轨迹方程的 几种求法整理

轨迹方程的六种求法整理

求轨迹方程是高考中常见的一类问题.本文对曲线方程轨迹的求法做一归纳，供同学们参考.

求轨迹方程的一般方法： 1. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。

2. 定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程

3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ）， y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。

4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。

5. 交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。

6. 待定系数法：已知曲线是圆，椭圆，抛物线，双曲线等 一、直接法

把题目中的等量关系直接转化为关于x,y,的方程基本步骤是：建系。设点。列式。化简。说明等，圆锥曲线标准方程的推导。

1. 已知点(20)(30)A B -，，，，动点()P x y ，满足2PA

PB x =u u u r u u u r

·，求点P 的轨迹。26y x =+， 2. 2.已知点B （－1，0），C （1，0），P 是平面上一动点，且满足.||||CB PB BC PC ⋅=⋅ （1）求点P 的轨迹C 对应的方程；

（2）已知点A （m,2）在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD 和AE ，且AD ⊥AE ，判断：直线DE 是否过定点试证明你的结论.

（3）已知点A （m,2）在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD ，AE ，且AD ，AE 的斜率k 1、k 2满足k 1·k 2=2.求证：直线DE 过定点，并求出这个定点.

解：（1）设.4,1)1(||||),(222x y x y x CB PB BC PC y x P =+=+-⋅=⋅化简得得

代入

二、定义法

利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．

1、 若动圆与圆外切且与直线x =2相切，则动圆圆心的轨迹方程是 解：如图，设动圆圆心为M ，由题意，动点M 到定圆圆心（－2，0）的距离等于它到定直线

x =4的距离，故所求轨迹是以（－2，0）为焦点，直线x =4为准线的抛物线，并且p =6，顶

点是（1，0），开口向左，所以方程是．选（B ）． 2、一动圆与两圆和都外切，则动圆圆心轨迹为

解：如图，设动圆圆心为M ，半径为r ，则有动点M 到两定点的距离之差为1，由双曲线定义知，其轨迹是以O 、C 为焦点的双曲线的左支

3、在ABC △中，24BC AC AB =，，上的两条中线长度之和为39，求ABC △的重心的轨迹方程．

解：以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图1，M

为重心，则有2

39263

BM CM +=⨯=．

M ∴点的轨迹是以B C ，为焦点的椭圆，

其中1213c a ==，．225b a c =-=∴．

∴所求ABC △的重心的轨迹方程为22

1(0)16925

x y y +=≠．

注意：求轨迹方程时要注意轨迹的纯粹性与完备性.

4、设Q 是圆x 2+y 2

=4上动点另点A （3。0）。线段AQ 的垂直平分线l 交半径OQ 于点P(见图2－45)，当Q 点在圆周上运动时，求点P 的轨迹方程．

解：连接PA ∵l ⊥PQ ，∴|PA|=|PQ|．又P 在半径OQ 上．∴|PO|+|PQ|=2．

由椭圆定义可知：P 点轨迹是以O 、A 为焦点的椭圆．

5、已知ΔABC中，A,B,C 所对应的边为a,b,c,且a>c>b,a,c,b 成等差数列，|AB|=2,求顶点C 的轨迹方程

解：|BC|+|CA|=4>2,由椭圆的定义可知，点C 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，其长轴为4，焦距为2, 短轴长为23,

∴椭圆方程为13

42

2=+y x , 又a>b, ∴点C 在y 轴左侧，必有x<0,而C 点在x 轴上时不能构成三角形，故x≠─2,

因此点C 的轨迹方程是：13

42

2=+y x (─2

2

650x y x +++=外切，同时与圆2

2

6910x y x +--=内切，求动圆

圆心M 的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。

解析：（法一）设动圆圆心为(,)M x y ，半径为R ，设已知圆的圆心分别为1O 、2O ，

将圆方程分别配方得：2

2

(3)4x y ++=，2

2

(3)100x y -+=， 当M e 与1O e 相切时，有1||2O M R =+ ①

当M e 与2O e 相切时，有2||10O M R =- ②

将①②两式的两边分别相加，得21||||12O M O M +=，

即2222(3)(3)12x y x y +++-+= ③

移项再两边分别平方得：

222(3)12x y x ++=+ ④

两边再平方得：2

2

341080x y +-=，

整理得

22

13627

x y +=， 所以，动圆圆心的轨迹方程是

22

13627

x y +=，轨迹是椭圆。 （法二）由解法一可得方程2222(3)(3)12x y x y +++-+=，

由以上方程知，动圆圆心(,)M x y 到点1(3,0)O -和2(3,0)O 的距离和是常数12，所以点M 的轨迹是焦点为1(3,0)O -、2(3,0)O ，长轴长等于12的椭圆，并且椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，

∴26c =，212a =，∴3c =，6a =，

∴2

36927b =-=，

∴圆心轨迹方程为

22

13627

x y +=。

三、相关点法

此方法适用于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题.

若动点P(x ，y)随已知曲线上的点Q(x 0，y 0)的变动而变动，且x 0、y 0可用x 、y 表示，则将Q 点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P 的轨迹方程．这种方法称为相关点法(或代换法)．

1、已知抛物线y 2=x+1，定点A(3，1)、B 为抛物线上任意一点，点P 在线段AB 上，且有BP ∶PA=1∶2，当B 点在抛物线上变动时，求点P 的轨迹方程．

分析解：设点P(x ，y)，且设点B(x 0，y 0) ∵BP ∶PA=1∶2，且P 为线段AB 的内分点．

x

y

1O

2O

P