轨迹方程的 几种求法整理

轨迹方程的六种求法整理求轨迹方程是高考中常见的一类问题.本文对曲线方程轨迹的求法做一归纳，供同学们参考.求轨迹方程的一般方法： 1. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。

2. 定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ）， y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。

4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。

5. 交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。

6. 待定系数法：已知曲线是圆，椭圆，抛物线，双曲线等 一、直接法把题目中的等量关系直接转化为关于x,y,的方程基本步骤是：建系。

设点。

列式。

化简。

说明等，圆锥曲线标准方程的推导。

1. 已知点(20)(30)A B -，，，，动点()P x y ，满足2PAPB x =u u u r u u u r·，求点P 的轨迹。

26y x =+， 2. 2.已知点B （－1，0），C （1，0），P 是平面上一动点，且满足.||||CB PB BC PC ⋅=⋅ （1）求点P 的轨迹C 对应的方程；（2）已知点A （m,2）在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD 和AE ，且AD ⊥AE ，判断：直线DE 是否过定点试证明你的结论.（3）已知点A （m,2）在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD ，AE ，且AD ，AE 的斜率k 1、k 2满足k 1·k 2=2.求证：直线DE 过定点，并求出这个定点.解：（1）设.4,1)1(||||),(222x y x y x CB PB BC PC y x P =+=+-⋅=⋅化简得得代入二、定义法利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．1、 若动圆与圆外切且与直线x =2相切，则动圆圆心的轨迹方程是 解：如图，设动圆圆心为M ，由题意，动点M 到定圆圆心（－2，0）的距离等于它到定直线x =4的距离，故所求轨迹是以（－2，0）为焦点，直线x =4为准线的抛物线，并且p =6，顶点是（1，0），开口向左，所以方程是．选（B ）． 2、一动圆与两圆和都外切，则动圆圆心轨迹为解：如图，设动圆圆心为M ，半径为r ，则有动点M 到两定点的距离之差为1，由双曲线定义知，其轨迹是以O 、C 为焦点的双曲线的左支3、在ABC △中，24BC AC AB =，，上的两条中线长度之和为39，求ABC △的重心的轨迹方程．解：以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图1，M为重心，则有239263BM CM +=⨯=．M ∴点的轨迹是以B C ，为焦点的椭圆，其中1213c a ==，．225b a c =-=∴．∴所求ABC △的重心的轨迹方程为221(0)16925x y y +=≠．注意：求轨迹方程时要注意轨迹的纯粹性与完备性.4、设Q 是圆x 2+y 2=4上动点另点A （3。

0）。

线段AQ 的垂直平分线l 交半径OQ 于点P(见图2－45)，当Q 点在圆周上运动时，求点P 的轨迹方程．解：连接PA ∵l ⊥PQ ，∴|PA|=|PQ|．又P 在半径OQ 上．∴|PO|+|PQ|=2．由椭圆定义可知：P 点轨迹是以O 、A 为焦点的椭圆．5、已知ΔABC中，A,B,C 所对应的边为a,b,c,且a>c>b,a,c,b 成等差数列，|AB|=2,求顶点C 的轨迹方程解：|BC|+|CA|=4>2,由椭圆的定义可知，点C 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，其长轴为4，焦距为2, 短轴长为23,∴椭圆方程为13422=+y x , 又a>b, ∴点C 在y 轴左侧，必有x<0,而C 点在x 轴上时不能构成三角形，故x≠─2,因此点C 的轨迹方程是：13422=+y x (─2<x<0) 点评：本题在求出了方程以后讨论x 的取值范围，实际上就是考虑条件的必要性 6、一动圆与圆22650x y x +++=外切，同时与圆226910x y x +--=内切，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。

解析：（法一）设动圆圆心为(,)M x y ，半径为R ，设已知圆的圆心分别为1O 、2O ，将圆方程分别配方得：22(3)4x y ++=，22(3)100x y -+=， 当M e 与1O e 相切时，有1||2O M R =+ ①当M e 与2O e 相切时，有2||10O M R =- ②将①②两式的两边分别相加，得21||||12O M O M +=，即2222(3)(3)12x y x y +++-+= ③移项再两边分别平方得：222(3)12x y x ++=+ ④两边再平方得：22341080x y +-=，整理得2213627x y +=， 所以，动圆圆心的轨迹方程是2213627x y +=，轨迹是椭圆。

（法二）由解法一可得方程2222(3)(3)12x y x y +++-+=，由以上方程知，动圆圆心(,)M x y 到点1(3,0)O -和2(3,0)O 的距离和是常数12，所以点M 的轨迹是焦点为1(3,0)O -、2(3,0)O ，长轴长等于12的椭圆，并且椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，∴26c =，212a =，∴3c =，6a =，∴236927b =-=，∴圆心轨迹方程为2213627x y +=。

三、相关点法此方法适用于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题.若动点P(x ，y)随已知曲线上的点Q(x 0，y 0)的变动而变动，且x 0、y 0可用x 、y 表示，则将Q 点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P 的轨迹方程．这种方法称为相关点法(或代换法)．1、已知抛物线y 2=x+1，定点A(3，1)、B 为抛物线上任意一点，点P 在线段AB 上，且有BP ∶PA=1∶2，当B 点在抛物线上变动时，求点P 的轨迹方程．分析解：设点P(x ，y)，且设点B(x 0，y 0) ∵BP ∶PA=1∶2，且P 为线段AB 的内分点．xy1O2OP2、双曲线2219x y -=有动点P ，12,F F 是曲线的两个焦点，求12PF F ∆的重心M 的轨迹方程。

解：设,P M 点坐标各为11(,),(,)P x y M x y ，∴在已知双曲线方程中3,1a b ==，∴9110c =+=∴已知双曲线两焦点为12(10,0),(10,0)F F -， ∵12PF F ∆存在，∴10y ≠由三角形重心坐标公式有11(10)103003x x y y ⎧+-+=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩，即1133x x y y =⎧⎨=⎩ 。

∵10y ≠，∴0y ≠。

3、已知点P 在双曲线上，将上面结果代入已知曲线方程，有22(3)(3)1(0)9x y y -=≠ 即所求重心M 的轨迹方程为：2291(0)x y y -=≠。

4、（2001上海，3）设P 为双曲线-42x y 2＝1上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程是 。

解析：设P （x 0，y 0） ∴M （x ，y ）∴2,200y y x x == ∴2x ＝x 0，2y ＝y 0∴442x －4y 2＝1⇒x 2－4y 2＝15、已知△ABC 的顶点(30)(10)B C -，，，，顶点A 在抛物线2y x =上运动，求ABC △的重心G 的轨迹方程．解：设()G x y ，，00()A x y ，，由重心公式，得003133x x y y -++⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，00323x x y y =+⎧⎨=⎩， ①∴． ② 又00()A x y ，∵在抛物线2y x =上，200y x =∴． ③将①，②代入③，得23(32)(0)y x y =+≠，即所求曲线方程是2434(0)3y x x y =++≠．四、参数法如果不易直接找出动点的坐标之间的关系，可考虑借助中间变量（参数），把x ，y 联系起来．若动点P （x ，y ）的坐标x 与y 之间的关系不易直接找到，而动点变化受到另一变量的制约，则可求出x 、y 关于另一变量的参数方程，再化为普通方程．1、已知线段2AA a '=，直线l 垂直平分AA '于O ，在l 上取两点P P '，，使有向线段OP OP 'u u u r u u u u r ，满足4OP OP '=u u u r u u u u r·，求直线AP 与A P ''的交点M 的轨迹方程．解：如图2，以线段AA '所在直线为x 轴，以线段AA '的中垂线为y 轴建立直角坐标系．设点(0)(0)P t t ≠，， 则由题意，得40P t ⎛⎫' ⎪⎝⎭，．由点斜式得直线AP A P ''，的方程分别为4()()t y x a y x a a ta=+=--，．两式相乘，消去t ，得222244(0)x a y a y +=≠．这就是所求点M 的轨迹方程． 评析：参数法求轨迹方程，关键有两点：一是选参，容易表示出动点；二是消参，消参的途径灵活多变.2、设椭圆中心为原点O ，一个焦点为F （0，1），长轴和短轴的长度之比为t ．（1）求椭圆的方程；（2）设经过原点且斜率为t 的直线与椭圆在y 轴右边部分的交点为Q ，点P 在该直线上，且，当t 变化时，求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形． 解：（1）设所求椭圆方程为由题意得解得 所以椭圆方程为．(2)设点解方程组得 由和得其中t ＞1．消去t ，得点P 轨迹方程为和．其轨迹为抛物线在直线右侧的部分和抛物线在直线在侧的部分．3、已知双曲线2222ny m x -=1(m ＞0,n ＞0)的顶点为A 1、A 2，与y 轴平行的直线l 交双曲线于点P 、Q 求直线A 1P 与A 2Q 交点M 的轨迹方程；解设P 点的坐标为(x 1,y 1)，则Q 点坐标为(x 1,－y 1),又有A 1(－m ,0),A 2(m ,0),则A 1P 的方程为 y =)(11m x mx y ++ ①A 2Q 的方程为 y =－)(11m x m x y -- ②①×②得 y 2=－)(2222121m x mx y --③又因点P 在双曲线上，故).(,12212221221221m x m n y n y m x -==-即代入③并整理得2222ny m x +=1 此即为M 的轨迹方程4、设点A 和B 为抛物线 y 2=4px (p ＞0)上原点以外的两个动点，已知OA ⊥OB ，OM ⊥AB ，求点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线解法一 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x ,y ) (x ≠0) 直线AB 的方程为x =my +a由OM ⊥AB ，得m =－y x由y 2=4px 及x =my +a ，消去x ,得y 2－4p my －4pa =0所以y 1y 2=－4pa , x 1x 2=22122()(4)y y a p = 所以，由OA ⊥OB ，得x 1x 2 =－y 1y 2 所以244a pa a p =⇒= 故x =my +4p ,用m =－y x代入，得x 2+y 2－4px =0(x ≠0) 故动点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0(x ≠0)，它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点解法二 设OA 的方程为y kx =，代入y 2=4px 得222(,)p p A k k则OB 的方程为1y x k =-，代入y 2=4px 得2(2,2)B pk pk - ∴AB 的方程为2(2)1ky x p k =--，过定点(2,0)N p ，由OM ⊥AB ，得M 在以ON 为直径的圆上（O 点除外）故动点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0(x ≠0)，它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点解法三 设M (x ,y ) (x ≠0)，OA 的方程为y kx =，代入y 2=4px 得222(,)p p A k k 则OB 的方程为1y x k=-，代入y 2=4px 得2(2,2)B pk pk -由OM ⊥AB ，得M 既在以OA 为直径的圆 222220p p x y x y k k+--=……①上， 又在以OB 为直径的圆 222220x y pk x pky +-+=……②上（O 点除外）， ①2k ⨯+②得 x 2+y 2－4px =0(x ≠0)故动点M 的轨迹方程为x 2+y 2－4px =0(x ≠0)，它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点5、过点A （－1，0），斜率为k 的直线l 与抛物线C ：y 2=4x 交于P ，Q 两点.若曲线C 的焦点F 与P ，Q ，R 三点按如图顺序构成平行四边形PFQR ，求点R 的轨迹方程；解：要求点R 的轨迹方程，注意到点R 的运动是由直线l 的运动所引起的，因此可 以探求点R 的横、纵坐标与直线l 的斜率k 的关系．然而，点R 与直线l 并无直接联系．与l 有直接联系的是点P 、Q ，通过平行四边形将P 、Q 、R 这三点联系起来就成为解题的关键．由已知:(1)l y k x =+，代入抛物线C ：y 2=4x 的方程，消x 得：204k y y k -+=∵ C l P 直线交抛物线于两点、Q ∴ 20410k k ⎧≠⎪⎨⎪∆=->⎩解得1001k k -<<<<或设1122(,),(,),(,)P x y Q x y R x y ，M 是PQ 的中点，则由韦达定理可知：122,2M y y y k +==将其代入直线l 的方程，得2212M M x k y k⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∵ 四边形PFQR 是平行四边形， ∴ RF 中点也是PQ 中点M .∴242342M F Mx x x k y y k ⎧=-=-⎪⎪⎨⎪==⎪⎩又(1,0)(0,1)k ∈-⋃Q ∴ (1,)M x ∈+∞．∴ 点R 的轨迹方程为.1),3(42>+=x x y 6、垂直于y 轴的直线与y 轴及抛物线y 2=2(x –1)分别交于点A 和点P ，点B 在y 轴上且点A 分OB 的比为1:2，求线段PB 中点的轨迹方程解：点参数法 设A(0,t),B(0,3t),则P(t 2/2 +1, t),设Q(x,y),则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=t tt y t t x 223)2(4121222,消去t 得：y 2=16(x –21) 点评：本题采用点参数，即点的坐标作为参数在求轨迹方程时应分析动点运动的原因，找出影响动点的因素，据此恰当地选择参数7、过双曲线C ：x 2─y 2/3=1的左焦点F 作直线l 与双曲线交于点P 、Q ，以OP 、OQ 为邻边作平行四边形OPMQ ，求M 的轨迹方程解：k 参数法 当直线l 的斜率k 存在时，取k 为参数，建立点M 轨迹的参数方程设M(x,y),P(x 1,y 1), Q(x 2,y 2),PQ 的中点N(x 0,y 0), l: y=k(x+2), 代入双曲线方程化简得：(3─k 2)x 2─4k 2x─4k 2─3=0,依题意k≠3,∴3─k 2≠0,x 1+x 2=4k 2/(3─k 2),∴x=2x 0=x 1 +x 2=4k 2/(3─k 2), y=2y 0=2k(x 0+2)=12k/(3─k 2),∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=22231234k ky k k x , 消去k 并整理，得点M 的轨迹方程为：1124)2(22=-+y x 当k 不存在时，点M (─4,0)在上述方程的曲线上，故点M 的轨迹方程为：1124)2(22=-+y x 点评：本题用斜率作为参数，即k 参数法，k 是常用的参数设点P 、Q 的坐标，但没有求出P 、Q 的坐标，而是用韦达定理求x 1+x 2,y 1+y 2,从整体上去处理，是处理解析几何综合题的常见技巧8、（06辽宁,20）已知点11(,)A x y ,22(,)B x y 12(0)x x ≠是抛物线22(0)y px p =>上的两个动点,O 是坐标原点,向量OA u u u r ,OB uuu r 满足OA OB OA OB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r.设圆C 的方程为 221212()()0x y x x x y y y +-+-+=(I) 证明线段AB 是圆C 的直径;(II)当圆C 的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为255时，求p 的值。