带通信号和信道的表示

附录A

带通信号和信道的表示

通信系统中的许多信号都是实带通信号，其频域表达以载波频率

c f 为中心，覆盖一个窄的带宽2B ，2c B f <<，如图A1所示。由于带

通信号是实的，故它们的频域表达具有共轭对称性，即，带通信号，其()s t ()()S f S f =−，。然而，带通信号不必一定在其信号带宽内关于载频()()S f S f ∠=−∠−c f 共轭对称，也就是说，当f B ≤时，我们可以有

()(c c S f f S f f +≠−))c 或者。这种不对称性参见图

A1。基带信号用载波调制，确定信号或者随机信号用带通滤波器滤波，都可以产生带通信号。带通信号的带宽()(c S f f S f f ∠+≠−∠−2B 大致为c f 周围信号幅度不被忽略的频率范围。带通信号通常用作通信系统中发送信号和接收信号的模型。由于传输电路只能产生实的正弦函数，信道对实传输信号只能引入幅度和相位的变化，因而它们是实信号。

我们用下述形式表示一个载频为c f 的带通信号：

()s t ()()cos(2)()sin(2)I c Q s t s t f t s t f t c ππ=−， （A.1）

其中，和是带宽()I s t ()Q s t c B f <<的低通（基带）信号。这是带通信号的一个通常的表示。实际上，诸如MPSK 和MQAM 这样的调制，通常用这个表达形式描述。我们称为的同相分量，为的正交分量。定义复信号()I s t ()s t ()Q s t ()s t ()()()I Q u t s t js t =+，于是，

。是一个带宽为(){()}I s t u t =ℜ(){()}Q s t u t =ℑ()u t B 的复低通信号。通过上述定义，可

以得到：

2(){()}cos(2){()}sin(2){()}c j f t c c s t u t f t u t f t u t e πππ=ℜ−ℑ=ℜ (A.2)

方程右边的表达式，称为带通信号的复数低通表达，基带信号称为的等效低通信号或者复包络。注意，如果是实的，也就是说，则关于()s t ()u t ()s t ()u t ()0Q s t =()U f 0f =共轭对称。

由傅立叶变换的性质，我们可以得到：

*()0.5[()()]c S f U f f U f f =−+−−c (A.3)

因为是实的，关于()s t ()S f 0f =对称。然而，低通信号和不必要关于对称，这导致在带宽()U f *()U f 0f =()S f 2B 的范围内，关于载频c f 不对称。参加图 A.1。实际上，如果()()I u t s t =，也就是说，中没有正交分量，则在带宽范围内，关于载波对称。我们将很快发现这种不对称影响了带通信道对带通信号的响应。

()u t ()S f 低通信号的另外一种表达方式：

()()()j t u t a t e φ= (A.4)

包络为：

()a t = (A.5)

相位为：

1

()()tan (

)()

Q I s t t s t φ−= (A.6)

2()(){()}()cos(2())c j f t j t c s t a t e e a t f t t πφπφ=ℜ=+ (A.7)

现在考虑实信道冲击响应，其付氏变换为()h t ()H f 。如果是实的，则。在通信系统中，我们主要关心在范围()h t *()(H f H f −=)c f f B −<内的信道频率响应()H f ，()H f 的这些成分直接影响接收信号。带通信道近似于带通信号：具有实冲击响应，其频率响应()h t ()H f 中心频

率为c f ，带宽带宽2B ，2c B f <<，类似等效低通信号模型，我们建立等效低通信道模型。

2()2{()}c j f t l h t h t e π=ℜ (A.8)

称为等效低通信道冲击响应。考虑(A.2)(A.3)，由表达式(A.8)可以得到：

()l h t *()()()l c l c H f H f f H f f =−+−− (A.9)

于是()H f 由两个部分组成：上移()l H f c f ，和*()l H f 下移c f 。注意如果在带宽2B 的范围内()H f 关于c f 共轭对称，

则是实函数，并且关于零频率共轭对称。然而，在很多无线信道中，例如频率选择性衰落信道，()l h t ()l H f ()H f 不是关于c f 共轭对称的，这种情况下，是复函数，其同相分量，正交分量()l h t ,(){()}l I l h t h t =ℜ,(){()}l Q l h t h t =ℑ。注意如果是复函数，则关于零频率不共轭对称。

()l h t ()l H f 现在我们用等效低通信号和信道模型讨论具有带通信号输入的带通信道的输出。令表示输入信号，其等效低通信号为。令为带通信道冲击响应，为其等效低通信道冲击响应。信号信道冲击响应都是实函数。因而信道的输出()s t ()u t ()h t ()l h t ()s t ()h t ()()*()r t s t h t =也是实函数，其频域响应为()()()R f S f H f =。()R f 为带通信号。于是，它有复函数低通表达：

2(){()}c j f t r t v t e π=ℜ (A.10)

考虑下述两者之间的关系：对应信道输入的等效低通信号、信道冲击响应和信道输出。信道输出的频域表达为：

()s t ()h t ()r t **()()()0.5[()()][()()]l c l c l c l c R f S f H f H f f H f f f f U f f ==−+−−−+−U −(A.11)