一阶拟线性偏微分方程

天津商业大学

一阶拟线性偏微分方程在物理中的应用及

初值问题求解

院系：机械工程学院

专业：XX

姓名：XXX

学号：XXXXX

摘要

本文首先介绍了一阶拟线性偏微分方程的基本概念，及齐次性的划分，并列举了几种典型拟线性偏微分方程在物理中的应用。然后，通过讨论一阶拟线性偏微分方程的几何意义得出其求解方法。最后以齐次连续性方程初值问题的求解为例，介绍了一阶拟线性偏微分方程的基本求解方法。

关键词：一阶拟线性偏微分方程；连续性方程；初值问题；物理意义

ABSTRACT

In this paper, we first introduce the basic concepts of first order quasi linear partial differential equations, and the division of homogeneous properties, and the applications of several typical quasi linear partial differential equations in physics. Then, by discussing the geometric meaning of the first order quasi linear partial differential equations, the solving method is obtained. Finally, the solution of the initial value problem of homogeneous continuity equation is solved as an example, and the basic solution of the first order quasi linear partial differential equation is introduced.

KEY WORDS:First order quasi linear partial differential equation;Continuity equation;initial value problem;Physical meaning

1. 基本概念

偏微分方程是指含有未知函数以及未知函数的某些偏导数的等式。设u 是自变量x ,y ，…的未知函数，那么关于u 的偏微分方程一般形式是

F （x ,y , …,u ,u x ,u y …）=0 (1) 其中F 是关于变量x ,y , …,u , …的已知函数，它可以不显含自变量x ,y , …和未知函数u ，但必须含有u 的某个偏导数。涉及几个未知函数及其偏导数的多个偏微分方程构成一个偏微分方程组。

偏微分方程的最高阶偏导数的阶数称为偏微分方程的阶。如果一个偏微分方程对未知函数及它的所有偏导数都是线性的，且他们的系数都仅依赖于自变量的已知函数，则这样的偏微分方程称为线性偏微分方程。不是线性的偏微分方程称为非线性偏微分方程。

对于一个非线性偏微分方程，如果它关于未知函数的最高阶偏导数是线性的，则称它是拟线性偏微分方程。若未知函数的最高阶偏导数为一阶，则称为一阶拟线性偏微分方程，它的一般形式是 1212n n u u u X X X X x x x ∂∂∂+++=∂∂∂ （2）

其中X i =X i (x 1,x 2, …,x n ,u )，i =1,2, …,n 和X =X (x 1,x 2, …,x n ,u )是Ω上已知连续可微函数。若方程中不含未知函数及其偏导数的项为零时，该方程称为一阶齐次拟线性偏微分方程，否则称为一阶非齐次拟线性偏微分方程。

2. 典型拟线性微分方程

拟线性偏微分方程在物理学上有着广泛的应用，其中主要介绍其在能源与动力工程方面的应用。

流体力学中有三大基础性方程，分别为连续性方程，动量方程和能量方程。这些方程都为拟线性偏微分方程，其中连续性方程

0u v w t x y t ρρρρ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂ （3） 它是一阶齐次拟线性偏微分方程。

动量方程 2222()()1()uu uu p u u x x x x y νρ∂∂∂∂∂+=-++∂∂∂∂∂ （4） 它是二阶齐次拟线性偏微分方程。

能量守恒方程 2222()()()uT vT T T a x y x y ∂∂∂∂+=+∂∂∂∂ （5） 它是二阶齐次拟线性偏微分方程。

3. 一阶拟线性偏微分方程的初值问题

对于两个变量的一阶拟线性偏微分方程 (,,)(,,)(,,)u u a x y u b x y u c x y u x y ∂∂+=∂∂ （6） 其中a ,b ,c 分别是x ,y ,u 的已知函数，u =u (x ,y )，且a 2+b 2>0.

对方程（6）可以作如下几何解释。方程（6）可以改写成 (,,)(,,1)0u u a b c x y ∂∂•-=∂∂ （7） 则式（6）的解是表示空间（x ,y ,u ）中一张曲面S ：u =u (x ,y )，曲面S 上任一点P(x ,y ,u )其切平面的法向为(,,1)u u x y

∂∂-∂∂。式（8）表明：曲面法向与向量（a ,b ,c ）垂直，或者说向量（a ,b ,c ）在点P 的切平面内（图 1）。

图 1

则方向（a ,b ,c ）为方程（6）的特征方向，它在区域Ω∈R 3上定义了一个向量场。这个向量场的积分曲线称为方程（6）的特征曲线。设特征曲线的参数形式为x =x (s)，y =y (s )，u =u (s )，s ∈I ,其中I 为一实区间，则沿特征曲线成立： d d d d (,,)(,,)(,,)x x x s a x y u b x y u c x y u === （8） 或者

{ dx ds =a (x,y,u ),dy ds =b (x,y,u ),du ds =c (x,y,u ). （9）

它称为方程（6）的特征方程组。

由特征线编织而成的光滑曲面S 即为方程（6）的解；反之，方程（6）的解必由特征线编织而成。

4. 连续性方程

4.1 连续性方程概念

连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的具体表述形式。它的前提是对流体采用连续性介质方程，速度和密度都是空间坐标及时间的连续、可微函数。它的简单形式如上式（3）：