专题：电磁感应现象中有关电容器类问题及答案

专题：电磁感应现象中有关电容器类问题
1、电磁轨道炮利用电流和磁场的作用使炮弹获得超高速度，其原理可用来研制 新武器和航天运载器。电磁轨道炮示意如图，图中直流电源电动势为 E，电容器 的电容为 C。两根固定于水平面内的光滑平行金属导轨间距为 L，电阻不计。炮 弹可视为一质量为 m、电阻为 R 的金属棒 MN，垂直放在两导轨间处于静止状态， 并与导轨良好接触。首先开关 S 接 1，使电容器完全充电。然后将 S 接至 2，导 轨间存在垂直于导轨平面、 磁感应强度大小为 B 的匀强磁场 （图中未画出），MN 开始向右加速运动。 当 MN 上的感应电动势与电容器两极板间的电压相等时， 回 路中电流为零， MN 达到最大速度，之后离开导 轨。问： （ 1）磁场的方向； （ 2） MN 刚开始运动时加速度 a 的大小； （ 3） MN 离开导轨后的最大速度 vm 的大小。
由式及题设可知，金属棒做初速度为零的匀加速运动． t 时刻金属棒的速度大小
为 6、在光滑水平地面上，两根彼此平行的光滑导轨 PQ、MN 相距为 L=1m，在它 们的末端垂直 PQ、MN 跨放一金属杆 ab， ab 的质量为 m=0.005kg，在导轨的另 一端连接一个已经充电的电容器，电容器的电容 C=200F，有一匀强磁场，方向 垂直导轨 PQ、 MN 所在平面向下，如图所示，磁感强度为 B=．(除导轨 PQ、 MN 和金属杆 ab 外其余部分都是绝缘的 )当闭合电键 K 时， ab 杆将从导轨上冲出， 并沿光滑斜面升到高为 0.2m 处，这过程电容器两端电压减小了一半，求： (1)磁场对金属杆 ab 冲量的大小． (2)电容器原来充电电压是多少．
所以： u= q，电压与电量成正比，所以画出 u-q 的图线如图：
充电的过程中克服电场力做的功： W=qU 所以图线与横坐标围成的面积即为电容器储存的能量．有： E0＝ EQ 联立得： E0＝ CE2
（ 3）根据平抛运动的规律可得
由动量定理
，
It=q，
q= EC
联立解得 由能 量关系可知， 此过程中 R 上产 生的焦耳热：
4、如图所示，有一间距为 L 且与水平方向成 θ角的光滑平行轨道，轨道上端接 有电容器和定值电阻， S 为单刀双掷开关，空间存在垂直轨道平面向上的匀强 0 磁场，磁感应强度为 B。将单刀双掷开关接到 a 点，一根电阻不计、质量为 m 的 导体棒在轨道底端获得初速度 v0 后沿着轨道向上运动，到达最高点时，单刀双 掷开关接 b 点，经过一段时间导体棒又回到轨道底端， 已知定值电阻的阻值为 R， 电容器的电容为 C，重力加速度为 g，轨道足够长，轨道电阻不计，求： （ 1）导体棒上滑过程中加速度的大小； （ 2）若已知导体棒到达轨道底端的速度为 v，求导体棒 下滑过程中定值电阻产生的热量和导体棒运动的时间。
即
两边求和可得
，即
；
(3) 设 A 棒与 B 棒碰前的速度为 v0，碰撞过程动量守恒，则有：
mv0=mv+2mv，可得
A 棒在安培力作用下加速，则有：
即
两边求和得：
得
代入前面的数据可知，电容器所剩电量为
。
连接，另一端跨过定滑轮挂一质量为 m 的重物．现从静止释放重物并通过轻绳
水平拖动金属棒运动 （金属棒始终与导轨垂直并保持良求：
（ 1）若某时刻金属棒速度为 v，则电容器两端的电压
多大？
（ 2）求证：金属棒的运动是匀加速直线运动；
（ 3）当重物从静止开始下落一定高度时， 电容器带电
i.金属棒受
⑥
ΔQ 也是平行板电容器极板在时间间隔 (t ，t＋ Δt)内增加的电荷量．由④式得 ΔQ＝CBLΔv⑦ 式中， Δv 为金属棒的速度变化量．按定义有 ⑧ 金属棒所受到的摩擦力方向斜向上，大小为 Ff＝ μＦN⑨ 式中， FN 是金属棒对于导轨的正压力的大小，有 FN＝ mgcos θ⑩ 金属棒在时刻 t 的加速度方向沿斜面向下，设其大小为 a，根据牛顿第二定律有 mgsin θ－F－ Ff＝ma 联立⑤至式得
电路中的充电电流为：
I=
Q =CBLai
t
ab 棒所受的安培力为： F=BLI=CB2L2ai
由牛顿第二定律得： mg-F=mai，即 mg-CB2L2ai=mai，所以，ai= m
mg CB 2 L2
，可见，
棒的加速度与时间无关，是一个常量，即棒 ab 向下做匀加速直线运动 .所以要求
的速度为 v= 2ah
(1)当开关与 1 连接时，电容器电量是多少下极板带什么电 (2)金属棒 A 与 B 相碰后 A 棒的速度 v 是多少 (3)电容器所剩电量 Q′是多少
【解析】 (1)
将开关拨向 2 时 A 棒会弹出说明所受安培力向右，电流向上，故电容器下板带 正电； (2) A、B 棒相碰地方发生时没有构成回路，没有感应电流， A、B 棒均作匀速直 线运动直至 A 棒到达 OO′处， 设碰后 A 棒速度为 v ，由于 B 棒的位移是 A 棒 的两倍，故 B 棒速度是 2v。 A 棒过 OO′ 后在安培力作用下减速。 由动量定理可知：
解：（ 1）导体棒上滑的过程中，根据牛顿第二定律得：
又
，有：
联立解得： （ 2）导体棒上滑过程中，有 导体棒下滑的过程中，由动量定理得：
而
联立解得：
导体棒下滑的过程中，由能量守恒定律得：
解得： 5、如图，两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为 θ，间距为 L.导轨上端接 有一平行板电容器，电容为 C.导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为 B，方向 垂直于导轨平面．在导轨上放置一质量为 m 的金属棒，棒可沿导轨下滑，且在 下滑过程中保持与导轨垂直并良好接触． 已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为 μ，重力加速度大小为 g.忽略所有电阻．让金属棒从导轨上端由静止开始下滑， 求：
2、一对无限长平行导轨位于竖直平面内，轨道上串联一电容器 C（开始未充电） .另一根质量为 m 的金属棒 ab 可沿导轨下滑， 导轨宽度为 L，在讨论的空间范围内有磁感应强度为 B、方向垂 直整个导轨平面的匀强磁场，整个系统的电阻可以忽略， ab 棒 由静止开始下滑，求它下滑 h 高度时的速度 v.
7、如图所示，水平桌面上放置一 U 形金属导轨，两导轨平行，间距为 L，导轨 距水平地面高 h。导轨左端连接有一个电源、一个单刀双掷开关、一个电容器。 电源电动势为 E，内电阻为 r ，电容器电容为 C。一根质量为 m 不计电阻的裸导 线放在导轨上， 方向与导轨垂直， 导轨所在平面有一个方向向下的匀强磁场， 磁 感应强度为 B。先将单刀双掷开关拨到 a；待电路稳定后将单刀双掷开关拨到 b。 开关拨到 b 后，导线在安培力作用下向右运动离开导轨， 然后做平抛运动直至落 到水平地面上。
1 连接时，圆形线圈中磁场随时间均匀变化，变化率为
；稳定后将开关
拨向 2,金属棒 A 被弹出，与金属棒 B 相碰，并在 B 棒刚出磁场时 A 棒刚好运动 到 OO′处，最终 A 棒恰在 PP′处停住。已知两根金属棒的质量均为 0.02kg、接入 电路中的电阻均为 Ω金，属棒与金属导轨接触良好，其余电阻均不计，一切摩擦 不计。问：
2 mgh m CB 2L2 .
3、如图所示，处于匀强磁场中的两根足够长且电阻不计的平行金属导轨相距
L，
导轨平面与水平面重合， 左端用导线连接电容为 C 的电容器（能承受的电压足够
大）．已知匀强磁场的磁感应强度大小为 B、方向竖直向上．一质量为 m、电阻
不计的直金属棒垂直放在两导轨上， 一根绝缘的、 足够长的轻绳一端与棒的中点
点睛：本题是电磁感应与电路、 力学知识的综合， 解答的关键是由电路的串联关
系先求出电容器两端的电压，再根据动量定理及电量表达式求出导体棒最大速 度．同时要搞清能量转化关系 .
8、某同学设计了一个电磁击发装置，其结构如图所示。间距为 L=10cm 的平行 长直导轨置于水平桌面上，导轨中 NO 和 N′O段′用绝缘材料制成，其余部分均为 导电金属材料， 两种材料导轨平滑连接。 导轨左侧与匝数为 100 匝、半径为 5cm 的圆形线圈相连，线圈内存在垂直线圈平面的匀强磁场。电容为 1F 的电容器通 过单刀双掷开关与导轨相连。 在轨道间 MPP′M′矩形区域内存在垂直桌面向上的 匀强磁场，磁感强度为 2T。磁场右侧边界 PP′与 OO′间距离为 a =4cm。初始时金 属棒 A 处于 NN′左侧某处，金属棒 B 处于 OO'左侧距 OO'距离为 a 处。当开关与
试题分析：（ 1）根据通过 MN 电流的方向，结合左手定则得出磁场的方向． （2） 根据欧姆定律得出 MN 刚开始运动时的电流， 结合安培力公式， 根据牛顿第二定 律得出 MN 刚开始运动时加速度 a 的大小．（ 3）开关 S 接 2 后， MN 开始向右加 速运动，速度达到最大值时，根据电动势和电荷量的关系，以及动量定理求出 MN 离开导轨后最大速度 . 解：（1）电容器上端带正电，通过 MN 的电流方向向下，由于 MN 向右运动，根 据左手定则知，磁场方向垂直于导轨平面向下．
量为 Q，则这个高度 h 多大
解：（ 1）电容器两端的电压 U 等于导体棒上的电动势 E，有： U=E=BLv （ 2）金属棒速度从 v 增大到 v+△ v 的过程中，用时△ t （△ t→ 0），加速度为 a， 有： 电容器两端的电压为： U=BLv 电容器所带电量为：
式中各量都是恒量，加速度保持不变，故金属棒的运动是匀加速直线运动． （ 3）由于金属棒做匀加速直线运动，且电路中电流恒定
(1)电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关 系； (2)金属棒的速度大小随时间变化的关系．
解： (1)设金属棒下滑的速度大小为 v，则感应电动势为 E＝BLv① 平行板电容器两极板之间的电势差为 U＝E② 设此时电容器极板上积累的电荷量为 Q，按定义有
C＝QU③ 联立①②③式得 Q＝CBLv④ (2)设金属棒的速度大小为 v 时经历的时间为 t，通过金属棒的电流为 到的磁场的作用力方向沿导轨向上，大小为 F＝BLi⑤ 设在时间间隔 (t，t ＋Δt)内流经金属棒的电荷量为 ΔQ，按定义有