人教版九年级上学期《二次函数》培优卷
人教版九年级上册数学第二十二章 二次函数 培优测试卷(含答案)
人教版九上数学第二十二章二次函数培优测试卷考试时间：120分钟满分：120分一、选择题（本大题有12小题，每小题3分，共36分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1.已知二次函数，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（）A. 有最大值﹣1，有最小值﹣2B. 有最大值0，有最小值﹣1C. 有最大值7，有最小值﹣1D. 有最大值7，有最小值﹣22.已知m＞0，关于x的一元二次方程（x+1）（x﹣2）﹣m＝0的解为x1，x2（x1＜x2），则下列结论正确的是（）A. x1＜﹣1＜2＜x2B. ﹣1＜x1＜2＜x2C. ﹣1＜x1＜x2＜2D. x1＜﹣1＜x2＜23.如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1，则下列结论中，错误的是（）A. B. C. D.（第3题）（第10题）4.把一个足球垂直于水平地面向上踢，该足球距离地面的高度（米）与所经过的时间（秒）之间的关系为. 若存在两个不同的的值，使足球离地面的高度均为（米），则的取值范围（）A. B. C. D.5.在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y=（x+a）（x+b）的图象与x轴有M个交点，函数y=（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（）A. M=N-1或M=N+1B. M=N-1或M=N+2C. M=N或M=N+1D. M=N或M=N-16.已知点A(t，y1)，B(t+2，y2)在抛物线y= 的图象上，且-2<t<2，则线段AB长的最大值、最小值分别是( )A. ，2B. ，C. ，2D. ，7.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（O，m）（2，m）（m＞0），与x轴的一个交点为（x1，0），且﹣1＜x1＜0.则下列结论：①若点（）是函数图象上一点，则y＞0；②若点是函数图象上一点，则y＞0；③（a+c）2＜b2.其中正确的是（）A. ①B. ①②C. ①③D. ②③8.已知抛物线与y轴交于点A，与直线（k为任意实数）相交于B，C两点，则下列结论错误的是（）A. 存在实数k，使得为等腰三角形B. 存在实数k，使得的内角中有两角分别为30°和60°C. 任意实数k，使得都为直角三角形D. 存在实数k，使得为等边三角形9.四位同学在研究函数y1＝ax2＋ax－2a (a是非零常数)时，甲发现该函数图象总经过定点；乙发现若抛物线y1＝ax2＋ax－2a总不经过点P(x0－3，x02－16)，则符合条件的点P有且只有2个；丙发现若直线y2＝kx＋b与函数y1交于x轴上同一点，则b＝－k；丁发现若直线y3＝m (m≠0)与抛物线有两个交点(x1，y1)(x2，y2)，则x1＋x2＋1＝0.已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁10.二次函数的图象如图，下列四个结论：；；关于x的一元二次方程11.如图，抛物线y=-x2+2x+m+1交x轴于点A(a,0）和B(b,0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个判断：①当x>0时，y>0；②若a=-1，则b=3；③抛物线上有两点P(x1，y1）和Q（x2，y2），若x1<1<x2，且x1+x2>2，则y1>y2；④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G、F分别在x轴和y轴上，当m=2时，四边形EDGF周长的最小值为．其中，判断正确的序号是（）A. ①②B. ②③C. ①③D. ②③④12.已知如图，抛物线y=-x2-2x+3交x轴于A、B两点，顶点为C，CH⊥AB交x轴于H，在CH右侧的抛物线上有一点P，已知PQ⊥AC，垂足为Q，当∠ACH=∠CPQ时，此时CP的长为（）A. B. C. D.（第11题）（第12题）（第14题）（第15题）二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.13.某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为________元时，该服装店平均每天的销售利润最大．14.为了节省材料，某农场主利用围墙（围墙足够长）为一边，用总长为80m的篱笆围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，则能围成的矩形区域ABCD的面积最大值是________m2.15.已知函数，若使y＝k成立的x值恰好有三个，则k的值为________．16.如图，矩形中，，，点是矩形的边上的一动点，以为边，在的右侧构造正方形，连结，则的最小值为________．17.已知关于的方程 ( 为实数)两非负实数根，则的最小值是________.18.二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3，1，与y轴交于点C，下面四个结论：①16a﹣4b+c＜0；②若P（﹣5，y1），Q（，y2）是函数图象上的两点，则y1＞y2；③a=﹣c；④若△ABC是等腰三角形，则b=﹣．其中正确的有________（请将结论正确的序号全部填上）19.（8分）在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2-2mx+m2-m+2的顶点为D.线段AB的两个端点分别为A(-3,m),B(1,m).（1）求点D的坐标(用含m的代数式表示);（2）若该抛物线经过点B(1,m),求m的值;（3）若线段AB与该抛物线只有一个公共点,结合函数的图象,求m的取值范围.20.（10分）已知抛物线y＝x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点的坐标为A（﹣1，0），与y轴的交点坐标为C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式及与x轴的另一个交点B的坐标；（2）根据图象回答：当x取何值时，y＜0？（3）在抛物线的对称轴上有一动点P，求PA+PB的值最小时的点P的坐标．21.（8分）某百货商店服装柜在销售中发现，某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每件童装每降价1元，日销售量将增加2件．（1）若想要这种童装销售利润每天达到1200元，同时又能让顾客得到更多的实惠，每件童装应降价多少元？（2）当每件童装降价多少元时，这种童装一天的销售利润最多？最多利润是多少？22.（10分）为了“创建文明城市，建设美丽家园”，我市某社区将辖区内的一块面积为1000m2的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为x（m2），种草所需费用y1（元）与x （m2）的函数关系式为，其图象如图所示：栽花所需费用y2（元）与x（m2）的函数关系式为y2=﹣0.01x2﹣20x+30000（0≤x≤1000）．（1）请直接写出k1、k2和b的值；（2）设这块1000m2空地的绿化总费用为W（元），请利用W与x的函数关系式，求出绿化总费用W的最大值；（3）若种草部分的面积不少于700m2，栽花部分的面积不少于100m2，请求出绿化总费用W 的最小值．23.（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A（3，0）、B（0，-3），点P 是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式．（2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积．（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．24.（10分）已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（-3，0）、B（1，0），C为顶点，直线y=x+m经过点A，与y轴交于点D．（1）求b、c的值；（2）求∠DAO的度数和线段AD的长；（3）平移该抛物线得到一条新抛物线，设新抛物线的顶点为C′，若新抛物线经过点D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC′平行于直线AD，求新抛物线对应的函数表达式．25.（10分）如图，抛物线y＝ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝x﹣5经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A的直线交直线BC于点M．①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．（参考答案）一、选择题（本大题有12小题，每小题3分，共36分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1. D2. A3. C4. C5. C6. C7. C8. D9. C 10. D 11. B 12. D二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.13.2214. 30015. 316.17. -1518. ①③三、解答题（本大题有7小题，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.19.解：（1）∵y=x2-2mx+m2-m+2=(x-m)2-m+2,∴D点的坐标为(m,-m+2).（2）∵抛物线经过点B(1,m),∴m=1-2m+m2-m+2,解得m=3或m=1.（3）根据题意,∵A点的坐标为(-3,m),B点的坐标为(1,m),∴线段AB为y=m(-3≤x≤1),与y=x2-2mx+m2-m+2联立得x2-2mx+m2-2m+2=0,令y'=x2-2mx+m2-2m+2,若抛物线y=x2-2mx+m2-m+2与线段AB只有1个公共点,即函数y'在-3≤x≤1范围内只有一个零点,当x=-3时,y'=m2+4m+11<0,∵Δ>0,∴此种情况不存在,当x=1时,y'=m2-4m+3≤0,解得1≤m≤3.20. （1）解：由二次函数y＝x2+bx+c的图象经过（﹣1，0）和（0，﹣3）两点，得，解得．则抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；∵抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1），则该抛物线与x轴的交点坐标是：A（﹣1，0），B（3，0）；（2）根据图象知，当﹣1＜x＜3时，y＜0；（3）∵A（﹣1，0），B（3，0），∴对称轴是直线x＝1．当A、B、P三点共线时，PA+PB的值最小，此时点P是对称轴与x轴的交点，即P（1，0）．21. （1）解：设要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价x元，（40﹣x）（20+2x）＝1200，解得，x1＝10，x2＝20∵当x＝20时，卖出的多，库存比x＝10时少，∴要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价20元；y＝（40﹣x）（20+2x）＝﹣2（x﹣15）2+1250，∴当x＝15时，y取得最大值，此时y＝1250，即每件童装降价15元时，每天销售这种童装的利润最高，最高利润是1250元．22. （1）解：将x=600、y=18000代入y1=k1x，得：18000=600k1，解得：k1=30；将x=600、y=18000和x=1000、y=26000代入y2=k2x+b，得：，解得：（2）解：当0≤x＜600时，W=30x+（﹣0.01x2﹣20x+30000）=﹣0.01x2+10x+30000，∵﹣0.01＜0，W=﹣0.01（x﹣500）2+32500，∴当x=500时，W取得最大值为32500元；当600≤x≤1000时，W=20x+6000+（﹣0.01x2﹣20x+30000）=﹣0.01x2+36000，∵﹣0.01＜0，∴当600≤x≤1000时，W随x的增大而减小，∴当x=600时，W取最大值为32400，∵32400＜32500，∴W取最大值为32500元（3）解：由题意得：1000﹣x≥100，解得：x≤900，由x≥700，则700≤x≤900，∵当700≤x≤900时，W随x的增大而减小，∴当x=900时，W取得最小值。
人教版九年级上册第22章《二次函数》压轴培优训练
人教版九年级上册第22章《二次函数》压轴培优训练一．选择题1．已知函数y＝﹣（x﹣m）（x﹣n）+3，并且a，b是方程（x﹣m）（x﹣n）＝3的两个根，则实数m，n，a，b的大小关系可能是（）A．m＜a＜b＜n B．m＜a＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．a＜m＜n＜b 2．根据下表，确定方程ax2+bx+c＝0的一个解的取值范围是（）x2 2.23 2.24 2.25ax2+bx+c﹣0.05﹣0.020.030.07A．2＜x＜2.23B．2.23＜x＜2.24C．2.24＜x＜2.25D．2.24＜x≤2.253．如图，点E、F、G、H分别是正方形ABCD边AB、BC、CD、DA上的点，且AE＝BF ＝CG＝DH．设A、E两点间的距离为x，四边形EFGH的面积为y，则y与x的函数图象可能为（）A．B．C．D．4．关于二次函数y＝2x2﹣mx+m﹣2，以下结论：①抛物线交x轴有交点；②不论m取何值，抛物线总经过点（1，0）；③若m＞6，抛物线交x轴于A、B两点，则AB＞1；④抛物线的顶点在y＝﹣2（x﹣1）2图象上．其中正确的序号是（）A．①②③④B．①②③C．①②④D．②③④5．如图：二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若AC⊥BC，则a的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣1D．﹣26．某种电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都近似抛物线y＝x2的形状．今在一个坡度为1：5的斜坡上，沿水平距离间隔50米架设两固定电缆的位置离地面高度为20米的塔柱（如图），这种情况下在竖直方向上，下垂的电缆与地面的最近距离为（）A．12.75米B．13.75米C．14.75米D．17.75米7．如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x 轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b＝0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①③⑤D．②④⑤8．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．①抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点；②若点M（﹣2，y1）、点N（，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3；③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+m；④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为．其中正确判断有（）A．①②③④B．②③④C．①③④D．①③二．填空题9．如果函数y＝b的图象与函数y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3的图象恰有三个交点，则b的可能值是．10．已知关于x的函数y＝（m﹣1）x2+2x+m图象与坐标轴只有2个交点，则m＝．11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+3与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y＝于点B、C，则BC的长为．12．如图是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A、B两点，拱桥最高点C到AB的距离为9m，AB＝36m，D、E为拱桥底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7m，则DE的长为m．13．二次函数的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，A2011在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，B2011在二次函数位于第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2010B2011A2011都为等边三角形，则△A2010B2011A2011的边长＝．14．如图，在一个与地面垂直的截面中建立直角坐标系（横坐标表示地面位移，纵坐标表示高度），一架无人机的飞行路线为y＝ax2+bx+c（a≠0），在直角坐标系中x轴上的线段AB上的某点起飞，途经空中线段EF上的某点，最后在线段CD上的某点降落，其中A （﹣2，0）、B（﹣1，0）、C（3，0）、D（4，0）、E（0，3）、F（0，2），则下列结论正确的有（填序号）（1）abc＜0；（2）从起飞到当x≤1时无人机一直是上升的；（3）2≤a+b+c≤4.5；（4）最大飞行高度不超过4．三．解答题15．抛物线C1：y＝﹣x2﹣x+2交x轴于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．（1）求A，B两点的坐标．（2）M为平面内一点，将抛物线C1绕点M旋转180°后得到抛物线C2，C2经过点A 且抛物线C2上有一点P，使△BCP是以∠B为直角的等腰直角三角形．是否存在这样的点M？若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由．16．已知，抛物线y＝ax2﹣2amx+am2+2m﹣5与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2）两点，顶点为P．（1）当a＝1，m＝2时，求线段AB的长度；（2）当a＝2，若点P到x轴的距离与点P到y轴的距离相等，求该抛物线的解析式；（3）若，当2m﹣5≤x≤2m﹣2时，y的最大值为2，求m的值．17．如图1，我们将经过抛物线顶点的所有非竖直的直线，叫做该抛物线的“风车线”，若抛物线的顶点为P（a，b），则它的所有“风车线”可以统一表示为：y＝k（x﹣a）+b，即当x＝a时，y始终等于b．（1）若抛物线y＝﹣2（x+1）2+3与y轴交于点A，求该抛物线经过点A的“风车线”的解析式；（2）若抛物线可以通过y＝﹣x2平移得到，且它的“风车线”可以统一表示为y＝kx+3k ﹣2，求该抛物线的解析式；（3）如图2，直线m：y＝x+3与直线n：y＝﹣2x+9交于点A，抛物线y＝﹣2（x﹣2）2+1的“风车线”与直线m、n分别交于B、C两点，若△ABC的面积为12，求满足条件的“风车线”的解析式．18．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式及顶点坐标；（2）若P是线段OB上一动点，过P作y轴的平行线交抛物线于点H，交BC于点N，设OP＝t时，△BCH的面积为S．求S关于t的函数关系式；若S有最大值，请求出S 的最大值，若没有，请说明理由．（3）若P是x轴上一个动点，过P作射线PQ∥AC交抛物线于点Q，随着P点的运动，在抛物线上是否存在这样的点P，使以A，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．19．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c经过A，B两点，BC⊥x轴于点C，且点A（﹣1，0），C（4，0），AC＝BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点E是线段AB上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标及S△ABF；（3）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使△ABP成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．20．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如图，直线y＝与抛物线交于A，D两点，与直线BC交于点E．若M（m，0）是线段AB上的动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点F，交直线AD于点G，交直线BC于点H．①当点F在直线AD上方的抛物线上，且S△EFG＝S△OEG时，求m的值；②在平面内是否在点P，使四边形EFHP为正方形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一．选择题1．解：函数y＝﹣（x﹣m）（x﹣n）+3，令y＝0，根据题意得到方程（x﹣m）（x﹣n）＝3的两个根为a，b，∵当x＝m或n时，y＝3＞0，∴实数m，n，a，b的大小关系为a＜m＜n＜b．故选：D．2．解：∵对于函数y＝ax2+bx+c，当x＝2.23时y＜0，当x＝2.24时y＞0，可见，x取2.23与2.24之间的某一值时，y＝0，则方程ax2+bx+c＝0的一个解的取值范围是2.23＜x＜2.24．故选：B．3．解：设正方形的边长为m，则m＞0，∵AE＝x，∴DH＝x，∴AH＝m﹣x，∵EH2＝AE2+AH2，∴y＝x2+（m﹣x）2，y＝x2+x2﹣2mx+m2，y＝2x2﹣2mx+m2，＝2[（x﹣m）2+]，＝2（x﹣m）2+m2，∴y与x的函数图象是A．故选：A．4．解：二次函数y＝2x2﹣mx+m﹣2，∵a＝2，b＝﹣m，c＝m﹣2，∴b2﹣4ac＝（﹣m）2﹣8（m﹣2）＝（m﹣4）2≥0，则抛物线与x轴有交点，故①正确；∵当x＝1时，y＝2﹣m+m﹣2＝0，∴不论m取何值，抛物线总经过点（1，0），故②正确；设A的坐标为（x1，0），B（x2，0），令y＝0，得到2x2﹣mx+m﹣2＝0，∴x1+x2＝，x1x2＝，∴AB＝|x1﹣x2|＝＝＝||，当m＞6时，可得m﹣4＞2，即＞1，∴AB＞1，故③正确；∵抛物线的顶点坐标为（，），∴将x＝代入得：y＝﹣2（﹣1）2＝﹣2（﹣+1）＝，∴抛物线的顶点坐标在y＝﹣2（x﹣1）2图象上，故④正确，综上，正确的序号有①②③④．故选：A．5．解：设A（x1，0）（x1＜0），B（x2，0）（x2＞0），C（0，t），∵二次函数y＝ax2+bx+2的图象过点C（0，t），∴t＝2；∵AC⊥BC，∴OC2＝OA•OB，即4＝|x1x2|＝﹣x1x2，根据韦达定理知x1x2＝，∴a＝﹣．故选：A．6．解：如图，以点D为原点，DC方向为x轴建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y＝x2+bx+c，易知：A（0，20），B（50，30），代入解析式可求得：b＝﹣，c＝20，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x+20，∵斜坡的坡度为1：5，∴斜坡所在直线的解析式为：y＝x，设一条与x轴垂直的直线x＝m与抛物线交于M，与斜坡交于G，则MG＝m2﹣m+20﹣m＝（m﹣25）2+13.75，∴当m＝25时，MG的最小值为13.75，即下垂的电缆与地面的最近距离为13.75m；故选：B．7．解：∵抛物线的顶点坐标A（1，3），∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴2a+b＝0，所以①正确；∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴b＝﹣2a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以②错误；∵抛物线的顶点坐标A（1，3），∴x＝1时，二次函数有最大值，∴方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根，所以③正确；∵抛物线与x轴的一个交点为（4，0）而抛物线的对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣2，0），所以④错误；∵抛物线y1＝ax2+bx+c与直线y2＝mx+n（m≠0）交于A（1，3），B点（4，0）∴当1＜x＜4时，y2＜y1，所以⑤正确．故选：C．8．解：①把y＝m+2代入y＝﹣x2+2x+m+1中，得x2﹣2x+1＝0，∵△＝4﹣4＝0，∴此方程两个相等的实数根，则抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点，故①结论正确；②∵抛物线的对称轴为x＝1，∴点P（2，y3）关于x＝1的对称点为P′（0，y3），∵a＝﹣1＜0，∴当x＜1时，y随x增大而增大，又∵﹣2＜0＜，点M（﹣2，y1）、点N（，y2）、点P′（0，y3）在该函数图象上，∴y2＞y3＞y1，故②结论错误；③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，抛物线的解析式为：y＝﹣（x+2）2+2（x+2）x+m+1﹣2，即y＝﹣（x+1）2+m，故③结论正确；④当m＝1时，抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+2，∴A（0，2），C（2，2），B（1，3），作点B关于y轴的对称点B′（﹣1，3），作C点关于x轴的对称点C′（2，﹣2），连接B′C′，与x轴、y轴分别交于D、E点，如图，则BE+ED+CD+BC＝B′E+ED+C′D+BC＝B′C′+BC，根据两点之间线段最短，知B′C′最短，而BC的长度一定，∴此时，四边形BCDE周长＝B′C′+BC最小，为：+＝+＝，故④结论正确；综上所述，正确的结论是①③④．故选：C．二．填空题9．解：当x≥1时，函数y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3＝x2﹣7x，图象的一个端点为（1，﹣6），顶点坐标为（，﹣），当x＜1时，函数y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3＝x2﹣x﹣6，顶点坐标为（，﹣），∴当b＝﹣6或b＝﹣时，两图象恰有三个交点．故本题答案为：﹣6，﹣．10．解：（1）当m﹣1＝0时，m＝1，函数为一次函数，解析式为y＝2x+1，与x轴交点坐标为（﹣，0）；与y轴交点坐标（0，1）．符合题意．（2）当m﹣1≠0时，m≠1，函数为二次函数，与坐标轴有两个交点，则过原点，且与x 轴有两个不同的交点，于是△＝4﹣4（m﹣1）m＞0，解得，（m﹣）2＜，解得m＜或m＞．将（0，0）代入解析式得，m＝0，符合题意．（3）函数为二次函数时，还有一种情况是：与x轴只有一个交点，与y轴交于交于另一点，这时：△＝4﹣4（m﹣1）m＝0，解得：m＝．故答案为：1或0或．11．解：∵抛物线y＝ax2+3与y轴交于点A，∴A点坐标为（0，3）．当y＝3时，＝3，解得x＝±3，∴B点坐标为（﹣3，3），C点坐标为（3，3），∴BC＝3﹣（﹣3）＝6．故答案为6．12．解：如图所示，建立平面直角坐标系，x轴在直线DE上，y轴经过最高点C．设AB与y轴交于点H，∵AB＝36，∴AH＝BH＝18，由题可知：OH＝7，CH＝9，∴OC＝9+7＝16，设该抛物线的解析式为：y＝ax2+k，∵顶点C（0，16），∴抛物线y＝ax2+16，代入点（18，7）∴7＝18×18a+16，∴7＝324a+16，∴324a＝﹣9，∴a＝﹣，∴抛物线：y＝﹣x2+16，当y＝0时，0＝﹣x2+16，∴﹣x2＝﹣16，∴x2＝16×36＝576∴x＝±24，∴E（24，0），D（﹣24，0），∴OE＝OD＝24，∴DE＝OD+OE＝24+24＝48，故答案为：48．13．解：分别过B1，B2，B3作y轴的垂线，垂足分别为A、B、C，设A0A1＝a，A1A2＝b，A2A3＝c，则AB1＝a，BB2＝b，CB3＝c，在正△A0B1A1中，B1（a，），代入y＝x2中，得＝•（a）2，解得a＝1，即A0A1＝1，在正△A1B2A2中，B2（b，1+），代入y＝x2中，得1+＝•（b）2，解得b＝2，即A1A2＝2，在正△A2B3A3中，B3（c，3+），代入y＝x2中，得3+＝•（c）2，解得c＝3，即A2A3＝3，由此可得△A2010B2011A2011的边长＝2011．故答案为：2011．14．解：∵线段AB上的某点起飞，途经空中线段EF上的某点，最后在线段CD上的某点降落，且由所给点的坐标可知，对称轴位于y轴右侧，抛物线开口向下∴a＜0，b＞0（a，b符号左同右异），c＞0（抛物线与y轴交于线段EF上某点）∴abc＜0∴（1）正确；当起飞点位于点A，而降落点位于点C时，对称轴为x＝＝＜1∴（2）不正确；当抛物线过点B，点E，点C时，设y＝a（x+1）（x﹣3），将E（0，3）代入得：3＝a（0+1）（0﹣3），∴a＝﹣1∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）当x＝1时，y＝﹣2×（﹣2）＝4；当抛物线过点B，点E，点D时，设y＝a（x+1）（x﹣4），将E（0，3）代入得：3＝a（0+1）（0﹣4），解得a＝﹣，∴y＝﹣（x+1）（x﹣4），当x＝＝时，y＝＞4，故（4）不正确，当抛物线过点A，点F，点D时，设y＝a（x+2）（x﹣4），将F（0，2）代入得：2＝a（0+2）（0﹣4），解得a＝﹣，∴y＝﹣（x+2）（x﹣4），当x＝1时，y＝a+b+c＝＞2，当抛物线过点A，点F，点C时，设y＝a（x+2）（x﹣3），将F（0，2）代入得：2＝a（0+2）（0﹣3），解得a＝﹣，∴y＝﹣（x+2）（x﹣3），当x＝1时，y＝a+b+c＝2，将x＝1代入y＝﹣（x+1）（x﹣4）得y＝a+b+c＝4.5，故（3）正确．综上，（1）（3）正确．故答案为：（1）（3）．三．解答题15．解：（1）当y＝0时，﹣x2﹣x+2＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝2，∵点A在点B的右侧，∴A（2，0），B（﹣4，0）；（2）分两种情况：①当P在x轴的下方时，如图1，过P作PD⊥x轴于D，设抛物线C1的顶点为E，则E（﹣1，），∵△PBC是等腰直角三角形，∴BC＝PB，∠PBC＝90°，∴∠CBO+∠OCB＝∠OBC+∠PBD＝90°，∴∠OCB＝∠PBD，∵∠BOC＝∠PDB＝90°，∴△BOC≌△PDB（AAS），∴PD＝OB＝4，BD＝OC＝2，∴OD＝4﹣2＝2，∴P（﹣2，﹣4），∵抛物线C1绕点M旋转180°后得到抛物线C2，∴设抛物线C2的解析式为：y＝，把P（﹣2，﹣4）和A（2，0）代入得：，解得：，∴抛物线C2的解析式为：y＝＝，此时点P为抛物线C2的顶点，∴M是线段EP的中点，∴M（﹣，﹣）；②当点P在x轴的上方时，如图2，过P作PD⊥x轴于D，同理得△PDB≌△BOC，∴PD＝OB＝4，BD＝OC＝2，∴P（﹣6，4），∵抛物线C2经过点P和点A，同理可得抛物线的解析式为：y＝＝，∴顶点F（﹣1，﹣），∵抛物线C1绕点M旋转180°后得到抛物线C2，∴M是线段EF的中点，∴M（﹣1，0）；综上，点M的坐标为：（﹣，﹣）或（﹣1，0）．16．解：（1）当a＝1，m＝2时，y＝x2﹣4x+3，当y＝0时，x2﹣4x+3＝0，解得：x1＝1，x2＝3，∴AB＝3﹣1＝2；（2）当a＝2时，y＝2x2﹣4mx+2m2+2m﹣5＝2（x﹣m）2+2m﹣5，∵顶点为P，∴P（m，2m﹣5），∴点P在直线y＝2x﹣5上，∵点P到x轴的距离与点P到y轴的距离相等，∴当点P在第一象限时，m＝2m﹣5，m＝5，该抛物线的解析式为y＝2（x﹣5）2+5，当解析式为y＝2（x﹣5）2+5时，该抛物线与x轴无交点与题意有两个交点矛盾，故这种情况舍去，当点P在第四象限时，m＝﹣（2m﹣5），m＝，该抛物线的解析式为；（3）当a＝时，抛物线的解析式为y＝（x﹣m）2+2m﹣5，分三种情况考虑：①当m＞2m﹣2，即m＜2时，有（2m﹣2﹣m）2+2m﹣5＝2，整理，得：m2﹣14m+39＝0，解得：m1＝7﹣（舍去），m2＝7+（舍去）；②当2m﹣5≤m≤2m﹣2，即2≤m≤5时，有2m﹣5＝2，解得：m＝；③当m＜2m﹣5，即m＞5时，有（2m﹣5﹣m）2+2m﹣5＝2，整理，得：m2﹣20m+60＝0，解得：m3＝10﹣2（舍去），m4＝10+2．综上所述：m的值为或10+2．17．解：（1）对于y＝﹣2（x+1）2+3，令x＝0，则y＝1，故点A（0，1），顶点P的坐标为（﹣1，3），则“风车线”的表达式为y＝k（x+1）+3，将点A的坐标代入上式并解得：k＝﹣2，故“风车线”的解析式为y＝﹣2（x+1）+3＝﹣2x+1；（2）y＝kx+3k﹣2＝k（x+3）﹣2，故点P的坐标为（﹣3，﹣2），故平移后的抛物线表达式为y＝﹣（x+3）2﹣2；（3）∵抛物线的表达式为y＝﹣2（x﹣2）2+1，则点P（2，1），则“风车线”的表达式为y＝k（x﹣2）+1，联立，解得，故点A（2，5），故AP＝5﹣1＝4，则△ABC的面积＝S△APB+S△APC＝×4×（x C﹣x B）＝12，解得：x C﹣x B＝6，设点B的横坐标为t，则点C的横坐标为t+6，点B在直线m上，则点B（t，t+3），同理点C（t+6，﹣2t﹣3），将点B、C的坐标分别代入y＝k（x﹣2）+1，得，解得，故“风车线”的表达式为y＝k（x﹣2）+1＝﹣（x﹣2）+1＝﹣x+3．18．解：（1）把点A（﹣1，0），点C（0，﹣3）代入抛物线的解析式为y＝x2+bx+c中得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴顶点的坐标为（1，﹣4）；（2）如图1，设直线BC的解析式为y＝kx+d（k≠0），当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣1，∴B（3，0），将B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝kx+d中，得：，解得：，∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，∵OP＝t，设点P的坐标为（t，0），则点N的坐标为（t，t﹣3），H（t，t2﹣2t﹣3），∴NH＝t﹣3﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣t2+3t，∴S＝S△BCH＝NH•OB＝＝﹣t＝﹣，∵0≤t≤3，﹣，∴当t＝时，S取最大值，最大值为；（3）分两种情况：①当Q在x轴的上方时，如图2和图4，四边形ACPQ是平行四边形，根据A（﹣1，0）和C（0，﹣3）可知：点Q的纵坐标为3，当y＝3时，x2﹣2x﹣3＝3，解得：x1＝1+，x2＝1﹣，∴P（2+，0）或（2﹣，0）；②当Q在x轴的上方时，如图3，四边形ACQP是平行四边形，当y＝﹣3时，由对称得：Q（2，﹣3），∴P（1，0）；综上，P点的坐标为（2+，0）或（2﹣，0）或（1，0）．19．解：（1）∵点A（﹣1，0），C（4，0），∴AC＝5，OC＝4，∵AC＝BC＝5，∴B（4，5），把A（﹣1，0）和B（4，5）代入二次函数y＝x2+bx+c中得：，解得：，∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）如图1，∵直线AB经过点A（﹣1，0），B（4，5），设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AB的解析式为：y＝x+1，∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3，∴设点E（t，t+1），则F（t，t2﹣2t﹣3），∴EF＝（t+1）﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣（t﹣）2+，∴当t＝时，EF的最大值为，∴点E的坐标为（，），∴S△ABF＝＝＝．（3）存在，y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴设P（1，m），分三种情况：①以点B为直角顶点时，由勾股定理得：PB2+AB2＝P A2，∴（4﹣1）2+（m﹣5）2+（4+1）2+52＝（1+1）2+m2，解得：m＝8，∴P（1，8）；②以点A为直角顶点时，由勾股定理得：P A2+AB2＝PB2，∴（1+1）2+m2+（4+1）2+52＝（4﹣1）2+（m﹣5）2，解得：m＝﹣2，∴P（1，﹣2）；③以点P为直角顶点时，由勾股定理得：PB2+P A2＝BA2，∴（1+1）2+m2+（4﹣1）2+（m﹣5）2＝（4+1）2+52，解得：m＝6或﹣1，∴P（1，6）或（1，﹣1）；综上，点P的坐标为（1，8）或（1，﹣2）或（1，6）或（1，﹣1）．20．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，∴y＝﹣（x+3）（x﹣4）＝﹣；（2）①如图1，∵B（4，0），C（0，4），∴设BC的解析式为：y＝kx+b，则，解得，∴BC的解析式为：y＝﹣x+4，∴﹣x+4＝，解得：x＝1，∴E（1，3），∵M（m，0），且MH⊥x轴，∴G（m，），F（m，﹣），∵S△EFG＝S△OEG，∴，[（﹣）﹣（）]（1﹣m）＝，解得：m1＝，m2＝﹣2；②存在，由①知：E（1，3），∵四边形EFHP是正方形，∴FH＝EF，∠EFH＝∠FHP＝∠HPE＝90°，∵M（m，0），且MH⊥x轴，∴H（m，﹣m+4），F（m，﹣），分两种情况：i）当﹣3≤m＜1时，如图2，点F在EP的左侧，∴FH＝（﹣m+4）﹣（﹣）＝，∵EF＝FH，∴，解得：m1＝（舍），m2＝，∴H（，），∴P（1，），ii）当1＜m＜4时，点F在PE的右边，如图3，同理得﹣＝m﹣1，解得：m1＝，m2＝（舍），同理得P（1，）；综上，点P的坐标为：或．。
人教版九年级上册22章：二次函数 单元培优测试(有答案)
人教版九年级上册23章：二次函数单元培优测试一、单选题（40分）1．在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线23y x =-先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后所得到的抛物线的表达式为（ ）A ．()2334y x =-+-B ．()2334y x =--C ．()2334y x =++D ．()2334y x =--+2．下列函数的图象，不经过原点的是（ ）A ．32x y =B ．y ＝2x 2C ．y ＝（x ﹣1）2﹣1D ．3y x= 3．将二次函数y =(x ﹣1)2+2的图象向上平移3个单位长度，得到的拋物线相应的函数表达式为( ) A ．y =(x +2)2﹣2B ．y =(x ﹣4)2+2C ．y =(x ﹣1)2﹣1 D ．y =(x ﹣1)2+54．抛物线2y ax bx c =++的部分图象如图所示，当0y <时，x 的取值范围是（ ）A ．x ＞2 或x ＜－3B ．－3＜x ＜2C ．x ＞2或x ＜－4D ．－4＜x ＜25．三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（ ）A ．43米B ．52米C ．213米D ．7米6．在同一直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++与一次函数y ax c =+的大致图象可能（ ）A ．B ．C ．D ．2x… 0 1 2 4 … y … m k m n … 8．如图，四边形ABCD 是菱形，2,60AB ABC =∠=︒，点P 从D 点出发，沿DA AB BC →→运动，过点P 作直线CD 的垂线，垂足为Q ，设点P 运动的路程为x ，DPQ ∆的面积为y ，则下列图象能正确反映y 与x 之间的函数关系的是( )．A ．B ．C ．D ．9．将函数22(04)y x x m x =-++≤≤在x 轴下方的图像沿x 轴向上翻折，在x 轴上方的图像保持不变，得到一个新图像．若使得新图像对应的函数最大值与最小值之差最小，则m 的值为（ ）A ．2.5B ．3C ．3.5D ．410．如图是抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)图象的一部分，抛物线的顶点坐标A(1，3)，与x 轴的一个交点B(4，0)，直线y 2＝mx ＋n(m≠0)与抛物线交于A ，B 两点，下列结论：①2a ＋b ＝0；②abc>0；③方程ax 2＋bx ＋c ＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x 轴的另一个交点是(－1，0)；⑤当1<x<4时，有y 2<y 1，其中正确的是（ ）A ．①④⑤B ．①③④⑤C ．①③⑤D ．①②③二、填空题（24分）11．二次函数223y x x =--+的图像的顶点坐标是_________．12．二次函数y ＝3x 2－6x －3图象的对称轴是_________.13．把一个小球以20米/秒的速度竖直向上弹出，它在空中的高度h （米）与时间t （秒），满足关系：h=20t-5t 2，当小球达到最高点时，小球的运动时间为第_________秒时．14．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的边长为2，∠AOC ＝60°，点D 为AB 边上的一点，经过O ，A ，D 三点的抛物线与x 轴的正半轴交于点E ，连结AE 交BC 于点F ，当DF ⊥AB 时，CE 的长为__．15．如图抛物线223y x x =+-与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点P 是抛物线对称轴上任意一点，若点D 、E 、F 分别是BC 、BP 、PC 的中点，连接DE ，DF ，则DE DF +的最小值为_____．16．若函数图象上存在点(),Q m n ，满足1n m =+，则称点Q 为函数图象上的奇异点．如：直线23y x =-上存在唯一的奇异点()4,5Q ．若y 关于x 的二次函数211(1)22y x a h x b h =+-+++的图象上存在唯一的奇异点，且当32a -≤≤时，b 的最小值为2-，则h 的值为__________．三、解答题（86分）（8分）17．已知二次函数23y x bx =+- （b 是常数）的图象经过点()1,0A -，求这个二次函数的解析式和这个二次函数的最小值．（8分）18．已知抛物线21y ax bx =++经过点(1，﹣2)，(﹣2，13)．（1）求a ，b 的值；（4分）（2）若(5，1y )，(m ，2y )是抛物线上不同的两点，且2112y y =-，求m 的值．（4分）（10分）19．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程ax 2+bx +c ＝0的两个根；（3分）（2）写出不等式ax 2+bx +c ＞0的解集；（3分）（3）若方程ax 2+bx +c ＝k 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．（4分）（8分）20．如图,已知直线y=-2x+3与抛物线y=x 2相交于A,B 两点,O 为坐标原点.(1)求点A 和B 的坐标；（4分）(2)连结OA,OB,求△OAB 的面积.（4分）（10分）21．“普洱茶”是云南有名的特产，某网店专门销售某种品牌的普洱茶，成本为30元/盒，每天销售y (件)与销售单价x (元)之间存在一次函数关系，如图所示．(1)求y 与x 之间的函数关系式；（4分）(2)如果规定每天该种普洱茶的销售量不低于240盒，该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出500元给扶贫基金会，当销售单价为多少元时，每天获取的净利润最大，最大净利润是多少？(注:净利润=总利润-捐款)（6分）（14分）22．我们知道，经过原点的抛物线解析式可以是()2y=ax bx a 0+≠。
人教版九年级数学上册第二十二章 《二次函数》培优训练题(含答案)
人教版九年级数学上册第二十二章《二次函数》培优训练题（含答案）一．选择题1．在同一坐标系内，函数y＝kx2和y＝kx+2（k≠0）的图象大致如图（）A．B．C．D．2．抛物线y＝x2的图象向左平移3个单位，所得抛物线的解析式为（）A．y＝x2﹣3 B．y＝（x﹣3）2C．y＝x2+3 D．y＝（x+3）23．对于二次函数y＝3（x﹣2）2+1的图象，下列说法正确的是（）A．顶点坐标是（2，1）B．对称轴是直线x＝﹣2C．开口向下D．与x轴有两个交点4．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+4，当x分别取x1、x2两个不同的值时，函数值相等，则当x取x1+x2时，y的值为（）A．6 B．5 C．4 D．35．如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m，水面下降2.5m，水面宽度增加（）A．1 m B．2 m C．3 m D．6 m6．某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利利y（元）与降价金额x（元）之间满足函数关系式y＝﹣2x2+60x+800，则获利最多为（）A．15元B．400元C．800元D．1250元7．“如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（）A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b8．已知二次函数y＝mx2﹣3mx﹣4m（m≠0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C 且∠ACB＝90°，则m的值为（）A．±2 B．±4 C．±D．±9．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＞0；③c﹣a＝2；④方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个相等的实数根．其中正确的结论是（）A．③④B．②④C．②③D．①④二．填空题 10．若抛物线的顶点坐标为（2，9），且它在x 轴截得的线段长为6，则该抛物线的表达式为 ． 11．若抛物线y ＝a （x ﹣h ）2+k 经过（﹣1，0）和（5，0）两点，则关于x 的一元二次方程a （x +h ﹣2）2+k ＝0的解为 ．12．抛物线经过原点O ，还经过A （2，m ），B （4，m ），若△AOB 的面积为4，则抛物线的解析式为 ． 13．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB 的宽为20m ，如果水位上升3m 达到警戒水位时，水面CD 的宽是10m ．如果水位以0.25m /h 的速度上涨，那么达到警戒水位后，再过 h 水位达到桥拱最高点O ．14．如图，抛物线解析式为y ＝x 2，点A 1的坐标为（1，1），连接OA 1；过A 1作A 1B 1⊥OA 1，分别交y 轴、抛物线于点P 1、B 1；过B 1作B 1A 2⊥A 1B 1分别交y 轴、抛物线于点P 2、A 2；过A 2作A 2B 2⊥B 1A 2，分别交y 轴、抛物线于点P 3、B 2…；则点P n 的坐标是 ．三．解答题16．已知抛物线G ：y ＝mx 2﹣2mx ﹣3有最低点P ．（1）求二次函数y ＝mx 2﹣2mx ﹣3的最小值（用含m 的式子表示）；（2）若点P 关于坐标系原点O 的对称点仍然在抛物线上，求此时m 的值；（3）将抛物线G 向右平移m 个单位得到抛物线G 1．经过探究发现，随着m 的变化，抛物线G 1顶点的纵坐标y 与横坐标x 之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．17．“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降2元，则每月可多销售10条，设每条裤子的售价为x 元（x 为正整数），每月的销售量为y 条．（1）直接写出y 与x 的函数关系式；（2）设该网店每月获得的利润为w 元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？ （3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生，为了保证捐款后每月利润不低于4175元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？18．在平面直角坐标系中，抛物线y ＝mx 2﹣4mx +n （m ＞0）与x 轴交于A ，B 两点，点B 在点A 的右侧，顶点为C ，抛物线与y 轴交于点D ，直线CA 交y 轴于E ，且S △ABC ：S △BCE ＝3：4．（1）求点A ，点B 的坐标；（2）将△BCO 绕点C 逆时针旋转一定角度后，点B 与点A 重合，点O 恰好落在y 轴上，①求直线CE 的解析式；②求抛物线的解析式．19．如图，二次函数y＝ax2+bx+4的图象与坐标轴分别交于A、B、C三点，其中A（﹣3，0），点B在x轴正半轴上，连接AC、BC．点D从点A出发，沿AC向点C移动；同时点E从点O出发，沿x轴向点B移动，它们移动的速度都是每秒1个单位长度，当其中一点到达终点时，另一点随之停止移动，连接DE，设移动时间为ts．（1）若t＝3时，△ADE与△ABC相似，求这个二次函数的表达式；（2）若△ADE可以为直角三角形，求a的取值范围．20．某班“数学兴趣小组”对函数y＝﹣x2+3|x|+4的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：x…﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 …y…﹣6 0 4 6 6 4 6 6 4 0 m…其中，m＝．（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．（4）直线y＝kx+b经过（，），若关于x的方程﹣x2+3|x|+4＝kx+b有4个不相等的实数根，则b的取值范围为．参考答案一．选择题1．解：由一次函数解析式为：y＝kx+2可知，图象应该与y轴交在正半轴上，故A、B、C错误；D符合题意；故选：D．2．解：∵抛物线y＝x2的图象向左平移3个单位，∴平移后的抛物线的顶点坐标为（﹣3，0），∴所得抛物线的解析式为y＝（x+3）2．故选：D．3．解：A、顶点坐标是（2，1），说法正确；B、对称轴是直线x＝2，故原题说法错误；C、开口向上，故原题说法错误；D、与x轴没有交点，故原题说法错误；故选：A．4．解：∵y＝ax2﹣4ax+4＝a（x﹣2）2﹣4a+4，当x分别取x1、x2两个不同的值时，函数值相等，∴x1+x2＝4，∴当x取x1+x2时，y＝a（4﹣2）2﹣4a+4＝4，故选：C．5．解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），设顶点式y＝ax2+2，把A点坐标（﹣2，0）代入得a＝﹣0.5，∴抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，当水面下降2.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y＝﹣2.5时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣2.5与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y＝﹣2.5代入抛物线解析式得出：﹣2.5＝﹣0.5x2+2，解得：x＝±3，2×3﹣4＝2，所以水面下降2.5m，水面宽度增加2米．故选：B．6．解：对于抛物线y＝﹣2x2+60x+800＝﹣2（x﹣15）2+1250，∵a＝﹣2＜0，∴x＝15时，y有最大值，最大值为1250，故选：D．7．解：∵m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0的两根，∴二次函数y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）+1的图象与x轴交于点（m，0）、（n，0），∴将y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）+1的图象往下平移一个单位可得二次函数y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）的图象，二次函数y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）的图象与x轴交于点（a，0）、（b，0）．画出两函数图象，观察函数图象可知：m＜a＜b＜n．故选：A．8．解：设y＝0，则＝mx2﹣3mx﹣4m＝0，解得：m＝4或m＝﹣1，∵点A在点B的左侧，∴OA＝1，OB＝4，设x＝0，则y＝﹣4m，∴OC＝|﹣4m|，∵∠ACO+∠OCB＝90°，∠CAO+∠ACO＝90°，∴∠CAO＝∠BCO，又∵∠AOC＝∠BOC＝90°，∴△AOC∽△COB，∴，∴OC2＝OA•OB，即16m2＝4，解得：m＝±，故选：C．9．解：∵抛物线与x轴有2个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，所以①错误；∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点D（﹣1，2），∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，而抛物线与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴抛物线与x轴的另一个交点A在点（0，0）和（1，0）之间，∴x＝1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以②错误；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a，∵x＝﹣1时，y＝2，即a﹣b+c＝2，∴a﹣2a+c＝2，即c﹣a＝2，所以③正确；∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点D（﹣1，2），即x＝﹣1时，y有最大值2，∴抛物线与直线y＝2只有一个公共点，∴方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个相等的实数根，所以④正确．故选：A．二．填空题（共5小题）10．解：∵抛物线的顶点坐标为（2，9），∴抛物线的对称轴为直线x＝2，∵抛物线在x轴截得的线段长为6，∴抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（5，0），设此抛物线的解析式为：y＝a（x﹣2）2+9，代入（5，0）得，9a+9＝0，解得a＝﹣1，∴抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣2）2+9，故答案为y＝﹣（x﹣2）2+9．11．解：将抛物线y＝a（x﹣h）2+k关于y轴对称得新抛物线为y′＝a（x+h）2+k，∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k经过（﹣1，0）和（5，0）两点，∴抛物线为y′＝a（x+h）2+k与x轴的交点为（﹣5，0）和（1，0），将新抛物线y′＝a（x+h）2+k向右平移2个单位得抛物线y″＝a（x+h﹣2）2+k，其与x轴的两个交点为（﹣3，0）和（3，0），∴方程a（x+h﹣2）2+k＝0的解为x1＝3，x2＝﹣3，故答案为x1＝3，x2＝﹣3．12．解：∵抛物线经过A（2，m），B（4，m），∴对称轴是：x＝3，AB＝2，∵△AOB的面积为4，∴AB•|m|＝4，m＝±4，当m＝4时，则A（2，4），B（4，4），设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣3）2+h，把（0，0）和（2，4）代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣3）2+，即y＝﹣x2+3x；当m＝﹣4时，则A（2，﹣4），B（4，﹣4），设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣3）2+h，把（0，0）和（2，﹣4）代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝（x﹣3）2﹣＝x2﹣3x；综上所述，抛物线的解析式为：y＝﹣x2+3x或y＝x2﹣3x，故答案为y＝﹣x2+3x或y＝x2﹣3x．13．解：设抛物线解析式为y＝ax2，因为抛物线关于y轴对称，AB＝20，所以点B的横坐标为10，设点B（10，n），点D（5，n+3），由题意：，解得，∴y＝﹣x2，当x＝5时，y＝﹣1，故t＝＝4（h），答：再过4小时水位达到桥拱最高点O．故答案为：4．14．解：∵点A1的坐标为（1，1），∴直线OA1的解析式为y＝x，∵A1B1⊥OA1，∴OP1＝2，∴P1（0，2），设A1P1的解析式为y＝kx+b1，∴，解得，∴直线A1P1的解析式为y＝﹣x+2，解求得B1（﹣2，4），∵A2B1∥OA1，设B1P2的解析式为y＝x+b2，∴﹣2+b2＝4，∴b2＝6，∴P2（0，6），解求得A2（3，9）设A1B2的解析式为y＝﹣x+b3，∴﹣3+b3＝9，∴b3＝12，∴P3（0，12），…∴P n（0，n2+n），故答案为（0，n2+n）．三．解答题（共6小题）15．证明：（1）∵点E为CD中点，∴CE＝DE．∵EF＝BE，∴四边形DBCF是平行四边形．（2）∵四边形DBCF是平行四边形，∴CF∥AB，DF∥BC．∴∠FCG＝∠A＝30°，∠CGF＝∠CGD＝∠ACB＝90°．在Rt△FCG中，CF＝6，∴，．∵DF＝BC＝4，∴DG＝1．在Rt△DCG中，CD＝＝216．解：（1）∵y＝mx2﹣2mx﹣3＝m（x﹣1）2﹣m﹣3，抛物线有最低点，∴二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值为﹣m﹣3；（2）∵y＝mx2﹣2mx﹣3＝m（x﹣1）2﹣m﹣3，∴抛物线的顶点P为（1，﹣m﹣3），∴点P关于坐标系原点O的对称点（﹣1，m+3），∵对称点仍然在抛物线上，∴m+3＝m+2m﹣3，解得m＝3；（3）∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3∴平移后的抛物线G1：y＝m（x﹣1﹣m）2﹣m﹣3∴抛物线G1顶点坐标为（m+1，﹣m﹣3）∴x＝m+1，y＝﹣m﹣3∴x+y＝m+1﹣m﹣3＝﹣2即x+y＝﹣2，变形得y＝﹣x﹣2∵m＞0，m＝x﹣1∴x﹣1＞0∴x＞1∴y与x的函数关系式为y＝﹣x﹣2（x＞1）．17．解：（1）由题意可得：y＝100+×10＝100+5（80﹣x）＝﹣5x+500，∴y与x的函数关系式为：y＝﹣5x+500；（2）由题意得：w＝（x﹣40）（﹣5x+500）＝﹣5x2+700x﹣20000＝﹣5（x﹣70）2+4500，∵a＝﹣5＜0，∴当x＝70时，w有最大利润，最大利润是4500元；∴应降价80﹣70＝10（元）．∴当销售单价降低10元时，每月获得的利润最大，最大利润是4500元；（3）由题意得：﹣5（x﹣70）2+4500＝4175+200，解得：x1＝65，x2＝75，∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝70，∴当65≤x≤75时，符合该网店要求，而为了让顾客得到最大实惠，故x＝65．∴当销售单价定为65元时，既符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠．18．解：（1）如图，过点C作CF⊥AB于F，∵抛物线y＝mx2﹣4mx+n（m＞0），∴对称轴为直线x＝2，∴AF＝BF，点F（2，0），即OF＝2，∵S△ABC ：S△BCE＝3：4，∴S△ABC ＝3S△ABE，∴3××AB×OE＝AB×CF，∴CF＝3OE，∵CF⊥AB，OE⊥AB，∴CF∥OE，∴，∴AF＝3OA，∵OF＝OA+AF＝2，∴OA＝，AF＝，∴点A坐标为（，0），∵AB＝2AF＝3，∴OB＝，∴点B坐标为（，0）；（2）①∵抛物线y＝mx2﹣4mx+n（m＞0）过点A（，0），∴0＝m﹣2m+n，∴n＝m，∴y＝mx2﹣4mx+n＝m（x﹣2）2﹣m，∴点C（2，﹣m），如图2，过点C作CF⊥OB于F，CH⊥y轴于H，又∵∠FOH＝90°，∴四边形OFCH是矩形，∴CF＝OH＝m，∵将△BCO绕点C逆时针旋转一定角度后，点B与点A重合，点O恰好落在y轴上，∴OC＝O'C，OB＝O'A＝，又∵CH⊥OO'，∴OO'＝2OH＝m，∵OA2+O'O2＝O'A2，∴+m2＝，∴m＝，∴点C坐标为（2，﹣），设直线CE的解析式为y＝kx+b，∴，解得：∴直线CE的解析式为y＝﹣x+；②∵m＝，∴y＝x2﹣x+．19．解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+4的图象与y轴交于点C，∴C（0，4），∴OC＝4，∵A（﹣3，0），∴OA＝3，∴AC＝＝＝5，∵t＝3，∴AD＝OE＝3，AE＝6，当△ADE∽△ACB时，∴，即，∴AB＝10，∴B（7，0），∵二次函数y＝ax2+bx+4的图象过点A（﹣3，0），点B（7，0），∴解得：∴抛物线解析式为：，当△ADE∽△ABC时，，即，∴（舍去），综上，二次函数的表达式为：；（2）若△ADE可以为直角三角形，显然∠ADE＝90°，∴△ADE∽△AOC，∴，∴，解得：．设B（x，0），则，设抛物线对称轴为直线，∵A（﹣3，0），∴①．把x＝﹣3，y＝0代入y＝ax2+bx+4，得②，把②代入①，∵a＜0，解得：．20．解：（1）把x＝5代入函数y＝﹣x2+3|x|+4中，得y＝﹣25+15+4＝﹣6，∴m＝﹣6，故答案为：﹣6；（2）连线得，（3）由函数图象可知①该函数的图象关于y轴对称：②该函数的图象有最高点：（答案不唯一）（4）∵直线y＝kx+b经过（，），∴，∴k＝∵关于x的方程﹣x2+3|x|+4＝kx+b有4个不相等的实数根，∴x2﹣3x﹣4+kx+b＝0和方程x2+3x﹣4+kx+b＝0各有两个不相等的实数根，即方程x2﹣（3﹣）x﹣4+b＝和0x2+（3+）x﹣4+b＝0各有两个不相等的实数根，∴，解得b≠，且b＞或b＜，∴b的取值范围为b＞或b＜．故答案为：b＞或b＜．。
第22章二次函数培优训练人教版九年级数学上册
第22章二次函数培优训练20232024年度人教版九年级上册一、选择题1. 下列函数中是二次函数的是( )A ．y ＝3x －1B ．y ＝3x 2－1C ．y ＝(x ＋1)2－x 2D ．y ＝x 3＋2x －32. 抛物线的顶点坐标是（ ）A ．(3，1)B ．(3，－1)C ．(－3，1)D ．(－3，－1) 3. 二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图所示，则下列结论正确的是( )＞0,b ＜0,c ＞0 ＜0,b ＜0,c ＞0＜0,b ＞0,c ＜0 ＜0,b ＞0,c ＞04. 抛物线42-=x y 与x 轴交于B,C 两点，顶点为A ，则ABC ∆的周长为（ ）A ．54B ．454+C ．12D ．452+5.将抛物线y ＝－2x 2＋1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为( )＝－2(x ＋1)2－1 ＝－2(x ＋1)2＋3＝－2(x －1)2＋1 ＝－2(x －1)2＋36.用长40 m 的篱笆围成一个矩形菜园,则围成的菜园的最大面积为( )A.400 m 2B.300 m 2C.200 m 2D.100 m 27.在同一坐标系中一次函数y ax b =+和二次函数2y ax bx =+的图象可能为（ ）8.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论：0ac >①；②方程20ax bx c ++=的两根之和大于0；y ③随x 的增大而增大；④0a b c -+<，其中正确的个数（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 1)3(22+-=x y9．如图，用水管从某栋建筑物高的窗口A 处向外喷水，喷的水流呈抛物线型（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点M 离墙1米，离地面3米，则水流下落点B 离墙的距离OB 是（ ）A ．米B ．3米C ．米D ．4米10. 如图,在平面直角坐标系中,四边形OBCD 是边长为4的正方形,平行于对角线BD 的直线l 从O 出发,沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动,运动到直线ll 扫过的正方形OBCD 的面积为y,直线l 运动的时间为x(秒),下列能反映y 与x 之间函数关系的图象是( )二、填空题11．当2-=x 时，二次函数3422+-=x x y 的值是 ．12. 已知二次函数()()m mx x m y --+-=3222的图象的开口向上，顶点在第三象限，且交于y 轴的负半轴，则m 的取值范围是_________________.13．如果把抛物线y=2x 2﹣1向左平移1个单位，同时向上平移4个单位，那么得到的新的抛物线是______．14．已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的根为________．15.如图,用长8 m 的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框,那么这个窗户的最大透光面积是 __m 2.(中间横框所占的面积忽略不计)16.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品的售价为x 元，则可卖出（350﹣10x ）件，销售这批商品所得利润y （元）与售价x （元/件）的函数关系式为________三、解答题17. 已知如图，抛物线的顶点D的坐标为（1，4），且与y轴交于点C（0，3）.（1）求该函数的关系式；（2）求该抛物线与x轴的交点A，B的坐标.18.如图,矩形ABCD 的两边长AB=18 cm,AD=4 cm,点P,Q 分别从A,B 同时出发,P在边AB 上沿AB 方向以每秒2 cm 的速度匀速运动,Q 在边BC 上沿BC 方向以每秒1 cm的速度匀速运动.设运动时间为x s,△PBQ 的面积为y(cm2).(1)求y 关于x 的函数表达式,并写出x 的取值范围.(2)求△PBQ 的面积的最大值.19．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=﹣x2+bx+c表示，且抛物线的点C到墙面OB的水平距离为3m时，到地面OA的距离为m．（1）求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？20．某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件．设每件商品的售价x元（x为整数），每个月的销售量为y件．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）设每月的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式．21.已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)交x轴于A(1，0)和B(−3，0)，交y轴于C．（1）求抛物线的解析式；（2）D是抛物线的顶点，P为抛物线上的一点（不与D重合），当S△PAB=S△ABD时，求P的坐标；（3）若F是x轴上一动点，Q是抛物线上一动点，是否存在F，Q，使以B，C，F，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标．。
人教版数学九年级上册第22章《二次函数》单元培优练习题卷(含解析)
《二次函数》单元培优练习卷一．选择题1．抛物线y＝x2﹣2x+1与y轴的交点坐标为（）A．（1，0）B．（0，1）C．（0，0）D．（0，2）2．关于抛物线y＝﹣x2﹣x+2，则下列说法不正确的是（）A．开口向下B．对称轴是直线x＝﹣2C．与坐标轴有3个交点D．若抛物线经过A（﹣1，y1），B（1，y2），则y1＜y23．对于二次函数y＝ax2﹣（2a﹣1）x+a﹣1（a≠0），有下列结论：①其图象与x轴一定相交；②若a＜0，函数在x＞1时，y随x的增大而减小；③无论a取何值，抛物线的顶点始终在同一条直线上；④无论a取何值，函数图象都经过同一个点．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．44．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝bx+ac在直角坐标系中的图象大致为（）A．B．C．D．5．在平面直角坐标系中，如果抛物线y＝2x2不动，而把x轴、y轴分别向下、向右平移2个单位长度，那么在新坐标系下抛物线的解析式为（）A．y＝2（x﹣2）2+2 B．y＝2（x+2）2﹣2C．y＝2（x﹣2）2﹣2 D．y＝2（x+2）2+26．已知点（x1，y1）（x2，y2）在抛物线y＝（x﹣2）2+k上，如果x1＜x2＜2，则y1，y2，k的大小关系是（）A．y1＜y2＜k B．y2＜y1＜k C．k＜y1＜y2D．k＜y2＜y17．已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：x﹣1 0 2 4y﹣1 2 2 ﹣6下列结论错误的是（）A．该函数有最大值B．该函数图象的对称轴为直线x＝1C．当x＞2时，函数值y随x增大而减小D．方程ax2+bx+c＝0有一个根大于38．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，下列结论：（1）abc＜0；（2）b2＞4ac；（3）3a+2c＝0；（4）5a+3b+2c＜0．其中正确的有几个（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m．已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线表达式是y＝﹣（x﹣6）2+4．则选取点B为坐标原点时的抛物线表达式是（）A．y＝（x+6）2+4 B．y＝﹣（x+6）2+4C．y＝（x+6）2﹣4 D．y＝﹣（x+6）2﹣410．平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给出下列结论：①abc＜0；②c+2a＞0；③9a﹣3b+c＝0；④a﹣b≤am2+bm（m为实数）；⑤4ac﹣b2＜0．其中正确结论的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5二．填空题11．已知二次函数y＝x2+2x+t2的图象经过点（﹣m，﹣1）和（m，n），则n的值为．12．已知二次函数y＝x2﹣2x+3，当自变量x满足﹣1≤x≤2时，函数y的最大值是．13．直线y＝ax+m和直线y＝bx+n在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣1的顶点为A，直线l过点P（0，m）且平行于x轴，与抛物线交于点B和点C．若AB＝AC，∠BAC＝90°，则m＝．15．如图，点P为线段AB（不含端点A、B）上的动点，分别以AP、PB为斜边在AB的同侧作Rt△AEP与Rt△PFB，∠AEP＝∠EPF＝∠PFB＝90°，若AE+PF＝8，EP+FB＝6，则线段EF的取值范围是．16．某网店销售某种商品，成本为30元/件，当销售价格为60元/件时，每天可售出100件，经市场调查发现，销售单价每降1元，每天销量增加10件，当销售单价为元时，每天获取的利润最大．17．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，则关于x 的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为．18．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4与x轴、y轴正半轴分别交于点A、B、D，且点B的坐标为（4，0），点C在抛物线上，且与点D的纵坐标相等，点E在x轴上，且BE＝AB，连接CE，取CE的中点F，则BF的长为．三．解答题19．已知直线y＝kx+2k+4与抛物线y＝x2（1）求证：直线与抛物线有两个不同的交点；（2）设直线与抛物线分别交于A，B两点．①当k＝﹣时，在直线AB下方的抛物线上求点P，使△ABP的面积等于5；②在抛物线上是否存在定点D使∠ADB＝90°？若存在，求点D到直线AB的最大距离；若不存在，请你说明理由．20．商场里某产品每月销售量y（只）与销售单价x（元）满足一次函数关系，经调查部分数据如表：（已知每只进价为10元，每只利润＝销售单价﹣进价）销售单价x（元）21 23 25 …月销售额y（只）29 27 25 …（1）求出y与x之间的函数表达式；（2）这产品每月的总利润为w元，求w关于x的函数表达式，并指出销售单价为多少元时利润最大，最大利润是多少元？（3）由于该产品市场需求量较大，进价在原有基础上提高了a元（a＜10），但每月销售量与销售价仍满足上述一次函数关系，此时，随着销售量的增大，所得的最大利润比（2）中的最大利润减少了144元，求a的值．21．已知抛物线y＝ax2+bx+c上有两点M（m+1，a）、N（m，b）．（1）当a＝﹣1，m＝1时，求抛物线y＝ax2+bx+c的解析式；（2）用含a、m的代数式表示b和c；（3）当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c满足b2﹣4ac＝a，b+c≥2a，m，求a的取值范围．22．如图，斜坡AB长10米，按图中的直角坐标系可用y＝x+5表示，点A，B分别在x轴和y轴上．在坡上的A处有喷灌设备，喷出的水柱呈抛物线形落到B处，抛物线可用y＝x2+bx+c表示．（1）求抛物线的函数关系式（不必写自变量取值范围）；（2）求水柱离坡面AB的最大高度；（3）在斜坡上距离A点2米的C处有一颗3.5米高的树，水柱能否越过这棵树？23．在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝x2﹣2x，其顶点为A．（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标，并说明它的变化情况；（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”．①试求抛物线y＝x2﹣2x的“不动点”的坐标；②平移抛物线y＝x2﹣2x，使所得新抛物线的顶点B是该抛物线的“不动点”，其对称轴与x轴交于点C，且四边形OABC是梯形，求新抛物线的表达式．24．如图1，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，顶点为点D的抛物线y＝﹣x2+2x+1经过点B，点C．（1）写出抛物线的对称轴及点B的坐标；（2）将矩形OABC绕点O顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到矩形OA′B′C′，①当点B′恰好落在BA的延长线上时，如图2，求点B′的坐标；②在旋转过程中，直线B'C'与直线OA'分别与抛物线的对称轴相交于点M，点N．若MN＝DM，求点M的坐标．25．在平面直角坐标系xOy中，记y与x的函数y＝a（x﹣m）2+n（m≠0，n≠0）的图象为图形G，已知图形G与y轴交于点A，当x＝m时，函数y＝a（x﹣m）2+n有最小（或最大）值n，点B的坐标为（m，n），点A、B关于原点O的对称点分别为C、D，若A、B、C、D中任何三点都不在一直线上，且对角线AC，BD的交点与原点O重合，则称四边形ABCD 为图形G的伴随四边形，直线AB为图形G的伴随直线．（1）如图1，若函数y＝（x﹣2）2+1的图象记为图形G，求图形G的伴随直线的表达式；（2）如图2，若图形G的伴随直线的表达式是y＝x﹣3，且伴随四边形的面积为12，求y与x的函数y＝a（x﹣m）2+n（m＞0，n＜0）的表达式；（3）如图3，若图形G的伴随直线是y＝﹣2x+4，且伴随四边形ABCD是矩形，求点B的坐标．参考答案一．选择题1．解：令x ＝0，则y ＝1，∴抛物线与y 轴的交点为（0，1）， 故选：B ．2．解：分别令x ＝±1，得，，∴y 1＞y 2故选：D ．3．解：当y ＝0，ax 2﹣（2a ﹣1）x +a ﹣1， 解得x 1＝1，x 2＝，则二次函数y ＝ax 2﹣（2a ﹣1）x +a ﹣1的图象与x 轴的交点坐标为（1，0）、（，0），所以①、④正确；当a ＜0时，抛物线的对称轴x ＝＝1﹣＞1，则函数在x ＞1时，y 先随x 增大而增大，然后减小， 所以②错误； 该抛物线对称轴为x ＝，顶点的纵坐标为y ＝＝，则y ＝（1﹣）﹣，即无论a 取何值，抛物线的顶点始终在直线y ＝x ﹣上，所以③正确． 故选：C ．4．解：由二次函数的图象可知，a ＞0，b ＜0，c ＜0，∵一次函数y ＝bx +ac ， ∴b ＜0， ac ＜0，∴一次函数y ＝bx +ac 的图象经过第二、三、四象限， 故选：D ．5．解：抛物线y ＝2x 2的顶点坐标为（0，0）， ∵把x 轴、y 轴分别向下、向右平移2个单位，∴在新坐标系中抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣2），∴抛物线的解析式为y＝2（x+2）2﹣2．故选：D．6．解：由抛物线的解析式可知：抛物线的对称轴为x＝2，顶点坐标为（2，k），开口向上，∴当x＜2时，y随着x的增大而增小，∴x1＜x2＜2，∴y1＞y2＞k，故选：D．7．解：依题意，已知点（﹣1，﹣1），（0，2）（2，2）在y＝ax2+bx+c上，则有，解得故，二次函数解析式为：y＝﹣x2+2x+2选项A，∵a＜0，∴该函数有最大值，选项正确选项B，对称轴x＝＝＝1，选项正确选项C，∵a＜0，函数先增大后减小，对称轴x＝1，∴当x＞2时，函数值y随x增大而减小．选项正确选项D，﹣x2+2x+2＝0可解得方程两根x1，2＝1±，两根均不大于3，选项错误故选：D．8．解：（1）由图象可知：a＞0，c＜0，由对称轴可知：＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故（1）正确；（2）抛物线与x轴有两个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，故（2）正确；（3）由于对称轴可知：＝﹣1，∴b＝2a，由于抛物线过点（1，0），∴a+b+c＝0，∴3a+c＝0，故（3）错误；（4）由于b＝2a，c＝﹣3a5a+3b+2c＝5a+6a﹣6a＝5a＞0，故（4）错误；故选：B．9．解：由题意可得出：y＝a（x+6）2+4，将（﹣12，0）代入得出，0＝a（﹣12+6）2+4，解得：a＝﹣，∴选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是：y＝﹣（x+6）2+4．故选：B．10．解：①由抛物线可知：a＞0，c＜0，对称轴x＝＜0，∴b＞0，∴ab c＜0，故①正确；②由对称轴可知：＝﹣1，∴b＝2a，∵x＝1时，y＝a+b+c＝0，∴c+3a＝0，∴c+2a＝﹣3a+2a＝﹣a＜0，故②错误；③（1，0）关于x＝﹣1的对称点为（﹣3，0），∴x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＝0，故③正确；④当x＝﹣1时，y的最小值为a﹣b+c，∴x＝m时，y＝am2+bm+c，∴am2+bm+c≥a﹣b+c，即am2+bm≥a﹣b，故④正确；⑤抛物线与x轴有两个交点，∴△＞0，即b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，故⑤正确；故选：C．二．填空题（共8小题）11．解：∵二次函数y＝x2+2x+t2的图象经过点（﹣m，﹣1），∴m2﹣2m+t2＝﹣1，∴（m﹣1）2+t2＝0，∴m＝1，t＝0，∴二次函数为y＝x2+2x，∵m＝1，∴点（m，n）为（1，n），∵二次函数y＝x2+2x+t2的图象经过点（m，n），∴n＝1+2＝3，故答案为3．12．解：∵二次函数y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴该抛物线的对称轴为x＝1，且a＝1＞0，∴当x＝1时，函数有最小值2，当x＝﹣1时，二次函数有最大值为：（﹣1﹣1）2+2＝6，故答案为6．13．解：如图可知，当x＝2时，2a+m＝2b+n，得2a﹣2b＝n﹣m；当x＝3时，y1＝3a+m①，当x＝6时，y2＝6b+n②，且y1＝y2；②﹣①得n﹣m＝3a﹣6b，∴2a﹣2b＝3a﹣6b，∴a＝4b．由二次函数的性质可知，其对称轴为直线x ＝﹣＝﹣．故答案为：直线x ＝﹣．14．解：如图，作AD ⊥BC 于D ，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴AD ＝CD ＝BD ，∴BC ＝2AD ，∵抛物线y ＝﹣1的顶点为A ， ∴A （3，﹣1），∵点P （0，m ），∴AD ＝1+m ，∴BC ＝2+2m ，设B （x 1，m ），C （x 2，m ），∴x 2﹣x 1＝2+2m ，解﹣1＝m 整理得：x 2﹣6x +5﹣4m ＝0， ∴x 1+x 2＝6，x 1•x 2＝5﹣4m ，∴（x 2﹣x 1）2+4x 1x 2＝36，∴（2+2m ）2+4（5﹣4m ）＝36，解得m ＝3和m ＝﹣1（舍去），故答案为3．15．解一（函数思想）：设AE ＝x ，PE ＝y ，则PF ＝8﹣x ，BF ＝6﹣y ，∵∠AEP ＝∠EPF ＝∠PFB ＝90°，∴PE ∥BF ，∴△PEA ∽△BFP ，∴＝，∴4y＝3x，在Rt△FEP中，FE2＝FP2+EP2，∴FE2＝y2+（8﹣x）2，∴FE2＝（x）2+x2﹣16x+64＝x2﹣16x+64＝（x﹣）2+，∵0＜x＜8，∴当x＝时，FE有最小，当x＝0时，EF有最大值8，∴≤EF＜8．故答案为≤EF＜8．解二（几何思想）：延长BF、AE相交于点G，连接GP，∵∠AEP＝∠EPF＝∠PFB＝90°，∴四边形GFPE是矩形，∴FE＝GP，∵GF＝PE，GE＝BF，∴BG＝BF+PE，AG＝AE+FP，∵AE+PF＝8，EP+FB＝6，∴BG＝6，AG＝8，∴AB＝10，当GP⊥AB时，GP最小，最小值为；当EF与GA重合时，EF最大，最大值为8，∵点P为线段AB（不含端点A、B）上的动点，∴≤EF＜8．故答案为故答案为≤EF＜8．16．解：设当销售单价为x 元时，每天获取的利润为y 元，则y ＝（x ﹣30）[100+10（60﹣x ）]＝﹣10x 2+1000x ﹣21000＝﹣10（x ﹣50）2+4000，∴当x ＝50时，y 有最大值，且为4000，故答案为：50．17．解：抛物线的对称轴为直线x ＝﹣1，抛物线与x 轴的一个交点坐标为（1，0）， 所以抛物线与x 轴的一个交点坐标为（﹣3，0），即x ＝1或﹣3时，函数值y ＝0，所以关于x 的方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的解为x 1＝﹣3，x 2＝1．故答案为x 1＝﹣3，x 2＝1．18．解：∵点C 在抛物线上，且与点D 的纵坐标相等，D （0，4），B （4，0）， ∴，∵A 、B 关于对称轴对称，C 、D 关于对称轴对称，∴，连AC ，BE ＝AB ，CE 的中点是F ，∴． 故答案为：．三．解答题（共7小题）19．解：（1）由整理得：x2﹣2kx﹣（4k+8）＝0，∴△＝4k2+4（4k+8）＝4（k+2）2+16＞0，∴直线与抛物线有两个不同的交点；（2）当k＝﹣时，直线AB的解析式为y＝﹣x+3令﹣x+3＝x2，即x2+x﹣6＝0，解得x1＝﹣3，x2＝2∴点A的横坐标为﹣3，点B的横坐标为2 过点P作PQ∥y轴交直线AB于点Q，设P（m， m2），则Q（m，﹣m+3）∴PQ＝﹣m+3﹣m2∵S△ABP＝（x B﹣x A）×PQ＝5，即：（2+3）×（﹣m+3﹣m2）＝5整理得：m2+m﹣2＝0，解得m1＝﹣2，m2＝1∴点P的坐标为（﹣2，2）或（1，）（3）设A（x1， x12），B（x2， x22），D（t， t2）联立消去y得：x2﹣2kx﹣4k﹣8＝0∴x1+x2＝2k，x1x2＝﹣4k﹣8过点D作EF∥x轴，分别过点A、B作y轴的平行线，交EF于点E、F，则DE＝t﹣x1，AE＝x12﹣t2，DF＝x2﹣t，BF＝x22﹣t2由∠ADB＝90°，可得△ADE∽△DBF ∴＝，即AE•BF＝DE•DF∴（x12﹣t2）（x22﹣t2）＝（t﹣x1）（x2﹣t）∴t2+（x1+x2）t+x1x2+4＝0∴t2+2kt﹣4k﹣4＝0，即2k（t﹣2）+t2﹣4＝0当t﹣2＝0，即t＝2时，上式对任意实数k均成立即点D的坐标与k无关，∴D（2，2）连接CD，∵C（﹣2，4），∴CD＝2过点D作DH⊥AB，垂足为H，则DH≤CD，当CD⊥AB时，点D到直线AB的距离最大，最大距离为2．20．解：（1）设y＝kx+b（k≠0），根据题意代入点（21，29），（25，25），解得，∴y ＝﹣x +50．（2）依题意得，w ＝（x ﹣10）（﹣x +50）＝﹣x 2+60x ﹣500＝﹣（x ﹣30）2+400， ∵a ＝﹣1＜0，∴当x ＝30时，w 有最大值400，即当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润400元．（3）最新利润可表示为﹣x 2+60x ﹣500﹣a （﹣x +50）＝﹣x 2+（60+a ）x ﹣500﹣50a ， ∴此时最大利润为＝400﹣144，解得a 1＝8，a 2＝72，∵当a ＝72时，销量为负数舍去．∴a ＝8．21．解：（1）∵a ＝﹣1，m ＝1，∴M （2，﹣1）、N （1，b ）由题意，得，解，得， ∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+x +1；（2）∵点M （m +1，a ）、N （m ，b ）在抛物线y ＝ax 2+bx +c 上，①﹣②得，2am +b ＝﹣b ，∴b ＝﹣am ，把b ＝﹣am 代入②，得c ＝﹣am ；（3）把b ＝﹣am ，c ＝﹣am 代入b 2﹣4ac ＝a 得a 2m 2+4a 2m ＝a ，∵a ＜0，∴am 2+4am ＝1，∴，把b ＝﹣am ，c ＝﹣am 代入b +c ≥2a 得﹣2am ≥2a ，∴m ≥﹣1，∴，∵m2+4m＝（m+2）2﹣4，当m＞﹣2时，m2+4m随m的增大而增大∴，∴，即．22．解：（1）∵AB＝10、∠OAB＝30°，∴OB＝AB＝5、OA＝AB cos∠OAB＝10×＝5，则A（5，0）、B（0，5），将A、B坐标代入y＝﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+5；（2）水柱离坡面的距离d＝﹣x2+x+5﹣（﹣x+5）＝﹣x2+x＝﹣（x2﹣5x）＝﹣（x﹣）2+，∴当x＝时，水柱离坡面的距离最大，最大距离为；（3）如图，过点C作CD⊥OA于点D，∵AC＝2、∠OAB＝30°，∴CD＝1、AD＝，则OD＝4，当x＝4时，y＝﹣×（4）2+×4+5＝5＞1+3.5，所以水柱能越过树．23．解：（1）∵a＝1＞0，故该抛物线开口向上，顶点A的坐标为（1，﹣1）；（2）①设抛物线“不动点”坐标为（t，t），则t＝t2﹣2t，解得：t＝0或3，故“不动点”坐标为（0，0）或（3，3）；②∵新抛物线顶点B为“不动点”，则设点B（m，m），∴新抛物线的对称轴为：x＝m，与x轴的交点C（m，0），∵四边形OABC是梯形，∴直线x＝m在y轴左侧，∵BC与OA不平行，∴OC∥AB，又∵点A（1，﹣1），点B（m，m），∴m＝﹣1，故新抛物线是由抛物线y＝x2﹣2x向左平移2个单位得到的，∴新抛物线的表达式为：y＝（x+1）2﹣1．24．解：（1）∵y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2∴抛物线对称轴为直线x＝1∵四边形OABC是矩形∴CB∥OA，即CB∥x轴∴点C、B关于对称轴对称∵x＝0时，y＝1，即C（0，1）∴点B坐标为（2，1）（2）①如图1，连接OB、OB'∵矩形OABC绕点O顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到矩形OA′B′C′∴OB＝OB'∵四边形OABC是矩形∴∠OAB＝90°，即OA⊥BB'∴AB'＝AB＝1∴点B'坐标为（2，﹣1）②i）当0＜α＜90°时，如图2，设抛物线对称轴交x轴于点E，过点D作DF⊥B'C'于点F，交OA'于点G∴OE＝1，∠DFM＝90°∵四边形OA'B'C'是矩形∴OA'∥B'C'，∠A'OC'＝∠OC'B'＝90°∴∠C'OG＝∠OC'F＝∠C'FG＝90°∴四边形OC'FG是矩形∴FG＝OC'＝OC＝1∵FM∥GN，DM＝MN∴∠DMF＝∠ONE，＝1∴DF＝FG＝1在△DMF与△ONE中∴△DMF≌△ONE（AAS）∴DM＝ON设M（1，m）∵抛物线顶点D（1，2）∴MN＝DM＝2﹣m∴y N＝y M﹣MN＝m﹣（2﹣m）＝2m﹣2∴ON＝＝2﹣m解得：m1＝，m2＝1（此时点M在BC上即旋转角度α＝0°，舍去）∴M（1，）ii）当90°＜α＜180°时，如图3，MN＝DM则点D、N重合设抛物线对称轴交x轴于点E，过点D作DF⊥B'C'于点F，同理可证：△DMF≌△ONE，DM＝ON设M（1，m），则DM＝2﹣m∵N（1，2），ON＝∴2﹣m＝∴m＝2﹣∴M（1，2﹣）综上所述，点M坐标为（1，）或（1，2﹣）．25．解：（1）针对函数y＝（x﹣2）2+1，当x＝2时，此函数有最小值1，∴B（2，1），当x＝0时，y＝22+1＝5，∴A（0，5），设所求伴随直线的表达式为y＝kx+b（k≠0）则解，得所以函数y＝（x﹣2）2+1的伴随直线的表达式是y＝﹣2x+5；（2）如图2，作BE⊥AC于点E，由题意知，OC＝OA，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形．∵A（0，﹣3），C（0，3）∴AC＝6∵平行四边形ABCD的面积为12，＝6∴S△ABC即，∴BE＝2；∵m＞0，即顶点B在y轴的右侧，且在直线y＝x﹣3上，∴B（2，﹣1）又图形G经过点A（0，﹣3），∴，∴；（3）如图3，作BF⊥x轴于点E，由已知得：A（0，4），C（0，﹣4），∵B（m，n）在直线y＝﹣2x+4上，∴n＝﹣2m+4，即点B的坐标为（m，﹣2m+4），∵矩形ABCD，∴OC＝OB＝4，∴OC2＝OB2，在Rt△OEB中，42＝m2+（﹣2m+4）2，∴5m2﹣16m＝0，＝0（不合题意，舍去），，∴m1∴，∴点B的坐标为．。
人教版 九年级上数学 第22章 二次函数 培优训练(含答案)
人教版九年级数学第22章二次函数培优训练一、选择题（本大题共10道小题）1. 下列函数解析式中，一定是二次函数的是()A．y＝3x－1 B．y＝ax2＋bx＋cC．s＝2t2－2t＋1 D．y＝x2＋1 x2. 已知二次函数y＝ax2＋2ax＋c的图象与x轴的一个交点的坐标为(1，0)，则它与x轴的另一个交点的坐标是()A．(1，0) B．(－1，0) C．(－3，0) D．(3，0)3. 从地面竖直向上抛出一个小球，小球的上升高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的关系式为h＝24t－4t2，那么小球从抛出至回落到地面所需的时间是()A．6 s B．4 s C．3 s D．2 s4. 将函数y＝x2的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A(1，4)的是() A．向左平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度C．向上平移3个单位长度D．向下平移1个单位长度5. 若二次函数y＝x2－6x＋c的图象过A(－1，y1)，B(2，y2)，C(3＋2，y3)三点，则y1，y2，y3的大小关系是()A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y2＞y1＞y3D．y3＞y1＞y26. 已知二次函数y＝a(x－1)2＋c的图象如图，则一次函数y＝ax＋c的图象大致是()7. (2019•随州)如图所示，已知二次函数2yax bx c =++的图象与x 轴交于,A B 两点，与y 轴交于点C ，OA OC =，对称轴为直线1x =，则下列结论：①0abc <；②11024a b c ++=；③10ac b -+=；④2c +是关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的一个根．其中正确的有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8. 矩形ABCD 的两条对称轴为坐标轴，点A 的坐标为(2，1)，一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A 重合，此时抛物线的函数解析式为y ＝x2，再次平移这张透明纸，使这个点与点C 重合，则此时抛物线的函数解析式变为( ) A ．y ＝x2＋8x ＋14 B ．y ＝x2－8x ＋14 C ．y ＝x2＋4x ＋3D ．y ＝x2－4x ＋39. 如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OA＝OC.有下列结论：①abc<0；①b 2－4ac 4a >0；①ac －b ＋1＝0；①OA·OB ＝－ca .其中正确的结论有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个10. 如图，将函数y ＝12(x －2)2＋1的图象沿y 轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A (1，m )，B (4，n )平移后的对应点分别为点A ′，B ′.若曲线段AB 扫过的面积为9(图中的阴影部分)，则新图象的函数解析式是( )A ．y ＝12(x －2)2－2 B ．y ＝12(x －2)2＋7 C ．y ＝12(x －2)2－5D ．y ＝12(x －2)2＋4二、填空题（本大题共6道小题）11. 若物体运动的路程s (m)与时间t (s)之间的关系式为s ＝5t 2＋2t ，则当物体运动时间为4 s 时，该物体所经过的路程为________．12. 已知二次函数y ＝3x 2＋c 与正比例函数y ＝4x 的图象只有一个交点，则c 的值为________．13. 竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数．小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球．假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度．第一个小球抛出后t 秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t ＝________．14. 如图，抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3与y 轴交于点C ，点D (0，1)，点P 在抛物线上，且①PCD 是以CD 为底的等腰三角形，则点P 的坐标为________．15. (2019•天水)二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，若42M a b =+，N a b =-．则M 、N 的大小关系为M __________N ．(填“>”、“=”或“<”)16. 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，a≠0)与x 轴交于A ，B 两点，顶点为P(m ，n)．给出下列结论：①2a ＋c ＜0；①若(－32，y 1)，(－12，y 2)，(12，y 3)在抛物线上，则y 1＞y 2＞y 3；①若关于x 的方程ax 2＋bx ＋k ＝0有实数解，则k ＞c －n ；①当n ＝－1a 时，①ABP 为等腰直角三角形．其中正确的结论是________．(填序号)三、解答题（本大题共4道小题）17. 已知抛物线y ＝ax 2经过点A (－2，－8)．(1)求此抛物线的解析式；(2)判断点B (－1，－4)是否在此抛物线上； (3)求出抛物线上纵坐标为－6的点的坐标．18. （2020台州）用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）．科学原理：如图2，始终盛满水的圆体水桶水面离地面的高度为H （单位：cm ），如果在离水面竖直距离为h （单位：cm ）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s （单位：cm ）与h 的关系为s 2＝4h （H ﹣h ）．应用思考：现用高度为20cm 的圆柱体望料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距高hcm 处开一个小孔．（1）写出s 2与h 的关系式；并求出当h 为何值时，射程s 有最大值，最大射程是多少？（2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a ，b ，要使两孔射出水的射程相同，求a ，b 之间的关系式；（3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm ，求整高的高度及小孔离水面的竖直距离．19. 如图，用一块长为50 cm ，宽为30 cm 的长方形铁片制作一个无盖的盒子，若在铁片的四个角各截去一个相同的小正方形，设小正方形的边长为x cm. (1)盒子底面的长AB ＝________ cm ，宽BC ＝________ cm.(用含x 的代数式表示) (2)若做成的盒子的底面积为300 cm 2，求该盒子的容积．(3)该盒子的侧面积S (cm 2)是否存在最大值？若存在，求出此时x 的值及S 的最大值；若不存在，说明理由.20. (2019·山西)综合与探究如图，抛物线26y ax bx =++经过点A (–2，0)，B (4，0)两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线上一个动点，设点D 的横坐标为(14)m m <<.连接AC ，BC ，DB ，D C.(1)求抛物线的函数表达式；(2)△BCD 的面积等于△AOC 的面积的34时，求m 的值； (3)在(2)的条件下，若点M 是x 轴上的一个动点，点N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M ，使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.人教版九年级数学第22章二次函数培优训练-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】C2. 【答案】C[解析] 抛物线的对称轴为直线x＝－2a2a＝－1.因为抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，所以它与x轴的另一个交点的坐标是(－3，0)．3. 【答案】A4. 【答案】D[解析] A．将函数y＝x2的图象向左平移1个单位长度得到函数y ＝(x＋1)2的图象，它经过点(1，4)；B.将函数y＝x2的图象向右平移3个单位长度得到函数y＝(x－3)2的图象，它经过点(1，4)；C.将函数y＝x2的图象向上平移3个单位长度得到函数y＝x2＋3的图象，它经过点(1，4)；D.将函数y＝x2的图象向下平移1个单位长度得到函数y＝x2－1的图象，它不经过点(1，4)．故选D.5. 【答案】B[解析] 解法一：y＝x2－6x＋c＝(x－3)2－9＋c，其大致图象如图，对称轴为直线x＝3，由图可得y1>y3>y2.解法二：把A ，B ，C 三点的坐标分别代入解析式并化简，得y 1＝7＋c ，y 2＝－8＋c ，y 3＝－7＋c ，所以y 1>y 3>y 2.故选B.6. 【答案】B[解析] 根据二次函数的图象开口向上，得a ＞0，根据c 是二次函数图象顶点的纵坐标，得出c ＜0，故一次函数y ＝ax ＋c 的图象经过第一、三、四象限．故选B.7. 【答案】B【解析】∵抛物线开口向下，∴0a <， ∵抛物线的对称轴为直线12bx a=-=，∴20b a =->， ∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴0c >，∴0abc <，所以①正确；∵2b a =-，∴102a b a a +=-=，∵0c >，∴11024a b c ++>，所以②错误； ∵(0,)C c ，OA OC =，∴(,0)A c -，把(,0)A c -代入2y ax bx c =++得20ac bc c -+=，∴10ac b -+=，所以③错误； ∵(,0)A c -，对称轴为直线1x =，∴(2,0)B c +，∴2c +是关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的一个根，所以④正确， 综上正确的有2个， 故选B ．8. 【答案】A [解析] 因为矩形ABCD 的两条对称轴为坐标轴，所以矩形ABCD 关于坐标原点成中心对称．因为A ，C 是矩形对角线上的两个点，所以点A ，C 关于原点对称，所以点C 的坐标为(－2，－1)，所以抛物线向左平移了4个单位长度，向下平移了2个单位长度，所以平移后抛物线的函数解析式为y ＝(x ＋4)2－2＝x2＋8x ＋14.故选A.9. 【答案】B [解析] ∵抛物线开口向下，∴a ＜0.∵抛物线的对称轴在y 轴的右侧，∴b ＞0. ∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c ＞0， ∴abc ＜0，故①正确．∵抛物线与x 轴有两个交点，∴Δ＝b 2－4ac ＞0， 而a ＜0，∴b 2－4ac4a ＜0，故②错误．∵C(0，c)，OA ＝OC ，∴A(－c ，0)．把(－c ，0)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得ac 2－bc ＋c ＝0， ∴ac －b ＋1＝0，故③正确． 设A(x 1，0)，B(x 2，0)，∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A ，B 两点， ∴x 1和x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根， ∴x 1·x 2＝ca .又∵x 1<0，∴OA·OB ＝－ca ，故④正确．故选B.10. 【答案】D[解析] 如图，连接AB ，A′B′，则S 阴影＝S 四边形ABB′A′.由平移可知，AA′＝BB′，AA′①BB′，所以四边形ABB′A′是平行四边形．分别延长A′A ，B′B 交x 轴于点M ，N ，因为A(1，m)，B(4，n)，所以MN ＝4－1＝3.因为S 阴影＝AA′·MN ，所以9＝3AA′，解得AA′＝3，即原抛物线沿y 轴向上平移了3个单位长度，所以新图象的函数解析式为y ＝12(x －2)2＋4.二、填空题（本大题共6道小题）11. 【答案】88 m [解析] 把t ＝4代入函数解析式，得s ＝5×16＋2×4＝88.故填88 m.12. 【答案】43 【解析】本题考查了已知二次函数的图象与一次函数的图象的交点个数，求字母未知数的值．把y ＝3x 2＋c 与y ＝4x 联立方程组并消去y 得3x 2＋c ＝4x ，化简得3x 2－4x ＋c ＝0，由于它们的图象只有一个交点，故此方程有两个相等的实数根，所以b 2－4ac ＝(－4)2－4×3c ＝0，解得c ＝43.13. 【答案】1.6 秒 【解析】本题主要考查了二次函数的对称性问题．由题意可知，各自抛出后1.1秒时到达相同最大离地高度，即到达二次函数图象的顶点处，故此二次函数图象的对称轴为t ＝1.1；由于两次抛小球的时间间隔为1秒，所以当第一个小球和第二个小球到达相同高度时，则这两个小球必分居对称轴左右两侧，由于高度相同，则在该时间节点上，两小球对应时间到对称轴距离相同. 故该距离为0.5秒， 所以此时第一个小球抛出后t ＝1.1＋0.5＝1.6秒时与第二个小球的离地高度相同．14. 【答案】(1＋2，2)或(1－2，2) 【解析】抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3与y 轴交于点C ，则点C 坐标是(0，3)，∵点D(0，1)，点P 在抛物线上，且△PCD 是以CD 为底的等腰三角形，∴易得点P 的纵坐标是2，当y ＝2时，∴－x 2＋2x＋3＝2，则x 2－2x －1＝0，解得方程的两根是x ＝2±222＝1±2，∴点P 的坐标是(1＋2，2)或(1－2，2)．15. 【答案】<【解析】当1x =-时，0y a b c =-+>， 当2x =时，420y a b c =++<，()42M N a b a b -=+--()420a b c a b c =++--+<， 即M N <， 故答案为：<．16. 【答案】②④ [解析] (1)当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＞0.由x ＝－b 2a ＜12和a ＞0可得－b＜a.∴0＜a －b ＋c ＜a ＋a ＋c ＝2a ＋c ，即2a ＋c ＞0，①错误； (2)结合图象易知②正确；(3)方程ax 2＋bx ＋k ＝0有实数解，即ax 2＋bx ＋c ＝c －k 有实数解．∵y ＝ax 2＋bx ＋c≥n ，∴c－k≥n ，即k≤c －n ，③错误；(4)设抛物线的解析式为y ＝－1n (x －m)2＋n(n ＜0)．令y ＝0，得－1n (x －m)2＋n ＝0.∴n 2－(x －m)2＝0，∴(n －x ＋m)(n ＋x －m)＝0.∴x 1＝m ＋n ，x 2＝m －n.AB ＝|x 1－x 2|＝－2n.设对称轴交x 轴于点H ，则AH ＝BH ＝PH ＝－n ，∴△ABP 为等腰直角三角形，④正确．三、解答题（本大题共4道小题）17. 【答案】解：(1)①抛物线y ＝ax 2经过点A(－2，－8)，①4a ＝－8，解得a ＝－2，①此抛物线的解析式为y ＝－2x 2.(2)当x ＝－1时，y ＝－2，①点B(－1，－4)不在此抛物线上．(3)把y ＝－6代入y ＝－2x 2，得－2x 2＝－6，解得x ＝±3，①抛物线上纵坐标为－6的点的坐标为(3，－6)，(－3，－6)．18. 【答案】解：（1）∵s2＝4h （H ﹣h ），∴当H ＝20时，s2＝4h （20﹣h ）＝﹣4（h ﹣10）2+400，∴当h ＝10时，s2有最大值400，∴当h ＝10时，s 有最大值20cm ． ∴当h 为何值时，射程s 有最大值，最大射程是20cm ； （2）∵s2＝4h （20﹣h ），设存在a ，b ，使两孔射出水的射程相同，则有：4a （20﹣a ）＝4b （20﹣b ）， ∴20a ﹣a2＝20b ﹣b2，∴a2﹣b2＝20a ﹣20b ，∴（a+b ）（a ﹣b ）＝20（a ﹣b ）， ∴（a ﹣b ）（a+b ﹣20）＝0，∴a ﹣b ＝0，或a+b ﹣20＝0，∴a ＝b 或a+b ＝20； （3）设垫高的高度为m ，则s2＝4h （20+m ﹣h ）＝﹣4（20+m ）2， ∴当h 时，smax ＝20+m ＝20+16，∴m ＝16，此时h 18．∴垫高的高度为16cm ，小孔离水面的竖直距离为18cm ．19. 【答案】解：(1)(50－2x) (30－2x)(2)依题意，得(50－2x)(30－2x)＝300， 整理，得x 2－40x ＋300＝0，解得x 1＝10，x 2＝30(不符合题意，舍去)． 当x ＝10时，盒子的容积＝300×10＝3000(cm 3)．(3)存在．盒子的侧面积S ＝2x(50－2x)＋2x(30－2x)＝100x －4x 2＋60x －4x 2＝－8x 2＋160x ＝－8(x 2－20x)＝－8[(x －10)2－100]＝－8(x －10)2＋800， ∴当x ＝10时，S 有最大值，最大值为800.20. 【答案】(1)抛物线2y ax bx c =++经过点A(–2，0)，B(4，0)，∴426016460a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得3432a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线的函数表达式为233642y x x =-++； (2)作直线DE ⊥x 轴于点E ，交BC 于点G ，作CF ⊥DE ，垂足为F ， ∵点A 的坐标为(–2，0)，∴OA=2，由0x =，得6y =，∴点C 的坐标为(0，6)，∴OC=6，∴S △OAC=1126622OA OC ⋅⋅=⨯⨯=， ∵S △BCD=34S △AOC ，∴S △BCD=39642⨯=， 设直线BC 的函数表达式为y kx n =+，由B ，C 两点的坐标得406k n n +=⎧⎨=⎩，解得326k n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC 的函数表达式为362y x =-+， ∴点G 的坐标为3(,6)2m m -+， ∴2233336(6)34224DG m m m m m =-++--+=-+， ∵点B 的坐标为(4，0)，∴OB=4，∵S △BCD=S △CDG+S △BDG=1111()2222DG CF DG BE DG CF BE DG BO ⋅⋅+⋅⋅=⋅+=⋅⋅， ∴S △BCD=22133346242m m m m -+⨯=-+（）， ∴239622m m -+=， 解得11m =(舍)，23m =，∴m 的值为3；(3)存在，如下图所示，以BD 为边或者以BD 为对角线进行平行四边形的构图， 以BD 为边时，有3种情况，∵D 点坐标为15(3,)4，∴点N 点纵坐标为±154， 当点N 的纵坐标为154时，如点N2， 此时233156424x x -++=，解得：121,3x x =-=(舍)， ∴215(1,)4N -，∴2(0,0)M ； 当点N 的纵坐标为154-时，如点N3，N4，此时233156424x x -++=-，解得：1211x x ==∴315(1)4N -，415(1)4N -，∴3M ，4(M ；以BD 为对角线时，有1种情况，此时N1点与N2点重合， ∵115(1,)4N -，D(3，154)， ∴N1D=4，∴BM1=N1D=4，∴OM1=OB+BM1=8，∴M1(8，0)，综上，点M 的坐标为：1234(80)(00)(M M M M ，，，，.【名师点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及了待定系数法、三角形的面积、解一元二次方程、平行四边形的性质等知识，运用了数形结合思想、分类讨论思想等数学思想，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.。
人教版九年级数学上册《二次函数》培优测试题
人教版九年级数学上册《二次函数》培优测试题一．选择题1.已知函数y=是二次函数，则m的值为（）A. ﹣3B. ±3C. 3D. ±2.二次函数y=x2+bx+1的图象与x轴只有一个公共点，则此公共点的坐标是（）A. （1，0）B. （2，0）C. （﹣1，0）或（﹣2，0）D. （﹣1，0）或（1，0）3.已知一个二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4）四点，若y3＜y2＜y4，则y1，y2，y3，y4的最值情况是（）A. y3最小，y1最大B. y3最小，y4最大C. y1最小，y4最大D. 无法确定4.已知二次函数y=（x﹣1）2﹣4，当y＜0时，x的取值范围是（）A. ﹣3＜x＜1B. x＜﹣1或x＞3C. ﹣1＜x＜3D. x＜﹣3或x＞15. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，若M=4a+2b+c，N=a－b+c，P=4a+b，则（）A. M>0，N>0，P>0B. M>0，N<0，P>0C. M<0，N>0，P>0D. M<0，N>0，P<06.下列关于二次函数y=﹣2（x﹣2）2+1图象的叙述，其中错误的是（）A. 开口向下B. 对称轴是直线x=2C. 此函数有最小值是1D. 当x＞2时，函数y随x增大而减小7.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示．下列结论：①方程=ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3：②a﹣b+c=0；③8a+c＜0；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3；⑤当y 随x的增大而增大时，一定有x＜O．其中结论正确的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8.如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从D点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y=a（x﹣k）2+h．已知球与D 点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，球网与D点的水平距离为9m．高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m，则下列判断正确的是（）A. 球不会过网B. 球会过球网但不会出界C. 球会过球网并会出界D. 无法确定9.定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[m﹣1，1+m，﹣2m]的函数的一些结论：①当m=3时，函数图象的顶点坐标是（﹣1，﹣8）；②当m＞1时，函数图象截x轴所得的线段长度大于3；③当m＜0时，函数在x＞时，y随x的增大而减小；④不论m取何值，函数图象经过两个定点．其中正确的结论有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10.若二次函数y=（a﹣2）x2﹣2ax+a﹣与x轴有两个交点，且关于x的不等式组无解，则符合条件的整数a的值有（）个．A. 2B. 3C. 4D. 511.一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象可能是（）A. B.C. D.12.已知抛物线y=ax2+bx+3在坐标系中的位置如图所示，它与x，y轴的交点分别为A，B，P 是其对称轴x=1上的动点，根据图中提供的信息，给出以下结论：①2a+b=0，②x=3是ax2+bx+3=0的一个根，③△PAB周长的最小值是+3．其中正确的是（）A. ①②③B. 仅有①②C. 仅有①③D. 仅有②③二．填空题13.将二次函数y=x2+3x﹣化为y=a（x﹣h）2+k的形式，其结果是_____．14.二次函数y=x2﹣3x+k的图象与x轴有两个交点，则实数k的取值范围是_____．15.如图，点D，C的坐标分别为（﹣1，4）和（﹣5，4），抛物线的顶点在线段CD上运动（抛物线随顶点一起平移），与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），点B的横坐标最大值为3，则点A的横坐标最小值为_____．16.公路上行驶的汽车急刹车时的行驶路程s（m）与时间t（s）的函数关系式为s=20t﹣5t2，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行_____m才能停下来．17.已知抛物线y=x2，以D（﹣2，1）为直角顶点作该抛物线的内接Rt△ADB（即A．D．B 均在抛物线上）．直线AB必经过一定点，则该定点坐标为_____．18.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①abc＞0，②a﹣b+c＜0，③2a=b，④4a+2b+c＞0，⑤若点（﹣2，y1）和（﹣，y2）在该图象上，则y1＞y2．其中正确的结论是_____（填入正确结论的序号）三．解答题19.如图所示，二次函数y=﹣2x2+4x+6的图象与x轴的正半轴交于点A，与y轴交于点C．（1）求AC的长；（2）求顶点的坐标．20.五家尧草莓是我旗的特色农产品，深受人们的喜欢．某超市对进货价为10元/千克的某种草莓的销售情况进行统计，发现每天销售量y（千克）与销售价x（元/千克）存在一次函数关系，如图所示．（1）求y关于x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（2）为了让顾客得到实惠，商场将销售价定为多少时，该品种草莓每天销售利润为150元？（3）应怎样确定销售价，使该品种草莓的每天销售利润最大？最大利润是多少？21.如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上是否存在一点M，使△ACM的周长最小？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．=8，并（3）设抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时．满足S△PAB求出此时P点的坐标．22.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B（1，0）两点，与y轴交于点C，直线y=x﹣2经过A，C两点，抛物线的顶点为D．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）在直线AC上方的抛物线上存在一点P，使△PAC的面积最大，请直接写出P点坐标及△PAC面积的最大值；（3）在y轴上是否存在一点G，使得GD+GB的值最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．23.如图1所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒，设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2，已知y与t的函数关系图象如图2所示，请回答：（1）线段BC的长为cm．（2）当运动时间t=2.5秒时，P、Q之间的距离是cm．24.如图，已知抛物线y=ax2+x+4的对称轴是直线x=3，且与轴相交于A、B两点（B点在A 点的右侧），与轴交于C点．（1）A点的坐标是；B点坐标是；（2）直线BC的解析式是：；（3）点P是直线BC上方的抛物线上的一动点（不与B、C重合），是否存在点P，使△PBC 的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积，若不存在，试说明理由；（4）若点M在x轴上，点N在抛物线上，以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M点坐标．25.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，点C关于抛物线对称轴的对称点为点D，抛物线顶点为H（1，2）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为直线AD上方抛物线的对称轴上一动点，连接PA，PD．当S△PAD=3，若在x轴上存在一动点Q，使PQ+QB最小，求此时点Q的坐标及PQ+QB的最小值；（3）若点E为抛物线上的动点，点G，F为平面内的点，以BE为边构造以B，E，F，G为顶点的正方形，当顶点F或者G恰好落在y轴上时，求点E的横坐标．。
人教版九年级上册22章：二次函数 单元培优测试(有答案)
人教版九年级上册23章：二次函数单元培优测试一、单选题（40分）1．在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线23y x =-先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后所得到的抛物线的表达式为（ ）A ．()2334y x =-+-B ．()2334y x =--C ．()2334y x =++D ．()2334y x =--+2．下列函数的图象，不经过原点的是（ ）A ．32x y =B ．y ＝2x 2C ．y ＝（x ﹣1）2﹣1D ．3y x= 3．将二次函数y =(x ﹣1)2+2的图象向上平移3个单位长度，得到的拋物线相应的函数表达式为( ) A ．y =(x +2)2﹣2B ．y =(x ﹣4)2+2C ．y =(x ﹣1)2﹣1 D ．y =(x ﹣1)2+54．抛物线2y ax bx c =++的部分图象如图所示，当0y <时，x 的取值范围是（ ）A ．x ＞2 或x ＜－3B ．－3＜x ＜2C ．x ＞2或x ＜－4D ．－4＜x ＜25．三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（ ）A ．43米B ．52米C ．213米D ．7米6．在同一直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++与一次函数y ax c =+的大致图象可能（ ） A ．B ．C ． D ．2x… 0 1 2 4 … y … m k m n … 8．如图，四边形ABCD 是菱形，2,60AB ABC =∠=︒，点P 从D 点出发，沿DA AB BC →→运动，过点P 作直线CD 的垂线，垂足为Q ，设点P 运动的路程为x ，DPQ ∆的面积为y ，则下列图象能正确反映y 与x 之间的函数关系的是( )．A ．B ．C ．D ．9．将函数22(04)y x x m x =-++≤≤在x 轴下方的图像沿x 轴向上翻折，在x 轴上方的图像保持不变，得到一个新图像．若使得新图像对应的函数最大值与最小值之差最小，则m 的值为（ ）A ．2.5B ．3C ．3.5D ．410．如图是抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)图象的一部分，抛物线的顶点坐标A(1，3)，与x 轴的一个交点B(4，0)，直线y 2＝mx ＋n(m≠0)与抛物线交于A ，B 两点，下列结论：①2a ＋b ＝0；②abc>0；③方程ax 2＋bx ＋c ＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x 轴的另一个交点是(－1，0)；⑤当1<x<4时，有y 2<y 1，其中正确的是（ ）A ．①④⑤B ．①③④⑤C ．①③⑤D ．①②③二、填空题（24分）11．二次函数223y x x =--+的图像的顶点坐标是_________．12．二次函数y ＝3x 2－6x －3图象的对称轴是_________.13．把一个小球以20米/秒的速度竖直向上弹出，它在空中的高度h （米）与时间t （秒），满足关系：h=20t-5t 2，当小球达到最高点时，小球的运动时间为第_________秒时．14．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的边长为2，∠AOC ＝60°，点D 为AB 边上的一点，经过O ，A ，D 三点的抛物线与x 轴的正半轴交于点E ，连结AE 交BC 于点F ，当DF ⊥AB 时，CE 的长为__．15．如图抛物线223y x x =+-与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点P 是抛物线对称轴上任意一点，若点D 、E 、F 分别是BC 、BP 、PC 的中点，连接DE ，DF ，则DE DF +的最小值为_____．16．若函数图象上存在点(),Q m n ，满足1n m =+，则称点Q 为函数图象上的奇异点．如：直线23y x =-上存在唯一的奇异点()4,5Q ．若y 关于x 的二次函数211(1)22y x a h x b h =+-+++的图象上存在唯一的奇异点，且当32a -≤≤时，b 的最小值为2-，则h 的值为__________．三、解答题（86分）（8分）17．已知二次函数23y x bx =+- （b 是常数）的图象经过点()1,0A -，求这个二次函数的解析式和这个二次函数的最小值．（8分）18．已知抛物线21y ax bx =++经过点(1，﹣2)，(﹣2，13)．（1）求a ，b 的值；（4分）（2）若(5，1y )，(m ，2y )是抛物线上不同的两点，且2112y y =-，求m 的值．（4分）（10分）19．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程ax 2+bx +c ＝0的两个根；（3分）（2）写出不等式ax 2+bx +c ＞0的解集；（3分）（3）若方程ax 2+bx +c ＝k 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．（4分）（8分）20．如图,已知直线y=-2x+3与抛物线y=x 2相交于A,B 两点,O 为坐标原点.(1)求点A 和B 的坐标；（4分）(2)连结OA,OB,求△OAB 的面积.（4分）（10分）21．“普洱茶”是云南有名的特产，某网店专门销售某种品牌的普洱茶，成本为30元/盒，每天销售y (件)与销售单价x (元)之间存在一次函数关系，如图所示．(1)求y 与x 之间的函数关系式；（4分）(2)如果规定每天该种普洱茶的销售量不低于240盒，该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出500元给扶贫基金会，当销售单价为多少元时，每天获取的净利润最大，最大净利润是多少？(注:净利润=总利润-捐款)（6分）（14分）22．我们知道，经过原点的抛物线解析式可以是()2y=ax bx a 0+≠。
人教版数学九年级上册第22章《二次函数》培优检测题(解析版)
•选择题1.2.3.4.5. 《二次函数》培优检测题二次函数y= x2- 2x的顶点坐标是（A.( 1,1)B. (1,- 1) 已知抛物线y = x2-( 2m- 1) x+2n i 大，则抛物线的顶点在（A.第一象限把函数y=的图象（A.B.C.D.C. (- 1,- 1)D. (- 1, 1) 的顶点为A,当-3 v x v 2时，y随x的增大而增B.第二象限C.第三象限D.第四象限向左平移向左平移向右平移向右平移：>2的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数1个单位,1个单位,1个单位,1个单位,再向下平移再向上平移再向上平移再向下平移已知两点A (- 6, yj, B (2, y2)是该抛物线的顶点，若y o> y1> y2, A. x o v- 6 B. x o v- 2个单位个单位个单位个单位y「(x- 1) 2+1均在抛物线y= ax2+bx+c (a* 0)上，点C (X o, y°) 则X o的取值范围是（C.- 6 v x o v- 2D.- 2 v x o v 2y= x2- 2x - 3的图象与x轴交于A B两点，与y轴交于点C,则下列说如图，二次函数B./ OC R 45°C. 当x > 3时,D. 当x > 0时, y随x的增大而减小图象上两点(x i, y i), (X2, y2)满足x i<X2< 1,则y i>y2；④当1<x< 3 时，x + (b- 1)x+c< 0.其中正确的有（）个.D. 1&二次函数y= ax2+bx+c （a* 0）,经过点（1.0 ）,对称轴I如图所示，若M= a+b- c, N=)个.D. 39. 已知二次函数y= ax2+bx+c （a*0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）10. 如图是二次函数 y = ax 2+bx +c 的部分图象，图象过点 A (- 3, 0),对称轴为直线x =-1, 给出四个结论：① b 2> 4ac ：②3a +c = 0③2a +b = 0④若点B(-§, y i ), C (-丄，y ?)2 2为函数图象上的两点，贝Uy i v y 2，其中正确结论是()二.填空题11. _______________________________________ 抛物线y = . (x +3) 2+4的对称轴是 . 12. ________________________________________________________________________ 二次函数y = x 2- 2mx"1在x < 1时y 随x 增大」而减小，则 m 的取值范围是 _________________ . 13.点P (2, 17)为二次函数y = ax 2+4ax +5图象上一点，其对称轴为 I ，则点P 关于I 的对称点的坐标为 _________ . 14. 若点A 「- 3，n )、B(mn )在二次函数y = a(x +2)2+h 的图象上，则m 的值为 _______ .15•利用计算机中“几何画板”软件面出的函数 y = x 2(x - 3)和y = x - 3的图象如图所示.根 据图象可知方程x 2 (x - 3) = x - 3的解的个数为3个，若m n 分别为方程x 2 (x - 3)A. abc v 0B. b 2- 4ac v 0C. a - b +c v 0D. 2a +b = 0C.①③D.②④16. 若二次函数y = ax1 2-bx+5(a^ 5)的图象与x轴交于(1,0)，则b- a+2014的值是 __________ .17. 某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件.后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件•则商场按___________ 元销售时可获得最大利润.18. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =-( x- h) 2+2 ( h表示常数，且h> 0)的顶点为M函数图象与x轴负半轴交于点A,将此抛物线绕坐标原点O旋转180°得到的抛物线顶点为N,函数图象与x轴正半轴交于点B.则四边形MANE的面积表示为(用含h的代数式表示)三.解答题19. 设二次函数y= m£+nx-( m- n) (m n是常数，m^0).1 请求出m的值；2 某同学根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了该二次函数图象的一部分，请观察图象直接写出当y>0时，x的取值范围；(1 )判断该二次函数图象与x轴交点•:的个数，并说明理由；(2)若该二次函数图象经过点A(2, 3), B( 1, 4),求该二次函数图象与x轴的交点坐标.2(3)求出这个二次函数的解析式(也称为函数关系式)21 •某网店经市场调查，发现进价为40元的某新型文具每月的销售量y (件)与售价x(元)的相关信息如下:售价x (元) 60708090销售量y (件) 280260240220(1) _________________________________________________________ 试用你学过的函数来描述y与x的关系，这个函数可以是___________________________________ (填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”)，求这个函数关系式；(2) _______________ 当售价为______________________________________ 元时，当月的销售利润最大，最大利润是 ____ 元；(3) 若获利不得高于进价的80%那么售价定为多少元时，月销售利润达到最大？22. 如图，已知二次函数y = ax2+bx-4的图象M经过A (- 1, 0) , C( 2,- 6)两点，顶点为P.(1 )求该二次函数的解析式和顶点P的坐标(2)设图象M的对称轴为I，点D( m n) (- 1v R K 2)是图象M上一动点，当△ ACD的面积•「为时，点D关于I的对称点为E,能否在图象M和I上分别找到点P, Q使口得以点D E、P、Q为顶点的是四边形为平行四边形？若能，求出点P的坐标；若不能，23. 如图，抛物线y=- x2+bx+c过等腰Rt△ OAB勺A, B两点，点B在点A的右侧，直角顶点A (0, 3).(1 )求b, c的值.(2) P是AB上方抛物线上的一点，作PQLAB交“0B于点Q,连结AP,是否存在点P,使四边形APQOI平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.2324. 如图①，抛物线y=- x2< x+2与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交£于点C,连接BC(1)过点A且平行于BC的直线交于y轴于点D,求AD的解析式；(2)如图②，P是直线BC上方抛物线上的一动点，在抛物线的对称轴I上有一动点M 在x轴上有一动点N,连接PM MN当厶PAD勺面积最大时，求PMMN^BN的最小值；5(3)如图③，Q为直线AD与抛物线的另一个交点，E为抛物线上一动点，F为抛物线的对称轴I上的一动点，是否存在E、F两点，使得以A、Q E、F四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由.團①團②團③参考答案一•选择题2 21 解：••• y= X - 2x=( x- 1) - 1,•••二次函数y= X2+4X的顶点坐标是：(1, - 1),故选：B.2. 解：T y= x2-( 2m- 1) x+2n i- 1•••对称轴为x=-厶」丄=二^-，且抛物线开口向上，2 2•••当x>上」-时，y随x的增大而增大，2•••当-3 v x v 2时，y随x的增大而增大，•••亘一w- 3，解得me -',2 2•2nrl v o 站二b? = 4) -(2inT ) ' =( )2-> o'' - ” ，•抛物线的顶点在第二象限，故选：B.3. 解：抛物线y =- *2的顶点坐标是(0, 0),抛物线线y =-寺(x- 1) 2+1的顶点坐标是(1, 1),所以将顶点(0, 0)向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到顶点(1, 1),即将函数y=- ,：x2“的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到函数y =- ,： (x -1) 2+1的图象.故选：C.4. 解：•••点C( X。
人教版九年级上册数学 第22章 二次函数 单元培优卷
人教版九年级上册数学第22章 二次函数 单元培优卷一.选择题1．抛物线21y x =+的对称轴是( )A ．直线1x =B ．直线1x =-C ．y 轴D ．直线2x =-2．下列函数解析式中，一定为二次函数的是( )A.y=3x －1B.y=ax 2＋bx ＋cC.s=2t 2－2t ＋1D.y=x 2＋1x 3．把抛物线22y x =向右平移1个单位，所得抛物线的函数解析式为( )A ．221y x =+B ．22(1)y x =+C ．221y x =-D ．22(1)y x =- 4．直线y ＝x+2m 经过第一、三、四象限，则抛物线y ＝x 2+2x+1﹣m 与x 轴的交点个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．1个或2个5．抛物线共有的性质是（ ） A ．开口向上 B ．对称轴都是轴 C ．都有最高点 D ．顶点都是原点6．已知a>1，点A(a －1，y 1)，B(a ，y 2)，C(a ＋1，y 3)都在二次函数y ＝－2x 2的图象上，则( )A ．y 1<y 2<y 3B ．y 1<y 3<y 2C ．y 3<y 2<y 1D ．y 2<y 1<y 37．下列关于函数y =36x 2的叙述中，错误的是( )A. 图象的对称轴是y 轴B. 图象的顶点是原点C. 当x >0时，y 随x 的增大而增大D. y 有最大值8．在半径为4的圆中，挖去一个边长为的正方形，剩下部分面积为，则关于y 与x 之间函数关系式为（ ）A 、B 、C 、D 、9．下列说法中错误的是 ( )A ．二次函数y ＝3(x －1)2中，当x ＞1时，y 随x 的增大而增大B ．二次函数y ＝－6(x －1)2中，当x ＝1时，y 有最大值0C ．a 越大，二次函数y ＝a(x －h)2的图象开口越小D ．不论a 是正数还是负数，抛物线y ＝a(x －1)2(a≠0)的顶点一定在x 轴上10．把二次函数y ＝－12x 2－3x －12的图象向上平移3个单位，再向右平移4个单位，则两次平移后的图象的表达式是 ( )A. y ＝－12(x －1)2＋7B. y ＝－12(x ＋7)2＋7C. y ＝－12(x ＋3)2＋4D. y ＝－12(x －1)2＋1 11．已知抛物线()2y a x h k =-+与x 轴有两个交点()1,0A -，()3,0B ，抛物线()2y a x h m k =--+与x 轴的一个交点是()4,0，则m 的值是（ ）A ．5B ．1-C ．5或1D ．5-或1-12．函数y ＝kx 2﹣kx+m （k ，m 都是常数且k≠0）的图象如上图，如果x ＝a 时，y ＜0，那么x ＝a ﹣1时，函数值（ ）y xcm 2ycm 24y x π=-216y x π=-216y x =-24y x π=-A ．y ＝mB ．y ＜0C ．y ＞mD ．0＜y ＜m13．如图，正方形ABCD 的边长为4，点P 、Q 分别是CD 、AD 的中点，动点E 从点A 向点B 运动，到点B 时停止运动；同时，动点F 从点P 出发，沿P→D→Q 运动，点E 、F 的运动速度相同．设点E 的运动路程为x ，△AEF 的面积为y ，能大致刻画y 与x 的函数关系的图象是（ ）A. B ． C ． D ．二.填空题14．当x ＝0时，函数y ＝2x 2+1的值为 ．15．函数y ＝6x 2有最____(选填“大”或“小”)值，这个值为____．16．若函数y =ax 2+2x −1的图象与x 轴有公共点，则实数a 的取值范围________．17．将抛物线y=x 2向 平移 个单位长度得到抛物线y=(x+5)2;将抛物线y=x 2向 平移 个单位长度得到抛物线y=(x-5)2.18．设A （-2，y 1），B （1，y 2），C （2，y 3）是抛物线y=-(x+1)2+3上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为______________________．19．如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)经过点(－1，0)，且顶点在第一象限.有下列结论：①a<0；②a ＋b ＋c>0；③－2b a>0；④abc>0.其中正确的结论是 .(填序号)20．如图,某农场要盖一排三间长方形的羊圈,打算一面利用旧墙(墙足够长),其余各面用木材围成栅栏,计划用木材围成总长24 m 的栅栏.设羊圈的面积为S(m 2),垂直于墙的一边长为x(m),则S 关于x 的函数关系式为 (写出自变量的取值范围).三.解答题21．已知函数()()221y m m x mx m =-+++是二次函数，求m 的取值范围.22．如图，已知点A （-4，8）和点B （2，n ）在抛物线y=ax 2上．求a 的值及点B 的坐标.23．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过点（0，3），（3，6），（﹣2，11）．（1）求该二次函数的关系式；（2）证明：无论x 取何值，函数值y 总不等于1；（3）如何平移该函数图象使得函数值y 能等于1？24．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2 米，水面下降1米时，水面的宽度为多少米？25．已知抛物线y＝a（x+2）2过点（1，﹣3）．（1）求抛物线对应的函数解析式；（2）指出抛物线的对称轴、顶点坐标；（3）当x取何值时，y随x的增大而增大？26．某工厂大门是一抛物线形水泥建筑物（如图），大门地面宽AB＝4米，顶部C离地面高度为4.4米.现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.8米，装货宽度为2.4米.请通过计算，判断这辆汽车能否顺利通过大门？27．一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y(件)与售价x(元件)(x为正整数)之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：(1))；(2)在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？(3)抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元(1≤m≤6)，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m的取值范围．28．如图是某公园一喷水池(示意图),在水池中央有一垂直于地面的喷水柱,喷水时,水流在各方向沿形状相同的抛物线落下.若水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式为y=-(x-1)2+2.25.(1)求喷出的水流离地面的最大高度;(2)求喷嘴离地面的高度;(3)若把喷水池改成圆形,则水池半径至少为多少时,才能使喷出的水流不落在水池外?(2)。
第二十二章 二次函数 培优训练人教版数学九年级上册
人教版九年级上二次函数培优训练一、选择题1．若抛物线258(3)23m m y m x x -+=-+-是关于x 的二次函数，那么m 的值是（ ）A ．3B ．2-C ．2D ．2或32．已知二次函数y ＝（a ﹣1）x 2﹣x +a 2﹣1图象经过原点，则a 的取值为（ ） A ．a ＝±1B ．a ＝1C ．a ＝﹣1D ．无法确定A ．()3,4B ．()3,4-C ．()3,4-D ．()3,4--4．若二次函数y ＝x 2＋(m ＋1)x －m 的图象与坐标轴只有两个交点，则满足条件的m 的值有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5.在抛物线①y ＝2x 2，②，③中．图象开口大小顺序为( )． A ．①＞②＞③ B ．①＞③＞② C ．②＞①＞③ D ．②＞③＞①6．已知一个二次函数图象经过P 1（﹣3，y 1），P 2（﹣1，y 2），P 3（1，y 3），P 4（3，y 4），其中y 2＜y 3＝y 4，则y 1，y 2，y 3中最值情况是（ ） A ．y 1最小，y 3最大 B ．y 2最小，y 1最大C ．y 2最小，y 3最大D ．无法判断7．二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，有如下结论：①abc ＜0；②2a ﹣b +c ≤0；③3b ﹣2c ＜0；④对任意实数m ，都有2am 2+2bm ﹣b ≥0．其中正确的有（ ）235y x =276y x =-A．①②B．②③C．②④D．③④8．向空中发射一枚炮弹，经过x秒后高度为y米，且时间与高度y的关系式为2++≠（），若炮弹在第6秒与第14秒时的高度相等，则炮弹所在高度最高的时y ax bx c a=0间是（）A．第8秒B．第9秒C．第10秒D．第11秒9．如图，花坛水池中央有一喷泉，水管OP=3m，水从喷头P喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面4m，P距抛物线对称轴1m，则为使水不落到池外，水池半径最小为（）A．1 B．1.5C．2 D．310．某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件．则每星期售出商品的利润y （单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（）A．y＝（200﹣5x）（40﹣20＋x）B．y＝（200＋5x）（40﹣20﹣x）C．y＝200（40﹣20﹣x）D．y＝200﹣5x二、填空题11．二次函数y＝（x﹣2）2+8的最小值是．12．已知二次函数()2y x a =-+，当4x <-时，y 随x 的增大而增大；当4x >-时，y 随x 的增大而减小，当=0x 时，y 的值是____________．13．把抛物线＝x 2﹣2先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的表达式是 ．14．某工厂1月份的产值是200万元，平均每月产值的增长率为(0)x x >，则该工厂第一季度的产值y 关于x 的函数解析式为 ．15．矩形的边长分别为2cm 和3cm ，若每边长都增加xcm ，则面积增加2ycm ，则y 与x 的函数关系式为________．16．如图，抛物线21y ax =+与过点(0,3)-且平行于x 轴的直线相交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，若ACB ∠为直角，则=a ___三、解答题17．在平面直角坐标系中，抛物线21y ax bx =++经过点(2,3)、(1,3)--． (1)求这条抛物线所对应的函数表达式； (2)求这条抛物线与x 轴的交点坐标．(3)当04x <<时，y 的取值范围为_____________．18．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝mx 2+4mx +3m 与y 轴交于点P ，与x 轴交于点A 、B ，点A 在点B 的右边．（1）求A 、B 两点坐标；（2）若PA 平分∠BPO ，求m 的值．19．已知块边长为30的正方形草地．(1)如图1，先将正方形草地的一条边减少(010)x x <<，再将另一边增加m x ，设变化后的草地的面积为2m S ，则S = （填“是“或“不是”）关于x 的函数． (2)如图2，将正方形草地的相邻两边各增加m x ，设扩充后的草地的面积为2m y ， ①写出y 与x 之间的函数关系式， ②当8x =时，求y 的值．20．某网店店主购进A ，B 两种型号的装饰链，其中A 型装饰链的进货单价比B 型装饰链的进货单价多20元，且消费500元购进A 型装饰链的数量与消费400元购进B 型装饰链的数量相等．销售中发现A 型装饰链每月的销售量1y （个）与销售单价1x （元）之间满足的函数关系式为：11200y x +=-；B 型装饰链每月的销售量2y （个）与销售单价2x （元）之间满足的函数关系式为22140y x +=-． (1)求A ，B 两种型号装饰链的进货单价．(2)已知A 型装饰链的销售单价比B 型装饰链的销售单价高20元，则当A ，B 两种型号装饰链的销售单价各为多少元时，每月销售这两种型号装饰链的总利润最大？并求出最大总利润．A B C的坐标；(1)求点,,。
人教版九年级数学上册《二次函数》培优练习(含答案)
人教版九年级数学上册《二次函数》培优练习（含答案）一．选择题1．下列函数是二次函数的是（）A．y＝x+B．y＝3（x﹣1）2C．y＝ax2+bx+c D．y＝+3x2．抛物线y＝x2﹣6x+4的顶点坐标是（）A．（3，5）B．（﹣3，5）C．（3，﹣5）D．（﹣3，﹣5）3．抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A．（1，2）B．（1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣2）4．一次函数y＝ax+c与二次函数y＝ax2+bx+c在同一直角坐标系中大致的图象可能是（）A．B．C．D．5．二次函数y＝2（x﹣3）2+2图象向左平移6个单位，再向下平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（）A．y＝2x2﹣12x B．y＝﹣2x2+6x+12 C．y＝2x2+12x+18 D．y＝﹣2x2﹣6x+186．如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m，水面下降2.5m，水面宽度增加（）A．1 m B．2 m C．3 m D．6 m7．二次函数y＝﹣3x2+6x变形为y＝a（x+m）2+n形式，正确的是（）A．y＝﹣3（x+1）2﹣3 B．y＝﹣3（x﹣1）2﹣3 C．y＝﹣3（x+1）2+3 D．y＝﹣3（x﹣1）2+38．二次函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k＜3 B．k＜3且k≠0C．k≤3D．k≤3且k≠09．已知二次函数y＝2x2﹣bx+1，当x＜1时，y随x的增大而减小，则实数b的取值范围为（）A．b≤4B．b≥2C．b≤2D．b≥410．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如右图所示，则a、b、c满足（）A．a＞0，b＞0，c＜0 B．a＞0，b＜0，c＜0 C．a＜0，b＞0，c＞0 D．a＞0，b＜0，c＞0二．填空题11．若函数y＝x2﹣2x+1图象与直线有两个交点，则b为．12．若二次函数y＝ax2+4ax+c的最大值为4，且图象过点（﹣3，0），则二次函数解析式为：．13．如果y＝（k﹣3）x2+k（x﹣3）是二次函数，那么k需满足的条件是．14．如图，抛物线y＝﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D，若直线y＝x+m与C1，C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是．15．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①b2＞4ac；②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；③a＞；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x≤3；⑤当x＞0时，y随x增大而增大．上述五个结论中正确的有（填序号）三．解答题16．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）当0＜x＜3时，求y的取值范围．17．某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元，市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：y＝﹣x+60（30≤x≤60）．设这种双肩包每天的销售利润为w元．（1）求w与x之间的函数解析式；（2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于42元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？18．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点．（1）求二次函数的解析式，对称轴，顶点坐标；（2）画二次函数的图象并标出图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标．19．小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．（1）设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？（3）如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）20．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．（4）如图2，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E 点的坐标．参考答案一．选择题1．解：A、y＝x+是一次函数，此选项错误；B、y＝3（x﹣1）2是二次函数，此选项正确；C、y＝ax2+bx+c不是二次函数，此选项错误；D、y＝+3x不是二次函数，此选项错误；故选：B．2．解：y＝x2﹣6x+4＝（x﹣3）2﹣5，故抛物线y＝x2﹣6x+4的顶点坐标是：（3，﹣5）．故选：C．3．解：y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标为（1，2）．故选：A．4．解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），∴两个函数图象交于y轴上的同一点，排除D；当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，排除A；当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，排除B；故选：C．5．解：二次函数y＝2（x﹣3）2+2图象向左平移6个单位，再向下平移2个单位后，所得图象的函数表达式是：y ＝2（x﹣3+6）2+2﹣2，即y＝2x2+12x+18．故选：C．6．解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），设顶点式y＝ax2+2，把A点坐标（﹣2，0）代入得a＝﹣0.5，∴抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，当水面下降2.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y＝﹣2.5时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣2.5与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y＝﹣2.5代入抛物线解析式得出：﹣2.5＝﹣0.5x2+2，解得：x＝±3，2×3﹣4＝2，所以水面下降2.5m，水面宽度增加2米．故选：B．7．解：y＝﹣3x2+6x＝﹣3（x2﹣2x）＝﹣3（x2﹣2x+1﹣1）＝﹣3（x﹣1）2+3 故选：D．8．解：∵二次函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，∴方程kx2﹣6x+3＝0（k≠0）有实数根，即△＝36﹣12k≥0，k≤3，由于是二次函数，故k≠0，则k的取值范围是k≤3且k≠0．故选：D．9．解：∵y＝2x2﹣bx+1，∴对称轴为x＝，∵当x＜1时，y随x的增大而减小，∴≥1，∴b≥4，故选：D．10．解：∵二次函数的图象开口向上，∴a＞0，∵二次函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0，∵二次函数的对称轴在y轴的右边，∴﹣＞0，∴＜0，∵a＞0，∴b＜0，故选：B．二．填空题（共5小题）11．解：将y＝x2﹣2x+1和组成方程组得，，整理得，x2﹣x+1﹣b＝0，∵两函数有两个交点，∴△＞0，∴（﹣）2﹣4（1﹣b）＞0，解得b＞﹣，故答案为b＞﹣．12．解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，所以抛物线的顶点坐标为（﹣2，4），设抛物线解析式为y＝a（x+2）2+4，把（﹣3，0）代入得a•（﹣3+2）2+4＝0，解得a＝﹣4，所以抛物线解析式为y＝﹣4（x+2）2+4．故答案为y＝﹣4（x+2）2+4．13．解：∵y＝（k﹣3）x2+k（x﹣3）是二次函数，∴k﹣3≠0，解得：k≠3，∴k需满足的条件是：k≠3，故答案为：k≠3．14．解：令y＝﹣2x2+8x﹣6＝0，即x2﹣4x+3＝0，解得x＝1或3，则点A（1，0），B（3，0），由于将C1向右平移2个长度单位得C2，则C2解析式为y＝﹣2（x﹣4）2+2（3≤x≤5），当y＝x+m1与C2相切时，令y＝x+m1＝y＝﹣2（x﹣4）2+2，即2x2﹣15x+30+m1＝0，△＝﹣8m1﹣15＝0，解得m1＝﹣，当y＝x+m2过点B时，即0＝3+m2，m2＝﹣3，当﹣3＜m＜﹣时直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，故答案是：﹣3＜m＜﹣．15．解：∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，而点（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（3，0），∴方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3，所以②正确；∵x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，而x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，∴a+2a+c＝0，∴3a+c＝0，即a＝﹣，所以③错误；∵抛物线与x轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，所以④错误；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴当x＜1时，y随x增大而增大，所以⑤错误．故答案为①②．三．解答题（共5小题）16．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，∴，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴顶点坐标为（1，﹣4）；（2）∵y＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线开口向上，对称轴为x＝1，∴当x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大，∴当0＜x＜1时，当x＝0时，y有最大值为﹣3，当x＝1时，y有最小值为﹣4，当1＜x＜3时，当x＝3时，y有最大值为0，当x＝1时，y有最小值为﹣4，∴当0＜x＜3时，﹣4≤y＜0．17．解：（1）w＝（x﹣30）•y＝（﹣x+60）（x﹣30）＝﹣x2+30x+60x﹣1800＝﹣x2+90x﹣1800，w与x之间的函数解析式w＝﹣x2+90x﹣1800；（2）根据题意得：w＝﹣x2+90x﹣1800＝﹣（x﹣45）2+225，∵﹣1＜0，当x＝45时，w有最大值，最大值是225．（3）当w＝200时，﹣x2+90x﹣1800＝200，解得x1＝40，x2＝50，∵50＞42，x2＝50不符合题意，舍，答：该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元．18．解：（1）把A（2，0），B（0，﹣1），C（4，5）代入得：，解得：，则二次函数解析式为y＝x2﹣x﹣1＝（x﹣）2﹣，即对称轴为直线x＝，顶点坐标为（，﹣）；（2）如图所示：y＝x2﹣x﹣1，令y＝0，得到x2﹣x﹣1＝0，解得：x＝2或x＝﹣1，则D（﹣1，0）．19．解：（1）由题意，得：w＝（x﹣20）•y＝（x﹣20）•（﹣10x+500）＝﹣10x2+700x﹣10000，即w＝﹣10x2+700x﹣10000（20≤x≤32）（2）对于函数w＝﹣10x2+700x﹣10000的图象的对称轴是直线．又∵a＝﹣10＜0，抛物线开口向下．∴当20≤x≤32时，W随着x的增大而增大，∴当x＝32时，W＝2160答：当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元．（3）取W＝2000得，﹣10x2+700x﹣10000＝2000解这个方程得：x1＝30，x2＝40．∵a＝﹣10＜0，抛物线开口向下．∴当30≤x≤40时，w≥2000．∵20≤x≤32∴当30≤x≤32时，w≥2000．设每月的成本为P（元），由题意，得：P＝20（﹣10x+500）＝﹣200x+10000∵k＝﹣200＜0，∴P随x的增大而减小．∴当x＝32时，P的值最小，P＝3600．最小值答：想要每月获得的利润不低于2000元，小明每月的成本最少为3600元．20．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），∴，解得：．∴所求抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）如答图1，∵抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，∴其对称轴为x＝＝﹣1，∴设P点坐标为（﹣1，a），当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），M（﹣1，0）∴当CP＝PM时，（﹣1）2+（3﹣a）2＝a2，解得a＝，∴P点坐标为：P1（﹣1，）；∴当CM＝PM时，（﹣1）2+32＝a2，解得a＝±，∴P点坐标为：P2（﹣1，）或P3（﹣1，﹣）；∴当CM＝CP时，由勾股定理得：（﹣1）2+32＝（﹣1）2+（3﹣a）2，解得a＝6，∴P点坐标为：P4（﹣1，6）．综上所述存在符合条件的点P，其坐标为P（﹣1，）或P（﹣1，﹣）或P（﹣1，6）或P（﹣1，）；（3）存在，Q（﹣1，2），理由如下：如答图2，点C（0，3）关于对称轴x＝﹣1的对称点C′的坐标是（﹣2，3），连接AC′，直线AC′与对称轴的交点即为点Q．设直线AC′函数关系式为：y＝kx+t（k≠0）．将点A（1，0），C′（﹣2，3）代入，得，解得，所以，直线AC′函数关系式为：y＝﹣x+1．将x＝﹣1代入，得y＝2，即：Q（﹣1，2）；（4）过点E作EF⊥x轴于点F，设E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0）∴EF＝﹣a2﹣2a+3，BF＝a+3，OF＝﹣a∴S＝BF•EF+（OC+EF）•OF四边形BOCE＝（a+3）•（﹣a2﹣2a+3）+（﹣a2﹣2a+6）•（﹣a）＝﹣a2﹣a+＝﹣（a+）2+，∴当a＝﹣时，S最大，且最大值为．四边形BOCE此时，点E坐标为（﹣）．。
人教版九年级上册数学 第二十二章 二次函数 培优考试测试卷(附答案)
二次函数培优测试卷一．选择题1．对于抛物线y＝﹣2（x+5）2+4，下列说法正确的是（）A．开口向下，顶点坐标（5，4）B．开口向上，顶点坐标（5，4）C．开口向下，顶点坐标（﹣5，4）D．开口向上，顶点坐标（﹣5，4）2．若点A（﹣2，a），B（﹣1，b），C（3，c）都在二次函数y＝mx2（m＞0）图象上，则a、b、c的大小关系是（）A．c＜a＜b B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．c＜b＜a3．二次函数y＝2x2﹣8x+9的图象可由y＝2x2的图象怎样平移得到（）A．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位B．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位C．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位D．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位4．已知一次函数y＝kx+b的图象经过一、二、四象限，则二次函数y＝kx2+bx﹣k的顶点在第（）象限．A．一B．二C．三D．四5．如图是二次函数y＝﹣x2+2x+4的图象，使y≥1成立的x的取值范围是（）A．﹣1≤x≤3 B．x≤﹣1 C．x≥1 D．x≤﹣1或x≥3 6．已知二次函数y＝ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，且﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为（）A．1或﹣2 B．1 C．D．﹣或7．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，E为AC边上的点且AE＝2EC，点D在BC边上且满＝x，则y与x的函数关系式为（）足BD＝DE，设BD＝y，S△ABCA．y＝x2+B．y＝x2+C．y＝x2+2 D．y＝x2+28．对于题目“二次函数y＝（x﹣m）2+m，当2m﹣3≤x≤2m时，y的最小值是1，求m的值．”甲的结果是m＝1，乙的结果是m＝﹣2，则（）A．甲的结果正确B．乙的结果正确C．甲、乙的结果合在一起才正确D．甲、乙的结果合在一起也不正确9．已知二次函数y＝ax2+bx+c，其函数y与自变量x之间的部分对应值如表所示：x…﹣1 2 3 …y…0 0 4 …则可求得（4a﹣2b+c）的值是（）A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣410．在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点（0，﹣2），且直线l∥x轴．若直线l与二次函数y＝3x2+a的图象交于A，B两点，与二次函数y＝﹣2x2+b的图象交于C，D两点，其中a，b为整数．若AB＝2，CD＝4．则b﹣a的值为（）A．9 B．11 C．16 D．2411．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0°＜x≤90°）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（）A．18°B．36°C．41°D．58°12．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，它与x轴x＝2正半轴相交于点A，与y轴相交于点C，对称轴为直线x＝2，且OA＝OC，则下列结论：①abc＞0；②9a+3b﹣c＞0；③c＞﹣1；④关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有一个根为，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题13．若函数y＝（m﹣）是二次函数，则m＝．14．抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴的两个交点分别是A（﹣1，0），B（2，0）．当y＞0时，x的取值范围是．15．某二次函数的图象过点（﹣3，m）和（7，m），则此二次函数的图象的对称轴为．16．已知二次函数y＝﹣3x2+（m﹣1）x+1，当x＞时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是．17．抛物线y＝a（x﹣1）2+k与x轴两个交点间的距离为2，将抛物线y＝a（x+1）2+k向上平移n个单位，平移后的抛物线经过点（m，n）．则m的值是．18．如图，直线l ：y ＝，经过点M （0，），一组抛物线的顶B 1（1，y 1），B 2（2，y 2），B 3（3，y 3）…B n （n ， y n ）（n 为正整数）依次是直线l 上的点，这组抛物线与x 轴正半轴的交点依次是：A 1（x 1，0），A 2（x 2，0），A 3（x 3，0）．，A n +1（x n +1，0）（n 为正整数），设x 1＝d （0＜d ＜1）若抛物线的顶点与x 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则我们把这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．则当d （0＜d ＜1）的大小变化时美丽抛物线相应的d 的值是 ．三．解答题19．已知二次函数y ＝a （x ﹣1）2+4的图象经过点（﹣1，0）．（1）求这个二次函数的解析式；（2）判断这个二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标．20．在坐标系内画出y ＝﹣2 x 2+4x ﹣1的图象（要求列表）；并完成下列填空：此抛物线中，当x 时，y 随x 增大而减小；当x ＝ 时，y 有最 值为 ；对称轴为 ；顶点坐标为 ．21．已知，抛物线y ＝x 2+（m ﹣1）x +（m ﹣2）（m 为常数）（1）求证，无论m 为何值，抛物线与x 轴总有公式点；（2）若当0＜x ＜3时，抛物线与x 轴有公共点，求m 的取值范围；（3）若当0≤x ≤3时，抛物线有最小值为﹣2，求m 的值．22．“疾驰臭豆腐”是长沙知名地方小吃，某分店经理发现，当每价臭豆腐的售价为6元时，每天能卖出500份；当每份臭豆腐的售价每增加0.5元时，每天就会少卖出20份，设每份臭豆腐的售价增加x 元时，一天的营业额为y 元．（1）求y 与x 的函数关系式（不要求写出x 的取值范围）；（2）考虑到顾客可接受价格a 元/份的范围是6≤a ≤9，且a 为整数，不考虑其他因素，则该分店的臭豆腐每份多少元时，每天的臭豆腐营业额最大？最大营业额是多少元？23．新定义：如果函数G 的图象与直线l 相交于点A （x 1，y 1）和点B （x 2，y 2），那么我们把|x 1﹣x 2|和|y 1﹣y 2|中较大的数值叫做函数G 在直线l 上的“截距”．（1）求双曲线G ：y ＝与直线l ：y ＝﹣2x +6上的“截距”；（2）若抛物线y ＝2x 2+（2﹣b ）x 与直线y ＝﹣x +b 相交于点A （x 1，y 1）和点B （x 2，y 2），若“截距”为，且x 1＜x 2＜0，求b 的值；（3）设m ，n 为正整数，且m ≠2，抛物线y ＝x 2+（3﹣mt ）x ﹣3mt 在x 轴上的“截距”为d 1，抛物线y ＝﹣x 2+（2t ﹣n ）x +2nt 在x 轴上的“截距”为d 2．如果d 1≥d 2对一切实数t 恒成立，求m ，n 的值．24．平面直角坐标系中，O 是坐标原点，抛物线y ＝x 2﹣x +c 交x 轴于A ，B 两点（如图），顶点是C ，对称轴交x 轴于点D ，OB ＝2OA ，（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，E 是第三象限抛物线上一点，连接ED 并延长交抛物线于点F ，连接EC ，FC ，求证：∠ECF ＝90°；（3）如图3，在（2）问条件下，M ，N 分别是线段OA ，CD 延长线上一点，连接MN ，CM ，过点C 作CQ ⊥MN 于Q ，CQ 交DM 于点P ，延长FE 交MC 于R ，若∠NMD ＝2∠DMC ，DN +BO ＝MP ，MR ：RC ＝7：3，求点F 坐标．参考答案一．选择题1．解：∵抛物线y＝﹣2（x+5）2+4，∴抛物线的开口方向向下，顶点坐标为（﹣5，4）．故选：C．2．解：∵二次函数y＝mx2（m＞0）∴抛物线的对称轴为y轴，∵A（﹣2，a）、B（﹣1，b）、C（3，c）∴点C离y轴最远，点B离y轴最近，而抛物线开口向上，∴b＜a＜c；故选：B．3．解：∵y＝2x2﹣8x+9，＝2（x2﹣4x+4）+1，＝2（x﹣2）2+1，∴y＝2x2﹣8x+9的顶点坐标为（2，1），又∵y＝2x2的顶点坐标为（0，0），∴y＝2x2先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到y＝2x2﹣8x+9．故选：A．4．解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过一、二、四象限，∴k＜0，b＞0，∵△＝b2﹣4k（﹣k）＝b2+4k2＞0，∴抛物线与x轴有两个交点，∵k、b异号，∴抛物线的对称轴在y轴右侧，∴二次函数y＝kx2+bx﹣k的顶点在第一象限．故选：A．5．解：由图象可知，﹣1≤x≤3时，y≥1．故选：A．6．解：∵二次函数y＝ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），∴对称轴是直线x＝﹣＝﹣1，∵当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，∴a＞0，∵﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，∴x＝1时，y＝a+2a+3a2+3＝9，∴3a2+3a﹣6＝0，∴a＝1，或a＝﹣2（不合题意舍去）．故选：B．7．解：过A作AH⊥BC，过E作EP⊥BC，则AH∥EP，∴HC＝3，PC＝1，BP＝5，PE＝AH，∵BD＝DE＝y，∴在Rt△EDP中，y2＝（5﹣y）2+PE2，∵x＝6AH÷2＝3AH，∴y2＝（5﹣y）2+，∴y＝x2+，故选：A．8．解：二次函数的对称轴为直线x＝m，①m＜2m﹣3时，即m＞3，y的最小值是当x＝2m﹣3时的函数值，此时（2m﹣3﹣m）2+m＝1，因为方程无解，故m值不存在；②当2m﹣3≤m≤2m时，即0≤m≤3时，二次函数有最小值1，此时，m＝1，③当m＞2m时，即m＜0，y的最小值是当x＝2m时的函数值，此时，（2m﹣m）2+m＝1，解得m＝±2，∵m＜0，∴m＝﹣2所以甲、乙的结果合在一起正确，故选：C．9．解：将x＝﹣1，y＝0；x＝2，y＝0；x＝3，y＝4代入y＝ax2+bx+c，得到，∴，∴（4a﹣2b+c）＝4；故选：C．10．解：∵直线l经过点（0，﹣2），且直线l∥x轴，AB＝2，CD＝4．∴A（1，﹣2），C（2，﹣2），分别代入y＝3x2+a，y＝﹣2x2+b可得a＝﹣5，b＝6，∴b﹣a＝11，故选：B．11．解：由图象可得，该函数的对称轴x＞且x＜54，∴36＜x＜54，故选：C．12．解：由图象开口向下，可知a＜0，与y轴的交点在x轴的下方，可知c＜0，又对称轴方程为x＝2，所以﹣＞0，所以b＞0，∴abc＞0，故①正确；由图象可知当x＝3时，y＞0，∴9a+3b+c＞0，∵c＜0，即﹣c＞0∴9a+3b＞0，∴9a+3b﹣c＞0，故②正确；由图象可知OA＜1，∵OA＝OC，∴OC＜1，即﹣c＜1，∴c＞﹣1，故③正确；假设方程的一个根为x＝﹣，把x＝﹣代入方程可得﹣+c＝0，整理可得ac﹣b+1＝0，两边同时乘c可得ac2﹣bc+c＝0，即方程有一个根为x＝﹣c，由②可知﹣c＝OA，而当x＝OA是方程的根，∴x＝﹣c是方程的根，即假设成立，故④正确；综上可知正确的结论有三个：①②③④4个．故选：D．二．填空题（共6小题）13．解：∵函数y＝（m﹣）是二次函数，∴m2＝2，且m﹣≠0，解得：m＝﹣．故答案为：﹣．14．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴的两个交点分别是A（﹣1，0），B（2，0），抛物线的开口向上，∴当y＞0时，x的取值范围是x＜﹣1或x＞2．故答案为x＜﹣1或x＞2．15．解：∵二次函数的图象过点（﹣3，m）和（7，m），∴此二次函数的图象的对称轴为直线x＝＝2，故答案为：直线x＝2．16．解：∵函数的对称轴为x＝﹣＝，又∵二次函数开口向下，∴在对称轴的右侧y随x的增大而减小，∵当x＞时，y随x的增大而减小，∴≤．解得m≥﹣2，故答案为：m≥﹣2．17．解：抛物线y＝a（x﹣1）2+k的对称轴为x＝1，∵抛物线与x轴两个交点间的距离为2，∴抛物线与x轴的两个交点分别为（0，0），（2，0），∴a+k＝0，∴抛物线y＝a（x+1）2+k的解析式可化为y＝a（x+1）2﹣a，将抛物y＝a（x+1）2﹣a向上平移n个单位，得到解析式为y＝a（x+1）2﹣a+n向上平移n个单位，∵抛物线经过点（m，n），∴（m+1）2＝1，∴m＝﹣2或m＝0；故答案为0或﹣2．18．解：将（0，）代入直线l：y＝得：b＝∴y＝∵当x＝1时，y＝＜1∴B1（1，）∵当x＝2时，y＝＜1∴B2（2，）当x＝3时，y＝＞1∴美丽抛物线的顶点只有B1，B2若B1为顶点，则d＝1﹣＝；若B2为顶点，则d＝1﹣[（2﹣）﹣1]＝故答案为：或．三．解答题（共6小题）19．解：（1）把（﹣1，0）代入二次函数解析式得：4a+4＝0，即a＝﹣1，则函数解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4；（2）∵a＝﹣1＜0，∴抛物线开口向下，顶点坐标为（1，4），对称轴为直线x＝1．20．解：列表：x…﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …y…﹣17 ﹣7 ﹣1 1 ﹣1 ﹣7 ﹣17 …描点，连线如图：根据图象，此抛物线中，当x＞1时，y随x增大而减小；当x＝1时，y有最大值为1；对称轴为直线x＝1；顶点坐标为（1，1），故答案为＞1，1，大，1，直线x＝1，（1，1）．21．（1）证明：△＝（m﹣1）2﹣4（m﹣2）＝m2﹣6m+9＝（m﹣3）2．∵（m﹣3）2≥0，即△≥0，∴无论m为何值，抛物线与x轴总有公共点．（2）解方程x2+（m﹣1）x+（m﹣2）＝0得x1＝﹣1，x2＝2﹣m，∵当0＜x＜3时，抛物线与x轴有公共点，∴0＜2﹣m＜3，∴﹣1＜m＜2；（3）解：y＝（x﹣）2+抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝，当≤0时，即m≥1，x＝0时，函数的最小值为﹣2，把（0，﹣2）代入y＝x2+（m﹣1）x+（m﹣2）得m﹣2＝﹣2，解得m＝0，不合题意舍去；当0≤≤3时，即﹣5≤m≤1，x＝时，函数的最小值为﹣2，即＝﹣2，解得m＝2±2，此时m的值为2﹣2；当≥3时，即m≤﹣5，x＝3时，函数的最小值为﹣2，把（3，﹣2）代入y＝x2+（m ﹣1）x+（m﹣2）得9+3m﹣3+m﹣2＝﹣2，解得m＝﹣，不合题意舍去；综上所述，m的值为2﹣2．22．解：（1）由题意得：y＝（500﹣×20）（6+x）＝（x+6）（500﹣40x）；（2）6≤a≤9，即0≤x≤3，y＝（x+6）（500﹣40x）＝﹣40（x+6）（x﹣12.5），函数的对称轴为：x＝6.5，∵﹣40＜0，函数有最大值，当x＜6.5时，函数随x的增大而增大，而0≤x≤3，故x＝3时，y最大，此时，y最大值为：3420，即每份9元时，营业额最大，最大营业额是3420元．23．解：（1）根据题意可得解得：或∴|x1﹣x2|＝1，|y1﹣y2|＝2，∴双曲线G：y＝与直线l：y＝﹣2x+6上的“截距”＝2，（2）∵直线y＝﹣x+b与x轴成45°角，∴|x1﹣x2|＝|y1﹣y2|∵2x2+（2﹣b）x＝﹣x+b∴2x2+（3﹣b）x﹣b＝0∴△＝（3﹣b）2+8b＝b2+2b+9＝（b+1）2+8＞0∴|x1﹣x2|＝＝解得：b1＝﹣5，b2＝3，∵x1＜x2＜0，∴x1•x2＝﹣＞0∴b＜0∴b＝﹣5（3）令y＝0，则x2+（3﹣mt）x﹣3mt＝0，∴x1＝﹣3，x2＝mt，∴d1＝|mt+3|由﹣x2+（2t﹣n）x+2nt＝0，∴x1＝﹣n，x2＝2t，∴d2＝|2t+n|，∵d1≥d2对一切实数t恒成立，∴|mt+3|≥|2t+n|，∴（mt+3）2≥（2t+n）2∴（m2﹣4）t2+（6m﹣4n）t+9﹣n2≥0①∴当m2﹣4＞0，且△＝（6m﹣4n）2﹣4（m2﹣4）（9﹣n2）≤0时，①式对于一切实数t恒成立，∴∴且m，n为正整数，∴或24．解：（1）∵抛物线对称轴为：直线x＝1，∴D（1，0），由抛物线对称性知：DA＝DB，设DA＝DB＝m，则：A（1﹣m，0），B（1+m，0），∵OB＝2OA∴1+m＝2（m﹣1），解得：m＝3∴A（﹣2，0），B（4，0），将A（﹣2，0）代入y＝x2﹣x+c，得0＝×（﹣2）2×（﹣2）+c，解得：c＝∴抛物线的解析式为：y＝x；（2）如图2，∵y＝x＝；∴顶点C（1，﹣3），设点E（n， n2﹣n﹣），F（m， m2﹣n﹣），过点E作EH⊥CD于G，过F作FG⊥CD于G，则G（1， m2﹣n﹣），H（1， n2﹣n﹣），∴EH＝1﹣n，FG＝m﹣1，DG＝m2﹣n﹣，DH＝﹣（n2﹣n﹣），∵EH⊥CD，FG⊥CD∴∠DHE＝∠DGF＝90°∵∠EDH＝∠FDG∴△DEH∽△DFG∴＝，即＝，∴＝∵EH≠FG∴m+n﹣2≠0∴（m﹣1）（1﹣n）＝﹣9∵tan∠GFC＝＝＝（m﹣1），tan∠ECH＝＝＝﹣∴＝＝＝1∴tan∠GFC＝tan∠ECH∴∠GFC＝∠E CH∵∠GFC+∠FCG＝90°∴∠ECH+∠FCG＝90°即∠ECF＝90°．（3）如图3，以DM为边在x轴上方作正方形DMKT，延长CQ交KT于S，过S作SG⊥DM 于G，连接MT，作∠SCT平分线交MT于I，过点I作IJ⊥CT于J，设DM＝t，则DT＝TK＝t，∵正方形DMKT，∴∠DTM＝∠KTM＝∠DMT＝45°∴四边形TLIJ是正方形，∴IJ＝TJ＝TL∵CI平分∠SCT∴∠JCI＝∠SCT∵CQ⊥MN∴∠SCT+∠MND＝∠NMD+∠MND＝90°∴∠NMD＝∠SCT∵∠NMD＝2∠DMC，∴∠DMC＝∠SCT∴∠JCI＝∠DMC∴∠JCI+∠DTM＝∠DMC+∠DMT即∠CIM＝∠CMI∴CM＝CI∵∠MDC＝∠CJI＝90°∴△MDC≌△CJI（AAS）∴IJ＝CD＝3∴JT＝TL＝3在△MDN和△SGP中∴△MDN≌△SGP（AAS）∴DN＝PG∵DN+BO＝MP，MG+PG＝MP∴MG＝BO＝4∴KS＝4∴SL＝t﹣7，易证：SZ＝SL＝t﹣7，CZ＝CJ＝t，CS＝2t﹣7 在Rt△CST中，∵ST2+CT2＝CS2∴（t﹣4）2+（t+3）2＝（2t﹣7）2，解得：t1＝12，t2＝1（不符合题意，舍去）∴M（﹣11，0），过点R作RW⊥DM于W，则△MRW∽△MCD ∵MR：RC＝7：3，∴＝，∴＝＝＝，∴MW＝，RW＝∴R（﹣，﹣）设直线DR解析式为y＝kx+b，则解得：∴直线DR解析式为y＝x﹣解方程组，得，；∴E（﹣，），F（5，）．。
人教版九年级数学上册：第22章：二次函数(培优卷)(含答案)(1)
9. 已知函数 y=|x2 -2x-3|的大致图象如图
值范围是 (
)
D．1 个 4，如果方程 |x2 -2x-3|=m(m 为实数 )有 2 个不相等的实数根，则
m 的取
A ． m>3
B． m>4 C． m>3 或 m=0
D． m>4 或 m=0
10. 若实数 a 使关于 x 的二次函数 y=x 2 +(a-1)x-a+2 ，当 x＜ -1 时， y 随 x 的增大而减小，且使关于
)
A．
B．
C．
D．
4. 已知二次函数 y=ax 2 +bx+c(a ≠ 0)的图象如图 1，则下列结论中正确的是 (
)
A ．abc＞ 0
B ．b2 -4ac＜0
C． 9a+3b+c＞ 0
D． c+8a＜ 0
5. 已知二次函数 y=ax 2 +bx+c 的图象如图 2 所示，则下列说法正确的是 (
)
A ．ac＜ 0
15. 函数 y=ax 2 -2x+2 ，若对满足 3＜ x ＜ 4 的任意实数 x 都有 y＞ 0 成立，则实数 a 的取值范围为 16. 已知二次函数 y=(x-m) 2 +2m(m 为常数 )，在自变量 x 的值满足 1≤ x≤ 3 的情况下，与其对应的函数值 y 的最
小值为 4，则 m 的值为 三、解答题 (7＇ +8＇ +8＇ +8＇ +9＇+9 ＇ +10＇ +10 ＇ +12＇＝ 72＇ ) 17. 已知二次函数经过 (1，1) ，以 (-1， 4)， (0， 3)．求这个二次函数解析式．
人教版数学九年级 上册 第二十二章 《二次函数》 培优单元测试卷(含解析答案)
人教版数学九年级上册第二十二章《二次函数》培优单元测试卷（含解析答案）一．选择题1．已知抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，则n的值为（）A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．42．将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（）A．y＝2（x+2）2+3 B．y＝2（x﹣2）2+3C．y＝2（x﹣2）2﹣3 D．y＝2（x+2）2﹣33．二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax+a在同一坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．4．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝OC．则由抛物线的特征写出如下结论：①abc＞0；②4ac﹣b2＞0；③a﹣b+c＞0；④ac+b+1＝0．其中正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个5．已知二次函数y ＝ax 2+bx ﹣2a （a ≠0）的图象经过点A （1，n ），B （3，n ），且当x ＝1时，y ＞0．若M （﹣2，y 1）、N （﹣1，y 2）、P （7，y 3）也在该二次函数的图象上，则下列结论正确的是（ ） A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 2＜y 1＜y 3C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 1＜y 3＜y 26．若二次函数y ＝|a |x 2+bx +c 的图象经过A （m ，n ）、B （0，y 1）、C （3﹣m ，n ）、D （，y 2）、E （2，y 3），则y 1、y 2、y 3的大小关系是（ ）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 1＜y 3＜y 2C ．y 3＜y 2＜y 1D ．y 2＜y 3＜y 17．已知二次函数y ＝a x 2+bx +c 的y 与x 的部分对应值如表：下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x ＝2；③当0＜x ＜4时，y ＞0；④抛物线与x 轴的两个交点间的距离是4；⑤若A （x 1，2），B （x 2，3）是抛物线上两点，则x 1＜x 2，其中正确的个数是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．58．赵州桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，函数关系为，当水面宽度AB 为20m时，水面与桥拱顶的高度DO 等于（ ）A ．2mB ．4mC ．10mD ．16m9．已知二次函数y ＝ax 2﹣2ax ﹣3a （a ≠0），关于此函数的图象及性质，下列结论中不一定成立的是（ ）A ．该图象的顶点坐标为（1，﹣4a ）B ．该图象与x 轴的交点为（﹣1，0），（3，0）C ．若该图象经过点（﹣2，5），则一定经过点（4， 5）D ．当x ＞1时，y 随x 的增大而增大10．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过点A （﹣3，0），其对称轴为直线x ＝﹣1，有下列结论：①abc＜0；②a﹣b﹣2c＞0；③关于x的方程ax2+（b﹣m）x+c＝m有两个不相等的实数根；④若P（﹣5，y1），Q（m，y2）是抛物线上两点，且y1＞y2，则实数m的取值范围是﹣5＜m＜3．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．411．如图，在平面直角坐标系网格中，点Q，R，S，T都在格点上，过点P（1，2）的抛物线y＝ax2+2ax+c（a＜0）可能还经过（）A．点Q B．点R C．点S D．点T12．二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列论正确的是（）A．5a+c＝0B ．4a ﹣2b +c ＞0C ．2a +b ＝0D ．若A （﹣0.5，y 1），B （4，y 2）在该函数图象上，则y 1＞y 2 二．填空题13．将抛物线y ＝（x ﹣3）2﹣2向左平移 个单位后经过点A （2，2）．14．当0≤x ≤3时，直线y ＝a 与抛物线y ＝（x ﹣1）2﹣3有交点，则a 的取值范围是 ．15．在平面直角坐标系中，垂直于x 轴的直线l 分别与函数y ＝x ﹣a +1和y ＝x 2﹣2ax 的图象相交于P ，Q 两点．若平移直线l ，可以使P ，Q 都在x 轴的下方，则实数a 的取值范围是 ．16．已知t 1、t 2是关于t 的二次函数s ＝﹣3t 2+6t +f 的图象与x 轴两交点的横坐标，且，那么y 与x 间的函数关系式为17．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac ﹣b 2＜0；②2a ﹣b ＝0；③4a +c ＜2b ；④m （am +b ）+b ＜a （m ≠﹣1），其中说法正确的有 ．18．如图，在喷水池的中心A 处竖直安装一个水管AB ，水管的顶端安有一个喷水池，使喷出的抛物线形水柱在与池中心A 的水平距离为1m 处达到最高点C ，高度为3m ，水柱落地点D 离池中心A 处3m ，以水平方向为x 轴，建立平面直角坐标系，若选取A 点为坐标原点时的抛物线的表达式为y ＝﹣，则选取点D 为坐标原点时的抛物线表达式为 ，水管AB 的长为 m ．三．解答题19．已知点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）在二次函数y ＝x 2+mx +n 的图象上，当x 1＝1、x 2＝3时，y 1＝y 2．（1）若P （a ，b 1），Q （3，b 2）是函数图象上的两点，b 1＞b 2，则实数a 的取值范围是A ．a ＜1B ．a ＞3C ．a ＜1或a ＞3D .1＜a ＜3（2）若抛物线与x 轴只有一个公共点，求二次函数的表达式． （3）若对于任意实数x 1、x 2都有y 1+y 2≥2，则n 的范围是 ．20．某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y （件）与销售单价x （元）之间存在一次函数关系，如图所示．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？21．已知二次函数y ＝ax 2+bx ﹣3（a ≠0）中x ，y 满足下表：（1）请求出m的值；（2）某同学根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了该二次函数图象的一部分，请观察图象直接写出当y＞0时，x的取值范围；（3）求出这个二次函数的解析式（也称为函数关系式）．22．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过等腰Rt△OAB的A，B两点，点B在点A的右侧，直角顶点A（0，3）．（1）求b，c的值．（2）P是AB上方抛物线上的一点，作PQ⊥AB交OB于点Q，连接AP，是否存在点P，使四边形APQO是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．23．商场里某产品每月销售量y（只）与销售单价x（元）满足一次函数关系，经调查部分数据如表：（已知每只进价为10元，每只利润＝销售单价﹣进价）（1）求出y与x之间的函数表达式；（2）这产品每月的总利润为w元，求w关于x的函数表达式，并指出销售单价为多少元时利润最大，最大利润是多少元？（3）由于该产品市场需求量较大，进价在原有基础上提高了a元（a＜10），但每月销售量与销售价仍满足上述一次函数关系，此时，随着销售量的增大，所得的最大利润比（2）中的最大利润减少了144元，求a的值．24．如图，斜坡AB长10米，按图中的直角坐标系可用y＝x+5表示，点A，B分别在x轴和y轴上．在坡上的A处有喷灌设备，喷出的水柱呈抛物线形落到B处，抛物线可用y＝x2+bx+c表示．（1）求抛物线的函数关系式（不必写自变量取值范围）；（2）求水柱离坡面AB的最大高度；（3）在斜坡上距离A点2米的C处有一颗3.5米高的树，水柱能否越过这棵树？25．如图，二次函数＝ax2+bx﹣3的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．与y 轴相交于点C（1）求这个二次函数的解析式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点AM，请问：当点P的坐标为多少时，线段PM的长最大？并求出这个最大值．26．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣1与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A，B两点，其中A（m，0），B（4，n），该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D．（1）求m，n的值及该抛物线的解析式；（2）如图2，若点P为线段A D上的一动点（不与A，D重合），分别以AP，DP为斜边，在直线AD的同侧作等腰直角△APM和等腰直角△DPN，连接MN，试确定△MPN面积最大时P点的坐标．参考答案一．选择题1．解：抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，可知函数的对称轴x＝1，∴＝1，∴b＝2；∴y＝﹣x2+2x+4，将点（﹣2，n）代入函数解析式，可得n＝﹣4；故选： B．2．解：将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为y＝2（x﹣2）2+3，故选：B．3．解：由一次函数y＝ax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点（﹣1，0），排除A、B；当a＞0时，二次函数y＝ax2开口向上，一次函数y＝ax+a经过一、二、三象限，当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除C；故选：D．4．解：①观察图象可知，开口方上a＞0，对称轴在右侧b＜0，与y轴交于负半轴c＜0，∴abc＞0，故正确；②∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，故错误；③当x＝﹣1时y＝a﹣b+c，由图象知（﹣1，a﹣b+c）在第二象限，∴a﹣b+c＞0，故正确④设C（0，c），则OC＝|c|，∵OA＝OC＝|c|，∴A（c，0）代入抛物线得ac2+bc+c＝0，又c≠0，∴ac+b+1＝0，故正确；故正确的结论有①③④三个，故选：B．5．解：∵当x＝1时，y＞0．∴n ＞0，又∵经过点A （1，n ），B （3，n ）， ∴x ＝2是函数的对称轴，令x ＝0时，函数与y 轴交点（0，﹣2a ）， 当a ＞0时，﹣2a ＜0，不符合题意； ∴a ＜0，∴M （﹣2，y 1）、N （﹣1，y 2）、P （7，y 3）到对称轴的距离从远即近为P ，M ，N ， ∴y 2＞y 1＞y 3， 故选：C ．6．解：∵经过A （m ，n ）、C （3﹣m ，n ），∴二次函数的对称轴x ＝，∵B （0，y 1）、D （，y 2）、E （2，y 3）与对称轴的距离B 最远，D 最近，∵|a |＞0， ∴y 1＞y 3＞y 2； 故选：D ．7．解：设抛物线解析式为y ＝ax （x ﹣4），把（﹣1，5）代入得5＝a ×（﹣1）×（﹣1﹣4），解得a ＝1， ∴抛物线解析式为y ＝x 2﹣4x ，所以①正确； 抛物线的对称轴为直线x ＝2，所以②正确； ∵抛物线与x 轴的交点坐标为（0，0），（4，0）， ∴当0＜x ＜4时，y ＜0，所以③错误；抛物线与x 轴的两个交点间的距离是4，所以④正确；若A （x 1，2），B （x 2，3）是抛物线上两点，则x 2＜x 1＜2或2＜x 1＜x 2，所以⑤错误． 故选：B ．8．解：根据题意B 的横坐标为10，把x ＝10代入y ＝﹣x 2，得y ＝﹣4，∴A （﹣10，﹣4），B （10，﹣4）， 即水面与桥拱顶的高度DO 等于4m ．故选：B．9．解：y＝a（x2﹣2x﹣3）＝a（x﹣3）（x+1）令y＝0，∴x＝3或x＝﹣1，∴抛物线与x轴的交点坐标为（3，0）与（﹣1，0），故B成立；∴抛物线的对称轴为：x＝1，令x＝1代入y＝ax2﹣2ax﹣3a，∴y＝a﹣2a﹣3a＝﹣4a，∴顶点坐标为（1，﹣4a），故A成立；由于点（﹣2，5）与（4，5）关于直线x＝1对称，∴若该图象经过点（﹣2，5），则一定经过点（4，5），故C成立；当x＞1，a＞0时，y随着x的增大而增大，当x＞1，a＜0时，y随着x的增大而减少，故D不一定成立；故选：D．10．解：有图可知a＞0，c＜0，对称轴为x＝﹣1，∴x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a＞0；①abc＜0，正确；②y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0），∴9a﹣3b+c＝0，∴3a+c＝0，即c＝﹣3a，∴y＝ax2+2ax﹣3a，a﹣b﹣2c＝a﹣2a+6a＝5a＞0，②正确；③ax2+（b﹣m）x+c＝m，可化为ax2+（2a﹣m）x﹣3a＝m，∴ax2+（2a﹣m）x﹣3a﹣m＝0，△＝（2a﹣m）2+4a（3a+m）＝16a2+m2＞0，∴关于x的方程ax2+（b﹣m）x+c＝m有两个不相等的实数根；③正确；④P（﹣5，y1），Q（m，y2）是抛物线上两点，且y1＞y2，∴x＝﹣1是对称轴，∴与P点y值相等的点为（3，y1），∵y1＞y2，∴﹣5＜m＜3；④正确；故选：D．11．解：∵抛物线y＝ax2+2ax+c（a＜0）过点（1，2），∴a+2a+c＝2，即3a+c＝2，若抛物线y＝ax2+2ax+c（a＜0）过点Q（2，3），则4a+4a+c＝5a+（3a+c）＝3，得a ＝0.2与a＜0矛盾，故选项A不符合题意，若抛物线y＝ax2+2ax+c（a＜0）过点R（﹣1，0），则a﹣2a+c＝﹣4a+（3a+c）＝0，得a＝0.5与a＜0矛盾，故选项B不符合题意，若抛物线y＝ax2+2ax+c（a＜0）过点S（﹣2，1），则4a﹣4a+c＝﹣3a+（3a+c）＝1，得a＝1与a＜0矛盾，故选项C不符合题意，若抛物线y＝ax2+2ax+c（a＜0）过点T（﹣4，﹣1），则16a﹣8a+c＝5a+（3a+c）＝﹣1，得a＝﹣0.6，故选项D符合题意，故选：D．12．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象过点（﹣1，0），代入得：∴a﹣b+c＝0，①∵对称轴是x＝2，即＝2，∴﹣b＝4a，②代入①得：a+4a+c＝0，即5a+c＝0故选：A．二．填空题（共6小题）13．解：∵将抛物线y＝（x﹣3）2﹣2向左平移后经过点A（2，2），∴设平移后解析式为：y＝（x﹣3+a）2﹣2，则2＝（2﹣3+a）2﹣2，解得：a＝3或a＝﹣1（不合题意舍去），故将抛物线y＝（x﹣3）2﹣2向左平移3个单位后经过点A（2，2）．故答案为：3．14．解：法一：y＝a与抛物线y＝（x﹣1）2﹣3有交点则有a＝（x﹣1）2﹣3，整理得x2﹣2x﹣2﹣a＝0∴△＝b2﹣4ac＝4+4（2+a）≥0解得a≥﹣3，∵0≤x≤3，对称轴x＝1∴y＝（3﹣1）2﹣3＝1∴a≤1法二：由题意可知，∵抛物线的顶点为（1，﹣3），而0≤x≤3∴抛物线y的取值为﹣3≤y≤1∵y＝a，则直线y与x轴平行，∴要使直线y＝a与抛物线y＝（x﹣1）2﹣3有交点，∴抛物线y的取值为﹣3≤y≤1，即为a的取值范围，∴﹣3≤a≤1故答案为：﹣3≤a≤115．解：∵平移直线l，可以使P，Q都在x轴的下方，令y＝x﹣a+1＜0，∴x＜1﹣a，令y＝x2﹣2ax＜0，∴2a＜x＜0；当a＞0时，x＜1﹣a与2a＜x＜0有解，a﹣1＞0，则a＞1；当a＜0时，x＜1﹣a与2a＜x＜0有解，a﹣1＞2a，则a＜﹣1；∴a＞1或a＜﹣1；故答案为a＞1或a＜﹣1；16．解：∵t1、t2是二次函数s＝﹣3t2+6t+f的图象与x轴两交点的横坐标，∴t1+t2＝2，而x＝10t1，y＝10t2，∴xy＝10t1×10t2＝10t1+t2＝102＝100，∴y＝（x＞0）．故答案为：y＝（x＞0）．17．解：∵由图象可知，当y＝0时，图象与x轴有两个交点，∴ax2+bx+c＝0时，b2﹣4ac＞0．∴4ac﹣b2＜0．（故①正确）；∵二次函数的对称轴：x＝﹣，∴b＝2a．∴2a﹣b＝0．（故②正确）；∵由图象可知，x＝0时和x＝﹣2时函数值相等，都大于零，∴x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0．∴4a+c＞2b．（故③错误）；∵由图象可知x＝﹣1时该二次函数取得最大值，∴a﹣b+c＞am2+bm+c（m≠﹣1）．∴m（am+b）＜a﹣b．（故④正确）故答案为：①②④．18．解：以池中心A为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系．抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+3，当选取点D为坐标原点时，相当于将原图象向左平移3个单位，故平移后的抛物线表达式为：y＝﹣（x+2）2+3（0≤x≤3）；令x＝0，则y＝＝2.25．故水管AB的长为2.25m．故答案为：y＝﹣（x+2）2+3（0≤x≤3）；2.25．三．解答题（共8小题）19．解：（1）∵当x1＝1、x2＝3时，y1＝y2．∴函数的对称轴x＝2，若P在对称轴右侧，则a＞3；若P在对称轴左侧，Q与对称轴对称的点的横坐标为1，∴a＜1；综上所述，a＜1或a＞3；故答案为C．（2）∵对称轴x＝2，∴m＝﹣4，∵抛物线与x轴只有一个交点，∴m2﹣4n＝0，∴n＝4，∴y＝x2﹣4x+4；（3）y＝x2﹣4x+n，∵开口向上，∴当x＝2时，函数有最小值n﹣4，∴2（n﹣4）＝2n﹣8≥2，∴n≥5．20．解：（1）设y＝kx+b，将（40，300）、（55，150）代入，得：，解得：，则y＝﹣10x+700；（2）设每天获取的利润为W，则W＝（x﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000，又∵﹣10x+700≥240，∴x≤46，∵x＜50时，W随x的增大而增大，∴当x＝46时，W取得最大值，最大值为﹣10×16+4000＝3840，答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元．21．解：（1）由图中表格可知，二次函数y＝ax2+bx﹣3（a≠0）的图象关于直线x＝﹣1对称，且（2，m）与（﹣4，5）关于直线x＝﹣1对称，∴m＝5．（2）由图象可知，当y＞0时，x的取值范围是：x＜﹣3或x＞1．（3）把（﹣2，﹣3），（1，0）分别代入y＝ax2+bx﹣3（a≠0）中，得．解得．则该二次函数的解析式为：y＝x2+2x﹣3．22．解：（1）∵A（0，3），等腰Rt△OAB，∴AB＝3＝OA，∴B（3，3），将点A、B的坐标代入y＝﹣x2+bx+c得：，∴，（2）存在，∵B（3，3），∴OB的解析式为y＝x，∵y＝﹣x2+3x+3，设P（m，﹣m2+3m+3），Q（m，m），∵PQ⊥AB，OA⊥AB，∴OA∥PQ，若四边形APQO是平行四边形，∴PQ ＝﹣m 2+3m +3﹣m ＝3，解得m ＝0（舍去），m ＝2，当m ＝2时，y ＝﹣4+6+3＝5，∴p （2，5），即当P （2，5）时，四边形APQO 是平行四边形．23．解：（1）设y ＝kx +b （k ≠0），根据题意代入点（21，29），（25，25），∴解得，∴y ＝﹣x +50．（2）依题意得，w ＝（x ﹣10）（﹣x +50）＝﹣x 2+60x ﹣500＝﹣（x ﹣30）2+400， ∵a ＝﹣1＜0，∴当x ＝30时，w 有最大值400，即当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润400元．（3）最新利润可表示为﹣x 2+60x ﹣500﹣a （﹣x +50）＝﹣x 2+（60+a ）x ﹣500﹣50a ，∴此时最大利润为＝400﹣144， 解得a 1＝8，a 2＝72，∵当a ＝72时，销量为负数舍去．∴a ＝8．24．解：（1）∵AB ＝10、∠OAB ＝30°，∴OB ＝AB ＝5、OA ＝AB cos ∠OAB ＝10×＝5，则A （5，0）、B （0，5），将A 、B 坐标代入y ＝﹣x 2+bx +c ，得：，解得：，∴抛物线解析式为y ＝﹣x 2+x +5；（2）水柱离坡面的距离d＝﹣x2+x+5﹣（﹣x+5）＝﹣x2+x＝﹣（x2﹣5x）＝﹣（x﹣）2+，∴当x＝时，水柱离坡面的距离最大，最大距离为；（3）如图，过点C作CD⊥OA于点D，∵AC＝2、∠OAB＝30°，∴CD＝1、AD＝，则OD＝4，当x＝4时，y＝﹣×（4）2+×4+5＝5＞1+3.5，所以水柱能越过树．25．解：（1）由题意得：，解得，∴这个二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，（2）当x＝0时，y＝3，则C为（0，﹣3），易得直线BC的函数解析式为：y＝x﹣3，设P的坐标为（t，t2﹣2t﹣3）（0＜t＜3），则M的坐标为（t，t﹣3），∴PM＝t﹣3﹣（t2﹣2t﹣3）＝t2+3t＝（t﹣）2+，∵﹣1＜0且0＜t＜3，∴当t＝时，PM取得最大值，最大值为，此时P的坐标为（，﹣）．26．解：（1）把点A（m，0）、点B（4，n）代入y＝x﹣1中，得m＝1，n＝3．∴A（1，0），B（4，3）∵y＝﹣x2﹣bx+c过点A、点B，所以解得，∴y＝﹣x2+6x﹣5．（2）如图2，∵△APM和△DPN为等腰直角三角形，∴∠APM＝∠DPN＝45°，∴∠MPN＝90°，∴△MPN为直角三角形．令﹣x2+6x﹣5＝0，解得x＝1或5，∴D（5，0），AD＝4．设AP＝m，则DP＝4﹣m，∴PM＝m，PN＝（4﹣m），＝×PM×PN＝m×（4﹣m）∴S＝﹣（m﹣2）2+1．∴当m＝2，即AP＝2时，△MPN的面积最大，此时OP＝3，∴P（3，0）．。
人教版九年级上册数学 第二十二章 二次函数 单元培优试卷
人教版九年级上册数学第二十二章 二次函数 单元培优试卷一.选择题1．抛物线247y x x =--的顶点坐标是（ ）A ．(211)-，B ．(27)-，C ．(211)，D ．(23)-， 2．是二次函数，则m 的值为（ ）A ．0，﹣2B ．0，2C ．0D ．﹣23．对于抛物线21(5)33y x =--+，下列说法正确的是（ ） A ．开口向下，顶点坐标(53)，B ．开口向上，顶点坐标(53)-，C ．开口向下，顶点坐标(53)-，D ．开口向上，顶点坐标(53)， 4．如图，抛物线的函数表达式是（ ）．A ．B ．C ．D ．5．直线2y =与抛物线243y x x =--的交点个数是（ ）．A ．1B ．2C ．1或2D ．06．已知抛物线C ：y ＝x 2+3x ﹣10，将抛物线C 平移得到抛物线C'，若两条抛物线C ．C′关于直线x ＝1对称，则下列平移方法中，正确的是（ ）A ．将抛物线C 向右平移6个单位B ．将抛物线C 向右平移5个单位C ．将抛物线C 向右平移3个单位D ．将抛物线C 向右平移2．5个单位7．如图，一次函数y 1＝x 与二次函数y 2＝ax 2＋bx ＋c 图象相交于P ．Q 两点，则函数y ＝ax 2＋（b －1）x ＋c 的图象可能是（ ）A. B ． C. D ．8．已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论：①abc＞0；②a+b+c=2；③a＜；④b＞1．其中正确的结论是（ ）22+-=x x y 22++-=x x y 22++=x x y 22+--=x x yA ．①②B ．②③C ．③④D ．②④二.填空题9．抛物线y=2（x －2）2－6的顶点坐标是 10．对于二次函数，当 时，有最小值．11．将抛物线y ＝2（x ﹣1）2向左平移3个单位，向下平移1个单位后所得到的新抛物线的表达式为 ．12．若A （-2，a ），B （1，b ），C （2，c ）为二次函数()219y x =+-的图象上的三点，则a ，b ，c 的大小关系是__________________．(用“<”连接)13．一个二次函数解析式的二次项系数为1，一次项系数为0，这个二次函数的图象与y 轴的交点坐标是)1,0(，这个二次函数的解析式是________________14．如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为8米的点．处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离是 米（精确到1米）．三.解答题三.解答题15．抛物线342+-=x x y 与y 轴的交点坐标是__________ （1）求这条抛物线与x 轴的交点坐标（2）画出草图（3）求抛物线的顶点坐标．对称轴（4）当x 取什么值时，y>0？m x x y +-=22x =y 211040y x =-+AB E F EFy O16．若二次函数的图象的对称轴方程是 ，并且图象过A(0，-4)和B(4，0)， ( 1 ) 求此二次函数图象上点A 关于对称轴对称的点A′的坐标；( 2 ) 求此二次函数的解析式；17．已知函数y=u+v ，其中u 与x 的平方成正比，v 是x 的一次函数，（1）根据表格中的数据，确定v 的函数式；（2）如果x=﹣1时，函数y 取最小值，求y 关于x 的函数式；（3）在（2）的条件下，写出y 的最小值．18．如图，抛物线223y x x =--与x 轴分别交于A ，B 两点． （1）求A ，B 两点的坐标；（2）求 抛物线顶点M 关于x 轴对称的点M '的坐标，并判断四边形AMB M ' 是何特殊平行四边形（不要求说明理由）．19．东东投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y （件）与销售 单价x （元）之间的关系可近似的看作一次函数：y ＝﹣10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．（1）设东东每月获得利润为w （元），求每月获得利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式，并确定自变量x 的取值范围．（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？20．一批衬衫，经试验发现，若每件按24元的价格销售时，每天能卖出36件；若每件按29元的价格销售时，每天能卖出21件．假定每天销售件数y(件)与销售价格x(元/件)满足一个以x 为自变量的一次函数．(1)求y 与x 满足的函数表达式(不要求写出x 的取值范围)．(2)在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润p 最大？21．如图，已知直线33y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线2y ax bx c =++经过点A 和点C ，对称轴为直线:1l x =-，该抛物线与x 轴的另一个交点为B ．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P 在抛物线上且位于第二象限，求PBC 的面积最大值及点P 的坐标；（3）点M 在此抛物线上，点N 在对称轴上，以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，写出所有满足要求的点M 的坐标；若不能，请说明理由．。
【3套】人教版九(上)数学第二十二章二次函数培优测试卷(附答案)
人教版九（上）数学第二十二章二次函数培优测试卷（附答案）一．选择题1．下列函数中，一定是二次函数的是（）A．y＝﹣x2+1 B．y＝ax2+bx+c C．y＝2x+3 D．y＝2．抛物线y＝4（x+3）2+12的顶点坐标是（）A．（4，12）B．（3，12）C．（﹣3，12）D．（﹣3，﹣12）3．关于抛物线y1＝（2+x）2与y2＝（2﹣x）2的说法，不正确的是（）A．y1与y2的顶点关于y轴对称B．y1与y2的图象关于y轴对称C．y1向右平移4个单位可得到y2的图象D．y1绕原点旋转180°可得到y2的图象4．抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点是（﹣4，0），（6，0），则抛物线的对称轴是（）A．1 B．直线x＝1 C．2 D．直线x＝25．二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c，它们在同一直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．6．二次函数y＝x2+bx+c的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到函数解析y ＝x2﹣2x+1，则b与c分别等于（）A．2，﹣2 B．﹣8，14 C．﹣6，6 D．﹣8，187．把一个小球以20米/秒的速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（米）与时间t（秒），满足关系h＝20t﹣5t2，当小球达到最高点时，小球的运动时间为（）第 1 页共45 页A．1秒B．2秒C．4秒D．20秒8．若函数y＝（a﹣3）x2﹣2ax+a﹣与x轴有交点，且关于x的不等式组无解，则符合条件的整数a的和为（）A．7 B．10 C．12 D．159．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x ＝2，下列结论：①abc＞0；②4a+b＝0；③9a+c＞3b；④5a+2c＞0，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．知：如图抛物线y＝ax2+bx+与y轴交于点A，与x轴交于点B、点C．连接AB，以AB为边向右作平行四边形ABDE，点E落在抛物线上，点D落在x轴上，若抛物线的对称轴恰好经过点D，且∠ABD＝60°，则这条抛物线的解析式为（）A．y＝﹣x2xB．y＝﹣x2xC．y ＝﹣x2xD．y＝﹣x2﹣x第 2 页共45 页E．故函数的表达式为：y＝﹣x2x二．填空题（共6小题）11．抛物线y＝x2﹣2x，当y随x的增大而减小时x的取值范围为．12．某种火箭背向上发射时，它的高度h（m）与时间t（s）的关系可以用公式h＝﹣5t2+160t+10表示．经过s，火箭到达它的最高点．13．已知点P（x，y）在抛物线y＝（x﹣1）2+2的图象上，若﹣1＜x＜2，则y的取值范围是．14．若二次函数y＝x2﹣2x+k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0的解一个为x1＝3，则方程x2﹣2x+k＝0另一个解x2＝．15．开口向下的抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）与x轴交于A、B两点，当抛物线与x轴围成的封闭区域（不包含边界）内，仅有4个整数点（整数点就是横、纵坐标均为整数的点）时，a的取值范围是．16．将二次函数y＝2x2向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式是．三．解答题17．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝mx2﹣（2m+1）x+m﹣4的图象与x轴有两个公共点，m取满足条件的最小的整数（1）求此二次函数的解析式（2）当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣5≤y≤1﹣n，求n的值第 3 页共45 页18．若抛物线上y＝ax2+bx+c，它与y轴交于C（0，4），与x轴交于A（﹣1，0）、B（k，0），1P是抛物线上B、C之间的一点．（1）当k＝4时，求抛物线的方程，并求出当△BPC面积最大时的P的横坐标；（2）当a＝1时，求抛物线的方程及B的坐标，并求当△BPC面积最大时P的横坐标；（3）根据（1）、（2）推断P的横坐标与B的横坐标有何关系？19．已知二次函数y＝x2﹣2ax+4a+2．（1）若该函数与x轴的一个交点为（﹣1，0），求a的值及该函数与x轴的另一交点坐标；（2）不论a取何实数，该函数总经过一个定点，①求出这个定点坐标；②证明这个定点就是所有抛物线顶点中纵坐标最大的点．第 4 页共45 页20．施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为8米，宽度OM为16米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）．（1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）隧道下的公路是双向行车道（正中间是一条宽1米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽3.5米、高5.8米的特种车辆？请通过计算说明；（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB，使A．D点在抛物线上．B、C点在地面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．21．血橙以果肉酷似鲜血的颜色而得名，果实一般在1月下旬成熟，由于果农在生产实践中积累了丰富的经验，采取了留树保鲜技术措施，将鲜果供应期拉长到了5月初．重庆市万州区孙家村晚熟柑橘以血橙为主，主要销售市场是成都、重庆市区、万州城区，据以往经验，孙家村上半年1﹣5月血橙的售价y（元/千克）与月份x之间满足一次函数关系y＝x+2.5（1≤x≤5，且x是整数）．其销售量P（千克）与月份x之间的函数关系如图．第 5 页共45 页（1）请你求出月销售量P（千克）与月份x之间的函数关系式（不必写出自变量的取值范围）；（2）血橙在上半年1﹣5月的哪个月出售，可使销售金额W（元）最大？最大金额是多少（3）由于气候适宜以及留树保鲜技术的提高，预计该产区今年5月将收获60000千克的血橙，由于人力、物力等各方面成本的增加，孙家村决定，将5月的销售价格提高a%，当以提高后的价格销售50000千克血橙后，由于保存技术的限制，剩下的血橙制成一种新型研发出的果肉饼进行销售，每千克的血橙可生产0.8千克果肉饼，果肉饼的售价格在血橙提高后的价格的基础上将再提高a%，最后该产区将这批果肉饼全部售完后，血橙和果肉饼的销售总金额达到了480000元．求a的值．22．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点A（0，2），B（1，0），分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点D．（1）求点D的坐标．（2）如图1，若该抛物线经过原点O，且a＝﹣．①求该抛物线的解析式；第 6 页共45 页②连结CD．问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若该抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点E（1，1），点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余．若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围．23．如图1．已知直线l：y＝﹣1和抛物线L：y＝ax2+bx+c（a≠0），抛物线L的顶点为原点，且经过点A（2，）直线y＝kx+1与y轴交于点F，与抛线L交于点B（x1，y1），C（x2，y2），且x1＜x2．（1）求抛物线L的解析式；（2）求证：无论k为何值，直线l总是与以BC为直径的圆相切；（3）①如图2，点P是抛物线L上的一个动点，过点P作PM⊥l于点M，试判断PM与PF 之间的数量关系，并说明理由；②将抛物线L和点F都向右平移2个单位后，得到抛物线L1和点F1，Q是抛物线L1上的一动点，且点Q在L1的对称轴的右侧，过点Q作QN⊥l于点N，连接QA．求|QA﹣QN|的最大值，并直接写出此时点Q的坐标．第7 页共45 页第 8 页 共 45 页参考答案一．选择题1．解：A 、是二次函数，故本选项符合题意；B 、当a ＝0时，函数不是二次函数，故本选项不符合题意；C 、不是二次函数，故本选项不符合题意；D 、不是二次函数，故本选项不符合题意；故选：A ．2．解：∵抛物线y ＝4（x +3）2+12，∴该抛物线的顶点坐标为（﹣3，12），故选：C ．3．解：∵抛物线y 1＝（2+x ）2＝（x +2）2，∴抛物线y 1的开口向上，顶点为（﹣2，0），对称轴为直线x ＝﹣2； 抛物线y 2＝（2﹣x ）2＝（x ﹣2）2，∴抛物线y 2的开口向上，顶点为（2，0），对称轴为直线x ＝2；∴y 1与y 2的顶点关于y 轴对称，∴它们的对称轴相同，y 1与y 2的图象关于y 轴对称，y 1向右平移4个单位可得到y 2的图象，∵y 1绕原点旋转180°得到的抛物线为y ＝﹣（x +2）2，与y 2开口方向不同， ∴关于抛物线y 1＝（2+x ）2与y 2＝（2﹣x ）2的说法，不正确的是D ， 故选：D ．4．解：∵抛物线与x 轴的交点为（﹣4，0），（6，0），∴两交点关于抛物线的对称轴对称，则此抛物线的对称轴是直线x＝＝1，即x ＝1．故选：B ．5．解：∵一次函数和二次函数都经过y 轴上的（0，c ），∴两个函数图象交于y 轴上的同一点，排除B 、C ；当a ＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，排除D ；当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，A正确；故选：A．6．解：∵得到函数解析y＝x2﹣2x+1∴y＝（x﹣1）2∴将新二次函数y＝（x﹣1）2向下平移3个单位，再向右平移2个单位，得到的解析式为y＝（x﹣1﹣2）2﹣3，即y＝x2﹣6x+6又∵y＝x2+bx+c∴b＝﹣6，c＝6故选：C．7．解：∵h＝20t﹣5t2＝﹣5t2+20t中，又∵﹣5＜0，∴抛物线开口向下，有最高点，此时，t＝﹣＝2．故选：B．8．解：当a﹣3≠0且△＝4a2﹣4×（a﹣3）（a﹣）≥0，解得a＞且a≠3，当a﹣3＝0，函数为一次函数，它与x轴有一个交点，所以a＞，解两个不等式得，因为不等式组无解，所以a≤5，所以a的范围为＜a≤5，所以满足条件的a的值为0，1，2，3，4，5所以所有满足条件的整数a之和为0+1+2+3+4+5＝15．故选：D．9．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，第9 页共45 页∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，∴b＝﹣4a＞0，∵抛物线与x轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①错误；∵b＝﹣4a，∴4a+b＝0，所以②正确；∵x＝﹣3时，y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，∴9a+c＜3b，所以③错误；把（﹣1，0）代入解析式得a﹣b+c＝0，而b＝﹣4a，∴c＝﹣5a，∴5a+2c＝5a﹣10a＝﹣5a＞0，所以④正确．故选：B．10．解：如下图所示，OA＝，∠ABD＝60°，则OB ＝＝1，过点B（﹣1，0），∵四边形ABDE平行四边形，则∠AED＝∠ABD＝60°，OH＝OA＝，同理可得：HE＝1＝AH，过点E（2，），第10 页共45 页将点B、E的坐标代入函数表达式得：，解得：，故函数的表达式为：y＝﹣x2x故选：B．二．填空题11．解：∵抛物线y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴当y随x的增大而减小时x的取值范围为x＜1，故答案为：x＜1．12．解：函数的对称轴为：t＝﹣＝﹣＝16，即经过16s，火箭到达它的最高点，故答案为16．13．解：∵抛物线y＝（x﹣1）2+2，∴该函数开口向上，当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，∵点P（x，y）在抛物线y＝（x﹣1）2+2的图象上，﹣1＜x＜2，1﹣（﹣1）＝2，2﹣1＝1，∴当x＝1时，y取得最小值，此时y＝2，当x＝﹣1时，y取得最大值，此时y＝（﹣1﹣1）2+2＝6，∴﹣1＜x＜2，则y的取值范围是2≤y≤6，故答案为：2≤y≤6．14．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0的解一个为x1＝3，∴二次函数y＝x2﹣2x+k与x轴的一个交点坐标为（3，0），∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴二次函数y＝x2﹣2x+k与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），∴方程x2﹣2x+k＝0另一个解x2＝﹣1．故答案为﹣1．15．解：∵y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x﹣1）2﹣4a，∴顶点P的坐标为（1，﹣4a）．第11 页共45 页当x＝0时，y＝a（x+1）（x﹣3）＝﹣3a，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣3a）．则，解得：﹣≤a＜﹣，故答案为：﹣≤a＜﹣．16．解：将抛物线y＝2x2向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式为y＝2x2+1．故答案为：y＝2x2+1．三．解答题17．解：（1）∵二次函数y＝mx2﹣（2m+1）x+m﹣4的图象与x轴有两个公共点，∴关于x的方程mx2﹣（2m+1）x+m﹣4＝0有两个不相等的实数根，∴解得：m＞﹣且m≠0．∵m＞且m≠0，m取其内的最小整数，∴m＝1，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣3x﹣3；（2）∵抛物线的对称轴为x＝﹣＝，∵1＞0，∴当x≤时，y随x的增大而减小．第12 页共45 页第 13 页 共 45 页又∵n ≤x ≤1时，函数值y 的取值范围是﹣5≤y ≤1﹣n ， ∴n 2﹣3n ﹣3＝1﹣n ，1﹣3﹣3＝﹣5， 解得：n ＝1﹣．18．解：（1）k ＝4时，由交点式得y ＝a （x +1）（x ﹣4），（0，4）代入得a ＝﹣1， ∴y ＝﹣3x 2+3x +4， 则B （4，0），连OP ，设P （m ，﹣m 2+3m +4），S △BCP ＝S △OPB +S △OPB ﹣S △OBC＝＝﹣2（m ﹣2）2+8m ＝2时，最大值为8，∴P 的横坐标为2时有最大值．（2）a ＝1时，c ＝4，设y ＝x 2+bx +4，A （﹣1，0）代入得b ＝5， ∴y ＝x 2+5x +4．令y ＝0求得B （﹣4，0）， 则直线BC 方程为y ＝x +4，过P 作PH 平行于y 轴交直线BC 于H ， 设P （n ，n 2+5n +4）、H （n ，n +4），＝＝﹣2（n +2）2+8n ＝﹣2面积最大值为8，此时P 的横坐标为﹣2．（3）由（1）知，当面积最大时，P 的横坐标等于B 的横坐标的一半，由（2）知，面积最大时，P的横坐标等于B的横坐标的一半，故：可以推断，当面积最大时，P的横坐标等于B的横坐标的一半．19．解：（1）（﹣1，0）代入得0＝1+2a+4a+2，∴，∴y＝x2+x，∴另一交点为（0，0）．（2）①整理得y＝a（4﹣2x）+x2+2，令x＝2代入y＝6，故定点为（2，6），②∵y＝x2﹣2ax+4a+2＝（x﹣a）2+（﹣a2+4a+2），顶点为（a，﹣a2+4a+2），而﹣a2+4a+2＝﹣（a﹣2）2+6，当a＝2时，纵坐标有最大值6，此时x＝2，y＝6，顶点（2，6），故定点（2，6）是所有顶点中纵坐标最大的点．20．解：（1）抛物线的顶点坐标为（8，8），则其表达式为：y＝a（x﹣8）2+8，将点O（0，0）代入上式得：0＝64a+8，解得：a＝﹣，故函数的表达式为：y＝﹣（x﹣8）2+8，（0≤x≤16）；（2）双向行车道，正中间是一条宽1米的隔离带，则每个车道宽为7.5米，车沿着隔离带边沿行驶时，车最左侧边沿的x＝7.5﹣3.5＝4，当x＝4时，y＝6，即允许的最大高度为6米，5.8＜6，故该车辆能通行；（3）点A、D关于函数对称轴对称，则设AD＝2m，第14 页共45 页第 15 页 共 45 页则点A （8﹣m ，y ），则AB ＝y＝﹣（x ﹣8）2+8＝8﹣m 2， 设：w ＝AB +AD +DC ＝2m +2AB＝﹣m 2+2m +16，∵﹣＜0，故w 有最大值， 当m ＝4时，w 的最大值为20，故AB 、AD 、DC 的长度之和的最大值是20．21．解：（1）设P ＝kx +b ，将（1，70000），（5，50000）代入得：，解得∴P ＝﹣5000x +75000．（2）∵上半年1﹣5月血橙的售价y （元/千克）与月份x 之间满足一次函数关系y＝x +2.5（1≤x ≤5，且x 是整数）∴W ＝Py＝（﹣5000x +75000）（x +2.5） ＝﹣2500x 2+25000x +187500 ∴当x＝﹣＝5时，销售金额W （元）最大，最大金额是250000元．（3）设a %＝t ，5月份的销售价格y＝×5+2.5＝5由题意得：5（1+t ）×50000+（60000﹣50000）×0.8×5（1+t ）（1+）＝480000∴25（1+t ）+4（1+t ）（1+t ）＝48 ∴化简得：6t 2+35t ﹣19＝0 ∴（2t ﹣1）（3t +19）＝0 ∴t ＝50%或t＝﹣（舍）故a ＝50．22．解：（1）过点D 作DF ⊥x 轴于点F ，如图1，∵∠DBF+∠ABO＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠DBF＝∠BAO，又∵∠AOB＝∠BFD＝90°，AB＝BD，在△AOB和△BFD中，，∴△AOB≌△BFD（AAS）∴DF＝BO＝1，BF＝AO＝2，∴D的坐标是（3，1），（2）①根据题意，得a＝﹣，c＝0，且a×32+b×3+c＝1，解得：b ＝，∴抛物线的解析式为y＝．②∵点A（0，2），B（1，0），点C为线段AB的中点，∴C （，1），∵C、D两点的纵坐标都为1，∴CD∥x轴，∴∠BCD＝∠ABO，∴∠BAO与∠BCD互余，要使得∠POB与∠BCD互余，则必须∠POB＝∠BAO，设P的坐标为（x，），（Ⅰ）当P在x轴的上方时，过P作PG⊥x轴于点G，如图2，第16 页共45 页则tan∠POB＝tan∠BAO，即，∴，解得：x1＝0（舍去），，∴，∴点P的坐标为（）．（Ⅱ）当P在x轴的下方时，过P作PG⊥x轴于点G，如图3，则tan∠POB＝tan∠BAO，即，∴，解得：x1＝0（舍去），，∴，∴P点坐标为（），综上所述，在抛物线上是否存在点P（）或，使得∠POB与∠BCD互余．第17 页共45 页（3）如图4，∵D（3，1），E（1，1），抛物线y＝ax2+bx+c过点E、D，代入可得，解得，∴y＝ax2﹣4ax+3a+1．分两种情况：①当抛物线y＝ax2+bx+c开口向下时，若满足∠QOB与∠BCD互余且符合条件的Q点的个数是4个，则点Q在x轴的上、下方各有两个．（i）当点Q在x轴的下方时，直线OQ与抛物线有两个交点，满足条件的Q有2个；（ii）当点Q在x轴的上方时，要使直线OQ与抛物线y＝ax2+bx+c有两个交点，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点必须在x轴的正半轴上，与y轴的交点在y轴的负半轴，∴3a+1＜0，解得a＜﹣；②当抛物线y＝ax2+bx+c开口向上时，点Q在x轴的上、下方各有两个，（i）当点Q在x轴的上方时，直线OQ与抛物线y＝ax2+bx+c有两个交点，符合条件的点Q有两个；（ii）当点Q在x轴的下方时，要使直线OQ与抛物线y＝ax2+bx+c有两个交点，符合条件的点Q有两个．根据（2）可知，要使得∠QOB与∠BCD互余，则必须∠QOB＝∠BAO，∴，第18 页共45 页设Q（2a，﹣a）在直线OQ上，设直线OQ的解析式为y＝kx，∴k＝﹣，则直线OQ的解析式为y＝﹣x，要使直线OQ与抛物线y＝ax2+bx+c有两个交点，∴方程ax2﹣4ax+3a+1＝﹣x有两个不相等的实数根，∴，整理得：，解得：或（舍去），综上所示，a的取值范围为a＜﹣或．23．解：（1）抛物线的表达式为：y＝ax2，将点A坐标代入上式得：＝a（2）2，解得：a＝，故抛物线的表达式为：y＝x2；（2）将抛物线的表达式与直线y＝kx+1联立并整理得：x2﹣4kx﹣4＝0，则x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4，则y1+y2＝k（x1+x2）+2＝4k2+2，则x2﹣x1＝＝4，设直线BC的倾斜角为α，则tanα＝k，则cosα＝，则BC＝＝4（k2+1），BC＝2k2+2，设BC的中点为M（2k，2k2+1），则点M到直线l的距离为：2k2+2，故直线l总是与以BC为直径的圆相切；第19 页共45 页（3）①设点P（m， m2）、点M（m，﹣1），点F（0，1），则PF2＝m2+（m2﹣1）2＝（m2+4）2，PM＝m2+1＝（m2+4）＝PF，即：PM与PF之间的数量关系为：PM＝PF；②抛物线新抛物线的表达式为：y＝（x﹣2）2…①，如图2，设平移后点F的对应点为F′（2，1），由①知：PM＝PF，同理QN＝QF′，故当A、F′、Q三点共线时，|QA﹣QN|有最大值，|QA﹣QN|的最大值＝|QA﹣QF′|＝AF′，则AF′＝＝；将点A、F′的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，故直线AF′的表达式为：y＝x﹣…②，联立①②并解得：x＝1或6（舍去1），故点Q（6，4）；故：|QA﹣QN|的最大值为，此时点Q的坐标为（6，4）．第20 页共45 页第 21 页 共 45 页人教版九年级数学上册第21章一元二次方程单元检测题（有答案）一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．若关于x 的函数2(2)y a x x =--是二次函数，则a 的取值范围是( )A ．0a ≠B ．2a ≠C ．2a <D ．2a >2．函数243y x x =---图象顶点坐标是( )A ．(2,1)-B ．(2,1)-C ．(2,1)--D ．(2,1)3．已知函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则函数y ax b =+的图象是( )A ．B ．C ．D ．4．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列结论中错误的是( )A ．函数有最小值B ．当12x -<<时，0y >C ．0a b c ++<D ．当12x <，y 随x 的增大而减小第 22 页 共 45 页5．抛物线2222y ax ax a =+++的一部分如图所示，那么该抛物线在y 轴右侧与x 轴交点的坐标是( )A ．1(2，0)B ．(1,0)C ．(2,0)D ．(3,0)6．已知二次函数21y ax =-的图象经过点(1,2)-，那么a 的值为( )A ．2a =-B ．2a =C ．1a =D ．1a =-7．已知抛物线28y x x c =-+的顶点在x 轴上，则c 等于( )A ．4B ．8C ．4-D ．168．已知二次函数2(1)(3)y x x m =---（其中m 为常数），该函数图象与y 轴交点在x 轴上方，则m 的取值范围正确的是( )A ．3m >B ．3m >-C ．3m <D ．3m <-9．如图所示，中堂中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，水柱喷出的竖直高度()y m 与水平距离()x m 满足2(2)6y x =--+，则水柱的最大高度是( )A ．2B ．4C ．6 D．2+10．某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨一元，月销售量就减少10千克．设销售单价为每千克x 元，月销售利润为y 元，则y 与x 的函数关系式为( )A ．(40)(50010)y x x =--B ．(40)(10500)y x x =--C ．(40)[50010(50)]y x x =---D ．(40)[50010(50)]y x x =---二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）11．若函数27(3)m y m x -=-是二次函数，则m 的值为 ．第4题图 第5题图 第9题图第 23 页 共 45 页12．抛物线284y x x =+-与直线4x =-的交点坐标是 ．13．抛物线2(1)(3)y x x =+-的对称轴是 ．14．将223y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式，则y = ．15．抛物线2(0)y ax bx c a =++≠，对称轴为直线2x =，且过点(3,0)P ，则a b c ++= ．16．已知函数21y x x =--的图象与x 轴的一个交点为(,0)a ，则代数式22019a a -+的值为 ．17．如图，抛物线2y ax c =+与直线y mx n =+交于(1,)A p -，(3,)B q 两点，则不等式2ax mx c n ++>的解集是 ．18．拱形大桥的示意图如图所示，桥的拱形可近似看成抛物线21(80)16400y x =--+，桥拱与桥墩AC 的交点C 恰好在水面，有AC x ⊥轴，若10OA =米，则桥面离水面的高度AC 为 米．三．解答题（共6小题，满分46分，其中19、20、21题每小题7分，22题9分，23、24每小题8分）19．如图，抛物线经过(4,0)A ，(1,0)B ，(0,2)C -三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）求此二次函数的顶点坐标和对称轴．第17题图第18题图第 24 页 共 45 页20．直线1y x m =+与抛物线22y ax bx c =++交于P 、(2,3)Q 两点，其中P 在x 轴上，(2,3)Q 是抛物线2y 的顶点．（1）求1y 与2y 的函数解析式；（2）求函数值12y y <时x 的取值范围．21．如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m 时，桥洞与水面的最大距离是5m ．（1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是 （填方案一，方案二，或方案三），则B 点坐标是 ，求出你所选方案中的抛物线的表达式；（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m ，求水面上涨的高度．22．美廉客超市以 30 元/千克的价格购进一批新疆和田玉枣， 如果以 35 元/千克的价格销售， 那么每天可售出 300 千克；如果以 40 元/千克的价格销售， 那么每天可售出 200 千克， 根据销售经验可以知道， 每天的销售量y （千 克） 与销售单价x （元)(30)x …存在一次函数关系 ．（1） 请你求出y 与x 之间的函数关系式；（2） 设该超市销售新疆和田玉枣每天获得的利润为w 元， 求当销售单价为多少时， 每天获得的利润最大， 最大利润是多少？（3） 如果物价局规定商品的利润率不能高于40%，而超市希望每天销售新疆和田玉枣的第 25 页 共 45 页利润不低于 1500 元， 请你帮助超市确定这种枣的销售单价x 的范围 ．23．如图，抛物线2y x bx c =-+交x 轴于点(1,0)A ，交y 轴于点B ，对称轴是2x =．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P ，使PAB ∆的周长最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．24．已知：如图，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两点，其中A 点坐标为(1,0)-，点(0,5)C ，另抛物线经过点(1,8)，M 为它的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）求MCB ∆的面积MCB S ∆．第 26 页 共 45 页2019—2020学年人教版九年级数学上册第22章《二次函数》综合测试参考简答一．选择题（共10小题）1．B ． 2．B ． 3．B ． 4．B ． 5．B ． 6．D ． 8．B ．9．C ． 10．C ．二．填空题（共8小题）11． 3- ． 12． (4,20)-- ． 14． 2(1)2x -+ ． 15． 0 ．16． 2020 ． 17． 3x <-或1x > ． 18． 4.25 ．三．解答题（共6小题）19．如图，抛物线经过(4,0)A ，(1,0)B ，(0,2)C -三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）求此二次函数的顶点坐标和对称轴．【解】：（1）根据题意设抛物线解析式为(4)(1)y a x x =--，将(0,2)C -代入得：42a =-，即12a =-， 则抛物线解析式为2115(4)(1)2222y x x x x =---=-+-； （2）抛物线对称轴为直线5521222()2b x a =-=-=⨯-，顶点坐标为5(2，9)8． 20．直线1y x m =+与抛物线22y ax bx c =++交于P 、(2,3)Q 两点，其中P 在x 轴上，(2,3)Q 是抛物线2y 的顶点．第 27 页 共 45 页（1）求1y 与2y 的函数解析式；（2）求函数值12y y <时x 的取值范围．【解】：（1）把点(2,3)Q 代入y x m =+，32m ∴=+，1m ∴=，11y x ∴=+，∴令0y =，10x +=，1x ∴=-，(1,0)P ∴-，∴顶点为(2,3)，∴设抛物线2(2)3y a x =-+，把(1,0)P -代入得：20(12)3a =--+， 解得：13a =-， ∴221(3)33y x =--+， 即2145333y x x =-++； （2）直线11y x =+与抛物线221(3)33y x =--+交于(1,0)P -、(2,3)Q 两点， ∴函数值12y y <时x 的取值范围是12x -<<．21．如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m 时，桥洞与水面的最大距离是5m ．（1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是 方案二 （填方案一，方案二，或方案三），则B 点坐标是 ，求出你所选方案中的抛物线的表达式；（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m ，求水面上涨的高度．第 28 页 共 45 页【解】：（1）选择方案二，根据题意知点B 的坐标为(10,0)，由题意知，抛物线的顶点坐标为(5,5)，且经过点(0,0)O ，(10,0)B ，设抛物线解析式为2(5)5y a x =-+，把点(0,0)代入得：20(05)5a =-+，即15a =-， ∴抛物线解析式为21(5)55y x =--+， 故答案为：方案二，(10,0)；（2）由题意知，当532x =-=时，2116(5)555x --+=， 所以水面上涨的高度为165米． 22．美廉客超市以 30 元/千克的价格购进一批新疆和田玉枣， 如果以 35 元/千克的价格销售， 那么每天可售出 300 千克；如果以 40 元/千克的价格销售， 那么每天可售出 200 千克， 根据销售经验可以知道， 每天的销售量y （千 克） 与销售单价x （元)(30)x …存在一次函数关系 ．（1） 请你求出y 与x 之间的函数关系式；（2） 设该超市销售新疆和田玉枣每天获得的利润为w 元， 求当销售单价为多少时， 每天获得的利润最大， 最大利润是多少？（3） 如果物价局规定商品的利润率不能高于40%，而超市希望每天销售新疆和田玉枣的利润不低于 1500 元， 请你帮助超市确定这种枣的销售单价x 的范围 ．【解】： （1） 设y kx b =+，将(35,300)、(40,200)代入， 得3530040200k b k b +=⎧⎨+=⎩，第 29 页 共 45 页解得：201000k b =-⎧⎨=⎩．故可得201000y x =-+；（2）22(30)(201000)2016003000020(40)2000w x x x x x =--+=-+-=---， 200-<，∴当40x =时，w 取得最大，2000w =最大元 ．（3） 由题意得，2201600300001500x x -+-…， 解得：3545x 剟， 又物价局规定商品的利润率不能高于40%， (30)3040%x ∴-÷…，42x ∴…，综上可得：3542x 剟．答： 销售这种枣的销售单价x 的范围为3542x 剟．23．如图，抛物线2y x bx c =-+交x 轴于点(1,0)A ，交y 轴于点B ，对称轴是2x =．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P ，使PAB ∆的周长最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【解】：（1）由题意得，1022b c b -+=⎧⎪⎨=⎪⎩， 解得4b =，3c =，第 30 页 共 45 页 ∴抛物线的解析式为．243y x x =-+；（2）点A 与点C 关于2x =对称，∴连接BC 与2x =交于点P ，则点P 即为所求， 根据抛物线的对称性可知，点C 的坐标为(3,0)， 243y x x =-+与y 轴的交点为(0,3)，∴设直线BC 的解析式为：y kx b =+，303k b b +=⎧⎨=⎩， 解得，1k =-，3b =，∴直线BC 的解析式为：3y x =-+，则直线BC 与2x =的交点坐标为：(2,1) ∴点P 的坐标为：(2,1)．24．已知：如图，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两点，其中A 点坐标为(1,0)-，点(0,5)C ，另抛物线经过点(1,8)，M 为它的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）求MCB ∆的面积MCB S ∆．第 31 页 共 45 页【解】：（1）依题意：085a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得145a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩∴抛物线的解析式为245y x x =-++（2）令0y =，得(5)(1)0x x -+=，15x =，21x =-，(5,0)B ∴．由2245(2)9y x x x =-++=--+，得(2,9)M作ME y ⊥轴于点E ， 可得()111259425515222MCB MCE OBC MEOB S S S S ∆∆∆=--=+⨯-⨯⨯-⨯⨯=梯形．人教版九年级上册第二十二章二次函数单元检测（含答案）(4)一、单选题1.如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：4a+2b+c＜0，2a+b＜0，b2+8a＞4ac，a＜﹣1，其中结论正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2.如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为A（﹣2，﹣2），且过点B（0，2），则y与x的函数关系式为（）A. y=x2+2B. y=（x﹣2）2+2C. y=（x﹣2）2﹣2D. y=（x+2）2﹣23.抛物线y=x2+x+p（p≠0）与x轴相交，其中一个交点的横坐标是p．那么该抛物线的顶点的坐标是（）A. （0，-2）B. （，-）C. （-，）D. （-，-）4.如果点M（-2，y1），N（-1，y2）在抛物线y=－x2+2x上，那么下列结论正确的是（）A. y1＜y2B. y1＞y2C. y1≤y2D. y1≥y2．5.下列函数中，当x＞0时，y的值随x的值增大而增大的是（）A. y＝－x2B. y＝x－1C. y＝－x＋1D. y ＝6.在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2+2x+3绕着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）A. y=-（x+1）2+2B. y=-（x-1）2+4C. y=-（x-1）2+2D. y=-（x+1）2+47.二次函数y＝x2－2x－3的图象如图所示，当y<0时，自变量x的取值范围是（）A. －1<x<3B. x<－1C. x>3D. x<－3或x>3第32 页共45 页8.二次函数y=x2-8x+c的最小值是0，那么c的值等于（）A. 4B. 8C. -4D. 169.如图，利用一面墙，用80米长的篱笆围成一个矩形场地，墙长为30m，围成鸡场的最大面积为（）平方米．A. 800B. 750C. 600D. 2400二、填空题10.抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是________11.二次函数y=﹣2x2﹣x+3的图象与y轴的交点坐标为________12.对于二次函数y=x2﹣2mx﹣3，有下列结论：①它的图象与x轴有两个交点；②如果当x≤﹣1时，y随x的增大而减小，则m=﹣1；③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=1；④如果当x=2时的函数值与x=8时的函数值相等，则m=5．其中一定正确的结论是________．（把你认为正确结论的序号都填上）13.将二次函数y=x2﹣2x+3的图象先向上平移2个单位，再向右平移3个单位后，所得新抛物线的顶点坐标为________．14.已知抛物线y=ax2﹣4ax+c经过点A（0，2），顶点B的纵坐标为3．将直线AB向下平移，与x轴、y轴分别交于点C、D，与抛物线的一个交点为P，若D是线段CP的中点，则点P的坐标为________ ．15.函数y=（2x﹣1）2+2的顶点坐标为________16.当﹣1≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为________17.二次函数y＝x2﹣2x﹣3与x轴两交点之间的距离为________．三、解答题18.如图，是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米．若水面下降1米，则水面宽度将增加多少米？第33 页共45 页19.宁波元康水果市场某批发商经销一种高档水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500千克,经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价一元,日销售量将减少20千克．（1）现要保证每天盈利6000元,同时又要让顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元?（2）若该批发商单纯从经济角度看,那么每千克应涨价多少元,能使商场获利最多．四、综合题20.某市制药厂需要紧急生产一批药品，要求必须在12天（含12天）内完成．为了加快生产，车间采取工人加班，机器不停的生产方式，这样每天药品的产量y（吨）是时间x（天）一次函数，且满足表中所对应的数量关系．由于机器负荷运转产生损耗，平均生产每吨药品的成本P（元）与时间x（天）的关系满足图中的函数图象．（吨）是时间x（天）之间的函数关系式；（2）当5≤x≤12时，直接写出P（元）与时间x（天）的函数关系是P=________；（3）若这批药品的价格为1400元/吨，每天的利润设为W元，求哪一天的利润最高，最高利润是多少？（利润=价格﹣成本）（4）为了提高工人加班的津贴，药厂决定在（3）中价格的基础上每吨药品加价a元，但必须满足从第5天到第12天期间，每吨加价a后每天的利润随时间的增大而增大，直线写出a的最小值．21.如图，已知抛物线y=x2﹣（m+3）x+9的顶点C在x轴正半轴上，一次函数y=x+3与抛物线交于A、B两点，与x、y轴交于D、E两点．（1）求m的值．（2）求A、B两点的坐标．第34 页共45 页（3）点P（a，b）（﹣3＜a＜1）是抛物线上一点，当△PAB的面积是△ABC面积的2倍时，求a，b的值．22.面对国际金融危机．某铁路旅行社为吸引市民组团去某风景区旅游，现推出如下标准：某单位组织员工去该风景区旅游，设有x人参加，应付旅游费y元．（1）请写出y与x的函数关系式；（2）若该单位现有45人，本次旅游至少去26人，则该单位最多应付旅游费多少元？第35 页共45 页。
第二十二章二次函数(培优卷)2021-2022年人教版 九年级上册
人教版2021-2022年九年级上册 二次函数（培优卷）一．选择题（共10小题）1．下列函数中，y 关于x 的二次函数是（ ）A ．y ＝ax 2+bx +cB ．y ＝ 1x 12C ．y ＝x （x +1）D ．y ＝（x +2）2﹣x 22．抛物线y ＝2（x ﹣3）（x +4）与x 轴交点的横坐标分别为（ ）A ．﹣3，﹣4B ．3，4C ．﹣3，4D ．3，﹣43．把二次函数y ＝﹣x 2﹣2x +3配方化为y ＝a （x ﹣h ）2+k 形式是（ ）A ．y ＝﹣（x ﹣1）2﹣4B ．y ＝﹣（x +1）2+4C ．y ＝﹣（x ﹣1）2+3D ．y ＝﹣（x +1）2﹣34．二次函数y ＝x 2﹣1经过适当变换之后得到新的二次函数y ＝x 2﹣6x +13，则这个变换为（ ）A ．向上5个单位，向右3个单位B ．向下5个单位，向右3个单位C ．向上5个单位，向左3个单位D ．向下5个单位，向左3个单位5．已知二次函数y ＝2x 2﹣8x +c 的图象过点A （﹣2，y 1），B （﹣1，y 2），C （8，y 3），则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）A ．y 3＞y 1＞y 2B ．y 1＞y 2＞y 3C ．y 2＞y 3＞y 1D ．y 3＞y 2＞y 1 6．二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，那么一次函数y ＝ax +b 的图象大致是（ ）7．四位同学在研究函数y ＝﹣x 2+bx +c （b ，c 是常数）时，甲同学发现当x ＝1时，函数有最大值；乙同学发现函数y ＝﹣x 2+bx +c 的图象与y 轴的交点为（0，﹣3）；丙同学发现函数的最大值为4；丁同学发现当x ＝3时，函数的值为0．若这四位同学中只有一位同学的结论是错误的，则该同学是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁8．已知抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ＞0）与直线y ＝k （x ﹣1）﹣4k 2，无论k 取任何实数，此抛物线与直线都只有一个公共点．那么，抛物线的解析式是（ ）A ．y ＝x 2B ．y ＝x 2﹣2xC ．y ＝x 2﹣2x +1D ．y ＝2x 2﹣4x +29．如图，若二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）图象的对称轴为直线x ＝1，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、点B （﹣1，0），则：①二次函数的最大值为a +b +c ；②a ﹣b +c ＜0；③b 2﹣4ac ＜0；④当y ＞0时，﹣1＜x ＜3，其中结论正确的有（ ）A ．①③B ．①④C ．①②D ．①③④10．如图，正方形ABCD 的边长为a ，点E 在边AB 上运动（不与点A ，B 重合），∠DAM ＝45°，点F 在射线AM 上，且AF ＝2BE ，CF 与AD 相交于点G ，点H 在BC ，且BH ＝BE ，连接EC ，EF ，EG ，EH ．则下列结论：①∠ECF ＝45°；②△AEG 的周长为a ；③BE 2+DG 2＝EG 2；④△EAF 的面积的最大值是81a 2；⑤当BE ＝31a 时，G 是线段AD 的中点．其中正确的结论是（ ）A．①②③B．②④⑤C．①③④D．①④⑤二．填空题（共6小题）x是二次函数，则a＝．11．若y＝（2﹣a）2-a212．抛物线y＝﹣2x2沿着x轴正方向看，在y轴的左侧部分是．（填“上升”或“下降”）13．抛物线y＝3x2+6x+11的顶点坐标为．14．点A（2，y1）、B（3，y2）是二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2的图象上两点，则y1y2．15．抛物线y＝﹣3x2向上平移2个单位后所得到的抛物线的解析式为．16．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，点B位于（4，0）、（5，0）之间，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2，直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c 交于C，D两点，D点在x轴上方且横坐标小于5，则下列结论：①4a+b+c＞0；②a﹣b+c ＜0；③m（am+b）＜4a+2b（其中m为任意实数）；④a＜﹣1，其中正确的是．三．解答题（共10小题）17．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（1，0），B（﹣3，0），求抛物线的解析式及其顶点C 的坐标．18．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2bx+b2﹣2（b＞0）经过点A（m，n）．（1）用含b的代数式表示抛物线顶点的坐标；（2）若抛物线经过点B （0，2），且满足0＜m ＜3，求n 的取值范围；（3）若3≤m ≤5时，n ≤2，结合函数图象，直接写出b 的取值范围．19．在平面直角坐标系xOy 中，点（1，m ）和点（3，n ）在抛物线y ＝ax 2+bx （a ＞0）上．（1）若m ＝3，n ＝15，求该抛物线的对称轴；（2）已知点（﹣1，y 1），（2，y 2），（4，y 3）在该抛物线上．若mn ＜0，比较y 1，y 2，y 3的大小，并说明理由．20．在平面直角坐标系中，设二次函数y ＝﹣21（x ﹣2m ）2+1﹣m （m 是实数）． （1）当m ＝2时，若点A （6，n ）在该函数图象上，求n 的值．（2）小明说二次函数图象的顶点可以是（2，﹣1），你认为他的说法对吗？为什么？（3）已知点P （a +1，c ），Q （4m ﹣7+a ，c ）都在该二次函数图象上，求证：c ≤﹣87． 21．如图，在平面直角坐标系中，边长为4的正方形ABCD 的顶点A 与原点重合，顶点B ，D 分别在x 轴正半轴，y 轴正半轴上，抛物线经过点B ，D ，E ，E 为CD 的中点．（1）求抛物线的函数表达式．（2）点P 为抛物线上一点，向左平移与抛物线上点G 重合，向下平移与线段BD 上点H 重合，若PG ＝2PH ，求点P 的坐标．22．如图，已知抛物线经过A （4，0），B （1，0），C （0，﹣2）三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在直线AC 上方的该抛物线上是否存在一点D ，使得△DCA 的面积最大，若存在，求出点D 的坐标及△DCA 面积的最大值；若不存在，请说明理由．23．如图，抛物线y ＝ax 2﹣6ax +3交y 轴于点A ，AB ∥x 轴交抛物线于另一点B ，抛物线的顶点为C ，AC ＝65AB ． （1）求抛物线的函数表达式．（2）P （0，b ）是y 轴上一点，过点P 作y 轴的垂线交抛物线的对称轴于点D ，取PD 的中点M ，若点M 恰好落在抛物线上，求b 的值．24．如图，已知二次函数y ＝﹣x 2+3x +4的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点P 为该二次函数在第一象限内的一点，连接OP ，交BC 于点K ．（1）求点A ，B ，C 的坐标．（2）求OBKS PKB S ▲▲的最大值．25．某水产养殖户，一次性收购了20000kg 小龙虾，计划养殖一段时间后再出售，已知每天放养的费用相同，放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元（总成本＝放养总费用+收购成本）．（1）设每天的放养费用是a 万元，收购成本为b 万元，求a 和b 的值；（2）设这批小龙虾放养t 天后的质量为m （kg ），销售单y 元/kg ．根据以往经验可知：m 与t 的函数关系式为m ＝⎩⎨⎧≤<+≤≤）（）（100015000100t 50t 020000t ，y 与t 的函数关系如图所示． ①求y 与t 的函数关系式；②设将这批小龙虾放养t 天后一次性出售所得利润为W 元，求当t 为何值时，W 最大？并求出W 的最大值．（利润＝销售总额﹣总成本）26．二次函数y ＝x 2+px +q 的顶点M 是直线y ＝﹣21x 和直线y ＝x +m 的交点． （1）用含m 的代数式表示顶点M 的坐标；（2）①当x ≥2时，y ＝x 2+px +q 的值均随x 的增大而增大，求m 的取值范围；②若m ＝6，且x 满足t ﹣1≤x ≤t +3时，二次函数的最小值为2，求t 的取值范围．（3）试证明：无论m 取任何值，二次函数y ＝x 2+px +q 的图象与直线y ＝x +m 总有两个不同的交点．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第22章《二次函数》练习卷①
1．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（﹣2，0），对称轴为直线x＝1，下列结论中正确的是（）
A．abc＞0B．b＝2a C．9a+3b+c＜0D．8a+c＝0 2．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则下面结论中不正确的是（）A．ac＜0B．2a+b＝0C．b2＜4ac D．方程ax2+bx+c＝0的根是﹣1，3
3．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax﹣bc的图象大致是（）
A．B．C．D．
4．在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+b与一次函数y＝bx+a的图象可能是（）
A．B．C．D．
5．二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值如下表
x﹣3﹣2﹣1012
y﹣12﹣50343利用二次函数的图象可知，当函数值y＞0时，x的取值范围是（）
A．0＜x＜2B．x＜0或x＞2C．﹣1＜x＜3D．x＜﹣1或x＞3 6．将抛物线y＝﹣x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为．
7．若抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点为（5，0）、（1，0），则抛物线的对称轴直线x＝．8．若函数y＝﹣x2+（m﹣4）x+4m的图象与x轴有且只有一个交点，则m＝．9．抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则当y＞0时，x的取值范围是．10．如图，在平⾯直⻆坐标系中，菱形ABCD的顶点A在x轴负半轴上，顶点B在x轴正半轴上．若抛物线y＝ax2﹣5ax+4（a＞0）经过点C、D，则点B的坐标为．11．若把一根长200cm的铁丝分成两部分，分别围成两个正方形，则这两个正方形的面积的和最小值为．
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①abc＞0②b2﹣4ac＜0 ③c＜4b④a+b＞0，则其中正确结论的是．
13．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线，水流的高度h（单位：m）与水流喷出时间t（单位：s）之间的关系式为h＝30t﹣5t2，那么水流从喷出至回落到水池所需要的时间是s．
14．如图，抛物线y=−3
8x
2+3
4x+3与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），交y轴于
点C，点P为抛物线对称轴上一点．则△APC的周长最小值是．
15．如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C，高度为3m，水柱落地点D离池中心A处3m，则水管AB
16．某软件开发公司开发了A、B两种软件，每种软件成本均为1400元，售价分别为2000元、1800元，这两种软件每天的销售额共为112000元，总利润为28000元．
（1）该店每天销售这两种软件共多少个？
（2）根据市场行情，公司拟对A种软件降价销售，同时提高B种软件价格．此时发现，A种软件每降50元可多卖1件，B种软件每提高50元就少卖1件．如果这两种软件每天销售总件数不变，那么这两种软件一天的总利润最多是多少？
17．某超市销售一种商品，成本价为50元/千克，规定每千克售价不低于成本价，且不高于85元经市场调查，该商品每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如表：
售价x（元/千克）506070
销售量y（千克）12010080
（1）求y与x之间的函数表达式．
（2）设该商品每天的总利润为W（元），则当售价x定为多少元/千克时，超市每天能获得最大利润？最大利润是多少元？
（3）如果超市要获得每天不低于1600元的利润，且符合超市自己的规定，那么该商品的售价x的取值范围是多少？请说明理由．
18．如图，已知直线AB过x轴上一点A（2，0）且与抛物线y＝ax2相交于B（1，－1），C两点．
（1）求抛物线对应的函数解析式；
（2）问抛物线上是否存在一点D，使S△OAD＝S△OBC？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
19．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a，b是常数，且a≠0）与x轴交于A，B两点，与y 轴交于点C．并且A，B两点的坐标分别是A（﹣1，0），B（3，0）．
（1）①求抛物线的解析式；②顶点D的坐标为；③直线BD的解析式为；（2）若P为线段BD上的一个动点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥x轴于点Q，求当m 为何值时，四边形PQOC的面积最大？
（3）若点M是抛物线在第一象限上的一个动点，过点M作MN∥AC交x轴于点N．当点M的坐标为时，四边形MNAC是平行四边形．
第22章 《二次函数》练习卷②
1、已知二次函数y=x 2
-4x+k 的图象的顶点在x 轴下方,则实数k 的取值范围是
2、已知一条抛物线向右平移2个单位,再向下平移3个单位后得抛物线v= -2x 2+4x ,则平移前抛物线的解析式为
3．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，对称轴为直线x ＝﹣1，经过点（0，1）
有以下结论： ①a +b +c ＜0；②b 2﹣4ac ＞0；③abc ＞0；④4a ﹣2b +c ＞0；⑤c ﹣a ＞1．
其中所有正确结论的序号是 ．
4、如图, -款落地灯的灯柱AB 垂直于水平地面MN ,高度为1.6米,支架部分的形状为开
口向下的抛物线,其顶点C 距灯柱AB 的水平距离为0.8米,距地面的高度为2.4米,灯
罩顶端D 距灯柱AB 的水平距离为1.4米,则灯罩顶端D 距地面的高度为_ _米
5、已知，如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A 在抛物线y=x 2 - 4x+6.上运动,过点A 作
AC ⊥x 轴于点C ,以AC 为对角线作正方形ABCD ,则抛物线的顶点是_ _ , 正
方形的边长AB 的最小值是 6、如图，抛物线y ＝ax 2+c 与直线y ＝mx +n 交于A （﹣1，p ），B （3，q ）两点，
则不等式ax 2﹣mx +c ＞n 的解集是 ．
7、如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点A 的坐标为（3，0），顶点B 在y 轴
正半轴上，顶点D 在x 轴负半轴上．若抛物线y ＝﹣x 2﹣5x +c 经过点B 、C ，则菱形
ABCD 的面积为 ．
8．如图，抛物线y=1
2x
2+1
2x﹣3与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，连接AB，
点D，E分别是直线x＝﹣1与抛物线上的点，若点A，B，D，E围成的四边形是平行四边形，则点E的坐标为．
9．有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽为20m，拱顶距水面4m，在如图的直角坐标系中，该抛物线的解析式为．
10．如图①，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A、B（3，0），与y轴交于点C（0，3），直线l经过B、C两点．抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线和直线l的解析式；
（2）判断△BCD的形状并说明理由．
（3）如图②，若点E是线段BC上方的抛物线上的一个动点，过E点作EF⊥x轴于点F，EF交线段BC于点G，当△ECG是直角三角形时，求点E的坐标．
11．如图，直线y＝﹣2x+12与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝3ax2+10x+3c 经过B，C两点，与x轴交于另一点A，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，过E 作EF∥y轴交x轴于点F，交直线BC于点M．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求线段EM的最大值；
（3）在（2）的条件下，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，A，M为顶点且AM为边的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出P点坐标；如果不存在，请说明理由．
12．一次函数y＝﹣2x﹣2分别与x轴、y轴交于点A、B．顶点为（1，4）的抛物线经过点A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点C为第一象限抛物线上一动点．设点C的横坐标为m，△ABC的面积为S．当m 为何值时，S的值最大，并求S的最大值；
（3）在（2）的结论下，若点M在y轴上，△ACM为直角三角形，求点M的坐标．
13.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+2经过点A(- 1 , 0)和点B(4 , 0),且与y轴交于点C ,点D的坐标为(2 , 0),点P(m , n)是该抛物线上的一个动点,连接CA, CD, PD,PA
(1)求该抛物线的解析式;
(2)当△PDB的面积等于△CAD的面积时,求点P的坐标;
(3)当m>0, n> 0时,过点P作直线PE⊥y轴于点E交直线BC于点F ,过点F作FG⊥x轴于点G ,连接EG ,请求随着点P的运动,线段EG的最小值.。