1322命题与证明(二)
沪科8年级数学上册第13章2 命题与证明
作为进一步判断其他命题真假的依据，只不过基本事实
(公理) 是最原始的依据；而命题不一定是真命题，因而不
能直接用来作为判断其他命题真假的依据.
例 4 填写下列证明过程中推理的依据.
知4－练
如图13.2-1，已知AC，BD相交于点O，DF平分
∠CDO与AC相交于点F，BE平分
∠ABO与AC相交于点E，∠A＝∠C.
知识点 5 三角形内角和定理及推论1, 2
知5－讲
1. 定理 三角形的内角和等于180°. 几何语言：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°.
2. 三角形内角和定理的证明
知5－讲
证明方法 方法一
图示
证明过程
如图，过点A作l∥BC，则 ∠2＝∠B，∠3＝∠C. 因为 ∠1＋∠2＋∠3＝180°，所 以∠1＋∠B＋∠C＝180°.
知1－练
解：(1)(2)(3)(4)(5)(7)是命题，其中(2)(3)是真命题， (1)(4)(5)(7)是假命题.(6)不是命题.
知1－练
1-1. [期末·宿州桥区]下列命题是真命题的是( C ) A． 如果AB＝BC，那么点C是AB的中点 B． 三条线段的长分别为a，b，c，如果a＋b > c，那 么这三条线段一定能组成三角形 C． 三角形的内角和等于180° D． 如果| a |＝| b |，那么a＝b
续表： 证明方法
方法二
图示
知5－讲
证明过程 如图， 过点C作CD∥AB， 则∠1＝∠A，∠2＝∠B. 因 为∠1＋∠2＋∠ACB＝ 180°，所以∠A＋∠B＋ ∠ACB＝180°.
续表： 证明方法
方法三
图示
知5－讲
证明过程 如图，过点D作DE∥AB， DF∥AC，则∠1＝∠C， ∠2＝∠4，∠3＝∠B，∠A ＝∠4. 所以∠2＝∠A. 因为 ∠1＋∠2＋∠3＝180°，所 以∠A＋∠B＋∠C＝180°.
冀教版八年级上册数学 《命题与证明》PPT课件 (2)
教案下载：
PPT课件：
语文课件： 数学课件：
英语课件： 美术课件：
科学课件： 物理课件：
化学课件： 生物课件：
地理课件：
历史课件：
∵b∥ｃ（已知）
∴∠2=∠3（ 两直线平行，同位角相等）
∴∠1=∠3（ 等量代换 ） ∴ａ∥ｂ（同位角相等，两直线平行）
d
1a
2c
3
b
像上面用文字叙述的命题的证明，应该 按下列步骤进行： 第一步：根据题意画图，将文字语言转换为符号 第二步: 根据图形 写出已知求证 第三步: 根据基本事实、已有定理等进行证明
1.分式的定义 2.分式的基本性质
齐读两遍
例 证明：平行于同一条直线的两条直线平
已知：如图直线直线a，b，c，ａ∥ｃ ，
ｂ∥ｃ，
求证：ａ∥ｂ
证明：作直线d，分别与直线a，b，c相交
∵ａ∥ｃ（已知）
∴∠1=∠2（
两直线平行，同位角相等） PPT模板： PPT背景： PPT下载： 资料下载：
试卷下载：
PPT论坛：
PPT素材： PPT图表：
3分钟
把一个命题的（ 条件）和（结论 ）交换后构
成 一个新的命题，如果把原来的命题叫做原命题， 那 么这个新的命题叫做原命题的逆命题。这样的 两个命题叫做互逆命题 。
命题有真命题，也有假命题，要说明一
个命题是假命题，只要举出一个反例即 可，要说明一个命题是真命题，则要从
命题的条件出发，根据已经学过的基本 事实、定义、性质和定理等，进行有理 有据的推理，这个推理过程叫做证明
九年级上册数学教案 第2章 命题与证明 定理与证明2
定理与证明1.公理一些命题的正确性是人们在长期的实践中总结出来的，并作为判定其他命题真假的根据，这样的命题称为公理。
2.定理用推理的方法得到的真命题叫做定理。
作为真命题，定理也可作为继续推理的依据。
3.证明由题设出发，经过一步步的推理，最后得出结论的过程叫做证明。
除定义、公理外，一切真命题都要经过证明才能确定它的正确性。
4.证明的一般步骤(1)根据题意，画出图形；(2)根据题设、结论，结合图形，写出已知和求证；(3)经过分析，找出由已知条件推出求证的途径，写出证明过程。
证明的每一步都要有根据。
这些根据可以是已知条件，也可以是已学过的定义、公理和定理。
在一般情况下，分析的过程不要求写出来。
有些题目中，已经画出了图形，写好了已知、求证，这时只要写出“证明”一项就可以了。
初学证题的同学易犯的错误有以下几种，要注意避免。
(1)随意增加条件，凑合证明。
(2)就题证题，即简单重复条件和结论，等于没有证明。
如求证：对顶角相等。
把证明写成：∵∠1和∠2是对顶角(已知)，∴∠l＝∠2(对顶角相等)。
(3)用特殊代替一般，使证明无效。
如求证：同角的补角相等。
把互补关系画成邻补角的特殊情况，如图2—10—l，把证明∠3的两个补角∠1和∠2相等写成：∵∠1与∠2是对顶角，∴∠1＝∠2。
这种错误实质上是增加了两个补角是对顶角的条件，证明当然是无效的。
类似这样的错误还有：把已知角画成直角，把相交线画成垂线等等。
(4)随意创造“定理”，强词夺理。
(5)用没有学过的定理证题，易犯“用甲命题证明乙命题，又用乙命题证明甲命题”循环论证的错误。
湘教版八年级数学 2.2 命题与证明(学习、上课课件)
答案：C
感悟新知
2-1.下列语句中，属于命题的是( D ) A．作∠ ABC B．两直线相交有几个交点？ C．画线段 AB ＝ 3 cm D．相等的角是对顶角
知2－练
感悟新知
知2－练
例3 把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式 . (1)对顶角相等； (2)垂直于同一条直线的两条直线平行； (3)同角或等角的余角相等.
叫 作 ……”“……称为 ……”“…… 是 指 ……”“…… 是……”等； (4)定义必须是严密的，语句不能含糊不清、模棱两可 .
感悟新知
例1 下列语句不属于定义的是( )
知1－练
A. 连接两点的线段的长度叫作这两点间的距离
B. 只含有一个未知数，并且未知数的次数是 1 的方程 是一元一次方程
C. 两直线平行，内错角相等
知3－讲
1. 命题的种类： (1)真命题：正确的命题称为真命题 . (2)假命题：错误的命题称为假命题 .
2. 证明： 要判断一个命题是真命题，常常要从命题的条件出 发，通过讲道理(推理)，得出其结论成立，从而判断 这个 命题为真命题，这个过程叫证明 .
感悟新知
知3－讲
3. 举反例： 要判断一个命题是假命题，只需举出一个例子(反 例)，它符合命题的条 件，但不 满足命题的结论，从而就 可判断这个命题为假命题 . 我们通常把这种方法称为“举 反例” .
(2)两直线平行，同旁内角互补． 同旁内角互补，两直线平行．
知2－练
感悟新么它们的绝对值相等”的 逆命题是 _如__果__两__个__数__的__绝__对__值__相___等__，__那__么__这__两__个__数__相__等___ .
感悟新知
知识点 3 真命题和假命题
湘教版初中八年级数学上册2-2命题与证明第2课时命题的证明课件
2.(2024湖南长沙宁乡期末)如图,在△ABC中,E,G分别是AB, AC上的点,F,D是BC上的点,连接EF,AD,DG,已知AD∥EF, ∠1+∠2=180°. (1)求证:AB∥DG. (2)若DG是∠ADC的平分线,∠B=35°,求∠2的度数.
解析 (1)证明:∵AD∥EF,∴∠BAD+∠2=180°. ∵∠1+∠2=180°,∴∠BAD=∠1,∴AB∥DG. (2)∵DG是∠ADC的平分线,且AB∥DG, ∴∠1=∠GDC=∠B=35°,∴∠DAB=∠1=35°, ∵AD∥EF,∴∠2=180°-∠DAB=180°-35°=145°.
第2章 三角形
第2课时 命题的证明
9习题2.2 T6)如图,在四边形ABCD中,①AB∥ CD;②∠A=∠C;③AD∥BC. (1)请你以其中两个为条件,第三个为结论,写出一个命题.
(2)判断这个命题是不是真命题,并说明理由.
解析 (1)如果AB∥CD,∠A=∠C,那么AD∥BC.(答案不唯一) (2)这个命题是真命题. 理由:∵AB∥CD,∴∠B+∠C=180°, ∵∠A=∠C,∴∠B+∠A=180°,∴AD∥BC.
求证:EF平分∠BED. 证明:∵AC∥DE,
∴∠BCA=∠BED,即∠1+∠2=∠4+∠5, ∵DC∥EF,∴∠2=∠5, ∵CD平分∠BCA,∴∠1=∠2, ∴∠4=∠5,∴EF平分∠BED.
解析 先假设命题的结论不成立,再从这个假设出发,经过推 理论证,得出矛盾,由矛盾判定假设不正确,从而得到原命题 的结论正确,这种推理使用的证明方法是反证法.故选A.
8.(2022湖北武汉中考,18,★☆☆)如图,在四边形ABCD中,AD ∥BC,∠B=80°. (1)求∠BAD的度数. (2)AE平分∠BAD交BC于点E,∠BCD=50°,求证:AE∥DC.
13.2.2命题和证明2
推论1 直角三角形的两锐角互余 推论2 有两个角互余的三角形叫做直角三角形
3、如图，在直角 A
D
三角形ABC中，CD
是斜边AB的高，
求证： ∠1=∠B
1
C
B
你有哪些收获?
证明的步骤：第一步：读懂题意， Nhomakorabea清思路第二步：书写证明过程，要做到有 理有据
谢谢聆听
1.已知：如图，AB与CD相交于点O，
∠1=∠D，∠2=∠C。
求证：AD∥BC
D
O
B
1
2
A
C
2.已知：如图，DC//AB，DF平分 ∠CDB，BE平分∠ABD
求证：∠1=∠2
D
1
证明： ∵ DC//AB，（已知）
E
∴ ∠ ABD＝ ∠CDB，
2
（两直线平行，内错角相等） A
又∵ DF平∠CDB， （已知）
13.2命题与证明
第二课时 证明
请判断下列命题是真命题还是假命题， 如果是假命题，请举出一个反例。
（1）相等的两个角是对顶角； 假命题
（2）互为补角的两个角都是锐角； 假命题
（3）两直线平行，同位角相等； 真命题
（4）等角的余角相等。
真命题
假
命 题
要说明我是假 命题很简单， 只要举出一个反例
就可以了！
BE平分∠ABD， （已知） ∴ ∠１＝ 1 ∠ CDB，（角平分线的定义） ∴ ∠２＝ 12 ∠ABD ，（角平分线的定义） 2
∴ ∠ １＝ ∠ ２． （等式性质）
C F B
例4：已知:如图,
E
∠AOB+∠BOC=180°,OE
B
平分∠AOB,OF平分∠BOC, 求证:OE⊥OF
九年级数学上册 第2章 命题与证明 2.2 命题 名师教案 湘教版
2.2命题教学目标：1、知道命题的含义，能正确指出一个命题的题设和结论，同时会判断一个命题是真命题，还是假命题。
2、会用举反例的方法说明一个命题是假命题。
3、体会用逻辑推理证明一个命题是真命题的方法，培养数学思维的严谨性。
教学重点及难点教学重点：命题的含义，能正确指出一个命题的题设和结论教学难点：理解举反例的数学思想教程1．思考、分析下列语句的表述形式有什么特点？你能判断他们的真假吗？（1）若直线a∥b，则直线a与直线b没有公共点．（2）2+4=7．（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．（4）若x2=1,则x=1．（5）两个全等三角形的面积相等．（6）３能被２整除．2．练习、深化例1 判断下列语句是否为命题？是真命题还是假命题？（１）空集是任何集合的子集．（２）若整数a是素数，则是a奇数．（３）指数函数是增函数吗？（４）若平面上两条直线不相交，则这两条直线平行．（５）x＞１５．思考：以前，同学们学习了很多定理、推论，这些定理、推论是否是命题？一个定理或推论都是由条件和结论两部分构成，命题是否也是由条件和结论两部分构成呢？命题的构成――条件和结论定义：从构成来看，所有的命题都具由条件和结论两部分构成．在数学中，命题常写成“若p，则q”或者“如果p，那么q”这种形式，通常，我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件,q叫做命题结论．例2 指出下列命题中的条件p和结论q，并判断各命题的真假．（１）若整数a能被２整除，则a是偶数．（２）若四边行是菱形，则它的对角线互相垂直平分．（３）若a＞0，b＞0，则a+b＞0．（４）若a＞0，b＞0，则a+b＜0．（５）垂直于同一条直线的两个平面平行．命题的分类――真命题、假命题的定义．真命题：如果由命题的条件P通过推理一定可以得出命题的结论q，那么这样的命题叫做真命题．假命题：如果由命题的条件P通过推理不一定可以得出命题的结论q，那么这样的命题叫做假命题．怎样判断一个数学命题的真假？（１）数学中判定一个命题是真命题，要经过证明．（２）要判断一个命题是假命题，只需举一个反例即可．例３：把下列命题写成“若p，则q”的形式，并判断是真命题还是假命题：（１）面积相等的两个三角形全等。
九年级数学上册 第2章 命题与证明 第2章综合 名师教案 湘教版
第二章小结与复习【教学目标】1. 了解命题的概念，知道什么是命题，真命题、假命题、逆命题，能区分命题的题设和结论，会把一个命题写成“如果……，那么……”的形式。
2. 了解定义、公理、定理的概念以及公理与定理的区别，能举例将所学过的定理、公理进行说明，能较准确地表达学过的定义、定理等。
3. 了解证明的必要性、公理的方法，综合证明的格式，理解推理中要步步有据，会根据题意画出图形，写出已知、求证，并完成一个简单命题的证明。
4. 通过举反例判定一个命题是假命题，能掌握用反证法证明的思想方法。
二. 重点、难点：1. 教学重点：理解证明的必要性；了解定义、命题的概念并会判断真假命题，理解本节所给出的公理及相关定理。
2. 教学难点：对证明的逻辑推理过程要熟练掌握，并能较严密地写出证明过程。
3. 思想方法：经历探索、猜测、证明的过程，体会证明的必要性，发展学生初步的演绎推理能力；分析、解决问题时强调转化的思想、化难为易、转化的方式有代换转化，已知与未知的转化、特殊与一般的转化等。
三. 主要内容：（一）本章知识结构图（二）基本内容1. 理解推理证明的必要性2. 定义：对一个概念的特征本质的描述，称为它的定义。
3. 命题：（1）定义：判断一件事情的句子，叫做命题。
（2）结构：每个命题都由条件和结论两部分组成。
命题一般可以写作“如果……，那么……”或“若……，则……”的形式。
（3）分类：命题包括真命题和假命题两类。
4. 公理、定理、证明：人们在长期实践中总结出来的公认的真命题，称为公理。
通过推理论证、判断其为真命题，称为定理。
推理的过程叫做证明。
5. 命题与逆命题：两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题。
其中一个命题称为另一个命题的逆命题。
任何一个命题都有其逆命题，但一个真命题的逆命题不一定是真命题，所以，不是所有的定理都有其逆定理。
6. 证明的一般步骤：（1）弄清题意，能正确画出图形。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
c
已知： 如图:直线C与直线 a,b相交，且
3
1
a
∠1=∠2。
求证： a∥b
2
b
证明： ∵∠1=∠2 （ 已知 ）
∠1=∠3 （对顶角相等）
第三步：
∴∠2=∠3 (等量代换) 在“证明”中写出推理
∴a∥b （同位角相等， 过程，并且步步有依据。 两直线平行）
▲通过上述例子，请同学们归纳证明是怎样一个 过程，证明过程中，推理的依据有哪些？同伴之 间互相交流一下。
公理。
2、定理：经过推理论证为正确的命题叫定理。
3、判断一个命题是假命题，只要举出一个例 子，说明该命题不成立就可以了，这种方法
称为举反例；
而判断一个命题是真命题，可以从公理或定 理出发，用逻辑推理的方法证明（公理和定理都
是真命题）
作业布置:
1.课本第84页习题13.2 第5，6两题
2.基础训练同步练习 13.2（二、三）
13.2命题与证明（二）
张集中学 魏俊廷
假
命
要证明我是假命题很简单，只要举出一个反例就可以了！
题
真
证明我是真命题也很简单哪,只要举一个正确的例子就可以了！ 命
题
▲同学们,他们俩谁说得对?怎样才能确定一个命题是真命
题呢?
要确定一个命题是真命题，光靠举几个例子是不
够
的，要对它的正确性进行论证。在论证过程中， 必
须追本求源，最后，只能确定几个不需要再作论 证
的，其正确性是人们在长期实践中检验所得的真
▲有些命题，如：“对顶角相等”，“三角形三个 内角 的和等于180°”等，它们的正确性已经经过推理得 到证实，并被作为判断其他命题真假 的依据，这样 的▲跟真同命伴题交称流为，定回理顾我。们学过 的命题，哪些是定理？
如:平行线判定定理； 平行线性质定理；
三角形内角和定理；
同角(等角)的余角(或补角)相等
要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的 条件出发，根据已知的定义、基本事实、公理、 定理，并按照逻辑规则，一步一步推得结论成立， 这样方法称为演绎推理（或演绎法）。演绎推理 过程就是演绎证明，简称叫做证明。
同学们如何证明"内错角 相等，两直线平行"是真 命题。证明的步骤如何呢？
归纳结果：证明是由条件（已知） 出发，经过
一步一步的推理,论证，最后,推出结论（求证） 正确的过程。证明过程中,推理的依据可以是公 理，也可以是定理，定义，已知条件 能说出完整的几何命题证明 需要哪几个步骤吗？
（1）根据题意，画出图形。
（2）在“已知”中写出条件， 在“求证”中写出结论。
p78例3：
证明‘内错角相等，两直线平行’是真
命题
c
3
1
a
第一步：
2
b
根据题意，画出图形
证明命题‘内错角相等，两直线平行’
是真命题
c
如图:直线C与 已条知件：：直线a,b相交，
且∠1=∠2。
3
1
a
2
b
求结证论：：a∥b
第二步：
在“已知”中写出条 件，在“求证”中写 出结论.
证明命题‘内错角相等，两直线平行’ 是真命题
（3）在“证明”中写出推理 过程，并且步步有据。
p79例4：已知:如图,
E
∠AOB+∠BOC=180°,OE
B
平分∠AOB,OF平分∠BOC,
求证:OE⊥OF
A
F
12
O
C
练习巩固
课本P78,p80练习
学有所成
本节课你学到什么？
小结: 给一个真命题如何证明及证明的步骤
1、公理：人们长期以来在实践中总结出来的， 并作为判断其他命题真假的根据的命题，叫做