人教版数学高一-函数的奇偶性 教学设计
高中一年级上学期数学《函数的奇偶性》教学设计
1.3.2函数的奇偶性（1）
一、教学目标
1.知识技能：
（1）学会用数学语言描述偶函数和奇函数的概念，并能够理解其几何意义，进一步培养学生的观察能力和数形结合的数学思想意识;
（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质;
（3）通过函数的奇偶性教学，培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力; （4）能够利用定义判断函数的奇偶性;
（5）能运用函数奇偶性的代数特征和几何意义解决一些简单的问题.
2.过程与方法：让学生体会从具体到抽象、从特殊到一般的数学思维过程，以及数形结合的重要数学思想和方法.
3.情感，态度，价值观：
（1）通过自主探索，体会数形结合的思想，感受数学的对称美;
（2）通过小组合作交流培养学生团结互助的精神.
二、教学重点和难点
重点：函数奇偶性的概念.
难点：函数的奇偶性的判定.
三.教学过程
探究2：(1) 从对称角度看，以下两个函数图象有什么共同特征吗？
(2) 当自变量x任取一对相反数时,相应的两个函数值有什么关系？反映在解析式上有什么关
教师活动。
人教版高中数学教案-函数的奇偶性
11. 3.2函數的奇偶性【教學目標】1.理解函數的奇偶性及其幾何意義；2.學會運用函數圖像理解和研究函數的性質；3.學會判斷函數的奇偶性； 【教學重難點】教學重點：函數的奇偶性及其幾何意義 教學難點：判斷函數的奇偶性的方法與格式【教學過程】（一）創設情景，揭示課題“對稱”是大自然的一種美，這種“對稱美”在數學中也有大量的反映，讓我們看看下列各函數有什麼共性？觀察下列函數的圖像，總結各函數之間的共性．2()f x x = ()||1f x x =- 21()x x x=通過討論歸納：函數2()f x x =是定義域為全體實數的抛物線；函數()||1f x x =-是定義域為全體實數的折線；函數21()f x x =是定義域為非零實數的兩支曲線，各函數之間的共性為圖像關於y 軸對稱．觀察一對關於y 軸對稱的點的座標有什麼關係？歸納：若點(,())x f x 在函數圖像上，則相應的點(,())x f x -也在函數圖像上，即函數圖像上橫坐標互為相反數的點，它們的縱坐標一定相等．（二）研探新知 函數的奇偶性定義： 1．偶函數一般地，對於函數()f x 的定義域內的任意一個x ，都有()()f x f x -=，那麼()f x 就叫做偶函數．（學生活動）依照偶函數的定義給出奇函數的定義．2．奇函數一般地，對於函數()f x 的定義域的任意一個x ，都有()()f x f x -=-，那麼()f x 就叫做奇函數．2注意：①函數是奇函數或是偶函數稱為函數的奇偶性，函數的奇偶性是函數的整體性質；②由函數的奇偶性定義可知，函數具有奇偶性的一個必要條件是，對於定義域內的任意一個x ，則x -也一定是定義域內的一個引數（即定義域關於原點對稱）．3．具有奇偶性的函數的圖像的特徵偶函數的圖像關於y 軸對稱；奇函數的圖像關於原點對稱． （三）質疑答辯，排難解惑，發展思維． 例1．判斷下列函數是否是偶函數．（1）2()[1,2]f x x x =∈-（2）32()1x x f x x -=-解：函數2(),[1,2]f x x x =∈-不是偶函數，因為它的定義域關於原點不對稱．函數32()1x x f x x -=-也不是偶函數，因為它的定義域為}{|1x x R x ∈≠且，並不關於原點對稱．點評：判斷函數的奇偶性，先看函數的定義域。
《函数的奇偶性》教学设计
《函数的奇偶性》教学设计一、教学目标课程标准对本节课的要求是：结合具体函数,了解奇偶性的含义.从认知层次的三个维度对课标进行了分解，具体如下：依据行为动词，我又从能力层次将课标进行了再分解，具体如下：由此确定的学习目标为：1.建立奇偶函数的概念：通过观察一些具体函数的对称性（关于y轴或原点对称）形成奇偶函数的直观认识。
然后通过代数运算，验证并发现数量特征对定义域中的“任意”值都成立，最后在此基础上建立奇（偶）函数的概念。
理解函数的奇偶性及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；学会判断函数的奇偶性.2.函数奇偶性的研究历经了从直观到抽象，从图形语言到数学语言，理解函数奇偶性概念的形成过程，让学生自主探究。
培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想．3.通过函数的奇偶性教学，培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力和认真钻研的数学品质。
二、教学重点与难点重点：函数奇偶性的概念和几何意义。
难点：奇偶性概念的数学化提炼过程。
三、教学过程本节课我采取“教学、评价、学习一致性”的教学设计，同时采用“点拨式自主学习与合作探究”的教学方法，借助五个环节实现本节课的学习目标.从学生熟悉的与入手，顺应了同学们的认知规律,从特殊到一般，培养学生的语言表达能力和抽象概括能力，形成偶函数的概念。
板书设计板书设计分为教师板书和学生板书两块内容，教师板书，我侧重将本节的四个主要内容展示在黑板上，便于学生理解和记忆.学生板书，我将留给学生展示课堂演板，便于对学生掌握的情况进行总结和评价.课后实践：1.课本P42练习2， P46102.设y=f(x)为R上的任一函数,判断下列函数的奇偶性:(1). F(x)=f(x)+f(- x) (2)F(x)=f(x)-f(-x)。
函数的奇偶性教学设计
《函数的奇偶性》教学设计五华县高级中学叶双霞教材来源：人教版高中数学必修一一、教材分析“奇偶性”是人教版必修1中第一章“集合与函数概念”的第3节“函数的基本性质”的第2小节。
函数的奇偶性是函数的一条重要性质，教材从学生熟悉的初中学过的的一些轴对称图形入手，体会到数形结合思想，初步学会用数学的眼光看待事物，感受数学的对称美。
尝试画出和的图像，从特殊到一般，从具体到抽象，比较系统地介绍了函数的奇偶性．从知识结构看，奇偶性既是函数概念的拓展和深入，又是为以后学习基本初等函数奠定了基础。
因此，本节课起着承上启下的重要作用。
二、学情分析从学生的认知基础看，学生在初中已经学习了轴对称图形和中心对称图形，并且有了一定数量的简单函数的储备。
同时，上节课学习了函数单调性，积累了研究函数的基本方法与初步经验。
三、教学目标【知识与技能】1．理解奇函数、偶函数的概念及其几何意义；2．能从定义、图像特征、性质等多种角度判断函数的奇偶性，学会函数的应用。
【过程与方法】通过实例观察、具体函数分析、数与形的结合，定性与定量的转化，让学生经历函数奇偶性概念建立的全过程，体验数学概念学习的方法，积累数学学习的经验。
【情感、态度与价值观】1.在经历概念形成的过程中，培养学生内容、归纳、抽象、概括的能力；2.通过自主探索，体会数形结合的思想，感受数学的对称美。
四、教学重点和难点重点：函数奇偶性的概念和函数图像的特征。
难点：利用函数奇偶性的概念和图像的对称性，证明或判断函数的奇偶性。
五、教学方法引导发现法为主，直观演示法、类比法为辅。
六、教学手段PPT课件。
七、教学过程（一）情境导入、观察图像出示一组轴对称和中心对称的图片。
设计意图：通过图片引起学生的兴趣，培养学生的审美观，激发学习兴趣。
师：“同学们，这是我们生活中常见的一些具有对称性的物体，你能说出它们有什么特点吗？”生：“它们的共同点都是关于某一地方是对称的。
”师：“是的，而我们今天要学习的函数图像也有类似的对称图像，首先我们来尝试画一下和的图像，并一起探究几个问题。
高一数学教案函数的奇偶性5篇
高一数学教案函数的奇偶性5篇使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，学会利用函数图像理解和研究函数的性质，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数奇偶性的方法.高一数学教案函数的奇偶性1一、内容与解析 (一)内容：基本初等函数习题课(一)。
(二)解析：对数函数的性质的掌握，要先根据其图像来分析与记忆，这样更形像更直观，这是学习图像与性质的基本方法，在此基础上，我们要对对数函数的两种情况的性质做一个比较，使之更好的'掌握.二、目标及其解析：(一)教学目标(1)掌握指数函数、对数函数的概念，会作指数函数、对数函数的图象，并能根据图象说出指数函数、对数函数的性质，了解五个幂函数的图象及性质及其奇偶性.(二)解析(1)基本初等函数的学习重要是学习其性质，要掌握好性质，从图像上来理解与掌握是一个很有效的办法.(2)每类基本初类函数的性质差别比较大，学习时要有一个有效的区分.三、问题诊断分析在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是不易区分各函数的图像与性质，不容易抓住其各自的特点。
四、教学支持条件分析在本节课一次递推的教学中，准备使用P5高一数学教案函数的奇偶性2【教学目标】【知识目标】：使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，学会利用函数图像理解和研究函数的性质，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法.【能力目标】通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力;通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力.【德育目标】通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程. 【教学重点】函数单调性的概念、判断及证明. 函数的单调性是学生第一次接触用严格的逻辑语言证明函数的性质，并在今后解决初等函数的性质、求函数的值域、不等式及比较两个数的大小等方面有广泛的实际应用，【教学难点】归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性. 由于判断或证明函数的单调性，常常要综合运用一些知识(如不等式、因式分解、配方及数形结合的思想方法等)所以判断或证明函数的单调性是本节课的难点.【教材分析】函数的单调性是函数的重要性质之一，它把自变量的变化方向和函数值的变化方向定性的联系在一起，所以本节课在教材中的作用如下 (1)函数的单调性起着承前启后的作用。
《函数的奇偶性》教学设计
《函数的奇偶性》教学设计一、内容和内容解析1．内容函数的奇偶性．2．内容解析函数的奇偶性是函数的重要性质之一，从“形”的角度，函数的奇偶性揭示了函数的整体图象与函数在y轴右侧的局部图象之间的关系；从“数”的角度，函数的奇偶性刻画了函数自变量与函数值之间存在的一种特殊的数量规律．用数量关系刻画函数图象的对称性，体现了数形结合的思想．从研究方法上看，它延续了函数单调性的研究思想和方法：用数量关系刻画函数的图象性质，这也为后续进一步研究具体函数的性质提供研究的方法与角度．从知识结构看，它既是函数概念的拓展和深化，又是后续研究指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的基础．因此，本节课起着承上启下的重要作用．这一节利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学的学习中．从方法论的角度来看，本节教学过程中还渗透了数形结合、化归等数学思想方法．奇偶性的教学无论是在知识还是在能力方面对学生的教育起着非常重要的作用，因此本节课充满着数学方法论的渗透教育，同时又是数学美的集中体现．奇偶性是函数的“整体性质”，是某些函数的特殊性质．奇偶性是把函数图象的对称性（几何特性）转化为代数关系，并用严格的符号语言表示，沟通了形与数，实现了从定性到定量的转化．基于以上分析，本单元的教学重点：函数奇偶性概念的形成和函数奇偶性的判断．二、目标和目标解析1．目标（1）借助函数图象，了解函数奇偶性的概念及几何意义；（2）会运用概念判断函数的奇偶性；（3）在抽象函数奇偶性的过程中感悟数学概念的抽象过程及符号表示的作用．2．目标解析达成上述目标的标志是：（1）知道函数奇偶性是把函数图象的对称性（几何特性）转化为代数关系，并用严格的符号语言表示，沟通了形与数，实现了从定性到定量的转化．（2）会用函数奇偶性的定义，按一定的步骤证明函数的奇偶性．（3）初中阶段学生对于函数的学习侧重于直观形象和定性讨论，而高中阶段研究函数，侧重于数形结合和符号逻辑语言结合，用精确的量化（符号）语言、形式推理来刻画变量之间关系和规律，即通过形式化、符号化来使函数性质数学化，在数学化的过程中培养学生的直观想象、抽象概况等思维能力和素养，感受数学符号语言的魅力．三、教学问题诊断分析学生在初中阶段已经学习了轴对称图形，中心对称图形以及它们的性质，对二次函数、反比例函数图象的对称性也非常熟悉．对于具体函数，能够观察函数图象，描述图象的对称性，能从数量关系上对函数的对称性进行初步刻画，但学生并不明确数与形转化的过程，即为什么对于定义域内任意x ，当满足()()-=f x f x 时，函数图象关于y 轴对称．通过函数单调性的理解和学习，学生初步积累了研究函数的基本方法与初步经验，学生接触到了由形象到具体，然后再由具体到一般的科学处理方法，这些对本节内容刚开始的引入和概念形成起到了很好的铺垫作用．但是学生的分析归纳能力和用数学规范语言表达的能力还比较弱，我们必须引导学生从“数”与“形”两个方面来加深对函数奇偶性本质的认识．从学生的思维发展看，高一学生思维能力正在由形象经验型向抽象理论型转变，能够用假设、推理来思考和解决问题．但分析、归纳、抽象的思维能力还是比较薄弱，通过恰当的培养和引导能够使得学生的分析归纳能力得到提高．根据以上分析，确定本节课的教学难点：对关系式()()-=f x f x （或()()-=-f x f x ）的理解．四、教学过程设计(一) 情景导入我们知道函数是描述事物变化规律的数学模型，函数性质是“变化中的规律性，变化中的不变性”．上一节课，我们共同学习了函数的单调性与最大（小）值，用符号语言准确地描述了函数图象在定义域的某个区间上“上升”（或“下降”）的性质，本节课，我们继续研究函数的其他性质．（二）概念的形成问题1：平面直角坐标系中的任意一点(,)P a b 关于x 轴、y 轴、坐标原点的对称点Q 、R 、S 的坐标．追问：一般地，若两点关于x 轴对称，它们的坐标之间有何关系？若关于y 轴对称呢？关于原点中心对称呢？设计意图：从学生已学知识复习导入，通过具体的点引导学生感受对称与坐标的关系，为后续奇偶性定义中的任意性做一些铺垫．问题2：画出并观察函数2()f x x =和2()g x x =-的图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？师生活动：先由学生独立思考，教师利用PPT 展示函数图象．学生观察后，不难发现，这两个函数的图象都关于y 轴对称．那么，如何使用符号语言精准地描述“函数图象关于y 轴对称”这一特征？所以，教师继续追问．追问：对于上述两个函数，1()f 与1()f -，2()f 与2()f -，3()f 与3()f -，()f x 与()-f x 有什么关系？师生活动：先由学生独立思考，教师积极地引导学生发现，当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等．追问：对于定义域内任意的一个x ，都有()()-=f x f x 成立吗？如何验证我们的猜想呢？师生活动：以2()f x x =为例，其定义域为R ．对于定义域R 内任意的一个x ，都有x R -∈，()f x 与()-f x 均有意义．因为22()()f x x x -=-=，所以()()-=f x f x 是成立的．同样的，验证函数2()g x x =-，结论依然成立．设计意图：通过观察函数的图象，思考问题，提高学生分析问题、总结问题的能力．从多个具体的实例中抽象概括出共同特征，形成较为抽象的数学语言，让学生体会数学语言的严谨性和简洁性，教师给出严格的定义表述．定义：一般地，设函数()f x 的定义域为I ，如果∀∈x I ，都有-∈x I ，且()()-=f x f x ，那么函数()f x 就叫做偶函数．问题3：从偶函数的定义出发，如何证明函数()=y f x 是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称．师生活动：先由学生独立思考完成，再组织全班交流．教师积极地引导学生尝试探索，在充分交流的基础上，教师给出严格的定义表述．充分性：设P x y (，)是函数()f x 图象上任意一点，则()=y f x ．因为函数()f x 的图象关于y 轴对称，所以点P 关于y 轴的对称点Q x y -(，)也在函数()f x 图象上，即()=-y f x ．所以对任意的x ，都有()()-=f x f x ，所以函数()=y f x 是偶函数．必要性：设P x y (，)是函数()f x 图象上任意一点，则()=y f x ．记点P 关于y 轴的对称点为Q ，则Q x y -(，)．因为函数()f x 是偶函数，所以()()-=f x f x ，即()-y =f x ，所以点Q 在函数()f x 图象上，所以函数()=y f x 的图象关于y 轴对称．问题4：画出并观察函数()=f x x 和1()g x x =的图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？师生活动：教师利用PPT 展示函数图象，学生观察图象后回答问题．不难发现，这两个函数的图象都关于原点成中心对称图形．那么，如何使用符号语言精准地描述“函数图象关于原点中心对称”这一特征？所以，教师继续追问．追问：对于上述两个函数，1()f 与1()f -，2()f 与2()f -，3()f 与3()f -，()f x 与()-f x 有什么关系？师生活动：先由学生独立思考完成，再组织全班交流．教师积极地引导学生发现，当自变量取一对相反数时，相应的函数值()f x 与()-f x 也是一对相反数．追问：对于定义域内任意的一个x ，都有()()f x f x -=-成立吗？如何验证我们的猜想呢？师生活动：以()f x x =为例，定义域为R ．对于定义域R 内任意的一个x ，x R -∈，()f x 与()-f x 均有意义．因为()f x x -=-，所以()()f x f x -=-是成立的．同样的，验证函数1()g x x=，结论依然成立． 设计意图：通过观察函数的图象，思考问题，提高学生分析问题、总结问题的能力．从多个具体的实例中抽象概括出共同特征，形成较为抽象的数学语言，让学生体会数学语言的严谨性和简洁性，教师给出严格的定义表述．定义：一般地，设函数()f x 的定义域为I ，如果∀∈x I ，都有-∈x I ，且()()-=-f x f x ，那么函数()f x 就叫做奇函数．当函数()f x 是偶函数或奇函数时，称()f x 具有奇偶性．问题5：从奇函数的定义出发，如何证明函数()=y f x 是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称．师生活动：先由学生独立思考完成，再组织全班交流．教师积极地引导学生尝试探索，在充分交流的基础上，教师给出严格的定义表述．该问题类比问题2的证明过程．充分性：设P x y (，)是函数()f x 图象上任意一点，则()=y f x ．因为函数()f x 的图象关于原点对称，所以点P 关于原点的对称点为Q x y --(，)也在函数()f x 图象上，即()-=-y f x ．所以对任意的x ，都有()()-=-f x f x ，所以函数()=y f x 是奇函数．必要性：设P x y (，)是函数()f x 图象上任意一点，则()=y f x ．记点P 关于原点的对称点为Q ，则Q x y --(，)．因为函数()f x 是奇函数，所以()()-=-f x f x ，即()y =f x --，所以点Q 在函数()f x 图象上，所以函数()=y f x 的图象关于原点对称．（三）概念的辨析问题6：判断下列函数的奇偶性：（1）2f x x =()； （2）2()f x x =，2 0x ∈-(，]；（3）3()f x x =，2 2x ∈-(，]； （4）3f x x =()，21 1 2(，]∪[，)x ∈--． 师生活动：先由学生独立思考，教师再组织全班交流．答案：（1）偶函数；（2）非奇非偶函数；（3）非奇非偶函数；（4）奇函数．设计意图：从同一个函数出发，学生更为容易进行探究活动，得出结论．我们不难发现，（1）、（4）中每一个x 、-x 同时属于定义域，所以()-f x 与()f x 都有意义．而（2）、（3）中则无法满足每一个x 、-x 同时属于定义域，所以()-f x 与()f x 无法满足都有意义．师生共同得出结论：函数具有奇偶性的前提是函数的定义域关于原点对称，如不对称，则可直接判断其为非奇非偶函数．追问：奇函数()f x 若在0x =处有定义，0()?f =师生活动：因为()f x 为奇函数，所以00()()f f -=-，200()f =，00()f =．（四）概念的深化例1 判断下列函数的奇偶性：（1）4()f x x =； （2）5()f x x =；（3）1()f x x x =+； （4）21()f x x=； （5）21()()f x x =-； （6）()=xf x x ．师生活动：本例由学生独立思考、小组讨论，可让几个学生进行板书，完成后再进行点评完善．解：（1）函数4()f x x =的定义域为R ．因为x R ∀∈，都有x R -∈，且44()()()f x x x f x -=-==，所以，函数4()f x x =为偶函数．（2）函数5()f x x =的定义域为R ．因为x R ∀∈，都有x R -∈，且55()()()f x x x f x -=-=-=-，所以，函数5()f x x =为奇函数．（3）函数1()f x x x =+的定义域为{}0x x ≠． 因为{}0x x x ∀∈≠，都有{}0x x x -∈≠，且11()()()f x x x f x x x-=-+=-+=--， 所以，函数1()f x x x =+为奇函数． （4）函数21()f x x =的定义域为{}0x x ≠． 因为{}0x x x ∀∈≠，都有{}0x x x -∈≠，且2211()()()f x f x x x -===-， 所以，函数21()f x x=为偶函数． （5）函数21()()f x x =-的定义域为R ．因为x R ∀∈，都有x R -∈，且2211()()()()f x x x f x -=--=+≠±，所以，函数21()()f x x =-为非奇非偶函数．另解：函数21()()f x x =-为初中阶段所学的二次函数，显然，其对称轴为1x =． 函数图象如下：故函数21()()f x x =-为非奇非偶函数．（6）由函数解析式可得定义域为{}0x x ≠．因为x R ∀∈，都有x R -∈，且()()xx f x f x x x --==-=--， 所以，函数()f x 为奇函数．另解：()=x f x x 1010,;-,.x x ⎧>=⎨<⎩ 函数图象如下：从图可知，函数图象关于原点对称，故()f x 是奇函数．追问：你能总结例题的解题过程，归纳一下利用定义判断函数奇偶性的基本步骤吗？ 设计意图：通过追问，师生共同总结利用定义判断函数奇偶性的基本步骤，教师给出解答示范．第一步，首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；第二步，确定()-f x 与()f x 的关系；第三步，作出相应结论：若()()-=f x f x 或0()()f x f x --=，则()f x 是偶函数；若()()-=-f x f x 或0()()f x f x -+=，则()f x 是奇函数．通过具体的函数，深化学生对判断函数奇偶性的基本步骤的理解，尤其是“首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称”；三是通过例题让学生能够了解有些函数是非奇非偶函数．例2 （1）判断函数3f x x x =+()的奇偶性．（2）如右图，是函数3f x x x =+()图象的一部分，你能根据()f x 的奇偶性画出它在y 轴左边的图象吗？（3）一般地，如果知道()=y f x 为偶（奇）函数，那么我们可以怎样简化对它的研究？师生活动：本例由学生独立思考，完成后教师再进行点评完善．（1）奇函数；（2）图象如下设计意图：通过思考，让学生根据奇（偶）函数的图象的对称性画函数的图象，进一步理解函数的奇偶性。
高一年级数学人教版必修一3.2.2函数的奇偶性教案
高一年级人教版必修一3.2.2函数的奇偶性教案年级：高一年级版本：人教版模块：必修一【教材分析】在“函数的奇偶性”这一节中，“数”与“形”有着密切的联系。
它既是函数概念的拓展和深化，是继函数单调性后的又一个重要性质，又是后续研究指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等函数的必备知识。
因此本节课起着承上启下的重要作用。
奇偶性的教学无论在知识上还是在能力上对学生的教育起着非常重要的作用。
【核心素质培养目标】1.结合具体函数的图像和解析式，深刻理解奇函数、偶函数的定义。
2.通过画图，分析图像了解奇函数、偶函数图象的特征，培养直观想象核心素养。
3.通过例题学习，归纳并掌握判断（证明）函数奇偶性的方法，培养逻辑推理核心素养。
【教学重难点】教学重点：函数奇偶性的概念及函数奇偶性的判定教学难点：判断函数奇偶性的方法与格式【教学方法】师生共同探究，从代数的角度来严格推证。
【教学过程】一、情景引入，提出问题对称美是大自然的一种美，对称美在数学中随处可见，今天我们学习数学中的对称美。
师：复习函数的三要素和三种表示法。
生：三要素是：定义域、值域、对应关系；三种表示方法是：解析法、图象法、列表法。
师：结合的三要素和三种表示方法想一想（1）这个函数图象有什么特征？生：答定义域关于原点对称且图像关于y轴对称。
（2）当自变量x取一对相反数时，相应的两个函数值什么关系？生：从函数值对应表可以看到，当自变量x取一对相反数时，相应的两个函数值相等。
（3）你能尝试用函数解析式描述图象的对称特征吗？生：对于定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)。
师：这时我们称f(x)=x2为偶函数，设计意图：启发学生由图象获取函数性质的直观认识，从而引入新课。
二、获取新知，生成概念（板书）偶函数:一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。
师：研究函数优先考虑定义域，把f(x)=x2定义域改成（0，+∞），仍然是偶函数吗？生：不是师：判断函数是偶函数的前提什么？生：函数的定义域关于原点对称。
“函数的奇偶性”教学设计
一、教学内容解析“奇偶性”是人教A版《普通高中教科书·数学（必修）》（以下统称“教材”）第一册第三章“函数的概念与性质”中“函数的基本性质”第二节的内容.从单元整体来看，函数的奇偶性是继单调性后的又一重要性质，是函数概念与表示的进一步拓展与深化，是研究函数单调性的思想方法（代数运算、图象直观）的又一次实践应用，为研究函数的另一个整体性质——周期性提供活动经验，也是后续研究幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的基础.教材在处理函数的奇偶性时，沿用处理函数单调性的方法，概括起来就是：具体函数—图象特征（对称性）—数量刻画—符号语言—抽象定义—奇偶性判定.在函数性质的教学中，用什么方式引导学生的数学思维活动，使学生在掌握知识的过程中学习数学思考方法，从学会思考走向学会学习，是教学的主要任务.教学中既要注意体现函数数学性质的一般思路，又要注意函数性质的特殊性——变化中的规律性和不变性；在方法上，要加强通过代数运算和图象直观揭示函数性质的引导和明示；要构建从具体到抽象、从特殊到一般的过程，归纳概括出用严格的数学语言精确刻画函数奇偶性的方法，从而提升学生的数学运算、直观想象等素养，锻炼学生的抽象思维.基于以上分析，本节课的教学重点为：函数奇偶性的概念及简单函数的奇偶性判断.二、教学目标设置本节课教学目标设置如下.（1）通过具体函数，使学生经历用数量关系刻画函数图象对称性的过程，同时了解函数奇偶性的概念和几何意义.（2）让学生根据图象特征和奇偶性的定义判断一些简单函数的奇偶性，能利用函数的奇偶性解决一些简单问题.（3）让学生经历从特殊到一般的数学活动，会用数学符号语言描述奇函数和偶函数，经历从图形语言到符号语言的过渡，感悟常用逻辑用语中量词与数学严谨性的关系，提升学生的直观想象、数学抽象、逻辑推理素养.三、学生学情分析从学生的认知基础来看，学习本节课之前，学生在初中已经学习了轴对称图形和中心对称图形的相关“函数的奇偶性”教学设计王志红摘要：本节课按照“具体函数—图象特征—数量刻画—符号语言—抽象定义—概念辨析”的函数性质研究思路展开，基于单元整体教学的问题情境，问题启动、自主探究帮助学生养成严密的逻辑表达习惯；直观演示、类比迁移帮助学生完成函数奇偶性概念的建构；任务驱动、合作交流帮助学生理解函数奇偶性的本质.关键词：整体设计；问题引导；直观想象；数学抽象；类比建构收稿日期：2020-12-24作者简介：王志红（1985—），男，中学一级教师，主要从事中学数学教育教学研究.知识，对一次函数、二次函数、反比例函数的图象比较熟悉，有一定的函数储备.因此，学生很容易从函数图象来判断函数的对称性，即获得对函数的奇偶性的“图形表征”.加上前面学生已经了解了全称量词、充分条件和必要条件，并经历了研究函数单调性的方法的学习过程，会用符号语言表达函数的单调性，这些为学生学习本节课内容奠定了认知基础和方法基础.从能力发展分析，学生从函数的图形表征提炼数字特征，再抽象出符号语言有些困难，对用数学符号语言表达函数的性质的方法尚不熟练，概念形成的经验不足，自主探究和合作交流能力有待提高.因此，教学中必须从单元整体出发，引导学生从“数”与“形”两个方面来加深对函数奇偶性本质的认识.本节课教学难点：如何从函数的图象特征中抽象出函数奇偶性的符号表达.四、教学策略分析通过前面函数单调性与最值概念的学习，学生已经初步学会了研究函数性质的“具体函数—图象特征—数量刻画—符号语言—抽象定义—概念辨析”方法，本节课将继续采用这种方法研究函数的奇偶性.在教法上，本节课采用以学生为主体的探究式教学方法，教师通过设置各种问题情境，引导学生在自主探究的数学活动中获得数学概念.整节课将以“图形特征—数量表征—符号抽象”为研究主线，先给出几个特殊函数的图象，让学生通过图象直观获得对函数奇偶性的认识，然后利用表格探究数量变化的特征，通过代数运算，验证发现的数量特征对定义域内的“任意”值都成立，最后在这个基础上建立奇函数和偶函数的概念.在学法上，精心设置了层次清晰的问题串，采用“设问—探究—归纳—定论”层层递进的方式来突出重点和突破难点，由浅入深、循序渐进.培养学生的探究精神，着眼于知识的形成和发展过程，注重学生的学习过程体验，给不同层次的学生提供思考、创造、表现的舞台.在教学手段上，为了加强学生对定义的理解，帮助学生克服在理解定义过程中对“任意”的理解可能遇到的障碍，教师利用几何画板软件动态研究，使学生能够更好地利用图形直观与数形结合的方法，感悟函数的奇偶性，顺利完成数学概念的建构.五、教学过程设计引导语：在上一节课中，我们用符号语言精确描述了函数的图象在定义域的某个区间“上升”（或“下降”）的性质，是函数的单调性，既有“形”的直观认识，又有“数”的定量分析.今天我们继续用同样的方法研究函数的其他性质.【设计意图】好的开始是成功的一半，教师的几句引言对本节课的学习起到提纲挈领的作用，也为学生的学习指明方向.1.画图操作，直观感知师：请同学们完成下列表格，并作出函数f()x=x2和函数f()x=2-||x的图象.xf()x=x2f()x=2-||x………-3-2-10123………学生作出函数f()x=x2和函数f()x=2-||x的图象，如图1和图2所示.|【设计意图】本环节让学生动手操作，经历列表、描点、连线画出函数图象的过程，“由数得形”唤醒函数的三种表示方法，从“形”的角度获得对函数图象的局部与整体的直观认识.问题1：观察函数f()x=x2和f()x=2-||x的图象，你能得出哪些结论？【设计意图】复习函数概念的三要素、图象、单调性和最值，有利于学生对本单元知识的整体建构和研究函数性质的基本方法的迁移.观察发现函数图象的共同特征，明确本节课的研究内容，为“以数解形”做准备.2.探究关系，刻画对称问题2：尝试改变函数f ()x =x 2和f ()x =2-||x 的定义域，仔细观察，函数图象的对称性有什么变化？预设：学生可能的探究情况如图3~图6所示，图象关于y 轴对称的有图3和图5，图4和图6的图象不具有对称性.图6追问1：原来的图象关于y 轴对称，现在发生什么变化而引起图象不关于y 轴对称呢？追问2：图象关于y 轴对称的函数的定义域有什么特征？追问3：定义域关于原点对称是图象关于y 轴对称的什么条件？总结：对于一般的函数y =f ()x ，定义域关于原点对称是函数图象关于y 轴对称的必要条件.【设计意图】从“形”的角度认识函数的对称性，通过观察和分析图形的特征，抓住变化中的不变性和规律性.学生自主探究，通过小组活动改变函数的定义域得到新函数，通过对比对称性的变化，发现：对于一般的函数y =f ()x ，定义域关于原点对称是函数图象关于y 轴对称的必要条件.同时，引导学生用数学符号描述定义域关于原点对称，即“∀x ∈I ，都有-x ∈I ”，第一次突破对“任意”的理解障碍，分解本节课偶函数概念建构的难点.3.归纳类比，构建概念体系问题3：以函数f ()x =x 2为例，能用数学符号语言描述“函数图象关于y 轴对称”这一特征吗？函数f ()x =2-||x 有类似的符号表达吗？问题4：你能给偶函数下个定义吗？问题5：你能再举出几个偶函数的例子吗？并说明理由.【设计意图】通过具体的例子引导学生计算，观察取值规律，从实例中归纳两者的“共性”特征.当自变量取一对相反数时，函数值相等，经历将图象的对称性转化为点的对称性，再将点的对称问题转化为点的坐标的数量关系，指导学生从定性分析到定量分析，从直观认识到数学符号表示.教师在几何画板软件上演示在x 轴上任取一点Q ，当点Q 移动时，点Q 关于原点的对称点Q ′也在x 轴上移动.学生通过观察，将自变量由具体数值推广到定义域内“对任意的x 都有f ()-x =f ()x ”，突破对“任意”的认知障碍，得出偶函数的定义.通过启发式提问，实现学生从图形语言到文字语言再到符号语言认识函数的奇偶性，实现由“形”到“数”的转换，学生通过举例加深对偶函数概念的理解.问题6：类比偶函数概念的建构过程，思考并讨论以下问题.（1）函数f ()x =x 和函数f ()x =1x的图象有什么共同特征？（2）如何用数学符号语言表示函数图象的这个特征的呢？问题7：你能给奇函数下个定义吗？问题8：你能再举出几个奇函数的例子吗？并说明理由.【设计意图】类比偶函数概念的建构过程，放手让学生经历直观感知、抽象概括的过程，学生合作交流、自主建构奇函数的概念，让学生再一次领会在数形结合思想指导下研究函数性质的方法，加深对概念本质的理解，积累数学概念建构的基本活动经验.4.概念应用，深化理解例1判断下列函数的奇偶性.（1）f ()x =x 4；（2）f ()x =x 5；（3）f ()x =x +1x；（4）f ()x =1x2.【设计意图】师生共同分析f ()x =x 4的奇偶性.教师板书判断函数奇偶性的过程，学生自主完成剩下三个函数奇偶性的判断，并总结用定义法判断函数奇偶性的一般步骤.此过程教师示范引领，规范推理演绎，当堂检测形成教学反馈与评价.例2（1）判断函数f()x=x3+x的奇偶性.（2）图7是函数f()x=x3+x的图象的一部分，你能根据函数f()x的奇偶性，画出它在y轴左侧的图象吗？图7（3）一般地，如果知道函数y=f()x的奇偶性，那么我们怎样简化对它的研究？【设计意图】这是奇偶性的应用：巩固函数奇偶性的概念，再次熟练判断函数奇偶性的步骤；利用函数的奇偶性画函数的图象，学生的思维由“数”到“形”体现研究函数奇偶性的意义；研究函数奇偶性的目的是如果一个函数具有奇偶性，那么在研究这个函数时，只要研究x≥0()x≤0的情况就可以了，然后运用对称性把整个定义域内完整函数的性质研究清楚.5.回顾总结，提升能力（1）回顾本节课的研究过程，我们是怎样展开对函数奇偶性的研究的？（2）偶函数与奇函数有什么相同点和不同点？有什么方法可以判断函数的奇偶性？（3）根据函数的奇偶性，你如何简化分析它的单调性、最值呢？【设计意图】回顾研究过程，总结研究方法，感悟研究函数性质的一般方法，提升学生的思维品质和数学素养.对比、分析奇函数和偶函数的异同，比较过程中，需要从“数”和“形”两个方面对概念进行整体思考，即从定义域、定义、图象三个方面对比，能够反映学生对奇偶性概念的理解情况.促使学生深入思考函数奇偶性与函数单调性的关系，建立关于函数的整体认识，形成章节知识结构，使学生体会到在研究函数时利用函数的奇偶性能收到事半功倍的效果，进一步明确研究函数奇偶性的必要性.6.分层要求，达标检测必做题：（1）教材第85页练习第1题.【设计意图】让学生借助函数的奇偶性画函数的图象.（2）判断下列函数的奇偶性.①f()x=2x4+3x2；②f()x=x3-2x；③f()x=x2+x；④f()x=x3-x2x-1；⑤f()x=x2-1+1-x2.【设计意图】让学生熟练运用奇偶性的定义判断函数的奇偶性，同时让学生认识到并不是所有的函数都具有奇偶性.（3）填空.①偶函数f()x=||x，x∈()-5，a，则a的值为.②函数f()x=x+b为奇函数，则b的值为.③二次函数f()x=ax2+bx+c为偶函数，则b的值为.【设计意图】加深学生对函数奇偶性概念的理解.选做题：已知函数f()x为定义在()-2，2上的奇函数.（1）求f()0的值；（2）若f()x在定义域上单调递增，且有f()2+a+ f()1-2a>0，求实数a的取值范围.【设计意图】分层布置作业，意在必做题保证本节课知识和方法的落实，选做题安排了函数的单调性和奇偶性相结合的题目，注重函数性质的综合应用，加深学生对函数性质的整体认知，让学有余力的学生得到更好的发展.参考文献：［1］宋秀云.恰当孕育合理生长提升素养：《函数的奇偶性》教学思考［J］.数学通报，2018，57（11）：43-46.［2］王洁.在深度学习中发展自主探究能力：以“函数的奇偶性”教学为例［J］.中国数学教育（高中版），2020（6）：7-11.［3］中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版）［M］.北京：人民教育出版社，2018.。
人教课标版高中数学必修一《函数的奇偶性》教案-新版
1.3 第三课时 函数的奇偶性一、教学目标（一）核心素养函数的奇偶性从图形观察开始,发现图象典型特征,猜想出相关结论,通过数据验证,给出证明全过程,最后生成概念.这一过程包含了发现、猜想、证明的数学思维方式,也培育了学生数学抽象、直观想象、逻辑推理、数据分析等数学核心素养.（二）学习目标1.了解奇函数、偶函数的定义2. 运用奇偶性的定义判断一些简单函数的奇偶性3. 结合函数单调性,解决函数的综合问题（三）学习重点1.理解奇函数、偶函数的概念2. 判断函数的奇偶性（四）学习难点函数奇偶性的应用二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）偶函数:一般地,如果对于函数()f x 的定义域内____一个x ,都有_______,那么函数()f x 就叫做偶函数.（2）奇函数:一般地,如果对于函数()f x 的定义域内____一个x ,都有_______,那么函数()f x 就叫做奇函数.详解:（1）任意,()()f x f x =-;（2）任意,()()f x f x =--2．预习自测（1）作函数,y x y x ==的图象,初步判断函数为奇函数还是偶函数.详解:由图象初步判断y x =为偶函数,y x =为奇函数(二)课堂设计1.知识回顾（1）函数的定义（2）函数的单调性2.问题探究探究一偶函数、奇函数的概念生成=图象,探求对称关系本质●活动①观察函数2y x=,y x师:同学初中数学学习过图形的对称关系,请说出上图的对称关系=函数图象关于y轴对称.生:2y x=,y x=图象的对称关系？师:如何验证2=,y xy x生:可以把图象画在一张白纸上,沿着y轴对折,y轴两边的图象重合.师:作图会有误差的情况出现,有更严谨的验证方法吗？（提示点的坐标）生:可以在图象上取若干个点来验证.师:图象是由点构成的,研究图象对称关系,其实质是研究点的坐标对应关系.因此,我们在图象上取点验证,就涉及到以下几个问题:第一,如何取点？不妨先取部分特殊点（整数点方便计算）:我们由函数解析式,取x为整数时,计算相应y的值,对应整数点(,)x y在图象中的位置进行观察.2y x=:(-1,1),(-2,4),(-3,9),(0,0),(1,1),(2,4),(3,9)=:(-1,1),(-2,2),(-3,3),(0,0),(1,1),(2,2),(3,3)如下表:y x可以发现:(,)x y为坐标的整数点位于函数图象上,且这些整数点在图象上的位置是关于y轴对称.第二,如何验证？这些整数点关于y 轴对称,从“形”上观察:对折后“重合”,即点与点对折后合为一个点.因此在坐标系中这些点不是孤立的,是成对出现的,而且它们的相对位置“远近高低”相同一致.“远近”相同,是指点与y 轴的距离,即横坐标的绝对值x 相等.“高低”一致,高度相等,是指点与x 轴的距离,即纵坐标的绝对值y 相等.从“数”上分析:由表中数据,“远近”相同时,相应整数点横坐标是互为相反数;“高低”一致时,相应整数点纵坐标是相等的.第三,严谨性.刚才我们对部分整数点进行了验证,由特殊到一般的思想,我们可以验证:在图象上任取一点(,)A A A x y 时,图象上有一个点(,)B B B x y 与之对应,当AB 两点的坐标满足0A B x x +=且A B y y =时,它们对折之后才能重合.由A 的任意性,确定了相对应点B 的任意性,只有这样我们才能说整个函数图象关于y 轴对称.当AB 两点投影到x 轴时,,A B x x 的取值范围就是函数的定义域,其相互制约关系0A B x x +=,也说明了定义域也有对称关系,即定义域关于原点对称.师:由以上探究发现,函数图象对称关系的本质,是由点的坐标数量关系决定的.若我们在图象上任意取两个点AB ,若它们的坐标满足0A B x x +=且A B y y =（两点任意、横相反、纵相等）,就可以说该图象关于y 轴对称,我们称这类函数为偶函数.【设计意图】图象的对称实质的研究,让学生更深层次体会函数图象与数量关系的本质联系,进一步加深了函数对应关系这一核心思想的理解.●活动② 偶函数概念的生成师:按照函数图象对称关系的本质,是由点的坐标数量关系决定的思想,及“两点任意、横相反、纵相等”的原则,能否定义偶函数.生:图象关于y 轴对称的函数为偶函数.师:函数以定义域优先的原则,从数量关系上定义更严谨,参考函数单调性的定义. 生:一般地,函数()y f x =,定义域内任取12,x x ,满足120x x +=且12()()f x f x =时,称()y f x =为偶函数.师:这位同学抓住了“两点任意、横相反、纵相等”的原则,我们在此基础上进行提炼,“任取12,x x 满足120x x +=”可以变形为12x x =-.可把这个关系简化为“x 与x -”,因此我们如下定义偶函数:一般地,函数()y f x =定义域I ,x I ∀∈（x I -∈）都有()()f x f x =-时,那么称()y f x =为偶函数.师:若()y f x =为偶函数,图象满足哪些性质呢？对应到函数的定义域呢？ 生:图象关于y 轴对称.函数的定义域关于(0,0)O 对称.师:这样说可以吗？（1）偶函数图象关于y 轴对称.（2）图象关于y 轴对称的函数是偶函数.（3）偶函数的定义域关于(0,0)O 对称.（4）定义域关于(0,0)O 对称的函数是偶函数.生:（1）由定义是正确的;（2）是定义推导的起源是正确的;（3）由图象在x 轴投影的对应关系,或由定义“两点任意、横相反”知,是正确的;（4）函数()f x x =,定义域R 关于原点对称,图象不关于y 轴对称,不正确.【设计意图】图象的对称关系的实质探究,让学生从“形”定性的认识,到 “数”的定量分析;研究图象,就研究其构成元素所有点的坐标关系,由特殊点再到任意点,由函数对应关系的本质,深入到定义域,值域层面研究.整个探究过程由外到内、由形到数、由整体到局部、由特殊到一般的思想,体现了数学概念生成过程趣味横生. ●活动③奇函数的概念生成师:由（4）知,并不是所有的函数都是偶函数,偶函数只是众多函数中较典型的一类.请同学们观察函数y x =,1y x=图象,完成下面两个函数值对应表.师:请观察y x =,1y x =图象,及函数值对应表特征,上图有何对称关系？如何验证？生:y x =,1y x=图象关于原点成中心对称关系,函数图象整体围绕着(0,0)O 旋转0180与原图象重合.师:由上面的推导,函数图象对称关系的本质,是由点的坐标数量关系决定的.同学们能总结关于图象关于原点对称的本质关系吗？生:在图象上任取一点(,)A A A x y 时,图象上有一个点(,)B B B x y 与之对应,当AB 两点的坐标满足0A B x x +=且0A B y y +=时,它们对折之后才能重合.由点A 的任意性,确定了相对应点B 的任意性,只有这样我们才能说整个函数图象关于原点对称.当AB 两点投影到x 轴时,,A B x x 的取值范围就是函数的定义域,其相互制约关系0A B x x +=,也说明了定义域也有对称关系,即定义域关于原点对称,0A B y y +=也说明了值域也有对称关系,即值域关于原点对称.师:我们在图象上任意取两个点AB ,若它们的坐标满足0A B x x +=且0A B y y +=（两点任意、横相反、纵相反）,就可以说该图象关于原点对称,我们称这类函数为奇函数.师:由偶函数定义,及“两点任意、横相反、纵相反”的原则,能否定义奇函数.生:一般地,函数()y f x =定义域I ,x I ∀∈（x I -∈）都有()()(()()0)f x f x f x f x -=-+-=时,那么称()y f x =为奇函数.师:若()y f x =为奇函数,图象满足哪些性质呢？对应到函数的定义域呢？ 生:图象关于原点对称.函数的定义域关于原点对称.师:这样说可以吗？（1）奇函数图象关于原点对称（2）图象关于原点对称的函数是奇函数（3）奇函数的定义域关于原点对称（4）定义域关于原点对称的函数是奇函数生:（1）由定义是正确的;（2）是定义推导的起源是正确的;（3）由图象在x 轴投影的对应关系,或由定义“两点任意、横相反”知,是正确的;（4）也可能是偶函数,不正确.师:我们对偶函数、奇函数的定义作了介绍,我们称函数的这类性质为奇偶性.奇偶性是一部分函数的性质,因此我们在判断函数是否奇偶性？第一,图象法.可以从图象特征观察:若图像关于y 轴对称,我们称之为偶函数,否则该函数不是偶函数;若图像关于原点对称,我们称之为奇函数,否则该函数不是偶函数;因此,从奇偶性的角度可以将函数分类:奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数又不是偶函数（简称非奇非偶函数）.第二,定义法.也可以从数量特征观察:首先判定函数定义域是否关于原点对称, 若不对称,则该函数为非奇非偶函数;若对称,再判断()f x 与()f x -关系:如果()()f x f x =-,则该函数为偶函数.如果()()0f x f x +-=,则该函数为奇函数.【设计意图】偶函数的概念生成,为奇函数的概念引入奠定了基础,有共同的思维方式,也有不同的内在体现,让学生对函数奇偶性的概念生成过程,及本质内涵有更深的理解.探究二:函数奇偶性的判断.●活动①定义法判断函数奇偶性.例1 判断下列函数的奇偶性,并说明理由.（1）()f x =（2）1()1f x x =- 【知识点】函数奇偶性【数学思想】【解题过程】解：（1）()f x ={}1不关于原点对称. ()f x ∴为非奇非偶函数（2）1()1f x x =-函数的定义域(,1)(1,1)(1,)-∞-⋃-⋃+∞关于原点对称. 11()()11f x f x x x -===--- ()f x ∴为偶函数 【思路点拨】由定义法判断【答案】（1）非奇非偶函数；（2）偶函数同类训练:判断下列函数的奇偶性,并说明理由.（1）1()1f x x =-（2）()f x = 【知识点】函数奇偶性【数学思想】【解题过程】解：（1）1()1f x x =-函数的定义域(,1)(1,)-∞⋃+∞不关于原点对称 ()f x ∴为非奇非偶函数（2）()f x =函数的定义域{1}{1}-⋃关于原点对称()()f x f x -=== ()f x ∴为偶函数【思路点拨】定义法灵活运用【答案】（1）非奇非偶函数；（2）偶函数【设计意图】让学生明确定义法判断函数奇偶性的步骤.●活动②定义法、图象法判断函数奇偶性.例2:判断函数(1),0()(1),0x x x f x x x x -<⎧=⎨+>⎩的奇偶性 【知识点】分段函数奇偶性【数学思想】化归思想、数形结合思想【解题过程】解：(1),0()(1),0x x x f x x x x -<⎧=⎨+>⎩的定义域(,0)(0,)-∞⋃+∞关于原点对称.当0x >时,0x -<()()[1()](1)()(0)f x x x x x f x x ∴=---=-+=->当0x <时,0x ->()()[1()](1)()(0)f x x x x x f x x ∴=-+-=--=-<综上所述,()()f x f x -=-,()f x 奇函数.【思路点拨】定义法、用图象法【答案】奇函数同类训练 判断函数2223,0()23,0x x x f x x x x ⎧-+<=⎨--->⎩的奇偶性 【知识点】函数奇偶性【数学思想】化归思想、数形结合思想【解题过程】解：当0x >时,0x -<22()()2()323()(0)f x x x x x f x x ∴=---+=++=->当0x <时,0x ->22()()2()323()(0)f x x x x x f x x ∴=-----=-+-=-<综上所述,()()f x f x -=-,()f x 奇函数【思路点拨】对于较熟悉的函数,可以作函数图象法判断单调性.【答案】奇函数【设计意图】定义法、图象法灵活运用, 判断函数奇偶性.●活动③利用性质法判断函数奇偶性.例3 判断函数24()f x x x =+奇偶性.【知识点】性质法:对于两个函数在定义域关于原点对称的情形下,函数的奇偶性质,偶函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为偶函数;奇函数的和、差仍为奇函数;奇（偶）数个奇函数的积、商（分母不为零）仍为奇（偶）函数;一个奇函数与偶函数的积为奇函数,这样的方法称为性质法.【数学思想】化归思想【解题过程】解：24()f x x x =+函数的定义域R 关于原点对称.记:21()f x x =,函数的定义域R 关于原点对称.211()()()f x x f x -=-=,21()f x x ∴=为偶函数;42()f x x =,函数的定义域R 关于原点对称.422()()()f x x f x -=-=,42()f x x ∴=为偶函数.性质法:24()f x x x =+为偶函数.【思路点拨】函数12()()f x f x 、的定义域必须满足定义域关于原点对称,且12()()f x f x 、定义域的交集为()f x 的定义域也必须关于原点对称,判断各分函数的奇偶性,再判断复合后的奇偶性.【答案】偶函数同类训练 判断35()f x x x x =++奇偶性.【知识点】奇偶性判断【数学思想】化归思想【解题过程】35()f x x x x =++函数的定义域R 关于原点对称35()()()()()f x x x x f x -=-+-+-=- ()f x ∴为奇函数.【思路点拨】可由性质法证明【答案】奇函数【设计意图】在部分题目特别是选择题、填空题判断奇偶性时,性质法方便快捷,但此部分涉及到复合函数定义域的问题,对学生能力要求较高.探究三: 函数综合问题●活动①奇偶函数图象问题例4如图所示为偶函数()f的大小．f与(3)y f x=的局部图象,试比较(1)【知识点】函数奇偶性【数学思想】数形结合思想【解题过程】解：作()x∈--的图象关于y轴对称的图象．=在[3,1]y f x由图象知(3)(1)>f f【思路点拨】利用奇偶性，找出另一区间的图象【答案】(3)(1)>f f同类训练如图所示为奇函数()f的大小．f与(3)y f x=的局部图象,试比较(1)【知识点】函数奇偶性【数学思想】数形结合思想【解题过程】解：法一:由图象知(3)(1)->-,又()f x是奇函数.f f∴<f ff f f f(3)(3),(1)(1)∴-=--=-,(3)(1)法二:因为()y f x =是奇函数,故由对称性可作出[1,3]x ∈时的图象,由图象知(3)(1)f f <．【思路点拨】利用奇偶性，找出另一区间的图象【答案】(3)(1)f f <【设计意图】由于奇函数、偶函数图象的对称性,因而如果知道一个函数是奇函数或偶函数,只要把它的定义域分成关于原点对称的两部分,得出函数在一部分上的性质和图象,就可推出这个函数在另一部分上的性质和图象．●活动②函数奇偶性的应用例5若()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x <时,()(2)f x x x =-,求函数()f x 的解析式．【知识点】利用奇偶性求解析式【数学思想】转化与化归思想【解题过程】解：法一:()f x 是定义在R 上的奇函数,()()f x f x ∴-=-,(0)0f =.当0x >时,0x -<,()()(2)f x f x x x ∴=--=+．∴函数()f x 的解析式为(2),0()0,0(2),0x x x f x x x x x +>⎧⎪==⎨⎪-<⎩.法二:()f x 是定义在R 上的奇函数,()()f x f x ∴-=-,(0)0f =.令t x =-,若0x <,则0t >,且x t =-.()(2)(0)f x x x x =-<,()(2)f t t t ∴-=-+,即()(2)f t t t -=-+．()(2)f t t t ∴=+,0x ∴>时,()(2)f x x x =+．∴函数()f x 的解析式为(2),0()0,0(2),0x x x f x x x x x +>⎧⎪==⎨⎪-<⎩.【思路点拨】在未知范围内取值，利用转化到已知范围内的函数解析式求解；也可以用图象对称关系，待定系数法求解析式。
函数奇偶性的教案
函数奇偶性的教案【篇一：《函数的奇偶性》教案】1.3.2《函数的奇偶性》一、教材分析1．教材所处的地位和作用“奇偶性”是人教a版第一章“集合与函数概念”的第3节“函数的基本性质”的第2小节。
奇偶性是函数的一条重要性质，教材从学生熟悉的及数、三角函数的基础。
因此，本节课起着承上启下的重要作用。
2．学情分析从学生的认知基础看，学生在初中已经学习了轴对称图形和中心对称图形，并且有了一定数量的简单函数的储备。
同时，刚刚学习了函数单调性，已经积累了研究函数的基本方法与初步经验。
从学生的思维发展看，高一学生思维能力正在由形象经验型向抽象理论型转变，能够用假设、推理来思考和解决问题．3．教学目标基于以上对教材和学生的分析，以及新课标理念，我设计了这样的教学目标：【知识与技能】1．能判断一些简单函数的奇偶性。
2．能运用函数奇偶性的代数特征和几何意义解决一些简单的问题。
【过程与方法】经历奇偶性概念的形成过程，提高观察抽象能力以及从特殊到一般的归纳概括能力。
【情感、态度与价值观】通过自主探索，体会数形结合的思想，感受数学的对称美。
从课堂反应看，基本上达到了预期效果。
4、教学重点和难点重点：函数奇偶性的概念和几何意义。
几年的教学实践证明，虽然“函数奇偶性”这一节知识点并不是很难理解，但知识点掌握不全面的学生容易出现下面的错误。
他们往往流于表面形式，只根据奇偶性的定义检验f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)成立即可，而忽视了考虑函数定义域的问题。
因此，在介绍奇、偶函数的定义时，一定要揭示定义的隐含条件，从正反两方面讲清定义的内涵和外延。
因此，我把“函数的奇偶性概念”设计为本节课的重点。
在这个问题上我除了注意概念的讲解，还特意安排了一道例题，来加强本节课重点问题的讲解。
难点：奇偶性概念的数学化提炼过程。
由于，学生看待问题还是静止的、片面的，抽象概括能力比较薄弱，这对建构奇偶性的概念造成了一定的困难。
因此我把“奇偶性概念的数学化提炼过程”设计为本节课的难点。
人教版高中数学必修1《函数的奇偶性》教案
§1．3．2函数的奇偶性（1）教学目标：知识目标——理解函数的奇偶性并能熟练应用数形结合的数学思想解决、推导问题；能应用奇偶性的知识解决简单的函数问题。
能力目标——通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想；培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力。
情感目标—— 通过构建和谐的课堂教学氛围,激发学生的学习兴趣,调动学习积极性；养成积极主动，勇于探索，不断创新的学习习惯和品质。
教学分析：教学重点：函数的奇偶性的概念及其建立过程，判断函数的奇偶性的步骤； 教学难点：对函数奇偶性概念的理解与认识 教学方法：诱思引探鼓励法 教学工具：多媒体课件 教学过程一、 创设情景，激发兴趣（多媒体投放图片） 二、 实例引入，初步感知请比较下列两组函数图象，从对称的角度，你发现了什么 ？2()f x x = ||)(x x f =y 轴对称师：再观察表1和表2，你看出了什么？ 表1x -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x)=|x|321 0123表2生：当自变量x 取一对相反数时，相应的两个函数值相等。
三、实验体验，加以体会 【探究】图象关于轴对称的函数满足：对定义域内的任意一个,都有。
反之也成立吗？（超级链接几何画板演示）师：从以上的讨论，你能够得到什么？（师生讨论，共同完善，形成概念，老师板书偶函数定义）一般地，如果对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么称函数是偶函数；师：仿此请观察下面两组图象，你能给出关于原点对称的函数图象与式子之间的关系，进而给出奇函数的定义吗？一般地，如果对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么称函数是奇函数。
问题1：具有奇偶性函数的图象的对称如何？师：偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称。
问题2：函数的奇偶性是怎样的一个性质？与单调性有何区别？师：函数的奇偶性在定义域上的一个整体性质，它不同于函数的单调性 。
《函数奇偶性》优秀的教学设计
《函数奇偶性》优秀的教学设计《函数奇偶性》优秀的教学设计「篇一」教学分析本节讨论函数的奇偶性是描述函数整体性质的、教材沿用了处理函数单调性的方法，即先给出几个特殊函数的图象，让学生通过图象直观获得函数奇偶性的认识，然后利用表格探究数量变化特征，通过代数运算，验证发现的数量特征对定义域中的“任意”值都成立，最后在这个基础上建立了奇（偶）函数的概念、因此教学时，充分利用信息技术创设教学情境，会使数与形的结合更加自然、值得注意的问题：对于奇函数，教材在给出的表格中留出大部分空格，旨在让学生自己动手计算填写数据，仿照偶函数概念建立的过程，独立地去经历发现、猜想与证明的全过程，从而建立奇函数的概念、教学时，可以通过具体例子引导学生认识，并不是所有的函数都具有奇偶性，如函数y=x与y=2x—1既不是奇函数也不是偶函数，可以通过图象看出也可以用定义去说明、三维目标1、理解函数的奇偶性及其几何意义，培养学生观察、抽象的能力，以及从特殊到一般的概括、归纳问题的能力、2、学会运用函数图象理解和研究函数的性质，掌握判断函数的奇偶性的方法，渗透数形结合的数学思想、重点难点教学重点：函数的奇偶性及其几何意义、教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式、课时安排：1课时教学过程导入新课思路1、同学们，我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，请大家想一下有哪些美呢？（学生回答可能有和谐美、自然美、对称美）今天，我们就来讨论对称美，请大家想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢？（学生举例，再在屏幕上给出一组图片：喜字、蝴蝶、建筑物、麦当劳的标志）生活中的美引入我们的数学领域中，它又是怎样的情况呢？下面，我们以麦当劳的标志为例，给它适当地建立平面直角坐标系，那么大家发现了什么特点呢？（学生发现：图象关于y轴对称）数学中对称的形式也很多，这节课我们就同学们谈到的与y轴对称的函数展开研究、思路2、结合轴对称与中心对称图形的定义，请同学们观察图形，说出函数y=x2和y=x3的图象各有怎样的对称性？引出课题：函数的奇偶性、推进新课新知探究提出问题（1）如图1所示，观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性、图1（2）如何利用函数的解析式描述函数的、图象关于y轴对称呢？填写表1和表2，你发现这两个函数的解析式具有什么共同特征？表1x—3—2—10123f（x）=x2表2x—3—2—10123f（x）=|x|（3）请给出偶函数的定义、（4）偶函数的图象有什么特征？（5）函数f（x）=x2，x∈[—1，2]是偶函数吗？（6）偶函数的定义域有什么特征？（7）观察函数f（x）=x和f（x）=1x的图象，类比偶函数的推导过程，给出奇函数的定义和性质？活动：教师从以下几点引导学生：（1）观察图象的对称性、（2）学生给出这两个函数的解析式具有什么共同特征后，教师指出：这样的函数称为偶函数、（3）利用函数的解析式来描述、（4）偶函数的性质：图象关于y轴对称、（5）函数f（x）=x2，x∈[—1，2]的图象关于y轴不对称；对定义域[—1，2]内x=2，f（—2）不存在，即其函数的定义域中任意一个x的相反数—x不一定也在定义域内，即f（—x）=f（x）不恒成立、（6）偶函数的定义域中任意一个x的相反数—x一定也在定义域内，此时称函数的定义域关于原点对称、（7）先判断它们的图象的共同特征是关于原点对称，再列表格观察自变量互为相反数时，函数值的变化情况，进而抽象出奇函数的概念，再讨论奇函数的性质、给出偶函数和奇函数的定义后，要指明：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的`奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性定义，可知函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则—x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）；③具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称；④可以利用图象判断函数的奇偶性，这种方法称为图象法，也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，这种方法称为定义法；⑤函数的奇偶性是函数在定义域上的性质，是“整体”性质，而函数的单调性是函数在定义域的子集上的性质，是“局部”性质、讨论结果：（1）这两个函数之间的图象都关于y轴对称。
函数的奇偶性教学设计
函数的奇偶性教学设计一、教材的地位和作用《函数的奇偶性》是高中数学模块一函数的基本性质的第二小节，安排一课时完成。
函数是高中数学的核心，判断函数的奇偶性，是研究函数性质时应予以考察的一个很重要方面，它在计算函数值，探讨函数的单调性，绘制图像等方面均有用处。
学生已经学习了函数的单调性，作为高考的必考内容，新教材这样编排，充分体现了《新课标》提出的“重视从学生的生活经验和已有知识中学习数学，理解数学”之特点。
引出新概念的过程，也是培养学生探索问题、发现规律，做出归纳的过程。
因此，教学不是生硬的提出问题，应力求顺其自然、水到渠成。
讲新课要联系过去尚不甚巩固的知识，将新旧知识有机的融合在一起。
通过对函数奇偶性的研究，体会数形结合的思想，体会由图形特征升华为数学符号表示的过程，使学生从感性认识上升到理性认识，从形象思维升华到逻辑思维。
通过函数奇偶性的应用，使部分图象具有对称性的函数问题得以简化。
对今后研究函数图象的对称性及三角函数、二次曲线的对称性问题作铺垫。
这样有利于促进学生主动参与，能为学生的长久发展打下基础。
二、教学目标知识与能力：从形和数两个方面进行引导，使学生理解奇偶性的概念，并会利用定义判断简单函数的奇偶性及图像对称性的两条定理。
过程与方法：在奇偶性概念形成过程中，培养学生的观察，归纳能力，同时渗透数形结合和特殊到一般的数学思想方法。
情感态度与价值观：在学生感受数学美的同时，激发学习的兴趣，培养学生乐于求索的精神。
三、教学重点、难点重点：函数奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断难点：对函数奇偶性概念的理解设计意图：函数奇偶性概念的形成和理解的困难主要发生在概念形成过程中由特殊到一般的过渡，也就是对定义中“任意”两字的理解。
结合“教材编者语”中的提示，按照教学的实际及高一学生认知规律，教学中充分利用函数图象，尽量做到重难点突出、集中的解决。
四、学情分析1．分析学生已有的认知水平和能力基础（1）在初中学生已经学过了正比例函数、反比例函数、二次函数等一些简单函数的图象以及轴对称和中心对称图形。
人教新课标高一《函数的奇偶性》教学设计
规律：偶函数的图象关于 轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
说明：这也可以作为判断函数奇偶性的依据．
例5．已知 是奇函数，在（0，+∞）上是增函数．
证明： 在（－∞，0）上也是增函数．
证明：（略）
小结：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致．
（四）巩固深化，反馈矫正．
（六）设置问题，留下悬念．
1．书面作业：课本P46习题A组1．3．9．10题
2．设 ＞0时，
试问：当 ＜0时， 的表达式是什么？
解：当 ＜0时，－ ＞0，所以 ，又因为 是奇函数，所以
．
（1）课本P42练习1．2 P46B组题的1．2．3
（2）判断下列函数的奇偶性，并说明理由．
①
②
③
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（五）归纳小结，整体认识．
本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称，单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质．
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一．教学目标
1．知识与技能：
理解函数的奇偶性及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；学会判断函数的奇偶性；
2．过程与方法：
通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想．
3．情态与价值：
通过函数的奇偶性教学，培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力．
观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性．
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通过讨论归纳：函数 是定义域为全体实数的抛物线；函数 是定义域为全体实数的折线；函数 是定义域为非零实数的两支曲线，各函数之间的共性为图象关于 轴对称．观察一对关于 轴对称的点的坐标有什么关系？
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1.3.2函数的奇偶性
【教学目标】
1.理解函数的奇偶性及其几何意义；
2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
3.学会判断函数的奇偶性；
【教学重难点】
教学重点：函数的奇偶性及其几何意义
教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式
【教学过程】
（一）创设情景，揭示课题
“对称”是大自然的一种美，这种“对称美”在数学中也有大量的反映，让我们看看下列各函数有什么共性？
观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性．
2()f x x = ()||1f x x =- 21()x x x
=
y y
y
0 x
通过讨论归纳：函数2
()f x x =是定义域为全体实数的抛物线；函数()||1f x x =-是定义域为全体实数的折线；函数2
1()f x x =
是定义域为非零实数的两支曲线，各函数之间的共性为图象关于y 轴对称．观察一对关于y 轴对称的点的坐标有什么关系？ 归纳：若点(,())x f x 在函数图象上，则相应的点(,())x f x -也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等．
（二）研探新知
函数的奇偶性定义：
1．偶函数
一般地，对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么()f x 就叫做偶函数．（学生活动）依照偶函数的定义给出奇函数的定义．
2．奇函数
一般地，对于函数()f x 的定义域的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么()f x 就叫做奇函数．
注意：
①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则x -也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．
3．具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
（三）质疑答辩，排难解惑，发展思维．
例1．判断下列函数是否是偶函数．
（1）2()[1,2]f x x x =∈-
（2）32
()1
x x f x x -=- 解：函数2
(),[1,2]f x x x =∈-不是偶函数，因为它的定义域关于原点不对称． 函数32
()1
x x f x x -=-也不是偶函数，因为它的定义域为}{|1x x R x ∈≠且，并不关于原点对称．
点评：判断函数的奇偶性，先看函数的定义域。
变式训练1
（1）、x x x f +=3)( （2）、1
1)1()(-+-=x x x x f （3）、2224)(x x x f -+-=
解：（1）、函数的定义域为R ，)()()()(33x f x x x x x f -=--=-+-=-
所以)(x f 为奇函数
（2）、函数的定义域为}11|{-≤>x x x 或，定义域关于原点不对称，所以)(x f 为非
奇非偶函数
（3）、函数的定义域为{-2，2},)()(0)(x f x f x f -===-,所以函数)(x f 既是奇函数
又是偶函数
例2．判断下列函数的奇偶性
（1）4()f x x = （2）5()f x x = （3）1()f x x x =+ （4）21()f x x
= 分析：先验证函数定义域的对称性，再考察()()()f x f x f x --是否等于或．
解：（1）偶函数（2）奇函数（3）奇函数（4）偶函数
点评：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
②确定()()f x f x -与的关系；
③作出相应结论：
若()()()()0,()f x f x f x f x f x -=--=或则是偶函数；
若()()()()0,()f x f x f x f x f x -=--+=或则是奇函数．
变式训练2 判断函数的奇偶性：2211(0)2()11(0)2
x x g x x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩ 解：（2）当x ＞0时，－x ＜0，于是
2211()()1(1)()22
g x x x g x -=---=-+=- 当x ＜0时，－x ＞0，于是
222111()()11(1)()222
g x x x x g x -=-+=+=---=- 综上可知，在R －
∪R +上，()g x 是奇函数．
四、当堂检测．
五、归纳小结，整体认识．
本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称，单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质．
一些结论：
1.偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
2.偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致．
【板书设计】
一、 函数奇偶性的概念
二、 典型例题
例1： 例2：
小结：
【作业布置】完成本节课学案预习下一节。
25.(1)(0)(00)0(0)0(0)0
(1)(11)(1)(1),(1)0
(2)(1)[(1)](1)(1)0(1)0,()(1)()(1)()().
f f f f f f f f f f f f f f f x f x f x f f x f x =⨯=⨯+⨯==⨯=+∴==-=----=∴-=-=-⨯=-+-=-∴为奇函数。