26 麦克斯韦速率分布率 玻尔兹曼分布定律解析
麦克斯韦气体速率分布律
麦克斯韦气体速率分布律Maxwell Velocity Distribution大家知道，由气体的温度公式可以得出气体分子的方均根速率。
例如在时，氦气。
氧气。
但我们要注意的是，方均根速率仅是运动速率的一种统计平均值，并非气体分子都以方均根速率运动。
事实上，处于平衡状态下的任何一种气体，各个分子均以不同的速率、沿各个方向运动着。
有的速率大于方均根速率，有的速率小于方均根速率，它们的速率可以取零到无穷大之间的任意值。
而且由于气体分子间的相互碰撞，每个分子的速度也在不断地改变，所以在某一时刻，对某个分子来说，其速度的大小和方向完全是偶然的。
然而就大量分子整体而言，在平衡状态下，分子的速率分布遵守一个完全确定的统计性分布规律又是必然的。
下面我们介绍麦克斯韦应用统计理论和方法导出的分子速率分布规律。
气体分子按速率分布的统计规律，最早是由麦克斯韦于1859年在概率论的基础上导出的，1877年玻耳兹曼由经典统计力学中也导出该规律。
由于技术条件的限制，测定气体分子速率分布的实验，直到本世纪二十年代才实现。
1920年斯特恩（O.Stern首先测出银蒸汽分子的速率分布；1934年我国物理学家葛正权测出铋蒸汽分子的速率分布；1955年密勒（Mlier和库士（Kusch测出钍蒸汽分子的速率分布。
斯特恩实验是历史上最早验证麦克斯韦速率分布律的实验。
限于数学上的原因和本课程的要求，我们不推导这个定律，只介绍它的一些基本内容。
*麦克斯韦（J. C. Maxwell，1831—1879）英国物理学家，经典电磁理论的奠基人，气体动理论的创始人之一。
他提出了有旋电场和位移电流概念，建立了经典电磁理论，这个理论包括电磁现象的所有基本定律，并预言了以光速传播的电磁波的存在。
1873年，他的《电磁学通论》问世，这本书凝聚着杜费、富烂克林、库仑、奥斯特、安培、法拉第……的心血，这是一本划时代巨著，它与牛顿时代的《自然哲学的数学原理》并驾齐驱，它是人类探索电磁规律的一个里程碑。
玻尔兹曼速度分布律
4. 实际应用： 实际应用：
Q P = nKT
∴ P = n0e
M gh − mol
RT
KT = Pe 0
RT
M gh − mol
RT
为高度为零处的压强。 其中P0 = n0KT 为高度为零处的压强。 两边取自然对数 ln P = ln P + ln e 0
∴ h= RT P ln 0 M mol g P
3. 实验证明： 实验证明：
1909年皮兰定量地研究布朗运动， 1909年皮兰定量地研究布朗运动，尤其是悬浮 年皮兰定量地研究布朗运动 液中布朗粒子数密度随高度的分布， 液中布朗粒子数密度随高度的分布，测得高度分别 处的密度n 为z1, z2处的密度 1, n2时，Na=(6.5-6.8) 1023/mol
二、玻尔兹曼分布律
1. 要计算体积元
dxdydz中的各种速度总分子数
− m(vx2 +vy2 +vz2 ) 2KT
则 dN′ = C[∫∫∫ e
∞
dvxdvy dvz ]e
3
−
EP KT
dxdydz
考虑归一化条件： 考虑归一化条件：
− m ∫∫∫ ( 2πKT ) e ∞ 3 2
∫
∞
0
m 2 2 −EK KT 4π ( ) ve dv = 1 2πKT
3 2
2. 如果考虑重力作用（即分子处在重力场中），气 如果考虑重力作用（即分子处在重力场中）， ），气 体分子在空间的分布是否还均匀？ 体分子在空间的分布是否还均匀？ 麦氏速率分布： 麦氏速率分布： 3 2
dN m 2 2 −mv = 4π ( ) ve N 2πKT
3 2
2KT
dv
麦克斯韦气体速率分布律推导
麦克斯韦气体速率分布律推导麦克斯韦-玻尔兹曼速率分布律描述了理想气体中分子速度的统计分布。
以下是该分布律的推导过程。
首先，考虑一个由大量相同分子组成的理想气体，这些分子在容器中随机、无序地运动。
由于分子间的碰撞非常频繁，我们可以假定每个分子的运动是相互独立的。
我们的目标是求出分子速率的分布函数。
1. 假设分子的运动是三维的随机运动，并且分子间无相互作用力。
2. 假设分子的运动是各向同性的，即在任何方向上运动的概率都是相等的。
3. 假设分子的运动是稳定的，即分子的速率分布不随时间改变。
4. 引入分子速度的微分元素d³v，表示速度在v到v+dv之间的分子数。
5. 引入微元体积元素dV和微元时间元素dt。
接下来，我们将使用微元分析法来推导速率分布律。
对于一个具有速率v的分子，在时间dt内，它将沿着速度方向移动的距离为v·dt。
因此，它所扫过的体积元素为dV = v²·cos²(θ)·sin(θ)·dv·dt，其中θ是速度方向与某一选定方向（通常是x轴）的夹角。
现在，考虑在dt时间内所有具有速率v的分子所扫过的体积总和，即所有可能的方向θ的贡献。
由于θ的取值范围是0到π，我们可以将上述体积元素乘以角度元素dθ（从0到π）并积分，以得到总的体积元素dV_total：dV_total = ∫(v²·cos²(θ)·sin(θ)·dv)·dθ·dt由于cos²(θ)·sin(θ)是关于θ的偶函数，而在0到π的范围内积分，它的积分结果为零。
为了解决这个问题，我们需要考虑在速度方向上的微小位移。
在速度方向上的微小位移为v·cos(θ)·dt，因此，在dt时间内，具有速率v的分子在速度方向上的微小体积元素为dV_v = v·cos(θ)·dv·dt。
大学物理第二十二讲 麦克斯韦、玻尔兹曼分布
T2 T1
vHale Waihona Puke 66.曲线随分子量的变化关系
m 2 f v 4 e 2 kT
3
mv 2 2 kT
v
2
☆分子质量越大，曲线峰值越向左，峰值也越高； 反之，质量越小，曲线峰值越向右，峰值也越低。 ☆分子质量越小，曲线越平坦。
f (v )
O2
He
mO2 mHe
4
3.曲线下面的总面积
S f (v )dv
0
N
0
dN 1 N
f (v )
dN f (v ) Ndv
dS
归一化条件
0
f v dv 1
4.曲线极大值的意义
o
f (v )
v dv
v
●速率值在 vP 附近的分子数占 总分子数的比率最大。
●或者说一个分子的速率取值 在vP 附近的概率最大。 ●速率 vP —最概然速率。
8
2.平均速率 v
●气体分子速率的统计平均值
dN f (v )dv N
v ~ v dv 内分子数：dN Nf (v )dv
dN 个分子速率总和：vdN vf (v ) Ndv
v
N
0
vdN N
0
vNf v dv N
vf v dv
0
●求分子速率的各种统计平均值的一般方法:
二、麦克斯韦速率分布律 ⒈ 速率分布函数 ★对某一个分子来说，其速度大小和方向完全是偶 然的。但就大量分子整体而言，在一定条件下，其 速度分布遵从一定的统计规律。 设 N 个分子，速率分布于 v ~ v + dv 区间的分子数为 dN ，则
推导麦克斯韦速度分布律、速率分布律的简单方法
推导麦克斯韦速度分布律、速率分布律的简单方法麦克斯韦速度分布律是量子力学中重要的一部分。
1860年，麦克斯韦发现在粒子系统中，粒子运动的速度都遵循一定的分布关系，即概率密度函数与速度成反比，这就是麦克斯韦速度分布律。
那么，如何推导出麦克斯韦速度分布律和速率分布律？
首先，考虑一个温度为T的系统，采用能量有限的情况下可以把粒子的运动视为马尔可夫链的形式。
由于能量有限，可以认为处在同一状态的粒子的总体数量就构成了该状态的热平衡状态。
由此可推出粒子的速度分布概率：
P(v) = e^(-mv^2/2kT)
其中，m为粒子的质量，T为温度，k为Boltzmann常数。
将此式作为粒子的速度分布函数，即可推出其速率分布函数。
即：
f(v) = e^(-mv^2/2kT) * Usqrt(m/2πkT)
此式也叫麦克斯韦分布，概率密度与粒子速率成反比，即概率密度随着粒子速率的增加而减少。
通过此式，可以推导出麦克斯韦速度分布律和速率分布律。
以上便是推导麦克斯韦速度分布律以及速率分布律的简单方法。
虽然在实际应用中，还有许多根据环境情况改变相关参数的变体，但基础思想是一致的：概率密度随着粒子运动速度的增加而减少。
大学物理第8章第5节-麦克斯韦-玻尔兹曼分布律
f (v)dv
f (v)dv
a
2v 0
v0 v0
f (v)dv
f (v)dv 1
2v 0
0
v0
2v0
v
0
(a v0 )vdv
2v0
v0
[2a (a v0 )v]dv 0dv 1
2v0
a 1 v0
(3) 由图可知, 分布曲线在 v 0 处取极大
0
a v v dv 2 0
7 v0 0.778v0 9
说明: (4)、(5)、(6)中有误.
麦克斯韦速度分布律
2 2 2 m(vx v y vz ) dN m dvx dv y dvz exp N 2 k T 2 k T B B 在 vx ~ vx dvx , vy ~ vy dvy , vz ~ vz dvz 区 32
值
2a
f (v)
a
0
v0
2v0
v
v p v0
(4) N 个粒子的平均速率
v vf (v)dv
0
v0
(a v0 )v 2 dv v[2a (a v0 )v]dv v 0dv v0
0 v0 2v 0
2v 0
(5) 0~ v0 2 内的粒子数
v0 2
N
0
v0 2
dN
0
v0 2
Nf (v)dv
0
N a N vdv v0 8
(6) v0 2 ~ v0 内分子的平均速率
麦克斯韦波尔茨曼分布定律
麦克斯韦波尔茨曼分布定律麦克斯韦波尔茨曼分布定律是统计物理学中的一个基本定律，用于描述粒子在热平衡态下能量分布的概率。
该定律是从统计力学的角度推导出来的，可以用来解释气体分子速度分布、能量分布等现象。
麦克斯韦波尔茨曼分布定律是描述粒子速度分布的定律之一。
它指出，在热平衡状态下，理想气体中的粒子速度分布服从麦克斯韦波尔茨曼分布。
这个分布的特点是，速度较小的粒子数目多，速度较大的粒子数目少，呈现出“钟形曲线”的形状。
麦克斯韦波尔茨曼分布定律的推导过程相对复杂，涉及到统计力学的相关知识。
但是我们可以从直观的角度来理解这个分布定律。
首先，我们知道在一个封闭的系统中，粒子的速度是随机的，存在着各种不同的速度。
其次，由于热运动的存在，粒子的速度会在一定范围内变化，即存在一定的速度分布。
最后，根据统计力学的理论，证明了这个分布的概率密度函数是一个关于速度的二次函数，也就是麦克斯韦波尔茨曼分布定律。
麦克斯韦波尔茨曼分布定律可以用来解释一些重要的物理现象。
首先是气体分子的速度分布。
根据这个定律，我们可以知道在热平衡状态下，气体分子的速度分布是呈现出一定规律性的。
速度较小的分子数目多，速度较大的分子数目少，符合高斯分布的特点。
这也就解释了为什么我们观察到的气体分子速度分布呈现出“钟形曲线”的形状。
其次是能量分布。
根据麦克斯韦波尔茨曼分布定律，粒子的能量分布也是符合一定规律的。
能量较低的粒子数目多，能量较高的粒子数目少。
这个定律的应用非常广泛，可以用来解释气体的热力学性质，如内能、压强等。
麦克斯韦波尔茨曼分布定律的应用不仅限于理想气体，还可以推广到其他粒子系统。
例如，可以用来描述固体晶格中的声子的能量分布，以及等离子体中电子的能量分布等。
在这些系统中，粒子的速度分布和能量分布也会服从麦克斯韦波尔茨曼分布。
总结起来，麦克斯韦波尔茨曼分布定律是统计物理学中的一个重要定律，用于描述粒子在热平衡状态下的速度分布和能量分布。
它的应用范围广泛，可以解释气体分子速度分布、能量分布等现象。
7.4 麦克斯韦速率分布 玻尔兹曼分布.
相等的小区间，则分子速率在vp所在区间内的 几率最大。
由一级微商的特性可有:
f (v)
df v
dv
vv p
0
vp
2kT m
2RT M
v
O vp
信息学院 物理教研室
不同气体，在同一温度下的麦克斯韦速率 分布曲线。若气体分子的质量m1>m2 则:
f (v) O
m1 m2
2kT 2RT
m
3 2
e
mv 2 2 kT
v
2
Ndv 2kT
3、方均根速率
v 2 v 2 f (v)dv v 2 3kT 3RT
0
m
M
信息学院 物理教研室
最概然速率: v p 平均速率:
2kT m
2RT M
f (v)
v 8kT 8RT
m M
方均根速率:
0
1 2
mv
2
f
v
dv
表示:
分子平均平动动能 。
信息学院 物理教研室
例题:用总分子数N、气体分子速率v 和速率分
布函数f(v)表示下列各量:
(1)速率大于v0的分子数= (2)速率大于v0的那些分子的平均速率= (3)多次观察某一分子的速率，发现其速率
大于的v0几率
答案： Nf vdv、 v0
Hg
金属蒸汽 狭 缝
l
显 示
屏
信息学院 物理教研室
分子速率分布图
N /(Nv)
N ：分子总数
S
o
v v v
v
N 为速率在 v v v 区间的分子数.
麦克斯韦玻尔兹曼分布定律的讲解与应用
麦克斯韦玻尔兹曼分布定律的讲解与应用麦克斯韦玻尔兹曼分布定律是统计力学中一个重要的概念，描述了理想气体中不同速度分子的数量分布情况。
本文将对麦克斯韦玻尔兹曼分布定律进行详细的讲解，并探讨其在化学、物理等领域的应用。
1. 麦克斯韦玻尔兹曼分布定律的概述麦克斯韦玻尔兹曼分布定律是由麦克斯韦和玻尔兹曼独立提出的，描述了理想气体中不同速度分子的数量分布情况。
该定律的核心思想是，处于热平衡状态下的气体中，不同速度分子的数量与其速度的平方成正比。
2. 麦克斯韦玻尔兹曼分布定律的数学表达麦克斯韦玻尔兹曼分布定律的数学表达式为：f(v) = 4πv²(N/m)(e^(-(mv²)/(2kT))),其中，f(v)表示速度为v的分子的数密度，N为气体的分子数，m 为单个分子的质量，k为玻尔兹曼常数，T为温度。
3. 速率常数与分子速度的关系根据麦克斯韦玻尔兹曼分布定律，不同速率的分子的分数与它的速度的平方成正比。
这意味着，在给定温度下，分子速度较大的分子比速度较小的分子更加稀少。
4. 麦克斯韦玻尔兹曼分布定律在化学反应中的应用麦克斯韦玻尔兹曼分布定律在化学反应中有着广泛的应用。
根据该定律，速度较大的分子具有较高的平均能量，更有可能发生反应。
因此，在反应速率较快的条件下，分子间碰撞的频率会增加，从而促进反应的进行。
5. 麦克斯韦玻尔兹曼分布定律对理想气体的应用在理想气体的研究中，麦克斯韦玻尔兹曼分布定律被广泛应用。
通过该定律，可以计算出理想气体在不同温度下分子的速率分布情况，进而评估气体的性质和行为。
6. 麦克斯韦玻尔兹曼分布定律的实验验证麦克斯韦玻尔兹曼分布定律可以通过实验进行验证。
实验通常采用气体扩散、光散射等技术手段来测量不同速度分子的分布情况，并与理论计算结果进行比较。
7. 麦克斯韦玻尔兹曼分布定律的局限性尽管麦克斯韦玻尔兹曼分布定律在描述理想气体中分子的速率分布具有广泛应用，但在非理想气体和高密度气体中，由于分子间相互作用的影响，实际分子速度分布可能与理论预测有所偏差。
麦克斯韦速率分布推导
麦克斯韦速率分布推导在一个阳光明媚的日子里，想象一下你在公园里，周围飞舞着各种小虫子。
它们像是无数个小颗粒，各自忙忙碌碌地穿梭着，似乎有自己的节奏和目标。
这个场景就像是气体分子在运动，真是有趣又令人好奇呢。
我们今天要聊聊麦克斯韦速率分布，这可是个神奇的话题哦，听起来复杂，但其实简单得很。
说白了，麦克斯韦就是在研究这些分子运动的速度，看看它们各自是多快。
想象一下，空气中的分子就像是参加一个竞赛，虽然都是在同一个地方，但每个分子的速度可不一样。
有的分子像是飞奔的赛车，动得飞快；而有的则像慢悠悠的散步者，完全不着急。
麦克斯韦通过数学公式，把这些不同速度的分子画了一张“速度图”，就像我们平时看天气预报时，看到不同区域的气温差异一样。
这一切听起来是不是特别酷？这个分布图告诉我们，绝大多数的分子其实都是中等速度，只有少数是飞快的或者慢得出奇的。
再说说这个速度分布的秘密。
想象一下你在一家蛋糕店，看到各式各样的蛋糕。
每种蛋糕都有自己的味道和造型，速度分布也是如此。
在麦克斯韦的世界里，分子速度分布就像是蛋糕的种类。
我们可以通过一个简单的公式来描述这些速度。
就像你去市场买水果，选择香蕉、苹果或是橙子，每种选择都有它的理由。
同样，不同速度的分子也有各自的特点。
有些分子因为轻而快，有些分子则因为重而慢，真是妙不可言。
说到这里，或许你会好奇，为什么速度分布这么重要呢？这就像是在了解一场运动比赛。
你知道球员的表现，才能预测比赛的结果。
速度分布帮助科学家了解气体的性质，从而对很多物理现象有更深入的认识。
比如，为什么气体在加热时会膨胀，为什么气体会流动得那么快，为什么气体的压力和温度有关系。
这些看似简单的问题，背后却有麦克斯韦的理论在默默支撑。
生活中处处有麦克斯韦的影子。
你知道吗，空气的流动、风的速度，甚至是你喝的汽水里气泡的上升，都能用他的理论来解释。
这种感觉就像是把平常的现象变成了科学的魔法。
想想你喝汽水时看到气泡一颗颗冒出，那些气泡就是在展示速度分布的精彩。
麦克斯韦速度分布定律
麦克斯韦速度分布定律麦克斯韦速率分布是热学的难点，也是大家初识统计物理时容易感到头疼的知识点，一般而言，考试题会将麦克斯韦分布函数给出，这篇文章对函数形式的推导主要是想帮助同学们加深对麦克斯韦速率分布与速度分布的印象，同时充分理解它们的统计意义。
要想理解麦克斯韦分布，首先我们要理解什么是概率分布函数先看概率密度函数下面是一个典型的概率密度函数图像我们可以将概率密度函数解释为随机变量落在一个区间内的概率与这个区间大小的比值在区间大小趋向于0时的极限分母为f(x)dx，分子为dx概率密度函数满足归一化条件然后是概率分布函数可以看到，概率密度函数就是概率分布函数在某一点的导数重点来了我们讨论的，是连续型变量的概率分布函数，因为粒子的速度/速率是连续变化的连续型变量无法逐个列举就像测分子速率，我们测不出恰好为100m/s的分子数，我们只能测得一个速率范围内的分子数所以我们不能讲分子速率恰好处于100m/s的概率，只能讲分子速率介于某一范围内的概率有了对于概率分布函数的基本认识，我们可以求连续型变量的一些统计值x的某一函数F(x)的平均值为例对于a、c那么图a根据归一化条件A=1/2a对于图cA=1/a对于b则有而麦克斯韦速率分布函数，就建立在最基本的统计理论上比如麦克斯韦分布最关键的概念就是概率密度函数中的f(x)dx下面我们来推导这个f(v)dv的形式首先要推导的是麦克斯韦速度分布函数设三个方向上粒子速度分量为vx、vy、vz由于理想气体处于平衡态，根据气体动理论，有所以由于理想气体处于平衡态，各处气体分子数密度相同，粒子各方向运动概率相同，沿x、y、z轴运动相互独立两边同时取对数对Φ(v^2)求偏导移项，式子左边只留v^2的函数对vy、vz求导的结果形式相同由于vi的任意性，得到令常数为-1/β^2解微分方程得将f(vx)、f(vy)、f(vz)全部代入F(vx,vy,vz)得到速度分布函数的形式为现在我们来求β首先求速度的方均根前面的例题中已经给出了方均根的求法第二步的推导用到了速度空间的概念v到v+dv的速度空间∑dvxdvydvz=4πv^2dv方均根为3β^2/2根据气体动理论得到β^2=m/2kT所以麦克斯韦速度分布为由麦克斯韦速率分布函数，我们可以推出几个重要的速率平均速率结果是根号8kT/πm方均根速率根号3kT/m最概然速率为麦克斯韦速率分布函数取极大值时根号2kT/m至于这些速率的应用，那又是另外一个故事了麦克斯韦分布是热学的重点，希望大家能够真正弄清楚它的意义，而不仅仅是对公式的死记硬背参考资料[1]对麦克斯韦速率分布率的教学研究.石荣彦.江苏教育学院学报.2006.5.p61-p65[2]大学物理中如何讲解麦克斯韦速率分布函数.朱永忠.淮南矿业学院学报.1998.9.p63-p65[3]麦克斯韦速率分布函数的简单推导和讨论.高娟,汤永新,汪月琴.长春大学学报.2014.8.第24卷第8期。
麦克斯韦速率分布律的推导方式探讨
麦克斯韦速率分布律的推导方式探讨
麦克斯韦速率分布律（Maxwell-Boltzmann velocity distribution law）是物理学中定义不同温度下气体中粒子速率的一种定律。
它探究分体系中粒子速度的相对频率，并用于描述热力学中的温度分布。
麦克斯韦-波尔兹曼速度分布律的基本原理是物理分子最终升温达到某一温度时，它们的惯性力已经玄学之谜，采用热力学上的易动理论推出的，它表明物理分子的空间分布和速度分布的规律。
麦克斯韦-波尔兹曼速率分布律的推导大致可以分为两个步骤：第一步，假设某一分子的力学效用函数为U（r），其实际能量为E，且两者满足基础力学定律Q⋅∇U（r）=2E。
接着将热力学参数对力学变量做出无穷细划，推导出（∂E）
/(∂Q)=KT；第二步，根据低效率推导出K(n−1/2)=（2πmkT）n/2，从而得出库伦分布公式。
由此可以得出麦克斯韦-波尔兹曼速率分布律：在假设所有分子能量相等的假定条件下，某种温度下，各温度及分子速率分布与最大权重应是统一的。
麦克斯韦-波尔兹曼速率分布律虽然简单，但是有其重要性，它提供了热力学上分子速度分布的框架，可以运用于拓宽热力学理论，以及研究物质在较高温度时的原子布局和化学性质的研究。
总之，麦克斯韦-波尔兹曼速率分布律是对温度、分子速度及动能的一种重要概括性定律，它可以详细描述热力学及分子运动规律，是研究物理热力学性质和分子性质的重要工具。
玻耳兹曼能量分布律和麦克斯韦速率分布律
麦克斯韦速率分布函数就是计算此类速率的概率密度函数。
平均速率（算术平均速率）
根据某连续变量 x 的平均值等于该
量与概率密度函数乘积的积分的定义。
注意到
类似
也有 或
方均根速率方均根（ 速的率统计平均值的开平方）
即 作为参与统计平均的连续变量
则
注意到
得
回忆 联系
类似
也有 或
速率小结
氧气摩尔特质征量 速率3.2例0 题10 mol
温度 27 C 处于平衡态
气体分子的
和
27 273 300 （ k ）
394 ( m s ) 447 ( m s )
483 ( m s )
归一化例题
假设有大量的某种粒子，总数目为N，其速率分布函数为
均为正常数，且 为已知
画出该速率分布函数曲线
根据概率分布函数应满足的基本条件，确定系数
求速率在
区间的粒子数
抛物线方程
+
得 Max
续上 假设有大量的某种粒子，总数目为N，其速率分布函数为
概率分布函数应满足
归一化条件
均为正常数，且 为已知
画出该速率分布函数曲线
根据概率分布函数应满足的基本条件，确定系数
求速率在
区间的粒子数
本题
要求
抛物线方程
+
得 Max
得
速率在 区间的粒子数
得
请在放映状态随下点堂击小你认议为是对的答案
f (v)
①
②
o
v
则代表氧的分布函数曲线为
（1）曲线 ①
玻尔兹曼分布律
2
e
m 2kT
(vx2
v
2 y
vz2
)
dvxdvy
dvz
3
并注意到 v2 vx2 vy2 v，z2
则有
dN 4 (
m
)3/ 2
mv2
e 2kT
v2
dv
N
2k T
此即麦克斯韦速率分布律。
f v 1 dN , dN f vdv
N dv
N
二、玻尔兹曼分布律
麦氏速度分布律是在没有考虑外力场作用时的分布
e
Ek kT
d)
2 kT
因为在速率空间中有
d 4v2dv
所以，有
dN /
Ep
n0e kT dV
m
3
2 mv2
e 2kT
0 2kT
4v 2 dv
8
又
f (v)dv 1
0
Ep
dN n0e kT dV
表示在空间某位置（具有Ep）的体积元dV＝dxdydz内的总 分子数。 ２、分子数密度按势能分布的规律
dN N
A(
m
2 k
T
)3
/
2
e
Ek E kT
p
dvx
dv
y
dvz
dxdydz
dN
C( m
2 kT
) e 3/ 2
Ep EK kT
dvx dv y dvz dxdydz
Ep EK
E
e kT e kT
称玻尔兹曼因子 Ｃ＝ＡＮ
比例常数
dN
C( m
2 kT
)3/ 2
E
e kT
dvx dvy dvz dxdydz
从玻尔兹曼分布推导麦克斯韦速度分布律和能量均分定理
从玻尔兹曼分布推导麦克斯韦速度分布律和能量均分定理玻尔兹曼分布是热力学中描述粒子分布的重要概念。
麦克斯韦速度分布律和能量均分定理则基于玻尔兹曼分布，对分子在气体中的速度和能量分布进行了详细研究。
本文将从玻尔兹曼分布开始，逐步推导出麦克斯韦速度分布律和能量均分定理，并解释其重要性和指导意义。
首先，我们来回顾一下玻尔兹曼分布的概念。
玻尔兹曼分布描述了在热平衡状态下，粒子的能级分布情况。
在一个封闭系统中，粒子的分布与其能量有关，服从玻尔兹曼分布的概率可以用以下公式表示：P(E) = (1/Z) * e^(-E/kT)其中，P(E)表示粒子能量为E的概率，Z是配分函数，k是玻尔兹曼常数，T是系统的温度。
通过玻尔兹曼分布，我们可以了解不同能量级别上粒子的分布情况。
基于玻尔兹曼分布，我们可以推导出麦克斯韦速度分布律。
麦克斯韦速度分布律描述了气体中粒子的速度分布情况。
根据分子动理论，气体分子的速度服从高斯分布。
在二维情况下，麦克斯韦速度分布律可以表示为：f(v) = (m/(2πkT))^0.5 * e^(-mv^2/(2kT))其中，f(v)表示速度为v的粒子的概率密度函数，m是粒子质量。
这个分布函数说明了粒子速度随温度和质量的变化。
接下来，我们来推导能量均分定理。
能量均分定理是基于麦克斯韦速度分布律的一项重要结果。
根据能量均分定理，系统中每个自由度的平均动能为kT/2。
自由度可以理解为能够存储和传递能量的独立振动模式或轨道数。
对于一个分子来说，自由度通常包括平动、转动和振动。
在热平衡情况下，每个自由度的平均动能相等。
能量均分定理在热学和统计物理中具有重要的指导意义。
它说明了在热平衡状态下，分子具有与温度相对应的能量。
通过平均动能，我们可以计算出系统的总能量。
这个定理的应用广泛，在材料科学、化学反应动力学以及热力学等领域都扮演着重要角色。
总结起来，玻尔兹曼分布为我们提供了粒子分布的重要理论基础。
基于玻尔兹曼分布，我们可以进一步推导出麦克斯韦速度分布律和能量均分定理，分别描述了气体粒子的速度和能量分布情况。
麦克斯韦速度分布律的理解
麦克斯韦速度分布律的理解
麦克斯韦速度分布律的理解
麦克斯韦（Maxwell）速度分布律是描述多个物理量之间的关系，称为物理量关联关系。
它由当时的物理学家、数学家麦克斯韦在1860年提出，其定义为：在相同温度下，描述某种物理系统中的所有分子的速度分布的函数，该函数称为麦克斯韦速度分布律。
麦克斯韦速度分布定律对于已知温度T的物理系统来说，当某物理系统中的分子数N作给定的单位长度的视觉来看时，这些分子的速度分布在某一区间内的概率密度函数，也就是说，在此视野内，每个分子在一定时间（或间隔）内以不同速度（比如，体积、质量等）漂浮，这个速度分布的概率密度函数可以用麦克斯韦速度分布定律来描述。
麦克斯韦速度分布的关键思想是'温度'。
一般来说，温度越高，分子之间所发生的激烈碰撞越多，其热能也就越大，因而拥有较高的速度；温度越低，分子碰撞次数较少，热能越小，速度就越低。
根据麦克斯韦速度分布律可以得出，在相同温度下，速度分布曲线的密度是“正态分布”形式的，即曲线处于高峰处的分子数要远大于沿曲线前后（左右）较低的段落的分子数，其中的高峰（最多的分子所有者）就是所谓的麦克斯韦速度，也就是最大速度。
麦克斯韦速度分布定律的主要意义在于，它为我们提供了描述物理量之间关联关系的方法，从而描述了热力学中各种微观现象的机理，也为分子碰撞运动的进一步研究提供了参考。
玻尔兹曼对于麦克斯韦速度分布律的推导
n(0)vzf(vz)dvz = dJ(0, vz vz+dvz) = J0(h)J0(h+dh) = dJ0(h)
= d0 n(h)vzf(vz)dvz
= d{n(0)exp[mgh/
(kT)]}0 vzf(vz)dvz = n(0)[mg/(kT)]
exp[mgh/(kT)]dh 0vzf(vz)dvz
20f(vz)dvz = 1 = 2C[kT/(2m)]1/2 = C(2kT/m)1/2. f(vz) = [m/(2kT)]1/2 exp[mvz2/(2kT)].
现在分布函数f(vz)可以 用于g = 0（即无重力场） 时沿任何方向所选定的 z 轴。换句话说，加上或取 消重力场，都不会影响与 改变分子的速度分布。原 来利用重力场只是手段。
因此，正是分子的 速度分布决定了其在 重力场中按高度的分 布。两者密切相关， 据此可以推导速度分 量vz的分布函数f(vz).
Байду номын сангаас(h)
= n(0)exp[mgh/(kT)]. mvz2/2 = mgh, m 0,
vzdvz = gdh.
在h = 0处，速度分 量vz分布在vzvz+dvz 区间内的分子向上的通 量，应该等于在h处与 在h+dh处各种速率分 子向上的通量之差。
玻尔兹曼对于 麦克斯韦速度 分布律的推导
1876年，玻尔兹曼提 出以下证明思路：在均 匀重力场中恒温理想气 体的分子数密度为n(h)
= n(0)exp[mgh/(kT)].
但是，速度分量vz的分 布函数f(vz)应该仅由温度 T决定而与重力场强g或 高度h无关。高处的n(h) 之所以会比较小，是由于 低处那些vz小的分子不能 克服重力场而飞到高处。
麦克斯韦速率分布规律
麦克斯韦速度分布律任何宏观物理系统的温度都是组成该系统的分子和原子的运动的结果。
这些粒子有一个不同速度的范围，而任何单个粒子的速度都因与其它粒子的碰撞而不断变化。
然而，对于大量粒子来说，如果系统处于或接近处于平衡，处于一个特定的速度范围的粒子所占的比例却几乎不变。
麦克斯韦-玻尔兹曼分布具体说明了这个比例。
它以詹姆斯麦克斯韦和路德维希玻尔兹曼命名。
1定义气体中个别分子的速度具有怎样的数值和方向完全是偶然的，但就大量分子的整体来看，在一定的条件下，气体分子的速度分布也遵从一定的统计规律。
这个规律也叫麦克斯韦速率分布律。
2历史1859年，麦克斯韦首先获得气体分子速度的分布规律，尔后，又为玻耳兹曼由碰撞理论严格导出。
处于平衡状态下的理想气体分子以不同的速度运动，由于碰撞，每个分子的速度都不断地改变，使分子具有各种速度。
因为分子数目很大，分子速度的大小和方向是无规的，所以无法知道具有确定速度υ的分子数是多少，但可知道速度在υ1与υ2之间的分子数是多少。
麦克斯韦首先得到，在平衡状态下，当气体分子间相互作用可以忽略时，分布在任一速率区间υ~υd υ内的分子数与总分子数的比率为：麦克斯韦速率分布函数。
3内容在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以忽略时，分布在任一速率区间v~vdv的分子数占总分子数的比率为: 麦克斯韦速率分布函数。
4速率分布函数按统计假设，各种速率下的分子都存在，可以用某一速率区间内分子数占总分子数的百分比来表示分子按速率的分布规律。
1）将速率从0→∞分割成很多相等的速率区间。
例如速率间隔取100m/ ,整个速率分为0-100;100-200;…等区间。
2）总分子数为N，在v→v△v区间内的分子数为△N在v→v△v区间内的概率为△Ni/N。
则可了解分子按速率分布的情况。
3）概率错误!△Ni/N与v有关，不同v附近概率不同。
错误!△Ni/N与△v有关，速率间隔大概率大。
→dv速率间隔很小，该区间内分子数为dN，在该速率区间内分子的概率dN/N∝dv写成等式fv=dN/Ndv表示分布在v→vdv区间内的分子数占总分子数的比率或百分比。
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v2
v1
vdN
N
v v1 ~ v2 ;
vv1 ~ v2
v1 v2
vdN vNf (v)dv vf (v)dv
v1
v2
dN
v1 v2
v1
Nf (v)dv
v1 v2
v1
f (v)dv
2. 方均根速率
分子速率平方的平均值
v
2
全部分子速率平方之和 分子总数
人数比率按
年龄的分布
例如气体分子按速率的分布
速率 分子数按速率 的分布 分子数比率 按速率的分布 v1 ～ v2
ΔN1
v2 ～ v3
ΔN2
…
…
vi ～ vi +Δv
ΔNi
…
…
ΔN1/N
ΔN2/N
…
ΔNi/N
…
｛ΔNi ｝就是分子数按速率的分布数
二. 速率分布函数 f (v)
设某系统处于平衡态下， 总分子数为 N ，则在v～v+ dv 区 间内分子数的比率为 dN 单位速率区间内分子数的比率称为速率分布函数
1 N
0
v Nf (v )dv
式中M 为气体的摩尔质量，R 为摩尔气体常量
R 8.31 23 k 1.38 10 J/K 23 N 0 6.022 10
思考：
v
v2
1
vf (v )dv 是否表示在v1 ~v2 区间内的平均速率 ？
v2 v2
dN vf (v)dv v N v1 v1
p
f ( v) T
O
能用
(2) 同一种气体分子的三种速率的大小关系: v 2 v v p (3) 平均平动动能
v2
vp v v2
v
1 2 3 0 K dN 0 K f (v)dv 0 2 mv f (v)dv 2 kT (4) 速率的任意函数的平均值 g g (v) f (v)dv
0
0
v 2dN N
2
1 N
0
v Nf (v )dv
2
3kT v f (v )dv μ
2
3kT RT v 1.73 μ M
3. 最概然速率
2kT 2 RT RT vp 1.41 μ M M
说明
(1) 一般三种速率用途各 不相同 讨论速率分布一般用 v · 讨论分子的碰撞次数用 v · 讨论分子的平均平动动 ·
这一规律称为麦克斯韦速率分布定律 说明 (1) 从统计的概念来看讲速率恰好等于某一值的分子数多少， 是没有意义的。 (2) 麦克斯韦速率分布定律对处于平衡态下的混合气体的各 组分分别适用。 (3) 在通常情况下实际气体分子的速率分布和麦克斯韦速率 分布能很好的符合。
2. 麦克斯韦速率分布曲线 由图可见，气体中 · 速率很小、速率很
式中μ为分子质量，T 为气体热力学温度， k 为玻耳兹曼常量
k = 1.38×10-23 J / K
理想气体在平衡态下，气体中分子速率在v～v+ dv 区间 内的分子数与总分子数的比率为
dN 3 / 2 2 v 2 / 2 kT f (v )dv 4π ( ) v e dv N 2π kT
v
v2
1
N f (v )dv N
曲线下面的总面积， · 等于分布在整个速 率范围内所有各个 速率间隔中的分子
f(v) T
数与总分子数的比 率的总和
最概然速率v ·
O
vp
( 速率分布曲线 )
v
0
f (v )dv 1 (归一化条件)
p
f(v) 出现极大值时, 所对应的速率称为最概然速率
p
2kT μ
越小, 这时曲线向左移动 f(v)
T1
T2(> T1)
μ2( > μ1) μ1
O
v p1 v p2
v O
v p2 v p1
v
五. 分子速率的三种统计平均值
1. 平均速率
全部分子速率之和 分子总数
v
v
0
0
vdN N
8kT RT 1.59 v f (v )dv π M
L v v 2
(4) 沉积在检测器上相应的金属层厚度必定正比相应速率 下的分子数
四. 麦克斯韦速率分布定律
1. 麦克斯韦速率分布定律 理想气体在平衡态下分子的速率分布函数
f (v ) 4 (
2πkT
) v e
3/ 2
2 v 2 / 2 kT
( 麦克斯韦速率分布函数 )
2kT 2 RT RT df (v ) 1.41 0 vp μ M M dv
物理意义：将速率分为相等的速率间隔，则在包含vp的间 隔中的分子数最多。
·
不同气体, 不同温度下的速率分布曲线的关系 v p 由于曲线下的面积不变,由此可见 ① μ 一定,T 越大, v p 越大, 这时曲线向右移动 ② T 一定, μ 越大, v f(v)
§9.5 麦克斯韦速率分布定律
一. 分布的概念
问题的提出 · 气体系统是由大量分子组成， 而各分子的速率通过碰撞
不断地改变， 不可能逐个加以描述, 只能给出分子数按 速率的分布。
分布的概念 · 例如学生人数按年龄的分布
年龄 人数按年龄 的分布 15 ~16 2000 20% 17 ~ 18 3000 30% 19 ~20 4000 40% 21~22 1000 10%
f(v)
T
大的分子数都很少。
在dv 间隔内, 曲线下 · 的面积表示速率分布 O ·· v v1 v＋ vd 2v
( 速率分布曲线 )
v
在v～v+ dv 中的分子
数与总分子数的比率
·
f (v )dv dN N 在v1~v2 区间内,曲线下的面积表示速率分布在v1~v2 之间
的分子数与总分子数的比率
1 K N
0
指出下列各式的物理意义
Nf (v)dv f (v)dv Nf (v)dv v1 0 v2 1 1 2 2 0 Nf (v)dv 0 2 mv f (v)dv v1 N 2 mv f (v)dv dN f (v)dv 速率在v~v+dv之间的分子数占总分子数的比率 N Nf (v)dv dN 速率在v~v+dv之间的分子数 f (v)dv
N
意义： 分布在速率v 附近单位速率间隔内的分子数与总 分子数的比率。
dN f (v ) Ndv
三. 气体速率分布的实验测定
1. 实验装置
2. 测量原理
(1) 能通过细槽到达检测器 D 的分子所满足的条件
L v
选择速率v
v L
(2) 通过改变角速度ω的大小，
(3) 通过细槽的宽度，选择不同的速率区间