教A版选修4_5
2.基本不等式一、选择题1.若a,b,c都是正数,且a(a+b+c)+bc=4-2,则2a+b+c的最小值为( )A.-1B.+1C.2+2D.2-2解析:∵a(a+b+c)+bc=4-2,∴(a+b)(a+c)=4-2,∵a,b,c>0,∴(a+c)(a+b)≤,当且仅当a+c=a+b,即b=c时,等号成立.∴2a+b+c≥2=2(-1)=2-2.答案:D2.下列结论中不正确的是( )A.a>0时,a+≥2B.≥2C.a2+b2≥2abD.a2+b2≥解析:选项A、C显然正确;选项D中,2(a2+b2)-(a+b)2=a2+b2-2ab≥0,∴a2+b2≥成立;而选项B中,≥2不成立,因为若ab<0,则不满足基本不等式成立的条件.答案:B3.函数y=3x2+的最小值是( )A.3-3B.-3C.6D.6-3解析:y=3x2+=3x2+3+-3,∵3x2+3>0,>0,∴y≥2-3=6-3,当且仅当3x2+3=时,y取得最小值6-3.答案:D4.设x,y∈R,且x+y=5,则3x+3y的最小值是( )A.10B.6C.4D.18解析:3x+3y≥2=2=2=18.答案:D5.若x,y>0,且x+2y=3,则的最小值是( )A.2B.C.1+D.3+2解析:=1+,当且仅当时,等号成立,取得最小值1+.答案:C二、非选择题6.若a>3,则+a的最小值为.解析:由基本不等式,得+a=+a-3+3≥2+3=2+3=7,当且仅当=a-3,即a=5(a=1舍去)时,等号成立.答案:77.若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是.解析:令=t(t>0),由ab=a+b+3≥2+3,得t2≥2t+3,∴t≥3或t≤-1(舍去).∴≥3.∴ab≥9,当a=b=3时,等号成立.答案:[9,+∞)8.函数y=log a(x+3)-1(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中mn>0,则的最小值为.解析:函数y=log a(x+3)-1的图象恒过定点A(-2,-1),∵点A在直线mx+ny+1=0上,∴-2m-n+1=0,即2m+n=1,则×(2m+n)==2++4·+2≥4+2=4+4=8,当且仅当m=,n=时取等号.答案:89.求函数y=(x≥0)的最小值.解:原式变形,得y==x+2++1.因为x≥0,所以x+2>0.所以x+2+≥6,所以y≥7,当且仅当x=1时,等号成立.所以函数y=(x≥0)的最小值为7.10. 若a>0,b>0,且.(1)求a3+b3的最小值;(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.解:(1)由,得ab≥2,且当a=b=时等号成立.故a3+b3≥2≥4,且当a=b=时等号成立.所以a3+b3的最小值为4.(2)由(1)知,2a+3b≥2≥4.由于4>6,从而不存在a,b,使得2a+3b=6.11.如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一个底宽为2 m的无盖长方体沉淀箱,污水从A 孔流入,经沉淀后从B孔流出,设箱体的长度为a m,高度为b m,已知流出的水中该杂质的质量分数与a,b的乘积ab成反比,现有制箱材料60 m2,问当a,b各为多少时,沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小?(A,B孔的面积忽略不计)解:设y为流出的水中该杂质的质量分数,则y=,k>0,k为比例系数,依题意,即求a,b的值,使y最小.依题设,有4b+2ab+2a=60(a>0,b>0),所以b=(0<a<30).①于是y====≥=.当a+2=时,等号成立,y取最小值.这时a=6,a=-10(舍去),将a=6代入①,得b=3.故当a为6,b为3时,沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.三、备选习题1.已知a>2,试判断log a(a-1)·log a(a+1)与1的大小关系.解:∵a>2,∴log a(a-1)>0,log a(a+1)>0,且log a(a-1)≠log a(a+1),∴log a(a-1)·log a(a+1)<==1,∴当a>2时,log a(a-1)·log a(a+1)<1.2.一艘船由甲地逆水匀速行驶到乙地,甲乙两地相距s(千米),水速为常量p(千米/时),船在静水中的最大速度为q(千米/时),且p<q.已知船每小时的燃料费用(元)与船在静水中速度v(千米/时)的平方成正比,比例系数为k.(1)把全程燃料费用y(元)表示为静水中的速度v(千米/时)的函数,并指出其定义域;(2)为了使全程燃料费用最小,船的实际前进速度应为多少?解:(1)由于船每小时航行的燃料费用是kv2,全程航行时间为,于是全程燃料费用y=kv2·,故所求函数是y=ks·(p<v≤q),定义域是(p,q].(2)y=ks·=ks=ks·≥ks=4ksp.其中取“=”的充要条件是v-p=,即v=2p.①当v=2p∈(p,q],即2p≤q时y min=f(2p)=4ksp.②当v=2p∉(p,q],即2p>q.任取v1,v2∈(p,q],且v1<v2,则y1-y2=ks=·[p2-(v1-p)(v2-p)],而p2-(v1-p)(v2-p)>p2-(q-p)(q-p)=q(2p-q)>0,∴y1-y2>0.故函数y在区间(p,q]内单调递减,此时y(v)≥y(q),即y min=y(q)=ks.此时,船的前进速度等于q-p.故为使全程燃料费用最小,当2p≤q时,船的实际前进速度应为2p-p=p(千米/时);当2p>q 时,船的实际前进速度为q-p(千米/时).。
2新人教A版高中数学(选修4-5)《基本不等式》ppt课件
基本不等式
我们已 经 学 过 重 要 不等式 a b 2ab2 Nhomakorabea2
a, b R , 为了方便同学们学习下面将它 ,
以定理的形式给出并给出证明 , .
定理1
如果 a, b R, 那么a b 2ab, 当
2
2
且仅当a b时, 等号成立 .
证明 因为 a b 2 ab a b 0 , 当且仅
2 2 2
a b 时等号成立 成立 .
, 所以 , 当且仅当 a b 时 , 等号
探究 你能从几何的角度解释 定理1 吗?
A
如果把实数 , b作为线段 a 长度那么可以这样来解 释定理1 :
借助几何画板 解释定理1 .
B H
I
K
b
D
G
F
a
b
J
a
C
b
E
图 1 .1 2
以 a b 为例 , 如图 1 . 1 2 , 在正方形 a ; 在正方形 S 正方形
1设总造价为S元, AD长为x米, 试建立S关于x的函数
关系式;
2 当x为何值时S最小, 并求出这个最小值 .
解
2
1 设 DQ
y米 , 则
D
2
H
Q
G
x 4 xy 200 ,
从而 y 200 x 4x
2
P
N F
C B
A
M E
.
于是
2
S 4200 x 210 4 xy 80 2 y
C B
M E
2 4000 x
400000 x
2
80000 ,
人教A版高中数学选修4-5同步ppt课件：1-1-2
y 9x 1 9 当且仅当x＝ y 且x＋y＝1，即 x＝4，y＝12 时，上式等号 成立． 故 x＝4，y＝12 时，(x＋y)min＝16.
5 (2)∵x<4，∴4x－5<0，则 5－4x>0. 1 1 ∴y＝4x＋ ＝(4x－5)＋ ＋5 4x－5 4x－5
1 ＝－5－4x＋5－4x ＋5≤－2
规律技巧
1 以上各题均当 a＝b＝2时取等号，在推理过程
中要正确运用不等式的性质，把握住不等号方向的正确性．当 同向不等式相加时要注意等号能否成立．
【变式训练 1】
(1)已知 a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，
1 1 求证：1＋a1＋b≥9.
(2)已知 a，b，c 是不全相等的正数，求证： a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)>6abc.
(3)利用基本不等式还可以得到以下不等式： 1 a＋ ≥2(a>0，当且仅当 a＝1 时取等号)． a b a 当 ab>0 时， ＋ ≥2(当且仅当 a＝b 时取等号)． a b
2 a ＋ b a2＋b2≥ ≥2ab(a，b∈R，当且仅当 a＝b 时，等号 2
成立)．
2．均值不等式的应用 应用均值不等式中等号成立的条件，可以求最值． (1)x，y∈R＋，且 xy＝m(m 为定值)，那么当 x＝y 时，x＋y 有最小值 2 m； (2)x，y∈R＋，且 x＋y＝n(n 为定值)，那么当 x＝y 时，xy n2 有最大值 . 4 在应用均值不等式求最值时，应强调“一正、二定、三相 等”．否则会得出错误的结果.
第一讲
不等式和绝对值不等式
一
不等式
2
基本不等式
课前预习目标
课堂互动探究
1.1.2.基本不等式 课件(人教A选修4-5)
a＋b 如果 a，b 都是正数，我们就称 2 为 a，b 的算术平均，
ab 为 a，b 的几何平均．
4．利用基本不等式求最值 对两个正实数 x，y， (1)如果它们的和 S 是定值，则当且仅当 x＝y 时，它们的 积 P 取得最 大 值； (2)如果它们的积 P 是定值，则当且仅当 x＝y 时，它们的 和 S 取得最 小 值．
行证明．
(2)本题证明过程中多次用到基本不等式，然后利用同 向不等式的可加性或可乘性得出所证的不等式，要注意不 等式性质的使用条件，对“当且仅当……时取等号”这句话 要搞清楚．
[通一类] 1．设a，b，c∈R＋，
求证： a2＋b2＋ b2＋c2＋ c2＋a2≥ 2(a＋b＋c)．
证明：∵a2＋b2≥2ab， ∴2(a2＋b2)≥(a＋b)2. 又 a，b，c∈R＋， ∴ a2＋b2≥
每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平
均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元． (1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付 的总费用最少？ (2)某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210 吨时，其价格可享受9折优惠，问该厂是否考虑利用此 优惠条件？请说明理由．
2
2 2 |a＋b|＝ (a＋b)． 2 2
2
2 2 2 2 同理： b ＋c ≥ (b＋c)， c ＋a ≥ (a＋c)． 2 2
三式相加， 得 a2＋b2＋ b2＋c2＋ c2＋a2≥ 2(a＋b＋c)．
当且仅当 a＝b＝c 时取等号.
[研一题]
[例 2] 1 9 已知 x＞0，y＞0，且x＋y＝1，
[精讲详析]
本题考查基本不等式在证明不等式中的应
用，解答本题需要分析不等式的特点，先对a＋b，b＋c，c＋ a分别使用基本不等式，再把它们相乘或相加即可．
最新高中数学 第一章 不等式和绝对值不等式 1.2.2 绝对值不等式的解法试题 新人教A版选修4-5(考试必备)
2.绝对值不等式的解法课后篇巩固探究A组1.已知集合A={x|x2-5x+6≤0},B={x||2x-1|>3},则A∩B等于()A.{x|2≤x≤3}B.{x|2≤x<3}C.{x|2<x≤3}D.{x|-1<x<3}{x|2≤x≤3},B={x|x>2或x<-1},则A∩B={x|2<x≤3}.2.若a>2,则关于x的不等式|x-1|+a>2的解集为()A.{x|x>3-a}B.{x|x>a-1}C.⌀D.R|x-1|+a>2可化为|x-1|>2-a,因为a>2,所以2-a<0,故原不等式的解集为R.3.不等式|3x-4|>x2的解集为()A.(-4,1)B.(-1,4)C.⌀D.(-∞,-4)∪(1,+∞)|3x-4|>x2可得3x-4>x2或3x-4<-x2,解3x-4>x2得无解;解3x-4<-x2得-4<x<1,故原不等式的解集为(-4,1).4.不等式<0的解集是()A.{x|-3<x<5}B.{x|-3<x<5,且x≠2}C.{x|-3≤x≤5}D.{x|-3≤x≤5,且x≠2}|x-2|>0,且x≠2,所以原不等式等价于|x-1|-4<0,即|x-1|<4,所以-4<x-1<4,即-3<x<5.又x≠2,故原不等式的解集为{x|-3<x<5,且x≠2}.5.不等式|2x-log2x|<|2x|+|log2x|的解集为()A.(0,1)B.(1,2)C.(1,+∞)D.(2,+∞)|a-b|≤|a|+|b|中,“=”成立的条件是ab≤0,“<”成立的条件是ab>0,所以2x·log2x>0.又x>0,所以log2x>0,解得x>1.6.不等式|2x-1|<3的解集为.2x-1|<3⇔-3<2x-1<3⇔-1<x<2.-1,2)7.不等式|x+3|>|2-x|的解集是.|x+3|>|2-x|得(x+3)2>(2-x)2,整理得10x>-5,即x>-,故原不等式的解集为.8.若关于x的不等式|ax+2|<6的解集为(-1,2),则实数a=.0明显不符合题意.由|ax+2|<6得-8<ax<4.当a>0时,有-<x<,因为不等式的解集为(-1,2),所以解得两值相矛盾舍去.当a<0时,有<x<-,则解得a=-4.综上,a=-4.49.已知函数f(x)=(a∈R).(1)若a=3,解不等式:f(x)≥2;(2)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围.当a=3时,不等式f(x)≥2即为≥2,所以|x+1|+|x-3|-2≥4,所以|x+1|+|x-3|≥6.于是或从而x≥4,或x≤-2.故原不等式解集为{x|x≥4或x≤-2}.(2)f(x)的定义域为R,即不等式|x+1|+|x-a|-2≥0恒成立,所以|x+1|+|x-a|≥2恒成立.而g(x)=|x+1|+|x-a|的最小值为|a+1|,于是|a+1|≥2,解得a≥1,或a≤-3.故实数a的取值范围是(-∞,-3]∪[1,+∞).10.已知函数f(x)=|x+a|+|2x-1|(a∈R).(1)当a=1时,求不等式f(x)≥2的解集;(2)若f(x)≤2x的解集包含,求a的取值范围.当a=1时,不等式f(x)≥2可化为|x+1|+|2x-1|≥2.①当x≥时,不等式为3x≥2,解得x≥,故x≥;②当-1≤x<时,不等式为2-x≥2,解得x≤0,故-1≤x≤0;③当x<-1时,不等式为-3x≥2,解得x≤-,故x<-1.综上,原不等式的解集为.(2)因为f(x)≤2x,所以|x+a|+|2x-1|≤2x,所以不等式可化为|x+a|≤1,解得-a-1≤x≤-a+1.由已知得解得-≤a≤0.故a的取值范围是.B组1.不等式的解集为()A.[0,1)B.(0,1)C.(-∞,0)∪(1,+∞)D.(-∞,0]∪(1,+∞),所以<0,解得0<x<1.2.导学号26394014关于x的不等式|x+3|-|x-1|≤a2-3|a|对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为()A.(-∞,-4]∪[4,+∞)B.(-∞,-1]∪[4,+∞)C.[-1,4]D.(-∞,1]∪[2,+∞)|x+3|-|x-1|≤4,又|x+3|-|x-1|≤a2-3|a|对任意实数x恒成立,所以a2-3|a|≥4,即a2-3|a|-4≥0,解得|a|≥4或|a|≤-1(舍去).故选A.3.在实数范围内,不等式||x-2|-1|≤1的解集为.-1≤|x-2|-1≤1,即0≤|x-2|≤2,解得0≤x≤4.4.若不等式|3x-b|<4的解集中的整数有且仅有1,2,3,则b的取值范围为.|3x-b|<4得-4<3x-b<4,即<x<.因为不等式|3x-b|<4的解集中的整数有且仅有1,2,3,则故5<b<7.5.导学号26394015解不等式|2x+1|+|x-2|+|x-1|>4.x≤-时,原不等式化为-2x-1+2-x+1-x>4,解得x<-.当-<x≤1时,原不等式化为2x+1+2-x+1-x>4,4>4,矛盾.当1<x≤2时,原不等式化为2x+1+2-x+x-1>4,解得x>1.由1<x≤2,则1<x≤2.当x>2时,原不等式化为2x+1+x-2+x-1>4,解得x>.由x>2,则x>2.综上所述,原不等式的解集为.6.导学号26394016已知函数f(x)=|x-a|,其中a>1.(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4-|x-4|的解集;(2)已知关于x的不等式|f(2x+a)-2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},求a的值.解(1)当a=2时,f(x)+|x-4|=当x≤2时,由f(x)≥4-|x-4|得-2x+6≥4,解得x≤1;当2<x<4时,f(x)≥4-|x-4|无解;当x≥4时,由f(x)≥4-|x-4|得2x-6≥4,解得x≥5.所以f(x)≥4-|x-4|的解集为{x|x≤1或x≥5}.(2)记h(x)=f(2x+a)-2f(x),则h(x)=由|h(x)|≤2,解得≤x≤.因为|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},所以于是a=3.。
高中数学新人教A版选修4-5课件：第一讲不等式和绝对值不等式1.1.1不等式的基本性质
探究四
探究一不等式的基本性质
对于考查不等式的基本性质的选择题,解答时,一是利用不等式的相关
性质,其中,特别要注意不等号变号的影响因素,如数乘、取倒数、开方、平
方等;二是对所含字母取特殊值,结合排除法去选正确的选项,这种方法一般
要注意选取的值应具有某个方面的代表性,如选取 0、正数、负数等.
J 基础知识 Z 重点难点
几乎都有类似的前提条件,但结论会根据不同的要求有所不同,因而这需要
根据本题的四个选项来进行判断.选项 A,还需有 ab>0 这个前提条件;选项
B,当 a,b 都为负数时不成立,或一正一负时可能也不成立,如 2>-3,但 22>(-3)2
1
a
b
不正确;选项 C,c2+1>0,由 a>b 就可知c2+1 > c2 +1,故正确;选项 D,当 c=0 时不
A.P≥Q
B.P>Q
C.P≤Q
1
−
a+1+ a
解析:P-Q=( a + 1 − a)-( a − a-1)=
a-1- a+1
=
D.P<Q
.
( a+1+ a)( a+ a-1)
∵a≥1,∴ a-1 < a + 1,即 a-1 − a + 1<0.
又∵ a + 1 + a>0, a + a-1>0,
a-1- a+1
格依据不等式的性质和运算法则进行运算,是解答此类问题的基础.在使用
不等式的性质中,如果是由两个变量的范围求其差的范围,一定不能直接作
高中数学 第1讲 不等式和绝对值不等式 1.1 不等式的基本性质课后练习 新人教A版选修4-5-新人
2016-2017学年高中数学 第1讲 不等式和绝对值不等式 1.1 不等式的基本性质课后练习 新人教A 版选修4-5一、选择题1．若a ＜b ＜0，则( ) A.1a ＜1b B ．0＜a b＜1C ．ab ＞b 2D.b a ＞a b解析： 因为a ＜b <0，所以1a ＞1b ，故A 错．因为a ＜b ＜0，所以|a |＞|b |，所以ab＞1，故B 错．因为a ＜b ＜0，所以ab ＞b ·b ，即ab ＞b 2，故C 对．因为a ，b 同号，|a |＞|b |，所以ab ＞1,0＜b a＜1，故D 错．答案： C2．已知三个不等式：ab ＞0，bc －ad ＞0，c a －d b＞0(其中a ，b ，c ，d 均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析： 由ab ＞0，bc －ad ＞0可得bc ＞ad 两边同除以ab 得 c a ＞d b ，即c a －db＞0. 由c a －d b ＞0得c a ＞d b，再由ab ＞0， 两边同乘以ab 得bc ＞ad ，即bc －ad ＞0.由bc －ad ＞0，c a －d b >0可得bc ＞ad ，c a ＞d b，所以可得ab ＞0. 答案： D3．若1a ＜1b ＜0，则下列不等式：①a ＋b ＜ab ；②|a |>|b |；③a ＜b ；④b a ＋ab＞2中，正确的不等式有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：1a ＜1b ＜0⇔b ＜a ＜0，∴a ＋b ＜0＜ab ，|a |＜|b |，b a ＋a b＞2b a ·ab＝2(∵b ＜a ＜0，故等号取不到)，即①④正确，②③错误，故选B.(注：本题亦可用特值法，如取a ＝－1，b ＝－2验证得)答案： B4．已知0＜x ＜y ＜a ＜1，则有( ) A ．log a (xy )＜0 B ．0＜log a (xy )＜1 C ．1＜log a (xy )＜2D ．log a (xy )＞2解析：∵0＜x ＜y ＜a ＜1，∴0＜xy ＜a 2＜1，由对数函数的单调性和对数的定义得，log a (xy )＞log a a 2＝2.答案： D 二、填空题5．若x >0，则x ＋4x的最小值为( )A ．2B ．3C ．2 2D ．4解析：∵x >0， ∴x ＋4x≥2x ·4x ＝4， 当且仅当x ＝4x即x ＝2时取等号， 所以x ＋4x的最小值为4.答案： D6．若0＜2α－β＜π，－π2＜α－2β＜π，则α＋β的取值X 围是________． 解析： 由－π2＜α－2β＜π得－π＜2β－α＜π2，再与0＜2α－β＜π相加得－π＜α＋β＜3π2答案： －π＜α＋β＜3π2三、解答题7．设a ＞0，b ＞0且a ≠b ，试比较a a b b与a b b a的大小．解析：a a b b a b b a ＝a a －b ÷b a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b.当a ＞b ＞0时，ab＞1，a －b ＞0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ba －b ＞1，于是a a b b ＞a b b a . 当b ＞a ＞0时，0＜a b＜1，a －b ＜0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b ＞1，于是a a b b ＞a b b a . 综上所述，对于不相等的正数a ，b ，都有a a b b＞a b b a.8．已知－6＜a ＜8,2＜b ＜3，分别求2a ＋b ，a －b ，a b的取值X 围． 解析：∵－6＜a ＜8，∴－12＜2a ＜16. 又2＜b ＜3，∴－10＜2a ＋b ＜19， ∵2＜b ＜3，∴－3＜－b ＜－2.又－6＜a ＜8，∴－9＜a －b ＜6. ∵2＜b ＜3，∴13＜1b ＜12.①当0≤a ＜8时，0≤a b ＜4；②当－6＜a ＜0时，－3＜a b＜0. 综合①②得－3＜a b＜4.9．设f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值X 围． 解析： 设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)， 则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )， 即4a －2b ＝(m ＋n )a －(m －n )b .于是，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m －n ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． ∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10. ∴5≤f (－2)≤10.。
1.1.2 基本不等式 课件(人教A选修4-5)
3 (2)设 0<x< ，求函数 y＝4x(3－2x)的最大值； 2 1 9 (3)已知 x>0，y>0，且 ＋ ＝1，求 x＋y 的最小值． x y
[思路点拨]
根据题设条件，合理变形，创造能用基
本不等式的条件，求最值．
2x 2 [解] (1)∵x>0，∴f(x)＝ 2 ＝ . 1 x ＋1 x＋x 1 1 1 ∵x＋x≥2，∴0< ≤ . 1 2 x＋x ∴0<f(x)≤1，当且仅当x＝1时取“＝”．即f(x)值域 为(0,1] 3 (2)∵0<x< ，∴3－2x>0. 2 2x＋3－2x 2 9 ∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤2[ ]＝ . 2 2 3 当且仅当2x＝3－2x，即x＝ 时，等号成立． 4 9 ∴y＝4x(3－2x)的最大值为 . 2
(1)将y表示为x的函数；
(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并 求出最小总费用．
解：(1)如题图所示，设矩形的另一边长为a m. 则y＝45x＋1 由已知xa＝360，得a＝ x 3602 所以y＝225x＋ x －360(x＞0)． (2)∵x>0， 3602 ∴225x＋ x ≥2 225×3602＝10 800. 3602 ∴y＝225x＋ x －360≥10 440， 3602 当且仅当225 x＝ 时，等号成立． x 即当x＝24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费 用是10 440元．
a2 b2 c2 ∴( b ＋b)＋( c ＋c)＋( a ＋a) ≥2(a＋b＋c)． a2 b2 c2 即 b ＋ c ＋ a ≥a＋b＋c. a2 b2 c2 当且仅当 b ＝b， c ＝c， a ＝a， 即a＝b＝c时取等号.
新人教A版：选修4-5不等式和绝对值不等式
授课主题不等式和绝对值不等式教学目标1．会用基本不等式证明一些简单问题．2．能够利用两项的平均值不等式求一些特定函数的最值，从而学会解决简单的应用问题．3．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：①|ax＋b|≤c；②|ax＋b|≥c.4．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c.教学内容1．两实数大小比较的三种情况．设a，b为两个实数，它们在实轴上的点分别记为A，B.如果A落在B的右边，则称a大于b，记为a＞b；如果A落在B的左边，则称a小于b，记作a＜b；如果A与B重合，则称a与b相等，记为a＝b.2．不等式的基本性质．(1)对称性：a＞b⇔b＜a.(2)传递性：a＞b，b＞c⇔a＞c.(3)加(减)：a＞b⇔a＋c＞b＋c.(4)乘(除)：a＞b，c＞0⇔ac＞bc；a＞b，c＜0⇔ac＜bc.(5)乘方：a＞b＞0⇒a n＞b n，其中n为正整数，且n≥2.(6)开方(取算术根)：a＞b＞0⇒na＞nb，其中n为正整数，且n≥2.(7)a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d.本性质说明两个同向不等式相加，所得的不等式和原不等式同向．(8)a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd.本性质说明两边都是正数的同时不等式两边分别相乘，所得的不等式和原不等式同向．3．基本不等式．定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．定理2：如果a，b为正数，则a＋b2≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立．我们称a＋b2为正数a，b的算术平均数，ab为正数a，b的几何平均数，因而这一定理可用语言叙述为：两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数．定理3：如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．我们称a ＋b ＋c 3为正数a ，b ，c 的算术平均数，3abc 为正数a ，b ，c 的几何平均数，定理3中的不等式为三个正数的算术—几何平均不等式，或简称为平均不等式．定理4(一般形式的算术—几何平均不等式)：如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n ≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立． 4．绝对值的三角不等式．定理1：若a ，b 为实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立． 定理2：设a ，b ，c 为实数，则|a －c |≤|a －b |＋|b －c |. 等号成立⇔(a －b )(b －c )≥0，即b 落在a ，c 之间， 5．绝对值不等式的解法．(1)|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c 型不等式的解法．①c ＞0，则|ax ＋b |≤c 的解为－c ≤ax ＋b ≤c ，|ax ＋b |≥c 的解为ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ，然后根据a ，b 的值解出即可． ②c ＜0，则|ax ＋b |≤c 的解集为∅，|ax ＋b |≥c 的解集为R.(2)|x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c 型不等式的解法．解这类含绝对值的不等式的一般步骤是： ①令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根． ②把这些根由小到大顺序，它们把实数轴分为若干个区间．③在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，讨论所得的不等式在这个区间上的解集． ④这些解集的并集就是原不等式的解集． 6．解不等式常用技巧．解不等式时，在不等式的两边分别作恒等变形，在不等式的两边同时加上(或减去)一个数或代数式，移项，在不等式的两边同时乘以(或除以)一个正数或一个正的代数式，得到的不等式都和原来的不等式等价．这些方法，也是利用综合法和分析法证明不等式时常常用到的技巧．题型一 用作差比较法比较大小例1 若x ∈R ，试比较(x ＋1)(x 2＋x 2＋1)与(x ＋12)(x 2＋x ＋1)的大小．分析：根据这个式子的特点，先把代数式变形，再用作差法比较法比较大小． 解析：∵(x ＋1)(x 2＋x 2＋1)＝(x ＋1)(x 2＋x ＋1－x 2)＝(x ＋1)(x 2＋x ＋1)－x2(x ＋1)，(x ＋12)(x 2＋x ＋1)＝(x ＋1－12)(x 2＋x ＋1)＝(x ＋1)(x 2＋x ＋1)－12(x 2＋x ＋1)． ∴(x ＋1)(x 2＋x 2＋1)－(x ＋12)(x 2＋x ＋1)＝(x ＋1)(x 2＋x ＋1)－x 2(x ＋1)－(x ＋1)(x 2＋x ＋1)＋12(x 2＋x ＋1)＝12(x 2＋x ＋1)－12(x 2＋x )＝12>0. ∴(x ＋1)(x 2＋x 2＋1)>(x ＋12)(x 2＋x ＋1)．点评：比较大小的一般方法是作差比较法，先作差，再判断差与0的大小关系．若a －b >0.则a >b ；若a －b <0，则a <b ；若a －b ＝0，则a ＝b .作差比较法的步骤是①作差；②变形；③定号；④下结论． 巩 固 比较x 2－x 与x －2的大小．解析：(x 2－x )－(x －2)＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，因为(x －1)2≥0， 所以(x －1)2＋1>0，即(x 2－x )－(x －2)>0. 所以x 2－x >x －2.题型二 用不等式性质证明或判断不等式 例2 已知a >b ，c <d ，求证，a －c >b －d ．证明：∵c <d ，∴－c >－d .又∵a >b ，∴a ＋(－c )>b ＋(－d )．即a －c >b －d .巩 固 设f (x )＝ax 2＋bx ，且－1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4.求证：－1≤f (－2)≤10.证明：设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)，即4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )＝(m ＋n )a ＋(n －m )b .比较系数得⎩⎪⎨⎪⎧ 4＝m ＋n ，2＝m －n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.所以f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． 又因为－1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， 所以－1≤f (－2)≤10.巩 固 如果a ，b ，c 均为正数且b <c ，则ab 与ac ＋bc 的大小关系是________．答案：ab <ac ＋bc题型三 利用基本不等式求函数的值域或最值 例3 已知x <54，求y ＝4x －2＋14x －5的最大值．解析：∵x <54，∴5－4x >0.∴y ＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋15－4x)＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1(x ＝32舍去)时等号成立，∴当x ＝1时，y max ＝1.巩 固 设x ≥0，y ≥0，x 2＋y 22＝1，则x1＋y 2的最大值为__________．分析：∵x 2＋y 22＝1是常数，∴x 2与y 22的积可能有最大值． ∴可把x 放到根号里面去考虑，即化为x 2(1＋y 2)， 注意到x 2与1＋y 2的积，应处理成2x 2·1＋y 22. 解析：方法一 ∵x ≥0，y ≥0，x 2＋y 22＝1， ∴x 1＋y 2＝x 2(1＋y 2)＝ 2x 2·1＋y 22≤2x 2＋1＋y 222＝2x 2＋y 22＋122＝324， 当且仅当x 2＝1＋y 22，即x ＝32，y ＝22时， x 1＋y 2取得最大值324.方法二 令 x ＝cos θ，y ＝2sin θ⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π2， 则x1＋y 2＝cos θ1＋2sin 2θ＝2cos 2θ(1＋2sin 2θ)·12≤12·⎣⎡⎦⎤2cos 2θ＋(1＋2sin 2θ)22＝324.当2cos 2θ＝1＋2sin 2θ，即θ＝π6时，也即x ＝32，y ＝22时， x1＋y 2取得最大值324.答案：324题型四 利用基本不等式证明不等式例4 已知a ，b ∈(0，＋∞)且a ＋b ＝1，求证：(1)a 2＋b 2≥12；(2)1a 2＋1b2≥8.证明：由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b2≥ab ，a ＋b ＝1，a ，b ∈0，＋∞得ab ≤12.∴ab ≤14，1ab≥4.(1)∵a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ≥1－2×14＝12.∴a 2＋b 2≥12(2)∵1a 2＋1b 2≥2ab ≥8，∴1a 2＋1b2≥8 巩 固 已知x ，y >0且x ＋y ＝1.求证：(1＋1x )(1＋1y)≥9.证明：(1＋1x )(1＋1y )＝(x ＋1)(y ＋1)xy ＝(2x ＋y )(2y ＋x )xy ＝5xy ＋2(x 2＋y 2)xy ＝5＋2(x 2＋y 2)xy ≥5＋2×2xy xy ＝9.当且仅当x ＝y ＝12时取等号．∴(1＋1x )(1＋1y )≥9.题型五 证明不等式例5 设a ，b ，c ∈R ＋，求证：(a ＋b ＋c )(1a ＋1b ＋1c)≥9.分析：观察式子的结构，通过变形转化来证明． 证明：∵a ，b ，c ∈R ＋，∴a ＋b ＋c ≥33abc ，1a ＋1b ＋1c ≥33（abc ）－1，两不等式相乘，有：(a ＋b ＋c )(1a ＋1b ＋1c )≥33abc ×33（abc ）－1＝9.∴(a ＋b ＋c )(1a ＋1b ＋1c)≥9.当且仅当a ＝b ＝c ＝0时，等号成立．巩 固 已知a ，b ，c ∈R ＋，a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c≥9.证明：∵a ，b ，c ∈R ＋，a ＋b ＋c ≥33abc .又a ＋b ＋c ＝1，∴3abc ≤13，∴13abc ≥3，∴1a ＋1b ＋1c ≥331abc ≥9. 即原不等式成立． 题型六 求函数的最值例6 已知x ∈R ＋，求函数y ＝x (1－x 2)的最大值．分析：为使数的“和”为定值，可以先平方，即y 2＝x 2(1－x 2)2＝x 2(1－x 2)(1－x 2)＝2x 2(1－x 2)(1－x 2)×12，求出最值后再开方．解析：∵y ＝x (1－x 2)， ∴y 2＝x 2(1－x 2)2＝12×2x 2(1－x 2)(1－x 2)≤12⎝⎛⎭⎫2x 2＋1－x 2＋1－x 233＝427.当且仅当2x 2＝1－x 2，即x ＝33时等号成立． ∴y ≤239.∴y max ＝239. 巩 固 设θ为锐角，求y ＝12sin 2 θ cos θ的最大值．解析：y 2＝14sin 4θcos 2θ＝18×2sin 2θ sin 2θ cos 2θ≤18⎝⎛⎭⎫sin 2θ＋sin 2θ＋2 cos 2θ33＝127.当且仅当sin 2 θ＝2cos 2θ＝2－2sin 2θ. 即sin θ＝63时取等号，此时y max ＝39. 题型七 利用绝对值三角不等式证明不等式例7 若|a －b |＞c ，|b －c |＜a ，求证：c ＜a .证明：由|a －b |＞c 及|b －c |＜a 得c －a ＜|a －b |－|b －c |≤|(a －b )＋(b －c )|＝|a －c |＝|c －a |. 由c －a ＜|c －a |知c －a ＜0，故c ＜a .点评：不等式的证明方法比较多．关键是从式子的结构入手进行分析．多联想定理的形式以便用好它． 巩 固 设ε＞0，|x －a |＜ε4，|y －b |＜ε6. 求证：|2x ＋3y －2a －3b |＜ε.分析：将2x ＋3y －2a －3b 写成2(x －a )＋3(y －b )的形式后利用定理1和不等式性质证明． 证明：|2x ＋3y －2a －3b |＝|2(x －a )＋3(y －b )|≤|2(x －a )|＋|3(y －b )|＝2|x －a |＋3|y －b |＜2×ε4＋3×ε6＝ε.巩 固 设m 等于|a |、|b |和1中最大的一个．当|x |>m 时，求证：⎪⎪⎪⎪a x ＋b x 2<2.分析：本题的关键是对题设条件的理解和运用，|a |、|b |和1这三个数中哪一个最大．如果两两比较大小，将十分复杂，我们可得到一个重要的信息：m ≥|a |，m ≥|b |，m ≥1.证明：∵m 等于|a |，|b |和1中最大的一个，|x |>m ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧|x |>m ≥|a |，|x |>m ≥|b |，|x |>m ≥1⇒⎩⎪⎨⎪⎧|x |>|a |，|x |2>|b |.∴⎪⎪⎪⎪a x ＋b x 2≤⎪⎪⎪⎪a x ＋⎪⎪⎪⎪b x 2＝|a ||x |＋|b ||x |2<|x ||x |＋|x |2|x |2＝2，故原不等式成立．巩 固 设A 、ε>0，|x －a |<ε2，|y －b |<ε2，|b |≤A ，|x |≤A ，求证：|xy －ab |<Aε.证明：|xy －ab |＝|xy －bx ＋bx －ab |＝|x (y －b )＋b (x －a )|≤|x (y －b )|＋|b (x －a )| ≤|x ||y －b |＋|b ||x －a |<A ·ε2＋A ·ε2＝Aε.所以有|xy －ab |<Aε.巩 固 已知函数f (x )＝x 2－x ＋13，|x －a |<1，求证：|f (x )－f (a )|<2(|a |＋1)．证明：|f (x )－f (a )|＝|x 2－x ＋13－(a 2－a ＋13)|＝|x 2－a 2－x ＋a |＝|(x －a )(x ＋a －1)|＝|x －a ||x ＋a －1|<|x ＋a －1| ＝|x －a ＋2a －1|≤|x －a |＋|2a －1|<1＋|2a |＋1＝2(|a |＋1)． ∴|f (x )－f (a )|<2(|a |＋1)．题型八 利用绝对值三角不等式求最值例8 设a ，b ∈R 且|a ＋b ＋1|≤1，|a ＋2b ＋4|≤4，求|a |＋|b |的最大值．解析：|a ＋b |＝|(a ＋b ＋1)－1|≤|a ＋b ＋1|＋|－1|≤1＋1＝2，|a －b |＝|3(a ＋b ＋1)－2(a ＋2b ＋4)＋5|≤3|a ＋b ＋1|＋2|a ＋2b ＋4|＋5≤3×1＋2×4＋5＝16. ①当ab ≥0时，|a |＋|b |＝|a ＋b |≤2； ②当ab <0时，则a (－b )>0， |a |＋|b |＝|a |＋|－b |＝|a ＋(－b )|≤16. 总之，恒有|a |＋|b |≤16. 而a ＝8，b ＝－8时，满足|a ＋b ＋1|＝1，|a ＋2b ＋4|＝4，且|a |＋|b |＝16. 因此|a |＋|b |的最大值为16.巩 固 求函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的最大值和最小值．分析：若把x －3，x ＋1看作两个实数，则所给的代数式符合两个数绝对值的差的形式，因而可以联想到两个数和(差)的绝对值与两个数绝对值的和(差)之间的关系，进而可转化求解，另一思维是：含有这种绝对值函数式表示的是分段函数，所以也可以视为是分段函数求最值．解析：方法一 ∵||x －3|－|x ＋1||≤|(x －3)－(x ＋1)|＝4， ∴－4≤|x －3|－|x ＋1|≤4. ∴ymax＝4，ymin＝－4.方法二 把函数看作分段函数． y ＝|x －3|－|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧4，x <－1，2－2x ，－1≤x ≤3，－4，x >3.∴－4≤y ≤4，∴y max ＝4，y min ＝－4.点评：对于含有两个以上绝对值的代数式，通常利用分段讨论的方法转化为分段函数，进而利用分段函数的性质解决相应问题．利用含绝对值不等式的性质定理进行“放缩”，有时也能产生比较好的效果，但这需要准确地处理“数”的差或和，以达到所需要的结果．题型九 |ax ＋b |≤e （或|ax ＋b |≥e ）（e >0）型不等式的解法 例9 解下列不等式．(1)⎪⎪⎪⎪x ＋12＞2； (2)|3x －1|≤6.分析：解两个不等式的关键是去掉绝对值符号．解析：(1)方法一 原不等式即⎪⎪⎪⎪x －⎝⎛⎭⎫－12＞2，它表示与点－12的距离大于2的点的集合，如下图所示，所以符合条件的x 的范围是x ＞2＋⎝⎛⎭⎫－12或x ＜－2＋⎝⎛⎭⎫－12，即原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜－52或x ＞32.方法二 因为⎪⎪⎪⎪x ＋12＞2⇔x ＋12＞2或x ＋12＜－2⇔x ＞32或x ＜－52， 所以原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＞32或x ＜－52. (2)由于|3x －1|≤6⇔－6≤3x －1≤6，即－5≤3x ≤7， ∴－53≤x ≤73，所以原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－53≤x ≤73. 巩 固 解下列不等式(1)|1－2x |>5； (2)|4x －1|＋2≤10.解析：(1)|1－2x |>5⇔|2x －1|>5⇔2x －1>5或2x －1<－5⇔2x >6或2x <－4⇔x >3或x >－2. 所以原不等式的解集为{x |x >3或x <－2}(2)|4x －1|＋2≤10⇔|4x －1|≤10－2⇔|4x －1|≤8⇔－8≤4x －1≤8⇔－7≤4x ≤9⇔－74≤x ≤94.所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －74≤x ≤94.题型十 绝对值不等式的综合性问题 例10 已知不等式|x ＋3|＞2|x |，①x ＋2x 2－3x ＋2≥1，②2x 2＋mx －1＜0，③若同时满足①②的x 值也满足③，求m 的取值范围． 解析：由|x ＋3|＞2|x |解得－1＜x ＜3， 由x ＋2x 2－3x ＋2≥1解得0≤x ＜1或2＜x ≤4，∴0≤x ＜1或2＜x ＜3.由2x 2＋mx －1＜0解得－m －m 2＋84＜x ＜－m ＋m 2＋84，满足①②的x 值也满足③，则有⎩⎪⎨⎪⎧－m －m 2＋84＜0，－m ＋m 2＋84≥3.∴m ≤－173，即m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－173. 巩 固 x 2－2|x |－15>0的解集是________．解析：∵|x |2－2|x |－15>0， ∴|x |>5或|x |<－3(舍去)．∴x <－5或x >5.故不等式的解集为{x |x <－5或x >5}． 答案：{x |x <－5或x >5}题型十一 |x －a |＋|x －b |≥c (或|x －a |＋|x －b |≤c )型不等式的解法 例11 解不等式|x ＋1|＋|x －1|≥3.分析：本题可以用分段讨论法或数形结合法求解．对于形如|x ＋a |＋|x ＋b |的代数式，可以认为是分段函数． 解析：方法一 如下图，设数轴上与－1,1对应的点分别为A ，B ，那么A ，B 两点的距离和为2，因此区间[－1,1]上的数都不是不等式的解．设在A 点左侧有一点A 1到A ，B 两点的距离和为3，A 1对应数轴上的x .∴－1－x ＋1－x ＝3，得x ＝－32，同理设B 点右侧有一点B 1到A ，B 两点距离和为3，B 1对应数轴上的x ， ∴x －1＋x －(－1)＝3.∴x ＝32.从数轴上可看到，点A 1，B 1之间的点到A ，B 的距离之和都小于3；点A 1的左边或点B 1的右边的任何点到A ，B 的距离之和都大于3.∴原不等式的解集是(－∞，－32]∪[32，＋∞).方法二 当x ≤－1时，原不等式可以化为－(x ＋1)－(x －1)≥3， 解得x ≤－32.当－1<x <1时，原不等式可以化为x ＋1－(x －1)≥3，即2≥3.不成立，无解． 当x ≥1时，原不等式可以化为x ＋1＋x －1≥3.所以x ≥32.综上，可知原不等式的解集为{x|x ≤－32或x ≥32}.方法三 将原不等式转化为|x ＋1|＋|x －1|－3≥0.构造函数y ＝|x ＋1|＋|x －1|－3，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －3，x ≤－1，－1，－1<x <1，2x －3，x ≥1.作出函数的图象(如下图)． 函数的零点是－32，32.从图象可知，当x ≤－32或x ≥32时，y ≥0，即|x ＋1|＋|x －1|－3≥0.所以原不等式的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 点评：这三种解法以第二种解法最重要，但是其中的分段讨论要遵循分类讨论的原则“不重不漏”；第一种解法中，关键是找到一些特殊的点如A 1，B 1；第三种解法中，准确画出图象，是y ＝|x ＋1|＋|x －1|－3的图象，而不是y ＝|x ＋1|＋|x －1|的，其次函数的零点要找准．这些都是求解集的关键． 巩 固 解不等式|x －1|＋|x －2|>5.解析：方法一 分类讨论|x －1|＝0.|x －2|＝0的根1,2把数轴分成三个区间．在这三个区间上，根据绝对值的定义．代数式|x －1|＋|x －2|有不同的解析表达式，因而原不等式的解集为以下三个不等式组解集的并集．(1)因为在x ≤1的限制条件之下：|x －1|＋|x －2|＝1－x ＋2－x ＝3－2x ，所以当x ≤1时，|x －1|＋|x －2|>5⇔3－2x >5⇔2x <－2⇔x <－1.因此不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤1，|x －1|＋|x －2|>5的解集为(－∞，－1)．(2)因为在1<x <2的限制条件之下： |x －1|＋|x －2|＝x －1＋2－x ＝1.所以当1<x <2时．不等式|x －1|＋|x －2|>5无解．因此不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 1<x <2，|x －1|＋|x －2|>5的解集为∅.(3)由于在x ≥2的限制条件之下： |x －1|＋|x －2|＝x －1＋x －2＝2x －3，所以当x ≥2时，|x －1|＋|x －2|>5⇔2x －3>5⇔2x >8⇔x >4.所以不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，|x －1|＋|x －2|>5的解集为(4，＋∞)．于是原不等式的解集为以上三个不等式组解集的并集，即(－∞，－1)∪∅∪(4，＋∞)＝(－∞，－1)∪(4，＋∞)．方法二 |x －1|＋|x －2|>5⇔|x －1|＋|x －2|－5>0.构造函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|－5，于是原不等式的解集为{x |f (x )>0}．写出f (x )的分段解析表达式：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x －2，x ≤1，－4，1<x <2，2x －8，x ≥2.作出函数f (x )的图象如下图所示．f (x )为分段函数，其零点为－1,4，于是f (x )>0⇔x <－1或x >4.所以原不等式的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)．方法三 x 为不等式|x －1|＋|x －2|>5的解集⇔x 是与数轴的点A (1)及B (2)两点距离之和大于5的点．由于A 、B 两点的距离1，线段AB 上的点不符合要求，利用图形(如上图)，可知符合条件的点应该是在A 点的左侧离A 最近距离是2，在B 点的右侧离B 最近距离为2的点处，即x >4或x <－1，所以原不等式的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)．题型十二 函数图象相关的应用题例12 解关于x 的不等式|log a ax 2|＜|log a x |＋2.分析：换元求解，令log a x ＝t .解析：原不等式化为|1＋2log a x |＜|log a x |＋2，令t ＝log a x ，所以|2t ＋1|＜|t |＋2，两边平方得：4t 2＋4t ＋1＜t 2＋4|t |＋4⇒3t 2＋4t －4|t |－3＜0.当t ≥0时，3t 2－3＜0⇒t 2＜1⇒－1＜t ＜1，所以0≤t ＜1；当t ＜0时，3t 2＋8t －3＜0⇒－3＜t ＜13， 所以－3＜t ＜0.综上所述，－3＜t ＜1.因为t ＝log a x ，所以－3＜log a x ＜1.当0＜a ＜1时，a ＜x ＜a －3，当a ＞1时，a －3＜x ＜a ，所以原不等式的解集为：当0＜a ＜1时，{x |a ＜x ＜a －3}；当a ＞1时，{x |a －3＜x ＜a }． 巩 固 已知y ＝log a (2－ax )在(0,1)上是增函数，则不等式log a |x ＋1|>log a|x －3|的解集为( )A ．{x |x <－1}B ．{x |x <1}C ．{x |x <1，且x ≠－1}D ．{x |x >1}解析：∵y ＝log a(2－ax )在(0,1)上是增函数， 又a >0，∴2－ax 为减函数．∴0<a <1，即y ＝log ax 为减函数． ∴|x ＋1|<|x －3|，且x ＋1≠0，x －3≠0，即x ≠－1，且x ≠3.由|x ＋1|<|x －3|，得(x ＋1)2<(x －3)2，∴x 2＋2x ＋1<x 2－6x ＋9.∴x <1.结上可得x <1且x ≠－1.答案：C不等式1．若a ，b ，c ，d ∈R ，且a ＞b ，c ＞d ，那么( )A ．a －c ＞b －dB ．ac ＞bdC ．－a d ＞－b cD ．a －d ＞b －c答案：D2．若1a <1b<0，则下列等式： ①1a ＋b <1ab ；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b ；④ln a 2>ln b 2. 其中，正确的不等式是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④ 答案：C3．若a ，b ∈R ，则不等式：①a 2＋3>2a ；②a 2＋b 2≥2(a －b －1)；③a 5＋b 5>a 3b 2＋a 2b 3；④a ＋1a≥2中一定成立的是( ) A ．①②③B ．①②④C ．①②D ．②④答案：C4．若x >54，则f (x )＝4x ＋14x －5的最小值为( ) A ．－3B ．2C ．5D ．7答案：D5．若a >0，b >0，且ln(a ＋b )＝0，则1a ＋1b的最小值是( ) A.14B ．1C ．4D ．8 答案：C6．当点(x ，y )在直线x ＋3y ＝2上移动时，表达式3x ＋27y ＋1的最小值为( )A ．3B ．5C ．1D ．7答案：D7．若1<a <3，－4<b <2，则a －|b |的取值范围是________答案：(－3,3)8．设正数x ，y 满足log 2(x ＋y ＋3)＝log 2x ＋log 2y ，则x ＋y 的最小值为________．答案：69．设x ，y ，z 为正实数，满足x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz的最小值是________． 答案：310．若正实数x ，y ，满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________．解析：由x >0，y >0,2x ＋y ＋6＝xy 得xy ≥22xy ＋6(当且仅当2x ＝y 时，取“＝”)，即(xy )2－22(xy )－6≥0.∴(xy －32)(xy ＋2)≥0.又∵xy >0，∴xy ≥32，即xy ≥18.∴xy 的最小值为18.答案：1811．已知a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1.求证：1a ＋1b ＋1c≥9. 证明：1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号． 12．已知x ，y ，z 都为正数，且xyz (x ＋y ＋z )＝1.求证：(x ＋y )(y ＋z )≥2.证明：由已知得xz ＞0，y (x ＋y ＋z )＞0.又xyz (x ＋y ＋z )＝1，所以(x ＋y )(y ＋z )＝xy ＋xz ＋y 2＋yz ＝xz ＋y (x ＋y ＋z )≥2xz ·y (x ＋y ＋z )＝2，即(x ＋y )(y ＋z )≥2.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧xz ＝y (x ＋y ＋z )，xyz (x ＋y ＋z )＝1时取等号． 13．(1)已知x >1，求函数y ＝x 2x －1的最小值； (2)若x <12，求函数y ＝2x ＋2＋12x －1的最大值． 解析：(1)y ＝x 2x －1＝(x ＋1)(x －1)＋1x －1＝x ＋1＋1x －1＝x －1＋1x －1＋2. ∵x >1，∴x －1>0.∴y ＝x －1＋1x －1＋2≥2(x －1)·1x －1＋2＝4. 当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时等号成立． ∴y min ＝4.(2)y ＝2x ＋2＋12x －1＝(2x －1)＋12x －1＋3 ∵x <12，∴2x －1<0.即1－2x >0. ∴y ＝2x ＋2＋12x －1＝－⎣⎡⎦⎤(1－2x )＋11－2x ＋3≤－2(1－2x )·1(1－2x )＋3＝1. 当且仅当1－2x ＝11－2x，即x ＝0时，等号成立． ∴y max ＝1.绝对值不等式1．已知集合A ＝{x |x 2－5x ＋6≤0}，B ＝x |2x －1|>3，则A ∩B 等于( )A ．{x |2≤x ≤3}B ．{x |2≤x <3}C ．{x |2<x ≤3}D ．{x |－1<x <3}答案：C2．不等式|x ＋3|－|x －3|>3的解集是( )A ．{x|x >32} B ．{x|32<x ≤3} C ．{x |x ≥3} D ．{x |－3<x ≤0}答案：A3．不等式|x ＋2|≥|x |的解集是________．答案：{x |x ≥－1}4．|x －1|＋|x ＋2|＋|x |>10的解集是________．答案：{x|x >3或x <－113} 5．x 2－2|x |－15>0的解集是________．答案：(－∞，－5)∪(5，＋∞)6．解不等式|x ＋5|－|x －3|>10.解析：|x ＋5|＝0，|x －3|＝0的根为－5,3.(1)当x ≤－5时，|x ＋5|－|x －3|>10⇔－x －5＋x －3>10⇔－18>10.所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－5，|x ＋5|－|x －3|>10的解集为∅. (2)当－5<x <3时，|x ＋5|－|x －3|>10⇔x ＋5＋x －3>10⇔2x ＋2>10⇔x >4.所以⎩⎪⎨⎪⎧ －5<x <3，|x ＋5|－|x －3|>10的解集为∅. (3)当x ≥3时，|x ＋5|－|x －3|>10⇔x ＋5－x ＋3>10⇔8>10.所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，|x ＋5|－|x －3|>0的解集为∅. 综上所述，原不等式的解集为∅.7．解不等式x ＋|2x －1|<3.解析：原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1≥0，x ＋(2x －1)<3或⎩⎪⎨⎪⎧2x －1<0，x －(2x －1)<3. 解得12≤x <43或－2<x <12. 所以原不等式的解集是{x |－2<x <43}． 8．解不等式|x 2＋x －2|>x .解析：当x <0时，原不等式恒成立；当x ≥0时，原不等式可化为x 2＋x －2>x 或x 2＋x －2<－x .即x 2>2或x 2＋2x －2<0.∴x >2或x <－2或－1－3<x <－1＋ 3.又x ≥0，∴0≤x <3－1或x > 2.综上所述，原不等式的解集是{x |x <3－1或x >2}．9．解不等式|x 2－3x －4|＞x ＋2.解析：方法一 原不等式等价于x ＋2≤0①或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＞0，x 2－3x －4＞x ＋2或x 2－3x －4＜－(x ＋2).② 由①⇔x ≤－2，由②⇔⎩⎨⎧x ＞－2，x ＞2＋10或x ＜2－10或1－3＜x ＜1＋3⇔－2＜x ＜2－10或x ＞2＋10或1－3＜x ＜1＋3，所以原不等式的解集为(－∞，2－10)∪(1－3，1＋3)∪(2＋10，＋∞)．方法二 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－3x －4≥0，x 2－3x －4＞x ＋2或⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x －4＜0，－(x 2－3x －4)＞x ＋2. 即⎩⎨⎧ (x ＋1)(x －4)≥0，(x －2－10)(x －2＋10)＞0①或⎩⎨⎧(x ＋1)(x －4)＜0，(x －1－3)(x －1＋3)＜0，② ∴不等式组①的解集为(－∞，2－10)∪(2＋10，＋∞)，不等式组②的解集为(1－3，1＋3)．所以原不等式的解集为(－∞，2－10)∪(1－3，1＋3)∪(2＋10，＋∞)．方法三 原不等式等价于[(x 2－3x －4)＋(x ＋2)][(x 2－3x －4)－(x ＋2)]＞0即(x 2－2x －2)(x 2－4x －6)＞0，(x －1－3)(x －1＋3)(x －2－10)(x －2＋10)＞0，结合图形(如上图)可知原不等式的解集为(－∞，2－10)∪(1－3，1＋3)∪(2＋10，＋∞)．10．若x ∈R 不等式|x －1|＋|x －2|≤a 的解集为非空集合．求实数a 的取值范围．解析：要使|x －1|＋|x －2|≤a 的解集非空，只需a 不小于|x －1|＋|x －2|的最小值即可．由|x －1|，|x －2|可以看作数轴上的点到1,2两点的距离，可以看出|x －1|＋|x －2|的最小值为1.所以a ≥1.故a 的取值范围是[1，＋∞)．11．已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R)，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}．(1)求a 的值；(2)若f (x )－2f ⎝⎛⎭⎫x 2≤k 恒成立，求k 的取值范围．解析：(1)由|ax ＋1|≤3得－4≤ax ≤2，又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，所以当a ≤0时，不合题意．当a >0时，－4a ≤x ≤2a，得a ＝2.(2)记h(x)＝f(x)－2f(x2)，则h(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x≤－1，－4x－3，－1<x<－12，－1，x≥－12.所以|h(x)|≤1，因此k≥1.所以k的取值范围是[1，＋∞)．12．已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.(1)当a＝－2时，求不等式f(x)<g(x)的解集；(2)设a>－1，且当x∈－a2，12时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．解析：(1)当a＝－2时，不等式f(x)<g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3<0，设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，y＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x，x<12，－x－2，12≤x≤1，3x－6，x>1.其图象如图所示，从图象可知，当且仅当x∈(0,2)时，y<0，∴原不等式解集是{x|0<x<2}．(2)当x∈－a2，12时，f(x)＝1＋a，不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3，∴x≥a－2对x∈－a2，12都成立，故－a2≥a－2，即a≤43，∴a的取值范围为⎝⎛⎦⎤－1，43.13．如下图，O为数轴的原点，A，B，M为数轴上三点，C为线段OM上的动点，设x表示C与原点的距离，y表示C到A距离的4倍与C到B距离的6倍的和．(1)将y表示为x的函数．(2)要使y的值不超过70，x应该在什么范围内取值？解析：(1)由题设，CO＝x，CA＝|10－x|，CB＝|20－x|，故y＝4×|10－x|＋6×|20－x|，x∈[0,30]，即y＝⎩⎪⎨⎪⎧160－10x，x∈[0，10]，80－2x，x∈(10，20]，10x－160，x∈(20，30].(2)令y≤70，当x∈[0,10]时，由160－10x≤70得x≥9，故x∈[9,10]；当x∈(10,20]时，由80－2x≤70得x≥5，故x∈(10,20]；当x∈(20,30]时，由10x－160≤70得x≤23，故x∈(20,23]．综上知，x∈[9,23]．。
高中数学人教新课标A版选修4-5第一讲 不等式和绝对值不等式二绝对值不等式
将│2x-1│≤3两边除以2，得
x1 3, 22
它的解集是数轴上到坐标为
1 2
的点
的距离不大于 3 的点集合.
2
探究
如何求解│x-a│+│x-b│≥c和 │x-a│+│x-b│ ≤c型不等式？
提示
思路一：对几何意义作分析； 思路二：把含绝对值的不等式转化 为不含绝对值的不等式； 思路三：从函数的观点处理。
如果当a,b是实数，则 a b a b ,
当且仅当ab≥0时,等号成立.
定理1 （很重要）
探究
如果把定理1中的实数a,b分别换为向 量a,b能得出什么结果？你能解释它的几 何意义吗？
(1)当向量a,b不共线时，向量a+b,a,b构成 三角形.
因此：a b a b .
其几何意义是三角形的两边之和大于 第三边（如下图）。
可以得到 x x1 a和 x x1 a的解集。
例3 解不等式│2x-1│≤3
分析 可以把 (2x-1) 看成一个整体X， 即所解不等式就是 X 2.
解： 由 2 x 1 3得：-3 ≤2x-1 ≤3 解得-1≤x ≤2 因此，原不等式的解集 为｛x│-1≤x ≤2｝
思考
该题解的几何解释是什么？
解法二： 作函数y=x2-2x的图像. │x2-2x│<3 表示函数图像中在直线 y=-3 和直线 y=3 之间相应部分的自变量的集合.
解方程x2-2x=3得x1=-1,x2=3 即不等式的解集是(-1,3).
2.求函数y=│x-4│+ │x-6│的最小值.
解： y=│x-4│+ │x-6│ = │x-4│+ │6-x│
0 a b a+b
人教版高中数学选修4-5《1.2基本不等式》
人教A版高中数学选修4-5
探究:你能从几何的角度解释定理1吗?
思考：你能在这个图案中找 出关于图形面积之间的相等 或不等关系吗？
D
a b
2
2
b
G F E H
1、正方形ABCD的面 2 2 a b 积S=＿＿＿＿
C
２、四个直角三 角形的面积之和
A
a
S = 2ab
'
'
３、S与 S 有什么样
归纳整理，整体认识
本节课你有什么收获？
1、数学知识: 2、数学思想:整体思想、数形结合 3、数学方法:分析法
作业
问题1：跟同学一起讨论基本不等式的其他 几何解释
≥ D
O C
B
a
b
E
几何意义：半径不小于弦长的一半
拓展延伸
例 （1）用篱笆围一个面积为１００平方米的矩形 菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱 笆最短？最短的篱笆是多少？
（2）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问 这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？ 最大的面积是多少？
变式训练： 求证：（1）在所有周长相同的矩形中， 正方形的面积最大； （2）在所有面积相同的矩形中， 正方形的周长最短.
下面讨论一下基本不等式的几何意义. 如图, AB是圆的直径, O为圆心， 点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过 点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、 A OD. ①如何用a, b表示OD? ②如何用a, b表示CD? ③OD与CD的大小关系怎样? OD=______ CD=______ OD_____CD
的不等关系？S>S′即
B
a b
2
2
2018_2019学年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一不等式2基本不等式习题课件新人教A版选修4_5
法二：因为1x＋y＋2 1＝2，所以121x＋y＋2 1＝1，所以 2x＋y＋1 －1＝121x＋y＋2 1(2x＋y＋1)－1＝12(2＋y＋4x1＋y＋x 1＋2)－1≥ 12×(4＋2 4)－1＝ 3当且仅当y＋4x1＝y＋x 1，即x＝1，y＝1时等号成立.
7．已知 x＋3y－2＝0，则 3x＋27y＋1 的最小值是________．
解析：3x＋27y＋1＝3x＋33y＋1≥2 3x·33y＋1＝7，当且仅当 x ＝3y，即 x＝1，y＝13时，等号成立． 答案：7
8．要制作一个容积为 4 m3，高为 1 m 的无盖长方体容器．已 知该容器的底面造价是每平方米 20 元，侧面造价是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是________元． 解析：设该长方体容器的长为 x m，则宽为4x m．又设该容器 的造价为 y 元，则 y＝20×4＋2x＋4x×10，即 y＝80＋20x＋4x (x＞0)．因为 x＋4x≥2 x·4x＝4(当且仅当 x＝4x，即 x＝2 时取 “＝”)，所以 ymin＝80＋20×4＝160(元)． 答案：160
亦不成立．对于 D，令 b＝4，a＝2，显然不对，故选 C.
2．已知 x＞0，则 2x＋8x的最小值和取得最小值时的 x 值分别
是( )
A．8，2
B．8，4
C．16，2
D．16，4
解析：选 A.2x＋8x≥2 2x·8x＝8，当且仅当 2x＝8x，即 x＝2
时，取“＝”号，故选 A.
3．下列说法中，正确的个数是( )
5．某公司租地建仓库，每月土地占用费 y1 与仓库到车站的距
离成反比，而每月库存货物的运费 y2 与仓库到车站的距离成正
比．如果在距离车站 10 km 处建仓库，这两项费用 y1，y2 分别
2019高二数学人教A版选修4-5课件：1.1.2基本不等式1
预习反馈
2.若 x≠0，则 f(x)＝2－3x2－1x22 的最大值是________，取得最值时 x 的值是________. 【解析】 f(x)＝2－3x2＋x42≤2－3×4＝－10，当且仅当 x2＝x42，即 x＝± 2时取等号． 【答案】 －10 ± 2
预习反馈
3．已知 a，b 是正数，求证：
练一练
2．已知 x>0，y>0，且1x＋9y＝1，试求 x＋y 的最小值. 【解】 ∵x>0，y>0，且1x＋9y＝1，∴x＋y＝(x＋y)1x＋9y ＝yx＋9yx＋10≥2 yx·9yx＋10＝16.当且仅当yx＝9yx，即 y＝3x 时等号成立． 又1x＋9y＝1，∴当 x＝4，y＝12 时，(x＋y)min＝16.
∴当促销费定在 7 万元时，年利润最大．
归纳小结
设出变量
建――→立
数学模型
定――义→域
利用均值不等式求最值
“＝”成 立―的―――条→件
结论
练一练
3．如图所示，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为 2 m 的无盖长方 体沉淀箱，污水从 A 孔流入，经沉淀后从 B 孔流出，设箱体的长度为 a m，高 度为 b m，已知流出的水中该杂质的质量分数与 a，b 的乘积 ab 成反比，现有 制箱材料 60 m2，问当 a，b 各为多长时，沉淀后流出的水中该杂质的质量分数 最小(A，B 孔的面积忽略不计)?
1．两个定理
定理
内容
等号成立的条件
定理 1 a2＋b2≥ 2ab (a，b∈R) 当且仅当 a＝b 时，等号成立
定理 2
a＋b 2≥
ab (a，b＞0)
当且仅当 a＝b时，等号成立
2.算术平均与几何平均
最新人教版高中数学选修4-5《基本不等式》知识讲解
数学人教B 选修4-5第一章1.2 基本不等式1．了解两个或三个正数的算术平均值和几何平均值． 2．理解定理1和定理2(基本不等式)．3．探索并了解三个正数的算术—几何平均值不等式的证明过程． 4．掌握用基本不等式求一些函数的最值及实际的应用问题．1．定理1设a ，b ∈__，则a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当____时，等号成立．【做一做1】已知θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则sin θcos θ的最大值为__________． 2．定理2(基本不等式或平均值不等式)(1)如果a ，b 为____，则a ＋b2≥ab ，当且仅当____时，等号成立．(2)称______为正数a ，b 的算术平均值，____为正数a ，b 的几何平均值．(3)基本不等式可用语言叙述为：两个正数的________大于或等于它们的__________．(1)a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是不同的：前者只要求a ，b 都是实数，而后者要求a ，b 都是正数．有些同学易忽略这一点，例如：(－1)2＋(－4)2≥2×(－1)×(－4)成立，而(－1)＋(－4)2≥(－1)×(－4)不成立．(2)a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 都是带有等号的不等式．“当且仅当a ＝b 时，等号成立”这句话的含义是“a ＝b ”是“＝”成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它，往往会导致解题错误．(3)由公式a 2＋b 2≥2ab 和a ＋b 2≥ab 可得到结论：①a b ＋b a ≥2(a ，b 同号)；②21a ＋1b ≤ab≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a ，b 是正数)．(4)定理中的a ，b 可以是数字，也可以是比较复杂的代数式． 【做一做2－1】下列不等式中正确的是( )A ．若a ，b ∈R ，则b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2B ．若x ，y 都是正数，则lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg yC ．若x ＜0，则x ＋4x ≥－2x ·4x ＝－4D ．若x ≤0，则2x ＋2－x ≥22x ·2－x ＝2【做一做2－2】若log 2x ＋log 2y ＝4，则x ＋y 的最小值是__________． 3．定理3(三个正数的算术—几何平均值不等式或平均值不等式)(1)如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c3≥____，当且仅当________时，等号成立．(2)称________为正数a ，b ，c 的算术平均值，______为正数a ，b ，c 的几何平均值． (3)定理3可用语言叙述为三个正数的____________不小于它们的________． 【做一做3】已知x ，y ，z 是正数，且x ＋y ＋z ＝6，则lg x ＋lg y ＋lg z 的取值范围是( ) A ．(－∞，lg 6] B ．(－∞，3lg 2] C ．[lg 6，＋∞) D ．[3lg 2，＋∞)4．定理4(一般形式的算术—几何平均值不等式)如果a 1，a 2，a 3，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n≥na 1a 2…a n ，并且当且仅当__________时，等号成立．【做一做4】若a ，b ，c ，d 是正数，则b a ＋c b ＋d c ＋ad的最小值为__________．答案：1．R a ＝b【做一做1】12 由a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，得ab ≤a 2＋b 22，∴sin θcos θ≤sin 2θ＋cos 2θ2＝12.当且仅当sin θ＝cos θ，即θ＝π4时等号成立．2．(1)正数 a ＝b (2)a ＋b2ab (3)算术平均值 几何平均值【做一做2－1】D 对于选项A ，当a ·b ＞0时，b a ＋ab≥2；对于选项B ，当x ＞1，y ＞1时，有lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg y ；对于选项C ，当x ＜0时，x ＋4x＝－⎝⎛⎭⎫－x －4x ≤－24＝－4. 【做一做2－2】4 由题意可知x ＞0，y ＞0，log 2xy ＝4， ∴xy ＝4.∴x ＋y ≥2xy ＝4，当且仅当x ＝y ＝2时，等号成立． 故x ＋y 的最小值为4.3．(1)3abc a ＝b ＝c (2)a ＋b ＋c 33abc (3)算术平均值 几何平均值【做一做3】B ∵x ，y ，z 是正数，∴xyz ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y ＋z 33＝23.∴lg x ＋lg y ＋lg z ＝lg xyz ≤lg 23＝3lg 2，当且仅当x ＝y ＝z ＝2时，等号成立． 4．a 1＝a 2＝…＝a n 【做一做4】4 由定理4可得，b a ＋c b ＋d c ＋ad ≥44b a ·c b ·d c ·a d＝4，当且仅当a ＝b ＝c ＝d时，等号成立．1．三个或三个以上正数的平均值不等式的应用条件是什么？剖析：“一正”：不论是三个数的平均值不等式或者n 个数的平均值不等式，都要求是正数，否则不等式是不成立的．如a ＋b ＋c ≥33abc .取a ＝b ＝－2，c ＝2时，a ＋b ＋c ＝－2，而33abc ＝6，显然－2≥6不成立．“二定”：包含两类求最值问题：一是已知n 个正数的和为定值(即a 1＋a 2＋…＋a n 为定值)，求其积a 1a 2…a n 的最大值；二是已知乘积a 1a 2…a n 为定值，求其和a 1＋a 2＋…＋a n 的最小值．“三相等”：取“＝”号的条件是a 1＝a 2＝a 3＝…＝a n ，不能只是其中一部分值相等． 2．如何使用基本不等式中的变形与拼凑方法？剖析：为了使用基本不等式求最值(或范围等)，往往需要对数学代数式变形或拼凑数学结构，有时一个数拆成两个或两个以上的数，这时候，拆成的数要相等，如y ＝4x 4＋x 2＝4x4＋x 22＋x 22，其中把x 2拆成x 22＋x 22，这样可满足不等式成立的条件，若变形为y ＝4x 4＋x 2＝4x 4＋x 24＋34x 2，虽然满足了乘积是定值这个要求，但“三相等”这个要求就无法满足了，这是因为取“＝”号的条件是4x 4＝x 24＝34x 2，显然x 无解．题型一 利用基本不等式比较大小【例题1】设a ，b ∈(0，＋∞)，试比较a ＋b 2，ab ，a 2＋b 22，2aba ＋b的大小，并说明理由．分析：解答本题应充分利用基本不等式及其变形，不等式的性质．反思：基本不等式有着重要的应用，在使用时还应记住重要的变形公式．如a ，b 是正数，且b ≥a 时，a ≤2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22≤b ，其中2ab a ＋b ＝21a ＋1b 为a ，b 的调和平均值，ab 为a ，b 的几何平均值，a ＋b 2为a ，b 的算术平均值，a 2＋b 22为a ，b 的平方平均值．要注意公式的推导和结论的运用：调和平均值≤几何平均值≤算术平均值≤平方平均值．题型二 利用基本不等式求最值【例题2】(1)已知x ，y 是正数，且x ＋2y ＝1，求1x ＋1y的最小值；(2)已知x ＞0，y ＞0，且5x ＋7y ＝20，求xy 的最大值；(3)已知x ＜54，求y ＝4x －1＋14x －5的最大值；(4)已知a ＞0，b ＞0，且a 2＋b 22＝1，求a 1＋b 2的最大值； (5)已知x 是正数，求函数y ＝x (1－x 2)的最大值； (6)θ为锐角，求y ＝sin θ·cos 2θ的最值．分析：根据题设条件，合理变形，创造能用基本不等式的条件．反思：解题时要注意考察“三要素”：(1)函数中的相关项必须都是正数；(2)变形后各项的和或积有一个必须是常数；(3)当且仅当各项相等时，才能取到等号，可简化为“一正二定三相等”．求函数的最值时，常将不满足上述条件的函数式进行“拆”、“配”等变形，使其满足条件，进而求出最值．题型三 基本不等式的实际应用【例题3】某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2012年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x 万件与年促销费t 万元之间满足3－x 与t ＋1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2012年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．(1)将2012年的利润y (万元)表示为促销费t (万元)的函数；(2)该企业2012年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？分析：表示出题中的所有已知量和未知量，利用它们之间的关系列出函数表达式，再应用不等式求最值．反思：解答不等式的实际应用问题，一般可分为如下四步：①阅读理解材料：应用题所用语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，而且多数应用题篇幅较长．阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型．这就要求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路，明确解题方向．②建立数学模型：根据①中的分析，把实际问题用“符号语言”、“图形语言”抽象成数学模型，并且建立所得数学模型和已知数学模型的对应关系，以便确立下一步的努力方向．③讨论不等关系：根据题目要求和②中建立起来的数学模型，讨论与结论有关的不等关系，得出有关理论参数的值．④得出问题结论：根据③中得到的理论参数的值，结合题目要求得出问题的结论． 题型四 易错辨析易错点：利用基本不等式求最值时，应注意不等式成立的条件，即变量为正实数，和或积为定值，等号成立，三者缺一不可．【例题4】求函数y ＝1－2x －3x 的值域．错解：∵y ＝1－2x －3x ＝1－⎝⎛⎭⎫2x ＋3x ，而2x ＋3x ≥22x ×3x ＝26，当且仅当2x ＝3x，即x ＝±62时，等号成立，故值域为(－∞，1－26]．错因分析：在应用基本不等式时未保证2x ，3x为正值这一条件成立．答案：【例题1】解：∵a ，b ∈(0，＋∞)，∴ab ≤a ＋b2(当且仅当a ＝b 时取等号)，1a ＋1b ≥2ab， ∴ab ≥21a ＋1b＝2aba ＋b (当且仅当a ＝b 时取等号)．又⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝a 2＋b 2＋2ab 4≤a 2＋b 2＋a 2＋b 24＝a 2＋b 22.∴a ＋b 2≤a 2＋b 22(当且仅当a ＝b 时取等号)．综上，2aba ＋b≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(当且仅当a ＝b 时取等号)．【例题2】解：(1)因为x ＋2y ＝1，所以1x ＋1y ＝x ＋2y x ＋x ＋2y y ＝3＋2y x ＋x y≥3＋22y x ·xy ＝3＋22，当且仅当2y x ＝xy，x ＋2y ＝1，即x ＝2－1，y ＝1－22时，等号成立．所以当x ＝2－1，y ＝1－22时，1x ＋1y取最小值3＋2 2.(2)xy ＝135(5x ·7y )≤135⎝⎛⎭⎫5x ＋7y 22＝135×⎝⎛⎭⎫2022＝207， 当且仅当5x ＝7y ＝10，即x ＝2，y ＝107时，等号成立，此时xy 取最大值207.(3)因为x ＜54，所以4x －5＜0，故5－4x ＞0.所以y ＝4x －1＋14x －5＝－⎝⎛⎭⎫5－4x ＋15－4x ＋4.因为5－4x ＋15－4x ≥2(5－4x )·15－4x＝2，所以y ≤－2＋4＝2.当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，等号成立．所以当x ＝1时，y 取最大值2.(4)a 1＋b 2＝a 2⎝⎛⎭⎫12＋b 22＝2a ·12＋b 22≤22⎣⎡⎦⎤a 2＋⎝⎛⎭⎫12＋b 22＝324， 当且仅当a ＝12＋b 22，即a ＝32，b ＝22时，等号成立，此时a 1＋b 2有最大值324.(5)∵y ＝x (1－x 2)，∴y 2＝x 2(1－x 2)2＝2x 2(1－x 2)(1－x 2)·12.∵2x 2＋(1－x 2)＋(1－x 2)＝2，∴y 2≤12⎝⎛⎭⎫2x 2＋1－x 2＋1－x 233＝427.当且仅当2x 2＝1－x 2，即x ＝33时，等号成立．∴y ≤239，即y max ＝239.(6)y 2＝sin 2θcos 2θcos 2θ ＝12·2sin 2θ(1－sin 2θ)(1－sin 2θ) ≤12⎝⎛⎭⎫233＝427， 当且仅当2sin 2θ＝1－sin 2θ，即sin θ＝33时，等号成立．∴y max ＝239.【例题3】解：(1)由题意可设 3－x ＝kt ＋1(k ≠0)．将t ＝0，x ＝1代入，得k ＝2.∴x ＝3－2t ＋1.当年生产x 万件时，∵年生产成本＝年生产费用＋固定费用，∴年生产成本为32x ＋3＝32⎝⎛⎭⎫3－2t ＋1＋3.当销售x 万件时，年销售收入为150%⎣⎡⎦⎤32⎝⎛⎭⎫3－2t ＋1＋3＋12t .由题意，生产x 万件化妆品正好销完，由年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费，得年利润y ＝－t 2＋98t ＋352(t ＋1)(t ≥0)．(2)y ＝－t 2＋98t ＋352(t ＋1)＝50－⎝⎛⎭⎪⎫t ＋12＋32t ＋1 ≤50－2t ＋12×32t ＋1＝50－216＝42， 当且仅当t ＋12＝32t ＋1，即t ＝7时，等号成立，此时y max ＝42，∴当促销费投入为7万元时，企业的年利润最大．【例题4】正解：当x ＞0时，y ＝1－2x －3x＝1－⎝⎛⎭⎫2x ＋3x ≤1－26，当且仅当2x ＝3x ，即x ＝62时，等号成立．当x ＜0时，y ＝1＋⎣⎡⎦⎤(－2x )＋⎝⎛⎭⎫－3x ≥1＋2(－2x )·⎝⎛⎭⎫－3x ＝1＋26， 当且仅当－2x ＝－3x ，即x ＝－62时，等号成立．∴所求函数的值域为(－∞，1－26]∪[1＋26，＋∞)．1下列函数中，最小值为2的是( )A ．y ＝x 2＋2xB ．y ＝x 2＋2＋1x 2＋2C ．y ＝sin x ＋sec x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2 D ．y ＝7x＋7－x2(2012·山东青岛一模)已知a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为( )A ．14B ．4C ．12D ．23若a ＞b ＞0，则a ＋1b (a －b )的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．64周长为l 的矩形的面积的最大值为__________，对角线长的最小值为__________．5若a ，b ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＝1，则a 2＋b 2的最小值为__________，1a 2＋1b2的最小值为__________．答案：1．D 对于选项A ，需考虑x 的符号；对于选项B ，不能用基本不等式求最值，等号不成立；对于选项C ，x ＝π2时sec x 无意义．对于选项D ，y ＝7x ＋7－x ≥27x ·7－x ＝2，当且仅当7x＝7－x ，即x ＝0时，等号成立．2．C3．A ∵a ＞b ＞0，∴a ＋1b (a －b )＝(a －b )＋b ＋1b (a －b )≥33(a －b )·b ×1b (a －b )＝3，当且仅当a －b ＝b ＝1b (a －b )，即a ＝2，b ＝1时等号成立．4．l 216 24l 设矩形的两邻边长分别为x ，y ，则x ＋y ＝l 2，∴面积S ＝xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝l 216(当且仅当x ＝y 时取等号)，对角线长a ＝x 2＋y 2≥(x ＋y )22＝24l (当且仅当x ＝y 时取等号)．5．12 8 因为a ＞0，b ＞0，则a 2＋b 2≥(a ＋b )22＝12，当且仅当a ＝b ＝12时取等号， 1a 2＋1b 2＝a 2＋b 2a 2b 2≥2ab ≥2⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝8，当且仅当a ＝b ＝12时取等号．1设x ，y ∈(0，＋∞)，且满足x ＋4y ＝40，则lg x ＋lg y 的最大值是( ) A ．40 B ．10 C ．4 D ．2答案：D ∵x ，y ∈(0，＋∞)，42x y+≤.44x y+＝10，∴xy ≤100. ∴lg x ＋lg y ＝lg xy ≤lg 100＝2.当且仅当x ＝4y ，即x ＝20，y ＝5时等号成立．2若a ＞b ＞1，P 1(lg lg )2Q a b ＝+，lg 2a b R +⎛⎫⎪⎝⎭＝，则( )A ．R ＜P ＜QB ．P ＜Q ＜RC ．Q ＜P ＜RD ．P ＜R ＜Q答案：B ∵a ＞b ＞1，∴lg a ＞lg b ＞0且2a b+>∴Q ＝1(lg lg 2a b -P .R ＝lg 2a b +⎛⎫⎪⎝⎭1(lg lg )2a b +＝Q ， ∴R ＞Q ＞P .3若x ＞0，则294x x+的最小值是( )A ．9B ．C ．13D ．不存在答案：B 因为x ＞0，所以294x x +＝2922x x x ++≥，当且仅当292=x x ，即x 时等号成立． 4已知不等式1()9a x y x y ⎛⎫+≥⎪⎝⎭＋对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案：B 1()a x y x y ⎛⎫++⎪⎝⎭＝1+ax ya y x ++≥1+a +＝2(当且仅当yx=)． ∵1()a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥9对任意正实数x ，y 恒成立，∴2≥9.∴a ≥4.5若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是______．答案：[9，＋∞) t (t ＞0)，由ab ＝a ＋b ＋3≥3， 则有t 2≥2t ＋3，即t 2－2t －3≥0.解得t ≥3或t ≤－1(不合题意，舍去)．3.∴ab ≥9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号．6若正实数x ，y ，z 满足x －2y ＋3z ＝0，则2y xz的最小值是______．答案：3 由x －2y ＋3z ＝0，得y ＝32x z +，代入2y xz，得229666=344x z xz xz xzxz xz +++≥，当且仅当x ＝y ＝3z 时取“＝”．7若直线2ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)经过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的圆心，则11a b+的最小值是__________．答案：4 圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，即(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，其圆心为(－1,2)． 又直线2ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)过圆心(－1,2)， 所以－2a －2b ＋2＝0，化简得：a ＋b ＝1(a ＞0，b ＞0)．所以111a b a b ab ab++==. 又2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，所以1114a b ab +=≥，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立． 8(2012·江苏徐州第一次质检)已知a 1，a 2，…，a n 都是正数，且a 1·a 2·…·a n ＝1，求证：(2＋a 1)(2＋a 2)…(2＋a n )≥3n.答案：证明：因为a 1是正数，所以2＋a 1＝1＋1＋a 1≥同理2＋a j ＝1＋1＋a j ≥j ＝2,3，…，n )，将上述不等式两边相乘，得(2＋a 1)(2＋a 2)…(2＋a n )≥3n 因为a 1·a 2·…·a n ＝1，所以(2＋a 1)(2＋a 2)…(2＋a n )≥3n .当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n ＝1时，等号成立．9如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 在AM 上，D 在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知AB ＝3米，AD ＝2米．(1)要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则AN 的长应在什么范围内？ (2)当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小？并求最小面积． 答案：解：(1)设AN ＝x (x ＞2)，则ND ＝x －2.由题意，得ND AN DC AM =，∴23x x AM-=.∴3=2xAM x -.∴S 矩形AMPN ＝32xx x ⋅-＞32. ∴3x 2－32x ＋64＞0.∴(3x －8)(x －8)＞0. ∴2＜x ＜83或x ＞8. ∴AN 的长的范围是82,3⎛⎫⎪⎝⎭∪(8，＋∞)．(2)S 矩形AMPN ＝2233(2)12(2)1222x x x x x -+-+=-- ＝123(2)++122x x --≥， 当且仅当x ＝4时取“＝”．∴当AN 的长度为4米时，矩形AMPN 的面积最小，矩形AMPN 的最小面积为24平方米．10求函数y =a ＜b )的最大值． 答案：解：解法一：函数的定义域为[a ，b ]，y ＞0， 所以y 2＝b a -+2(b －a )，当且仅当=2a bx -时，等号成立． 所以y解法二：利用不等式22222a b a b ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭.22=22y ⎛⎛⎫ ⎪ ⎝⎭⎝⎭()()22x a b x b a-+--≤=， 所以y 2≤2(b －a )，即y ≤当且仅当x －a ＝b －x ，即2b ax +＝时，等号成立，所以max y。
1.1.1 不等式的基本性质 课件(人教A选修4-5)
2．不等式的基本性质
由两数大小关系的基本事实，可以得到不等式的一些 基本性质： (1)如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.即 a＞
b⇔b＜a . (2)如果a＞b，b＞c，那么 a＞c .即a＞b，b＞c⇒ a＞c .
(3)如果a＞b，那么a＋c> b＋c . (4)如果a＞b，c>0，那么ac > bc；如果a>b，c<0，那么 ac < bc.
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(2)a＞b，c＞d⇒a＋c>b＋d，即两个同向不等式可以相 加，但不可以 相减 ；而a>b>0，c>d>0⇒ac>bd，即已知的两 个不等式同向且两边为 正值 时，可以相乘，但不可以 相除 ． (3)性质(5)、(6)成立的条件是已知不等式两边均为 正值 ， 并且n∈N，n≥2，否则结论不成立．而当n取正奇数时可放宽 条件，a>b⇒a >b (n＝2k＋1，k∈N)，a>b⇒ 1，k∈N＋)．
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1．不等式的基本性质
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1．实数大小的比较
(1)数轴上的点与实数一一对应，可以利用数轴上点的 左右位置关系来规定实数的 大小 ．在数轴上，右边的数总 比左边的数 大 ． (2)如果a－b＞0，则 a＞b ；如果a－b＝0，则 a＝b ；
如果a－b＜0，则 a＜b .
(3)比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的 差a －b的符号 ；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们 的值的大小，而这又归结为判断它们的 差的符号 ．
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[例 2]
已知 a>b>0，c<d<0，e<0.
e e 求证： > . a－c b－d
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x
1＋y2取得最大值3
4
2 .
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解法二 令{ x＝cos θ， y＝ 2sin θ 0≤θ≤π2 ，
则 x 1＋y2＝cos θ 1＋2sin2θ＝
2cos2θ（1＋2sin2θ）·12≤
12·2cos2θ＋（21＋2sin2θ）2＝3 4 2.
栏 目 链 接
当
2cos2θ＝1＋2sin2θ，即
目 链 接
当且仅当 x＝x4，即 x＝2 时等号成立．
因此，当 x＝2 时，y 取得最小值 160，即容器的最低总造价为
大值．
链 接
∴可把x放到根号里面去考虑，即化为，
注意到x2与1＋y2的积，应处理成2x2·.
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解析：解法一 ∵x≥0，y≥0，x2＋y22＝1，
∴x 1＋y2＝ x2（1＋y2）＝
2x2·1＋2 y2≤
栏
2x2＋21＋2 y2＝ 2x2＋2y22＋12＝342，
目 链 接
当且仅当 x2＝1＋2 y2，即 x＝ 23，y＝ 22时，
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解析：(1)因为 x＞0，所以由基本不等式得 f(x)＝4x＋1x6≥
栏
2 4x·1x6＝2 64＝16.
目 链 接
当且仅当 4x＝1x6，即 x＝2 时，“＝”成立．
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(2)运用“乘 1 法” 1x＋2y＝1x＋2y×1＝1x＋2y(2x＋y)＝4＋4yx＋ xy≥4＋2 4yx·xy＝8，当且仅当4yx＝xy时，等号成立．又∵2x＋y＝1，栏目链
栏 目
总造价是( )
链 接
A．80 元 B．120 元 C．160 元 D．240 元
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解析：设底面矩形的一边长为 x.由容器的容积为 4 m3，高为 1
m．得另一边长为4xm.记容器的总造价为 y 元，则
y＝4×20＋2x＋4x×1×10＝
栏
80＋20x＋4x≥80＋20×2 x·4x＝160，
当 x2＝6 时，y2＝240×6＋362＝2 720.
栏 目
链
接
因为 y1＞y2，
所以当 x2＝6 时，y 有最小值，ymin＝2 720.
故每人至少应交2 47820≈56.67(元)．
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点评：利用基本不等式解决应用题时，首先要仔细
阅读题目，弄清要解决的实际问题，确定是求什么
量的最值，然后分析题目中给出的条件，建立y的
π θ＝ 6 时，也即
x＝
23，y＝
22时，
x 1＋y2取得最大值342.
答案：3
2 4
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利用基本不等式证明不等式
已知a，b，c是不全相等的正数，求证：a(b2＋c2) ＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)＞6abc.
栏 目
链
分析：本题的结论是关于a，b，c的轮换对称式(a， 接
b，c在不等式中的作用相等，交换其中任意两个
∴a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)＞6abc.
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2
．
证
明
：
(1
＋
1 x
)(1
＋
1 y
)
＝
（x＋1）（y＋1） xy
＝
栏 目
链
（2x＋y）（2y＋x） xy
＝
5xy＋2（x2＋y2） xy
＝
5
＋
2（x2＋y2） xy
≥
5＋接ຫໍສະໝຸດ 2×xy2xy＝9.当且仅当 x＝y＝21时取等号．∴(1＋1x)(1＋1y)≥9.
因为 y＝240xx＋6x4≥240×2 x×6x4＝3 840，
当且仅当 x＝6x4，即 x＝8 时，等号成立．
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所以每人至少应交3 48840＝80(元)． (2)每批去 x 名同学，共需去48x×4批， 总开支又分为：
①买卡所需费用 240x 元，
栏
②包车所需费用48×x 4×40元．
的位置，结论仍成立)，只需侧重证明a(b2＋
c2)≥2abc，其他按“同理”的格式书写即可．
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证明：∵b2＋c2≥2bc，a＞0，∴a(b2＋c2)≥2abc，①
同理，b(c2＋a2)≥2abc，②
栏
目
c(a2＋b2)≥2abc.③
链 接
∵a，b，c 不全相等，∴①②③式中至少有一个式子不能取等号．
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利用基本不等式解应用题
某游泳馆出售冬季游泳卡，每张 240 元，其使用规定 为：不记名，每卡每次只限一人，每天只限一次．某
栏
班有48名同学，老师打算组织同学们集体去游泳，除 目
链
需购买若干张游泳卡外，每次游泳还需包一辆汽车， 接 无论乘坐多少名同学，每次的包车费都为40元． (1)若每个同学游8次，每人至少应交多少元钱？ (2)若每个同学游4次，每人至少应交多少元钱？
第一讲 不等式和绝对值不等式 1．1 不 等 式
1．1.2 基本不等式
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栏 目 链 接
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利用基本不等式求函数的值域或最值
栏
(1)若x＞0，求f(x)＝4x＋的最小值
目
链
(2)设x＞0，y＞0且2x＋y＝1，则＋的最小值是
接
______；
分析：函数解析式在形式上已经基本符合了基本不
等式的形式，但还应注意适用前提．
栏 目
函数表达式y＝f(x)(x一般为题目中最后所要求的
链 接
量)，最后利用不等式的有关知识解题．求解过程
中要注意实际问题对变量x的范围的制约．
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►变式训练
3．(2014·福建卷)要制作一个容积为4 m3，高为1 m
的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方
米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低
接
∴x＝14，y＝12，∴当 x＝41，y＝12时，x1＋2y取最小值 8. 点评：使用基本不等式求最值时，一定要验证三个条件：“一正”“二 定”“三相”等，缺一不可．
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►变式训练
1．设x≥0，y≥0，x2＋＝1，则x 的最大值为
__________．
栏
1．分析：∵x2＋＝1是常数，∴x2与的积可能有最 目
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分析：弄清题意，理解总费用由买游泳卡所需费用及包车费两项
组成．
解析：设买 x 张游泳卡，总开支为 y 元．
(1)每批去 x 同学，共需去48x×8批，总开支又分为：
栏
①买卡所需费用 240x 元，
目
链
②包车所需车费用48×x 8×40元．
接
所以 y＝240x＋48×x 8×40(0＜x≤48，x∈Z)．
目 链 接
所以 y＝240x＋48×x 4×40(0＜x≤48，x∈Z)，
即 y＝240x＋3x2≥240×2 x×3x2＝1 920 2. 当且仅当 x＝3x2，即 x＝4 2时，等号成立．
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由 0＜x≤48，5＜4 2＜6，x∈Z)可知，
当 x1＝5 时，y1＝240×5＋352＝2 736；